高三数学集体备课记录(函数的单调性与导数)
函数的单调性与导数教案
函数的单调性与导数教案一、教学目标1. 让学生理解函数的单调性的概念，能够判断函数的单调性。
2. 让学生掌握导数的定义，能够计算常见函数的导数。
3. 让学生理解导数与函数单调性的关系，能够利用导数判断函数的单调性。
二、教学内容1. 函数的单调性定义：如果函数f(x)在区间I上，对于任意的x1, x2∈I，当x1 < x2时，都有f(x1) ≤f(x2)，则称f(x)在区间I上为增函数；如果对于任意的x1, x2∈I，当x1 < x2时，都有f(x1) ≥f(x2)，则称f(x)在区间I上为减函数。
2. 导数的定义定义：函数f(x)在点x处的导数定义为函数在点x处的切线斜率，记作f'(x)，即f'(x) =lim┬(h→0)〖(f(x+h)-f(x))/h〗。
3. 常见函数的导数（1）常数函数f(x) = c，其导数为f'(x) = 0。
（2）幂函数f(x) = x^n，其导数为f'(x) = nx^(n-1)。
（3）指数函数f(x) = a^x，其导数为f'(x) = a^x ln(a)。
（4）对数函数f(x) = ln(x)，其导数为f'(x) = 1/x。
4. 导数与函数单调性的关系（1）如果f'(x) > 0，则f(x)在区间(-∞, +∞)上为增函数。
（2）如果f'(x) < 0，则f(x)在区间(-∞, +∞)上为减函数。
（3）如果f'(x) = 0，则f(x)可能在某点处改变单调性。
三、教学方法1. 采用讲解法，讲解函数的单调性和导数的定义及计算方法。
2. 采用案例分析法，分析导数与函数单调性的关系。
3. 采用练习法，让学生通过练习巩固所学知识。
四、教学步骤1. 导入：回顾函数的概念，引导学生思考函数的单调性。
2. 讲解：讲解函数的单调性的定义，并通过实例演示如何判断函数的单调性。
3. 讲解：引入导数的定义，讲解常见函数的导数计算方法。
《导数与函数的单调性》集体备课
一次函数以外的函数呢？
再讨论：
⑴
⑵
⑶
⑷
特点与上同，这两类函数均为单调函数。
再讨论： 的导数与单调性
四、规律总结：
如果在某个区间内，函数 的导数 ，则在这个区间上，函数 是增加的；
如果在某个区间内，函数 的导数 ，则在这个区间上，函数 是减少的。
五、利用规律：
例：求 的递增区间与递减区间。
重点
利用导数研究函数的单调性
难点
理解函数的单调性与导数的关系
教学方法
启发式
课前准备
学法
教学过程
一、复习导入：
导数的定义及几何意义、单调性定义
二、问题提出：
导数与函数的单调性都是刻画函数的变化，它们两者之间有何关系？
三、实例分析：
讨论下列各函数的导数、单调性：
⑴
⑵
⑶
（解答过程、参考图像）
特点分析：导数为正的函数在其定义域上是增加的；
解：由导数公式和求导法则可得：
当 或 时， ，在这个区间上函数是增加的；
当 时， ，在这个区间上函数是减少的。
所以，函数 的递增区间为 和 ，递减区间为 。
另：函数的单调性决定了函数的图像的大致形状。
（引导学生画图，培养学生的数形结合思想）
六、学生练习：
求下列函数的单调区间
⑴பைடு நூலகம்
⑵
七、拓展探究：
讨论 的单调性
3、利用导数判断函数单调性的步骤：
⑴确定 的定义域；
⑵求导数
⑶由 （或 ）解出相应的 的取值范围。
二次备课
教
学
反
思
A. B.
C. C.
函数单调性集体备课教案
函数单调性集体备课教案导语：函数单调性是数学中一个重要的概念，它描述了函数图像在定义域上的增减趋势。
理解函数单调性的概念对于解决许多与函数有关的问题至关重要。
本文将介绍函数单调性的基本定义、判定方法以及解题技巧，并提供一份集体备课教案，帮助教师为学生掌握函数单调性的相关知识。
一、函数单调性的定义函数单调性指的是函数图像在定义域上的增减趋势。
具体来说，如果函数的定义域上的任意两个不同的自变量对应的函数值满足下列条件之一：1. 函数值随自变量的增大而增大，称为函数在该定义域上是递增的；2. 函数值随自变量的增大而减小，称为函数在该定义域上是递减的。
二、函数单调性的判定方法1. 利用函数的导数：函数在某一区间内递增或递减，可以通过求函数的导数来判定。
如果函数在该区间上的导数恒大于零，则函数在该区间上是递增的；如果函数在该区间上的导数恒小于零，则函数在该区间上是递减的。
2. 利用函数的一阶导数和二阶导数：对于二次可导的函数，可以通过判断一阶导数和二阶导数的符号来确定函数的单调性。
