2020高考数学复习专题难点下载难点39 化归思想
(通用版)2020版高考数学大二轮复习第一部分第3讲二、转化化归思想课件理
显然,当a≤0时,满足不等式g(x)<h(x)的整数有无数多个.
-7-
函数 g(x)=ex(2x-1)的图象与 y 轴的交点为 A(0,-1),与 x 轴的交点为
D
1 2
,0
.取点 C
-1,-
3 e
.
由图可知,不等式 g(x)<h(x)只有一个整数解时,须满足 kPC≤a<kPA.
而
kPC=01--(--13e )
2
2
解析-6-
答案
应用二 命题等价化
例2设函数f(x)=ex(2x-1)-ax+a,其中a<1,若存在唯一的整数x0使得 f(x0)<0,求a的取值范围.
解法 1 设 g(x)=ex(2x-1),h(x)=a(x-1),则不等式 f(x)<0 即为 g(x)<h(x).
因为 g'(x)=ex(2x-1)+2ex=ex(2x+1),
-11-
(及1)因对抛为点物训线F 练C12:,y202(=1,)2设(x2,0过l1:x9点=河tPy北作+2衡直,代水线入二l与抛中C物高交线三于方模A程,B拟两得,理点y42,-)设2已ty抛知-4物=定0线点, CP的(2焦,0) 关闭 |y点A-为yBF|=,则���△��� =ABF4面(������2积+的4最)=小2 值������2为+( 4,S△A)BF=12|PF|·|yA-yB| =3 A���.���22 + B4.≥3 3,故C选.4 B.D.5
最大;当 MN⊥OP 时,AB 过点 O,|MN|最小,|AB|最大.所以 t = 最小 22,t = 最大 2.
所以 t∈
2 2
2020版高考数学二轮复习第一部分思想方法数学思想方法第4讲转化与化归思想教学案理
1＋cos A cos C5 1＋cos A cos C 53 2 1＋cos A cos C 5 5 (3)如图所示，在平行四边形 ABCD 中，AP ⊥BD ，垂足为 P ，且 AP ＝3，则AP ·AC ＝________.B C b c b c第 4 讲 转化与化归思想思想方法·简明概述转化与化归的原则常见的转化与化归的方法1.直接转化法2.换元法3.数形结合法1.熟悉化原则2.简单化原则3.直观化原则4.正难则反原则4.构造法5.坐标法6.类比法7.特殊化方法8.等价问题法 9.加强命题法 10.补集法转化与化归思想就是在研究和解决有关数学问题时，采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而使问题得到解决的一种数学思想方法热点探究·考向调研调研一 特殊与一般的转化【例 1】 (1)[2018·唐山三模]已知函数 f (x )＝x 3＋ax 2＋bx 有两个极值点 x 1，x 2，且 x 1<x 2，若 x 1＋2x 0＝3x 2，函数 g (x )＝f (x )－f (x 0)，则 g (x )( )A ．恰有一个零点C ．恰有三个零点B ．恰有两个零点D ．至多两个零点解析：由题知只要 f (x )有两个极值点，且 x 1<x 2，x 1＋2x 0＝3x 2，则结果是一样的，所以 不妨令 b ＝0，a ＝－3，则 f ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)，x 1＝0，x 2＝2，且 x 0＝3，∴g (x )＝x 3－3x 2＝x 2(x －3)，显然 g (x )恰有两个零点，故选 B.答案：Bcos A ＋cos C (2)在△ABC 中，角 A ，， 所对的边分别为 a ，，，若 a ，， 成等差数列，则＝________.4 cos A ＋cos C 4解析：方法一：取特殊值 a ＝3，b ＝4，c ＝5，则 cos A ＝ ，cos C ＝0， ＝ .π 1 cos A ＋cos C 4方法二：取特殊角 A ＝B ＝C ＝ ，cos A ＝cos C ＝ ， ＝ .4答案：→ →解析：把平行四边形 ABCD 看成正方形，则点 P 为对角线的交点，AC ＝6，则AP ·AC ＝18.A. 0， 2⎥ ⎛1⎤ B. 0， ⎥ C. －∞， 2⎥ ⎛1⎤3⎦D. －∞， ⎥∴ay ＝x ln y －x ln x －x ，ay ＝x ln －x ，∴a ＝ ln － ，即 a ＝－ ln － . 令 t ＝ ，则 t >0，a ＝－t ln t －t .当 t ∈ 0， 2⎪时，f ′(t )>0，f (t )单调递增； 当t ∈ 2，＋∞⎪时，f ′(t )<0，f (t )单调递减． ∴[f (t )]max ＝f2⎪＝ 2，∴a ≤2，故选 C.e ⎝e ⎭ e 3→ →答案：18方法点睛化一般为特殊的作用(1)常用的特例有特殊值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等．(2)对于选择题，当题设在普通条件下都成立时，对特殊值进行探求，可快捷得到答案．(3)对于填空题，当填空题的结论唯一或题设条件提供的信息暗示答案是一个定值时，可把题中变化的量用特殊值代替，即可得到答案．调研二 函数、方程、不等式之间的转化【例 2】 (1)[2019·安徽合肥质检三]若存在两个正实数 x ，y ，使得等式 x (1＋ln x )＝x ln y －ay 成立，则实数 a 的取值范围是()⎛1⎤ ⎝e⎦⎛ 1 ⎤⎝ e ⎦⎝ e ⎦⎝解析：∵x >0，y >0，x (1＋ln x )＝x ln y －ay ，y xx y xx x x y x yy y yx y令f (t )＝－t ln t －t (t >0)，1则 f ′(t )＝－(ln t ＋2)．令 f ′(t )＝0，得 t ＝e 2.⎛1 ⎫ ⎝ e ⎭ ⎛ 1 ⎫ ⎝e ⎭⎛ 1 ⎫ 11答案：C(2)在等差数列{a n }中，a 2，a 2 018 是函数 f (x )＝x 3－6x 2＋4x －1 的两个不同的极值点，则的值为( )A ．－31 B．－因为 h ′(x )＝ －1≤0，因为 h (3)＝ln3－2＝ln · ⎪>ln ＝－1，h (4)＝ln4－3＝ln · 2⎪<ln＝－1，且函C ．3D.1 3解析：f ′(x )＝3x 2－12x ＋4，因为 a 2，a 2 018 是函数 f (x )＝x 3－6x 2＋4x －1 的两个不同 的极值点，所以 a 2，a 2 018 是方程 3x 2－12x ＋4＝0 的两个不等实数根，所以 a 2＋a 2 018＝4.又因为数列{a n }为等差数列，所以 a 2＋a 2 018＝2a 1 010，即 a 1 010＝2，从而，故选 B.答案：B(3)已知函数 f (x )＝3e |x|.若存在实数 t ∈[－1，＋∞)，使得对任意的 x ∈[1，m ]，m ∈Z且 m >1，都有 f (x ＋t )≤3e x ，则 m 的最大值为________．解析：因为当 t ∈[－1，＋∞)且 x ∈[1，m ]时，x ＋t ≥0，所以 f (x ＋t )≤3e x ⇔e x ＋t ≤e x ⇔x ＋t ≤1＋ln x .所以原命题等价转化为：存在实数 t ∈[－1，＋∞)，使得不等式 t ≤1＋ln x －x 对任意x ∈[1，m ]恒成立．令 h (x )＝1＋ln x －x (x ≥1)．1x所以函数 h (x )在[1，＋∞)上为减函数，又因为 x ∈[1，m ]，所以 h (x )min ＝h (m )＝1＋ln m －m .所以要使得对任意 x ∈[1，m ]，t 值恒存在，只需 1＋ln m －m ≥－1.⎛1 3⎫ 1 ⎛1 4 ⎫ 1 ⎝e e ⎭ e ⎝e e ⎭ e数 h (x )在[1，＋∞)上为减函数，所以满足条件的最大整数 m 的值为 3.答案：3方法点睛函数、方程与不等式相互转化的应用(1)函数与方程、不等式联系密切，解决方程、不等式的问题需要函数帮助．(2)解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，因此借助函数与方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等关系转化为最值(值域)问题，从而求出参变量的范围．调研三 正难则反的转化【例 3】 (1)[2019·太原模拟]由命题“存在 x 0∈R，使－m ≤0”是假命题，得⎛m ⎫ (2)若对于任意 t ∈[1,2]，函数 g (x )＝x 3＋ ＋2⎪x 2－2x 在区间(t,3)上总不为单调函即 m ＋4≥ －3x ，所以 m ＋4≥ －3t 恒成立，则 m ＋4≥－1，即 m ＋4≤ －3x ，则 m ＋4≤ －9，即 m ≤－ .⎛ 37 ⎫所以函数 g (x )在区间(t,3)上总不为单调函数的 m 的取值范围为 － ，－5⎪.⎛ 37 ⎫⎝ 3 ⎭m 的取值范围是(－∞，a )，则实数 a 的取值是()A ．(－∞，1)C ．1解析：命题“存在 x 0∈R，使B ．(－∞，2)D ．2－m ≤0”是假命题，可知它的否定形式“任意 x ∈R ，使 e |x －1|－m >0”是真命题，可得 m 的取值范围是(－∞，1)，而(－∞，a )与(－∞，1)为同一区间，故 a ＝1，故选 C.答案：C⎝2 ⎭数，则实数 m 的取值范围是________．解析：g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2，若 g (x )在区间(t,3)上总为单调函数，则①g ′(x )≥0 在(t,3)上恒成立，或②g ′(x )≤0 在(t,3)上恒成立(正反转化)，由①得 3x 2＋(m ＋4)x －2≥0，2x当 x ∈(t,3)时恒成立，2t即 m ≥－5；由②得 3x 2＋(m ＋4)x －2≤0，2x当 x ∈(t,3)时恒成立，23373⎝ 3 ⎭答案： － ，－5⎪(3)若二次函数 f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1 在区间[－1,1]内至少存在一个值 c ，使得 f (c )>0，则实数 p 的取值范围为________．⎧⎪f (－1)≤0，⎩ ⎪⎩p≤－3或p≥3 ⇒ p ≤－3 或 p ≥ ，取补集为－3<p < ，即为满足条件的 p 的取值范2⎛3⎫ 故实数 p 的取值范围为 －3， ⎪.⎛3⎫ 答案： －3， ⎪当 x ∈(0,2]时，原不等式可化为 a ≤，x x 当 x ∈[－2,0)时，可得 a ≥ ，令 f (x )＝ ＝x ＋ ，解 析 ： 如 果 在 区 间 [ － 1,1] 内 没 有 值 使 得 f (c )>0 ， 则 ⎨⎪f (1)≤0⇒⎧⎪p≤－1或p≥1，⎨23 32 2围．⎝2⎭⎝2⎭方法点睛正与反的转化要点正与反的转化，体现“正难则反”的原则，先从反面求解，再取反面答案的补集即可．