八年级数学上册幂的运算法则(习题及答案)(人教版)
同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方(解析版)(重点突围)八年级数学上册重难点专题提优训练(人教版)
专题11 同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方考点一 同底数幂相乘 考点二 同底数幂乘法的逆用考点三 幂的乘方运算 考点四 幂的乘方的逆用考点五 幂的混合运算 考点六 积的乘方运算考点七 积的乘方的逆用考点一 同底数幂相乘 例题：（2022·河南平顶山·七年级期末）计算：44a a ⋅=______．【答案】8a【分析】根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，进行运算即可．【详解】解：448a a a ⋅=，故答案为：8a ．【点睛】此题考查同底数幂的乘法，解题关键在于掌握运算法则并熟练计算．【变式训练】 1．（2022·湖南·新化县东方文武学校七年级期中）5a a -⋅=________________．【答案】6a -【分析】根据同底数的乘法进行计算即可求解．【详解】解：56a a a -⋅=-，故答案为：6a -．【点睛】本题考查了同底数幂相乘，掌握运算法则是解题关键．2．（2022·湖南省岳阳开发区长岭中学七年级期中）计算：2323m m ⋅= ____________．【答案】56m【分析】根据同底数幂乘法来进行计算求解．【详解】解：2323523236m m m m +⋅=⨯⨯=．答案为：56m ．【点睛】本题主要考查了同底数幂乘法的运算法则，理解同底数幂相乘，底数不变，指点数相加是解答关键．3．（2022·山东·北辛中学七年级阶段练习）()()34--b a a b ⋅＝_____．【答案】()7b a -【分析】根据同底数幂乘法的计算法则求解即可．【详解】解：()()34b a a b -⋅- ()()34b a b a =-⋅- ()7b a =-，故答案为：()7b a -．【点睛】本题主要考查了同底数幂乘法，熟知同底数幂乘法底数不变，指数相加减是解题的关键．考点二 同底数幂乘法的逆用例题：（2022·广东·高州市第一中学附属实验中学七年级阶段练习）已知 32m =，35n =，则3m n +=____【答案】10【分析】根据同底数幂的乘法的逆运算可得答案．【详解】解：32m =，35n =，3332510m n m n +∴=⨯=⋅=，故答案为：10．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法的逆运算，解题的关键是掌握相应的运算法则．【变式训练】1．（2022·江苏·江阴市青阳初级中学七年级阶段练习）已知3,4a b x x ==，a b x +的值是_______．【答案】12【分析】根据同底数幂相乘的逆运算，即可求解．【详解】解：∵3,4a b x x ==，∵3412a b a b x x x +=⋅=⨯=．故答案为：12【点睛】本题主要考查了同底数幂相乘的逆运算，熟练掌握m nm n a a a a （其中m ，n 为正整数）是解题的关键．2．（2022·江苏·南师附中新城初中黄山路分校七年级期中）若5m a =，2n a =，则2m n a +=______．【答案】20【分析】根据m n a a a =m n +（m ，n 是正整数）可得22m n m n m n n a a a a a a +==，再代入5m a =，2n a =计算即可．【详解】解：2252220m n m n m n n a a a a a a +===⨯⨯=，故答案为：20．【点睛】此题主要考查了同底数幂的乘法，关键是掌握同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．考点三 幂的乘方运算例题：（2022·湖南永州·七年级期中）计算()42=x ______． 【答案】8x【分析】根据幂的乘方法则求解即可．【详解】解：()42248x x x ⨯==． 故答案为：8x ．【点睛】本题考查了幂的运算法则，掌握幂的乘方法则是解本题的关键．【变式训练】 1．（2022·福建·晋江市南侨中学八年级阶段练习）当24m =时，则8m =_____【答案】64【分析】先将8改成32，再用幂的乘方公式将8m 化为()32m ，最后将24m =代入计算即可；也可以利用24m =求出m ，代入8m 计算．【详解】解法一：∵24m =，∵()()33338222464m m m m =====． 解法二：∵2242m ==，∵2m =，∵28864m ==．故答案为：64．【点睛】本题考查幂的乘方公式，掌握幂的乘方公式是解题的关键．由于数字的特殊性导致m 的值可求，但解法一适用范围更广更需掌握．2．（2022·河北·顺平县腰山镇第一初级中学一模）已知2m ＝8n ＝4，则m ＝_____，2m+3n ＝_____．【答案】 2 16【分析】先求得m ，n 的值，再代入代数式计算即可．【详解】∵()33822nn n ==，242=， ∵32222m n ==，∵32m n ==，∵322422216m n ++===，故答案为：2；16．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法和乘方，熟练掌握运算性质是解题的关键． 3．（2022·江西抚州·七年级期中）已知：23m =，325n =，则52m n +=______．【答案】15【分析】利用同底数幂的乘法法则的逆运算及幂的乘方的法则对式子进行整理，再代入相应的值运算即可．【详解】解：∵23m =，53225n n ==，∵552223515m n m n +=⨯=⨯=；故答案为：15．【点睛】本题主要考查幂的乘方，同底数幂的乘法的逆运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．考点四 幂的乘方的逆用例题：（2022·广东·佛山市顺德区勒流育贤实验学校七年级期中）已知93m =，274n =，则233m n +＝（ ） A ．24B ．36C ．48D ．12【答案】D【分析】利用幂的乘方的法则对已知条件进行整理，再利用同底数幂的乘法的法则对所求的式子进行运算即可．【详解】解：∵93m =，274n =，∵233m =，334n =∵2323333m n m n +=⨯34=⨯ 12=．故选：D ．【点睛】本题主要考查同底数幂的乘法，幂的乘方，解答的关键是熟记相应的运算法则并灵活运用．【变式训练】 1．（2021·河北·石家庄市藁城区尚西中学八年级阶段练习）已知5x a =，250xy a ，则y a ＝（ ） A ．10B ．5C ．2D ．40 【答案】C【分析】逆向运用同底数幂的乘法法则可得22xy x y a a a ，再根据幂的乘方运算法则求解即可． 【详解】解：∵5x a =，250xy a ， ∵22250x y x y x y a a a a a ，∵2550y a ，∵25052y a ．故选：C ．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方．掌握幂的运算法则是解答本题的关键．2．