当一阶导数大于零且二阶导数大于等于零时，函数在该区间上是递增的；当一阶导数小于零且二阶导数小于等于零时，函数在该区间上是递减的。
三、解题技巧1. 对于一元函数，可以通过求导的方式来判定函数的单调性。
首先确定函数的定义域，然后求函数的导数并分析导数的正负号，最后将正负号与函数的单调性对应起来。
2. 对于含有参数的函数，可以通过将参数看做常数的方式来判定函数的单调性。
具体做法是先假设参数为常数，然后按照一元函数的思路来判定函数的单调性，最后再讨论参数的取值范围对函数单调性的影响。
四、集体备课教案下面是一份集体备课教案，帮助教师为学生掌握函数单调性的相关知识。
备课教案：函数单调性教学目标：1.了解函数单调性的概念；2.掌握函数单调性的判定方法；3.能够应用函数单调性的知识解决实际问题。
教学步骤：Step 1：引入函数单调性的概念（10分钟）1.通过举例子的方式引入函数单调性的概念。
高中数学函数集体备课教案
高中数学函数集体备课教案
课时安排：2课时
教学目标：
1. 了解函数的基本概念和性质；
2. 能够掌握函数的表示方法；
3. 掌握函数的运算规律；
4. 能够解决与函数相关的问题。
教学准备：
1. 教师准备：教案、教材、课件、教具等；
2. 学生准备：学习笔记、教材、书写工具等。
教学过程：
第一课时：
1. 引入：通过实例引导学生思考什么是函数；
2. 定义函数：向学生介绍函数的定义，包括定义域、值域、对应关系等；
3. 函数的表示方法：介绍函数的表示方法，包括公式、图像、表格等；
4. 函数的运算规律：讲解函数的四则运算规律，包括加法、减法、乘法、除法；
5. 练习：让学生完成几道与函数相关的练习题。
第二课时：
1. 函数的性质：讲解函数的奇偶性、单调性、周期性等性质；
2. 函数的图像：介绍函数的图像，包括平移、翻转等变换；
3. 特殊函数：讲解常见的函数形式，如一次函数、二次函数、指数函数等；
4. 应用：引导学生通过函数解决实际问题；
5. 总结复习：回顾本节课的重点知识点，做一次小结，并布置相关作业。
教学反思：
通过本节课的教学，学生应该能够对函数的基本概念和性质有一定了解，并能够熟练运用函数的表示方法和运算规律。
同时，通过应用题的训练，学生的解决问题的能力也将有所提高。
在未来的教学中，应该继续强调函数与实际问题的联系，引导学生将数学知识灵活应用于实际生活中。
高中数学备课教案函数与导数的应用函数的单调性与极值
高中数学备课教案函数与导数的应用函数的单调性与极值高中数学备课教案函数与导数的应用函数的单调性与极值引言：数学是一门抽象而又应用广泛的学科，函数与导数是数学中的重要概念，它们在实际问题的解决中扮演着至关重要的角色。
本教案将重点讲解函数的单调性与极值的概念及其应用。
一、函数的单调性1.1 函数的递增性与递减性在数学中，我们常常研究函数在定义域上的变化趋势。
当函数的自变量增加时，如果对应的函数值也增加，则我们称该函数在此区间上是递增的；反之，如果函数的自变量增加而函数值减少，则该函数在此区间上是递减的。
1.2 单调函数的性质单调函数具有一些重要的性质，如：（1）单调递增的函数的反函数是单调递减的函数；（2）如果函数在某个区间上是递增的，那么它在该区间上存在最小值；（3）如果函数在某个区间上是递减的，那么它在该区间上存在最大值。
二、函数的极值2.1 驻点与极值点在函数中，极值点是指函数的图像上出现了极大值或极小值的点。
而驻点是指在该点处，函数的导数等于零或者不存在。
极值点必然是驻点，但是驻点不一定是极值点。
2.2 导数与函数的极值函数的极值与其导数之间密切相关。
当函数在某点的导数等于零时，这个点可能是极大值或极小值的位置。
我们可以通过求取函数的导数和二阶导数来判断极值点的存在与性质。
三、函数的单调性与极值的应用3.1 最优化问题最优化问题是研究如何在一定的条件下寻找函数取得最大值或最小值的问题。
通过研究函数的单调性和极值点，我们可以解决很多最优化问题，比如寻找函数模型在某个范围内的最大值或最小值。
3.2 最优路径问题最优路径问题是指在给定条件下，寻找一个最佳路径使得某种指标达到最优的问题。
通过研究函数的单调性和极值点，我们可以解决很多最优路径问题，如寻找两点之间的最短路径、最快路径等。
3.3 最佳决策问题最佳决策问题是指在给定条件下，通过分析问题的相关数据和函数的单调性与极值来做出最佳的决策，以达到最优的效果。
高考数学复习知识点讲解教案第16讲 导数与函数的单调性
变式题（1） 已知函数，则不等式 的解集是( )
