向量组的线性相关性与线性方程组的解的结构
同济大学线性代数教案第三章向量空间与线性方程组解的结构
线性代数教学教案第三章 向量组及其线性组合授课序号01,n a 组成的有序数组称为2n a ⎪⎪⎪⎭维向量写成),,n a个分量，其中T,…来表示,n a 是复数时，维复向量，当12,,,n a a a 是实数时，本书所讨论的向量都是实向量0⎪⎪⎪⎭或()0,0,,00=.2n a ⎪⎪⎪⎭称为向量2n a ⎪⎪⎪⎭的负向量，记为α. 向量的运算：由于向量可看成行矩阵或列矩阵，因此我们可用矩阵的运算来定义向量的运算，也就是：122,n n a a b ⎛⎫⎛⎪ ⎪=⎪ ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭β，k ∈，则有1122n n a b a b a b +⎛⎫ ⎪+ ⎪= ⎪ ⎪+⎝⎭β； （2）2n k ka ⎪⎪⎪⎭α；我们称这两种运算为向量的线性运算)1221122,,n n n n b ba a ab a b a b b ⎛⎫⎪ ⎪=+++ ⎪ ⎪⎝⎭；()111212212221212,,,n n n n n n n n a b a b a b a b a ba b b b b a a b a b a b ⎛⎫⎪⎪ ⎪=⎪ ⎪⎪⎪⎭⎝⎭. 二、向量组及其线性组合：：由若干个维数相同的向量构成的集合，称为向量组． ：给定n 维向量组,,,n ααα，对于任意一组数,,,n k k k ，表达式+n n k k α,n α和一个,n k ，使得++n n k =βα，,,n α线性表示，或者说向量β是向量组,n α的一个线性组合量组12,,,n ααα（唯一）线性表分必要条件是+n n x =α有（唯一）解.三、向量组的等价：由向量组B 线性表示：,,m αα是m ,,s β是s 维向量组成的向量组. 中每一个向量,)s β均可由向量组,m α线性表,s β可由向量组:A 12,,,m ααα线性表示.A 与向量组可以相互线性表示，则称向量组A 与向量组2,,,m αα与向量组:B 2,,,s βββ. 令矩阵),m A α，),s β，则向量组B 可由向量组线性表示的充分必要条件是矩阵方程=B向量组A 与向量组等价的充分必要条件是矩阵方程=BY A四、主要例题：1211222221122n n n n m m mn n ma x a x a x a x a xb +++++=中第()121,2,,i i i mi a ai n a ⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭α，维列向量2m b ⎪⎪⎪⎭， n n x β+=α12122212n n m m mn a a a a a ⎫⎪⎪⎪⎪⎭，将矩阵A 与列向量组和行向量组对应2100010,,,001n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭e e ，将任一向量2n a ⎪⎪⎪⎭由12,,n e e e 线性表示536⎫⎪⎪⎪-⎭及向量组123101,2,11⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭βββ，试问α能否由12,ββ123-⎫⎛⎫⎛⎫授课序号02,m α，如果存在一组不全为零的数,m k ，使得m m k +α，则称向量组,m α线性相关．线性无关：若当且仅当0m k ==时，才有112m m k k k ++=0ααα,m α线性无关.m 个n 维向量构成的向量组12,,,m ααα线性相关的充分必要条件是齐次线性方程组1122m m k k k +++=0ααα有非零解；线性无关的充分必要条件是上述齐次线性方程组只有零解0m k k k ===(,m m α线性相关的充分必要条件是存在某一个向量(1j ≤α2线性相关的充分必要条件是它们的分量对应成比例是向量组A 的部分组线性无关，则其部分组,m α是m 个,m α线性无关，而向量组,,m αβ线性相关，则向量,m α线性表示，且表示式是唯一的如果向量组1,,s ααα可由向量组,t β线性表示，并且s >,s α线性如果向量组12,,,s ααα可由向量组2,,t β线性表示，并且向量组,s α线性无关，则2,,s α与向量组,t β均线性无关，并且这两个向量组等价，则s t =.2322,2⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪α，存在一组不全为零的数20,,,001n ⎪ ⎪ ⎪==⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎭⎝⎭⎝⎭e e ，对任意一组数12120001001n n n n k k k k k k k ⎛⎫⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+=+++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭e ，0n k ==时，才有1122n n k k k +++=0e e e ，所以向量组1,,n e e e 线性无关证明：任一含有零向量的向量组必定线性相关.221,11⎫⎛⎫⎛⎫⎪ =⎪ ⎪ -⎭⎝α，判断向量组12,,αα授课序号03,r α满足条件：）向量组1,,r ααα线性无关；）对于A 中任意的向量β，向量组,,r αβ线性相关，则称向量组12,,r ααα为向量组的一个极大线性无关组，简称极大无关组向量组A 的任意一个极大无关组所含向量的个数，称为这个向量组的秩，记为等价的向量组有相同的秩二、矩阵秩的概念及求法：rB ，则RA B ,n α为列构作矩阵),,n α，对矩阵的阶梯数给出矩阵的秩，从而给出向量组1,,n ααα的秩),n β，,n α与向量组,n β有相同的线性相关性，从而可以根据向量组,n β的极大无关组给出向量组12,,,n ααα的极大无关组，并给出不属于极大无关组的向量由极大无关组线性表示的表示20,,,001n ⎪ ⎪ ⎪==⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎭⎝⎭⎝⎭e e 线性无关，所以该向量组的极大无关组就是它3145,1227⎫⎛⎫⎪ ⎪=⎪ ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭α，向量1α与2α的分量不对应成比例，。
3.向量组的线性相关性与线性方程组的解
3.向量组的线性相关性与线性方程组的解§3.1 线性方程组解的判定1.定理3.1:n 元线性方程组AX=b ，其中A=(a 12a 12a 1n a 21a 22a 2na m1a m2a mn),x=( x 1x 2??x n ) ,b=( b 1b 2??b m )(1)无解的充要条件是R(A)＜R(A,b)；(2)有惟一解的充要条件是R(A)=R(A,b)=n ，(3)有无穷多解的充要条件是R(A)=R(A,b)＜n.注：(1)R(A,b)先化为行阶梯形，判别。
有解时再化为行最简形求解。
(2)R(A)=m 时，AX=b 有解。
(3)R(A)=r 时，有n-r 个自由未知量，未必是后面n-r 个。
2.定理3.2:n 元线性方程组AX=0(1)有惟一解（只有零解）的充要条件是R(A)=n ； (2)有无穷多解(有非零解)充要条件是R(A)＜n .注：(1)m ＜n,AX=0必有非零解。
3.定理3.3:矩阵方程AX=B 有解的充要条件是R(A)=R(A,B) 求解线性方程组例1. {4x 1+2x 2?x 3=23x 1?x 2+2x 3 =1011x 1+3x 2 =8例2. {2x 1+x 2?x 3+x 4 =14x 1+2x 2?2x 3+x 4=22x 1+x 2 ?x 3?x 4 =1例3. 求解齐次线性方程组{3x 1+ 4x 2?5x 3+ 7x 4 =02x 1?3x 2+3x 3? 2x 4 =04x 1+11x 2?13x 3+16x 4=07x 1?2x 2+ x 3+ 3x 4 =0例4.写出一个以X=C 1(2?310)+C 2(?2401)为通解的齐次线性方程组。
例5（每年）.（1）λ取何值时，非齐次线性方程组{ λx 1+x 2+x 3=1x 1+λx 2+x 3=λx 1+x 2+λx 3=λ2（1）有惟一解；（2）无解；（3）有无穷多组解？并在有无穷多组解时求出通解.（2）非齐次线性方程组{x 1+x 2+2x 3=02x 1+x 2+ax 3=13x 1+2x 2+4x 3=b当a,b 取何值时，（1）有惟一解；（2）无解；（3）有无穷多组解？并求出通解.例5(12/13学年).设A=(λ110λ?1011λ), b=(a11),已知Ax=b 存在两个不同的解：(1)求λ,a;(2)求Ax=b 的通解。
《线性代数》教学课件—第4章 向量线性相关 第四节 线性方程组的解的结构
2. 基础解系的求法
设系数矩阵 A 的秩为 r , 并不妨设 A 的前 r 个
列向量线性无关, 于是 A 的行最简形矩阵为
1
0
b11
b1,nr
B
0
0
1 0
br1 0
br,nr
,
0
0
0
0
0
与 B 对应, 即有方程组
x1
b11xr1 b1,nr xn
,
(3)
例 12 求齐次线性方程组
2xx11x52x2
x3 x4 3x3
2
0, x4
0,
7x1 7x2 3x3 x4 0
的基础解系与通解.
