晶体学基础(晶向指数与晶面指数)
图 1 晶向指数的确定方法
图 2 不同的晶向及其指数 当然，在确定晶向指数时，坐标原点不一定非选取在晶向上不可。若原点不在待标晶向 上， 那就需要选取该晶向上两点的坐标 P(x1， y1， z1)和 Q(x2， y2， z2)， 然后将(x1-x2)， (y1-y2)，
(z1-z2)三个数化成最小的简单整数 u， v， w， 并使之满足 u∶v∶w=(x1-x2)∶(y1-y2)∶(z1-z2)。 则[uvw]为该晶向的指数。 显然，晶向指数表示了所有相互平行、方向一致的晶向。若所指的方向相反，则晶向指 数的数字相同，但符号相反，如图 3 中[0 1 0 ]与[010]。 说明： a 指数意义：代表相互平行、方向一致的所有晶向。 b 负值：标于数字上方，表示同一晶向的相反方向。 c 晶向族：晶体中原子排列情况相同但空间位向不同的一组晶向。用<uvw>表示，数字 相同，但排列顺序不同或正负号不同的晶向属于同一晶向族。晶体结构中那些原子密 度相同的等同晶向称为晶向轴，用<UVW>表示。 <100>：[100] [010] [001] [ 1 00 ] [ 0 1 0 ] [ 00 1 ] <111>：[111] [ 1 1 1 ] [ 1 1 1 ] [ 1 11 ] [ 1 1 1 ] [ 1 1 1 ] [ 1 1 1 ] [ 11 1 ]
图 11 六方晶体中常见的晶面 （2）六方晶系晶向指数的标定 采用四轴坐标，六方晶系晶向指数的标定方法如下：当晶向通过原点时，把晶向沿四个 轴分解成四个分量，晶向 OP 可表示为：OP=ua1+va2+ta3+wC，晶向指数用[uvtw]表示，其中 t=-(u+v)。原子排列相同的晶向为同一晶向族，图 12 中 a1 轴为[ 2 1 1 0 ]，a2 轴[ 1 2 1 0 ]， a3 轴[ 1 1 20 ]均属〈 2 1 1 0 〉 ，其缺点是标定较麻烦。可先用三轴制确定晶向指数[UVW]， 再利用公式转换为[uvtw]。采用三轴坐标系时。C 轴垂直底面，a1、a2 轴在底面上，其夹角 o 为 120 ，如图 12，确定晶向指数的方法同前。采用三轴制虽然指数标定简单，但原子排列 相同的晶向本应属于同一晶向族，其晶向指数的数字却不尽相同，例如 [100] ， [010] ， [ 1 1 0 2 晶面指数的确定 国际上通用的是密勒指数，即用三个数字来表示晶面指数（h k l）。图 4 中的红色晶 面为待确定的晶面，其确定方法如下。
图 4 晶面指数的确定 (1)建立一组以晶轴 a，b，c 为坐标轴的坐标系，令坐标原点不在待标晶面上，各轴上的坐 标长度单位分别是晶胞边长 a，b，c。 (2)求出待标晶面在 a，b，c 轴上的截距 xa，yb，zc。如该晶面与某轴平行，则截距为∞。 (3)取截距的倒数 1/xa，1/yb，1/zc。 (4)将这些倒数化成最小的简单整数比 h，k，l，使 h∶k∶l= 1/xa∶1/yb∶1/zc。 (5)如有某一数为负值， 则将负号标注在该数字的上方， 将 h， k， l 置于圆括号内， 写成(hkl)， 则(hkl)就是待标晶面的晶面指数。 说明：晶面指数所代表的不仅是某一晶面，而是代表着一组相互平行的晶面。 a 指数意义：代表一组平行的晶面；
图 13 中标出了六方晶体中各重要晶向的四指数，它们是[0001]， 等。
图 13 六方晶体中常见的晶向 除上述几个特殊晶向外，对一般的晶向，很难直接求出四指数[UVTW]，因为很难保证在 沿 a1，a2，a3 和 c 轴分别走了 U，V，T 和 W 步后既要到达晶向上的另一点，又要满足条件 T=-(U+V)。比较可靠的标注指数方法是解析法。该法是先求出待标晶向在 a1，a2 和 c 三个轴 下的指数 u，v，w（这比较容易求得），然后按以下公式算出四指数 U，V，T，W。
图 12 六方晶系的一些晶面与晶向指数 六方晶系按两种晶轴系所得的晶向指数可相互转换如下 u 1 3 (2U V ) ，
