2019-2020学年北京市101中学高一(上)期中数学试卷试题及答案(PDF版 含答案)
奇函数，
f (x) f (x) ， g(x) f (x) x ，
g(x) f (x) x ，
g(x) f (x) x f (x) x g(x) ， 对于任意的 x ， y R ，有 | f (x) f ( y) || x y | ，
g(2x x2 ) g(x 2) 0 的解集是 ( )
A． ( ，1) (2 ， ) C． ( ， 1](2, )
B． (1, 2) D． (1, 2)
二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分．
9．已知 x1 ， x2 是方程 x2 2x 5 0 的两根，则 x12 2x1 x1x2 的值为
2．“ x 2 ”是“ x2 4 ”的 ( )
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
3．下列函数中，在区间 (1, ) 上为增函数的是 ( )
A． y 3x 1
B． y 2 x
C． y x2 4x 5 D． y | x 1| 2
f （1） g （1）的值等于 ．
13．若函数 f (x) x2 2x 1在区间 [a ，a 2] 上的最小值为 4，则实数 a 的取值集合为 ．
14．已知函数
f
(x)
x | x x, x
| 2x, x a a
（1）若 a 0 ，则函数 f (x) 的零点有
g(2x x2 ) g(x 2) 0 的解集是 ( )
A． ( ，1) (2 ， ) C． ( ， 1](2, )
B． (1, 2) D． (1, 2)
【解答】解：由函数 f (x 1) 的对称中心是 (1, 0) ，可得 f (x) 的图象关于 (0,0) 对称即 f (x) 为
由函数 f (x) x a (a R) 在区间 (1, 2) 上恰有一个零点，可知 a x2 在 (1, 2) 只有一个零点， x
当 x (1, 2) 时， y x2 (4, 1) ，
4 a 1 ，结合选项可知， A 符合题意．
故选： A ．
7．已知函数
联立①②③解得， 0 a2 ．
故选： B ．
8．设函数 f (x) 在 (, ) 上有意义，且对于任意的 x ， y R ，有 | f (x) f ( y) || x y | 并
-5-
且 函 数 f (x 1) 的 对 称 中 心 是 (1, 0) ， 若 函 数 g(x) f (x) x ， 则 不 等 式
(
)
A． (0, 2)
B． (0 ， 2]
C． (0,3)
D． (0 ， 3]
8．设函数 f (x) 在 (, ) 上有意义，且对于任意的 x ， y R ，有 | f (x) f ( y) || x y | 并
且 函 数 f (x 1) 的 对 称 中 心 是 (1, 0) ， 若 函 数 g(x) f (x) x ， 则 不 等 式
g(2x x2 ) g(x 2) g(2 x) ， 2x x2 2 x ， 整理可得， x2 3x 2 0 ， 解可得， x 2 或 x 1 ， 故选： A ． 二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分． 9．已知 x1 ， x2 是方程 x2 2x 5 0 的两根，则 x12 2x1 x1x2 的值为 0 ． 【解答】解： x1 ， x2 是方程 x2 2x 5 0 的两根， 则 x12 2x1 5 0 ， x1x2 5 ．
2019-2020 学年北京市 101 中学高一（上）期中数学试卷
一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项．
1．方程 x2 5x 6 0 的解集为 ( )
A．{6 ，1}
B．{2 ， 3}
C．{1 ， 6}
D．{2 ， 3}
4．已知 f (x) 是定义在 R 上的奇函数，且当 x 0 时， f (x) x2 ，则 f ( 1 ) (
)
2
A． 1 4
B． 1 4
C． 9 4
D． 9 4
5．设函数 f (x) 4x 1 1(x 0) ，则 f (x)(
)
x
A．有最大值 3
B．有最小值 3
．
-1-
10 ． 已 知 方 程 ax2 bx 1 0 的 两 个 根 分 别 为 1 ， 3 ， 则 不 等 式 ax2 bx 1 0 的 解 集 4
为 ．（结果用区间表示） 11．命题“ x 0 ， x2 2x 3 0 ”的否定是 ． 12．已知 f (x) ， g(x) 分别是定义在 R 上的偶函数和奇函数，且 f (x) g(x) x3 x2 2 ，则
x
x
x
当且仅当 4x 1 ，即 x 1 时上式取“ ”．
x
2
f (x) 有最大值为 5 ．
故选： D ．
6．若函数 f (x) x a (a R) 在区间 (1, 2) 上恰有一个零点，则 a 的值可以是 (
)
x
A． 2
B．0
C． 1
D．3
【解答】解：由 f (x) x a 0 可得， a x2 ， x
个；
（2）若 f (x)f （1）对任意的实数 x 都成立，则实数 a 的取值范围是
．
三、解答题共 5 题，共 50 分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
15．设集合 A {x2 ， x 1} ， B {x 5 ，1 x ， 9} ．
（1）若 x 3 ，求 A B ；
19．已知函数 f (x) x2 bx c ，其中 b ， c R ． （Ⅰ）当 f (x) 的图象关于直线 x 1 对称时， b ； （Ⅱ）如果 f (x) 在区间 [1 ，1] 不是单调函数，证明：对任意 x R ，都有 f (x) c 1； （Ⅲ）如果 f (x) 在区间 (0,1) 上有两个不同的零点．求 c2 (1 b)c 的取值范围．
-3-
2019-2020 学年北京市 101 中学高一（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项．
1．方程 x2 5x 6 0 的解集为 ( )
A．{6 ，1}
B．{2 ， 3}
【解答】解： x2 5x 6 0 ， x2 5x 6 0 ， (x 6)(x 1) 0 ，
-6-
x12 2x1 x1x2 5 5 0 ．
故答案为：0．
10．已知方程 ax2 bx 1 0 的两个根分别为 1 ，3，则不等式 ax2 bx 1 0 的解集为 ( 1 ，
4
4
3) ．（结果用区间表示）
【解答】解：由已知方程 ax2 bx 1 0 的两个根分别为 1 ， 3)x
2a x
,
x
1
5,
x1
是
R
上的减函数，则实数
a
的取值范围是
(
)
A． (0, 2)
B． (0 ， 2]
C． (0,3)
D． (0 ， 3]
【解答】解：因为 f (x) 为 R 上的减函数，
所以 x1 时， f (x) 递减，即 a 3 0 ①，
x 1 时， f (x) 递减，即 a 0 ②，且 (a 3) 1 5 2a ③，
又由函数 f (x) 为奇函数，则 f ( 1 ) f (1 ) 1 ；
2
24
故选： A ．
5．设函数 f (x) 4x 1 1(x 0) ，则 f (x)(
)
x
A．有最大值 3
B．有最小值 3
C．有最小值 5
D．有最大值 5
【解答】解：当 x 0 时， f (x) 4x 1 1 [(4x) 1 ] 1 2 (4x) 1 1 5 ．
故选： D ．
4．已知 f (x) 是定义在 R 上的奇函数，且当 x 0 时， f (x) x2 ，则 f ( 1 ) (
)
2
-4-
A． 1 4
B． 1 4
C． 9 4
D． 9 4
【解答】解：根据题意， f (x) 满足 x 0 时， f (x) x2 ，则 f (1 ) (1 )2 1 ， 22 4
x 6 或 1，
C．{1 ， 6}
D．{2 ， 3}
方程 x2 5x 6 0 的解集为{6 ，1} ．
故选： A ． 2．“ x 2 ”是“ x2 4 ”的 ( )
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【解答】解：由 x2 4 ，解得 x 2 ，或 x 2 ．
C．有最小值 5
D．有最大值 5
6．若函数 f (x) x a (a R) 在区间 (1, 2) 上恰有一个零点，则 a 的值可以是 (
)
x
A． 2
B．0
C． 1
D．3
7．已知函数
f
(x)
(a 3)x
2a x
,
x
1
5,
x1
是
R
上的减函数，则实数
a
的取值范围是
“ x 2 ”是“ x2 4 ”的充分不必要条件．
北京101中2019-2020学年高一上学期期中考试数学试卷Word版含解析
北京101中2019-2020学年高一上学期期中考试数学试卷一、选择题：本大题共8小题，共40分．1．下列四个选项表示的集合中，有一个集合不同于另三个集合，这个集合是（）A．{x|x=0} B．{a|a2=0} C．{a=0} D．{0}2．函数y=f（x）的定义域为[1，5]，则函数y=f（2x﹣1）的定义域是（）A．[1，5] B．[2，10] C．[1，9] D．[1，3]3．下列四组函数，表示同一函数的是（）A．f（x）=，g（x）=xB．f（x）=x，g（x）=C．f（x）=，g（x）=D．（x）=|x+1|，g（x）=4．如图是函数y=f（x）的图象，f（f（2））的值为（）A．3 B．4 C．5 D．65．已知函数f（x）=3x+x﹣5，用二分法求方程3x+x﹣5=0在x∈（0，2）内近似解的过程中，取区间中点=1，那么下一个有根区间为（）xA．（0，1）B．（1，2）C．（1，2）或（0，1）都可以D．不能确定6．函数f（x）=4x2﹣ax﹣8在区间（4，+∞）上是增函数，则实数a的取值范围是（）A．a≤32 B．a≥32 C．a≥16 D．a≤167．已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，，则f（﹣1）=（）A．﹣2 B．0 C．1 D．28．定义区间（a，b）、[a，b）、（a，b]、[a，b]的长度均为d=b﹣a，用[x]表示不超过x的最大整数，例如[3.2]=3，[﹣2.3]=﹣3．记{x}=x﹣[x]，设f（x）=[x]•{x}，g（x）=x﹣1，若用d表示不等式f（x）＜g （x）解集区间长度，则当0≤x≤3时有（）A．d=1 B．d=2 C．d=3 D．d=4二、填空题：本大题共6小题，共30分．9．若f （2x ）=3x 2+1，则函数f （4）= ．10．求值：2﹣（）+lg +（﹣1）lg1= ．11．设函数y=f （x+2）是奇函数，且x ∈（0，2）时，f （x ）=2x ，则f （3.5）= ．12．函数f （x ）=3x 的值域是 ．13．已知偶函数f （x ）在区间[0，+∞）上单调递增，则满足f （2x ﹣1）＜f （1）的x 的取值范围是 ．14．函数f （x ）的定义域为A ，若x 1，x 2∈A 且f （x 1）=f （x 2）时总有x 1=x 2，则称f （x ） 为单函数．例如，函数f （x ）=2x+1（x ∈R ）是单函数．下列命题：①函数f （x ）=x 2（x ∈R ）是单函数；②若f （x ）为单函数，x 1，x 2∈A 且x 1≠x 2，则f （x 1）≠f （x 2）；③若f ：A →B 为单函数，则对于任意b ∈B ，A 中至多有一个元素与之对应；④函数f （x ）在某区间上具有单调性，则f （x ）一定是单函数．其中正确的是 ．（写出所有正确的编号）三、解答题：本大题共4小题，共50分．15．已知集合A={x|3≤x ＜7}，B={2＜x ＜10}，C={x|5﹣a ＜x ＜a}．（1）求A ∪B ，（∁R A ）∩B ；（2）若C ⊆（A ∪B ），求a 的取值范围．16．已知函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，已知x ≥0时，f （x ）=x 2﹣2x ．（1）画出偶函数f （x ）的图象的草图，并求函数f （x ）的单调递增区间；（2）当直线y=k （k ∈R ）与函数y=f （x ）恰有4个交点时，求k 的取值范围．17．已知g （x ）=﹣x 2﹣3，f （x ）=ax 2+bx+c （a ≠0），函数h （x ）=g （x ）+f （x ）是奇函数．（1）求a ，c 的值；（2）当x ∈[﹣1，2]时，f （x ）的最小值是1，求f （x ）的解析式．18．已知定义在R 上的函数是奇函数（1）求a ，b 的值；（2）判断f （x ）的单调性，并用单调性定义证明；（3）若对任意的t ∈R ，不等式f （t ﹣2t 2）+f （﹣k ）＞0恒成立，求实数k 的取值范围．北京101中2019-2020学年高一上学期期中考试数学试卷参考答案一、选择题：本大题共8小题，共40分．1．下列四个选项表示的集合中，有一个集合不同于另三个集合，这个集合是（）A．{x|x=0} B．{a|a2=0} C．{a=0} D．{0}【考点】集合的表示法．【分析】对于A，B，D的元素都是实数，而C的元素是等式a=0，不是实数，所以选C．【解答】解：通过观察得到：A，B，D中的集合元素都是实数，而C中集合的元素不是实数，是等式a=0；∴C中的集合不同于另外3个集合．故选：C．2．函数y=f（x）的定义域为[1，5]，则函数y=f（2x﹣1）的定义域是（）A．[1，5] B．[2，10] C．[1，9] D．[1，3]【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据y=f（x）的定义域，得出y=f（2x﹣1）中2x﹣1的取值范围，从而求出x的取值范围即可．【解答】解：∵y=f（x）的定义域为[1，5]，∴1≤x≤5，∴1≤2x﹣1≤5，即1≤x≤3，∴y=f（2x﹣1）的定义域是[1，3]．故选：D．3．下列四组函数，表示同一函数的是（）A．f（x）=，g（x）=xB．f（x）=x，g（x）=C．f（x）=，g（x）=D．（x）=|x+1|，g（x）=【考点】判断两个函数是否为同一函数．【分析】观察A选项两者的定义域相同，但是对应法则不同，B选项两个函数的定义域不同，C选项两个函数的定义域不同，这样只有D选项是同一函数．【解答】解：A选项两者的定义域相同，但是f（x）=|x|，对应法则不同，B选项两个函数的定义域不同，f（x）的定义域是R，g（x）的定义域是{x|x≠0}C选项两个函数的定义域不同，f（x）的定义域是（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）g（x）的定义域是（2，+∞）D选项根据绝对值的意义，把函数f（x）整理成g（x），两个函数的三个要素都相同，故选D．4．如图是函数y=f（x）的图象，f（f（2））的值为（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】函数的值．【分析】当0≤x≤3时，根据 y=f（x）=2x求得f（2）=4．当3＜x≤9时，根据f（x）=9﹣x，求得 f（ f （2））=f（4）的值．【解答】解：由图象可得，当0≤x≤3时，y=f（x）=2x，∴f（2）=4．当3＜x≤9时，由 y﹣0=（x﹣9），可得 y=f（x）=9﹣x，故 f（ f（2））=f（4）=9﹣4=5，故选C．5．已知函数f（x）=3x+x﹣5，用二分法求方程3x+x﹣5=0在x∈（0，2）内近似解的过程中，取区间中点=1，那么下一个有根区间为（）xA．（0，1）B．（1，2）C．（1，2）或（0，1）都可以D．不能确定【考点】二分法的定义．【分析】方程的实根就是对应函数f（x）的零点，由 f（2）＞0，f（1）＜0 知，f（x）零点所在的区间为（1，2）．【解答】解：∵f（x）=3x+x﹣5，∴f（1）=3+1﹣5＜0，f（2）=9+2﹣5＞0，∴f（x）零点所在的区间为（1，2）∴方程3x+x﹣5=0有根的区间是（1，2），故选：B．6．