一般地，题目若出现多种成立的情形，则不成立的情形相对很少，从反面考虑较简单．因此，间接法多用于含有“至多”“至少”及否定性命题情形的问题中．调研四 主与次的相互转化【例 4】 (1)若不等式 x 2－ax ＋1≥0 对一切 x ∈[－2,2]恒成立，则 a 的取值范围为()A ．(－∞，－2]C ．(0,2]B ．[－2,2]D ．[2，＋∞)解析：因为 x ∈[－2,2]，当 x ＝0 时，原式为 02－a ·0＋1≥0 恒成立，此时 a ∈R；x 2＋1xx 2＋1 2x而 ≥ ＝2，当且仅当 x ＝1 时等号成立，所以 a 的取值范围是(－∞，2]；x 2＋1xx 2＋1 1x x由函数的单调性可知，f (x )max ＝f (－1)＝－2， 所以 a ∈[－2，＋∞)．综上可知，a 的取值范围是[－2,2]，故选 B.⎧⎪f (－2)>0，⎧⎪(log 2x )2－4log 2x ＋3>0， 即 0<x < 或 x >8，⎛ 1⎫故 x 的取值范围是 0， ⎪∪(8，＋∞)．⎛ 1⎫⎝ 2⎭⎩ ⎪ ⎪ 解得－ <x <1.⎛ 2 ⎫ 故当 x ∈ － ，1⎪时，对满足－1≤a ≤1 的一切 a 的值，都有 g (x )<0.⎛ 2 ⎫⎝ 3 ⎭答案：B(2)设 y ＝(log 2x )2＋(t －2)log 2x －t ＋1，若 t ∈[－2,2]时恒取正值，则 x 的取值范围是________．解析：设 y ＝f (t )＝(log 2x －1)t ＋(log 2x )2－2log 2x ＋1， 则 f (t )是一次函数，当 t ∈[－2,2]时，f (t )>0 恒成立，则⎨⎪⎩f (2)>0，即⎨⎪(log 2x )2－1>0，解得 log 2x <－1 或 log 2x >3.12⎝ 2⎭答案： 0， ⎪∪(8，＋∞)(3)已知函数 f (x )＝x 3＋3ax －1，g (x )＝f ′(x )－ax －5，其中 f ′(x )是 f (x )的导函数．对满足－1≤a ≤1 的一切 a 的值，都有 g (x )<0，则实数 x 的取值范围为________．解析：由题意，知 g (x )＝3x 2－ax ＋3a －5.令 φ(a )＝(3－x )a ＋3x 2－5(－1≤a ≤1)．(主次转化)对－1≤a ≤1，恒有 g (x )<0，即 φ(a )<0，⎧φ(1)<0， 所以⎨⎪⎩φ(－1)<0，⎧3x 2－x －2<0， 即⎨⎪⎩3x 2＋x －8<0，23⎝ 3 ⎭答案： － ，1⎪方法点睛主与次的转化要点在处理多变元的数学问题时，我们可以选取其中的变量(或参数)，将其看作是“主元”，而把其他变元看作是常量，从而达到减少变元简化运算的目的．通常给出哪个“元”的取值范围就将哪个“元”视为“主元”．。
高考数学复习化归与转化思想
高考数学复习化归与转化思想
佚名
知识整合
1．处置数学效果时，常遇到一些效果直接求解较为困难，经过观察、剖析、类比、联想等思想进程，选择运用恰当的数学方法停止变换，将原效果转化为一个新效果〔相对来说，对自己较熟习的效果〕，经过新效果的求解，到达处置原效果的目的，这一思想方法我们称之为化归与转化的思想方法。
2．化归与转化思想的实质是提醒联络，完成转化。
除极复杂的数学效果外，每个数学效果的处置都是经过转化为的效果完成的。
从这个意义上讲，处置数学效果就是从未知向转化的进程。
化归与转化的思想是处置数学效果的基本思想，解题的进程实践上就是一步步转化的进程。
数学中的转化屈指可数，如未知向转化，复杂效果向复杂效果转化，新知识向旧知识的转化，命题之间的转化，数与形的转化，空间向平面的转化，高维向低维转化，多元向一元转化，高次向低次转化，逾越式向代数式的转化，函数与方程的转化等，都是转化思想的表达。
3．转化有等价转化和非等价转化。
等价转化前后是充要条
件，所以尽能够使转化具有等价性；在不得已的状况下，停止不等价转化，应附加限制条件，以坚持等价性，或对所得结论停止必要的验证。
2020高考数学理二轮课标通用思想方法训练：转化与化归思想含解析
解:(1)由题意知当a=0时,f(x)= x3-3x,
所以f'(x)=2x2-3.
又f(3)=9,f'(3)=15,
所以曲线y=f(x)在点(3,f(3))处的切线方程为15x-y-36=0.
(2)f'(x)=2x2-4ax-3,则由题意得2ax2+1≥lnx,即a 在x∈(0,+∞)时恒成立.
2.已知e1,e2是两个单位向量,且夹角为 ,则e1+te2与te1+e2的数量积的最小值为()
A.- B.- C D
答案:A
解析:∵(e1+te2)·(te1+e2)=t +(t2+1)e1·e2+t =t +(t2+1)|e1||e2|cos +t t2+2t+ (t+2)2- ,
∴当t=-2时,可得最小值为-
可知函数f(x)的单调递减区间为 kπ+ ,kπ+ ,k∈Z.
(2)当x 时,2x+ ,
则- sin 1.
∵f(x)的最小值是1- ,最大值是3,
∴f(x)的最大值为m+n=3,最小值为- m+n=1- ,得m=2,n=1.
10.已知函数f(x)= x3-2ax2-3x.
(1)当a=0时,求曲线y=f(x)在点(3,f(3))处的切线方程;
得2bn= ,即2 ,则{ }是等差数列.
∵a1=1,a2=3,∴2b1=4,即b1=2.∴b2=
∴{ }的公差d= ,
+(n-1) ,
高考数学复习化归与转化思想
高考数学复习化归与转化思想佚名知识整合1．解决数学问题时，常遇到一些问题直截了当求解较为困难，通过观看、分析、类比、联想等思维过程，选择运用恰当的数学方法进行变换，将原问题转化为一个新问题（相对来说，对自己较熟悉的问题），通过新问题的求解，达到解决原问题的目的，这一思想方法我们称之为化归与转化的思想方法。
宋以后，京师所设小学馆和武学堂中的教师称谓皆称之为“教谕”。
至元明清之县学一律循之不变。
明朝入选翰林院的进士之师称“教习”。
到清末，学堂兴起，各科教师仍沿用“教习”一称。
事实上“教谕”在明清时还有学官一意，即主管县一级的教育生员。
而相应府和州掌管教育生员者则谓“教授”和“学正”。
“教授”“学正”和“教谕”的副手一律称“训导”。
于民间，专门是汉代以后，关于在“校”或“学”中传授经学者也称为“经师”。
在一些特定的讲学场合，比如书院、皇室，也称教师为“院长、西席、讲席”等。
2．化归与转化思想的实质是揭示联系，实现转化。
除极简单的数学问题外，每个数学问题的解决差不多上通过转化为已知的问题实现的。
从那个意义上讲，解决数学问题确实是从未知向已知转化的过程。
化归与转化的思想是解决数学问题的全然思想，解题的过程实际上确实是一步步转化的过程。
数学中的转化比比皆是，如未知向已知转化，复杂问题向简单问题转化，新知识向旧知识的转化，命题之间的转化，数与形的转化，空间向平面的转化，高维向低维转化，多元向一元转化，高次向低次转化，超越式向代数式的转化，函数与方程的转化等，差不多上转化思想的表达。
与当今“教师”一称最接近的“老师”概念，最早也要追溯至宋元时期。
金代元好问《示侄孙伯安》诗云：“伯安入小学，颖悟专门貌，属句有夙性，说字惊老师。
”因此看，宋元时期小学教师被称为“老师”有案可稽。
清代称主考官也为“老师”，而一样学堂里的先生则称为“教师”或“教习”。
可见，“教师”一说是比较晚的事了。
现在体会，“教师”的含义比之“老师”一说，具有资历和学识程度上较低一些的差别。
高考数学复习专题讲座化归思想
高考数学复习专题讲座 化归思想高考要求化归与转换的思想，就是在研究和解决数学问题时采用某种方式，借助某种函数性质、图象、公式或已知条件将问题通过变换加以转化，进而达到解决问题的思想 等价转化总是将抽象转化为具体，复杂转化为简单、未知转化为已知，通过变换迅速而合理的寻找和选择问题解决的途径和方法重难点归纳转化有等价转化与不等价转化 等价转化后的新问题与原问题实质是一样的 不等价转化则部分地改变了原对象的实质，需对所得结论进行必要的修正应用转化化归思想解题的原则应是化难为易、化生为熟、化繁为简，尽量是等价转化 常见的转化有正与反的转化、数与形的转化、相等与不等的转化、整体与局部的转化、空间与平面相互转化、复数与实数相互转化、常量与变量的转化、数学语言的转化典型题例示范讲解例1对任意函数f (x ), x ∈D ，可按图示构造一个数列发生器，其工作原理如下①输入数据x 0∈D ，经数列发生器输出x 1=f (x 0)； ②若x 1∉D ，则数列发生器结束工作；若x 1∈D ，则将x 1反馈回输入端，再输出x 2=f (x 1)，并依此规律继续下去现定义124)(+-=x x x f （1）若输入x 0=6549，则由数列发生器产生数列{x n }，请写出{x n }的所有项； （2）若要数列发生器产生一个无穷的常数列，试求输入的初始数据x 0的值； （3）若输入x 0时，产生的无穷数列{x n }，满足对任意正整数n 均有x n ＜x n +1；求x 0的取值范围命题意图 本题主要考查学生的阅读审题，综合理解及逻辑推理的能力知识依托 函数求值的简单运算、方程思想的应用 解不等式及化归转化思想的应用 解题的关键就是应用转化思想将题意条件转化为数学语言错解分析 考生易出现以下几种错因（1）审题后不能理解题意（2）题意转化不出数学关系式，如第2问（3）第3问不能进行从一般到特殊的转化技巧与方法 此题属于富有新意，综合性、抽象性较强的题目 由于陌生不易理解并将文意转化为数学语言 这就要求我们慎读题意，把握主脉，体会数学转换解 （1）∵f (x )的定义域D =（–∞,–1)∪(–1,+∞)∴数列{x n }只有三项，1,51,1911321-===x x x （2）∵x x x x f =+-=124)(,即x 2–3x +2=0 ∴x =1或x =2，即x 0=1或2时n n n n x x x x =+-=+1241故当x 0=1时，x n =1，当x 0=2时，x n =2（n ∈N *） （3）解不等式124+-<x x x ，得x ＜–1或1＜x ＜2 要使x 1＜x 2，则x 2＜–1或1＜x 1＜2对于函数164124)(+-=+-=x x x x f 若x 1＜–1，则x 2=f (x 1)＞4，x 3=f (x 2)＜x 2 若1＜x 1＜2时，x 2=f (x 1)＞x 1且1＜x 2＜2 依次类推可得数列{x n }的所有项均满足 x n +1＞x n （n ∈N *) 综上所述，x 1∈(1,2) 由x 1=f (x 0),得x 0∈(1,2)例2设椭圆C 1的方程为12222=+b y a x (a ＞b ＞0)，曲线C 2的方程为y =x1，且曲线C 1与C 2在第一象限内只有一个公共点P（1）试用a 表示点P 的坐标；（2）设A 、B 是椭圆C 1的两个焦点，当a 变化时，求△ABP 的面积函数S (a )的值域；（3）记min{y 1,y 2,……,y n }为y 1,y 2,……,y n 中最小的一个 