v1 3 (2V U ) ， t (u v) ， w W 。例如，[ 1 1 0 ]→[ 1 1 20 ]，[100]→[ 2 1 1 0 ]，
[010]→[ 1 2 1 0 ]，这样等同晶向的晶向指数的数字都相同。 标定方法通常采用行走法。 用行走法确定六方晶体的四轴晶向指数时， 会遇到一个新的 问题，即解是不唯一的。例如，a1 轴的指数可以是 以是 ，也可以是[2000]；a2 轴的指数可
，也可以是[0200]。分析各种等价晶向的四指数后发现，要想使等价晶向具有
类似的四指数，就需要人为地附加一个条件，即前三个指数之和为零。若将晶向指数写成 [UVTW]，则上述附加条件可写成：U+V+T=0，或 T=-(U+V)。按照这个附加条件，上述 a1 轴的 指数就应该是 ，而不是[2000]；同样，a2 和 a3 轴的指数分别是 和 ， 。 等
图 10 六方晶体的四轴系统 （1）六方晶系晶面指数的标定 六方晶系晶面指数的标定原理和方法同立方晶系中的一样，从待标晶面在 a1，a2，a3 和 c 轴上的截距可求得相应的指数 h，k，i，l，于是晶面指数可写成(hkil)。 根据几何学可知， 三维空间独立的坐标轴最多不超过三个。 应用上述方法标定的晶面指 数形式上是 4 个指数，但是不难看出，前三个指数中只有两个是独立的，它们之间有以下的 关系：i = -( h + k )，因此，可以由前两个指数求得第三个指数。 六方晶体中常见晶面及其四指数（亦称六方指数）标于图 11 中。从图看出，采用四指 数后，同族晶面（即晶体学上等价的晶面）就具有类似的指数。例如： 共 6 个等 价面(Ⅰ型棱柱面)。 共 6 个等 价面(Ⅱ型棱柱面)。 而 {0001} 只包括 (0001) 一个晶面，称为基面。六方晶体中比较重要的晶面族还有 ，请读者写出其全部等价面。
从以上各例可以看出，立方晶体的等价晶面具有“类似的指数”，即指数的数字相同，只是 符号（正负号）和排列次序不同。这样，我们只要根据两个（或多个）晶面的指数，就能判 断它们是否为等价晶面。另一方面，给出一个晶面族符号{hkl}，也很容易写出它所包括的 全部等价晶面。
对于非立方晶系， 由于对称性改变， 晶面族所包括的晶面数目就不一样。 例如正交晶系， 晶面(100)，(010)和(001)并不是等同晶面，不能以{100}族来包括。 与晶面族类似，晶体中因对称关系而等同的各组晶向可归并为一个晶向族，用<uvw>表 示。仿照上例，读者可以写出在立方晶系中的<100>，<110>，<111>，<112>和<123>等晶向 族所包括的等价晶向。 以后， 在讨论晶体的性质(或行为)时,若遇到晶面族或晶向族符号， 那就表示该性质 （或 行为） 对于该晶面族中的任一晶面或该晶向族中的任一晶向都同样成立， 因而没有必要区分 具体的晶面或晶向。 另外，在立方晶系中，具有相同指数的晶向和晶面必定是相垂直的，即[hkl]⊥(hkl)。 4.六方晶系指数表示 上面我们用三个指数表示晶面和晶向。这种三指数表示方法，原则上适用于任意晶系。 对六方晶系，取 a，b，c 为晶轴，而 a 轴与 b 轴的夹角为 120°，c 轴与 a，b 轴相垂直，如 图 9 所示。
1.4 晶向指数和晶面指数 一 晶向和晶面 1 晶向 晶向：空间点阵中各阵点列的方向（连接点阵中任意结点列的直线方向）。晶体中的某 些方向，涉及到晶体中原子的位置，原子列方向，表示的是一组相互平行、方向一致的直线 的指向。 2 晶面 晶面：通过空间点阵中任意一组阵点的平面（在点阵中由结点构成的平面）。晶体中原 子所构成的平面。 不同的晶面和晶向具有不同的原子排列和不同的取向。 材料的许多性质和行为 （如各种 物理性质、力学行为、相变、X 光和电子衍射特性等）都和晶面、晶向有密切的关系。所以， 为了研究和描述材料的性质和行为， 首先就要设法表征晶面和晶向。 为了便于确定和区别晶 体中不同方位的晶向和晶面，国际上通用密勒（Miller）指数来统一标定晶向指数与晶面指 数。 二 晶向指数和晶面指数的确定 1 晶向指数的确定方法 三指数表示晶向指数[uvw]的步骤如图 1 所示。 (1)建立以晶轴 a，b，c 为坐标轴的坐标系，各轴上的坐标长度单位分别是晶胞边长 a，b， c，坐标原点在待标晶向上。 (2)选取该晶向上原点以外的任一点 P(xa，yb，zc)。 (3)将 xa，yb，zc 化成最小的简单整数比 u，v，w，且 u∶v∶w = xa∶yb∶zc。 (4)将 u，v，w 三数置于方括号内就得到晶向指数[uvw]。
