集合之间的关系
第二讲 集合之间的基本关系及其运算
第二讲 集合之间的基本关系及其运算一．知识盘点知识点一：集合间的基本关系注意：1.A B A B B AA B A B A B A B =⇔⊆⊆⎧⊆⎨⊂⇔⊆≠⎩且且2.涉及集合间关系时，不要忘记空集和集合本身的可能性。
3.集合间基本关系必须熟记的3个结论（1）空集是任意一个集合的子集；是任意一个非空集合的真子集，即,().A B B Φ⊆Φ⊂≠Φ(2)任何一个集合是它自身的子集，空集只有一个子集即本身 （3）含有n 个元素的集合的子集的个数是2n 个，非空子集的个数是21n - ；真子集个数是21n - ，非空真子集个数是22n -。
知识点二：集合的基本运算运算 符号语言 Venn 图 运算性质交集{}|A B x x A =∈∈且x B()(),AB A A B B ⊆⊆ (),AA A AB B A ==A B A A B =⇔⊆ A Φ=Φ并集{}|A B x x A x B =∈∈或()(),A A B B A B ⊆⊆ (),A A A A B B A ==,A B B A B A A =⇔⊆Φ=补集{}|U C A x x U x A =∈∉且,U U C U C U =ΦΦ=()(),U U U C C A A A C A U ==()U AC A =Φ()()()U U U C A B C A C B = ()()()U U U C A B C A C B =二．例题精讲Ep1.下列说法正确的是A. 高一（1）班个子比较高的同学可以组成一个集合B. 集合{}2|,x N x x ∈= 则用列举法表示是{}01，UAC. 如果{}264,2,m m ∈++2， 则实数m 组成的集合是{}-22，D. {}{}(){}222||,|x y xy y x x y y x =====解析：A.与集合的确定性不符；B.对；C.与集合的互异性不符；D 。
{}2|x y x R == ,{}{}2||0y y x y y ==≥ ，(){}2,|x y y x = 是二次函数2y x = 的点集Ep2.已知集合A={}2|1log ,kx N x ∈<< 集合A 中至少有三个元素，则A.K>8B.K ≥ 8C.K>16D.K ≥ 16解析：由题设,集A 至少含有2，3，4三个元素，所以2log 4k> ，所以k>16.Ep3.已知集合M={}{}2|,|,x y x R N x x m m M =∈==∈ ,则集合M 、N 的关系是A.M N ⊂B.N M ⊂C.R M C N ⊆D.R N C M ⊆ 解析：[]1,1M =- ，{}|01N x x =≤≤ ，故选B.Ep4.已知集合M={}0,1 ,则满足M N M = 的集合N 的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4 解析：M N M =，故N M ⊆ ,故选D.Ep5已知集合{}{}2|1,|1M x x N x ax ==== ,如果N M ⊆ ,则实数a 的取值集合是{}.1A {}.1,1B - {}.0,1C {}.1,0,1D -解析：{}1,1M =- , N M ⊆,故N 的可能：{}{}{},1,1,1,1Φ-- ，故a 的取值集合{}1,0,1-Ep6.已知集合{}{}2|20180,|lg(3)A x x x B x N y x =-+≥=∈=- ，则集合A B 的子集的个数是解析：{}|02018A x x =≤≤ ，{}{}|3-x>00,1,2B x N =∈= ，故{}0,1,2A B = 故子集个数328=A.4B.7C.8D.16Ep7.已知集合{}{}2|2,|M x x x N x x a =<+=> ，如果M N ⊆ ,则实数a 的取值范围是.(,1]A -∞- .(,2]B -∞ .[2,)C +∞ .