设g (a )是以椭圆C 1的半焦距为边长的正方形的面积，试求函数f (a )=min{g (a ), S (a )}的表达式命题意图 本题考查曲线的位置关系，函数的最值等基础知识，考查推理运算能力及综合运用知识解题的能力知识依托两曲线交点个数的转化及充要条件，求函数值域、解不等式错解分析 第（1）问中将交点个数转化为方程组解的个数，考查易出现计算错误，不能借助Δ找到a 、b 的关系 第（2）问中考生易忽略a ＞b ＞0这一隐性条件 第（3）问中考生往往想不起将min{g (a ),S (a )}转化为解不等式g (a )≥S (a )技巧与方法 将难以下手的题目转化为自己熟练掌握的基本问题，是应用化归思想的灵魂 要求必须将各知识的内涵及关联做到转化有目标、转化有桥梁、转化有效果解 （1）将y =x1代入椭圆方程，得 112222=+xb a x 化简，得b 2x 4–a 2b 2x 2+a 2=0由条件，有Δ=a 4b 4–4a 2b 2=0，得ab =2 解得x =2a 或x =–2a（舍去） 故P 的坐标为(aa 2,2) (2)∵在△ABP 中，｜AB ｜=222b a -，高为a2, ∴)41(22221)(422aa b a a S -=⋅-⋅=∵a ＞b ＞0,b =a2 ∴a ＞a 2,即a ＞2,得0＜44a＜1 于是0＜S （a ）＜2，故△ABP 的面积函数S (a )的值域为(0,2) (3)g (a )=c 2=a 2–b 2=a 2–24a 解不等式g (a )≥S (a )，即a 2–24a≥)41(24a - 整理，得a 8–10a 4+24≥0，即(a 4–4)(a 4–6)≥0 解得a ≤2（舍去）或a ≥46故f (a )=min{g (a ), S (a )}⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-≤<-=)6()41(262(444422a a a a a例3一条路上共有9个路灯，为了节约用电，拟关闭其中3个，要求两端的路灯不能关闭，任意两个相邻的路灯不能同时关闭，那么关闭路灯的方法总数为解析9个灯中关闭3个等价于在6个开启的路灯中，选3个间隔（不包括两端外边的装置）插入关闭的过程故有C 35=10种答案 10例4 已知平面向量a =(3–1), a =(23,21) （1）证明a ⊥b ;（2）若存在不同时为零的实数k 和t ，使x =a +(t 2–3) b ，y =–k a +t b ，且x ⊥y ，试求函数关系式k =f (t);（3）据（2）的结论，讨论关于t 的方程f (t )–k =0的解的情况(1)证明 ∵a ·b =23)1(213⋅-+⨯=0，∴a ⊥b (2)解 ∵x ⊥y ,∴x ·y =0即［a +（t 2–3) b ］·(–k a +t b )=0，整理后得 –k a 2+［t –k (t 2–3)］a ·b +t (t 2–3)·b 2=0∵a ·b =0, a 2=4, b 2=1 ∴上式化为–4k +t (t 2–3)=0，∴k =41t (t 2–3) (3)解 讨论方程41t (t 2–3)–k =0的解的情况， 可以看作曲线f (t )=41t (t 2–3)与直线y =k 的交点个数于是f ′(t )=43(t 2–1)=43(t +1)(t –1)令f ′(t )=0,解得t =1 的变化情况如下表 t (–∞,–1)–1 (–1,1) 1 (1,+∞) f ′(t ) + 0 – 0 + f (t )↗极大值↘极小值↗当t =–1时，f (t )有极大值，f (t )极大值=2； 当t =1时，f (t )有极小值，f (t )极小值=21而f (t )=41(t 2–3)t =0时，得t =–33所以f (t )的图象大致如右于是当k >21或k <–21时，直线y =k 与曲线y =f (t )仅有一个交点，则方程有一解；当k =21或k =–21时，直线与曲线有两个交点，则方程有两解；当k =0，直线与曲线有三个交点，但k 、t 不同时为零，故此时也有两解；当–21<k <0或0<k <21时，直线与曲线有三个交点，则方程有三个解学生巩固练习1 已知两条直线l 1:y =x ,l 2:ax –y =0，其中a ∈R ，当这两条直线的夹角在(0,2π)内变动时，a 的取值范围是( )A （0，1）B （33，3） C （33，1）∪（1，3） D （1，3） 2 等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别用S n 和T n 表示，若534+=n n T S n n ，则nn n b a ∞→lim 的值为( )A34 B 1 C 36 D 94f(t)=14t(t 2-3)1-1-1212y=koyt3 某房间有4个人，那么至少有2人生日是同一个月的概率是 （列式表示）4 函数f (x )=x 3–3bx +3b 在（0，1）内有极小值，则b 的取值范围是5 已知f (x )=lg(x +1),g (x )=2lg(2x +t ),(t ∈R 是参数）(1)当t =–1时，解不等式f (x )≤g (x );(2)如果x ∈［0,1］时，f (x )≤g (x )恒成立，求参数t 的取值范围6 已知函数f (x )=a 1x +a 2x 2+a 3x 3+…+a n x n ，n ∈N *且a 1、a 2、a 3、……、a n 构成一个数列{a n }，满足f (1)=n 2（1）求数列{a n }的通项公式，并求1lim+∞→n nn a a ；（2）证明0＜f (31)＜1 7 设A 、B 是双曲线x 2–22y=1上的两点，点N （1，2）是线段AB 的中点（1）求直线AB 的方程；（2）如果线段AB 的垂直平分线与双曲线相交于C 、D 两点，那么A 、B 、C 、D 四点是否共圆？为什么？8 直线y =a 与函数y =x 3–3x 的图象有相异三个交点，求a 的取值范围参考答案1 解析 分析直线l 2的变化特征，化数为形，已知两直线不重合，因此问题应该有两个范围即得解答案 C2 解析 化和的比为项的比∵n n n n n b n T a n a a n S )12(;)12(2)12(1212112-=-=+-=--- ∴26485)12(3)12(41212+-=+--==--n n n n T S b a n n n n ,取极限易得 答案 A3 解析 转化为先求对立事件的概率即四人生日各不相同的概率答案 441212A 1-4 解析 转化为f ′(x )=3x 2–3b 在（0，1）内与x 轴有两交点只须f ′(0)<0且f ′(1)>0答案 0<b <15 解 (1)原不等式等价于⎪⎩⎪⎨⎧>->⎪⎩⎪⎨⎧-≤+>->+05421)12(10120122x x x x x x x 即即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤>45021x x x 或 ∴x ≥45∴原不等式的解集为{x |x ≥45} (2)x ∈［0,1］时，f (x )≤g (x )恒成立∴x ∈［0,1］时⎪⎩⎪⎨⎧+≤+>+>+2)2()1(0201t x x t x x 恒成立 即⎪⎩⎪⎨⎧++-≥->>+12201x x t x t x 恒成立即x ∈［0,1］时，t ≥–2x +1+x 恒成立，于是转化为求–2x +x +1,x ∈［0,1］的最大值问题 令μ=1+x ,则x =μ2–1,则μ∈［1,2］∴2x +1+x =–2(μ–41)2817 当μ=1即x =0时，–2x +1+x 有最大值1 ∴t 的取值范围是t ≥16 (1)解 {a n }的前n 项和S n =a 1+a 2+…+a n =f (1)=n 2,由a n =S n –S n –1=n 2–(n –1)2=2n –1(n ≥2),又a 1=S 1=1满足a n =2n –1故{a n }通项公式为a n =2n –1(n ∈N *) ∴11212lim lim1=+-=∞→+∞→n n a a n n n n(2)证明 ∵f (31)=1·31+3·91+…+(2n –1)n 31①∴31f (31)=1·91+3·271+…+(2n –3)n 31+(2n –1)131+n ②①–②得 32f (31)=1·31+2·91+2·271+…+2·n 31–(2n –1)·131+n∴f (31)=21+31+91+271+…+131-n –(2n –1)131+n =1n n 31+∵n n n n n n +>+>+⋅+⋅+=+=1212C 2C 1)21(3221 (n ∈N *)∴0<n n 31+<1,∴0<1–nn 31+<1，即0<f (31)<1 7 解 (1)设AB ∶y =k (x –1)+2代入x 2–22y=1整理得（2–k 2）x 2–2k (2–k )x –(2–k )2–2=0 ①设A (x 1,y 1)、B （x 2,y 2),x 1,x 2为方程①的两根 所以2–k 2≠0且x 1+x 2=22)2(2kk k -- 又N 为AB 中点， 有21（x 1+x 2）=1 ∴k (2–k )=2–k 2,解得k =1 故AB ∶y =x +1 (2)解出A （–1，0）、B （3，4）得CD 的方程为y =3–x 与双曲线方程联立 消y 有x 2+6x –11=0②记C (x 3,y 3)、D (x 4,y 4)及CD 中点M (x 0,y 0)由韦达定理可得x 0=–3,y 0=6∵|CD |=104)()(243243=-+-y y x x ∴|MC |=|MD |=21|CD |=210 又|MA |=|MB |=102)()(210210=-+-y y x x 即A 、B 、C 、D 四点到点M 的距离相等，所以A 、B 、C 、D 四点共圆8 提示 f ′(x )=3x 2–3=3(x –1)(x +1)易确定f (–1)=2是极大值，f (1)=–2是极小值 当–2<a <2时有三个相异交点课前后备注。
2020高考二轮数学(文)第2部分专题2解密高考② 数列问题重在“归”——化归