图6
图 7 晶面指数的标注 所有相互平行的晶面在三个晶轴上的截距虽然不同， 但它们是成比例的， 其倒数也仍然 是成比例的，经简化可以得到相应的最小整数。因此，所有相互平行的晶面，其晶面指数相
同，或者三个符号均相反。可见，晶面指数所代表的不仅是某一晶面，而且代表着一组相互 平行的晶面。
图 8 立方晶胞的{110}、{111}晶面族 3 关于晶面指数和晶向指数的确定方法还有以下几点说明： (1)参考坐标系通常都是右手坐标系。坐标系可以平移（因而原点可置于任何位置） 。但 不能转动，否则，在不同坐标系下定出的指数就无法相互比较。 (2)晶面指数和晶向指数可为正数，亦可为负数，但负号应写在数字上方，如（ 1 23 ） ， [ 2 1 1 ]等。 (3)若各指数同乘以不等于零的数 n，则新晶面的位向与旧晶面的一样，新晶向与旧晶 向或是同向(当 n>0)，或是反向(当 n<0)。但是，晶面距（两个相邻平行晶面间的距离）和 晶向长度（两个相邻结点间的距离）一般都会改变，除非 n=1。
b 0 的意义：面与对应的轴平行； c 平行晶面：指数相同，或数字相同但正负号相反； d 晶面族：晶体中具有相同条件（原子排列和晶面间距完全相同） ，空间位向不同的各 组晶面，用{hkl}表示。 在立方系中，{100}： （100） （010） （001） ，{110}： （110） （101） （011） （ 1 10） （ 1 01） （0 1 1） ， {111}： （111） （ 1 11） （1 1 1） （11 1 ） e 若晶面与晶向同面，则 hu+kv+lw=0; f 若晶面与晶向垂直，则 u=h, k=v, w=l。 立方系常用晶面指数图 5。
四六方晶系的晶面指数和晶向指数1晶面指数
1-2 晶体学基础
（三）晶向与晶向指数 1. 晶轴：两个以上原子所构成的直线。 2. 晶向：两个以上原子所构成的原子列的方向。 3. 晶向指数及其表示方法
通常也采用密勒指数（Miller Index）来标定晶 向指数
1-2 晶体学基础
（1）已知晶向标定其晶向指数 标定步骤：
1）以待定晶向的始点O为坐标原点，过原点O的三个棱 边为坐标轴x、y、z；
晶系 三斜 单斜
正交
布拉菲点阵
简单六方
简单菱方
简单四方 体心四方 简单立方 体心立方 面心立方
晶系 六方 菱方 四方
立方
1-2 晶体学基础
1-2 晶体学基础
1-2 晶体学基础
（四）晶体结构与晶体点阵 晶体结构：晶体中实际质点
（原子、离子或 分子）的具体排 列情况
1-2 晶体学基础
晶体点阵：晶体中实际原 子、离子或分 子中心的具体 排列情况
1-2 晶体学基础
（二）晶胞 1.概念：点阵中具有
代表性的基本单元 （最小平行六面体）
1-2 晶体学基础
2. 晶胞的选取原则 (1) 选取的平行六面体应反映出点阵的最高对称性； (2) 平行六面体内的棱和角相等的数目应最多； (3) 当平行六面体的棱边夹角存在直角时，直角数目
应最多； (4) 在满足上述条件下，晶胞应具有最小的体积。
1-2 晶体学基础
不同的晶体结构类型属于相同的空间点阵
Cu晶体
NaCl晶体
CaF2晶体
1-2 晶体学基础
相似的晶体结构类型属于不同的空间点阵
Cr晶体
CsCl晶体
1-2 晶体学基础
思考题： 说明为何十四种布拉菲点阵中不存在底心
四方点阵和面心四方点阵？
晶向、晶面及晶带
