高等数学课件：习题课(06)导数与微分续
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高等数学课件---导数与微分
x
2!
(3)取极限：
dy dx
lim
x0
y x
lim
x0
nx
n1
n(n 1) 2!
xn2x
(x)n1
nxn1,
即
xn nxn1 .（n 为正整数）
一般地，对 y x（ 是实数），也有 x x1.这个公式
在后面将给出证明.例如：
x
1
x2
1 2x
，
1 x
x 1
1 x2
第二节 求导法则
一、函数的和、差、积、商的求导法则
定理 1 设函数 u u（x） 与 v v（x）在点 x处可导, 则函数u（x） v（x）, u（x）v（x）,uv（（xx））（v（x） 0）也 在点 x处可导,且有以下法则:
(1) [u（x） v（x）] u（x） v（x）;
(2) [u(x)v(x)] u(x)v(x) u(x)v(x) ,
？ 注意: f (x0) [ f (x0) ]
4. 设
存在 , 则
lim
h0
f
( x0
h) h
f
(x0 )
___f_(_x_0_)_ .
小结
1.导数的概念:
导数的定义 左，右导数 导数的几何意义 变化率模型
2.可导与连续: 可导必定连续,连续不一定可导
3.求导举例:
求增量 算比值 取极限
4.已学过的导数公式
x0
x
x0
x
(当x→0 时, exlna 1与 xlna 是等价无穷小)
a x lim x ln a a x ln a x0 x
1,2,3合并
即
(ax) = ax lna .
《导数与微分》ppt课件
求 求导方法：
y
（1）求出函数的增量
B
M T
y f (x0 x) f (x0 )
Mo A αφ
x0
△y dy △x X0+△x x
２、作出比值： y
x
y
３、求出 x 0 时 x 的极限。
二、可导与连续的关系
函数在点 x0
连续，指
lim y 0
x0
存在。
,可导是
lim
x0
y x
定理：如果y=f(x) 在点x0处可导，则它在点x0 处一定连续。
9 5
k
1___ k
1 25
切线方程y x ____ y 1 x 25
例：一球在斜面上向上滚动，已知在t(s)时球与 起始位置的距离是s(t) 3t t2, 求初速度、何时 开始下滚？ 解：v(t) s' (t) 3 2t ___ t 0 v(0) 3m / s 当v 0时开始下滚， 3 2t 0 t 1.5s
数
u,对v, 应y 增量 u, v, y
y (u u)(v v) uv uv vu u v
y u v v u u v
x
x x x
y ' (uv)' uv' u 'v
例: 例1、2、3、4 p26
例：求y x sin x cosx 的导数 x cosx sin x
x
2!
y ' lim y nx n1 x0 x
即： (x n )' nxn1
对于n为任意实数时，上式也成立。
例7：正弦函数 y sin x 的导数
y sin(x x) sin x 2cos(x x) sin x
2
高等数学(第二版)课件：导数与微分
即 c' 0
例8 幂函数的导数。设 y xn（ n 为正整数），求 y' 。
解： 记 f (x) xn ，
y (x x)n xn xn nxn1x n(n 1) xn2 (x)2
2
nxn1x n(n 1) xn2 (x)2 (x)n
2
y nxn1 n(n 1) xn2x (x)n1
f
'(
x0
)
lim
x x0
f (x) f (x0 ) x x0
例1 求函数 y x2 5x 在 x 1处的导数。
解：当 x 1时，y 4。当x 1 x 时，y (1 x)2 5 (1 x) ， 故
y (1 x)2 5 (1 x) (1 5) 2x (x)2 5x (x)2 3x
三、导数的几何意义
函数 f (x)在 x0 处的导数 f '(x0 )，其几何意义就是函数 y f (x)在点M (x0, y0 )处的切线的斜率
f
'( x0 )
lim
x0
y x
lim
x0
tan
tan
( )
2
如果 f '(x0 ) 0，则函数曲线在相应点 M 处的切线倾角 是锐角，且在点 M 附近曲线是上升的。
（2）
如果极限
lim
x0
f (x0
x) x
f (x0 ) 存在，则称此
极限值为 f (x)在点 x0 处的右导数，记作 f '(x0 ) 。
显然，当且仅当 f (x)在点 x0 处的左、右导数都存在 且相等时，函数在该点才是可导的。左右导数常常 用于讨论分段函数在分段点处的可导性。
另外，如果 f (x) 在开区间 (a,b) 内处处可导，且 f '(a) 及 f'(b) 均存在，则称 f (x)在闭区间 [a,b] 上可导。
(新版)高数PPT课件：连续,导数、微分
dy dx
或
x x0
df ( x) dx
, x x0
即
y
x x0
y lim x x0
lim
x0
f
( x0
x) x
f ( x0 )
其他形式
f
( x0 )
lim
h0
f
( x0
h) h
f
(x0 ) .
f
(
x0
)
lim
x x0
f (x) f (x0 ) . x x0
關於導數的說明：
★ 点导数是因变量在点x0处的变化率,它 反映了因变量随自变量的变化而变化的快 慢程度.