函数f（x）=4x2﹣ax﹣8在区间（4，+∞）上是增函数，则实数a的取值范围是（）A．a≤32 B．a≥32 C．a≥16 D．a≤16【考点】二次函数的性质．【分析】先求出函数的对称轴，结合二次函数的性质得到不等式，解出即可．【解答】解：∵f（x）=4x2﹣ax﹣8在区间（4，+∞）上为增函数，∴对称轴x=≤4，解得：a≤32，故选：A．7．已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，，则f（﹣1）=（）A．﹣2 B．0 C．1 D．2【考点】函数的值．【分析】利用奇函数的性质，f（﹣1）=﹣f（1），即可求得答案．【解答】解：∵函数f（x）为奇函数，x＞0时，f（x）=x2+，∴f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2，故选A．8．定义区间（a，b）、[a，b）、（a，b]、[a，b]的长度均为d=b﹣a，用[x]表示不超过x的最大整数，例如[3.2]=3，[﹣2.3]=﹣3．记{x}=x﹣[x]，设f（x）=[x]•{x}，g（x）=x﹣1，若用d表示不等式f（x）＜g （x）解集区间长度，则当0≤x≤3时有（）A．d=1 B．d=2 C．d=3 D．d=4【考点】其他不等式的解法．【分析】先化简f（x）=[x]•{x}=[x]•（x﹣[x]）=[x]x﹣[x]2，再化简f（x）＜（x），再分类讨论：①当x ∈[0，1）时，②当x∈[1，2）时③当x∈[2，3]时，求出f（x）＜g（x）在0≤x≤3时的解集的长度．【解答】解：f（x）=[x]•{x}=[x]•（x﹣[x]）=[x]x﹣[x]2，g（x）=x﹣1f（x）＜g（x）⇒[x]x﹣[x]2＜x﹣1即（[x]﹣1）x＜[x]2﹣1当x∈[0，1）时，[x]=0，上式可化为x＞1，∴x∈∅；当x∈[1，2）时，[x]=1，上式可化为0＞0，∴x∈∅；当x∈[2，3]时，[x]﹣1＞0，上式可化为x＜[x]+1，∴x∈[2，3]；∴f（x）＜g（x）在0≤x≤3时的解集为[2，3]，故d=1，故选：A．二、填空题：本大题共6小题，共30分．9．若f（2x）=3x2+1，则函数f（4）= 13 ．【考点】函数的值．【分析】由2x=4得x=2，代入解析式即可得到结论．【解答】解：∵f（2x）=3x2+1，∴由2x=4得x=2，即f（4）=f（2×2）=3×22+1=12+1=13，故答案为：13．10．求值：2﹣（）+lg+（﹣1）lg1= ﹣3 ．【考点】有理数指数幂的化简求值．【分析】由已知条件利用对数函数、指数函数的性质和运算法则求解．【解答】解：2﹣（）+lg+（﹣1）lg1=﹣[（）3]﹣2+（）0=﹣﹣2+1=﹣3．故答案为：﹣3．11．设函数y=f （x+2）是奇函数，且x ∈（0，2）时，f （x ）=2x ，则f （3.5）= ﹣1 ．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】由x ∈（0，2）时，f （x ）=2x ，可得f （0.5）=1．由于函数y=f （x+2）是奇函数，可得f （﹣x+2）=﹣f （x+2），即可得出．【解答】解：∵x ∈（0，2）时，f （x ）=2x ，∴f （0.5）=1．∵函数y=f （x+2）是奇函数，∴f （﹣x+2）=﹣f （x+2），∴f （3.5）=﹣f （﹣1.5+2）=﹣f （0.5）=﹣1．故答案为：﹣1．12．函数f （x ）=3x 的值域是 [0，+∞） ．【考点】函数的值域．【分析】化分数指数幂为根式，再由x 2≥0求得原函数的值域．【解答】解：f （x ）=3x=， ∵x 2≥0，∴，则函数f （x ）=3x的值域是[0，+∞）． 故答案为：[0，+∞）．13．已知偶函数f （x ）在区间[0，+∞）上单调递增，则满足f （2x ﹣1）＜f （1）的x 的取值范围是 （0，1） ．【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】由f （x ）为偶函数且在[0，+∞）上单调递增，便可由f （2x ﹣1）＜f （1）得出|2x ﹣1|＜1，解该绝对值不等式便可得出x 的取值范围．【解答】解：f （x ）为偶函数；∴由f （2x ﹣1）＜f （1）得，f （|2x ﹣1|）＜f （1）；又f （x ）在[0，+∞）上单调递增；∴|2x ﹣1|＜1；解得0＜x ＜1；∴x 的取值范围是（0，1）．故答案为：（0，1）．14．函数f （x ）的定义域为A ，若x 1，x 2∈A 且f （x 1）=f （x 2）时总有x 1=x 2，则称f （x ） 为单函数．例如，函数f （x ）=2x+1（x ∈R ）是单函数．下列命题：①函数f （x ）=x 2（x ∈R ）是单函数；②若f （x ）为单函数，x 1，x 2∈A 且x 1≠x 2，则f （x 1）≠f （x 2）；③若f ：A →B 为单函数，则对于任意b ∈B ，A 中至多有一个元素与之对应；④函数f （x ）在某区间上具有单调性，则f （x ）一定是单函数．其中正确的是 ②③ ．（写出所有正确的编号）【考点】命题的真假判断与应用；函数的值．【分析】在①中，举出反例得到函数f （x ）=x 2（x ∈R ）不是单函数；在②中，由互为逆否命题的两个命题等价判断正误；在③中，符合唯一的函数值对应唯一的自变量；在④中，在某一区间单调并不一定在定义域内单调．【解答】解：在①中，函数f （x ）=x 2（x ∈R ），由f （﹣1）=f （1），但﹣1≠1，得到函数f （x ）=x 2（x ∈R ）不是单函数，故①错误；在②中，“x 1，x 2∈A 且x 1≠x 2，则f （x 1）≠f （x 2）”的逆否命题是“若x 1，x 2∈A 且f （x 1）=f （x 2）时总有x 1=x 2”．互为逆否命题的两个命题等价．故②的逆否命题为真，故②正确；在③中，符合唯一的函数值对应唯一的自变量，∴若f ：A →B 为单函数，则对于任意b ∈B ，A 中至多有一个元素与之对应，故③正确；在④中，在某一区间单调并不一定在定义域内单调，∴f （x ）不一定是单函数，故④错误．故答案为：②③．三、解答题：本大题共4小题，共50分．15．已知集合A={x|3≤x ＜7}，B={2＜x ＜10}，C={x|5﹣a ＜x ＜a}．（1）求A ∪B ，（∁R A ）∩B ；（2）若C ⊆（A ∪B ），求a 的取值范围．【考点】集合的包含关系判断及应用；交、并、补集的混合运算．【分析】（1）在数轴上表示出集合A ，B ，从而解得；（2）由题意分类讨论，从而求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）∵集合A={x|3≤x ＜7}，B={2＜x ＜10}在数轴上表示可得：故A ∪B={x|2＜x ＜10}，C R A={x|x ＜3，或x ≥7}（C R A ）∩B={2＜x ＜3，或7≤x ＜10}；（2）依题意可知 ①当C=∅时，有5﹣a ≥a ，得；②当C ≠∅时，有，解得；综上所述，所求实数a 的取值范围为（﹣∞，3]．16．已知函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，已知x ≥0时，f （x ）=x 2﹣2x ．（1）画出偶函数f （x ）的图象的草图，并求函数f （x ）的单调递增区间；（2）当直线y=k （k ∈R ）与函数y=f （x ）恰有4个交点时，求k 的取值范围．【考点】二次函数的性质；函数奇偶性的性质．【分析】（1）根据已知条件画出函数f（x）的图象，根据图象即可得到f（x）的单调递增区间；（2）通过图象即可得到k的取值范围．【解答】解：（1）画出f（x）的图象如下图：由图象知，函数f（x）单调递增区间为[﹣1，0]，[1，+∞）；（2）由图象可知，当﹣1＜k＜0时，直线与函数y=f（x）的图象的交点个数为4；∴k的取值范围为（﹣1，0）．17．已知g（x）=﹣x2﹣3，f（x）=ax2+bx+c（a≠0），函数h（x）=g（x）+f（x）是奇函数．（1）求a，c的值；（2）当x∈[﹣1，2]时，f（x）的最小值是1，求f（x）的解析式．【考点】函数奇偶性的性质；函数的最值及其几何意义．【分析】（1）法一：化简h（x）=g（x）+f（x）=（a﹣1）x2+bx+c﹣3，由（a﹣1）x2﹣bx+c﹣3=﹣（a﹣1）x2﹣bx﹣c+3对x∈R恒成立得到，从而求解，法二：化简h（x）=g（x）+f（x）=（a﹣1）x2+bx+c﹣3，由奇函数可得a﹣1=0，c﹣3=0，从而求解；（2）根据二次函数的性质，讨论对称轴所在的位置，从而确定f（x）的最小值在何时取得，从而求f（x）的解析式．【解答】解：（1）（法一）：f（x）+g（x）=（a﹣1）x2+bx+c﹣3，又f（x）+g（x）为奇函数，∴h（x）=﹣h（﹣x），∴（a﹣1）x2﹣bx+c﹣3=﹣（a﹣1）x2﹣bx﹣c+3对x∈R恒成立，∴，解得；（法二）：h（x）=f（x）+g（x）=（a﹣1）x2+bx+c﹣3，∵h（x）为奇函数，∴a﹣1=0，c﹣3=0，∴a=1，c=3．（2）f（x）=x2+bx+3，其图象对称轴为，当，即b≥2时，=f（﹣1）=4﹣b=1，∴b=3；f（x）min当，即﹣4≤b＜2时，，解得或（舍）；当，即b＜﹣4时，=f（2）=7+2b=1，∴b=﹣3（舍），f（x）min∴f（x）=x2+3x+3或∴．18．已知定义在R上的函数是奇函数（1）求a，b的值；（2）判断f（x）的单调性，并用单调性定义证明；（3）若对任意的t∈R，不等式f（t﹣2t2）+f（﹣k）＞0恒成立，求实数k的取值范围．【考点】函数恒成立问题；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的性质．【分析】（1）由f（x）是定义在R上的奇函数，知，故b=1，，，由此能求出a=b=1．（2），f （x ）在R 上是减函数．证明：设x 1，x 2∈R 且x 1＜x 2，=﹣，由此能够证明f （x ）在R 上是减函数．（3）不等式f （t ﹣2t 2）+f （﹣k ）＞0，等价于f （t ﹣2t 2）＞f （k ），由f （x ）是R 上的减函数，知t ﹣2t 2＜k ，由此能求出实数k 的取值范围．【解答】解：（1）∵f （x ）是定义在R 上的奇函数，∴，解得b=1，∴，∴∴a •2x +1=a+2x ，即a （2x ﹣1）=2x ﹣1对一切实数x 都成立，∴a=1，故a=b=1．（2）∵a=b=1，∴，f （x ）在R 上是减函数．证明：设x 1，x 2∈R 且x 1＜x 2则 =﹣， ∵x 1＜x 2，∴，，，∴f （x 1）﹣f （x 2）＞0即f （x 1）＞f （x 2），∴f （x ）在R 上是减函数，（3）∵不等式f （t ﹣2t 2）+f （﹣k ）＞0，∴f （t ﹣2t 2）＞﹣f （﹣k ），∴f （t ﹣2t 2）＞f （k ），∵f （x ）是R 上的减函数，∴t﹣2t2＜k∴对t∈R恒成立，∴．。
2022-2023北京101中学高一(上)期中数学试卷【答案版】
2022-2023学年北京市101中学高一（上）期中数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．设集合A ＝{1，3，5，7}，B ＝{x |（x ﹣2）（x ﹣5）≤0}，则A ∩B ＝（ ） A ．{1，3}B ．{3，5}C ．{5，7}D ．{1，7}2．若实数a 、b 满足a ＞b ＞0，下列不等式中恒成立的是（ ） A ．a +b ＞2√abB ．a +b ＜2√abC ．a2+2b ＞2√abD ．a2+2b ＜2√ab3．已知关于x 的方程x 2﹣6x +k ＝0的两根分别是x 1，x 2，且满足1x 1+1x 2=3，则k 的值是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44．函数f （x ）＝x +2x ，x ∈[1，3]的值域为（ ） A ．[2√2，3]B ．[3，113] C ．[2√2，113] D ．[3，+∞）5．已知f （x ）＝|x |，g （x ）＝x 2，设h （x ）={f(x)，f(x)＞g(x)g(x)，f(x)≤g(x)，函数h （x ）的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知p ：x ≥k ，q ：2−x x+1＜0，如果p 是q 的充分不必要条件，则k 的取值范围是（ ）A ．[2，∞）B ．（2，+∞）C ．[1，+∞）D ．（﹣∞，﹣1]7．已知奇函数f （x ）在（0，+∞）上单调递增，且f （1）＝0，则不等式f(x)−f(−x)x＜0的解集为（ ）A ．（﹣1，0）∪（0，1）B ．（﹣1，0）∪（1，+∞）C ．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D ．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）8．已知函数f （x ）＝mx 2﹣mx ﹣1，对一切实数x ，f （x ）＜0恒成立，则m 的范围为（ ） A ．（﹣4，0）B ．（﹣4，0]C ．（﹣∞，﹣4）∪（0，+∞）D ．（﹣∞，﹣4）∪[0，+∞）9．已知函数f(x)={−x 2−ax −7，x ≤1a x，x ＞1在R 上单调递增，则实数a 的取值范围（ ）A ．[﹣4，0）B ．（﹣∞，﹣2]C ．[﹣4，﹣2]D ．（﹣∞，0）10．设f （x ）是定义在R 上的函数，若存在两个不等实数x 1，x 2∈R ，使得f(x 1+x 22)=f(x 1)+f(x 2)2，则称函数f （x ）在R 上具有性质P ，那么，下列函数：①f （x ）＝2x ；②f （x ）={1x，x ≠00，x =0；③f （x ）＝x 2；④f （x ）＝|x 2﹣1|．具有性质P 的函数的个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
【精品高一数学试卷】2019-2020高一(上)期中数学+答案