B
A. B. C. D.
[解析] 因为，当且仅当 ，即时，等号成立，所以在上单调递增，而且.由 ，得，则，解得 .故选B.
例1 ［配例1使用］ （多选题）设函数 在定义域内可导，的图象如图所示，则下列不可能是导函数 的图象的是( )
ABC
A. B. C. D.
[解析] 因为当时,,所以当 时,,所以的单调递减区间是 .
题组二 常错题
◆ 索引：弄错可导函数在某区间上单调时导数满足的条件致误;求单调区间时忽略定义域;讨论函数单调性时分类标准有误.
4.若函数在上单调递增，则 的取值范围是_______.
[解析] 方法一：由，得或， 函数 的单调递增区间为， 函数在 上单调递增，，,又， .
（2） 函数， .
解 .①当时，因为，所以在上恒成立，所以在 上单调递增；②当时，令，得,由，得，则 在上单调递增，由，得，则在 上单调递减.综上，当时，在上单调递增，当时，在 上单调递减，在 上单调递增.
探究点三 已知函数单调性确定参数的取值范围
例3 已知函数 .
（1） 若函数在区间上单调递增，求 的取值范围；
C
A. B. C. D.
[解析] 由题可知在区间上恒成立，即 对任意恒成立.令，可得 ，所以在区间上单调递增，所以，故 ，所以，所以的最小值为 .故选C.
（2） 若函数在区间上单调，则实数 的取值范围是______________________.
或
[解析] ，令，得，令 ，得，所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为 .因为函数在区间上单调，所以或 ，解得或 .
函数单调性集体备课教案
课题主备人教材分析§1.3.1函数的单调性组员1．教学内容本节课内容教材共分两课时进行，这是第一课时，该课时主要学习函数的单调性的的概念，依据函数图象判断函数的单调性和应用定义证明函数的单调性。
2．教材的地位和作用函数单调性是高中数学中相当重要的一个基础知识点，是研究和讨论初等函数有关性质的基础。
掌握本节内容不仅为今后的函数学习打下理论基础，还有利于培养学生的抽象思维能力，及分析问题和解决问题的能力。
3．教材的重点﹑难点﹑关键教学重点：函数单调性的概念和判断某些函数单调性的方法。
明确单调性是一个局部概念.教学难点：领会函数单调性的实质与应用，明确单调性是一个局部的概念。
教学关键：从学生的学习心理和认知结构出发，讲清楚概念的形成过程．4．学情分析高一学生正处于以感性思维为主的年龄阶段，而且思维逐步地从感性思维过渡到理性思维，并由此向逻辑思维发展，但学生思维不成熟、不严密、意志力薄弱，故而整个教学环节总是创设恰当的问题情境，引导学生积极思考，培养他们的逻辑思维能力。
从学生的认知结构来看，他们只能根据函数的图象观察出“随着自变量的增大函数值增大”等变化趋势，所以在教学中要充分利用好函数图象的直观性，发挥好图像的优势；由于学生在概念的掌握上缺少系统性、严谨性，在教学中注意加强.（1）理解函数单调性的定义、明确增函数、减函数的图象教学目标知识与技能过程与方法特征.（2）能利用函数图象划分函数的单调区间，并能利用定义进行证明.由一元一次函数、一元二次函数的图象，让学生从图象获得“上升”“下降”的整体认识.利用函数对应的表格，用自然语言描述图象特征“上升”“下降”最后运用数学符号将自然语言的描述提升到形式化的定义，从而构造函数单调性的概念.情感态度与价值观在形与数的结合中感知数学的内在美，在图形语言、自然语言、数学语言的转化中感知数学的严谨美.的直观认识.( 一 ) 提 察 中 获 O 1 x增大，或由自变量的增大而减 函数 f (x) = x 2 在 y 轴左侧是下 变 化 差 降的，在 y 轴右侧是上升的.变小；而自变量由 0 到 4 变化，列表： .教学 重点教学 难点教学 方法函数单调性的概念和判断某些函数单调性的方法。
数学北师大版高中必修1《函数的单调性》集体备课稿
集体备课《函数单调性》一、教材分析1、新课程对本节的要求人教A版《数学必修1》教材P.27——P.32讲述的是关于函数单调性的判定和应用，《普通高中数学课程标准（实验）》对本节内容有如下要求：（1）理解函数单调性的概念（重视让学生经历概念的形成过程）（2）会判断一些函数的单调性（3）理解函数单调性的证明步骤和方法（4）能利用函数的单调性求一些函数的最大（小）值（5）学会运用函数图像理解和研究函数的性质。