（2021·浙江·嵊州市马寅初初级中学七年级期中）已知3181a =，4127b =，619c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．a b c <<D ．b c a >>【答案】A【分析】根据幂的乘方是逆运算将各数的底数变为相同的数字，进而比较即可．【详解】解：∵3181a ==962=3124，4127b ==3123，619c ==3122，∵a >b >c ，故选：A ．【点睛】此题考查了幂的乘方的运算法则，熟记法则是解题的关键．考点五 幂的混合运算例题：（2022·安徽阜阳·八年级期末）计算:()()4273342a a a a -⋅-÷； 【答案】0【分析】先计算积的乘方与幂的乘方，再计算同底数除法，然后计算整式的减法即可得．【详解】解：原式273121616a a a a ⋅-÷=991616a a -=0=．【点睛】本题考查了积的乘方与幂的乘方，再计算同底数除法，等知识点，熟练掌握各运算法则是解题关键．【变式训练】 1．（2021·上海市民办新复兴初级中学七年级期末）计算：()()23222n n n a a a ⎡⎤-⋅+-⎣⎦． 【答案】0【分析】先根据幂的乘方计算，计算同底数幂，最后合并，即可求解．【详解】解：原式426660n n n n n a a a a a =⋅-=-=．【点睛】本题主要考查了幂的混合运算，熟练掌握相关幂的运算法则是解题的关键．2．（2022·江苏·七年级专题练习）计算：(1)()3242a a a ⋅+-； (2)()()()345222a a a ⋅÷-； (3)432()()()p q q p p q -÷-⋅-．【答案】(1)0(2)4a -(3)3()p q --【分析】（1）根据同底数幂的乘法和幂的乘方以及合并同类项的计算法则求解即可；（2）根据幂的乘方和同底数幂的除法计算法则求解即可；（3）根据同底数幂的乘除法计算法则求解即可．(1)解：()3242a a a ⋅+- ()66a a =+-66a a =-0=；(2)解：()()()345222a a a ⋅÷- ()6810a a a =⋅÷-4a =-；(3)解：432()()()p q q p p q -÷-⋅-432()()()q p q p q p =-÷-⋅-3()q p =-()3p q =--．【点睛】本题主要考查了幂的混合运算，熟知相关计算法则是解题的关键．考点六 积的乘方运算 例题：（2022·湖南·测试·编辑教研五七年级期末）计算()232x y 的结果是（ ）A ．8x 6 y 2B ．4 x 6 y 2C ．4 x 5 y 2D ．8 x 5 y 2【答案】B【分析】根据幂的乘方、积的乘方进行运算即可．【详解】解：()()22323226422x y x y x y ==． 故选B ．【点睛】本题主要考查了幂的乘方、积的乘方等知识点，掌握相关运算法则是解答本题的关键．【变式训练】 1．（2022·安徽·合肥新华实验中学七年级期中）计算423(3)a b -的结果是（ ）A ．1269a b -B ．7527a b -C ．1269a bD ．12627a b - 【答案】D【分析】根据积的乘方运算法则，进行计算即可解答．【详解】解：126423(73)2b a a b --=，故选：D ．【点睛】本题考查了积的乘方，熟练掌握积的乘方运算法则是解题的关键．2．（2021·黑龙江·哈尔滨顺迈学校八年级阶段练习）下列计算正确的是（ ）A ．3332b b b ⋅=B ．()326ab ab = C ．()2510a a = D ．()2349a a a ⋅= 【答案】C【分析】分别根据同底数幂的乘法法则幂的乘方与积的乘方运算法则逐一判断即可．【详解】解：A 、33632b b b b ⋅=≠，故本选项不合题意；B 、()32366ab a b ab =≠，故本选项不合题意； C 、()2510a a =，故本选项符合题意； D 、()234109a a a a ⋅=≠，故本选项不合题意； 故选：C ．【点睛】本题主要考查同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方运算，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．考点七 积的乘方的逆用 例题：（2021·河南·鹤壁市外国语中学八年级开学考试）计算：(1)已知()3240n a =，求6n a 的值； (2)已知n 为正整数，且27n x =，求()()223234nn x x -的值． 【答案】(1)25(2)2891【分析】（1）由积的乘方公式解题；（2）由积的乘方公式解得()()223234n n x x -23229()4()n n x x =-，再利用整体代入法解题．(1)解：()3322n a =3=40n a 3=5n a ∴322()=5n a ∴6=25n a ∴．(2)()()223234n n x x -26434n n x x =-23229()4()n n x x =-27n x =∴原式3229747(634)72891=⨯-⨯=-⨯=．【点睛】本题考查积的乘方、幂的乘方等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．【变式训练】1．（2021·江苏·南京钟英中学七年级阶段练习）若m n a a =（0a >且1a ≠，m 、n 是正整数），则m n =．利用上面结论解决下面的问题：（1）如果528162x x ÷⋅=，求x 的值；（2）如果212224x x +++=，求x 的值；（3）若53m x =-，425m y =-，用含x 的代数式表示y ．【答案】（1）4x =；（2）2x =；（3）265y x x =---【分析】（1）先,将底数都化为2，再利用同底数幂的乘除法法则计算；（2）利用积的乘方逆运算解答；（3）利用等式的性质及幂的乘方逆运算将式子变形为35m x +=，24255m m y -==，即可得到x 与y 的关系式，由此得到答案．【详解】解：（1）∵528162x x ÷⋅=，∵3452222x x ÷⋅=，∵1345x x -+=，解得4x =；（2）∵212224x x +++=，∵2222224x x ⋅+⋅=，2(42)24x +=，2242x ==，2x =；（3）∵53m x =-，425m y =-，∵35m x +=，24255m m y -==，∵243)(x y +-=，∵223)654(x y x x +=--=--．【点睛】此题考查整式的乘法公式：同底数幂相乘、同底数幂相除、积的乘方以及幂的乘方的计算法则，熟记法则及其逆运算是解题的关键．2．（2020·吉林·长春市第十三中学校七年级期中）已知222()ab a b =，333()ab a b =， 444()ab a b =． （1）当1a =，2b =-时，5()ab = ，55a b = ．（2）当1a =-，10b =时，6()ab = ，66a b = ．（3）观察（1）和（2）的结果，可以得出结论：()n ab = （n 为正整数）．一、选择题1．（2022·湖南·新田县云梯学校七年级阶段练习）下列运算正确的是（ ）A ．235x x x +=B ．3412a a a ⋅=C ．44(2)8x x =D ．