2019-2020学年北京市高一（上）期中数学试卷一、选择题（每题5分，共40分）1．（5分）已知集合A＝{x|x2＞1}，a∈A，则a的值可以为（）A．﹣2B．1C．0D．﹣12．（5分）已知命题p：∃x∈Q，x2﹣3＝0，则￢p为（）A．∃x∈Q，x2﹣3≠0B．∃x∉Q，x2﹣3＝0C．∀x∈Q，x2﹣3≠0D．∀x∉Q，x2﹣3＝03．（5分）函数y＝x2（﹣2≤x≤3）的值域为（）A．[4，9]B．[0，9]C．[0，4]D．[0，+∞）4．（5分）已知集合A＝{1，2}，B＝[m，+∞），若A⊆B，则实数m的取值范围为（）A．[2，+∞）B．[1，+∞）C．（﹣∞，2]D．（﹣∞，1] 5．（5分）已知a＜b＜0，则下列不等式正确的是（）A．2a＞a+b B．a+b＞b C．a2＞ab D．b2＞ab6．（5分）“x＞1”是“1x＜1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）已知集合A＝{1，2，3，4，5，6}，T＝{x|x=ba，a，b∈A，a＞b}，则集合T中元素的个数为（）A．9B．10C．11D．128．（5分）若函数f（x）的定义域为D，对于任意的x1，x2∈D，x1≠x2，都有|f(x1)−f(x2)x1−x2|≥1，称函数f（x）满足性质ψ，有下列四个函数①f（x）=1x，x∈（0，1）；②g（x）=√x；③h（x）＝x2（x≤﹣1）；④k（x）=11+x2其中满足性质ψ的所有函数的序号为（）A．①②③B．①③C．③④D．①②二、填空题（每题5分，共30分）9．（5分）已知a，b，c，d为互不相等的实数，若|a﹣c|＝|b﹣c|＝|d﹣b|＝1，则|a﹣d|＝．10．（5分）已知函数y＝f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝x2﹣4x+1，则f（0）+f（1）＝．11．（5分）若函数f （x ）为一次函数，且f （x +1）＝f （x ）﹣2，f （x ）的零点为1，则函数f （x ）的解析式为 ．12．（5分）某产品的总成本C 与年产量Q 之间的关系为C ＝aQ 2+3000，其中a 为常数．且当年产量为200时，总成本为15000．记该产品的平均成本为f （Q ）（平均成本=总成本年产量），则当Q ＝ ，f （Q ）取得最小值，这个最小值为 ．13．（5分）设a ，b 为互不相等的实数，若二次函数f （x ）＝x 2+ax +b 满足f （a ）＝f （b ），则f （2）＝ ．14．（5分）函数y ＝f （x ）的定义域为[﹣2.1，2]，其图象如图所示，且f （﹣2.1）＝﹣0.96． （1）若函数y ＝f （x ）﹣k 恰有两个不同的零点，则k ＝ ．（2）已知函数g （x ）={2x +1，x ≤0x 3+2x −16，x ＞0，y ＝g [f （x ）]有 个不同的零点．三、解答题（共80分） 15．解下列关于x 的不等式： （1）x 2﹣2x ﹣8≤0； （2）x 2+4x +5＞0； （3）x 2≤ax ．16．已知集合A ＝{x |﹣1≤x ≤1}，B ＝{x |2x ≥a }， （Ⅰ）当a ＝0时，求A ∩B ；（Ⅱ）若A ∪B ＝B ，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）记集合C ＝A ∩B ，若C 中恰好有两个元素为整数，求实数a 的取值范围． 17．已知函数f （x ）＝ax 2﹣2ax +1（a ≠0）．（Ⅰ）比较f （1−√2）与f （1+√2）的大小，并说明理由； （Ⅱ）若函数f （x ）的图象恒在x 轴的上方，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）若函数f （x ）在[﹣1，2]上的最大值为4，求a 的值． 18．已知集合M ＝（﹣1，1），对于x ，y ∈M ，记φ（x ，y ）=x+y1+xy． （Ⅰ）求φ（0，12）的值；（Ⅱ）如果0＜x ＜1，求φ（x ，1﹣x ）的最小值； （Ⅲ）求证：∀x ，y ∈M ，φ（x ，y ）∈M ．19．已知函数f （x ）满足：函数y =f(x)x 在（0，3]上单调递增． （Ⅰ）比较3f （2）与2f （3）的大小，并说明理由；（Ⅱ）写出能说明“函数y ＝f （x ）在（0，3]单调递增”这一结论是错误的一个函数； （Ⅲ）若函数的解析式为f （x ）＝ax 3+（1﹣a ）x 2，求a 的取值范围．20．设A （x A ，y A ），B （x B ，y B ）为平面直角坐标系上的两点，其中x A ，y A ，x B ，y B 均为整数．|x B ﹣x A |+|y B ﹣y A |＝3，则称点B 为点A 的“相关点”．点P 1是坐标原点O 的“相关点”，点P 2是点P 1的“相关点”，点P 3是P 2的“相关点”，…，依此类推，点P 2019是点P 2018的“相关点”．注：点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）间的距离|AB|=√(x 2−x 1)2+(y 2−y 1)2． （Ⅰ）直接写出点O 与点P 1间的距离所有可能值； （Ⅱ）求点O 与点P 3间的距离最大值； （Ⅲ）求点O 与点P 2019间的距离最小值．2019-2020学年北京市高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题5分，共40分）1．【解答】解：x 2＞1，解得：x ＞1，或x ＜﹣1． 集合A ＝{x |x 2＞1}＝{x |x ＞1，或x ＜﹣1}，a ∈A ， 则a 的值可以为﹣2． 故选：A ．2．【解答】解：命题为特称命题， 则命题的否定为∀x ∈Q ，x 2﹣3≠0， 故选：C ．3．【解答】解：∵﹣2≤x ≤3，∴x ＝0时，y ＝x 2取最小值0；x ＝3时，y ＝x 2取最大值9， ∴y ＝x 2（﹣2≤x ≤3）的值域为[0，9]． 故选：B ．4．【解答】解：∵集合A ＝{1，2}，B ＝[m ，+∞），A ⊆B ， ∴m ≤1，∴实数m 的取值范围是（﹣∞，1]． 故选：D ．5．【解答】解：由a ＜b ＜0，取a ＝﹣2，b ＝﹣1，可排除A ，B ，D ． 故选：C ．6．【解答】解：当“x ＞1”则“1x ＜1”成立，当x ＜0时，满足“1x＜1”但“x ＞1”不成立，故“x ＞1”是“1x＜1”的充分不必要条件，故选：A ．7．【解答】解：a ＝1不适合题意，舍去． a ＝2时，b ＝1，可得：ba=12．a ＝3时，b ＝1，2，可得：b a=13，23．a ＝4时，b ＝1，2，3，可得：b a=14，12，34．a ＝5时，b ＝1，2，3，4，可得：b a=15，25，35，45．a ＝6时，b ＝1，2，3，4，5，可得：b a=16，13，12，23，56．可得：T ＝{x |x =ba ，a ，b ∈A ，a ＞b }＝{12，13，23，14，34，15，25，35，45，16，56}．∴集合T 中元素的个数为11． 故选：C ．8．【解答】解：①|1x 1−1x 2x 1−x 2|=|1x 1x 2|≥1(x 1，x 2∈(0，1))，故①正确； ②|√x1−√x 2x 1−x 2|=x +x ，当x 1＞4，x 2＞4时，√x 1+√x 2＞4，√x +√x 14，故②不正确；③|x 12−x 22x 1−x 2|=|x 1+x 2|，当x 1≤﹣1，x 2≤﹣1时，|x 1+x 2|≥2，故③正确；④|11+x 12−11+x 22x 1−x 2|=|x 1+x 2(1+x 12)(1+x 22)|≤|x 11+x 12|+|x 21+x 22|， 因为|x 1+1x 1|≥2，所以|x 11+x 12|≤12，同理|x 21+x 22|≤12，所以|x 11+x 12|+|x 21+x 22|≤1，故④不正确， 故选：B ．二、填空题（每题5分，共30分）9．【解答】解：∵|a ﹣c |＝|b ﹣c |且a ，b ，c ，d 为互不相等的实数， ∴a ﹣c +b ﹣c ＝0即a +b ﹣2c ＝0．①∵|b ﹣c |＝|d ﹣b |且a ，b ，c ，d 为互不相等的实数， ∴b ﹣c ＝d ﹣b 即2b ﹣c ﹣d ＝0．②①②相加可得：a +3b ﹣3c ﹣d ＝0．即a ﹣d ＝3（c ﹣b ）， 又因为|a ﹣c |＝|b ﹣c |＝|d ﹣b |＝1， 则|a ﹣d |＝3|b ﹣c |＝3． 故答案为：3．10．【解答】解：∵f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f （x ）＝x 2﹣4x +1， 则f （0）＝0，f （1）＝1﹣4+1＝﹣2， 则f （0）+f （1）＝0﹣2＝﹣2，故答案为：﹣211．【解答】解：设f （x ）＝kx +b ，k ≠0， ∵f （x +1）＝f （x ）﹣2， ∴k （x +1）+b ＝kx +b ﹣2， 即k ＝﹣2，∵f （x ）＝﹣2x +b 的零点为1，即f （1）＝b ﹣2＝0， ∴b ＝2，f （x ）＝﹣2x +2 故答案为：f （x ）＝﹣2x +2．12．【解答】解：某产品的总成本C 与年产量Q 之间的关系为C ＝aQ 2+3000，其中a 为常数，且当年产量为200时，总成本为15000． 可得15000＝40000a +3000，解得a =310， 所以C =310Q 2+3000， 该产品的平均成本为f （Q ）=3Q10+3000Q ≥2√3Q 10×3000Q=60．当且仅当3Q 10=3000Q，即Q ＝100时，f （Q ）取得最小值，最小值为60．故答案为：100；60．13．【解答】解：二次函数f （x ）＝x 2+ax +b 的对称轴x =−a2， 又f （a ）＝f （b ）， ∴a +b ＝2•（a2），∴b ＝﹣2a∴f （2）＝4+2a +b ＝4， 故答案为：4．14．【解答】解：（1）∵y ＝f （x ）﹣k 恰有两个不同的零点， ∴y ＝f （x ）和y ＝k 图象有两个不同的交点． y ＝f （x ）的图象如图：∴k＝4或k＝0．（2）∵g（x）={2x+1，x≤0x3+2x−16，x＞0，当x≤0时，2x+1＝0，得x=−1 2；此时f（x）=−12，由图可知有一个解；当x＞0时，g（x）＝x3+2x﹣16单调递增，∵g（2）＝﹣4，g（3）＝17，∴g（x）在（2，3）有一个零点x0，即f（x）＝x0∈（2，3）由图可知有三个解，∴共有四个解．故答案为4或0；4．三、解答题（共80分）15．【解答】解：（1）由x2﹣2x﹣8≤0，得（x﹣4）（x+2）≤0，所以﹣2≤x≤4，所以不等式的解集为{x|﹣2≤x≤4}；（2）因为x2+4x+5＝（x+2）2+1≥1，所以不等式x2+4x+5＞0的解集为R；（3）由x2≤ax，得x2﹣ax＝x（x﹣a）≤0，所以当a＝0时，x＝0；当a＞0时，0≤x≤a；当a＜0时，a≤x≤0，所以当a＝0时，不等式的解集为{0}；当a＞0时，不等式的解集为{x|0≤x≤a}；当a＜0时，不等式的解集为{x|a≤x≤0}．16．【解答】解：（Ⅰ）a＝0时，B＝{x|x≥0}，且A＝{x|﹣1≤x≤1}，∴A ∩B ＝[0，1]； （Ⅱ）∵A ∪B ＝B ， ∴A ⊆B ，且B ={x|x ≥a2}， ∴a2≤−1，∴a ≤﹣2，∴实数a 的取值范围为（﹣∞，﹣2]； （Ⅲ）∵A ∩B 中恰有两个元素为整数， ∴−1＜a 2≤0，解得﹣2＜a ≤0， ∴实数a 的取值范围为（﹣2，0]．17．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，函数f （x ）＝ax 2﹣2ax +1＝a （x ﹣1）2+1﹣a ， 则f （1−√2）＝1+a ，f （1+√2）＝1+a ， 故f （1−√2）＝f （1+√2）；（Ⅱ）若函数f （x ）的图象恒在x 轴的上方，必有{a ＞04a 2＜4a，解可得：0＜a ＜1，即a 的取值范围为（0，1）；（Ⅲ）根据题意，函数f （x ）＝ax 2﹣2ax +1＝a （x ﹣1）2+1﹣a ，其对称轴为x ＝1， 分2种情况讨论：①，a ＞0时，f （x ）在[﹣1，1]上递减，在[1，2]上递增，其最大值为f （﹣1）＝1+3a ， 则有1+3a ＝4， 解可得：a ＝1，②，a ＜0时，f （x ）在[﹣1，1]上递增，在[1，2]上递减，其最大值为f （1）＝1﹣a ， 则1﹣a ＝4，解可得a ＝﹣3； 综合可得：a ＝1或﹣3．18．【解答】解：（1）φ(0，12)=0+121+0×12=12；（II ）φ(x ，1−x)=x+(1−x)1+x(1−x)=1−x 2+x+1，由于x ∈（0，1）时，−x 2+x +1∈(1，54]，所以φ(x ，1−x)∈[45，1)，即最小值为45；（III ）证明：因为x ，y ∈（﹣1，1），所以（x ﹣1）（y ﹣1）＞0，xy ﹣x ﹣y +1＞0，xy +1＞x +y ，又1+xy ＞0，所以x+y1+xy＜1；同理：（x +1）（y +1）＞0，xy +x +y +1＞0，xy +1＞﹣（x +y ），又1+xy ＞0，所以x+y1+xy＞−1，综上，x+y1+xy∈M ．即有∀x ，y ∈M ，φ（x ，y ）∈M ． 19．【解答】解：（I ）3f （2）＜2f （3）， ∵y =f(x)x 在（0，3]上单调递增， ∴f(2)2＜f(3)3，∴3f （2）＜2f （3）；（II ）f （x ）＝﹣1或﹣x 2﹣9（III ）方法一：∵y =f(x)x =ax 2+（1﹣a ）x 在（0，3]上单调递增， ∴y ′＝2ax +（1﹣a ）≥0在（0，3]上恒成立， 2ax ≥a ﹣1，当a ＞0时，因为x ≥a−12a 在（0，3]上单调递增， 所以0≥a−1a，解得a ∈（0，1]； 当a ＜0时，x ≤a−12a在（0，3]上单调递增， 所以3≤a−12a ，解得a ∈[−15，0)； 当a ＝0时，显然符合题意， 综上：a ∈[−15，1]．方法二：当a ＞0时，对称轴x =a−1a ≤0时符合题意，解得a ∈（0，1]； 当a ＜0时，对称轴x =a−12a ≤3时符合题意，解得a ∈[−15，0)； 当a ＝0时，显然符合题意， 综上，a ∈[−15，1]．20．【解答】解：（Ⅰ）点O 与点P 1间的距离所有可能值：3或√5；（Ⅱ）因为点O （0，0），所以由第一问可知，当点P 1（3，0），点P 2（6，0），点P 3（9，0）时点O 与点P 3间的距离最大， ∴点O 与点P 3间的距离最大值为9．（Ⅲ）因为“相关点”的关系是相互的，所以当n ＝2k ，（k ∈N *）时，点O 与点P n 间的距离最小值为0，所以点O与点P2016间的距离最小值为0，此时点P2016又回到最初位置，坐标为（0，0），然后经过三次变换：P2016（0，0）﹣﹣P2017（2，1）﹣﹣P2018（1，3）﹣﹣P2019（0，1），所以点O与点P2019间的距离最小值为1．。
2019北京一零一高一(上)期中数学
C. {-1,6}
D. {-2，-3}
2.“a>2”是“������2 > 4”的（）
A. 必要不充分条件
B. 充分不必要条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
3.下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是（）
A. y=-3x-1
B. ������ = 2
������
C. ������ = ������2 − 4������ + 5 D. ������ = |������ − 1| + 2
.
10.已知方程������������2 + ������������ + 1 = 0的两个根分别为− 1,3，则不等式������������2 + ������������ + 1 > 0的解集为
4
间表示）
（结果用区
11.命题“∀������ > 0, ������2 + 2������ − 3 > 0”的否定是
A. （-∞，1）∪（2，+∞）
B. （1,2）
C. （-∞，-1）∪（2，+∞）
D. （-1,2）
二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。
9.已知������1, ������2是方程������2 + 2������ − 5 = 0的两根，则������12 + 2������1 + ������1������2的值为
17.一元二次方程������2 − ������������ + ������2 + ������ − 1 = 0有两实根������1，������2. （1）求 m 的取值范围； （2）求������1 · ������2的最值； （3）如果|������1 − ������2| > √5,求 m 的取值范围.
2019年北京一零一中高一数学期中考试
6.若函数 f (x) x a (a R) 在区间 (1, 2) 上恰有一个零点，则 a 的值可以是（ ） x
（A）-2
（B）0（C）-1 Nhomakorabea（D）3
7.已知函数
f
(x)
a
3 x
2a , x x
5, x 1
1,
是
R
上的减函数，则实数 a
的取值范围是（
）
（A）（0,2）
（2）若 A B 9 ，求 A B .
16.已知函数 f x ax 2 .
x
（1）求定义域，并判断函数 f x 的奇偶性；
（2）若 f 1 f 2 0 ，证明函数 f x 在 0, 上的单调性，并求函数 f x 在区间1, 4上的最值.
2
17.一元二次方程 x2 mx m2 m 1 0 有两实根 x1 ， x2 . （1）求 m 的取值范围； （2）求 x1 ， x2 的最值； （3）如果 x1 x2 5 ，求 m 的取值范围.