解 对系数矩阵 A 作初等行变换, 变为行最
简形矩阵, 有
1
1
1 1
行变换
1
0
2 7 5
3
7 4
例 13 设 Am×nBn×l = O，证明
xr
br1xr1 br,nr xn
,
把 xr+1 , ···, xn 作为自由未知量，并令它们依次 等于 c1 , ···, cn-r ，可得方程组 (1) 的通解
x1
b11
b12
b1,nr
xr
br1
br
2
br
,nr
xr1 c1 1 c2 0 cnr 0 .
把方程 Ax = 0 的全体解所组成的集合记作 S ,
如果能求得解集 S 的一个最大无关组 S0 : 1 , 2 , ···, t，那么方程 Ax = 0 的任一解都可由最大无关
组 S0 线性表示；另一方面，由上述性质 1、2 可 知，最大无关组 S0 的任何线性组合
线性方程组解的结构
xr
1
br 1 1
0
xr
2
br 2 0
1
L
xn
br ,nr 0
0
(4)
M
xn
M
0
M
0
M
1
令(4)为 k11 k22 L knr nr
(5)
易知：1,2 ,L ,nr 为齐次线性方程组(1)的一个
基础解系,(5)为方程组 Ax 0的通解.
x1 6 x2 4 x3 x4 4 x5 0
- 1 2 3
- 7 2 1
1
4 1
，
2
4 0
；
0
2
基础解系：
0
1
二、非齐次线性方程组解的性质
非齐次线性方程组
Ax b. (1)
与非齐次方程组 Ax b 对应的齐次方程组 Ax 0 称为该非齐次方程组的导出组.
（２）当 1时，方程组的矩阵为
1 2 2 1 0 0
A
2 3
1 1
1 1
:
0 0
1 0
1 0
所以 R A 2
k1, k2 , , ks ,有k11 k22 kss 也是 Ax 的0解.
齐次线性方程组基础解系的求法
若Ａ的秩为ｒ，则(1)的全部解不妨写成:
x1 b11 xr1 b12 xr2 L b1,nr xn
x2
b21 xr1 b22 xr2 L
b2,nr xn
M
xr
br1 xr1 br 2 xr2 L
br ,nr xn
xr1 xr1
（３）
xr
2
xr2
M
xn
xn
其中 xr1, xr2 ,L , xn 是任意实数.
线性方程组解的结构(1)
0
0
0
0
相应的同解方程组为：
相应的同解方程组为：
x1 x3
x2
4x5 x5
x 4 0
令自由未知量
x2 x5
1 0
,
0 1
,
得基础解系
1
4
1
0
0 , 1 ,
1
0
2 0
0
1
所以, 通解为＝ c11c22c1,c2R.