()2362x y x y -= 【答案】D【分析】根据同底数幂的乘法、积的乘方与幂的乘方、合并同类项法则逐项判断即可得．【详解】解：A 、2x 与3x 不是同类项，无法合并，故错误；n m，即可求解．9,3159,315n m，n m．解得：3,5故选：B【点睛】本题考查了积的乘方的运用，关键是检查学生能否正确运用法则进行计算，题目比较好，但是一【点睛】本题考查了幂的乘方与积的乘方，掌握幂的乘方与积的乘方的法则是解决问题的关键．三、解答题9．（2022·福建·晋江市南侨中学八年级阶段练习）计算：(1)322··x x x x + (2)34a a a +()()42242a a +-【答案】(1)2x 4(2)6a 8【分析】（1）先计算同底数幂的乘法，然后合并同类项计算即可；（2）先计算同底数幂的乘法，幂的乘方及积的乘方，然后合并同类项计算即可．（1）解：原式44x x =+42x =； （2）原式8884a a a =++86a =．【点睛】题目主要考查整式的加减运算，同底数幂的乘法，幂的乘方及积的乘方，熟练掌握运算法则是解题关键．10．（2022·重庆市第十一中学校七年级期中）计算：(1)()()3222332x x x x x ⋅⋅+-； (2)()()321422m m a a a +⎡⎤-+⋅⎢⎥⎣⎦． 【答案】(1)0；(2)3321648m m a a ++-+．【分析】(1)利用同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则即可求解；(2)利用积的乘方法则、同底数幂的乘法法则即可求解．(1)解：原式=6662x x x +-6622x x =-0=；(2)解：原式=33264(24)m m a a a +-+⨯⋅42x，，()42)a a --()2 33b ⎛-+-⎝)63278b a b -102+≥，(14．（2022·山东济南·七年级期中）我们定义：三角形 ＝ab •ac ，五角星 ＝z •（xm •yn ）；(1)求 的值；(2)若 ＝4，求 的值．【分析】（1）直接根据新定义的公式，代入即可求解；（2）由条件可得出算式233=4x y ，根据同底数幂的乘法得出+2y 3=4x ，再根据题意得出所求的代数式是2(981)x y ，根据幂的乘方和积的乘方可得242[(3)(3)]x y ，即为+222(3)x y 代入即可求出答案．（1）解：由题意可得，＝31×32＝33＝27；（2）解：∵＝4，∵233=4x y∵+2y 3=4x ，∵=2(981)x y=242[(3)(3)]x y=2222[(3)(3)]x y=222[(33)]x y=+222(3)x y=2×24=2×16=32．【点睛】本题属于自定义题，考查了幂的运算法则的运用，解题的关键是正确识别自定义公式，和灵活运用积的乘方法则．15．（2022·江苏·滨海县振东初级中学七年级阶段练习）阅读下列各式：（ab ）2＝a 2b 2，（ab ）3＝a 3b 3，（ab ）4＝a 4b 4…16．（2022·江苏·南外雨花分校七年级阶段练习）算一算：(1)()()2228233m m m m ⋅⋅－； (2)()()53253a b ⎡⎤⋅⎢⎥⎣⎦； (3)()()453t t t -⋅-⋅-；(4)已知24m n a a ==，，求32m n a +的值；(5)已知2328162x ⨯⨯=，求x 的值．【答案】(1)102m(2)7530a b(3)12t(4)128(5)6【分析】）（1）运用同底数幂乘法公式和幂的乘方公式运算，再合并即可；（2）运用幂的乘方和积的乘方公式运算即可；（3）先确定符号，再用同底数幂乘法公式运算即可；（4）逆用同底数幂乘法公式和幂的乘方公式，再整体代入即可；（5）将等式两边转化成同底数幂，再让指数相等得到一个一元一次方程，解之即可．（1）解：原式1046101010332m m m m m m ⋅===－－；（2）原式()()()5551561567530a b a b a b =⋅=⋅=； （3）原式34512t t t t =⋅⋅=；（4）∵24m n a a ==，，∵()()3232323224816128m n m n m n a a a a a +=⋅=⋅⨯=⨯==； （5）∵2328162x ⨯⨯=，即()34232222x⨯⨯=， ∵352322x +=，∵3523x +=，解得：6x =．【点睛】本题考查了同底数幂乘法公式，积的乘方公式，幂的乘方公式，灵活掌握这三个公式正逆用是解题的关键．。
幂的运算(3大知识点7类题型)(知识梳理与题型分类讲解)(人教版)(学生版) 25学年八年级数学上册
专题14.1幂的运算（3大知识点7类题型）（知识梳理与题型分类讲解）第一部分【知识点归纳与题型目录】【知识点1】同底数幂的乘法法则+⋅=m n m n a a a (其中,m n 都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加.【要点提示】（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式.（2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，即m n p m n p a a a a ++⋅⋅=（,,m n p 都是正整数）.（3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。
即m n m n a a a +=⋅（,m n 都是正整数）.【知识点2】幂的乘方法则()=m n mn a a (其中,m n 都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘.【要点提示】（1）公式的推广：(())=m n p mnp a a(0≠a ，,,m n p 均为正整数)（2）逆用公式：()()n m mn m n aa a ==，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题.【知识点3】积的乘方法则()=⋅n n nab a b (其中n 是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.【要点提示】（1）公式的推广：()=⋅⋅n n n n abc a b c(n 为正整数).（2）逆用公式：()n n n a b ab =逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便.如：1010101122 1.22⎛⎫⎛⎫⨯=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【知识点4】注意事项（1）底数可以是任意实数，也可以是单项式、多项式.（2）同底数幂的乘法时，只有当底数相同时,指数才可以相加.指数为1，计算时不要遗漏.（3）幂的乘方运算时，指数相乘，而同底数幂的乘法中是指数相加.（4）积的乘方运算时须注意，积的乘方要将每一个因式(特别是系数)都要分别乘方.（5）灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁.（6）带有负号的幂的运算，要养成先化简符号的习惯.