解密高考②数列问题重在“归”——化归——————[思维导图]————————————[技法指津]——————化归的常用策略利用化归思想可探索一些一般数列的简单性质．等差数列与等比数列是数列中的两个特殊的基本数列，高考中通常考查的是非等差、等比数列问题，应对的策略就是通过化归思想，将其转化为这两种数列．母题示例：2019年全国卷Ⅰ，本小题满分12母题突破：2019年长沙检测分(1)看到求{a n}的通项公式，想到求首项a1和公差d，利用S9＝－a5，a3＝4，建立a1和d的方程组即可．(2)看到求n的取值范围，想到建立关于n的不等式，利用S n≥a n建立n的不等式即可． [规范解答·评分标准] (1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，根据题意有⎩⎪⎨⎪⎧ 9a 1＋9×82d ＝－(a 1＋4d )，a 1＋2d ＝4，解得⎩⎨⎧a 1＝8，d ＝－2，············································4分 所以a n ＝8＋(n －1)×(－2)＝－2n ＋10.所以等差数列{a n }的通项公式为a n ＝－2n ＋10. ··················6分(2)由条件S 9＝－a 5，得9a 5＝－a 5，即a 5＝0，····················7分 因为a 1＞0，所以d ＜0，并且有a 5＝a 1＋4d ＝0，所以有a 1＝－4d ，··8分由S n ≥a n 得na 1＋n (n －1)2d ≥a 1＋(n －1)d ，整理得(n 2－9n )d ≥(2n －10)d ，因为d ＜0，所以有n 2－9n ≤2n －10，即n 2－11n ＋10≤0，······10分 解得1≤n ≤10，···········································11分 所以n 的取值范围是{n |1≤n ≤10，n ∈N *}.···················12分[构建模板·两点注意] 等差、等比数列基本量的计算模型1．分析已知条件和求解目标，确定最终解决问题需要首先求解的中间问题．如为求和需要先求出通项，为求出通项需要先求出首项和公差(公比)等，确定解题的逻辑次序．2．注意细节：在等差数列与等比数列综合问题中，如果等比数列的公比不能确定，则要看其是否有等于1的可能，在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示等．, 已知公差不为0的等差数列{a n }满足a 1＝3，a 1，a 4，a 13成等比数列，等差数列{b n }的前n 项和为S n ，且S 4＝16，S 6＝36.(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)求和T n ＝1a 1b 1＋1a 2b 2＋…＋1a n b n. [解] (1)公差d 不为0的等差数列{a n }满足a 1＝3，a 1，a 4，a 13成等比数列，可得a 24＝a 1a 13，即(3＋3d )2＝3(3＋12d )，解得d＝2，即a n＝2n＋1.等差数列{b n}的公差设为m，前n项和为S n，且S4＝16，S6＝36，可得4b1＋6m＝16,6b1＋15m＝36，解得b1＝1，m＝2，则b n＝2n－1.(2)1a nb n＝1(2n－1)(2n＋1)＝12⎝⎛⎭⎪⎫12n－1－12n＋1，则T n＝1a1b1＋1a2b2＋…＋1a nb n＝121－13＋13－15＋…＋12n－1－12n＋1＝12⎝⎛⎭⎪⎫1－12n＋1＝n2n＋1.。
2020版高考数学二轮复习第2部分专题2数列解密高考2数列问题重在“归”——化归、归纳教案理
对于不是等差或等比的数列，可从简单的个别的情形出发，从中归纳出一般的规律、性质，这种归纳思想便形成了解决一般性数列问题的重要方法：观察、归纳、猜想、证明.
母题示例：2019年全国卷Ⅱ，本小题满分12分
已知数列{an}和{bn}满足a1＝1，b1＝0,4an＋1＝3an－bn＋4,4bn＋1＝3bn－an－4.
∴ － ＝2，即bn＋1－bn＝2.4分
∴数列{bn}是以1为首项，2为公差的等差数列.5分
(2)由(1)得bn＝1＋2(n－1)＝2n－1.6分
∵ ＝2n＋1，∴cn＝(2n＋1)bn＝(2n－1)·2n＋2n－1.7分
设Pn＝1×2＋3×22＋5×23＋…＋(2n－1)·2n，
2Pn＝1×22＋3×23＋…＋(2n－3)·2n＋(2n－1)·2n＋1，8分
(1)证明：{an＋bn}是等比数列，{an－bn}是等差数列；
(2)求{an}和{bn}的通项公式.
本题考查：等差(比)数列的概念、通项公式等知识，考查方程思想、转化化归等能力，数学运算、逻辑推理等核心素养.
[审题指导·发掘条件]
看到证明{an＋bn}是等比数列，{an－bn}是等差数列，想到等差(比)数列的概念；缺“an＋1＋bn＋1”与“an＋1－bn＋1”，借助题设条件利用方程思想补找该条件，并求{an}和{bn}的通项公式．
已知数列{an}满足a1＝2，(n＋2)an＝(n＋1)an＋1－2(n2＋3n＋2)，设bn＝ .
(1)证明数列{bn}是等差数列；
(2)设 ＝2n＋1，求数列{cn}的前n项和Tn(n∈N*)．
[解](1)因为a1＝2，所以b1＝ ＝1.1分
将(n＋2)an＝(n＋1)an＋1－2(n2＋3n＋2)两边同时除以(n＋1)(n＋2)得： ＝ －2，3分
2020新高考文科数学二轮培优转化与化归的思想考点考向考题点拨(13页)
2020新高考文科数学二轮培优转化与化归的思想考点考向考题点拨「思想方法解读」 转化与化归思想是指在研究解决数学问题时，采用某种手段将问题通过转化，使问题得以解决的一种思维策略，其核心是把复杂的问题化归为简单的问题，将较难的问题化归为较容易求解的问题，将未能解决的问题化归为已经解决的问题．常见的转化与化归思想应用具体表现在：将抽象函数问题转化为具体函数问题，立体几何和解析几何中一般性点或图形问题转化为特殊点或特殊图形问题，以及“至少”或“是否存在”等正向思维受阻问题转化为逆向思维问题，空间与平面的转化，相等问题与不等问题的转化等．热点题型探究热点1 特殊与一般的转化例1 (1)过抛物线y ＝ax 2(a >0)的焦点F ，作一直线交抛物线于P ，Q 两点，若线段PF 与FQ 的长度分别为p ，q ，则1p ＋1q 等于( )A ．2a B.12a C ．4a D.4a 答案 C解析 抛物线y ＝ax 2(a >0)的标准方程为x 2＝1a y (a >0)．焦点F ⎝⎛⎭⎪⎫0，14a ，取过焦点F 的直线垂直于y 轴，则|PF |＝|QF |＝12a ，所以1p ＋1q ＝4a .(2)在平行四边形ABCD 中，|AB →|＝12，|AD →|＝8.若点M ，N 满足BM →＝3MC →，DN →＝2NC →，则AM →·NM→＝( ) A ．20 B ．15 C ．36 D ．6答案 C解析 解法一：由BM→＝3MC →，DN →＝2NC →知，点M 是BC 的一个四等分点，且BM ＝34BC ，点N 是DC 的一个三等分点，且DN ＝23DC ，所以AM →＝AB →＋34AD →，AN →＝AD →＋DN →＝AD →＋23AB →，所以NM →＝AM →－AN →＝AB →＋34AD →－⎝⎛⎭⎪⎫AD →＋23AB →＝13AB →－14AD →，所以AM →·NM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋34AD →·⎝ ⎛⎭⎪⎫13AB →－14AD →＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋34AD →·⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →－34AD →＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →2－916AD →2＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫144－916×64＝36，故选C.解法二：不妨设∠DAB 为直角，以AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系．则M (12,6)，N (8,8)，所以AM →＝(12,6)，NM →＝(4，－2)，所以AM →·NM→＝12×4＋6×(－2)＝36，故选C.一般问题特殊化，使问题处理变的直接、简单；特殊问题一般化，可以把握问题的一般规律，使我们达到成批处理问题的效果．对于客观题，当题设条件提供的信息在普通条件下都成立或暗示答案是一个定值时，可以把题中变化的量用特殊值代替，可以快捷地得到答案．1．(2019·甘青宁高三3月联考)若函数f (x )＝1＋x 3，则f (lg 2)＋f ⎝⎛⎭⎪⎫lg 12＝( )A ．2B ．4C ．－2D ．－4答案 A解析 ∵f (x )＝1＋x 3，∴f (－x )＋f (x )＝2，∵lg 12＝－lg 2，∴f (lg 2)＋f ⎝⎛⎭⎪⎫lg 12＝2，故选A.2．(2019·济南市高三3月模拟)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧13x 3－12x 2，x ＜0，e x ，x ≥0，则f (3－x 2)>f (2x )的解集为( )A ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)B ．(－3,1)C ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)D ．(－1,3) 答案 B解析 当x <0时，f (x )＝13x 3－12x 2，f ′(x )＝x 2－x ，∵x <0，∴f ′(x )>0，f (x )单调递增，且x →0时，f (x )→0，∴f (x )<0；当x ≥0时，f (x )＝e x 单调递增，且f (x )≥f (0)＝1.因此可得f (x )在整个定义域上单调递增，∴f (3－x 2)>f (2x )可转化为3－x 2>2x .解得－3<x <1，故选B. 热点2 函数、方程、不等式间的转化例2 (1)已知函数f (x )＝x ＋4x ，g (x )＝2x＋a ，若∀x 1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3，∃x 2∈[2,3]使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1]B ．[1，＋∞)C ．(－∞，0]D ．[0，＋∞)答案 C解析 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3时，f (x )≥2x ·4x ＝4，当且仅当x ＝2时等号成立，此时f (x )min ＝4.当x ∈[2,3]时，g (x )min ＝22＋a ＝4＋a .依题意f (x )min ≥g (x )min ，∴a ≤0.选C.(2)(2019·河南十所名校高三第二次联考)已知函数f (x )＝ax (x 2－1)＋x (a >0)，方程f [f (x )]＝b 对于任意b ∈[－1,1]都有9个不等实根，则实数a 的取值范围为( )A ．(1，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．