[1,)D -+∞解析：{}|12M x x =-<< ，M N ⊆，故1a ≥-Ep8.已知集合{}2|30A x N x x *=∈-< 则满足B A ⊆ 的集合B 的个数是 A.2 B.3 C.4 D.8 解析：{}{}|03=12A x N x *=∈<<， ，故选CEp9.已知集合{}{}|12,|13,M x x N x x M N =-<<=≤≤=则.(1,3]A - B.(1,2]- .[1,2)C D.(2,3]解析：选CEp10.如果集合{}{}(1)2|10,|log 0,x A x x B x -=-≤≤=≤则A B={}.|11A x x -≤< {}.|11B x x -<≤ {}.0C {}.|11D x x -≤≤ 解析：{}10||0111x B x x x x ⎧->⎫⎧==≤<⎨⎨⎬-≤⎩⎩⎭，故选D.Ep11.设集合 {}{}2|11,|,,()R A x x B y y x x A A C B =-<<==∈=则{}.|01A x x ≤< {}.|10.B x x -<< {}|01C x x =<< {}.|11D x x -<<解析：{}|01B y y =≤<，则{}|01R C B y y =<≥或y，(){}{}{}|11|01|10R AC B x x y y y x x =-<<<≥=-<<或 选B.Ep12.已知集合{}{}2|11,|20,A x x B x x x =-<<=--<则 )R C A B =（.(1,0]A - .[1,2)B - .[1,2)C .(1,2]D解析：{}|12B x x =-<< ，{}|11R C A x x x =≤-≥或 (){}|12R C A B x x =≤< ，选C.三．总结提高1.题型归类（1）2个集合之间的关系判断（2）已知2个集合之间的关系，求参数问题 （3）求子集或真子集的个数问题 （4）2个有限集之间的运算（5）1个有限集和1个无限集之间的运算 （6）2个无限集之间的运算（7）已知集合的运算结果，求参数问题 2.方法总结（1）判断集合间关系的方法a.化简集合，从表达式中寻找两个集合之间的关系b.用列举法表示集合，从元素中寻找关系c.利用数轴，在数轴上表示出两个集合（集合为数集），比较端点之间的大小关系，从而确定两个集合之间的关系。
集合的四种基本关系
集合的四种基本关系在数学中，集合是由一些特定对象组成的整体。
集合之间存在着各种关系，而一些基本的关系可以被分类为四种：包含关系、相等关系、交集关系和并集关系。
本文将对这四种基本关系进行全面详细、完整且深入的描述。
1. 包含关系包含关系是集合之间最基本的关系之一。
如果一个集合的所有元素都属于另一个集合，那么我们说前一个集合包含在后一个集合中。
数学上用符号“⊆”表示包含关系。
例如，我们有两个集合A和B，其中A={1, 2, 3}，B={1, 2, 3, 4}。
由于集合B中的所有元素（1、2和3）也都属于集合A，所以可以说集合A包含在集合B中。
用符号表示为A ⊆ B。
包含关系还可以进一步细分为真包含关系和假包含关系。
如果一个集合A包含于另一个集合B，并且它们不相等，我们称A在B之内并且A真包含B。
用符号表示为A ⊂ B。
如果A和B相等，我们称A在B之内但A不真包含B。
用符号表示为A ⊆B。
2. 相等关系相等关系是两个集合拥有完全相同元素的关系。
如果集合A和集合B的所有元素都相同，那么A等于B。
数学上用符号“=”表示相等关系。
例如，我们有两个集合C和D，其中C={1, 2, 3}，D={3, 2, 1}。
尽管它们的元素排列顺序不同，但它们的元素完全相同，所以可以说集合C等于集合D。
用符号表示为C = D。
相等关系是一种非常严格的关系，要求两个集合的元素完全相同，没有任何差异。
3. 交集关系交集关系是指两个集合共有的元素构成的集合。
数学上用符号“∩”表示交集关系。