【题型目录】【题型1】同底数幂的乘法运算及逆运算...........................................2;【题型2】幂的乘方运算及逆运算.................................................3;【题型3】积的乘方运算及逆运算.................................................3;【题型4】幂的混合运算.........................................................4;【题型5】幂的运算的应用.......................................................4;【题型6】直通中考.............................................................5;【题型7】拓展与延伸...........................................................5.第二部分【题型展示与方法点拨】【题型1】同底数幂的乘法运算及逆运算【例1】（23-24七年级上·河南周口·期中）在学习第一章有理数时，类比小学两个正数的运算法则学习了有理数的加减法、有理数的乘除法，在第二章整式的加减时，类比第一章有理数的学习过程学习了整式的加减，那么整式的乘法是否可以类比有理数的乘法进行学习呢?我们从特殊情况入手对两个同底数幂相乘进行探究．（1）探究根据乘方的意义填空，观察计算结果，你能发现什么规律①53( )222⨯=，②42( )a a a ⋅=，③( )555m n ⨯=，（2）规律( )m n a a a ⋅=（,m n 都是正整数）．即______．（文字表达）（3）应用①计算31m m a a +⋅；②把(2)x y +看成一个整体，计算23(2)(2)x y x y +⋅+．【变式1】（23-24七年级下·全国·单元测试）计算3()()x y y x -⋅-=（）A ．4()x y -B ．4()x y --C ．4)y x -（D ．4()x y +【变式2】（23-24七年级下·全国·单元测试）已知1222162x x ⋅⋅=，则x =．【例2】（2024七年级下·全国·专题练习）（1）已知23x =，求32x +的值；（2）若21464a +=，求a 的值．【变式1】（23-24七年级下·江苏淮安·期中）已知23x =，26y =，则2x y +的值是（）A ．12B ．18C ．36D ．54【变式2】（2024七年级上·上海·专题练习）已知4222112x x +-⋅=，则x 的值为．【题型2】幂的乘方运算及逆运算【例3】（21-22七年级上·上海·期末）计算：()()()3254652x x x x x x ⎡⎤⋅-⋅+-⋅+-⎣⎦．【变式1】（2022·江苏镇江·中考真题）下列运算中，结果正确的是（）A ．224325a a a +=B ．3332a a a -=C ．235a a a ⋅=D ．()325a a =【变式2】．若25 3 0x y +-=,则432⋅=x y ．【例4】（2023八年级上·全国·专题练习）（1）若23m n a a ==，，求32m n a +的值；（2）若2639273x x ⨯⨯=，求x 的值．【变式1】已知553a =，444b =，335c =，则a 、b 、c 的大小关系为（）A ．c a b <<B ．c b a <<C ．a b c <<D ．a c b<<【变式2】（23-24八年级上·重庆九龙坡·阶段练习）已知433,33a b ==，则239a b ⨯=．【题型3】积的乘方运算及逆运算25．【例5】（22-23八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）（1）()34222x x x ⋅-;（2）()()23332232x y x y +-【变式1】（2022·广东深圳·中考真题）下列运算正确的是（）A ．268a a a ⋅=B ．()3326a a -=C ．()22a b a b +=+D ．235a b ab+=【变式2】（20-21七年级下·江苏扬州·期末）已知am ＝10，bm ＝2，则（ab ）m ＝．【例6】（2023九年级·全国·专题练习）用简便方法计算：(1)88552510.25(4)57⎛⎫⎛⎫-⨯⨯⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；(2)()201720180.1258⨯-．【变式1】（22-23七年级下·河北沧州·期中）若n 为正整数．且24n a =，则()()223224n n a a -的值为（）A ．4B ．16C ．64D ．192【变式2】已知2232336x x x ++-⋅=，则x =．【题型4】幂的混合运算【例7】（21-22八年级上·全国·课后作业）计算：（1）()()()2243224249()(2)--+-a a b a b ；（2）()()()22112()3------n n n n x x x x x ．【变式1】（20-21七年级下·甘肃兰州·阶段练习）下列各式计算正确的是（）A ．－3xy ·（－2xy ）2＝12x 3y 3B ．4x 2·（－2x 3）2＝16x 12C ．（－a 2）·a 3＝a 6D ．2a 2b ·（－ab ）2＝2a 4b 3【变式2】已知2,3x x a t ==，则24x =.（用含,a t 的代数式表示）【题型5】幂的运算的应用【例8】（23-24八年级上·山西长治·阶段练习）我们知道，一般的数学公式、法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用．对于“同底数幂的乘法”“幂的乘方”“积的乘方”这几个法则的逆向运用表现为m n m n a a a += ，()()n m mn m n a a a ==，()mm m a b ab =；（m ，n 为正整数）．请运用这个思路和幂的运算法则解决下列问题：(1)已知552a =，443b =，334c =，请把a ，b ，c 用“<”连接起来：；(2)若2a x =，3b x =，求32a b x +的值；(3)计算：2001001011284⎛⎫⨯⨯ ⎪⎝⎭．【变式1】（21-22八年级上·河南三门峡·期末）下列运算中，错误的个数是（）（1）224a a a ＋＝；（2）236a a a ⋅＝；（3）2n n n a a a ⋅＝；（4）()448a a a --⋅＝A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【变式2】（20-21九年级下·湖南永州·期中）将边长为1的正方形纸片按如图所示方法进行对折，记第1次对折后得到的图形面积为S 1，第2次对折后得到的图形面积为S 2，…，第n 次对折后得到的图形面积为S n ，请根据图2化简，12320202021S S S S S +++++= ．第三部分【中考链接与拓展延伸】【题型6】直通中考【例9】（2024·河北·中考真题）若a ，b 是正整数，且满足8282222222a b a a a b b b ++⋅⋅⋅+=⨯⨯⋅⋅⋅⨯ 个相加个相乘，则a 与b 的关系正确的是（）A ．38a b +=B ．38a b =C ．83a b +=D ．38a b=+【例10】（2024·山东烟台·中考真题）下列运算结果为6a 的是（）A ．23a a ⋅B ．122a a ÷C ．33a a +D ．()32a 【题型7】拓展延伸【例11】（2024·河北·中考真题）“铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算．淇淇受其启发，设计了如图1所示的“表格算法”，图1表示13223⨯，运算结果为3036．图2表示一个三位数与一个两位数相乘，表格中部分数据被墨迹覆盖，根据图2中现有数据进行推断，正确的是（）A ．“20”左边的数是16B ．“20”右边的“□”表示5C ．运算结果小于6000D ．运算结果可以表示为41001025a +【例12】（19-20七年级下·江苏南京·期中）观察等式（2a ﹣1）a +2＝1，其中a 的取值可能是（）A ．﹣2B ．1或﹣2C ．0或1D ．1或﹣2或0。