《新课标》给的建议是，教师应帮助学生经历如下的过程：通过丰富具体实例让学生学习函数的相关概念，能借助计算器或计算机画出具体函数的图像，通过相关函数的图象理解并研究其函数的性质及变化规律，了解各类具体函数的实际背景及广泛应用，不是形式化地学习函数的相关概念、图象和性质。
显然，教材很好诠释了课标，也丰富了课标，在备课组集体备课的过程中，通过分析学生的情况和结合以往的教学经验，我认为转化思想方法对学生来说是一个难点，分类讨论思想及具体的操作在上节课“两条直线平行的条件”中应该体现的较为充分，至于分析法的运用，学生在学习平面几何证明的过程中应该有这方面的训练素养，所以结合新课标和学生实际，本节课的教学重点应设为经历问题“解析化”的过程，突出“坐标法”的应用。
2、教材的地位和作用（1）本节课主要对函数单调性的学习；（2）它是在学习函数概念的基础上进行学习的，同时又为基本初等函数的学习奠定了基础，所以他在教材中起着承前启后的重要作用；（可以看看这一课题的前后章节来写）（3）它是历年高考的热点、难点问题（根据具体的课题改变就行了，如果不是热点难点问题就删掉）2、教材重、难点重点：函数单调性的定义难点：函数单调性的证明重难点突破：在学生已有知识的基础上，通过认真观察思考，并通过小组合作探究的办法来实现重难点突破。
（这个必须要有）二、教学目标知识目标：（1）函数单调性的定义（2）函数单调性的证明能力目标：培养学生全面分析、抽象和概括的能力，以及了解由简单到复杂，由特殊到一般的化归思想情感目标：培养学生勇于探索的精神和善于合作的意识（这样的教学目标设计更注重教学过程和情感体验，立足教学目标多元化）三、教法学法分析1、教法分析“教必有法而教无定法”，只有方法得当才会有效。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高三数学集体备课记录
二．教学过程：
（一）复习回顾，知识梳理
1． 常见函数的导数公式：
；；；． 2．法则1 ．
法则2 , ．
法则3 ． 3．复合函数的导数：设函数u =(x )在点x 处有导数u ′x =′(x )，函数
y =f (u )在点x 的对应点u 处有导数y ′u =f ′(u )，则复合函数y =f ( (x ))在点x 处也有导数，且 或f ′x ( (x ))=f ′(u ) ′(x )．
4．复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代．
5．对数函数的导数： ．
6．指数函数的导数：； ．
（二）讲解新课 1． 函数的导数与函数的单调性的关系：
我们已经知道，曲线y=f(x)的切线的斜率就是函数y=f(x)的导数．从函数的图像 可以看到：
的值随着x 的增大而增大，即>0时，函数y=f(x) 在区间（2，）为增函数；在区间（，2），切线的斜率为负，函数y=f(x)的值随着x 的增大而减小，即0时，函数y=f(x) 在区间（，2）为减函数
定义：一般地，设函数y=f(x) 在某个区间有导数，如果在这个区间>0，那么函数y=f(x) 在为这个区间的增函数；如果在这个区间<0，那么函数y=f(x) 在为这个区间的减函数
2．用导数求函数单调区间的步骤： ①求函数f (x )的导数f ′(x )．
②令f ′(x )＞0解不等式，得x 的围就是递增区间。
③令f ′(x )＜0解不等式，得x 的围，就是递减区间。
（三）、讲解例
0'=C 1)'(-=n n nx x x
x cos )'(sin =x x sin )'(cos -=)()()]()(['''x v x u x v x u ±=±[()()]'()()()'()u x v x u x v x u x v x '=+[()]'()Cu x Cu x '='
2
''
(0)u u v uv v v v -⎛⎫=≠ ⎪⎝
⎭
ϕϕϕx u x u y y '''⋅=ϕϕx x 1)'(ln =e x
x a a log 1
)'(log =x x e e =)'(a a a x x ln )'(=342+-=x x y /y ∞+∞-/y <∞-/y /y
例1确定函数f (x )=x 2－2x +4在哪个区间是增函数，哪个区间是减函数。
解：f ′(x )=(x 2－2x +4)′=2x －2． 令2x －2＞0，解得x ＞1．