例如，我们有两个集合E和F，其中E={1, 2, 3, 4}，F={3, 4, 5, 6}。
这两个集合的交集是{3, 4}，因为它们共有的元素是3和4。
用符号表示为E ∩ F = {3, 4}。
交集关系是一种取共有部分的操作，可以用于找到两个集合中共同存在的元素。
4. 并集关系并集关系是指两个集合中所有元素的总和构成的集合。
数学上用符号“∪”表示并集关系。
集合之间的关系
集合间的基本关系⒈子集：对于两个集合A ，B ，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A 是集合B 的子集。
记作：()A B B A ⊆⊇或 读作：A 包含于B ，或B 包含A 当集合A 不包含于集合B 时，记作A ⊈B(或B ⊉A) 用Venn 图表示两个集合间的“包含”关系： ⒉集合相等定义：如果A 是集合B 的子集，且集合B 是集合A 的子集，则集合A 与集合B 中的元素是一样的，因此集合A 与集合B 相等，即若A B B A ⊆⊆且，则A B =。
⒊真子集定义：若集合A B ⊆，但存在元素,x B x A ∈∉且，则称集合A 是集合B 的真子集。
记作：A B （或B A ） 读作：A 真包含于B （或B 真包含A ）4.空集定义：不含有任何元素的集合称为空集。
记作：φ几个重要的结论：⑴空集是任何集合的子集；对于任意一个集合A 都有φ⊆A 。
⑵空集是任何非空集合的真子集；⑶任何一个集合是它本身的子集；⑷对于集合A ，B ，C ，如果A B ⊆，且B C ⊆，那么A C ⊆。
例1：已知集合A ＝{x|x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{1,2}，C ＝{x|x<8,x ∈N}，则A B ； A C ； {2} C ； 2 C说明：⑴注意集合与元素是“属于”“不属于”的关系，集合与集合是“包含于”“不包含于”的关系；⑵在分析有关集合问题时，要注意空集的地位。
⑶结论：一般地，一个集合元素若为n 个，则其子集数为2n 个，其真子集数为2n -1个，非空子集为2n -1，非空真子集2n -2 特别地，空集的子集个数为1，真子集个数为0。
例2：已知集合{}{}25,121A x x B x m x m =-<≤=-+≤≤-且A B ⊆，求实数m 的取值范围。
（3m ≥）练习：1、有三个元素的集合A ，B ，已知A={2，x ，y}，B={2x ，2，2y}，且A=B ，求x ，y 的值。
集合与集合的4种关系
集合与集合的4种关系在集合论中，集合之间可以有不同类型的关系。
这些关系可以用来描述集合的交集、并集、补集以及包含关系。
下面将依次介绍这4种关系。
1. 交集（Intersection）两个集合的交集表示它们所共有的元素集合。
用符号表示为A∩B。
例如，A={1,2,3}，B={2,3,4}，则A∩B={2,3}。
2. 并集（Union）两个集合的并集表示它们所有的元素集合。
用符号表示为A∪B。
例如，A={1,2,3}，B={2,3,4}，则A∪B={1,2,3,4}。
3. 补集（Complement）对于一个给定的全集U和一个集合A，A在U中的补集表示U中所有不属于A的元素的集合。
用符号表示为Ac。
例如，如果全集为U={1,2,3,4,5}，A={2,3}，则A的补集为Ac={1,4,5}。
4. 包含关系（Inclusion）集合A包含于集合B表示A中的所有元素都属于B。
用符号表示为AB。
例如，A={1,2}，B={1,2,3}，则AB。
另外，还有两个有关集合的关系：相等关系和真包含关系。
相等关系（Equality）两个集合A和B相等，当且仅当它们有相同的元素。
用符号表示为A=B。
例如，A={1,2,3}，B={3,2,1}，则A=B。
真包含关系（Proper Inclusion）集合A真包含于集合B，当且仅当A包含于B并且A不等于B。