人教版八年级数学上册《幂的运算》专项练习题-附含答案
人教版八年级数学上册《幂的运算》专项练习题-附含答案一．同底数幂的乘法1．已知2m•2m•8＝211则m＝4．试题分析：将已知中的2m•2m•8化为同底数的幂然后利用同底数幂的乘法法则进行计算再根据指数相同列式求解即可．答案详解：解：2m•2m•8＝2m•2m•23＝2m+m+3∵2m•2m•8＝211∴m+m+3＝11解得m＝4．所以答案是4．2．已知2x+3y﹣2＝0 求9x•27y的值．试题分析：直接利用幂的乘方运算法则将原式变形进而化简得出答案．答案详解：解：∵2x +3y ﹣2＝0∴2x +3y ＝2∴9x •27y ＝32x •33y ＝32x +3y ＝32＝9．3．已知3x +2＝m 用含m 的代数式表示3x （ ）A ．3x ＝m ﹣9B ．3x =m 9C ．3x ＝m ﹣6D ．3x =m 6 试题分析：根据同底数幂的乘法法则解答即可．答案详解：解：∵3x +2＝3x ×32＝m∴3x =m 9． 所以选：B ．二．同底数幂的除法4．已知：3m ＝2 9n ＝3 则3m ﹣2n ＝ 23 ．试题分析：先利用幂的乘方变为同底数幂 再逆用同底数幂的除法求解．答案详解：解：∵9n ＝32n ＝3∴3m ﹣2n ＝3m ÷32n =23所以答案是：23．5．已知m =154344 n =54340 那么2016m ﹣n ＝ 1 ． 试题分析：根据积的乘方的性质将m 的分子转化为以3和5为底数的幂的积 然后化简从而得到m ＝n 再根据任何非零数的零次幂等于1解答．答案详解：解：∵m =154344=34⋅54344=54340 ∴m ＝n∴2016m ﹣n ＝20160＝1． 所以答案是：1．6．已知k a ＝4 k b ＝6 k c ＝9 2b +c •3b +c ＝6a ﹣2 则9a ÷27b ＝ 9 ． 试题分析：先将9a ÷27b 变形 再由k a ＝4 k b ＝6 k c ＝9 2b +c •3b +c ＝6a ﹣2分别得出a b c 的关系式 然后联立得方程组 整体求得（2a ﹣3b ）的值 最后代入将9a ÷27b 变形所得的式子即可得出答案．答案详解：解：9a ÷27b＝（32）a ÷（33）b＝（3）2a ﹣3b∵k a ＝4 k b ＝6 k c ＝9∴k a •k c ＝k b •k b∴k a +c ＝k 2b∴a +c ＝2b ①；∵2b +c •3b +c ＝6a ﹣2∴（2×3）b +c ＝6a ﹣2∴b +c ＝a ﹣2②；联立①②得：{a +c =2b b +c =a −2∴{c =2b −a c =a −2−b∴2b ﹣a ＝a ﹣2﹣b∴2a ﹣3b ＝2∴9a ÷27b＝（3）2a ﹣3b＝32＝9．所以答案是：9．三．幂的乘方与积的乘方（注意整体思想的运用）7．已知2m ＝a 32n ＝b m n 为正整数 则25m +10n ＝ a 5b 2 ．试题分析：根据积的乘方与幂的乘方及同底数幂的乘法的运算法则解答．答案详解：解：∵2m ＝a 32n ＝b∴25m +10n ＝（2m ）5•（25）2n ＝（2m ）5•322n ＝（2m ）5•（32n ）2＝a 5b 2所以答案是：a 5b 2．8．计算：（﹣0.2）100×5101＝ 5 ．试题分析：根据幂的乘方与积的乘方运算法则 将所求的式子变形为（﹣0.2×5）100×5再求解即可．答案详解：解：（﹣0.2）100×5101＝（﹣0.2）100×5100×5＝（﹣0.2×5）100×5＝5所以答案是：5．9．若x+3y﹣3＝0 则2x•8y＝8．试题分析：根据已知条件求得x＝3﹣3y然后根据同底数幂的乘法法则进行解答．答案详解：解：∵x+3y﹣3＝0∴x＝3﹣3y∴2x•8y＝23﹣3y•23y＝23＝8．所以答案是：8．四．幂的运算中的规律10．阅读材料：求1+2+22+23+24+…+22017+22018的值．解：设S＝1+2+22+23+24+…+22017+22018①将等式两边同时乘 2 得2S＝2+22+23+24+25+…+22018+22019②②﹣①得2S﹣S＝22019﹣1 即S＝22019﹣1所以1+2+22+23+24+…+22017+22018＝22019﹣1．请你仿照此法计算：（1）1+2+22+23+24+…+29+210；（2）1+3+32+33+34+…+3n﹣1+3n（其中n为正整数）．试题分析：（1）直接利用例题将原式变形进而得出答案；（2）直接利用例题将原式变形进而得出答案．答案详解：解：（1）设S＝1+2+22+23+24+ (210)将等式两边同时乘2得：2S＝2+22+23+24+…+210+211②②﹣①得2S﹣S＝211﹣1即S＝211﹣1∴1+2+22+23+24+…+210＝211﹣1．（2）设S＝1+3+32+33+34+…+3n①将等式两边同时乘3得：3S＝3+32+33+34+…+3n+3n+1②②﹣①得3S﹣S＝3n+1﹣1即S=12（3n+1﹣1）∴1+3+32+33+34+…+3n=12（3n+1﹣1）．11．（1）通过计算比较下列各式中两数的大小：（填“＞”、“＜”或“＝”）①12＜21②23＜32③34＞43④45＞54⑤56＞65…（2）由（1）可以猜测n n+1与（n+1）n（n为正整数）的大小关系：当n≤2时n n+1＜（n+1）n；当n≥3时n n+1＞（n+1）n；（3）根据上面的猜想可以知道：20082009＞20092008．试题分析：先要正确计算（1）中的各个数根据计算的结果确定所填的符号观察所填符号总结规律．答案详解：解：（1）①∵12＝1 21＝2∴12＜21②∵23＝8 32＝9∴23＜32③∵34＝81 43＝64∴34＞43④∵45＝1024 54＝625∴45＞54⑤∵56＝15625 65＝7776∴56＞65…（2）由（1）可以猜测n n+1与（n+1）n（n为正整数）的大小关系：当n≤2时n n+1＜（n+1）n；当n≥3时n n+1＞（n+1）n；（3）∵n ＝2008＞3∴20082009＞20092008．12．求1+2﹣1+2﹣2+2﹣3+2﹣4+…+2﹣200的值．试题分析：依据12=1−12 12+14=1−14 12+14+18=1−18 …可得规律12+14+18+⋯+12200=1−12200 进而得到1+2﹣1+2﹣2+2﹣3+2﹣4+…+2﹣200的值．