18.某住宅小区为了使居民有一个优雅舒适的生活环境，计划建一个八边形的休
闲小区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形 ABCD 和 EFGH 构成的 面积为 200 平方米的十字型地域.现计划在正方形 MNPQ 上建花坛，造价为 4200 元/平方米，在四个相同的矩形上（图中阴影部分）铺花岗岩地坪，造价 为 210 元/平方米，再在四个空角上铺草坪，造价为 80 元/平方米. （1）设总造价为 S 元， AD 的边长为 x 米， DQ 的边长为 y 米，试建立 S 关于 x 的函数关系式；
北京一零一中 2019-2020 学年度第一学期期中考试 高一数学
【精品高一数学试卷】2019-2020高一(上)期中+答案 (2)
2019-2020学年北京高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填在括号中）1．（5分）已知集合A ＝{﹣1，0，1，2}，B ＝{x |x 2≤1}，则A ∩B ＝（ ） A ．{﹣1，0，1}B ．{0，1}C ．{﹣1，1}D ．{0，1，2}2．（5分）如果a ＜b ＜0，那么下列不等式成立的是（ ） A ．1a＜1bB ．ab ＜b 2C ．﹣ab ＜﹣a 2D ．−1a ＜−1b3．（5分）下列函数中，值域为（0，+∞）的是（ ） A ．y =√x −1B ．y =1x−1C ．y =√x 2+1D ．y =√1x−14．（5分）已知f （x ）＝ax 3+bx ﹣4，若f （2）＝6，则f （﹣2）＝（ ） A ．﹣14B ．14C ．﹣6D ．105．（5分）设x ∈R ，则“|x ﹣2|＜1”是“x 2﹣x ﹣6＜0”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．（5分）函数f(x)=x 2−1x−2在区间（1，3）内的零点个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．37．（5分）已知命题“∃x ∈R ，2x 2+（a ﹣1）x +12≤0是假命题，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，﹣1）B ．（﹣1，3）C ．（﹣3，+∞）D ．（﹣3，1）8．（5分）设函数f （x ）的定义域为R ，满足f （x +1）＝2f （x ），且当x ∈（0，1]时，f （x ）＝x （x ﹣1）．若对任意x ∈（﹣∞，m ]，都有f （x ）≥−89，则m 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，94]B ．（﹣∞，73]C ．（﹣∞，52]D ．（﹣∞，83]二、填空题（本大题6小题，每小题5分，共30分，将正确答案填在横线上） 9．（5分）已知x ﹣2y ＝6，x ﹣3y ＝4，则x 2﹣5xy +6y 2的值为 ．10．（5分）已知α，β是方程x 2+2x ﹣7＝0的两个根，则α2﹣2αβ+β2＝ ． 11．（5分）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是 ． 12．（5分）已知函数f （x ）={x 2+1(x ≥0)−2x(x ＜0)，若f （x ）＝10，则x ＝ ．13．（5分）若二元一次方程3x ﹣y ＝7，2x +3y ＝1，y ＝kx ﹣9有公共解，求实数k ＝ ． 14．（5分）已知λ∈R ，函数f （x ）={x −4，x ≥λx 2−4x +3，x ＜λ，当λ＝2时，不等式f （x ）＜0的解集是 ．若函数f （x ）恰有2个零点，则λ的取值范围是 ．三、解答题（本大题共3个小题，共30分，写出必要的解答过程，将答案写在答题纸上） 15．（10分）已知集合A ＝{x |﹣4+a ＜x ＜4+a }，B ＝{x |x+1x−5≥0}．（1）若a ＝1，求A ∩B ；（2）若A ∪B ＝R ，求实数a 的取值范围．16．（10分）已知函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时有f （x ）=4xx+4 （1）判断函数f （x ）在[0，+∞）上的单调性，并用定义证明； （2）求函数f （x ）的解析式（写成分段函数的形式）．17．（10分）已知关于x 的不等式（ax ﹣1）（x ﹣2）＞2的解集为A ，且3∉A ． （Ⅰ）求实数a 的取值范围； （Ⅱ）求集合A ．四、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，将正确答案的序号填在答题纸上） 18．（4分）函数y =√x +1+√3−x 的定义域是 ． 19．（4分）已知函数f （x ）=11+x 2，则f （1）+f （2）+f （3）+f （4）+f （12）+f （13）+f （14）＝ ．20．（4分）设x ＞0，y ＞0，x +2y ＝5，则√xy的最小值为 ．21．（4分）李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．①当x ＝10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付 元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为 ．22．（4分）设函数f （x ）的定义域D ，如果存在正实数m ，使得对任意x ∈D ，都有f （x +m ）＞f （x ），则称f （x ）为D 上的“m 型增函数”．已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，且当x＞0时，f（x）＝|x﹣a|﹣a（a∈R）．若f（x）为R上的“20型增函数”，则实数a 的取值范围是．五、解答题（本大题共3小题，共30分，写出必要的解答过程，将答案写在答题纸上）23．（10分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+2k＝0．（1）若方程有实数根，求实数k的取值范围；（2）如果k是满足（1）的最大整数，且方程x2﹣4x+2k＝0的根是一元二次方程x2﹣2mx+3m ﹣1＝0的一个根，求m的值及这个方程的另一个根．24．（10分）已知函数f（x）＝（x﹣2）（x+a），其中a∈R．（Ⅰ）若f（x）的图象关于直线x＝1对称，求a的值；（Ⅱ）求f（x）在区间[0，1]上的最小值．25．（10分）对于区间[a，b]（a＜b），若函数y＝f（x）同时满足：①f（x）在[a，b]上是单调函数；②函数y＝f（x），x∈[a，b]的值域是[a，b]，则称区间[a，b]为函数f（x）的“保值”区间．（1）求函数y＝x2的所有“保值”区间；（2）函数y＝x2+m（m≠0）是否存在“保值”区间？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．2019-2020学年北京高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填在括号中）1．【解答】解：因为A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|x2≤1}＝{x|﹣1≤x≤1}，所以A∩B＝{﹣1，0，1}，故选：A．2．【解答】解：由于a＜b＜0，不妨令a＝﹣2，b＝﹣1，可得1a =−121b=−1，∴1a＞1b，故A不正确．可得ab＝2，b2＝1，∴ab＞b2，故B不正确．可得﹣ab＝﹣2，﹣a2＝﹣4，∴﹣ab＞﹣a2，故C不正确．故选：D．3．【解答】解：A．y=√x−1≥0，故A不符合；B.y=1x−1∈(−∞，0)∪(0，+∞)，故B不符合；C.y=√x2+1≥1，故C不符合；D.y=√1x−1的定义域为{x|x＞1}，当x＞1时，1x−1＞0，∴y=√1x−1＞0，故D符合．故选：D．4．【解答】解：∵f（x）＝ax3+bx﹣4∴f（x）+f（﹣x）＝ax3+bx﹣4+a（﹣x）3+b×（﹣x）﹣4＝﹣8∴f（x）+f（﹣x）＝﹣8∵f（2）＝6∴f（﹣2）＝﹣14故选：A．5．【解答】解：由|x﹣2|＜1得﹣1＜x﹣2＜1，得1＜x＜3由x2﹣x﹣6＜0得﹣2＜x＜3，即“|x﹣2|＜1”是“x2﹣x﹣6＜0”的充分不必要条件，故选：A．6．【解答】解：f′（x）＝2x+1x2，当x∈（1，3）时，f′（x）＞0，∴f（x）在（1，3）上单调递增，又f（1）＝﹣2＜0，f（3）=203＞0，∴f（x）在（1，3）上有1个零点．故选：B．7．【解答】解：∵“∃x∈R，2x2+（a﹣1）x+12≤0”的否定为“∀x∈R，2x2+（a﹣1）x+12＞0“∵“∃x∈R，2x2+（a﹣1）x+12≤0”为假命题∴“∀x∈R，2x2+（a﹣1）x+12＞0“为真命题即2x2+（a﹣1）x+12＞0恒成立∴（a﹣1）2﹣4×2×12＜0解得﹣1＜a＜3故选：B．8．【解答】解：因为f（x+1）＝2f（x），∴f（x）＝2f（x﹣1），∵x∈（0，1]时，f（x）＝x（x﹣1）∈[−14，0]，∴x∈（1，2]时，x﹣1∈（0，1]，f（x）＝2f（x﹣1）＝2（x﹣1）（x﹣2）∈[−12，0]；∴x∈（2，3]时，x﹣1∈（1，2]，f（x）＝2f（x﹣1）＝4（x﹣2）（x﹣3）∈[﹣1，0]，当x ∈（2，3]时，由4（x ﹣2）（x ﹣3）=−89解得x =73或x =83， 若对任意x ∈（﹣∞，m ]，都有f （x ）≥−89，则m ≤73． 故选：B ．二、填空题（本大题6小题，每小题5分，共30分，将正确答案填在横线上） 9．【解答】解：∵x ﹣2y ＝6，x ﹣3y ＝4， ∴x 2﹣5xy +6y 2＝（x ﹣2y ）（x ﹣3y ） ＝6×4＝24． 故答案为：24．10．【解答】解：∵α，β是方程x 2+2x ﹣7＝0的两个根， ∴α+β＝﹣2，αβ＝﹣7，则α2﹣2αβ+β2＝（α+β）2﹣4αβ＝（﹣2）2﹣4×（﹣7）＝32． 故答案为：32．11．【解答】解：由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和=600x×6+4x ≥4×2×√900x ⋅x =240（万元）． 当且仅当x ＝30时取等号． 故答案为：30．12．【解答】解：令x 2+1＝10， 解得，x ＝3或x ＝﹣3（舍去）； 令﹣2x ＝10，解得，x ＝﹣5； 故答案为：3或﹣5．13．【解答】解：由3x ﹣y ＝7，2x +3y ＝1得，两直线的交点坐标为（2，﹣1）， ∵二元一次方程3x ﹣y ＝7，2x +3y ＝1，y ＝kx ﹣9有公共解， ∴点（2，﹣1）在直线y ＝kx ﹣9上， ∴﹣1＝2k ﹣9，∴k ＝4． 故答案为：4．14．【解答】解：当λ＝2时函数f （x ）={x −4，x ≥2x 2−4x +3，x ＜2，显然x ≥2时，不等式x ﹣4＜0的解集：{x |2≤x ＜4}；x ＜2时，不等式f （x ）＜0化为：x 2﹣4x +3＜0，解得1＜x ＜2，综上，不等式的解集为：{x |1＜x ＜4}． 函数f （x ）恰有2个零点， 函数f （x ）={x −4，x ≥λx 2−4x +3，x ＜λ的草图如图：函数f （x ）恰有2个零点，则1＜λ≤3或λ＞4． 故答案为：{x |1＜x ＜4}；（1，3]∪（4，+∞）．三、解答题（本大题共3个小题，共30分，写出必要的解答过程，将答案写在答题纸上） 15．【解答】解：B ＝{x |x ≤﹣1或x ＞5}， （1）若a ＝1，则A ＝{x |﹣3＜x ＜5}， ∴A ∩B ＝{x |﹣3＜x ≤﹣1}； （2）∵A ∪B ＝R ， ∴{−4+a ≤−14+a ＞5， ∴1＜a ≤3，∴实数a 的取值范围为（1，3]．16．【解答】解：（1）函数f(x)=4xx+4在[0，+∞）上单调递增．证明：设x 1＞x 2≥0，则f(x 1)−f(x 2)=4x 1x 1+4−4x2x 2+4，=16(x 1−x 2)x 1x 2+4(x 1+x 2)+16，又x 1＞x 2≥0，所以x 1﹣x 2＞0，x 1x 2≥0，x 1+x 2＞0， 所以16(x 1−x 2)x 1x 2+4(x 1+x 2)+16＞0．则f （x 1）﹣f （x 2）＞0，即f （x 1）＞f （x 2），故函数f(x)=4xx+4在[0，+∞）上单调递增； （2）由于当x ≥0时有f(x)=4x x+4， 而当x ＜0时，﹣x ＞0，则f(−x)=−4x−x+4=4xx−4=f(x)， 即f(x)=4xx−4（x ＜0）． 则f(x)={4xx+4(x ≥0)4xx−4(x ＜0)． 17．【解答】解：（I ）∵3∉A ，∴当x ＝3时，有（ax ﹣1）（x ﹣2）≤2， 即3a ﹣1≤2； 解得a ≤1，即a 的取值范围是{a |a ≤1}；…（3分） （II ）（ax ﹣1）（x ﹣2）＞2， ∴（ax ﹣1）（x ﹣2）﹣2＞0， ∴ax 2﹣（2a +1）x ＞0，…（4分） 当a ＝0时，集合A ＝{x |x ＜0}；…（5分）当a ＜−12时，集合A ={x|0＜x ＜2+1a }；…（6分） 当a =−12时，原不等式的解集A 为空集；…（7分） 当−12＜a ＜0时，集合A ={x|2+1a ＜x ＜0}；…（8分） 当0＜a ≤1时，集合A ={x|x ＜0或x ＞2+1a}．…（9分）四、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，将正确答案的序号填在答题纸上） 18．【解答】解：要使函数y =√x +1+√3−x 的解析式有意义， 自变量x 须满足：的解：要要{x +1≥03﹣x ≥0 即∴{x ＜−1x ≤3解得∴﹣1≤x ≤3∴y =√x +1+√3−x 定义域为[﹣1，3] 故答案为：[﹣1，3]19．【解答】解：∵f （x ）=11+x 2，∴f （1x ）=x 21+x 2，∴f （x ）+f （1x）=11+x 2+x 21+x 2=1， ∴f （1）+f （2）+f （3）+f （4）+f （12）+f （13）+f （14） ＝f （1）+f （2）+f （12）+f （3）+f （13）+f （4）+f （14）＝312，故答案为：312．20．【解答】解：x ＞0，y ＞0，x +2y ＝5， 则√xy=√xy=√xy=2√xy +6xy； 由基本不等式有： 2√xy 6xy ≥2√2√xy ⋅6xy=4√3； 当且仅当2√xy =6xy 时，即：xy ＝3，x +2y ＝5时，即：{x =3y =1或{x =2y =32时；等号成立， 故(x+1)(2y+1)√xy的最小值为4√3；故答案为：4√321．【解答】解：①当x ＝10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，可得60+80＝140（元）， 即有顾客需要支付140﹣10＝130（元）； ②在促销活动中，设订单总金额为m 元， 可得（m ﹣x ）×80%≥m ×70%， 即有x ≤m8恒成立， 由题意可得m ≥120， 可得x ≤1208=15， 则x 的最大值为15元． 故答案为：130，1522．【解答】解：∵函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，且当x ＞0时，f （x ）＝|x ﹣a |﹣a （a ∈R ），得f （x ）={|x −a|−a ，x ＞00，x =0−|x −a|+a ，x ＜0，f （x +20）＞f （x ），∵f （x ）为R 上的“20型增函数”， ∴f （x +20）＞f （x ），当x ≥0时，|20+x ﹣a |﹣a ＞|x ﹣a |﹣a ，式子|x +20﹣a |＞|x ﹣a |的几何意义为数轴上到点a 的距离小于到点a ﹣20的距离， 又x ＞0，∴a +a ﹣20＜0，解得a ＜10；当x ＜0＜x +20时，|x +20﹣a |﹣a ＞﹣|x +a |+a ，即|x +20﹣a |+|x +a |＞2a 恒成立， ∴根据几何意义得|2a ﹣20|＞2a ，即a ＜5；当x ＜x +20＜0时，﹣|x +20+a |+a ＞﹣|x +a |+a ，即|x +20+a |＜|x +a |恒成立， ∴﹣a ﹣a ﹣20＞0，即a ＜10． ∴实数a 的取值范围是a ＜5． 故答案为：（﹣∞，5）五、解答题（本大题共3小题，共30分，写出必要的解答过程，将答案写在答题纸上） 23．【解答】解：（1）由题意△≥0， ∴16﹣8k ≥0， ∴k ≤2．（2）由题意k ＝2，方程x 2﹣4x +2k ＝0的根，x 1＝x 2＝2， ∴方程x 2﹣2mx +3m ﹣1＝0的一个根为2， ∴4﹣4m +3m ﹣1＝0， ∴m ＝3，方程为x 2﹣6x +8＝0， ∴x ＝2或4，∴方程x 2﹣2mx +3m ﹣1＝0的另一个根为4．