(3，＋∞)D ．(4，＋∞)答案 D解析 ∵f (x )＝ax (x 2－1)＋x (a >0)，∴f ′(x )＝3ax 2＋(1－a )．若a ≤1，则f ′(x )≥0，f (x )单调递增，此时方程f [f (x )]＝b 不可能有9个不等实根，故a >1.令f ′(x )＝0，得x ＝± a －13a ，不妨令x 1＝－a －13a ，x 2＝a －13a .∵当a >1时，a －1<3a ，∴－1<x 1<0，0<x 2<1.f (－x )＝a (－x )·[(－x )2－1]＋(－x )＝－[ax (x 2－1)＋x ]＝－f (x )，∴f (x )是奇函数，又函数f (x )过定点(1,1)，(－1，－1)和(0,0)，则作出函数f (x )的大致图象如图所示．令f (x )＝t ，方程f (t )＝b 对于任意b ∈[－1,1]都有9个不等实根，即方程f (x )＝t 1，f (x )＝t 2，f (x )＝t 3，一共有9个不等实根，∴f (x )在极小值点处的函数值小于－1，即f ⎝⎛⎭⎪⎫a －13a ＝23(1－a ) a －13a <－1，即(a －4)(2a ＋1)2>0，解得a >4，故实数a 的取值范围为(4，＋∞)．故选D.函数、方程与不等式相互转化的应用函数、方程与不等式三者之间存在着密不可分的联系，解决方程、不等式的问题需要函数帮助，解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，因此借助于函数、方程、不等式之间的转化可以将问题化繁为简，常常将不等式的恒成立问题转化为函数的最值问题；将证明不等式问题转化为函数的单调性与最值问题，将方程的求解问题转化为函数的零点问题．1．(2019·安徽马鞍山二次质检)已知函数f (x )＝x ＋(2－kx )e x (x >0)，若f (x )>0的解集为(a ，b )，且(a ，b )中恰有两个整数，则实数k 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1e 2 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e 4＋12，1e 3＋23 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e 3＋23，1e 2＋1 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e 2＋1，1e ＋2 答案 C解析 f (x )＝x ＋(2－kx )e x >0⇒x >(kx －2)e x ⇒x e x >kx －2，设g (x )＝xe x (x >0)，h (x )＝kx －2，问题就转化为在(a ，b )内，g (x )>h (x )，且(a ，b )中恰有两个整数．先研究函数g (x )的单调性，g ′(x )＝1－xe x (x >0)，当x >1时，g ′(x )<0，所以函数g (x )在(1，＋∞)上单调递减；当0<x <1时，g ′(x )>0，所以函数g (x )在(0,1)上单调递增，所以g (x )max ＝g (1)＝1e .注意到g (0)＝0，当x >0时，g (x )>0.h (x )＝kx －2，恒过(0，－2)，要想在(a ，b )内，g (x )>h (x )，且(a ，b )中恰有两个整数，必须要满足以下两个条件：⎩⎪⎨⎪⎧g (2)＞h (2)，g (3)≤h (3)⇒⎩⎪⎨⎪⎧k ＜1e 2＋1，k ≥1e 3＋23⇒1e 3＋23≤k ＜1e 2＋1，故选C.2．已知a ＝13ln 94，b ＝45ln 54，c ＝14ln 4，则( ) A ．a ＜b ＜c B ．b ＜a ＜c C ．c ＜a ＜b D ．b ＜c ＜a答案B解析 a ＝13ln 94＝13ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝23ln 32＝ln 3232，b ＝45ln 54＝ln 5454，c ＝14ln 4＝14×2ln 2＝ln 22.故构造函数f (x )＝ln xx ，则a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫54，c ＝f (2)． 因为f ′(x )＝1－1·ln x x 2＝1－ln xx 2， 由f ′(x )＝0，解得x ＝e.故当x ∈(0，e)时，f ′(x )＞0，函数f (x )在(0，e]上单调递增； 当x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x )＜0，函数f (x )在[e ，＋∞)上单调递减．因为54＜32＜2＜e ，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫54＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＜f (2)，即b ＜a ＜c ，故选B.热点3 正难则反的转化例3 (1)(2019·湖南邵阳高三10月大联考)若命题“∃x 0∈R ，x 20＋2mx 0＋m ＋2<0”为假命题，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]∪[2，＋∞)B ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)C ．[－1,2]D ．(－1,2)答案 C解析 若命题“∃x 0∈R ，x 20＋2mx 0＋m ＋2<0”为假命题，则命题等价于∀x ∈R ，x 2＋2mx ＋m ＋2≥0恒成立，故只需要Δ＝4m 2－4(m ＋2)≤0⇒－1≤m ≤2.故选C.(2)已知函数f (x )＝ax 2－x ＋ln x 在区间(1,2)上不单调，则实数a 的取值范围为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18解析 f ′(x )＝2ax －1＋1x .(ⅰ)若函数f (x )在区间(1,2)上单调递增，则f ′(x )≥0在(1,2)上恒成立，所以2ax －1＋1x ≥0，得a ≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1x 2.①令t ＝1x ，因为x ∈(1,2)，所以t ＝1x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.设h (t )＝12(t －t 2)＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋18，t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，显然函数y ＝h (t )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上单调递减，所以h (1)＜h (t )＜h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，即0＜h (t )＜18.由①可知，a ≥18.(ⅱ)若函数f (x )在区间(1,2)上单调递减，则f ′(x )≤0在(1,2)上恒成立，所以2ax －1＋1x ≤0，得a ≤12⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1x 2.②结合(ⅰ)可知，a ≤0.综上，若函数f (x )在区间(1,2)上单调，则实数a 的取值范围为(－∞，0]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫18，＋∞.所以若函数f (x )在区间(1,2)上不单调，则实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫0，18.正与反的转化法正难则反，利用补集求得其解，这就是补集思想，一种充分体现对立统一、相互转化的思想方法．一般地，题目若出现多种成立的情形，则不成立的情形相对很少，从反面考虑较简单，因此，间接法多用于含有“至多”“至少”情形的问题中．1．若抛物线y ＝x 2上的所有弦都不能被直线y ＝k (x －3)垂直平分，则k 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12 B.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞ D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞ 答案 D解析 当k ＝0时，显然符合题意．当k ≠0时，设抛物线y ＝x 2上两点A (x 1，x 21)，B (x 2，x 22)关于直线y ＝k (x －3)对称，AB 的中点为P (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22，y 0＝x 21＋x 222.由题设知x 21－x 22x 1－x 2＝－1k ，所以x 1＋x 22＝－12k .又AB 的中点P (x 0，y 0)在直线y ＝k (x －3)上，所以x 21＋x 222＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22－3＝－6k ＋12，所以中点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k ，－6k ＋12.由于点P 在y >x 2的区域内，则－6k ＋12>⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k 2，整理得(2k ＋1)(6k 2－2k ＋1)<0，解得k <－12.因此当k <－12时，抛物线y ＝x 2上存在两点关于直线y ＝k (x －3)对称，于是当k ≥－12时，抛物线y ＝x 2上不存在两点关于直线y ＝k (x －3)对称．所以实数k 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞.故选D. 2．若二次函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1在区间[－1,1]内至少存在一个值c ，使得f (c )＞0，则实数p 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，32 解析 若在区间[－1,1]内不存在c 满足f (c )＞0，因为Δ＝36p 2≥0恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)≤0，f (1)≤0，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ≤－12或p ≥1，p ≤－3或p ≥32.