2.晶向指数[u v w]确定步骤： ① 建立一个右手空间直角坐标系，在待测晶向上确定两个点的坐 标。 ② 用终点的坐标减去起点的坐标，得到沿各坐标轴方向上的数值。 ③ 将其按比例化为最小的整数。 ④ 将此整数放在一个方括号[u v w]中。若有负号，将负号标在该 数字的上方。
如[121]表示
写出立方晶系的{123}晶面族和<112>晶向族中的全部等 价晶面和晶向的具体指数。
{123} (123) (123) (123) (123)
(132) (132) (132) (132)
(213) (213) (2 13) (213)
(231) (231) (231) (23 1)
通常是低指数的晶面间距较大。
因此，线密对度也称可以性看成，是这阵点6间个距的晶倒向数。并没有什么区别，晶体在这些方向上的性质是完
立方晶系中，两晶向垂直的充要条件为
3（、1,面0,间0）距、-全（晶0面相, 0夹, 0同角）和的=（晶带，1,理0,统论0）称这些方向为等效晶向，写成<100>；
阵点间距、线密度和堆垛密度
晶胞中画出（a）晶向和(b)晶面
28
要把晶向画在晶胞内，需要把原点移动到0,+1,0，起点设在原点上， 则终点的坐标为：
x 1 1 1 , y 1 (2) 1, z 1 1 1
2 22
22
要画出 210 晶面，首先需要确定它的截距:
晶向 A
1.两点坐标分别为（1, 0, 0） and（0, 0, 0） 2. （1, 0, 0） - （0, 0, 0） =（ 1, 0, 0） 3. 已为最小的整数，记作 [100]
晶向B
1.两点坐标分别为（1, 1, 1） and （0, 0, 0） 2. （1, 1, 1） -（0, 0, 0） = （1, 1, 1） 3.已为最小的整数，记作 [111]
固体无机化学-晶体学基础2
l） （h k l） l） （h k i l） i ＝ - h＋k ） （
[U V W] [u v t w] U = u - t, V = v - t, W = w 1 1 u = [2U - V], v = [2V - U], t = -(u + v), w = W 3 3
（Miller Indices of Crystallographic Direction and Planes） 前已指出，任何阵点的位置可由矢量ruvw和该点阵的坐标u,v,w来确定。 同样晶向OP可沿a,b,c三个方向分解为三个矢量，即 1．阵点坐标 op = xa + yb + zc 2.晶向指数（Orientation index）
宏观对称要素— 宏观对称要素—回转对称轴
二维晶胞的密排图形
宏观对称要素— 宏观对称要素—对称面
1 晶体通过某一平面作 镜像反映而能复原， 则该平面称为对称面 或镜面。 2 对称面用符号 m 表示。
宏观对称要素宏观对称要素-对称中心
1 如果位于晶体中心O点一边 的每点都可在中心的另一边 得到对应的等同点，且每对 点子的连线均通过O点并被 它所等分，则此中心点称为 晶体的对称中心 对称中心。或称为反 对称中心 演中心。即晶体的每一点都 可借以O点为中心的反演动 作而与其对应点重合。 2 对称中心用符号 z 表示。
1 对称要素构成一些动作，即晶体经过这些动作 之后所处的位置与其原始位置完全重合，也就 是晶体上每一点的新旧位置都完全重合。 2 晶体的对称要素可分为宏观和微观两类。宏观 对称要素反映出晶体外形和其宏观性质的对称 性。而微观对称要素与宏观对称要素配合运用 就能反映出晶体中原子排列的对称性。
晶体学基础2
•下列的晶面：(234)、( 201 )、(111)、(241)、( 221)、 ( 432 )、(101)、(010)和(432)中有哪些面属于同一个晶带？ 求出晶带轴。
•四方点阵的初基单胞轴长a=2.5nm、c=7.5nm，画出(h0l) 的倒易阵点（h 和l≤±4）。
1
>1
-K)/2
α
无相 180° 120 ° 90 ° 60 ° 0°
无相
