完全二部单路图谱半径的极限

vn + r1 + i (1 ≤ i ≤ r2 ) 在图 G (n, r1 , r2 ) 的邻接矩阵中对应的
行向量相同，则它们对应于 X 中的分量也相等，故 设 xn + r1 + i = b(1 ≤ i ≤ r2 ) . 把 A(G (n, r1 , r2 )) X = ρ(G (n,
r1 , r2 )) X 的所有行表示如下： ⎧ ρ(G (n, r1 , r2 )) x 1 = x2 , ⎪ ⎪ ρ(G (n, r1 , r2 )) x2 = x1 + x3 , ⎪" ⎪ ⎨ ρ(G (n, r1 , r2 )) xn = xn −1 + xn +1 , ⎪ ρ(G (n, r , r )) x = x + r b, n +1 n 1 2 2 ⎪ ⎪ ρ(G (n, r1 , r2 ))a = r2 b, ⎪ ⎩ ρ(G (n, r1 , r2 ))b = xn +1 + (r1 − 1)a.
2, r2 ≥ 4 )的完全二部图， Pn 表示 n 阶路. G (n, r1 , r2 )
[3] [2]
是 K (r1 , r2 ) = ( X , Y ) 中 X 的一个顶点与 Pn 的一个一 度顶点加条边得到的图(图 1)，记 G (n, r1 , r2 ) = K (r1 , r2 ) + Pn 称 其 为 完 全 二 部 单 路 图 . ρ(G (n, r1 , r2 )) 为 G (n, r1 , r2 ) 的谱半径，对于任意给定的正整数 r1 ≥ 2, r2 ≥ 4, r1 ≤ r2 ， 当点数 n 趋于无穷时， ρ(G (n, r1 , r2 )) 是 收敛的.
i = 1, 2," , n} .
⎛ − n −1 0 ⎜ ⎜ 1 n−2 ⎝
n −1⎞ ⎟. 1 ⎟ ⎠
的特征值集合为 λ( A) = {λ1 , λ2 ," , λn } ， ρ( A) 称为 A 的谱半径, ρ( A) = max{ λi
vn + r1 +1vn + r1 + 2 vn + r1 + r2
叫做 G 的谱. 引理 2[6] 设 G 是一个有 n 个顶点的图，Δ (G ) 与 δ (G ) 分别是 G 的最大度与最小度，则 δ (G ) ≤ ρ(G ) ≤ Δ (G ) . 引理 3[3] 如果 H 是 G 的子图， 则 ρ( H ) ≤ ρ(G ) , 且如果 G 是连通图则等号成立当且仅当 H=G . 引 理 4[7] 星 图 S n 的 谱 是 spec(ρ( Sn )) =
引理 1[4] 则有:
记 A = (ai j )n×n ≥ 0 是不可约的矩阵，
r2 (2 + r2 r1 − 2r1 ) + r2 (2 + r2 r1 − 2r1 )2 + 4(r2 − 1)(r1 − 1)2
a. A 的谱半径 ρ( A) 是 A 的单特征值. b. A 有一个正的特征向量属于 ρ( A) ，且其它
根据引理 3 和引理 4， 可知 Δ < ρ(G (n, r1 , r2 )) ≤
由构造可知，当 n >N 时，数列(2)、(4)、(5)之间满 足 ρ−ε− 1 = bi (1) ≤ bi = ρ(G (n, r1 , r2 )) − 1 ≤ bi (2) = bi −1 bi(1) −1
n →∞
ρ (G ( n, r1 , r2 )) 有极限，即 lim ρ (G ( n, r1 , r2 )) = ρ , 并确定了极限 ρ ，即
n →∞
lim ρ(G ( n, r1 , r2 )) =
r2 (2 + r2 r1 − 2r1 ) + r2 (2 + r2 r1 − 2r1 ) 2 + 4( r2 − 1)( r1 − 1) 2 . 2(r2 − 1)
(2) bn = ρ+ε− 1 . (2) bn −1
(5)
∀k ≥ 2(k ∈ Z) ，因为 G (k , r1 , r2 ) 是 G (k + 1, r1 , r2 )
的连通子图，由引理 3 可得 ρ(G (k , r1 , r2 )) < ρ(G (k +
1, r1 , r2 )) ，由此可知， ρ(G (n, r1 , r2 )) 是 n 的增函数.