所以p ≤－3或p ≥32，取补集得－3＜p ＜32， 即满足题意的实数p 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，32. 热点4 形体位置关系的转化例4 (1)(2019·延安市高考模拟)正三角形ABC 的边长为2，将它沿高AD 折叠，使点B 与点C 间的距离为3，则四面体ABCD 外接球的表面积为( )A ．6πB ．7πC ．8πD ．9π答案 B解析 根据题意可知四面体ABCD 的三条侧棱BD ⊥AD ，DC ⊥DA ，底面△BDC 是等腰三角形，它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，求出三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径，在三棱柱底面△BDC 中，BD ＝CD ＝1，BC ＝3，∴∠BDC ＝120°，∴△BDC 的外接圆的半径为12×3sin120°＝1，由题意可得，球心到底面的距离为12AD ＝32，∴球的半径为r ＝34＋1＝72.故外接球的表面积为4πr 2＝7π，故选B. (2)(天津市滨海新区2020届高三摸底考试)如图所示，已知多面体ABCDEFG 中，AB ，AC ，AD 两两互相垂直，平面ABC ∥平面DEFG ，平面BEF ∥平面ADGC ，AB ＝AD ＝DG ＝2，AC ＝EF ＝1，则该多面体的体积为________．答案 4解析 解法一：(分割法)因为几何体有两对相对面互相平行，如图所示，过点C 作CH ⊥DG 于H ，连接EH ，即把多面体分割成一个直三棱柱DEH －ABC和一个斜三棱柱BEF －CHG .由题意，知V 三棱柱DEH －ABC ＝S △DEH ·AD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×1×2＝2，V 三棱柱BEF －CHG ＝S △BEF ·DE ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×1×2＝2.故所求几何体的体积为V 多面体ABCDEFG ＝2＋2＝4.解法二：(补形法)因为几何体有两对相对面互相平行，如图所示，将多面体补成棱长为2的正方体，显然所求多面体的体积即该正方体体积的一半．又正方体的体积V正方体ABHI－DEKG＝23＝8，故所求几何体的体积为V多面体ABCDEFG＝12×8＝4.形体位置关系的转化是通过切割、补形、等体积转化等方式转化为便于观察、计算的常用几何体，由于新的几何体是转化而来的，一般需要对新几何体的位置关系、数据情况进行必要分析，准确理解新几何体的特征．1.(2019·东北三省三校高三第二次模拟)如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，点D是棱B1C1的中点，AB＝AC＝2，BC＝BB1＝2.(1)求证：AC1∥平面A1BD；(2)求点D到平面ABC1的距离．解(1)证明：连接AB1，交A1B于点O，则O为AB1的中点，连接OD ，又D 是B 1C 1的中点，∴OD ∥AC 1，∵OD ⊂平面A 1BD ，AC 1⊄平面A 1BD ，∴AC 1∥平面A 1BD .(2)由已知，AB ＝AC ，取BC 的中点H ，则BC ⊥AH ，∵BB 1⊥平面ABC ，AH ⊂平面ABC ，∴BB 1⊥AH ，∵BC ∩BB 1＝B ，∴AH ⊥平面BCC 1B 1.又AB ＝AC ＝2，BC ＝2，∴AH ＝1，∵BB 1⊥C 1D ，∴S △BC 1D ＝12C 1D ·BB 1＝12×1×2＝1，∴V D －ABC 1＝V A －BC 1D ＝13S △BC 1D ·AH ＝13×1×1＝13.∵AC 1＝2＋4＝6，BC 1＝4＋4＝22，∴AC 21＋AB 2＝BC 21，∴△ABC 1是直角三角形，∴S △ABC 1＝12×2×6＝3，设点D 到平面ABC 1的距离为h ，则13×3×h＝13，得h ＝33，即点D 到平面ABC 1的距离为33.2．(2019·山东师范大学附属中学高三上学期二模)已知等腰梯形ABCE (图1)中，AB ∥EC ，AB ＝BC ＝12EC ＝4，∠ABC ＝120°，D 是EC 的中点，将△ADE沿AD 折起，构成四棱锥P －ABCD (图2)．(1)求证：AD ⊥PB ；(2)当平面P AD ⊥平面ABCD 时，求三棱锥C －P AB 的体积． 解 (1)证明：取AD 的中点K ，连接PK ，BK ，BD ， ∵P A ＝PD ，K 为AD 的中点，∴PK ⊥AD ，又AD ＝AB ，∠DAB ＝60°，∴△ADB 为等边三角形，则AB ＝BD ，则BK ⊥AD ，又PK ∩BK ＝K ，∴AD ⊥平面PBK ，又PB ⊂平面PBK ，则AD ⊥PB .(2)由平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ， PK ⊂平面P AD ，PK ⊥AD ，得PK ⊥平面ABCD ，由已知AB ＝BC ＝4，∠ABC ＝120°，得S △ABC ＝43，又PK ＝23，∴V C －P AB ＝V P －ABC ＝13×43×23＝8.。
名校 状元 实战 经典---高考数学难点突破_难点39__化归思想
难点39 化归思想化归与转换的思想，就是在研究和解决数学问题时采用某种方式，借助某种函数性质、图象、公式或已知条件将问题通过变换加以转化，进而达到解决问题的思想.等价转化总是将抽象转化为具体，复杂转化为简单、未知转化为已知，通过变换迅速而合理的寻找和选择问题解决的途径和方法.1.（★★★★★）一条路上共有9个路灯，为了节约用电，拟关闭其中3个，要求两端的路灯不能关闭，任意两个相邻的路灯不能同时关闭，那么关闭路灯的方法总数为 .2.（★★★★★）已知平面向量a =(3–1),b =(23,21). （1）证明a ⊥b ;（2）若存在不同时为零的实数k 和t ，使x =a +(t 2–3)b ，y =–k a +t b ，且x ⊥y ，试求函数关系式k =f (t);（3）据（2）的结论，讨论关于t 的方程f (t )–k =0的解的情况.［例1］对任意函数f (x ), x ∈D ，可按图示构造一个数列发生器，其工作原理如下：①输入数据x 0∈D ，经数列发生器输出x 1=f (x 0)；②若x 1∉D ，则数列发生器结束工作；若x 1∈D ，则将x 1反馈回输入端，再输出x 2=f (x 1)，并依此规律继续下去.现定义124)(+-=x x x f （1）若输入x 0=6549，则由数列发生器产生数列{x n }，请写出{x n }的所有项；（2）若要数列发生器产生一个无穷的常数列，试求输入的初始数据x 0的值；（3）若输入x 0时，产生的无穷数列{x n }，满足对任意正整数n 均有x n ＜x n +1；求x 0的取值范围.命题意图：本题主要考查学生的阅读审题，综合理解及逻辑推理的能力.属★★★★★级题目.知识依托：函数求值的简单运算、方程思想的应用.解不等式及化归转化思想的应用.解题的关键就是应用转化思想将题意条件转化为数学语言.错解分析：考生易出现以下几种错因：（1）审题后不能理解题意.（2）题意转化不出数学关系式，如第2问.（3）第3问不能进行从一般到特殊的转化.技巧与方法：此题属于富有新意，综合性、抽象性较强的题目.由于陌生不易理解并将文意转化为数学语言.这就要求我们慎读题意，把握主脉，体会数学转换.解：（1）∵f (x )的定义域D =（–∞,–1)∪(–1,+∞)∴数列{x n }只有三项，1,51,1911321-===x x x （2）∵x x x x f =+-=124)(,即x 2–3x +2=0 ∴x =1或x =2，即x 0=1或2时n n n n x x x x =+-=+1241故当x 0=1时，x n =1，当x 0=2时，x n =2（n ∈N *） （3）解不等式124+-<x x x ，得x ＜–1或1＜x ＜2 要使x 1＜x 2，则x 2＜–1或1＜x 1＜2 对于函数164124)(+-=+-=x x x x f 若x 1＜–1，则x 2=f (x 1)＞4，x 3=f (x 2)＜x 2若1＜x 1＜2时，x 2=f (x 1)＞x 1且1＜x 2＜2 依次类推可得数列{x n }的所有项均满足 x n +1＞x n （n ∈N *) 综上所述，x 1∈(1,2) 由x 1=f (x 0),得x 0∈(1,2).［例2］设椭圆C 1的方程为12222=+b y a x (a ＞b ＞0)，曲线C 2的方程为y =x1，且曲线C 1与C 2在第一象限内只有一个公共点P .（1）试用a 表示点P 的坐标；（2）设A 、B 是椭圆C 1的两个焦点，当a 变化时，求△ABP 的面积函数S (a )的值域； （3）记min{y 1,y 2,……,y n }为y 1,y 2,……,y n 中最小的一个.设g (a )是以椭圆C 1的半焦距为边长的正方形的面积，试求函数f (a )=min{g (a ), S (a )}的表达式.命题意图：本题考查曲线的位置关系，函数的最值等基础知识，考查推理运算能力及综合运用知识解题的能力.属★★★★★级题目.知识依托：两曲线交点个数的转化及充要条件，求函数值域、解不等式.错解分析：第（1）问中将交点个数转化为方程组解的个数，考查易出现计算错误，不能借助Δ找到a 、b 的关系.第（2）问中考生易忽略a ＞b ＞0这一隐性条件.第（3）问中考生往往想不起将min{g (a ),S (a )}转化为解不等式g (a )≥S (a ).技巧与方法：将难以下手的题目转化为自己熟练掌握的基本问题，是应用化归思想的灵魂.要求必须将各知识的内涵及关联做到转化有目标、转化有桥梁、转化有效果.解：（1）将y =x1代入椭圆方程，得 112222=+x b a x 化简，得b 2x 4–a 2b 2x 2+a 2=0由条件，有Δ=a 4b 4–4a 2b 2=0，得ab =2 解得x =2a 或x =–2a （舍去） 故P 的坐标为(a a 2,2).(2)∵在△ABP 中，｜AB ｜=222b a -，高为a2, ∴)41(22221)(422aa b a a S -=⋅-⋅=∵a ＞b ＞0,b =a2∴a ＞a 2,即a ＞2,得0＜44a＜1 于是0＜S （a ）＜2，故△ABP 的面积函数S (a )的值域为(0,2) (3)g (a )=c 2=a 2–b 2=a 2–24a 解不等式g (a )≥S (a )，即a 2–24a ≥)41(24a - 整理，得a 8–10a 4+24≥0，即(a 4–4)(a 4–6)≥0 解得a ≤2（舍去）或a ≥46. 