※ ※ 一般常用齐次线性方程组 AX=0 的基础解 系所含向量个数 n－r(A) 与系数矩A的秩的关系 证明矩阵的秩。
4 0 0
0
,
4
,
0
0 0 4
x1
9 4
x3
3 4
x4
1 4
x5
x2
3 4
x3
7 4
x4
5 4
x5
9
3
1
3
7
5
得基础系： 4 , 0 , 0
1
0
2
4
3
0
0
0
4
※ 求基础解系的两种方法: (1) 求出通解后写成向量形式找出基础解系; (2) 分别取自由变量为一组线性无关的向量,
其中 xr1,xr2, ,xn是自由未知量，分别取
xr1 1 0 0
x
r2
0
,
1
,
,
0
xn
0
0
1
得到方程组AX=0的 n r 个解：
n－r个 n－r维 向量。
b1r 1
b
2
r
1
b1r 2
b
2
r
2
第4章 向量组的线性相关性 20100425 0845
α, 2 , α 1α s
若向量组(B)中每一向量都可以由向量组 (A)线性表示，则称向量组(B)可由向量 组(A)线性表示。 若向量组(A)与向量组(B)可以互相线性 表示，则称这两个向量组等价.
4-13
把向量组A和B依次记为A=(a1,a2,…,as), B=(b1,b2,…,bt)，B由A表示的线性式中 的系数构成矩阵K，则有 (b1,b2,…,bt)=(a1,a2,…,as)K 其中
例4 讨论n维单位向量组的线性相关性
1 (1,0,0), 2 (0,1,0,0),, n (0,0,,0,1)
4-15
由上章定理6，立即可得： 定理2 向量组B ：b1,b2,…,bt能由向量组 A：a1,a2,…,as线性表示的充分必要条件 是：R(A)=R(A,B) 推论 向量组B ：b1,b2,…,bt与向量组A： a1,a2,…,as等价的充分必要条件是： R(A)=R(B) =R(A,B)
4-16
4-2
一般的线性方程组可写成常数列向量与 系数列向量有如下的线性关系:
x11 x2 2 xnn
称为方程组的向量形式。其中
a1 j b1 a b 2 j ( j 1, 2, , n), = 2 j a mj bm
4-20
向量的线性表示、矩阵、线性方程 组之间的关系： 向量组B:b1,…,bl能由向量组A:a1,…,am 线 性表示存在矩阵K，使得AK=B 矩阵方程AX=B有解
4-21
第二节 向量组的线性相关
4 定义5：对于向量组1 , 2 s，如果存在一组
不全为零的数，使关系式
k11 k22 kss 0
空间向量基本定理推论
空间向量基本定理推论空间向量基本定理是线性代数中的重要定理之一，它描述了向量空间中的向量组的线性相关性与线性无关性的关系。
根据空间向量基本定理，我们可以得出一些重要的推论，这些推论对于解决线性代数中的问题具有重要的意义。
本文将围绕空间向量基本定理推论展开讨论。
一、线性相关与线性无关的判断根据空间向量基本定理，一个向量组线性相关的充分必要条件是存在其中一个向量，可以由其他向量线性表示出来。
因此，当我们判断一个向量组是否线性相关时，只需要找到其中一个向量，看是否可以由其他向量线性表示即可。
如果存在这样的向量，那么向量组线性相关；反之，如果不存在这样的向量，那么向量组线性无关。
二、线性相关向量组与线性方程组的联系根据空间向量基本定理，一个向量组线性相关等价于对应的齐次线性方程组有非零解。
这是因为线性相关的向量组可以表示为一个线性组合，将其转化为线性方程组即可得到非零解。
反之，如果一个向量组线性无关，那么对应的齐次线性方程组只有零解。
三、线性相关向量组的极大线性无关子组根据空间向量基本定理，一个向量组的极大线性无关子组是指向量组中的子集，它既是线性无关的，又不能再添加任何一个向量使其线性无关。
在一个向量组中，找到极大线性无关子组对于研究向量组的性质非常有帮助。
我们可以通过高斯消元法或矩阵的行列式来确定一个向量组的极大线性无关子组。
四、向量组的秩与线性无关向量组的个数根据空间向量基本定理，向量组的秩等于它的极大线性无关子组中向量的个数。