用符号表示为AB。
例如，A={1,2}，B={1,2,3}，则AB。
注意，这里的“”符号不同于“”，它表示的是真包含关系。
在实际应用中，理解和使用集合及其关系是很重要的。
例如，在数据库中，可以使用集合的关系来描述表间的关联；在数据分析中，可以使用交集和并集等集合运算来计算数据的交叉和联合等等。
集合间的关系
集合间的关系什么是集合间的关系？集合间的关系指的是两个或多个集合之间的关系。
在数学中，集合间的关系是一种可以描述不同集合之间联系的方式。
它可以用来表示集合间的相互影响，或者说集合间的特征性质的抽象概念。
一般来说，集合间的关系可以有四种：包含关系、相等关系、并集关系和交集关系。
1、包含关系(Containment Relationship)是指一个集合A包含另一个集合B时就形成了包含关系，即A⊂B。
如果A=B，则称两个集合相等。
此外，如果A⊂B，而B⊂A，则A=B。
2、相等关系(Equality Relationship)，当两个集合的元素完全相同时，则这两个集合就成为相等关系。
即A=B。
3、并集关系(Union Relationship)，当两个集合中的元素都可以找到时，则称两个集合形成并集关系，即A∪B。
4、交集关系(Intersection Relationship)，当两个集合中的元素都具有相同的特征时，则称两个集合形成交集关系，即A∩B。
上述四种关系是集合间关系的基本形式，但实际上，集合间的关系可以根据不同情况而发生变化。
例如，可以把集合A看作是集合B的子集，此时A⊆B，也就是A的元素都可以在B中找到。
也可以把集合A看作是集合B的超集，此时A⊇B，也就是B的元素都可以在A中找到。
此外，集合间的关系还可以根据不同的集合进行划分，例如有序集合、无序集合、离散集合、连续集合等。
最后，除了上述四种基本关系外，还有一些更复杂的关系，如偏序关系、拓扑关系、伴随关系、概率关系等。
它们可以用来描述两个或多个集合之间的更复杂的关系。
综上所述，集合间的关系可以用来描述不同集合之间的相互影响，或者说集合间的特征性质的抽象概念。
它可以有四种基本关系：包含关系、相等关系、并集关系和交集关系。
此外，还有一些更复杂的关系，如偏序关系、拓扑关系、伴随关系、概率关系等。
集合间的基本关系ppt课件
变式训练1 (1)若{1,2,3}⫋A⊆{1,2,3,4,5},则满足条件的集合A的个数为
( B )
A.2
B.3
C.4D.5解析 满足 Nhomakorabea件的集合A有{1,2,3,4},{1,2,3,5}和{1,2,3,4,5},共3个.
(2)已知集合A⫋{1,2,3},且A中至少含有一个奇数,则满足条件的集合A的个
别为{1},{2}.
思考辨析
1.{0},⌀之间有什么区别与联系?
提示 {0}是含有一个元素0的集合,⌀是不含任何元素的集合,因此⌀⊆{0}.
2.若一个集合只有一个子集,则这个集合有什么特征?
提示 一个集合只有一个子集,则这个集合是空集.
自主诊断
1.下列集合中为空集的是( C )
A.{0}
B.{⌀}
(3)集合A的非空子集的个数为2n-1;
(4)集合A的非空真子集的个数为2n-2.
例如,集合{1,2}的元素个数为2,其子集个数为22=4,子集分别为⌀,{1},{2},
{1,2};真子集个数为22-1=3,真子集分别为⌀,{1},{2};非空子集个数为22-1=
3,非空子集分别为{1},{2},{1,2};非空真子集个数为22-2=2,非空真子集分
【例1】 (1)[2024河南统考模拟预测]已知集合A={x∈N|-2<x<3},则集合A
的所有非空真子集的个数是( D )
A.6
B.7
C.14
D.15
解析 因为A={x∈N|-2<x<3}={0,1,2},所以集合A中的元素个数为3,因此集
合A的所有非空真子集的个数是23-2=6.故选A.