幾何解釋:
y
连续曲线弧 y f ( x)的两个 端点位于x轴的不同侧,则曲 a o
y f (x) 1 2 3 b x
线弧与 x轴至少有一个交点.
定理 4(介值定理) 设函数 f (x)在闭区间 a,b
上连续，且在这区间的端点取不同的函数值
f (a) A 及 f (b) B ,
那末，对于A 与B 之间的任意一个数C ，在开区间
又 f (0) 1 0, f (1) 2 0, 由零點定理,
(a, b), 使 f ( ) 0, 即 3 4 2 1 0,
方程x3 4x2 1 0在(0,1)内至少有一根 .
例2 设函数 f ( x)在区间[a, b]上连续, 且f (a) a,
f (b) b. 证明 (a, b), 使得 f ( ) .
1.跳躍間斷點 如果 f ( x)在点 x0处左, 右极限都
存在,但f ( x0 0) f ( x0 0), 则称点 x0为函数 f ( x)的跳跃间断点.
例4
高等数学导数与微分ppt
h 则 tanα = 500
h
dα = 1 ⋅ 1 ⋅140 故sec α = 2 , ∴ d t 2 500
2
两边对 t 求导 500 1 dh dα 2 = 2 2 sec α ⋅ sec α = 1+ tan α 500 dt dt dh 已知 = 140 , 且h = 500 时, tanα = 1 , dt h=500 ( rad/ m ) in
若上述参数方程中 则由它确定的函数 利用新的参数方程
二阶可导, 二阶可导 且 可求二阶导数 . , 可得 dy ψ′(t ) : = G(t) = dx ϕ′(t )
x = ϕ(t )
d2 y d d = (G(t )) = (G(t )) dx 2 d x dx dt dt ψ′′(t )ϕ′(t ) −ψ′(t )ϕ′′(t ) = ϕ′(t ) ′2 (t ) ϕ
( x −1)( x − 2) 例6. 求 y = 的导数. 的导数 ( x − 3)( x − 4)
可以验证
′ u′( x) (ln | u( x) |) = u( x)
先两边取对数
1 ln y = [ ln(x −1) + ln(x − 2)− ln( x − 3) − ln( x − 4)] 2
由直线的点斜式公式， 由直线的点斜式公式， 得椭圆在点 处的切线方程
化简后得
注意 : 已知
×
t f ′′(t )
x = f ′(t ) d2 y 例如， 例如 y = t f ′(t ) − f (t ) , 且 f ′′(t ) ≠ 0, 求 2 . dx
dy dy / dt = 解: = dx dx / dt
r
πR (h− x)
导数与微分PPT优秀课件
x x0
当 f(x0)0 时,曲线 f ( x ) 在 M 0 的法线方程为
1 yf(x0)f(x0)(xx0).
而当 f(x0)0时,曲线 f ( x ) 在 M 0 的法线方程为
x x0 (即法线平行y轴).
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例3 求函数 y 的x 2导数
解: (1)求增量:
yf(x x )f(x )
2.2.5 隐函数和由参数方程确定的函数的导数
1. 隐函数的导数
隐函数即是由 F(x, y)所确定的函数，其求导方法就是把y 看成x的函数，方程两端同时对x求导，然后解出 y 。
例9 求方程 eyx2yex0所确定的函数的导数
解： 方程两端对x求导得
eyy (2 x y x 2y ) e x 0
x0 x
lim f ( x0 x) f ( x0 )
x0
x
y
y f (x) N
y
M
T
x P
O
x 0 x0 x x
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例2 产品总成本的变化率
设某产品的总成本C是产量Q的函数，即C=C(Q )，当产
量Q 从Q 0 变到 Q0 Q 时，总成本相应地改变量为
C C ( Q 0 Q ) C ( Q 0 )
定理3.1 y = f (x)在x =x0可导的充分必要条件是 y = f (x)在x=x0 的左、右导数存在且相等.
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三、导数的几何意义
当自变量x 0 从变化到 x0 x 时，曲线y=f(x)
上的点由M0(x0, f(x0)).变到M (x 0 x ,f(x 0 x )).
x
即
(tanx)sec2x
类似可得(cotx)csc2x
当 f(x0)0 时,曲线 f ( x ) 在 M 0 的法线方程为
1 yf(x0)f(x0)(xx0).
而当 f(x0)0时,曲线 f ( x ) 在 M 0 的法线方程为
x x0 (即法线平行y轴).