这意味着，在一个向量组中，极大线性无关子组的向量个数是向量组的一个重要特征。
通过计算向量组的秩，我们可以确定极大线性无关子组的向量个数，从而进一步研究向量组的性质。
五、线性方程组的解的结构根据空间向量基本定理，线性方程组的解可以分为两个部分：特解和齐次解。
特解是线性方程组的一个解，而齐次解是线性方程组的齐次方程的解。
通过求解线性方程组，我们可以得到特解和齐次解的表达式，进而得到线性方程组的所有解的结构。
chapter4向量组及其线性组合
向量组 若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）组成的集合
如 a11
A
a21
a12 a22
a1n a2Βιβλιοθήκη nam1am2
amn
a11 a12 a1n
A
a21
a22
a2
n
am1
am2
amn
m个n维列向量所组成的向量组1 , 2 , , m ,
构成一个n m矩阵,记为
例1 设a1(1 1 2 2)T a2(1 2 1 3)T a3(1 1 4 0)T b(1 0 3 1)T 证明向量b能由向量组a1 a2 a3线性表示 并求 出表示式
解 设A(a1 a2 a3) B(A b) (a1 a2 a3 b) 因为
所以R(A)R(B) 因此向量b能 由向量组a1 a2 a3线性表示
2、n 维向量的表示方法
n 维向量写成一列，称为列向量，也就是列 矩阵，通常用 等表示，如：
n 维向量写成一行，称为行向量，也就是行 矩阵，通常用 等表示，如：
注意
1. 当没有明确说明是行向量还是列向量时， 都当作列向量.
2. 行向量和列向量总被看作是两个不同的向 量； 3. 行向量和列向量都按照矩阵的运算法则进行
向量组a1 a2 an线性无关R(a1 a2 an)n
例2 已知 a1(1 1 1)T a2(0 2 5)T a3(2 4 7)T
试讨论向量组a1 a2 a3及向量组a1 a2的线性相关性 解 对矩阵(a1 a2 a3)施行初等行变换变成行阶梯形矩阵
提示 对矩阵(a1 a2 a3)施行初等行变换变成行阶梯形矩阵 即
2 1 0 0
那么
b
3
2
0
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注：设n维向量 a1 a2 an T , b1 b2 bn T
的对应分量相等，即
ai bi (i 1, 2, , n)
称这两个量是相等的，即
注：1 与 要么都是行向量，要么都是列向量。 2 与 的分量个数应相同。
，， Rn , k, l R
2. 对于任一向量组,不是线性无关就是线性相关.
3.对 于 含 有 两 个 向 量 的 向量 组, 它 线 性 相 关 的 充 要 条 件
是 两 向 量 的 分 量 对 应 成比 例 ， 几 何 意 义 是 两 向量 共 线 ；
三 个 向 量 相 关 的 几 何 意义 是 三 向 量 共 面.
例5.一个零向量形成的向量组是线性相关的， 一个非零向量 a 0 是线性无关的.
证 设有x1, x2 , x3使 x1b1 x2b2 x3b3 0
即 x（1 1 2） x2 ( 2 3 ) x3 ( 3 1 ) 0,
亦即（ x1 x3 )1 ( x1 x2 ) 2 ( x2 x3 ) 3 0,
a
a2
an
称 为n维 向 量 ， 这n个 数 称 为 该 向 量 的n个 分 量 ，
第i个 数ai称 为 第i个 分 量.
分量全为实数的向量称为实向量，
分量全为复数的向量称为复向量.
n 维向量写成一列，称为列向量，也就是列
矩阵，通常用 a,b, , 等表示，如：
a1
a
a2
an
n 维向量写成一行，称为行向量，也就是行
矩阵，通常用 aT ,bT , T , T 等表示，如：
aT (a1 ,a2 , ,an )
若干个同维数的列向量（或同维数的行向量） 所组成的集合叫做向量组．
例如
矩阵A a1
(a a2
ij
) mn
有n个m维列向量
aj
an
a11 a12 a1 j a1n
a, b, c是线性无关的.