答案详解：解：∵12=1−1212+14=1−1412+14+18=1−18…12+14+18+⋯+12200=1−12200∴1+2﹣1+2﹣2+2﹣3+2﹣4+…+2﹣200＝1+12+14+18+⋯+12200＝1+1−12200＝2−12200．13．探究：22﹣21＝2×21﹣1×21＝2（ 1 ）23﹣22＝ 2×22﹣1×22 ＝2（ 2 ）24﹣23＝ 2×23﹣1×23 ＝2（ 3 ）……（1）请仔细观察 写出第4个等式；（2）请你找规律 写出第n 个等式；（3）计算：21+22+23+…+22019﹣22020．试题分析：（1）根据给出的内容 直接可以仿写25﹣24＝2×24﹣1×24＝24（2）2n +1﹣2n ＝2×2n ﹣1×2n ＝2n（3）将原式进行变形 即提出负号后 就转化为原题中的类型 利用（1）（2）的结论 直接得出结果．答案详解：解：探究：22﹣21＝2×21﹣1×21＝2123﹣22＝2×22﹣1×22＝2224﹣23＝2×23﹣1×23＝23（1）25﹣24＝2×24﹣1×24＝24；（2）2n+1﹣2n＝2×2n﹣1×2n＝2n；（3）原式＝﹣（22020﹣22019﹣22018﹣22017﹣……﹣22﹣2）＝﹣2．所以答案是：1；2×22﹣1×22；2；2×23﹣1×23；3五．新定义14．定义一种新运算（a b）若a c＝b则（a b）＝c例（2 8）＝3 （3 81）＝4．已知（3 5）+（3 7）＝（3 x）则x的值为35．试题分析：设3m＝5 3n＝7 根据新运算定义用m、n表示（3 5）+（3 7）得方程求出x 的值．答案详解：解：设3m＝5 3n＝7依题意（3 5）＝m（3 7）＝n∴（3 5）+（3 7）＝m+n．∴（3 x）＝m+n∴x＝3m+n＝3m×3n＝5×7＝35．所以答案是：35．15．规定两数a b之间的一种运算记作（a b）；如果a c＝b那么（a b）＝c．例如：因为23＝8 所以（2 8）＝3．（1）根据上述规定填空：①（5 125）＝3（﹣2 ﹣32）＝5；②若（x 18）＝﹣3 则x＝2．（2）若（4 5）＝a（4 6）＝b（4 30）＝c试探究a b c之间存在的数量关系；（3）若（m8）+（m3）＝（m t）求t的值．试题分析：（1）①根据新定义的运算进行求解即可；②根据新定义的运算进行求解即可；（2）根据新定义的运算进行求解即可；（3）根据新定义的运算进行求解即可．答案详解：解：①∵53＝125∴（5 125）＝3∵（﹣2）5＝﹣32∴（﹣2 ﹣32）＝5所以答案是：3；5；②由题意得：x﹣3=1 8则x﹣3＝2﹣3∴x＝2所以答案是：2；（2）∵（4 5）＝a（4 6）＝b（4 30）＝c ∴4a＝5 4b＝6 4c＝30∵5×6＝30∴4a•4b＝4c∴a+b＝c．（3）设（m8）＝p（m3）＝q（m t）＝r ∴m p＝8 m q＝3 m r＝t∵（m8）+（m3）＝（m t）∴p+q＝r∴m p+q＝m r∴m p•m r＝m t即8×3＝t∴t＝24．16．规定两数a b之间的一种运算记作（a b）：如果a c＝b那么（a b）＝c．例如：因为23＝8 所以（2 8）＝3．（1）根据上述规定填空：（3 27）＝3（5 1）＝0（2 14）＝﹣2．（2）小明在研究这种运算时发现一个现象：（3n4n）＝（3 4）小明给出了如下的证明：设（3n4n）＝x则（3n）x＝4n即（3x）n＝4n所以3x＝4 即（3 4）＝x所以（3n4n）＝（3 4）．请你尝试运用这种方法证明下面这个等式：（3 4）+（3 5）＝（3 20）试题分析：（1）分别计算左边与右边式子即可做出判断；（2）设（3 4）＝x（3 5）＝y根据同底数幂的乘法法则即可求解．答案详解：解：（1）∵33＝27∴（3 27）＝3；∵50＝1∴（5 1）＝0；∵2﹣2=1 4∴（2 14）＝﹣2；（2）设（3 4）＝x（3 5）＝y则3x＝4 3y＝5∴3x+y＝3x•3y＝20∴（3 20）＝x+y∴（3 4）+（3 5）＝（3 20）．所以答案是：3 0 ﹣2．六．阅读类---紧扣例题化归思想17．阅读下列材料：一般地n个相同的因数a相乘a⋅a⋯a︸n个记为a n．如2×2×2＝23＝8 此时3叫做以2为底8的对数记为log28（即log28＝3）．一般地若a n＝b（a＞0且a≠1 b＞0）则n叫做以a为底b的对数记为log a b（即log a b＝n）．如34＝81 则4叫做以3为底81的对数记为log381（即log381＝4）．（1）计算以下各对数的值：log24＝2log216＝4log264＝6．（2）观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式log24、log216、log264之间又满足怎样的关系式；（3）由（2）的结果你能归纳出一个一般性的结论吗？log a M+log a N＝log a（MN）；（a＞0且a≠1 M＞0 N＞0）（4）根据幂的运算法则：a n•a m＝a n+m以及对数的含义证明上述结论．试题分析：首先认真阅读题目准确理解对数的定义把握好对数与指数的关系．（1）根据对数的定义求解；（2）认真观察不难找到规律：4×16＝64 log24+log216＝log264；（3）由特殊到一般得出结论：log a M+log a N＝log a（MN）；（4）首先可设log a M＝b1log a N＝b2再根据幂的运算法则：a n•a m＝a n+m以及对数的含义证明结论．答案详解：解：（1）log24＝2 log216＝4 log264＝6；（2）4×16＝64 log24+log216＝log264；（3）log a M+log a N＝log a（MN）；（4）证明：设log a M＝b1log a N＝b2则a b1=M a b2=N∴MN=a b1⋅a b2=a b1+b2∴b1+b2＝log a（MN）即log a M+log a N＝log a（MN）．18．阅读下列材料：若a3＝2 b5＝3 则a b的大小关系是a＞b（填“＜”或“＞”）．解：因为a15＝（a3）5＝25＝32 b15＝（b5）3＝33＝27 32＞27 所以a15＞b15所以a ＞b ．解答下列问题：（1）上述求解过程中 逆用了哪一条幂的运算性质 CA ．同底数幂的乘法B ．同底数幂的除法C ．幂的乘方D ．积的乘方（2）已知x 7＝2 y 9＝3 试比较x 与y 的大小．试题分析：（1）根据幂的乘方进行解答即可；（2）根据题目所给的求解方法 进行比较．答案详解：解：∵a 15＝（a 3）5＝25＝32 b 15＝（b 5）3＝33＝27 32＞27 所以a 15＞b 15 所以a ＞b 所以答案是：＞；（1）上述求解过程中 逆用了幂的乘方 所以选C ；（2）∵x 63＝（x 7）9＝29＝512 y 63＝（y 9）7＝37＝2187 2187＞512∴x 63＜y 63∴x ＜y ．19．阅读下面一段话 解决后面的问题．观察下面一列数：1 2 4 8 … 我们发现 这一列数从第二项起 每一项与它前一项的比都等于2．一般地 如果一列数从第二项起 每一项与它前一项的比都等于同一个常数 这一列数就叫做等比数列 这个常数叫做等比数列的比．（1）等比数列5 ﹣15 45 …的第四项是 ﹣135 ．