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例3 求函数 y 的x 2导数
解: (1)求增量:
yf(x x )f(x )
2.2.5 隐函数和由参数方程确定的函数的导数
1. 隐函数的导数
隐函数即是由 F(x, y)所确定的函数，其求导方法就是把y 看成x的函数，方程两端同时对x求导，然后解出 y 。
例9 求方程 eyx2yex0所确定的函数的导数
解： 方程两端对x求导得
eyy (2 x y x 2y ) e x 0
x0 x
lim f ( x0 x) f ( x0 )
x0
x
y
y f (x) N
y
M
T
x P
O
x 0 x0 x x
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例2 产品总成本的变化率
设某产品的总成本C是产量Q的函数，即C=C(Q )，当产
量Q 从Q 0 变到 Q0 Q 时，总成本相应地改变量为
C C ( Q 0 Q ) C ( Q 0 )
定理3.1 y = f (x)在x =x0可导的充分必要条件是 y = f (x)在x=x0 的左、右导数存在且相等.
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三、导数的几何意义
当自变量x 0 从变化到 x0 x 时，曲线y=f(x)
上的点由M0(x0, f(x0)).变到M (x 0 x ,f(x 0 x )).
x
即
(tanx)sec2x
类似可得(cotx)csc2x
高等数学PPT导数和微分
它是在x处，y随x变化的变化率。
第四章
导数与微分
§ 4. 2
4.2 导数的基本公式与求导法则 求函数的导数，是我们经常要做的事情，但由定义求一个函数 的导数，是很麻烦的事情。 本节要做的，是从导数定义出发，推出一些导数的公式与法则。 然后，借助这些公式与法则来求导数，就方便多了。
4.2.1 基本初等函数的导数 例4.2.1．f (x) = c，即常值函数，求f ’(x)
解：由定义
f ( x △x) f ( x) cc c' lim lim 0 x 0 x 0 △x x
所以，常数的导数为0，即 c’ = 0
第四章
导数与微分
§ 4. 2
例4.2.2．f (x) = sinx，求f ’(x) 解：由定义
x x 2 cos x sin sin(x x) sin x 2 2 (sin x)' lim lim x 0 x 0 x x x sin x 2 cos x lim cos x lim x 0 x 2 x 0 2 (sinx)’ = cosx 所以，
(注意，本步用了加减同一项的因式分解技巧)
g ( x x) g ( x) f ( x x) f ( x) lim g ( x x) f ( x) x 0 x x
f ' ( x ) g ( x ) f ( x) g ' ( x )
②．再取极限： 按照物理学中瞬时速度的定义，
v lim v lim
t 0 t 0
O
t0
图4.1-3
t
S (t0 t ) S (t0 ) t
第四章
高数导数与微分PPT课件
例1、设 y 2x5 sin x, 求 y和 y(0).
解: y 10x4 cos x, y 40x3 sin x,
y 120x2 cos x, y(0) 1
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三、求导法则
(1) 函数的和、差、积、商的求导法则
设u u( x), v v( x)可导，则
100!
练习2、设 f (x) x 1,用导数的定义求f (2).
解: f (2) lim f ( x) f (2) lim
x2 x 2
x2
lim 1 1 x2 x 1 1 2
x 11 x2
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6、导数的几何意义
f ( x0 )表示曲线 y f ( x)在点 M ( x0 , f ( x0 ))处切线
（1）(u v) u v,
（2）(cu) cu(c是常数),
（3）(uv) uv uv, [u( x) v( x)] u( x) v( x);
（4）
u v
uv v2
uv
(v
0)
.
u( x)
v(
x
)
u( x) v( x)
.
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dy
则
dy dx
dt dx
(t) ; (t )
dt
d2y dx2
d( dy ) dx
dx
d ( (t)) dt (t)
dx
dt
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例4、设
y
f
(
x
)
解: y 10x4 cos x, y 40x3 sin x,
y 120x2 cos x, y(0) 1
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三、求导法则
(1) 函数的和、差、积、商的求导法则
设u u( x), v v( x)可导，则
100!
练习2、设 f (x) x 1,用导数的定义求f (2).
解: f (2) lim f ( x) f (2) lim
x2 x 2
x2
lim 1 1 x2 x 1 1 2
x 11 x2
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6、导数的几何意义
f ( x0 )表示曲线 y f ( x)在点 M ( x0 , f ( x0 ))处切线
（1）(u v) u v,
（2）(cu) cu(c是常数),
（3）(uv) uv uv, [u( x) v( x)] u( x) v( x);
（4）
u v
uv v2
uv
(v
0)
.
u( x)
v(
x
)
u( x) v( x)
.
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dy
则
dy dx
dt dx
(t) ; (t )
dt
d2y dx2
d( dy ) dx
dx
d ( (t)) dt (t)
dx
dt
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例4、设
y
f
(
x
)
高等数学(导数、微分)详细ppt课件
.