例8 n 维向量组
1 1,0, ,0T ,2 0,1, ,0T , ，n 0,0, ,1T
称为n维单位坐标向量组,讨论其线性相关性 .
解 设 11 22 nn 0
1 0
0 0
则
0
2
0
Байду номын сангаас
0
0 0
n 0
1 0
1
T i
am1
am2
amn
T m
向量组
T 1
,
T 2
,
…，
T m
称为矩阵A的行向量组．
n维0向量： （0，0， ，0）T
注：维数不同的零向量是不同的向量
I n阶单位矩阵 的n个列向量分别记为： n
1
0
e
0 , e
1
1 2
0
0
称为n维基本向量
0
e n 0
1
二、向量的线性运算
例6.含有零向量的向量组必线性相关.
例7.讨论向量组a
1 1,
1 b 2,
1 c 0
1
1
0
解
的线性相关性.
设 1a 2b 3c 0
1 2 3 0
即
1 22 0
1 2 0
11 1
系数行列式 D 1 2 0 1 0
11 0
方程组只有零解 1 2 3 0所以,向量组
即线性方程组
有解.
x11 x2 2 xm m b
定义3 给定向量组A :1,2 , ,m ,如果存在不
全为零的数k1, k2 , , km使 k11 k22 kmm 0
则称向量组 A是线性相关的，否则称它线性无关．
注意 1. 若 1,2 ,
,
线
n
性
无
关,
则
只
有
当
1 n 0时, 才有 11 22 nn 0成立 .
设 (a1 , a2 , , an )T , (b1 , b2 , , bn )T 是n维 实 向 量 ， k是实数域中的一个数，则向量的加法 和 数 乘 向 量k分 别 定 义
(a1 b1 , a2 b2 , , an bn )T k (ka1 , ka2 , , kan )T
a21 x1 a22 x2 a2n xn b2 ,
am1 x1 am2 x2 amn xn bm .
1 x1 2 x2 n xn
方程组是否有解转变为能否找到一组数 x1, x2 ,L xn
使 1 x1 2 x2 n xn 成立。
定义
给定向量组A :1,2 ,
0
n 0
所以，1 2 n 0 即单位坐标向量组1,2, ,n线性无关.
结论 向量组A线性相关就是齐次线性方程组
x11 x2 2 xmm 0,即 Ax 0 有非零解. 其中A (1,2 , m ).
例10 已知向量组1,2,3 线性无关 ,b1 1 2,
b2 2 3,b3 3 1, 试证b1,b2,b3线性无关 .
,
，对于任何一
m
2组实数k1，k2， , km，向量
k11 k2 2 km m
称为向量组的一个线性组合 ，k1，k2， , km称为这
个线性组合的系数.
给定向量组A : 1 , 2 , , m和向量b,如果存在
一组数1，2， ,m，使 b 1 1 2 2 m m
则向量b是向量组A的线性组合，这时称向量 b 能 由向量组 A 线性表示．
A
a21
a22 a2 j a2n
am1 am2 amj amn
向量组a1, a2 , , an 称为矩阵A的列向量组.
类似地,
矩阵A
(aij
) mn
又有m个n维行向量
a11 a21
a12 a22
a1n a2n
T 1
T 2
A ai1 ai2
ain
1
2
3 0 0
0 0, 0,L 0T 是零向量
4 Rn存在 Rn，使 0
5 k k k
6 k l k l
7 1
三、线性组合及相关性
线性方程组的向量表示：
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1,
第四章 向量组的线性相关性与
线性方程组的解的结构
第一节 n维向量的线性相关性 第二节 向量组的秩 第三节 线性方程组解的结构
第一节 n维向量的线性相关性
一、n维向量的概念
定义1
组
n 个 有 次 序 的 数a1 , a2 , , an 所 组 成 的 数
a (a1, a2 , , an )
a1