∴当x ∈(1，+∞)时，f ′(x )＞0，f (x )是增函数． 令2x －2＜0，解得x ＜1．
∴当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )＜0，f (x )是减函数．
例2确定函数f (x )=2x 3－6x 2+7在哪个区间是增函数，哪个区间是减函数 解：f ′(x )=(2x 3－6x 2+7)′=6x 2－12x 令6x 2－12x ＞0，解得x ＞2或x ＜0
∴当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )＞0，f (x )是增函数．
当x ∈(2，+∞)时，f ′(x )＞0，f (x )是增函数．
令6x 2－12x ＜0，解得0＜x ＜2．
∴当x ∈(0，2)时，f ′(x )＜0，f (x )是减函数． 例3证明函数f (x )=
在(0，+∞)上是减函数． 证法一：（用以前学的方法证） 证法二：（用导数方法证） ∵f ′(x )=(
)′=(－1)·x －2=－，x ＞0，∴x 2＞0，∴－＜0． ∴f ′(x )＜0，∴f (x )= 在(0，+∞)上是减函数。
点评：比较一下两种方法，用求导证明是不是更简捷一些．如果是更复杂一些的函数，用导数的符号判别函数的增减性更能显示出它的优越性。
例4求函数y =x 2(1－x )3的单调区间．
解：y ′=［x 2(1－x )3］′=2x (1－x )3+x 2·3(1－x )2·(－1) =x (1－x )2［2(1－x )－3x ］=x (1－x )2·(2－5x )
令x (1－x )2(2－5x )＞0，解得0＜x ＜
． ∴y =x 2(1－x )3的单调增区间是(0，
) 令x (1－x )2
(2－5x )＜0，解得x ＜0或x ＞且x ≠1．
∵为拐点，∴y =x 2(1－x )3的单调减区间是(－∞，0)，(
，+∞) x
1
x 1
21x 21x
21
x
5
2
5
25
2
1x =5
2
例5当x ＞0时，证明不等式：1+2x ＜e 2
x ．
分析：假设令f (x )=e 2x －1－2x ．∵f (0)=e 0－1－0=0, 如果能够证明f (x )在(0，+∞)上是增函数，那么f (x )＞0，则不等式就可以证明。
证明：令f (x )=e 2x －1－2x ． ∴f ′(x )=2e 2x －2=2(e 2x －1)
∵x ＞0，∴e 2x ＞e 0=1，∴2(e 2x
－1)＞0, 即f ′(x )＞0 ∴f (x )=e 2x －1－2x 在(0，+∞)上是增函数。
∵f (0)=e 0－1－0=0．∴当x ＞0时，f (x )＞f (0)=0，即e 2x －1－2x ＞0． ∴1+2x ＜e 2x
点评：所以以后要证明不等式时，可以利用函数的单调性进行证明，把特殊点找出来使函数的值为0。
例6已知函数y =x +
，试讨论出此函数的单调区间。
解：y ′=(x +
)′ =1－1·x －2
= 令＞0． 解得x ＞1或x ＜
－1．
∴y =x +
的单调增区间是(－∞，－1)和(1，+∞)． 令
＜0，解得－1＜x ＜0或0＜x ＜1．
∴y =x +
的单调减区间是(－1，0)和(0，1)． （四）课堂练习
1．确定下列函数的单调区间 (1)y =x 3－9x 2+24x (2)y =x －x 3
x
1
x
1
2
22)
1)(1(1x
x x x x -+=-2
)
1)(1(x x x -+x
1
2
)
1)(1(x x x -+x
1
2．讨论二次函数y =ax 2+bx +c (a ＞0)的单调区间．
3．求下列函数的单调区间(1)y =
(2)y = (3)y =+x
（五）小结
f (x )在某区间可导，可以根据f ′(x )＞0或f ′(x )＜0求函数的单调区间，或判断函数的单调性，或证明不等式．以及当f ′(x )=0在某个区间上，那么f (x )在这个区间上是常数函数
（五）.课后作业 步步高P285-286
三．教学反思：本节课通过观察分析、小组讨论，加深了学生对函数单调性与导数关
系的理解，但在练习中发现部分学生对求导公式记忆不牢，运用时不熟练且易出错，所以接下来的学习中还要加强此方面的巩固练习。
x
x 2
+92-x x x。