关于导数的说明：
★ 点导数是因变x0处 量的 在变 点化 ,它率 反映因 了变量随自变量 而的 变变 化化 的快 慢程.度 ★ 如果y函 f(x数 )在开I内 区的 间每 处都, 就 可称 导f(函 x)在 数 开I内 区可 间 . 导
.
★ 对于任x 一I,都对应f(着 x)的一个确定的
导数.这 值个函数叫做原 f(x)来 的函 导数 函 . 数
2.右导数:
f ( x 0 ) x lx 0 i 0 f m ( x x ) x f 0 ( x 0 ) l x i 0 f ( m x 0 x x ) f ( x 0 ) ;
★ 函 数 f(x )在 点 x 0处 可 导 左 导 数 f (x 0)和 右 导 数 f (x 0)都 存 在 且 相 等 .
y
y
yf(x)
o
x
yf(x)
o
x0
x
.
例8 讨论函数f (x)xsin1x, x0, 0, x0
在x0处的连续性与可. 导性
解
sin1 x
是有界函, 数lxim 0xsin1x0
f(0 )lif m (x )0f(x)在 x0处连 . 续
但x在 0处 x 0有 y(0x)sin01x0 sin 1
x23 x2 x5
,
则
它 们 的 导 数 分 别 为 dy 1 = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ ， dx
dy 2 dx
=_
__
__
______
__
， dy 3 = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ dx
.
.
4、 设 f(x)x2,则 ff(x)________________； ff(x)_________________.
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3．已知函数 y y( x) 由方程 e y 6 xy x2 10 确定，
则 y(0) 2 。
4.
设
f
( x)
x2 x2 1
，
则 f (n)( x)
1(1)n 2
n![
(
1 x 1)n1
(
x
1 1)n1
]
。
(1)n1 n!
5．设 f ( x) x2ln(1 x) ，则 f (n)(0) n2 。
解： f (n)( x)[ln(1 x)](n) x2 n[ln(1 x)](n1)2 x
n(n1)[ln(1 x)](n2)2 ， 2
[ln(1 x)](k) (1)k1(k1)n)
(
x)
(1)n1(n1)! (1 x)n
x
2
2nx(1(1)nx2)(nn12)!
f (n)(0)(1)nn3(nn(n1)(1)1((1)nnx33)()nn!2(3)!1，)n1 n!. n2
导数的阶数 n 为（ C ）
（A）0； （B）1； （C）2； （D）3。
相关变化率
设x x(t ) , y y(t )都 是 可 导 函 数 ， 变 量
x和y之 间 存 在 某 种 对 应 关 系F ( x, y) 0,
•
•
因 而 它 们 对t的 变 化 率x(t ), y(t )也 存 在
三、求下列函数的导数 dy
dx
1．已知 yln 1ex xsinx ，求 y( ) . 2
2． ye x y xsinx
3.已知三叶玫瑰线 a sin3 (a 0) ,
求 时 ，曲线上相应点处的切线方程。
4
a
o
x
四、求高阶导数
1．设
y s in[
f
( x2 )]
，其中
f
具有二阶导数，求
相 互 依 赖 关 系 ， 研 究 这两 个 变 化 率 之 间
的 关 系 问 题 称 为相 关 变 化 率问 题 。
二、求相关变化率
1．落在平静水面上的石头产生同心圆形波纹。若最
外一圈半径的增大率总是6m/ s ，问 2 秒末受到扰
动的水面面积的增大率为多少？
解：设圆的半径为 R，圆的面积为 S，则 S R2 ，
d2 y dx2
。
2．设 f ( x) xn( x1)ncos x2 ，求 f (n)(1) 。 4
3．已知 ysin23xcos5x ，求 y(n) 。
4．已知
f
(
x
)
xk
sin1 x
,
x
0
（k
为正常数），
0 , x0
判断 f (x)在x 0 处何时可导，何时导函数连续，
何时二阶可导。
习题课六
一、选择题 1．设函数 f (u) 可导， y f ( x2 ) 当自变量 x 在 x 1 处 取得增量 x 0.1 时，相应的函数增量y 的线性主部 为 0.1 ，则 f (1) （ D ）
（A） 1 ； （B）0.1 ； （C）1 ； （D）0.5 。 2．设 f ( x)3 x3 x2 x ，则使 f (n)(0) 存在的最高阶
dS 2RdR ，
dt
dt
当 t 2 时， R6212 ， dR 6 ， dt
故
dS dt
t2 2126144(m2 /s)
.
二、填空题
2 t 2
1．设
xtcost
y
tsint
，则
d2y dx2
(cost tsint)3
。
2．设 y f (cos 2 x)tan x2 ，其中 f 可微 ，
则 dy [sin2xf (cos2 x)2xsec2 x2]dx .