（2）如果一列数a 1 a 2 a 3 a 4 …是等比数列 且公比为q 那么根据上述的规定 有a 2a 1=q ，a 3a 2=q ，a 4a 3= …所以a 2＝a 1q a 3＝a 2q ＝（a 1q ）q ＝a 1q 2 a 4＝a 3q ＝（a 1q 2）q ＝a 1q 3 … a n ＝ a 1q n ﹣1 （用含a 1与q 的代数式表示）．（3）一个等比数列的第二项是10 第三项是20 则它的第一项是 5 第四项是 40 ． 试题分析：（1）由于﹣15÷5＝﹣3 45÷（﹣15）＝﹣3 所以可以根据规律得到第四项．（2）通过观察发现 第n 项是首项a 1乘以公比q 的（n ﹣1）次方 这样就可以推出公式了；（3）由于第二项是10 第三项是20 由此可以得到公比然后就可以得到第一项和第四项．答案详解：解：（1）∵﹣15÷5＝﹣3 45÷（﹣15）＝﹣3∴第四项为45×（﹣3）＝﹣135．故填空答案：﹣135；（2）通过观察发现第n项是首项a1乘以公比q的（n﹣1）次方即：a n＝a1q n﹣1．故填空答案：a1q n﹣1；（3）∵公比等于20÷10＝2∴第一项等于：10÷2＝5第四项等于20×2＝40．a n＝a1q n﹣1．故填空答案：它的第一项是5 第四项是40．七．整式除法（难点）20．我阅读：类比于两数相除可以用竖式运算多项式除以多项式也可以用竖式运算其步骤是：（i）把被除式和除式按同一字母的降幂排列（若有缺项用零补齐）．（ii）用竖式进行运算．（ii）当余式的次数低于除式的次数时运算终止得到商式和余式．我会做：请把下面解答部分中的填空内容补充完整．求（5x4+3x3+2x﹣4）÷（x2+1）的商式和余式．解：答：商式是5x2+3x﹣5 余式是﹣x+1；我挑战：已知x4+x3+ax2+x+b能被x2+x+1整除请直接写出a、b的值．试题分析：我会做：根据“我阅读”的步骤计算填空即可；我挑战：用竖式计算令余式为0即可算出a b的值．答案详解：解：我阅读：（iii）余式是﹣x+1所以答案是：0x2﹣5x2﹣5x2﹣5x2+0x﹣5 ﹣x+1；我挑战：∴x4+x3+ax2+x+b＝（x2+x+1）（x2+a﹣1）+（2﹣a）x+b﹣a+1 ∵x4+x3+ax2+x+b能被x2+x+1整除∴（2﹣a）x+b﹣a+1＝0∴2﹣a＝0且b﹣a+1＝0解得a＝2 b＝1．21．计算：3a3b2÷a2+b•（a2b﹣3ab）．试题分析：根据单项式的除法以及单项式乘以多项式进行计算即可．答案详解：解：原式＝3ab2+a2b2﹣3ab2＝a2b2．22．计算：（2a3•3a﹣2a）÷（﹣2a）试题分析：依据单项式乘单项式法则进行计算然后再依据多项式除以单项式法则计算即可．答案详解：解：原式＝（6a4﹣2a）÷（﹣2a）＝6a4）÷（﹣2a）﹣2a÷（﹣2a）＝﹣3a3+1．八．巧妙比大小---化相同23．阅读下列解题过程试比较2100与375的大小．解：∵2100＝（24）25＝1625375＝（33）25＝2725而16＜27∴2100＜375请根据上述解答过程解答：比较255、344、433的大小．试题分析：根据幂的乘方的逆运算把各数化为指数相同、底数不同的形式再根据底数的大小比较即可．答案详解：解：∵255＝3211344＝8111433＝6411且32＜64＜81∴255＜433＜344．24．比较20162017与20172016的大小我们可以采用从“特殊到一般”的思想方法：（1）通过计算比较下列各式中两数的大小：（填“＞”、“＜”或“＝”）①12＜21②23＜32③34＞43④45＞54⑤56＞65…（2）由（1）可以猜测n n+1与（n+1）n（n为正整数）的大小关系：当n≤2时n n+1＜（n+1）n；当n＞2时n n+1＞（n+1）n；（3）根据上面的猜想则有：20162017＞20172016（填“＞”、“＜”或“＝”）．试题分析：（1）通过计算可比较大小；（2）观察（1）中的符号归纳n n+1与（n+1）n（n为正整数）的大小关系；（3）由（2）中的规律可直接得到答案；答案详解：解：（1）①∵12＝1 21＝2∴12＜21②∵23＝8 32＝9∴23＜32③∵34＝81 43＝64∴34＞43④∵45＝1024 54＝625∴45＞54⑤∵56＝15625 65＝7776∴56＞65（2）通过观察可以看出；n≤2时n n+1＜（n+1）n；n＞2时n n+1＞（n+1）n；（3）由（2）得到的结论；2016＞2∴20162017＞20172016．所以答案是：（1）＜＜＞＞；≤2 ＞2；＞．25．（1）用“＞”、“＜”、“＝”填空：35＜3653＜63（2）比较下列各组中三个数的大小并用“＜”连接：①41086164②255344433．试题分析：（1）根据底数为大于1的正数时底数相同指数越大幂越大和指数相同时底数越小幂越小填空即可；（2）①先把这3个数化为底数都为2的幂比较大小；②根据（a m）n＝a mn（m n是正整数）的逆运算把三个数化为指数相同的数再比较底数的大小即可．答案详解：解：（1）∵3＞1∴35＜36所以答案是：＜；∵1＜5＜6∴53＜63所以答案是：＜；（2）①∵410＝（42）5＝220164＝（42）4＝21686＝218∵220＞218＞216∴164＜86＜410；②∵255＝（25）11344＝（34）11433＝（43）11又∵25＝32＜43＝64＜34＝81∴255＜433＜344．九．幂的运算的综合提升26．已知5a＝2b＝10 求1a +1b的值．试题分析：想办法证明ab＝a+b即可．答案详解：解：∵5a＝2b＝10∴（5a）b＝10b（2b）a＝10a∴5ab＝10b2ab＝10a∴5ab•2ab＝10b•10a∴10ab＝10a+b∴ab＝a+b∴1a+1b=a+bab=127．已知6x＝192 32y＝192 则（﹣2017）（x﹣1）（y﹣1）﹣2＝−1 2017．试题分析：由6x＝192 32y＝192 推出6x＝192＝32×6 32y＝192＝32×6 推出6x﹣1＝32 32y ﹣1＝6 可得（6x﹣1）y﹣1＝6 推出（x﹣1）（y﹣1）＝1 由此即可解决问．答案详解：解：∵6x＝192 32y＝192∴6x＝192＝32×6 32y＝192＝32×6∴6x﹣1＝32 32y﹣1＝6∴（6x﹣1）y﹣1＝6∴（x﹣1）（y﹣1）＝1∴（﹣2017）（x﹣1）（y﹣1）﹣2＝（﹣2017）﹣1=−1 201728．已知三个互不相等的有理数既可以表示为1 a a+b的形式又可以表示0 bab的形式试求a2n﹣1•a2n（n≥1的整数）的值．试题分析：由于ba 有意义则a≠0 则应有a+b＝0 则ba=−1 故只能b＝1 a＝﹣1了再代入代数式求解．答案详解：解：由题可得：a≠0 a+b＝0∴ba=−1 b＝1∴a＝﹣1又∵2n﹣1为奇数﹣1的奇数次方得﹣1；2n为偶数﹣1的偶数次方得1∴a2n﹣1•a2n＝（﹣1）2n﹣1×（﹣1）2n＝﹣1×1＝﹣1．29．化简与求值：（1）已知3×9m×27m＝321求（﹣m2）3÷（m3•m2）m的值．（2）已知10a＝5 10b＝6 求①102a+103b的值；②102a+3b的值．试题分析：（1）先根据幂的乘方的运算法则求出m的值然后化简（﹣m2）3÷（m3•m2）m并代入求值；（2）根据幂的乘方以及同底数幂的乘法法则求解．答案详解：解：（1）3×9m×27m＝3×32m×33m＝35m+1＝321∴5m+1＝21解得：m＝4则（﹣m2）3÷（m3•m2）m＝﹣m6﹣5m将m＝4代入得：原式＝﹣46﹣20＝﹣4﹣14；（2）①102a+103b＝（10a）2+（10b）3＝52+63＝241；②102a+3b＝（10a）2•（10b）3＝25×216＝5400．。