故f (a )=min{g (a ), S (a )}⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-≤<-=)6()41(262(444422a a a a a转化有等价转化与不等价转化.等价转化后的新问题与原问题实质是一样的.不等价转化则部分地改变了原对象的实质，需对所得结论进行必要的修正.应用转化化归思想解题的原则应是化难为易、化生为熟、化繁为简，尽量是等价转化.常见的转化有：正与反的转化、数与形的转化、相等与不等的转化、整体与局部的转化、空间与平面相互转化、复数与实数相互转化、常量与变量的转化、数学语言的转化.一、选择题1.（★★★★）已知两条直线l 1:y =x ,l 2:ax –y =0，其中a ∈R ，当这两条直线的夹角在(0,2π)内变动时，a 的取值范围是( )A.（0，1）B.（33，3） C.（33，1）∪（1，3） D.（1，3）2.（★★★★）等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别用S n 和T n 表示，若534+=n n T S n n ，则nnn b a ∞→lim的值为( )A.34 B.1 C.36 D.94二、填空题3.（★★★★）某房间有4个人，那么至少有2人生日是同一个月的概率是 .（列式表示即可）4.（★★★★★）函数f (x )=x 3–3bx +3b 在（0，1）内有极小值，则b 的取值范围是 . 三、解答题5.（★★★★）已知f (x )=lg(x +1),g (x )=2lg(2x +t ),(t ∈R 是参数）. (1)当t =–1时，解不等式f (x )≤g (x );(2)如果x ∈［0,1］时，f (x )≤g (x )恒成立，求参数t 的取值范围.6.（★★★★★）已知函数f (x )=a 1x +a 2x 2+a 3x 3+…+a n x n ，n ∈N *且a 1、a 2、a 3、……、a n构成一个数列{a n }，满足f (1)=n 2.（1）求数列{a n }的通项公式，并求1lim+∞→n nn a a ；（2）证明0＜f (31)＜1. 7.（★★★★★）设A 、B 是双曲线x 2–22y =1上的两点，点N （1，2）是线段AB 的中点.（1）求直线AB 的方程；（2）如果线段AB 的垂直平分线与双曲线相交于C 、D 两点，那么A 、B 、C 、D 四点是否共圆？为什么？8.（★★★★★）直线y =a 与函数y =x 3–3x 的图象有相异三个交点，求a 的取值范围.参 考 答 案●难点磁场1.解析：9个灯中关闭3个等价于在6个开启的路灯中，选3个间隔（不包括两端外边C 35=10答案：102.(1)证明：∵a ·b =23)1(213⋅-+⨯=0，∴a ⊥b (2)解：∵x ⊥y ,∴x ·y =0即［a +（t 2–3)b ］·(–k a +t b )=0，整理后得 –k a 2+［t –k (t 2–3)］a ·b +t (t 2–3)·b 2=0 ∵a ·b =0,a 2=4,b 2=1∴上式化为–4k +t (t 2–3)=0，∴k =41t (t 2–3). (3)解：讨论方程41t (t 2–3)–k =0的解的情况，可以看作曲线f (t )=41t (t 2–3)与直线y =k于是f ′(t )=43(t 2–1)=43(t +1)(t –1). 令f ′(t )=0,解得t当t =–1时，f (t )有极大值，f (t )极大值=2； 当t =1时，f (t )有极小值，f (t )极小值=–21.而f (t )=41(t 2–3)t =0时，得t =–3,0,3.所以f (t )的图象大致如右： 于是当k >21或k <–21时，直线y =k 与曲线y =f (t )仅有一个交点，则方程有一解；当k =21或k =–21时，直线与曲线有两个交点，则方程有两解；当k =0，直线与曲线有三个交点，但k 、t 不同时为零，故此时也有两解；当–21<k <0或0<k <21●歼灭难点训练一、1.解析：分析直线l 2的变化特征，化数为形，已知两直线不重合，因此问题应该有答案：C2.解析：化和的比为项的比∵n n n n n b n T a n a a n S )12(;)12(2)12(1212112-=-=+-=---. ∴26485)12(3)12(41212+-=+--==--n n n n T S b a n n n n ,答案：A 二、3.答案：441212A 1-4.解析：转化为f ′(x )=3x 2–3b 在（0，1）内与x f ′(0)<0且f ′(1)>0.答案：0<b <1三、5.解：(1)原不等式等价于⎪⎩⎪⎨⎧>->⎪⎩⎪⎨⎧-≤+>->+05421)12(10120122x x x x x x x 即 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤>45021x x x 或 ∴x ≥45∴原不等式的解集为{x |x ≥45}. (2)x ∈［0,1］时，f (x )≤g (x )恒成立.∴x ∈［0,1］时⎪⎩⎪⎨⎧+≤+>+>+2)2()1(0201t x x t x x 恒成立.即⎪⎩⎪⎨⎧++-≥->>+12201x x t xt x 恒成立 即x ∈［0,1］时，t ≥–2x +1+x 恒成立，于是转化为求–2x +x +1,x ∈［0,1］的最令μ=1+x ,则x =μ2–1,则μ∈［1,2］. ∴2x +1+x =–2(μ–41)2+817. 当μ=1即x =0时，–2x +1+x 有最大值1∴t 的取值范围是t ≥1.6.(1)解：{a n }的前n 项和S n =a 1+a 2+…+a n =f (1)=n 2,由a n =S n –S n –1=n 2–(n –1)2=2n –1(n ≥2),又a 1=S 1=1满足a n =2n –1.故{a n }通项公式为a n =2n –1(n ∈N *)∴11212lim lim1=+-=∞→+∞→n n a a n n n n(2)证明：∵f (31)=1·31+3·91+…+(2n –1)n 31①∴31f (31)=1·91+3·271+…+(2n –3)n 31+(2n –1)131+n ②①–②得：32f (31)=1·31+2·91+2·271+…+2·n 31–(2n –1)·131+n∴f (31)=21+31+91+271+…+131-n –(2n –1)131+n =1–n n 31+.∵n n n n n n +>+>+⋅+⋅+=+=1212C 2C 1)21(3221 (n ∈N *)∴0<n n 31+<1,∴0<1–nn 31+<1，即0<f (31)<1 7.解：(1)设AB ∶y =k (x –1)+2代入x 2–22y =1.整理得（2–k 2）x 2–2k (2–k )x –(2–k )2–2=0 ① 设A (x1,y 1)、B （x 2,y 2),x 1,x 2 所以2–k 2≠0且x 1+x 2=22)2(2kk k --.又N 为AB 中点， 有21（x 1+x 2）=1.∴k (2–k )=2–k 2,解得k =1.故AB ∶y =x +1. (2)解出A （–1，0）、B （3，4CD 的方程为y =3–x .与双曲线方程联立.消y 有x 2+6x –11=0 ②记C (x 3,y 3)、D (x 4,y 4)及CD 中点M (x 0,y 0)由韦达定理可得x 0=–3,y 0=6.∵|CD |=104)()(243243=-+-y y x x ∴|MC |=|MD |=21|CD |=210. 又|MA |=|MB |=102)()(210210=-+-y y x x .即A 、B 、C 、D 四点到点M 的距离相等，所以A 、B 、C 、D 四点共圆.8.提示：f ′(x )=3x 2–3=3(x –1)(x +1)易确定f (–1)=2是极大值，f (1)=–2是极小值.当–2<a <2时有三个相异交点.。
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难点39 化归思想化归与转换的思想，就是在研究和解决数学问题时采用某种方式，借助某种函数性质、图象、公式或已知条件将问题通过变换加以转化，进而达到解决问题的思想.等价转化总是将抽象转化为具体，复杂转化为简单、未知转化为已知，通过变换迅速而合理的寻找和选择问题解决的途径和方法.1.（★★★★★）一条路上共有9个路灯，为了节约用电，拟关闭其中3个，要求两端的路灯不能关闭，任意两个相邻的路灯不能同时关闭，那么关闭路灯的方法总数为 .2.（★★★★★）已知平面向量a =(3–1),b =(23,21). （1）证明a ⊥b ;（2）若存在不同时为零的实数k 和t ，使x =a +(t 2–3)b ，y =–k a +t b ，且x ⊥y ，试求函数关系式k =f (t); （3）据（2）的结论，讨论关于t 的方程f (t )–k =0的解的情况.［例1］对任意函数f (x ), x ∈D ，可按图示构造一个数列发生器，其工作原理如下： ①输入数据x 0∈D ，经数列发生器输出x 1=f (x 0)；②若x 1∉D ，则数列发生器结束工作；若x 1∈D ，则将x 1反馈回输入端，再输出x 2=f (x 1)，并依此规律继续下去.现定义124)(+-=x x x f （1）若输入x 0=6549，则由数列发生器产生数列{x n }，请写出{x n }的所有项；（2）若要数列发生器产生一个无穷的常数列，试求输入的初始数据x 0的值；（3）若输入x 0时，产生的无穷数列{x n }，满足对任意正整数n 均有x n ＜x n +1；求x 0的取值范围.命题意图：本题主要考查学生的阅读审题，综合理解及逻辑推理的能力.属★★★★★级题目.知识依托：函数求值的简单运算、方程思想的应用.解不等式及化归转化思想的应用.解题的关键就是应用转化思想将题意条件转化为数学语言.错解分析：考生易出现以下几种错因：（1）审题后不能理解题意.（2）题意转化不出数学关系式，如第2问.（3）第3问不能进行从一般到特殊的转化.技巧与方法：此题属于富有新意，综合性、抽象性较强的题目.由于陌生不易理解并将文意转化为数学语言.这就要求我们慎读题意，把握主脉，体会数学转换.