24．【解答】（Ⅰ）解法一：因为f （x ）＝（x ﹣2）（x +a ）＝x 2+（a ﹣2）x ﹣2a ， 所以，f （x ）的图象的对称轴方程为x =2−a2． 由2−a 2=1，得a ＝0．解法二：因为函数f （x ）的图象关于直线x ＝1对称， 所以必有f （0）＝f （2）成立， 所以﹣2a ＝0，得a ＝0．（Ⅱ）解：函数f （x ）的图象的对称轴方程为x =2−a2．①当2−a 2≤0，即 a ≥2时，因为f （x ）在区间（0，1）上单调递增，所以f （x ）在区间[0，1]上的最小值为f （0）＝﹣2a ．②当0＜2−a 2＜1，即 0＜a ＜2时， 因为f （x ）在区间(0，2−a 2)上单调递减，在区间(2−a 2，1)上单调递增，所以f （x ）在区间[0，1]上的最小值为f(2−a 2)=−(2+a 2)2．③当2−a 2≥1，即 a ≤0时，因为f （x ）在区间（0，1）上单调递减，所以f （x ）在区间[0，1]上的最小值为f （1）＝﹣（1+a ）．25．【解答】解：（1）因为函数y ＝x 2的值域是[0，+∞），且y ＝x 2在[a ，b ]的值域是[a ，b ]， 所以[a ，b ]⊆[0，+∞），所以a ≥0，从而函数y ＝x 2在区间[a ，b ]上单调递增，故有{a 2=a b 2=b.解得{a =0，或a =1b =0，或b =1.又a ＜b ，所以{a =0b =1.所以函数y ＝x 2的“保值”区间为[0，1]．…（3分） （2）若函数y ＝x 2+m （m ≠0）存在“保值”区间，则有：①若a ＜b ≤0，此时函数y ＝x 2+m 在区间[a ，b ]上单调递减，所以 {a 2+m =b b 2+m =a.消去m 得a 2﹣b 2＝b ﹣a ，整理得（a ﹣b ）（a +b +1）＝0． 因为a ＜b ，所以a +b +1＝0，即 a ＝﹣b ﹣1．又{b ≤0−b −1＜b所以 −12＜b ≤0． 因为 m =−b 2+a =−b 2−b −1=−(b +12)2−34(−12＜b ≤0)，所以 −1≤m ＜−34．…（6分） ②若b ＞a ≥0，此时函数y ＝x 2+m 在区间[a ，b ]上单调递增，所以 {a 2+m =a b 2+m =b.消去m 得a 2﹣b 2＝a ﹣b ，整理得（a ﹣b ）（a +b ﹣1）＝0． 因为a ＜b ，所以 a +b ﹣1＝0，即 b ＝1﹣a ．又{a ≥0a ＜1−a所以 0≤a ＜12． 因为 m =−a 2+a =−(a −12)2+14(0≤a ＜12)，所以 0≤m ＜14．因为 m ≠0，所以 0＜m ＜14．…（9分）综合①、②得，函数y＝x2+m（m≠0）存在“保值”区间，此时m的取值范围是[−1，−34)∪(0，14)．…（10分）。
2020-2021学年北京市101中学高一(上)期中数学试卷
2020-2021学年北京市101中学高一（上）期中数学试卷试题数：21.满分：1201.（单选题.4分）已知集合A={x|x（x+1）≤0}.集合B={x|-1＜x＜1}.则A∪B=（）A.{x|-1≤x≤1}B.{x|-1＜x≤0}C.{x|-1≤x＜1}D.{x|0＜x＜1}2.（单选题.4分）命题“∀x＞0.x2+2x-3＞0”的否定是（）A.∃x＞0.x2+2x-3≤0B.∀x＞0.x2+2x-3≤0C.∃x＜0.x2+2x-3≤0D.∀x＜0.x2+2x-3≤03.（单选题.4分）已知a.b∈R.则“a＞b”是“ ab＞1”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.（单选题.4分）已知集合A={x|x2-2x-3＜0}.B={x|-1＜x＜m}.若x∈A是x∈B的充分不必要条件.则实数m的取值范围为（）A.（3.+∞）B.（-1.3）C.[3.+∞）D.（-1.3]5.（单选题.4分）方程组{x+y=0，x2+y2=2的解集是（）A.{（1.-1）.（-1.1）}B.{（1.1）.（-1.-1）}C.{（2.-2）.（-2.2）}D.{（2.2）.（-2.-2）}6.（单选题.4分）已知a.b是方程x2+x-3=0的两个实数根.则a2-b+2019的值是（）A.2023B.2021C.2020D.20197.（单选题.4分）下列函数中.在区间（1.+∞）上为增函数的是（）A.y=-3x-1B. y=2xC.y=x2-4x+5D.y=|x-1|+28.（单选题.4分）若不等式|x-3|+|x-4|＜a的解集不是空集.则实数a的取值范围是（）A.a＞1B.a≥1C.a＞7D.1＜a＜79.（单选题.4分）已知a＞0.b＞0.若a+b=4.则（）A.a2+b2有最小值B. √ab有最小值C. 1a +1b有最大值D.√a+√b有最大值10.（单选题.4分）设函数f（x）在（-∞.+∞）上有意义.且对于任意的x.y∈R.有|f（x）-f（y）|＜|x-y|并且函数f（x+1）的对称中心是（-1.0）.若函数g（x）-f（x）=x.则不等式g（2x-x2）+g（x-2）＜0的解集是（）A.（-∞.1）∪（2.+∞）B.（1.2）C.（-∞.-1]∪（2.+∞）D.（-1.2）11.（填空题.5分）函数f(x)=√2x+1___ ．12.（填空题.5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数.且当x＞0时.f（x）=x2.则f（- 12）=___ ．13.（填空题.5分）写出一个使得命题“∀x∈R.ax2-2ax+3＞0恒成立”是假命题的实数a的值：___ ．14.（填空题.5分）某餐厅经营盒饭生意.每天的房租、人员工资等固定成本为200元.每盒盒饭的成本为15元.销售单价与日均销售量的关系如表：15.（填空题.5分）函数 f (x )={x 2，x ≥t x ，0＜x ＜t（t ＞0）是区间（0.+∞）上的增函数.则t 的取值范围是___ ．16.（填空题.5分）几位同学在研究函数 f (x )=x 1+|x|（x∈R ）时给出了下面几个结论： ① 函数f （x ）的值域为（-1.1）；② 若x 1≠x 2.则一定有f （x 1）≠f （x 2）；③ f （x ）在（0.+∞）是增函数；④ 若规定f 1（x ）=f （x ）.且对任意正整数n 都有：f n+1（x ）=f （f n （x ））.则 f n (x )=x 1+n|x| 对任意n∈N *恒成立．上述结论中正确结论的序号为___ ．17.（问答题.8分）设全集U=R.集合A=（-∞.-1]∪[4.+∞）.B=（-∞.1]．求：（1）∁U （A∪B ）；（2）记∁U （A∪B ）=M.N={x|a-1≤x≤-2a}.且M∩N=N .求a 的取值范围．18.（问答题.10分）定义在R 上的函数f （x ）=x 2-（2a+1）x-1（a∈R ）．（1）若f （x ）为偶函数且f （m+1）＞f （-m ）.求实数m 的取值范围；（2）若f （x ）不是偶函数且在区间[-1.2]上不单调.求实数a 的取值范围．19.（问答题.10分）记关于x 的方程a （x-2）=- 1x 在区间（0.3]上的解集为A.若A 至多有2个不同的子集.求实数a 的取值范围．20.（问答题.10分）已知不等式ax+1＜0（a∈R）．x−1（1）当a=2时.解这个不等式；≤1-x对∀x∈（-∞.0）恒成立.求实数a的最大值．（2）若ax+1x−121.（问答题.12分）已知f（x）是定义在R上的单调递减函数.对任意实数m.n都有f（m+n）=f（m）+f（n）.函数g（x）=2（x-x2）．定义在R上的单调递增函数h（x）的图象经过点A（0.0）和点B（2.2）．（1）判断函数f（x）的奇偶性并证明；（2）若∃t∈[-1.2].使得f（g（t）-1）+f（8t+m）＜0（m为常实数）成立.求m的取值范围；（3）设f（1）=-1.F1（x）=f（x）-x.F2（x）=g（x）.F3（x）=h（x）-h（2-x）.b i= i100（i=0.1.2.….100）．若M k=|F k（b1）-F k（b0）|+|F k（b2）-F k（b1）|+…+|F k（b100）-F k（b99）|（k=1.2.3）.比较M1.M2.M3的大小并说明理由．2020-2021学年北京市101中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：21.满分：1201.（单选题.4分）已知集合A={x|x（x+1）≤0}.集合B={x|-1＜x＜1}.则A∪B=（）A.{x|-1≤x≤1}B.{x|-1＜x≤0}C.{x|-1≤x＜1}D.{x|0＜x＜1}【正确答案】：C【解析】：先求出集合A.集合B.由此能求出A∪B．【解答】：解：∵集合A={x|x（x+1）≤0}={x|-1≤x≤0}.集合B={x|-1＜x＜1}.∴A∪B={x|-1≤x＜1}．故选：C．【点评】：本题考查并集的求法.考查并集定义、不等式性质等基础知识.考查运算求解能力.是基础题．2.（单选题.4分）命题“∀x＞0.x2+2x-3＞0”的否定是（）A.∃x＞0.x2+2x-3≤0B.∀x＞0.x2+2x-3≤0C.∃x＜0.x2+2x-3≤0D.∀x＜0.x2+2x-3≤0【正确答案】：A【解析】：根据全称命题的否定是特称命题.即可得到结论．【解答】：解：根据全称命题的否定是特称命题即可得到：￢p：∃x＞0.x2+2x-3≤0.故选：A．【点评】：本题主要考查含有量词的命题的否定.比较基础．＞1”的（）3.（单选题.4分）已知a.b∈R.则“a＞b”是“ abA.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【正确答案】：D＞1⇔a＞b＞0.或a＜b＜0．即可判断出结论．【解析】：ab＞1⇔a＞b＞0.或a＜b＜0．【解答】：解：ab＞1”的既不充分也不必要条件．∴“a＞b”是“ ab故选：D．【点评】：本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法.考查了推理能力与计算能力.属于基础题．4.（单选题.4分）已知集合A={x|x2-2x-3＜0}.B={x|-1＜x＜m}.若x∈A是x∈B的充分不必要条件.则实数m的取值范围为（）A.（3.+∞）B.（-1.3）C.[3.+∞）D.（-1.3]【正确答案】：A【解析】：化简集合A.根据x∈A是x∈B的充分不必要条件.可得A⫋B．进而得出实数m的取值范围．【解答】：解：集合A={x|x2-2x-3＜0}=（-1.3）.B={x|-1＜x＜m}.由x∈A是x∈B的充分不必要条件.得A⫋B．∴m＞3．则实数m的取值范围为（3.+∞）．故选：A．【点评】：本题考查了简易逻辑的判定方法、不等式的解法、集合之间的关系.考查了推理能力与计算能力.属于基础题．5.（单选题.4分）方程组 {x +y =0，x 2+y 2=2的解集是（ ） A.{（1.-1）.（-1.1）}B.{（1.1）.（-1.-1）}C.{（2.-2）.（-2.2）}D.{（2.2）.（-2.-2）}【正确答案】：A【解析】：运用代入消元法解方程组即可．【解答】：解：记 {x +y =0，①x 2+y 2=2，②.由 ① 得：x=-y ③ .将 ③ 代入 ② 得2y 2=2.解得y=±1. 当y=1时.x=-1.当y=-1时.x=1.故原方程组的解集为{（1.-1）.（-1.1）}.故选：A ．【点评】：本题考查解方程组.运用代入法进行消元是关键.属于基础题．6.（单选题.4分）已知a.b 是方程x 2+x-3=0的两个实数根.则a 2-b+2019的值是（ ）A.2023B.2021C.2020D.2019【正确答案】：A【解析】：先证明a 2-b=b 2-a.再根据根与系数的关系计算a 2-b 即可得出答案．【解答】：解：∵a .b 是方程x 2+x-3=0的两个根.∴a 2+a=3.b 2+b=3.两式相减可得：a 2+a-b 2-b=0.即a 2-b=b 2-a.由根与系数的关系可得：a+b=-1.ab=-3.a 2-b+b 2-a=（a+b ）2-2ab-（a+b ）=1+6+1=8.∴a 2-b=b 2-a=4.故a 2-b+2019=4+2019=2023．故选：A．【点评】：本题考查了一元二次方程根与系数的关系.属于基础题．7.（单选题.4分）下列函数中.在区间（1.+∞）上为增函数的是（）A.y=-3x-1B. y=2xC.y=x2-4x+5D.y=|x-1|+2【正确答案】：D【解析】：结合一次函数.二次函数及反比例函数的图象及图象变换分别进行判断即可．【解答】：解：由一次函数的性质可知.y=-3x-1在区间（1.+∞）上为减函数.故A错误；在区间（1.+∞）上为减函数.由反比例函数的性质可知.y= 2x由二次函数的性质可知.y=x2-4x+5在（-∞.2）上单调递减.在（2.+∞）上单调递增.故C错误；由一次函数的性质及图象的变换可知.y=|x-1|+2在（1.+∞）上单调递增．故选：D．【点评】：本题主要考查了基本初等函数的单调性的判断.属于基础试题．8.（单选题.4分）若不等式|x-3|+|x-4|＜a的解集不是空集.则实数a的取值范围是（）A.a＞1B.a≥1C.a＞7D.1＜a＜7【正确答案】：A【解析】：由绝对值三角不等式求得|x-3|+|x-4|的最小值.即可求得不等式的解集不是空集时实数a的取值范围．【解答】：解：由绝对值三角不等式可得|x-3|+|x-4|≥|（x-3）-（x-4）|=1.若不等式|x-3|+|x-4|＜a的解集不是空集.则 a＞1．故选：A．【点评】：本题主要考查绝对值三角不等式的应用.属于基础题．9.（单选题.4分）已知a＞0.b＞0.若a+b=4.则（）A.a2+b2有最小值B. √ab有最小值C. 1a +1b有最大值D.√a+√b有最大值【正确答案】：A【解析】：根据基本不等式的性质判断即可．【解答】：解：∵a＞0.b＞0.且a+b=4.a2+b2=（a+b）2-2ab=16-2ab≥16-2（a+b2）2=16-8=8.有最小值.故选：A．【点评】：本题考查了基本不等式的性质.是一道基础题．10.（单选题.4分）设函数f（x）在（-∞.+∞）上有意义.且对于任意的x.y∈R.有|f（x）-f（y）|＜|x-y|并且函数f（x+1）的对称中心是（-1.0）.若函数g（x）-f（x）=x.则不等式g（2x-x2）+g（x-2）＜0的解集是（）A.（-∞.1）∪（2.+∞）B.（1.2）C.（-∞.-1]∪（2.+∞）D.（-1.2）【正确答案】：A【解析】：由已知可知f（x）为奇函数.从而可得g-x）也为奇函数.然后结合|f（x）-f（y）|＜|x-y|.及导数的定义可知g′（x）＞0.从而可知g（x）单调递增.结合单调性及奇函数的定义可求．【解答】：解：由函数f（x+1）的对称中心是（-1.0）.可得f（x）的图象关于（0.0）对称即f（x）为奇函数.∴f（-x）=-f（x）.∵g（x）-f（x）=x.∴g（x）=f（x）+x.∴g（-x）=f（-x）-x=-f（x）-x=-g（x）.∵对于任意的x.y∈R.有|f（x）-f（y）|＜|x-y|.∴|g（x）-g（y）-（x-y）|＜|x-y|.∴ |g(x)−g(y)−(x−y)||x−y|＜1 .即| g(x)−g(y)x−y−1 |＜1.∴0＜g(x)−g(y)x−y＜2.即g′（x）＞0.∴g（x）单调递增.∵g（2x-x2）+g（x-2）＜0.∴g（2x-x2）＜-g（x-2）=g（2-x）.∴2x-x2＜2-x.整理可得.x2-3x+2＞0.解可得.x＞2或x＜1.故选：A．【点评】：本题主要考查了利用函数的奇偶性及单调性求解不等式.解题的关键是结合导数的定义判断出函数g（x）的单调性．11.（填空题.5分）函数f(x)=√2x+1___ ．【正确答案】：[1] (−12，+∞)【解析】：直接由分母中根式内部的代数式大于0求解．【解答】：解：由2x+1＞0.得x ＞−12．∴函数f(x)=√2x+1(−12，+∞)．故答案为：(−12，+∞)．【点评】：本题考查函数的定义域及其求法.是基础的计算题．12.（填空题.5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数.且当x＞0时.f（x）=x2.则f（- 12）=___ ．【正确答案】：[1]- 14【解析】：根据题意.由函数的解析式求出f（12）的值.结合函数的奇偶性分析可得答案．【解答】：解：根据题意.当x＞0时.f（x）=x2.则f（12）=（12）2= 14.又由f（x）是定义在R上的奇函数.则f（- 12）=-f（12）=- 14.故答案为：- 14．【点评】：本题考查函数的奇偶性的性质以及应用.涉及函数值的计算.属于基础题．13.（填空题.5分）写出一个使得命题“∀x∈R.ax2-2ax+3＞0恒成立”是假命题的实数a的值：___ ．【正确答案】：[1]-1【解析】：将条件转化为“∃x∈R.ax2-2ax+3≤0成立.检验a=0是否满足条件.当a≠0 时.必须a＜0或{a＞04a2−12a≥0.