(2)已知集合M满足{2,3}⊆M⊆{1,2,3,4,5},那么这样的集合M的个数为( C )
3、集合之间的关系
集合间的基本关系1.子集： 对于两个集合,A B ，如果集合A 中的任意一个元素都是集合B 的元素，我们就说集合A 为 集合B 的子集，记作A B ⊆（或B A ⊇），读作 “A 包含于B ”（或“B 包含A ”）.规定：∅是任意集合的子集.A ⊇B 或B ⊆A ．B 可能有三种情况，B= Ø，A =B ，B ≠⊂A ．不可漏掉空集和自身！如果：A ⊇B ，B ⊇C ，有：A ⊇C ．集合具有包含传递性．2.真子集：如果集合A B ⊆，但存在元素x B ∈，但x A ∉，我们称集合A 是集合B 的真子集，记作AB （或B A ）.∅是任意非空集合的真子集. 3.相等：如果集合A 是集合B 的子集（A B ⊆），且集合B 是集合A 的子集（B A ⊇），此时，集合A与集合中的元素是一样的，我们说集合A 与集合B 相等，记作A =B .4.Venn 图：在数学上，我们经常用平面上封闭的曲线的内部表示集合，这种图称为Veen 图。
5.空集：Ø．注意，空集是集合，不是元素，不能和0元素混淆．空集是任何非空集合的真子集．所以有些集合，在无解或无意义时，满足空集的条件！6.记住以下结论：①有n 个元素的集合有n2个子集． ②有n 个元素的集合有n 2-1个真子集． 知识要点集合之间的关系③有n 个元素的集合有n2-1个非空子集． ④ 有n 个元素的集合有n 2-2个非空真子集． 集合的基本运算1. 并集：一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，称为集合A 与B 的并集， 记作A B （读作“A 并B ”），即{|,A B x x A =∈ 或}x B ∈．（1）包含全部A 、B 的元素，但不能重复．（2）部分元素属于A ，部分元素属于B ，也有同属于A 、B 的．（3）并集运算：A ∪B=B ∪A ；A ∪A=A ；A ∪Ø =A；若A ⊇B ，A ∪B=A ；若A ∪B=A ，A ⊇B ；A ∪B ⊇A ．2. 交集：一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，称为A 与B 的交集，记作A B （读作“A 交B ”），即{|,A B x x A =∈ 且}x B ∈．如果没有元素满足条件，则A ∩B= Ø．3. 全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U ．4.补集：对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，记作A 。
集合间的关系
已知集合 A＝{m，m＋d，m＋2d}，B＝{m，mq，mq2}，其中 m≠0，且 A＝ B，求 q 的值．
小试牛刀
练习5：
已知集合 A＝{m，m＋d，m＋2d}，B＝{m，mq，mq2}，其中 m≠0，且 A＝
B，求 q 的值．
[解] 由 A＝B 可知，
m＋d＝mq，
m＋d＝mq2，
(1)
已知集合 A＝{x|x2＋(a＋2)x＋1＝0，x∈R}，B＝{x|x>0，x∈R}，若 A∩B＝Ø， 则 a 的取值范围是__________．
典例探究
例5：已知集合 A＝{x|x2＋(a＋2)x＋1＝0，x∈R}，B＝{x|x>0，x∈R}，若 A∩B＝Ø，
则 a 的取值范围是__________．
[答案] (－∞，－2]
典例探究
例4：
已知集合 A＝{t2＋s2|t，s∈Z}，且 x∈A，y∈A，则下列结论正确的是( )
A．x＋y∈A
B．x－y∈A
C．xy∈A
x D． ∈A
y
典例探究
例4：
已知集合 A＝{t2＋s2|t，s∈Z}，且 x∈A，y∈A，则下列结论正确的是( )
A．x＋y∈A
B．x－y∈A
x
又 ∉ A，故 D“ ∈A”不成立．故选 C.
2
y
[答案] C
小试牛刀
练习4：
已知集合 A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若 B⊆A，则实数 m 的 取值范围是________．
小试牛刀
练习4：已知集合 A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若 B⊆A，则实数 m 的
此时集合 A 中有重复元素 3，
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即 p(x) q(x)
解：（）因为 1 x是12的约数 x是36的约数 所以A B （2）因为x>5 x>3 所以B A （3）因为x是矩形 x是有一个角为直角的平行四边形 所以A=B
总结：
本节主要包容：子集和真子 集的概念，两个集合相等， 集合的关系与其特征性质之 间的关系 作业: P13练习A组： 2，3，4.