当值
360 ° 当值
不含平移变换的对称要素 （2）
倒反轴：复合对称要素
旋转轴+轴上的一个对称中心。
倒转轴的轴次n及基转角都与其所包含的旋转轴相同（即 n=360 °/ ， 360 °/ n）。国际符号：N（Nn）。
0,0,z 1 mm2
空间群国际表
查表 软件
1.9 典型金属结构
•晶体结构的最大空间利用率和配位数
晶体中原子排列的紧密程度是反映晶体结构特征的一个 重要因素。为了定量地表示原子排列的紧密程度，通常 应用配位数和空间密堆率这两个参数。配位数是指晶体 结构中，与任一原于最近邻并且等距离的原子数。
不含平移变换的对称要素 （1）
对称中心1 对称面m
1 C 2
对称轴n
(x, y, z)
1
(-x, -y, -z)
对称轴所构成的对称配置投影图：
晶体对称定律（law of crystal symmetry） 在晶体中，只可能出现轴次为一次、二次、 三次、四次和六次的对称轴，而不可能存 在五次及高于六次的对称轴。 国际符号：1，2，3，4，6
1，立方系
晶体学基础(晶向指数与晶面指数)word版本
1.4 晶向指数和晶面指数一晶向和晶面1 晶向晶向：空间点阵中各阵点列的方向（连接点阵中任意结点列的直线方向）。
晶体中的某些方向，涉及到晶体中原子的位置，原子列方向，表示的是一组相互平行、方向一致的直线的指向。
2 晶面晶面：通过空间点阵中任意一组阵点的平面（在点阵中由结点构成的平面）。
晶体中原子所构成的平面。
不同的晶面和晶向具有不同的原子排列和不同的取向。
材料的许多性质和行为（如各种物理性质、力学行为、相变、X光和电子衍射特性等）都和晶面、晶向有密切的关系。
所以，为了研究和描述材料的性质和行为，首先就要设法表征晶面和晶向。
为了便于确定和区别晶体中不同方位的晶向和晶面，国际上通用密勒（Miller）指数来统一标定晶向指数与晶面指数。
二晶向指数和晶面指数的确定1 晶向指数的确定方法三指数表示晶向指数[uvw]的步骤如图1所示。
(1)建立以晶轴a，b，c为坐标轴的坐标系，各轴上的坐标长度单位分别是晶胞边长a，b，c，坐标原点在待标晶向上。
(2)选取该晶向上原点以外的任一点P(xa，yb，zc)。
(3)将xa，yb，zc化成最小的简单整数比u，v，w，且u∶v∶w = xa∶yb∶zc。
(4)将u，v，w三数置于方括号内就得到晶向指数[uvw]。
图1 晶向指数的确定方法图2 不同的晶向及其指数当然，在确定晶向指数时，坐标原点不一定非选取在晶向上不可。
若原点不在待标晶向上，那就需要选取该晶向上两点的坐标P(x1，y1，z1)和Q(x2，y2，z2)，然后将(x1-x2)，(y1-y2)，(z 1-z 2)三个数化成最小的简单整数u ，v ，w ，并使之满足u ∶v ∶w =(x 1-x 2)∶(y 1-y 2)∶(z 1-z 2)。
则[uvw ]为该晶向的指数。
显然，晶向指数表示了所有相互平行、方向一致的晶向。
若所指的方向相反，则晶向指数的数字相同，但符号相反，如图3中[001]与[010]。
说明： a 指数意义：代表相互平行、方向一致的所有晶向。
第二章 晶向指数和晶面指数333
一组平行晶面的晶面间距d 列关系： 斜方晶系
hkl与晶面指数和晶格常数a、b、c有下
d hkl
1 h k l a b c
2 2 2
四方晶系
d hkl
1 h2 k 2 l a2 c
2
立方晶系
d hkl
a h2 k 2 l 2
hu1 kv1 lw1 0 hu2 kv2 lw2 0
v1 w1 w1 v1 u1 v1
故:
h： k ： l v w ： v v ： u v 2 2 2 2 2 2
h : k : l (v1w2 v2 w1 ) : (w1u2 w2u1 ) : (u1v2 u2v1)
[0001], [1010], [1210], [0111]
4、求(1)由晶面(121)与[100]所决定的晶带轴指数
和(100)与(010)所决定的晶带轴指数.