从而解出实数a的取值范围.进而得解．【解答】：解：命题“ax2-2ax+3＞0恒成立”是假命题.即“∃x∈R.ax2-2ax+3≤0成立”是真命题① ．当a=0时. ① 不成立.当a≠0 时.要使① 成立.必须a＜0.或{a＞04a2−12a≥0.∴a＜0或a≥3故答案为：-1．【点评】：本题考查一元二次不等式的应用.注意联系对应的二次函数的图象特征.体现了等价转化和分类讨论的数学思想．14.（填空题.5分）某餐厅经营盒饭生意.每天的房租、人员工资等固定成本为200元.每盒盒饭的成本为15元.销售单价与日均销售量的关系如表：【正确答案】：[1]21.5【解析】：由表格信息可知.销售单价为16元时.销售量为480盒.当销售单价每增加1元.销售量则减少40盒.设销售单价为x元.则销售量为480-40（x-16）.再根据利润=总收入-总成本即可求出利润y关于销售单价x的函数.由二次函数的性质即可求出y的最大值．【解答】：解：由表格信息可知.销售单价为16元时.销售量为480盒.当销售单价每增加1元.销售量则减少40盒.设销售单价为x元.则销售量为480-40（x-16）=1120-40x.所以日销售利润y=（x-15）（1120-40x ）=-40x 2+1720x-16800.所以当x=21.5时.y 取得最大值.最大值为1690.即每盒盒饭定价为21.5元时.利润最大.最大利润为1690元．故答案为：21.5．【点评】：本题主要考查了函数的实际应用.考查了二次函数的性质.是基础题．15.（填空题.5分）函数 f (x )={x 2，x ≥t x ，0＜x ＜t（t ＞0）是区间（0.+∞）上的增函数.则t 的取值范围是___ ．【正确答案】：[1][1.+∞）【解析】：画出分段函数的图象.即可判断t 的取值范围．【解答】：解：函数 f (x )={x 2，x ≥t x ，0＜x ＜t （t ＞0）的图象如图：函数 f (x )={x 2，x ≥t x ，0＜x ＜t（t ＞0）是区间（0.+∞）上的增函数. 所以t≥1．故答案为：[1.+∞）．【点评】：本题考查函数的图象的画法.分段函数的应用.函数的单调性的应用.考查数形结合以及计算能力．16.（填空题.5分）几位同学在研究函数 f (x )=x 1+|x|（x∈R ）时给出了下面几个结论： ① 函数f （x ）的值域为（-1.1）；② 若x1≠x2.则一定有f（x1）≠f（x2）；③ f（x）在（0.+∞）是增函数；④ 若规定f1（x）=f（x）.且对任意正整数n都有：f n+1（x）=f（f n（x））.则f n(x)=x1+n|x|对任意n∈N*恒成立．上述结论中正确结论的序号为___ ．【正确答案】：[1] ① ② ③ ④【解析】：① 因为|x|＜1+|x|.所以由绝对值不等式得.函数值域（-1.1）．② f（x）= x1+|x|是一个奇函数.当x≥0时.f（x）= x1+x=1−11+x.可得函数f（x）在（0.+∞）上是一个增函数.由奇函数的性质知.函数f（x）= x1+|x|(x∈R)是一个增函数. 进而可得出正确．③ 理由同上．④ 由数学归纳法得证．【解答】：解：① 正确；∵|x|＜1+|x|.∴ x1+|x|∈(−1，1) .故函数值域（-1.1）．② 正确；f（x）= x1+|x|是一个奇函数.当x≥0时.f（x）= x1+x =1−11+x.可得函数f（x）在（0.+∞）上是一个增函数.由奇函数的性质知.函数f（x）= x1+|x|(x∈R)是一个增函数. ∴x1≠x2.一定有f（x1）≠f（x2）；③ 正确；由② 可知f（x）在（0.+∞）是增函数．④ 正确；当n=1时.f1（x）=f（x）= x1+|x|.f2（x）=x1+|x|1+|x|1+|x|=x1+2|x|.当n=k时.f k（x）= x1+k|x|成立.当n=k+1时.f k+1（x）=x1+k|x|1+|x|1+k|x|=x1+(k+1)|x|成立.由数学归纳法知.此命题正确．故答案为：① ② ③ ④ ．【点评】：本题考查函数的性质以及恒成立问题.属于中档题．17.（问答题.8分）设全集U=R.集合A=（-∞.-1]∪[4.+∞）.B=（-∞.1]．求：（1）∁U（A∪B）；（2）记∁U（A∪B）=M.N={x|a-1≤x≤-2a}.且M∩N=N.求a的取值范围．【正确答案】：【解析】：（2）根据条件M∩N=N.得N⊆M.利用集合关系进行求解即可．【解答】：解：（1）∵集合A=（-∞.-1]∪[4.+∞）.B=（-∞.1].∴A∪B=（-∞.1]∪[4.+∞）.∴∁U（A∪B）=（1.4）；（2）∵∁U（A∪B）=M=（1.4）；∵M∩N=N.∴N⊆M.若a-1＞-2a.即a＞13.此时N是空集.满足条件．若a ≤13 .则N不是空集.则满足{−2a≥a−1a−1＞1−2a＜4.即a不存在.综上：a＞13．即a的取值范围：{a|a ＞13}．【点评】：本题主要考查集合的基本运算.根据条件求出集合的等价条件.结合集合的基本运算是解决本题的关键．18.（问答题.10分）定义在R上的函数f（x）=x2-（2a+1）x-1（a∈R）．（1）若f（x）为偶函数且f（m+1）＞f（-m）.求实数m的取值范围；（2）若f（x）不是偶函数且在区间[-1.2]上不单调.求实数a的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）根据题意.由二次函数的性质以及函数奇偶性的性质可得f（m+1）＞f（-m）⇒f（|m+1|）＞f（|m|）⇒|m+1|＞|m|.解可得m的取值范围.即可得答案.（2）根据题意.求出f（x）的对称轴.由单调性的定义可得-1≤ 2a+12≤2且2a+12≠0.解可得a的取值范围.即可得答案．【解答】：解：（1）函数f（x）=x2-（2a+1）x-1.为开口向上的二次函数. 若f（x）为偶函数.则其对称轴为y轴.在区间[0.+∞）上为增函数.则f（m+1）＞f（-m）⇒f（|m+1|）＞f（|m|）⇒|m+1|＞|m|.解可得m＞- 12.即m的取值范围为（- 12.+∞）.（2）函数f（x）=x2-（2a+1）x-1.其对称轴为x= 2a+12.若f（x）不是偶函数且在区间[-1.2]上不单调.则有-1＜2a+12＜2且2a+12≠0.解可得- 32＜a＜32且a≠- 12.即a的取值范围为（- 32 .- 12）∪（- 12. 32）．【点评】：本题考查二次函数的性质.涉及函数的奇偶性与单调性的性质.属于基础题．19.（问答题.10分）记关于x的方程a（x-2）=- 1x在区间（0.3]上的解集为A.若A至多有2个不同的子集.求实数a的取值范围．【正确答案】：【解析】：由题意可知方程最多有1解.结合函数图象即可求出a的范围．【解答】：解：由题意可知集合A为空集或A中只有1个元素.故方程a（x-2）=- 1x在（0.3]上最多只有1解.故直线y=a（x-2）与y=- 1x在（0.3]上的图象最多有1个交点.不妨设直线y=a（x-2）与y=- 1x相切.切点为（x0.y0）.则{1x02=ay0=a(x0−2)y0=−1x0.解得x0=1.y0=-1.a=1.∴当a≤1时.直线y=a（x-2）与y=- 1x在（0.3]上的图象最多有1个交点.∴a≤1．【点评】：本题考查函数零点个数与函数图象的关系.属于中档题．20.（问答题.10分）已知不等式ax+1x−1＜0（a∈R）．（1）当a=2时.解这个不等式；（2）若ax+1x−1≤1-x对∀x∈（-∞.0）恒成立.求实数a的最大值．【正确答案】：【解析】：（1）a=2时不等式为2x+1x−1＜0.求出解集即可；（2）问题等价于a≤-x- 2x +2恒成立.求出f（x）=-x- 2x（x＜0）的最小值即可．【解答】：解：（1）a=2时.不等式ax+1x−1＜0为2x+1x−1＜0.等价于（2x+1）（x-1）＜0.解得- 12＜x＜1.所以不等式的解集为（- 12.1）．≤1-x对∀x∈（-∞.0）恒成立.（2）由ax+1x−1即x∈（-∞.0）时.x-1＜0.所以不等式可化为ax+1≥（1-x）（x-1）；即ax≥-x2+2x-2.+2；所以a≤-x- 2x.其中x＜0.设f（x）=-x- 2x) =2 √2 .所以f（x）的最小值为f（x）min=2 √(−x)•(−2x即a≤2 √2 +2；所以实数a的最大值为2 √2 +2．【点评】：本题考查了不等式恒成立问题.也考查了转化思想与计算能力.是中档题．21.（问答题.12分）已知f（x）是定义在R上的单调递减函数.对任意实数m.n都有f（m+n）=f（m）+f（n）.函数g（x）=2（x-x2）．定义在R上的单调递增函数h（x）的图象经过点A（0.0）和点B（2.2）．（1）判断函数f（x）的奇偶性并证明；（2）若∃t∈[-1.2].使得f（g（t）-1）+f（8t+m）＜0（m为常实数）成立.求m的取值范围；（3）设f（1）=-1.F1（x）=f（x）-x.F2（x）=g（x）.F3（x）=h（x）-h（2-x）.b i= i100（i=0.1.2.….100）．若M k=|F k（b1）-F k（b0）|+|F k（b2）-F k（b1）|+…+|F k（b100）-F k（b99）|（k=1.2.3）.比较M1.M2.M3的大小并说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）首先考查函数的定义域.然后利用赋值法进行证明即可得到函数的奇偶性；（2）结合函数的奇偶性和函数的单调性将原问题进行转换.然后利用二次函数在闭区间上的最小值即可确定实数m的取值范围；（3）结合函数的单调性求得M1.M2.M3的值.然后比较大小即可．【解答】：解：（1）f（x）为R上的奇函数．证明：函数的定义域关于坐标原点对称.取得m=n=0.则：f（0）=f（0）+f（0）.解得：f（0）=0取m=x.n=-x得f（0）=f（x）+f（-x）=0∴f（x）为R上的奇函数．（2）∵f（g（t）-1）+f（8t+m）＜0.∴f（g（t）-1）＜-f（8t+m）=f（-8t-m）结合函数的单调性有∃t∈[-1.2].g（t）-1＞-8t-m成立.即∃t∈[-1.2].使得2（t-t2）-1＞-8t-m成立.整理可得∃t∈[-1.2].使得m＞2t2-10t+1成立.则m＞（2t2-10t+1）min.结合二次函数的性质可得二次函数g（t）=2t2-10t+1在[-1.2]上的最小值为g（2）=-11．m的取值范围是{m|m＞-11}．（3）由函数的解析式可得F1（x）=f（x）-x单调递增.则M1=|F1（b1）-F1（b0）|+|F1（b2）-F1（b1）|+…+|F1（b100）-F1（b99）|=F1（b1）-F1（b0）+F1（b2）-F1（b1）+…+F1（b100）-F1（b99）=F1（b100）-F1（b0）=-f（1）+1-1=2．而g（x）=-2（x- 12）2+ 12在区间[0. 12]上单调递增.在区间[ 12.1]上单调递减.故M2=|F2（b1）-F2（b0）|+|F2（b2）-F2（b1）|+…+|F2（b100）-F2（b99）|=F2（b1）-F2（b0）+F2（b2）-F2（b1）+…+F2（b50）-F2（b49）+f2（b50）-F2（b51）+…+F2（b99）-F2（b100）=2F2（12）-F2（0）+F2（1）=2× 12-0-0=1．由h（x）在R上单调递增.易证F3（x）=h（x）-h（2-x）在R上单调递增.所以M3=|F3（b1）-F3（b0）|+|F3（b2）-F3（b1）|+⋯+|F3（b100）-F3（b99）|=F3（b1）-F3（b0）+F3（b2）-F3（b1）+⋯+F3（b100）-F3（b99）=F3（b100）-F3（b0）=F3（1）-F3（0）=（h（1）-h（2-1））-（h（0）-h（2））=0-（0-2）=2.综上.M1=M3＞M2．【点评】：本题考查了抽象函数奇偶性的判断.函数的单调性.恒成立问题.新定义知识的应用等.属于较困难的试题．。
【精品高一数学试卷】2019-2020北京高一(上)期中+答案
2019-2020学年北京高一（上）期中数学试卷一、选择题1．（3分）已知集合A＝{3，5，6，8}，B＝{1，3，5}，那么A∩B＝（）A．{1，3，5，6，8}B．{6，8}C．{3，5}D．{1，6，8} 2．（3分）如果a＞b，那么下列不等式一定成立的是（）A．a+c＞b+c B．c﹣a＞c﹣b C．﹣2a＞﹣2b D．a2＞b23．（3分）给出下列四个函数：①y＝﹣x2+1；②y=√x；③y=−1x；④y＝|x|．其中在区间（0，+∞）上是减函数的是（）A．①B．②C．③D．④4．（3分）如图，给出了奇函数f（x）的局部图象，那么f（1）等于（）A．﹣4B．﹣2C．2D．45．（3分）如果幂函数f（x）＝x a的图象经过点（2，4），则f（x）在定义域内（）A．为增函数B．为减函数C．有最小值D．有最大值6．（3分）已知a＞0，那么a−2+4a的最小值是（）A．1B．2C．4D．5 7．（3分）下列函数中，与函数y＝x（x≥0）有相同图象的一个是（）A．y=√x2B．y=x2x C．y=√x23D．y=(√x)28．（3分）设a，b是实数，则“a+b＞0”是“ab＞0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件9．（3分）汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程．如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确的是（）A ．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B ．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C ．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D ．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油 10．（3分）函数f(x)={x 2，x ≥tx ，0＜x ＜t （t ＞0）是区间（0，+∞）上的增函数，则t 的取值范围是（ ） A ．1B ．（0，+∞）C ．（1，+∞）D ．[1，+∞）11．（3分）若函数f （x ）同时满足：（1）对于定义域内的任意x ，有f （x ）+f （﹣x ）＝0； （2）对于定义域内的任意x 1，x 2，当x 1≠x 2时，有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜0，则称函数f （x ）为“理想函数”．给出下列四个函数：①f （x ）＝x 2；②f （x ）＝﹣x 3；③f(x)=x −1x ；④f(x)={−x 2，x ≥0x 2，x ＜0．其中是“理想函数”的序号是（ ） A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④12．（3分）对于集合M ＝{a |a ＝x 2﹣y 2，x ∈Z ，y ∈Z }，给出如下三个结论：其中正确结论的个数是（ ）①如果P ＝{b |b ＝2n +1，n ∈Z }，那么P ⊆M ； ②如果c ＝4n +2，n ∈Z ，那么c ∉M ； ③如果a 1∈M ，a 2∈M ，那么a 1a 2∈M ． A ．1 B ．2 C ．3 D ．0二、填空题13．（3分）已知函数f(x)={1，x ≥0−2x ，x ＜0，如果f （m ）＝4，那么实数m 的值为 ．14．（3分）已知二次函数f （x ）满足如表所给对应关系：x 1 2 4 f （x ）﹣1则不等式f （x ）＜0的解集为 ．15．（3分）命题“∀x ∈R ，|x |+1≥1”的否定是 ．16．（3分）函数y ＝f （x ）（x ≠0）是奇函数，且当x ∈（0，+∞）时，函数y ＝f （x ）单调递增．若f （1）＝0，则f （﹣1）＝ ；不等式f （x ）＜0的解集为 ． 17．（3分）若“x 2﹣2x ﹣3＞0”是“x ＜a ”的必要不充分条件，则a 的最大值为 ． 18．（3分）已知函数f(x)=4√mx −2mx+1的定义域为R ，则实数m 的取值范围是 ．19．（3分）设函数f （x ）＝x ﹣[x ]（x ≥0），其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如：[√3]=1，[2]＝2．若函数y ＝kx 的图象与函数f （x ）的图象恰有3个交点，则实数k 的取值范围是 ．20．（3分）已知函数f(x)={x +4x ，0＜x ＜4−x 2+10x −20，x ≥4，若有且仅有不相等的三个正数x 1，x 2，x 3，使得f （x 1）＝f （x 2）＝f （x 3），则x 1+x 2+x 3的值为 ，若存在0＜x 1＜x 2＜x 3＜x 4，使得f （x 1）＝f （x 2）＝f （x 3）＝f （x 4），则x 1x 2x 3x 4的取值范围是 ． 