那么
QR
由此可见，我们可以通过两个集合之间 的关系来判断他们的特征性质之间的关 系，或用集合特征性质之间的关系判断 集合之间的关系
一般地，设A={x|p(x)},B={x|q(x)}.如果A B,则 xA xB 于是x具有性质p(x) x具有性质q(x)
例3 判断下列集合A与B的关系： (1)A={x|x是12的约数}，B={x|x是36的约数} “ ”的意义 反之，如果p(x) q(x)，则A一定是B的子集 （2）A={x|x>3}, B={x|x>5} (3)A ={x|x是矩形}，B={x|x是有一个角为直角的平行四边形}
A B
思考:如果 A B ，且 集合C的关系如何？
BC ，则集合A与
AC
B ，则集合 C A与集
思考:如果 A ，且 B 合C的关系如何？
例1 写出 集合A = {1, 2,3} 的所有子集和真 子集.
分析：如何一个不漏地写出集合A的所有子集？ 按照子集中所含元素个数多少顺序来写， 不要忘记空集和 集合A本身
解：集合A的所有子集是： ， {1}{2}{3}{1 ， ， ，，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}
在上述子集中，除去集合A本身，即{1，2，3}， 剩下的都是A的真子集.
（二）集合的相等
考察下列各组集合： A {x | 3 x 3, x Z }与 B {2, 1,0,1, 2,3} ； （1） 2 A {x | x x 2 0} 与 B {1, 2} ； （2） A {x | ( x 1)( x 2) 0, x R} （3） 与 B {1, 2} . 思考1:上述各组集合中，集合A与集合B之 间的关系如何？ 相等 思考2:上述各组集合中，集合A是集合B的子 集吗？集合B是集合A的子集吗？
问题提出
1.集合有哪两种表示方法？
列举法，描述法
2.元素与集合有哪几种关系？
属于、不属于
3.集合与集合之间又存在哪些关系？
（一）子集
考察下列各组集合： A={1，3}， B={1，3，5，6}； C={x|x是长方形} D={x|x是平行四边形} P={x|x是菱形} Q={x|x是正方形} 思考:上述各组集合中，集合A中的元素与集 合B中的元素、集合C中的元素与集合D中的 元素、集合P中的元素与集合Q中的元果集合A中的每一个元素都是集合 B的元素，反过来，集合B中的每一个元素都 是集合集合A的元素，那么我们就说集合A等 于集合B，记作 A=B
由相等的定义： A=B A B且B A
例2 说出下列每对集合之间的关系：
（1）A={1，2，3，4，5}，B={1，3，5}
（2）P={x|x 2 =1}, Q={x| x 1} (3)C {x | x是奇数}，D {x | x是整数}
（三）集合关系与其特征关系之间的关系
已知Ｑ＝｛x|x是有理数}，R ={x|x是实数} 由Q R可知 “ｘ是有理数 ｘ实数”是真命题 反之，如果 “ｘ是有理数 ｘ实数”是真命题
任意一个集合都是它本身的子集，即
AA
规定：空集是任意一个集合的子集
A
如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一 个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子 集，记作
读作“A真包含于B”或“B包含 A” 如:引例中的集合A是集合B的子集，同 时集合A也是集合B的真子集．
我们经常用平面上封闭曲线的内部代表 集合，这种图称为维恩（venn）图，那么， 集合A是集合B的子集用图形如何表示？
A中的元素都是B 的元素， C中的元素都 是D的元素，P中的元素不都是Q 的元素
子集：一般地，如果集合A中任意一
个元素都是集合B的元素，那么集合A叫集合 B的子集. 记作： A B （或 B A），读作：“A包含于B” （或“B包含A”）
如果集合P中存在着不是集合Q的元素，那 么集合P 不包含于Q，或Q不包含P.分别记 作