(2) 由晶向[001]与[111]所决定的晶面指数 和[010]与[100]所决定的晶面指数.
5、已知室温下α-Fe的点阵常数为0.286nm， 分别求（100）、（110）、（123）的晶面间距。
[110] [1120]
● 不同晶轴中晶向指数和晶面指数转换
六方晶系按三轴晶系和四轴晶系所得的 晶面指数和晶向指数可相互转换
晶面指数: (hkil) →(hkl)
晶向指数: [uvtw] → [UVW] U=u-t，V=v-t，W=w
(i=-(k+l)
u=1/3(2U-V)，v=1/3(2V-U)，t=-(u+v)，w=W
4 i
(1 1 00)
(1 1 02)
( 2110 ) (10 1 2)
晶向指数和晶面指数例题
晶向指数和晶面指数例题晶向指数和晶面指数是晶体学中非常基础的概念，它们用于描述晶体内部的结构和性质。
在本文中，我们将通过几个例题来介绍晶向指数和晶面指数的概念和应用。
一、晶向指数晶向指数是用来表示晶体中某个方向的指标，通常用方向余弦表示。
举个例子，假设有一个晶体，其晶格常数为a，b，c，那么其晶向指数(hkl)表示为：(hkl) = (h/a, k/b, l/c)其中h，k，l是整数，表示晶体中某个方向的坐标。
这个晶向指数(hkl)表示的是晶体中从原点出发，经过(h, k, l)个晶格常数所到达的点的位置。
下面是一个例题：例1：一个简单立方晶体，其晶格常数为a，求以下晶向的晶向指数：（1）[100]；（2）[110]；（3）[111]。
解：（1）[100]方向的晶向指数为(1, 0, 0)；（2）[110]方向的晶向指数为(1, 1, 0)；（3）[111]方向的晶向指数为(1, 1, 1)。
二、晶面指数晶面指数是用来表示晶体中某个晶面的指标，通常用晶面法向量的坐标表示。
举个例子，假设有一个晶体，其晶格常数为a，b，c，那么其晶面指数(hkl)表示为：(hkl) = [h, k, l]其中h，k，l是整数，表示晶面法向量的坐标。
这个晶面指数(hkl)表示的是晶体中法向量的坐标。
下面是一个例题：例2：一个简单立方晶体，其晶格常数为a，求以下晶面的晶面指数：（1）(100)；（2）(110)；（3）(111)。
解：（1）(100)晶面的晶面指数为[1, 0, 0]；（2）(110)晶面的晶面指数为[1, 1, 0]；（3）(111)晶面的晶面指数为[1, 1, 1]。
三、晶向指数和晶面指数的应用晶向指数和晶面指数在晶体学中有着重要的应用。
举个例子，它们可以用于描述晶体中的晶面间距、晶体的晶体学性质等。
下面是一个例题：例3：一个简单立方晶体，其晶格常数为a，试判断以下晶向是否相等：（1）[100]和[010]；（2）[110]和[1-10]；（3）[111]和[1-1-1]。
材料科学基础 晶向指数和晶面指数
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材料科学基础
正交晶系的晶向指数
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材料科学基础
1.2 晶体学基础 1.2.1 晶体与非晶体 物质通常有三种聚集状态：气态、液态和固态。 按照原子（或分子）排列的规律性将固态物质分为两大类：晶体和非晶体。 晶体中的原子在空间呈有规则的周期性重复排列；非晶体的原子则是无规则排列。 晶体和非晶体在性能上区别： 1、晶体熔化具有固定的熔点，非晶体没有固定的熔点，物质首先变软，然后逐渐由 稠变稀。 2、晶体具有各项异性，非晶体具有各项同性。
空间点阵：晶体中质点排列的几何抽象，用于描述和分析晶体结构的周期 性和对称性。规定各个阵点周围环境相同，所以只有14种类型。 晶体结构：指晶体中实际质点的具体排列情况，他们能组成各种类型的排 列，所以实际的晶体结构是无限的。
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简单四方 体心四方
四方 a=b≠c α=β=γ=90ο
简单立方 体心立方 面心立方
立方 a=b=c α=β=γ=90ο
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材料科学基础
晶体结构和空间点阵的区别:
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材料科学基础 第1章 晶体学基础
金刚石
Nacl
水晶
CaF2
MoS2
闪锌矿
高分辨率电镜－High Resolution Electron Microscopy (HREM)
The surface of a gold specimen, was taken with a atomic force microscope (AFM). Individual atoms for this (111) crystallographic surface plane are resolved.