三、解答题21．已知集合A ＝{x |x 2﹣4x +3≤0}，B ={x|1x−1＞0}． （1）求（∁R B ）∪A ；（2）若集合C ＝{x |（x ﹣a ）（x ﹣a ﹣1）＜0}（a ∈R ），且C ⊆A ，求实数a 的取值范围． 22．函数f （x ）=ax+b 1+x 2是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且f （12）=25．（1）确定函数f （x ）的解析式；（2）用定义证明f （x ）在（﹣1，1）上是增函数； （3）解不等式f （t ﹣1）+f （t ）＜0．23．某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族S 中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当S 中x %（0＜x ＜100）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为f （x ）={30，0＜x ≤302x +1800x −90，30＜x ＜100（单位：分钟）， 而公交群体的人均通勤时间不受x 影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：（1）当x 在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？ （2）求该地上班族S 的人均通勤时间g （x ）的表达式；讨论g （x ）的单调性，并说明其实际意义．24．设函数y ＝f （x ）与函数y ＝f （f （x ））的定义域交集为D ，集合M 是由所有具有性质：“对任意的x ∈D ，都有f （f （x ））＝x ”的函数f （x ）组成的集合．（1）判断函数f （x ）＝2x ﹣1和g(x)=1x是不是集合M 中的元素？并说明理由． （2）设函数f （x ）∈M ，且f （x ）＝kx +b （k ≠0），试求函数f （x ）的解析式． （3）已知f(x)=axx+b ∈M ，试求实数a ，b 应满足的关系．2019-2020学年北京高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题1．【解答】解：∵A＝{3，5，6，8}，B＝{1，3，5}，∴A∩B＝{3，5}．故选：C．2．【解答】解：∵a＞b，∴a+c＞b+c，∴A正确．故选：A．3．【解答】解：根据题意，依次分析所给的四个函数：对于①y＝﹣x2+1，为二次函数，在（0，+∞）上是减函数；对于②y=√x，在（0，+∞）上是增函数；对于③y=−1x，为反比例函数，在（0，+∞）上是增函数；对于④y＝|x|，当x＞0时，y＝x，即其在（0，+∞）上是增函数；故选：A．4．【解答】解：根据题意，由函数的图象可得f（﹣1）＝2，又由函数为奇函数，则f（1）＝﹣f（﹣1）＝﹣2，故选：B．5．【解答】解：设幂函数f（x）＝x a，∵幂函数f（x）＝xα的图象经过点（2，4），∴f（2）＝2a＝4，解得a＝2，∴f（x）＝x2，∴f（x）在定义域先递减再递增，有最小值，故选：C．6．【解答】解：根据题意，a−2+4a=a+4a−2，又由a＞0，则a−2+4a=a+4a−2≥2√a×4a−2＝2，当且仅当a＝2时等号成立，即a−2+4a的最小值是2；故选：B．7．【解答】解：判断与y＝x（x≥0）是否有相同图象，即是判断哪个函数与y＝x（x≥0）表示同一个函数，A.y=√x2=|x|，解析式不同，不是同一个函数；B.y=x2x的定义域为{x|x≠0}，而y＝x（x≥0）的定义域为{x|x≥0}，定义域不同，不是同一个函数；C.y=√x23=x23，解析式不同，不是同一个函数；D.y=(√x)2=x的定义域为{x|x≥0}，定义域和解析式都相同，是同一个函数．故选：D．8．【解答】解：a，b是实数，如果a＝﹣1，b＝2则“a+b＞0”，则“ab＞0”不成立．如果a＝﹣1，b＝﹣2，ab＞0，但是a+b＞0不成立，所以设a，b是实数，则“a+b＞0”是“ab＞0”的既不充分也不必要条件．故选：D．9．【解答】解：对于A，由图象可知当速度大于40km/h时，乙车的燃油效率大于5km/L，∴当速度大于40km/h时，消耗1 升汽油，乙车的行驶距离大于5km，故A错误；对于B，由图象可知当速度相同时，甲车的燃油效率最高，即当速度相同时，消耗1 升汽油，甲车的行驶路程最远，∴以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最少，故B错误；对于C，由图象可知当速度为80km/h时，甲车的燃油效率为10km/L，即甲车行驶10km 时，耗油1 升，故行驶1 小时，路程为80km，燃油为8 升，故C错误；对于D，由图象可知当速度小于80km/h时，丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率，∴用丙车比用乙车更省油，故D正确；故选：D．10．【解答】解：∵y＝x2和y＝x在（0，+∞）上都是增函数，要想函数f(x)={x2，x≥tx，0＜x＜t（t＞0）是区间（0，+∞）上的增函数，只需在端点处y＝x2的图象在y＝x的上方即可，∴t2≥t解得t≥1，故选：D．11．【解答】解：若f（x）是“理想函数”，则满足以下两条：①对于定义域上的任意x ，恒有f （x ）+f （﹣x ）＝0，即f （﹣x ）＝﹣f （x ）， 则函数f （x ）是奇函数；②对于定义域上的任意x 1，x 2，当x 1≠x 2时，有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜0，即（x 1﹣x 2）[f （x 1）﹣f （x 2）]＜0，∴x 1＜x 2时，f （x 1）＞f （x 2），即函数f （x ）是单调递减函数． 故f （x ）为定义域上的单调递减的奇函数．①f （x ）＝x 2在定义域R 是偶函数，所以不是“理想函数”；②f （x ）＝﹣x 3在定义域R 上是奇函数，且在R 上单调递减，所以是“理想函数”； ③f （x ）＝x −1x在定义域所在区间（﹣∞，0），（0，+∞）上分别单调递增，所以不是“理想函数”；④f （x ）={−x 2，x ≥0x 2，x ＜0，在定义域R 上既是奇函数，又是减函数，所以是“理想函数”． 故选：C ．12．【解答】解：集合M ＝{a |a ＝x 2﹣y 2，x ∈Z ，y ∈Z }， 对于①，b ＝2n +1，n ∈Z ， 则恒有2n +1＝（n +1）2﹣n 2，∴2n +1∈M ，即P ＝{b |b ＝2n +1，n ∈Z }，则P ⊆M ，①正确； 对于②，c ＝4n +2，n ∈Z ，若4n +2∈M ，则存在x ，y ∈Z 使得x 2﹣y 2＝4n +2， ∴4n +2＝（x +y ）（x ﹣y ）， 又x +y 和x ﹣y 同奇或同偶，若x +y 和x ﹣y 都是奇数，则（x +y ）（x ﹣y ）为奇数，而4n +2是偶数；若x +y 和x ﹣y 都是偶数，则（x +y ）（x ﹣y ）能被4整除，而4n +2不能被4整除， ∴4n +2∉M ，即c ∉M ，②正确； 对于③，a 1∈M ，a 2∈M ，可设a 1＝x 12﹣y 12，a 2＝x 22﹣y 22，x i 、y i ∈Z ； 则a 1a 2＝（x 12﹣y 12）（x 22﹣y 22）＝（x 1x 2）2+（y 1y 2）2﹣（x 1y 2）2﹣（x 2y 1）2＝（x1x2+y1y2）2﹣（x1y2+x2y1）2∈M那么a1a2∈M，③正确．综上，正确的命题是①②③．故选：C．二、填空题13．【解答】解：当m≥0时，∵函数在x≥0时，f（x）＝1，∴f（m）＝1≠4，不合题意舍去；当m≤0时，∵函数x＜0时，f（x）＝﹣2x，∴f（m）＝﹣2m＝4，∴m＝﹣2．故答案为：﹣2．14．【解答】解：设函数f（x）＝ax2+bx+c，（a≠0），由表中数据知1和4是方程f（x）＝0的两根，又f（2）＝﹣1＜0，故此二次函数是开口向上的抛物线，并且与X轴交于两点（1，0）和（4，0），∴不等式f（x）＜0的解集为1＜x＜4．故答案为：（1，4）．15．【解答】解：命题“∀x∈R，|x|+1≥1”是全称命题，其否定为特称命题，∴命题“∀x∈R，|x|+1≥1”的否定是“∃x0∈R，|x0|+1＜1”．故答案为：“∃x0∈R，|x0|+1＜1”．16．【解答】解：根据题意，因为函数y＝f（x）（x≠0）是奇函数，则f（﹣1）＝﹣f（1）＝0，即f（1）＝0；当x∈（0，+∞）时，函数y＝f（x）单调递增，且f（1）＝0，则在区间（0，1）上，f （x）＜0，在区间（1，+∞）上，f（x）＞0，又由f（x）为奇函数，则在区间（﹣1，0）上，f（x）＞0，在区间（﹣∞，﹣1）上，f （x）＜0，综合可得：不等式f（x）＜0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（0，1）；故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（0，1）．17．【解答】解：因x 2﹣2x ﹣3＞0得x ＜﹣1或x ＞3，又“x 2﹣2x ﹣3＞0”是“x ＜a ”的必要不充分条件，知“x ＜a ”可以推出“x 2﹣2x ﹣3＞0”， 反之不成立． 则a 的最大值为﹣1． 故答案为：﹣1．18．【解答】解：∵f （x ）的定义域为R ， ∴不等式mx 2﹣2mx +1＞0的解集为R ， ①m ＝0时，1＞0恒成立，满足题意； ②m ≠0时，{m ＞0△=4m 2−4m ＜0，解得0＜m ＜1，∴实数m 的取值范围是[0，1）． 故答案为：[0，1）．19．【解答】解：画出f （x ）的示意图如下：当y ＝kx 过（3，1）时，k =13，当y ＝kx 过（4，1）时，k =14， 所以k ∈（14，13），故答案为：（14，13）．20．【解答】解：不妨设x 1、x 2、x 3、x 4按从左到右顺序排列： 如下图：当y＝4或5时，有且仅有不相等的三个正数x1，x2，x3，使得f（x1）＝f（x2）＝f（x3），则当y＝4时，x1＝2，x2＝4，x3＝6，此时x1+x2+x3＝12；当y＝5时，x1＝1，x2＝4，x3＝5，此时x1+x2+x3＝11．如图，，结合上问可知，当y∈（4，5）时，存在0＜x1＜x2＜x3＜x4，使得f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝f（x4），不妨令此时y＝a，则对于x1、x2满足方程x+4x=a，即x2﹣ax+4＝0，所以x1x2＝4；对于x3、x4满足方程﹣x2+10x﹣20＝a，即﹣x2+10x﹣20﹣a＝0，所以x3+x4＝10，则有x4＝10﹣x3，所以x 1x 2x 3x 4＝4x 3x 4＝4x 3（10﹣x 3）＝﹣4（x 3﹣5）2+100，其中x 3∈（4，5），则﹣4（x 3﹣5）2+100∈（96，100），故答案为：12或11；（96，100）．三、解答题21．【解答】解：（1）A ＝{x |1≤x ≤3}，B ＝{x |x ＞1}，∴∁R B ＝{x |x ≤1}，（∁R B ）∪A ＝{x |x ≤3}；（2）C ＝{x |a ＜x ＜a +1}，且C ⊆A ，∴{a ≥1a +1≤3，解得1≤a ≤2， ∴实数a 的取值范围为[1，2]．22．【解答】解：（1）由题意得{f(0)=0f(12)=25， 由此可解得{a =1b =0， ∴f(x)=x 1+x 2． （2）证明：设﹣1＜x 1＜x 2＜1，则有f(x 1)−f(x 2)=x 11+x 12−x 21+x 22=(x 1−x 2)(1−x 1x 2)(1+x 12)(1+x 22)， ∵﹣1＜x 1＜x 2＜1，∴x 1﹣x 2＜0，1+x 12＞0，1+x 22＞0，1﹣x 1x 2＞0，∴f （x 1）﹣f （x 2）＜0，∴f （x ）在（﹣1，1）上是增函数．（3）f （t ﹣1）+f （t ）＜0，∴f （t ﹣1）＜﹣f （t ），即f （t ﹣1）＜f （﹣t ），∵f （x ）在（﹣1，1）上是增函数，∴﹣1＜t ﹣1＜﹣t ＜1，解之得0＜t ＜12．23．【解答】解；（1）由题意知，当30＜x ＜100时，f （x ）＝2x +1800x −90＞40， 即x 2﹣65x +900＞0，解得x ＜20或x ＞45，∴x ∈（45，100）时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间；（2）当0＜x ≤30时，g （x ）＝30•x %+40（1﹣x %）＝40−x 10； 当30＜x ＜100时， g （x ）＝（2x +1800x −90）•x %+40（1﹣x %）=x 250−1310x +58；∴g （x ）={40−x 10x 250−1310x +58； 当0＜x ＜32.5时，g （x ）单调递减；当32.5＜x ＜100时，g （x ）单调递增；说明该地上班族S 中有小于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递减的；有大于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递增的；当自驾人数为32.5%时，人均通勤时间最少．24．【解答】解：（1）对任意x ∈R ，f （f （x ））＝2（2x ﹣1）﹣1＝4x ﹣3≠x ，所以f （x ）不是集合M 中的元素；g 对任意x ≠0，（g （x ））=11x =x ，所以g （x ）是集合M 中的函数；（2）因为函数f （x ）∈M ，所以f （f （x ））＝k （kx +b ）+b ＝k 2x +（k +1）b ＝x ， 所以k 2＝1，（k +1）b ＝0，解得k ＝1，b ＝0，或k ＝﹣1，b 取任何实数，则f （x ）＝x 或f （x ）＝﹣x +b ；（3）因为f(x)=ax x+b ∈M ，所以f （f （x ））=a⋅ax x+b ax x+b +b =x ，即（a +b ）x 2﹣（a 2﹣b 2）x ＝0恒成立，故a +b ＝0．。
【精品高一数学试卷】2019-2020高一(上)期中+答案
2019-2020学年北京高一（上）期中数学试卷一、选择题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（4分）若集合A ＝{0，1，2，4}，B ＝{1，2，3}，则A ∩B ＝（ ） A ．{0，1，2，3，4} B ．{0，4}C ．{1，2}D ．{3}2．（4分）已知ln 2＝a ，ln 3＝b ，那么log 32用含a ，b 的代数式表示为（ ） A ．a +bB ．a ﹣bC ．abD ．ab3．（4分）下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增的是（ ） A ．f （x ）＝ln |x |B ．f （x ）＝2﹣xC ．f （x ）＝x 3D ．f （x ）＝﹣x 24．（4分）设函数D(x)={1，x ∈Q 0，x ∉Q，则f[f(−√2)]的值为（ ）A ．0B ．1C ．﹣1D ．不存在5．（4分）已知a ＝log 52，b ＝log 0.50.2，c ＝0.50.2，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a ＜c ＜bB ．a ＜b ＜cC ．b ＜c ＜aD ．c ＜a ＜b6．（4分）设a 、b 是实数，则“a ＞b ＞0”是“a 2＞b 2”的（ ） A ．充分必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分而不必要条件D ．既不充分也不必要条件7．（4分）已知函数f （x ）=6x −log 2x ，在下列区间中，包含f （x ）零点的区间是（ ） A ．（0，1）B ．（1，2）C ．（2，4）D ．（4，+∞）8．（4分）地震里氏震级是地震强度大小的一种度量．地震释放的能量E （单位：焦耳）与地震里氏震级M 之间的关系为lgE ＝4.8+1.5M ．已知两次地震的里氏震级分别为8.0级和7.5级，若它们释放的能量分别为E 1和E 2，则E 1E 2的值所在的区间为（ ）A ．（1，2）B ．（5，6）C ．（7，8）D ．（15，16）二、填空题共10小题，每小题4分，共40分 9．（4分）函数f （x ）=√2x −4的定义域为 ．10．（4分）已知函数f(x)={2x ，x ＞1log 12x ，0＜x ≤1，则f(f(14))= ；若f （x ）＝1，则x＝ ．11．（4分）函数f(x)=x+2x−1（x＞1）的最小值是；取到最小值时，x＝．12．（4分）设a为常数，函数f（x）＝x2﹣6x+3，若f（x+a）为偶函数，则a＝．13．（4分）定义在R上的函数f（x）是奇函数，且f（x）在（0，+∞）是增函数，f（3）＝0，则不等式f（x）＞0的解集为．