解：（1）∵f (x )的定义域D =（–∞,–1)∪(–1,+∞)∴数列{x n }只有三项，1,51,1911321-===x x x （2）∵x x x x f =+-=124)(,即x 2–3x +2=0 ∴x =1或x =2，即x 0=1或2时n n n n x x x x =+-=+1241故当x 0=1时，x n =1，当x 0=2时，x n =2（n ∈N *） （3）解不等式124+-<x x x ，得x ＜–1或1＜x ＜2 要使x 1＜x 2，则x 2＜–1或1＜x 1＜2 对于函数164124)(+-=+-=x x x x f 若x 1＜–1，则x 2=f (x 1)＞4，x 3=f (x 2)＜x 2若1＜x 1＜2时，x 2=f (x 1)＞x 1且1＜x 2＜2 依次类推可得数列{x n }的所有项均满足 x n +1＞x n （n ∈N *) 综上所述，x 1∈(1,2) 由x 1=f (x 0),得x 0∈(1,2).［例2］设椭圆C 1的方程为12222=+b y a x (a ＞b ＞0)，曲线C 2的方程为y =x1，且曲线C 1与C 2在第一象限内只有一个公共点P .（1）试用a 表示点P 的坐标；（2）设A 、B 是椭圆C 1的两个焦点，当a 变化时，求△ABP 的面积函数S (a )的值域；（3）记min{y 1,y 2,……,y n }为y 1,y 2,……,y n 中最小的一个.设g (a )是以椭圆C 1的半焦距为边长的正方形的面积，试求函数f (a )=min{g (a ), S (a )}的表达式.命题意图：本题考查曲线的位置关系，函数的最值等基础知识，考查推理运算能力及综合运用知识解题的能力.属★★★★★级题目.知识依托：两曲线交点个数的转化及充要条件，求函数值域、解不等式.错解分析：第（1）问中将交点个数转化为方程组解的个数，考查易出现计算错误，不能借助Δ找到a 、b 的关系.第（2）问中考生易忽略a ＞b ＞0这一隐性条件.第（3）问中考生往往想不起将min{g (a ),S (a )}转化为解不等式g (a )≥S (a ).技巧与方法：将难以下手的题目转化为自己熟练掌握的基本问题，是应用化归思想的灵魂.要求必须将各知识的内涵及关联做到转化有目标、转化有桥梁、转化有效果.解：（1）将y =x1代入椭圆方程，得 112222=+xb a x 化简，得b 2x 4–a 2b 2x 2+a 2=0由条件，有Δ=a 4b 4–4a 2b 2=0，得ab =2 解得x =2a 或x =–2a （舍去） 故P 的坐标为(aa 2,2). (2)∵在△ABP 中，｜AB ｜=222b a -，高为a2,∴)41(22221)(422aa b a a S -=⋅-⋅=∵a ＞b ＞0,b =a2∴a ＞a 2,即a ＞2,得0＜44a＜1 于是0＜S （a ）＜2，故△ABP 的面积函数S (a )的值域为(0,2) (3)g (a )=c 2=a 2–b 2=a 2–24a 解不等式g (a )≥S (a )，即a 2–24a ≥)41(24a - 整理，得a 8–10a 4+24≥0，即(a 4–4)(a 4–6)≥0 解得a ≤2（舍去）或a ≥46. 故f (a )=min{g (a ), S (a )}⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-≤<-=)6()41(262(444422a a a a a转化有等价转化与不等价转化.等价转化后的新问题与原问题实质是一样的.不等价转化则部分地改变了原对象的实质，需对所得结论进行必要的修正.应用转化化归思想解题的原则应是化难为易、化生为熟、化繁为简，尽量是等价转化.常见的转化有：正与反的转化、数与形的转化、相等与不等的转化、整体与局部的转化、空间与平面相互转化、复数与实数相互转化、常量与变量的转化、数学语言的转化.一、选择题1.（★★★★）已知两条直线l 1:y =x ,l 2:ax –y =0，其中a ∈R ，当这两条直线的夹角在(0,2π)内变动时，a 的取值范围是( )A.（0，1）B.（33，3） C.（33，1）∪（1，3） D.（1，3） 2.（★★★★）等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别用S n 和T n 表示，若534+=n n T S n n ，则nn n b a ∞→lim 的值为( )A.34 B.1 C.36 D.94二、填空题3.（★★★★）某房间有4个人，那么至少有2人生日是同一个月的概率是 .（列式表示即可）4.（★★★★★）函数f (x )=x 3–3bx +3b 在（0，1）内有极小值，则b 的取值范围是 . 三、解答题5.（★★★★）已知f (x )=lg(x +1),g (x )=2lg(2x +t ),(t ∈R 是参数）. (1)当t =–1时，解不等式f (x )≤g (x );(2)如果x ∈［0,1］时，f (x )≤g (x )恒成立，求参数t 的取值范围.6.（★★★★★）已知函数f (x )=a 1x +a 2x 2+a 3x 3+…+a n x n ，n ∈N *且a 1、a 2、a 3、……、a n 构成一个数列{a n }，满足f (1)=n 2.（1）求数列{a n }的通项公式，并求1lim+∞→n nn a a ；（2）证明0＜f (31)＜1. 7.（★★★★★）设A 、B 是双曲线x 2–22y =1上的两点，点N （1，2）是线段AB 的中点.（1）求直线AB 的方程；（2）如果线段AB 的垂直平分线与双曲线相交于C 、D 两点，那么A 、B 、C 、D 四点是否共圆？为什么？ 8.（★★★★★）直线y =a 与函数y =x 3–3x 的图象有相异三个交点，求a 的取值范围.参 考 答 案●难点磁场1.解析：9个灯中关闭3个等价于在6个开启的路灯中，选3个间隔（不包括两端外边的装置）插入关闭的过程C 35=10答案：102.(1)证明：∵a ·b =23)1(213⋅-+⨯=0，∴a ⊥b (2)解：∵x ⊥y ,∴x ·y =0即［a +（t 2–3)b ］·(–k a +t b )=0，整理后得 –k a 2+［t –k (t 2–3)］a ·b +t (t 2–3)·b 2=0 ∵a ·b =0,a 2=4,b 2=1∴上式化为–4k +t (t 2–3)=0，∴k =41t (t 2–3). (3)解：讨论方程41t (t 2–3)–k =0的解的情况，可以看作曲线f (t )=41t (t 2–3)与直线y =k于是f ′(t )=43(t 2–1)=43(t +1)(t –1).令f ′(t当t =–1时，f (t )有极大值，f (t )极大值=21； 当t =1时，f (t )有极小值，f (t )极小值=–21.而f (t )=41(t 2–3)t =0时，得t =–3,0,3.所以f (t )的图象大致如右：于是当k >21或k <–21时，直线y =k 与曲线y =f (t )仅有一个交点，则方程有一解； 当k =21或k =–21时，直线与曲线有两个交点，则方程有两解；当k =0，直线与曲线有三个交点，但k 、t 不同时为零，故此时也有两解；当–21<k <0或0<k <21时，●歼灭难点训练一、1.解析：分析直线l2答案：C2.解析：化和的比为项的比∵n n n n n b n T a n a a n S )12(;)12(2)12(1212112-=-=+-=---. ∴26485)12(3)12(41212+-=+--==--n n n n T S b a n n n n,答案：A 二、 3.答案：441212A 1-4.解析：转化为f ′(x )=3x 2–3b 在（0，1）内与x f ′(0)<0且f ′(1)>0.答案：0<b <1三、5.解：(1)原不等式等价于⎪⎩⎪⎨⎧>->⎪⎩⎪⎨⎧-≤+>->+05421)12(10120122x x x x x x x 即 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤>45021x x x 或 ∴x ≥45∴原不等式的解集为{x |x ≥45}. (2)x ∈［0,1］时，f (x )≤g (x )恒成立.∴x ∈［0,1］时⎪⎩⎪⎨⎧+≤+>+>+2)2()1(0201t x x t x x 恒成立.即⎪⎩⎪⎨⎧++-≥->>+12201x x t x t x 恒成立即x ∈［0,1］时，t ≥–2x +1+x 恒成立，于是转化为求–2x +x +1,x ∈［0,1令μ=1+x ,则x =μ2–1,则μ∈［1,2］. ∴2x +1+x =–2(μ–41)2+817. 当μ=1即x =0时，–2x +1+x 有最大值1∴t 的取值范围是t ≥1.6.(1)解：{a n }的前n 项和S n =a 1+a 2+…+a n =f (1)=n 2,由a n =S n –S n –1=n 2–(n –1)2=2n –1(n ≥2),又a 1=S 1=1满足a n =2n –1.故{a n }通项公式为a n =2n –1(n ∈N *)∴11212lim lim1=+-=∞→+∞→n n a a n n n n(2)证明：∵f (31)=1·31+3·91+…+(2n –1)n 31①∴31f (31)=1·91+3·271+…+(2n –3)n 31+(2n –1)131+n ②①–②得：32f (31)=1·31+2·91+2·271+…+2·n 31–(2n –1)·131+n∴f (31)=21+31+91+271+…+131-n –(2n –1)131+n =1–n n 31+.∵n n n n n n +>+>+⋅+⋅+=+=1212C 2C 1)21(3221 (n ∈N *)∴0<n n 31+<1,∴0<1–nn 31+<1，即0<f (31)<17.解：(1)设AB ∶y =k (x –1)+2代入x 2–22y =1.整理得（2–k 2）x 2–2k (2–k )x –(2–k )2–2=0 ① 设A (x1,y 1)、B （x 2,y 2),x 1,x 2 所以2–k 2≠0且x 1+x 2=22)2(2k k k --.又N 为AB 中点，有21（x 1+x 2）=1.∴k (2–k )=2–k 2,解得k =1.故AB ∶y =x +1. (2)解出A （–1，0）、B （3，4CD 的方程为y =3–x .与双曲线方程联立.消y 有x 2+6x –11=0 ② 记C (x 3,y 3)、D (x 4,y 4)及CD 中点M (x 0,y 0)由韦达定理可得x 0=–3,y 0=6. ∵|CD |=104)()(243243=-+-y y x x ∴|MC |=|MD |=21|CD |=210. 又|MA |=|MB |=102)()(210210=-+-y y x x .即A 、B 、C 、D 四点到点M 的距离相等，所以A 、B 、C 、D 四点共圆.8.提示：f ′(x )=3x 2–3=3(x –1)(x +1)易确定f (–1)=2是极大值，f (1)=–2是极小值.当–2<a <2时有三个相异交点.。