底心正方和简单 正方点阵的关系
例：结构对性能的影响－Sn 1850 in Russia. The winter that year was particularly cold, and record low temperatures persisted for extended periods of time. The uniforms of some Russian soldiers had tin buttons, many of which crumbled due to these extreme cold conditions, as did also many of the tin church organ pipes. This problem came to be known as the “tin disease.”
组平行的晶面应当包含点阵所有的阵点。 ● ２、晶向(lattice or crystal directions) 通过两阵点之间的直线。 ● ３、定量表示晶面和晶向的意义 各向异性，结构分析（需要表征晶体结构内部的不同
晶体学基础(晶向指数与晶面指数)
1.4 晶向指数和晶面指数一晶向和晶面1 晶向晶向：空间点阵中各阵点列的方向（连接点阵中任意结点列的直线方向）。
晶体中的某些方向，涉及到晶体中原子的位置，原子列方向，表示的是一组相互平行、方向一致的直线的指向。
2 晶面晶面：通过空间点阵中任意一组阵点的平面（在点阵中由结点构成的平面）。
晶体中原子所构成的平面。
不同的晶面和晶向具有不同的原子排列和不同的取向。
材料的许多性质和行为（如各种物理性质、力学行为、相变、X光和电子衍射特性等）都和晶面、晶向有密切的关系。
所以，为了研究和描述材料的性质和行为，首先就要设法表征晶面和晶向。
为了便于确定和区别晶体中不同方位的晶向和晶面，国际上通用密勒（Miller）指数来统一标定晶向指数与晶面指数。
二晶向指数和晶面指数的确定1 晶向指数的确定方法三指数表示晶向指数[uvw]的步骤如图1所示。
(1)建立以晶轴a，b，c为坐标轴的坐标系，各轴上的坐标长度单位分别是晶胞边长a，b，c，坐标原点在待标晶向上。
(2)选取该晶向上原点以外的任一点P(xa，yb，zc)。
(3)将xa，yb，zc化成最小的简单整数比u，v，w，且u∶v∶w = xa∶yb∶zc。
(4)将u，v，w三数置于方括号内就得到晶向指数[uvw]。
图1 晶向指数的确定方法图2 不同的晶向及其指数当然，在确定晶向指数时，坐标原点不一定非选取在晶向上不可。
若原点不在待标晶向上，那就需要选取该晶向上两点的坐标P(x1，y1，z1)和Q(x2，y2，z2)，然后将(x1-x2)，(y1-y2)，(z 1-z 2)三个数化成最小的简单整数u ，v ，w ，并使之满足u ∶v ∶w =(x 1-x 2)∶(y 1-y 2)∶(z 1-z 2)。
则[uvw ]为该晶向的指数。
显然，晶向指数表示了所有相互平行、方向一致的晶向。
若所指的方向相反，则晶向指数的数字相同，但符号相反，如图3中[001]与[010]。
说明： a 指数意义：代表相互平行、方向一致的所有晶向。