14．（4分）能够说明“设a，b，c是任意实数．若a＞b＞c，则a+b＞c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为．15．（4分）已知非空集合A，B满足以下两个条件：（ⅰ）A∪B＝{1，2，3，4}，A∩B＝∅；（ⅱ）集合A的元素个数不是A中的元素，集合B的元素个数不是B中的元素．那么用列举法表示集合A为．16．（4分）对于函数f（x），若f（x0）＝x0，则称x0为f（x）的“不动点”，若f[f（x0）]＝x0，则称x0为f（x）的“稳定点”，函数f（x）的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A和B，即A＝{x|f（x）＝x}，B＝{x|f[f（x）]＝x}，那么：（1）函数g（x）＝x2﹣2的“不动点”为；（2）集合A与集合B的关系是．17．（4分）若x、y∈R+，且1x+3y=4，则yx的最大值为．18．（4分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝x2﹣2ax+a，其中a∈R①f（−12）＝②若f（x）的值域是R，则a的取值范围是三、解答题共6小题，每小题13分，共78分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．19．（13分）已知全集U＝R，集合P＝{x|x（x﹣2）≥0}，M＝{x|a＜x＜a+3}．（Ⅰ）求集合∁U P；（Ⅱ）若a＝1，求集合P∩M；（Ⅲ）若∁U P⊆M，求实数a的取值范围．20．（13分）解下列关于x的不等式（Ⅰ）（x﹣1）（x﹣2）＜0；（Ⅱ）|2x﹣1|＜3；（Ⅲ）x2﹣（3a+1）x+2a（a+1）＞0．21．（13分）已知函数f(x)=x+1 x+2．（Ⅰ）求f[f（1）]的值；（Ⅱ）若f（x）＞1，求x的取值范围；（Ⅲ）判断函数在（﹣2，+∞）上的单调性，并用定义加以证明．22．（13分）已知函数f（x）＝x2﹣2ax+1，x∈[0，2]上．（Ⅰ）若a＝﹣1，则f（x）的最小值；（Ⅱ）若a=12，求f（x）的最大值；（Ⅲ）求f（x）的最小值．23．（13分）如果定义在[0，1]上的函数f（x）同时满足：①f（x）≥0；②f（1）＝1③若x1≥0，x2≥0且x1+x2≤1，则f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）成立．那么就称函数f（x）为“梦幻函数”．（Ⅰ）分别判断函数f（x）＝x与g（x）＝2x，x∈[0，1]是否为“梦幻函数”，并说明理由；（Ⅱ）若函数f（x）为“梦幻函数”，求函数f（x）的最小值和最大值；24．（13分）设函数f（x）的定义域为R，如果存在函数g（x），使得f（x）≥g（x）对于一切实数x都成立，那么称g（x）为函数f（x）的一个承托函数．已知函数f（x）＝ax2+bx+c 的图象经过点（﹣1，0）．（1）若a＝1，b＝2．写出函数f（x）的一个承托函数（结论不要求证明）；（2）判断是否存在常数a，b，c，使得y＝x为函数f（x）的一个承托函数，且f（x）为函数y=12x2+12的一个承托函数？若存在，求出a，b，c的值；若不存在，说明理由．2019-2020学年北京高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．【解答】解：∵A＝{0，1，2，4}，B＝{1，2，3}，∴A∩B＝{0，1，2，4}∩{1，2，3}＝{1，2}．故选：C．2．【解答】解：∵In2＝a，In3＝b，又∵log32=ln2 ln3∴log32=a b故选：D．3．【解答】解：函数f（x）＝ln|x|是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增，满足题意；函数f（x）＝2﹣x是非奇非偶函数，不满足题意；函数f（x）＝x3是奇函数，不满足题意；函数f（x）＝﹣x2是偶函数，但在区间（0，+∞）上单调递减，不满足题意；故选：A．4．【解答】解：∵函数D(x)={1，x∈Q 0，x∉Q，∴f（−√2）＝0，∴f[f(−√2)]=f（0）＝1．故选：B．5．【解答】解：由题意，可知：a＝log52＜1，b＝log0.50.2=log1215=log2−15−1=log25＞log24＝2．c＝0.50.2＜1，∴b最大，a、c都小于1．∵a＝log52=1log25，c＝0.50.2=(12)15=√125=1√25．而log25＞log24＝2＞√25，∴1log 25√25．∴a ＜c ， ∴a ＜c ＜b ． 故选：A ．6．【解答】解：若a ＞b ＞0，则a 2＞b 2成立，若a ＝﹣2，b ＝1，满足a 2＞b 2，但a ＞b ＞0不成立， 故“a ＞b ＞0”是“a 2＞b 2”的充分不必要条件， 故选：C ．7．【解答】解：∵f （x ）=6x−log 2x ， ∴f （2）＝2＞0，f （4）=−12＜0， 满足f （2）f （4）＜0，∴f （x ）在区间（2，4）内必有零点， 故选：C ．8．【解答】解：lgE ＝4.8+1.5M ，∴lgE 1＝4.8+1.5×8＝16.8，lgE 2＝4.8+1.5×7.5＝16.05， ∴E 1＝1016.8，E 2＝1016.05， ∴E 1E 2=100.75，∵100.75＞90.75＝31.5＝3×√3＞5， ∴E 1E 2的值所在的区间为（5，6），故选：B ．二、填空题共10小题，每小题4分，共40分 9．【解答】解：由题意得：2x ﹣4≥0，解得：x ≥2， 故函数的定义域是[2，+∞）， 故答案为：[2，+∞）．10．【解答】解：函数f(x)={2x ，x ＞1log 12x ，0＜x ≤1，则f(f(14))=f （log 1214）＝f （2）＝22＝4，若f （x ）＝1，若x ＞1，可得2x ＝1，解得x ＝0（舍去）； 若0＜x ≤1，可得log 12x ＝1，解得x =12，综上可得x =12． 故答案为：4，12．11．【解答】解：∵x ＞1， ∴x ﹣1＞0，由基本不等式可得y ＝x +2x−1=x ﹣1+2x−1+1≥2√(x −1)⋅2x−1+1＝2√2+1， 当且仅当x ﹣1=2x−1即x ＝1+√2时，函数取得最小值2√2+1． 故答案为：2√2+1；1+√2．12．【解答】解：根据题意，函数f （x ）＝x 2﹣6x +3＝（x ﹣3）2﹣6，为二次函数且其对称轴为x ＝3，f （x +a ）＝（x +a ﹣3）2﹣6，为偶函数，必有a ＝3； 故答案为：313．【解答】解：∵f （x ）在R 上是奇函数，且f （x ）在（0，+∞）上是增函数， ∴f （x ）在（﹣∞，0）上也是增函数，由f （﹣3）＝0，得﹣f （3）＝0，即f （3）＝0，由f （﹣0）＝﹣f （0），得f （0）＝0， 作出f （x ）的草图，如图所示：∴f （x ）＞0的解集为：（﹣3，0）∪（3，+∞）， 故答案为：（﹣3，0）∪（3，+∞）．14．【解答】解：设a ，b ，c 是任意实数．若a ＞b ＞c ，则a +b ＞c ”是假命题， 则若a ＞b ＞c ，则a +b ≤c ”是真命题，可设a ，b ，c 的值依次﹣1，﹣2，﹣3，（答案不唯一）， 故答案为：﹣1，﹣2，﹣315．【解答】解：∵（ⅰ）A ∪B ＝{1，2，3，4}，A ∩B ＝∅；（ⅱ）集合A 的元素个数不是A 中的元素，集合B 的元素个数不是B 中的元素． 则A ，B 不能为空集，且A ，B 不能均为二元集合， 若A 含一个元素，则该元素只能是3，即A ＝{1} 若A 含三个元素，则元素不能有3，即A ＝{1，2，4} 故答案为：{3}或{1，2，4}（答对一个给3分）16．【解答】解：（1）∵若f （x 0）＝x 0，则称x 0为f （x ）的“不动点”，即即A ＝{x |f （x ）＝x }，设函数g （x ）＝x 2﹣2的“不动点”为x 0，x 02﹣2＝x 0，求得x 0＝2，或x 0＝﹣1，故A ＝{2，﹣1}．故答案为：x 0＝2，或x 0＝﹣1．（2）∵满足f [f （x 0）]＝x 0，则称x 0为f （x ）的“稳定点”，即B ＝{x |f [f （x ）]＝x }． ∵函数g （x ）＝x 2﹣2，∴函数g [g （x ）]＝g 2（x ）﹣2＝[x 2﹣2]2﹣2＝x 4﹣4x 2+2， 由g [g （x ）]＝x 2，可得 x 4﹣4x 2+2＝x ，求得x ＝2，故B ＝{2}， ∴B ⫋A ， 故答案为：B ⫋A ．17．【解答】解：∵x 、y ∈R +，且1x+3y =4，∴y =43−13x ， ∵x ＞0，y =43−13x＞0， ∴0＜1x ＜4， 则yx =43x−13x 2=−13(1x)2+43⋅1x，结合二次函数的性质可知，当1x=2即x =12时，y x取得最大值43．故答案为：4318．【解答】解：①f （−12）＝﹣f （12）＝﹣[（12）2﹣a +a ]=−14；②因为f （x ）是R 上的奇函数，且值域为R ，所以x ＞0时，△＝（﹣2a ）2﹣4a ≥0，解得：a ≤0或a ≥1；故答案为：①−14；②（﹣∞，0]∪[1，+∞）三、解答题共6小题，每小题13分，共78分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．19．【解答】解：（Ⅰ）∵全集U ＝R ，集合P ＝{x |x （x ﹣2）≥0}＝{x |x ≤0或x ≥2}， ∴集合∁U P ＝{x |0＜x ＜2}．（Ⅱ）a ＝1时，M ＝{x |a ＜x ＜a +3}＝{x |1＜x ＜4}． ∴集合P ∩M ＝{x |2≤x ＜4}．（Ⅲ）∵集合∁U P ＝{x |0＜x ＜2}，M ＝{x |a ＜x ＜a +3}， ∁U P ⊆M ，∴{a ≤0a +3≥2，解得﹣1≤a ≤0． ∴实数a 的取值范围是[﹣1，0]．20．【解答】解：（Ⅰ）由（x ﹣1）（x ﹣2）＜0，可得1＜x ＜2， 故原不等式的解集为{x |1＜x ＜2}．（Ⅱ）由|2x ﹣1|＜3，可得﹣3＜2x ﹣1＜3，求得﹣1＜x ＜2， 故原不等式的解集为（﹣1，2）．（Ⅲ）由x 2﹣（3a +1）x +2a （a +1）＞0，可得[x ﹣（2a ）][x ﹣（a +1）]＞0， 当2a ＞a +1时，即a ＞1时，不等式的解集为（﹣∞，a +1）∪（2a ，+∞）； 当2a ＝a +1时，即a ＝1时，不等式的解集为{x |x ≠2}；当2a ＜a +1时，即a ＜1时，不等式的解集为（﹣∞，2a ）∪（a +1，+∞）．21．【解答】解：（Ⅰ）f [f （1）]=f(23)=23+123+2=58； （Ⅱ）由f （x ）＞1得，x+1x+2＞1，化简得，1x+2＜0，∴x ＜﹣2，∴x 的取值范围为（﹣∞，﹣2）； （Ⅲ）f(x)=x+1x+2=1−1x+2，f （x ）在（﹣2，+∞）上是增函数，证明如下： 设x 1＞x 2＞﹣2，则：f(x 1)−f(x 2)=1x 2+2−1x 1+2=x 1−x 2(x 1+2)(x 2+2)， ∵x 1＞x 2＞﹣2，∴x 1﹣x 2＞0，x 1+2＞0，x 2+2＞0， ∴x 1−x 2(x 1+2)(x 2+2)＞0，∴f （x 1）＞f （x 2），∴f （x ）在（﹣2，+∞）上是增函数．22．【解答】解：（Ⅰ）当a ＝﹣1时，f （x ）＝x 2+2x +1， 因为x ∈[0，2]，f （x ）min ＝1； （Ⅱ）当a =12，f （x ）＝x 2﹣x +1， 因为x ∈[0，2]，f （x ）max ＝3； （Ⅲ）当a ＜0时，f （x ）min ＝1， 当0≤a ≤2时，f （x ）min ＝1﹣a 2， 当a ＞2时，f （x ）min ＝5﹣4a ， 综上：f(x)={1a ＜01−a 20≤a ≤25−4aa ＞2．23．【解答】解：（Ⅰ）①显然，在[0，1]上满足f （x ）＝x ≥0，g （x ）＝2x ≥0； ②f （1）＝1，g （1）＝2；③若x 1≥0，x 2≥0且x 1+x 2≤1，则f （x 1+x 2）﹣[f （x 1）+f （x 2）]＝x 1+x 2﹣[x 1+x 2]＝0，即f （x 1+x 2）≥f （x 1）+f （x 2）成立；∴f （x ）＝x 是“梦幻函数”，g （x ）＝2x 不是“梦幻函数”；（Ⅱ）设x 1，x 2∈[0，1]，x 1＜x 2，则x 2﹣x 1∈（0，1]，∴f （x 1）﹣f （x 2）＝f （x 1）﹣f （x 2﹣x 1+x 1）≤f （x 1）﹣[f （x 1）+f （x 2﹣x 1）]＝﹣f （x 2﹣x 1）≤0， ∴f （x 1）≤f （x 2），∴f （x ）在[0，1]单调递增，令x 1＝x 2＝0，∵x 1≥0，x 2≥0且x 1+x 2≤1，则f （x 1+x 2）≥f （x 1）+f （x 2）成立， ∴0≥2f （0），又f （x ）≥0，∴f （0）＝0，∴当x ＝0时，f （x ）取最小值f （0）＝0，当x ＝1时，f （x ）取最大值f （1）＝1．24．【解答】解：（1）函数f （x ）＝ax 2+bx +c 的图象经过点（﹣1，0）， 可得a ﹣b +c ＝0，又a ＝1，b ＝2， 则f （x ）＝x 2+2x +1，由新定义可得g （x ）＝x 为函数f （x ）的一个承托函数；（2）假设存在常数a ，b ，c ，使得y ＝x 为函数f （x ）的一个承托函数， 且f （x ）为函数y =12x 2+12的一个承托函数．即有x≤ax2+bx+c≤12x2+12恒成立，令x＝1可得1≤a+b+c≤1，即为a+b+c＝1，即1﹣b＝a+c，又ax2+（b﹣1）x+c≥0恒成立，可得a＞0，且（b﹣1）2﹣4ac≤0，即为（a+c）2﹣4ac≤0，即有a＝c；又（a−12）x2+bx+c−12≤0恒成立，可得a＜12，且b2﹣4（a−12）（c−12）≤0，即有（1﹣2a）2﹣4（a−12）2≤0恒成立．故存在常数a，b，c，且0＜a＝c＜12，b＝1﹣2a，可取a＝c=14，b=12．满足题意．。
2023-2024学年北京市101中学高一(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年北京市101中学高一（上）期中数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．已知集合A ＝{﹣1，0，1，2}，B ＝{x |﹣1＜x ≤1}，则A ∩B ＝（ ） A ．{1}B ．{0，1}C ．{﹣1，0，1}D ．{﹣1，0，1，2}2．设命题p ：∃x ∈Z ，x 2≥2x +1，则p 的否定为（ ） A ．∀x ∉Z ，x 2＜2x +1 B ．∀x ∈Z ，x 2＜2x +1 C ．∃x ∉Z ，x 2＜2x +1D ．∃x ∈Z ，x 2＜2x +13．下列四个函数中，在（0，+∞）上为增函数的是（ ） A ．f （x ）＝3﹣x B ．f （x ）＝x 2﹣3x C ．f （x ）=−1x+1D ．f （x ）＝﹣|x |4．若a ＞b ＞0，c ＞d ＞0，则一定有（ ） A ．ac＞bdB ．a d＜bcC ．a c＜bdD ．a d＞bc5．定义在R 上的函数f （x ）在（﹣∞，2）上是单调增函数，且f （x +2）＝f （2﹣x ）对任意x ∈R 恒成立，则（ ）A ．f （﹣1）＜f （3）B ．f （﹣1）＝f （3）C ．f （0）＞f （3）D ．f （0）＝f （3）6．若函数f(x)={3−x 2−1≤x ≤2x −32＜x ≤5，则方程f （x ）＝1的解是（ ）A ．√2或2B ．√2或3C ．√2或4D ．±√2或47．已知关于x 的一元二次方程mx 2﹣（m +2）x +m4=0有两个不相等的实数根x 1，x 2.若1x 1+1x 2=4m ，则m 的值是（ ） A ．2B ．﹣1C ．2或﹣1D ．不存在8．已知a ＞0，且关于x 的不等式x 2﹣2x +a ＜0的解集为（m ，n ），则1m+4n的最小值为（ ）A ．92B ．4C ．72D ．29．已知a 1，a 2，b 1，b 2均为非零实数，不等式a 1x +b 1＜0与不等式a 2x +b 2＜0的解集分别为集合M 和集合N ，那么“a 1a 2=b 1b 2”是“M ＝N ”的（ ）A ．充分非必要条件B ．既非充分又非必要条件C ．充要条件D ．必要非充分条件10．已知f （x ）＝x 2﹣2kx +3k 2﹣3k +1（k ∈R ）．以下四个命题： ①对任意实数x ，存在k ，使得f （x ）＞0； ②对任意k ，存在实数x ，使得f （x ）＞0； ③对任意实数k ，x ，均有f （x ）＞0成立； ④对任意实数k ，x ，均有f （x ）＜0成立． 其中所有正确的命题是（ ） A ．①②B ．②③C ．①③D ．②④二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。