1, 2," , n} , A 的特征值叫做 G 的特征值. A 的特征多
项式记为 AG ( λ) = det( λI − A(G )) , 也称为 G 的特征 多项式. S n 表示 n 个顶点的星. 如果图的邻接矩阵是不可约矩阵，则图是连通 图. 本文要研究的图就是简单连通图. G 的邻接矩 阵 A 的特征值被表示为 λ1 ≥ λ2 ≥ " ≥ λn , 因为 A 是 非负不可约的(G 是连通图), 由引理 1 ρ(G ) = λ1 > 0 是 A 的单特征值并且对应着正的特征向量，该特征 向量被叫做 G 的 Perron 向量，被表示为 X = ( x1 ,
文献标识码： A 文章编号： 1672-6146(2010)02-0014-04
关键词：完全二部单路图；谱半径；极限 中图分类号： O 157.5
The limit of spectral radius of complete bipartite single path-graphs
LU Zi-juan (Basic Subjects Department, School of Kelamayi, Kelamayi 833600, China) Abstract: For any given integer r1 ≥ 2, r2 ≥ 4, r1 ≤ r2 , ρ (G ( n, r1 , r2 )) the spectral radius of G ( n, r1 , r2 ) has limit ρ as n tends to infinite i．e． ， lim ρ(G(n, r1, r2 )) = ρ . we determine the limit
K(r1,r2)
引理 5[8] 引理 6
[8]
单调有界数列必有极限. 若有一正整数 N， 当 n>N 时， 有 xn ≤
n →∞ n →∞
yn ≤ zn , 且 lim xn = lim zn = a ，则有 lim yn = a .
n →∞
2
Pn
主要结论
定理 1 完 全 二 部 单 路 图 G (n, r1 , r2 ) ( n ≥ 2,
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湖 南 文 理 学 院 学 报（自 然 科 学 版）
2010 年
⎧ x2 ⎪ = ρ(G (n, r1 , r2 )), ⎪ x1 ⎪ x3 1 ⎪ = ρ(G (n, r1 , r2 )) − , x x 2 2 ⎪ x1 ⎪ ⎪ ⎨" ⎪x ⎪ n +1 = ρ(G (n, r1 , r2 )) − 1 , xn ⎪ xn ⎪ xn −1 ⎪ [ ρ(G (n, r1 , r2 ))]2 − r2 (r1 − 1) ⎪ xn +1 = . ⎪ x [ ρ(G (n, r1 , r2 ))]3 − r2 r1 ρ(G (n, r1 , r2 )) ⎩ n
的邻接矩阵，X = ( x1 , x2 ," , xn + r1 + r2 )T 是 A(G (n, r1 , r2 )) 的 Perron 向量，其中 xi 对应顶点 vi (1 ≤ i ≤ n + r1 +
r2 ) ， ρ(G (n, r1 , r2 )) 是 图 G (n, r1 , r2 ) 的 谱 半 径 ， 则 A(G (n, r1 , r2 )) X = ρ(G (n, r1 , r2 )) X .
vn + r1
vn + 2 vn +1
vn
vn−1
v2
v1
r1 ≥ 2, r2 ≥ 4, r1 ≤ r2 )的谱半径， 当点数 n 趋于无穷时， ρ(G (n, r1 , r2 )) 有极限：
lim ρ(G (n, r1 , r2 )) =
n →∞
图 1 G(n, r1, r2 ) = K(r1, r2 ) + Pn 表示 n + r1 + r2 阶完全二部单路图
x2 ,..., xn ) , 这里 xi 对应着顶点 vi (1 ≤ n + 2
vn +1
vn
vn−1
v2
v1
图 2 G ( n, r1 , r2 ) 是 n + r1 + r2 阶完全二部单路图
由于各顶点 vn + i (2 ≤ i ≤ r1 ) 在图 G (n, r1 , r2 ) 的邻 接矩阵中对应的行向量相同, 因此它们对应于 X 中 的 分 量 相 等 . 故 设 xn + i = a (2 ≤ i ≤ r1 ) ， 而 各 顶 点
第 22 卷 第 2 期 2010 年 6 月
湖 南 文 理 学 院 学 报（自 然 科 学 版） Journal of Hunan University of Arts and Science(Natural Science Edition)
Vol. 22 No. 2 Jun. 2010
doi：10.3969/j.issn.1672-6146.2010.02.006
特征值没有正的特征向量. 定义 2[5] 设 G (V , E ) 是一个简单图，它的顶点 集 合 为 V = {v1 , v2 ,..., vn } ， 它 的 邻 接 矩 阵 为 A = 证明
2(r2 − 1)
.
设 A(G (n, r1 , r2 )) 是图 G (n, r1 , r2 ) (见图 2)