幂的运算法则(人教版)(含答案)
幂的运算法则（人教版）一、单选题(共15道，每道6分)1.下列计算正确的有( )①；②；③；④．A.0个B.1个C.2个D.3个答案：A解题思路：①中：，①错误；②中：，②错误；③中：，③错误；④中：，④错误．所以正确的有0个．故选A．试题难度：三颗星知识点：幂的乘方2.有一句谚语说：“捡了芝麻，丢了西瓜”，意思是说有些人办事只抓一些无关紧要的小事，却忽略了具有重大意义的大事．据测算，25万粒芝麻才1000克，那么1粒芝麻有( )A. B.C. D.答案：C解题思路：根据题意，得故选C．试题难度：三颗星知识点：同底数幂的除法3.计算的结果是( )A.-10B.9C. D.-9答案：D解题思路：观察式子结构划部分，按照法则进行运算．故选D．试题难度：三颗星知识点：幂的混合运算4.计算的结果为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：可以把当作底数，首先化为同底数幂，然后利用同底数幂的乘除法则进行计算．故选C．试题难度：三颗星知识点：同底数幂的乘除混合运算5.计算的结果是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：观察式子结构划部分，按照法则进行运算．观察式子底数不同，可以把当作底数，首先化为同底数幂，然后利用同底数幂的除法法则进行计算．故选B．试题难度：三颗星知识点：幂的混合运算6.若，则的值为( )A.4B.3C.-2D.-3答案：A解题思路：观察式子，等式右边底数是6，左边底数是2，3，2×3=6，根据可得，所以，解得．故选A．试题难度：三颗星知识点：积的乘方7.若，，则的值为( )A.1B.16C.4D.8答案：D解题思路：观察式子，，又因为，，所以．故选D．试题难度：三颗星知识点：整体代入8.若，，则的结果是( )A.7B.12C.81D.64答案：B解题思路：观察式子，根据可得，又因为，，所以．故选B．试题难度：三颗星知识点：整体代入9.计算的结果为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：观察式子结构划部分，按照法则进行运算．观察式子底数不同，可以把n当作底数，首先化为同底数幂，然后利用同底数幂的乘法法则进行计算．故选C．试题难度：三颗星知识点：幂的混合运算10.计算的结果为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：观察式子结构划部分，按照法则进行运算．观察式子底数不同，可以把x当作底数，首先化为同底数幂，然后利用同底数幂的乘法法则进行计算．故选C．试题难度：三颗星知识点：幂的混合运算11.计算的结果为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：观察式子结构划部分，按照法则进行运算．观察式子底数不同，可以把m当作底数，首先化为同底数幂，然后利用同底数幂的乘除法则进行计算．故选C．试题难度：三颗星知识点：幂的混合运算12.计算的结果是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：观察式子结构划部分，按照法则进行运算．观察式子底数不同，可以把a当作底数，首先化为同底数幂，然后利用同底数幂的乘除法则进行计算．故选D．试题难度：三颗星知识点：幂的混合运算13.计算的结果为( )A.8B.C. D.0答案：B解题思路：观察式子结构划部分，按照法则进行运算．故选B．试题难度：三颗星知识点：幂的混合运算14.已知，，则的值为( )A.41B.42C.251D.401答案：B解题思路：观察式子，根据可得，又因为，所以．所以．故选B．试题难度：三颗星知识点：整体代入15.已知，，，则的值为( )A.3B.1C. D.答案：C解题思路：观察式子，根据可得，又因为，，，所以．故选C．试题难度：三颗星知识点：整体代入。
人教版八年级上册数学：同底数幂的除法
am ÷ an = am-n
(a≠0，m、n为正整数，m≥n)
a 那么出现 mn 你应该想到什么？
同底数幂的除法的逆运用
mn
a
am an
已知xa=32,xb=4,求xa-b的值.
解：xa-b=xa÷xb 32 4 8
已知：am=3,an=5. 求： (1) am-n的值 (2) a3m-2n的值
1023÷1016 =
学习 目标
1、知识与能力：同底数幂的除法的运算法则及其 应用。
2、过程与方法：经历探索同底数幂的除法的运算 法则的过程，会进行同底数幂的除法运算；
3、情感与价值观：经历探索同底数幂的除法运算 法则的过程，获得成功的体验，积累丰富的数学 经验，渗透数学公式的简洁美与和谐美．
教学重难点
（3） 2a7 2a4
（4） x6 x
最后结果要化简
例 计算 a5 a3
（1） a 6 a2
（2） a b4 a b2
1.底数不同时，先化为同底数再运算； 2.把代数式看成整体进行计算。
攀登高峰
（1） a5 aቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ a2； （2） ( x)7 x2；
（3）(ab)5 (ab)2；（4）(a b)6 (a b)4；
你能得出什么结论？
50=1
100=1
归纳 0次幂的规定： 任何不等于0的数的0次幂都等于1。 0 次幂公式：
a0 1 (a≠0)
巩固
1.(1)( 1)0 1 ; 3
(2)(a2 1)0 1 .
2.若 (2x 1)0 1 ,求x的取值范围。
解：由题意得 2x-1≠0 x≠ 1
2
同底数幂除法的法则
（a≠0，m、n都是正整数）
人教版 八年级数学上册 第14章 ：幂运算与整式乘除练习题(含答案)
（2）
8
（3） 0.4
（4） 6
例题 7.
（1）若 3x 4 , 9y 7 ，则 3x2y 的值为（ ）
4
7
A． 7
B． 4
（2）已知： 22x 22x1 192 ，则 x 的值是
C． 3 .
2
D． 7
（3）已知10m 2 ，10n 3 ，求103m2n 的值．
（4）若 n 是正整数，且 x2n 5 ，则 2x3n 2 4x2n
例题 5. 计算：
（1） am1 an2 a
（2） a5 a3
； a b3 b a4 a b5
．
； 10a6 5a3
．
（3） a4 3
； xm2 2
．
（4） ab6
； 3a2b3 4
8x 84 y
23 x
23 4 y
2x 3 a3
22 6 y
b6 ．
例题 9.
（1）已知 a 322 ，b，，414 c 910 d 810 ，则 a，b，c，d 的大小关系为
．
（2）已知 a 255 ， b 344 ， c 533 ， d 622 ，比较 a 、b、、c d 的大小关系．
人教版 八年级数学上册 第 14 章 幂运算与整式乘除练习题
（含答案）
例题1. 将 4 m nn mm nn mn m写成幂的形式为：
．
5
【答案】 4 n m5 ．
5 例题 2. 计算：① 34
4
②
3 4
4
34
③ 4
④
人教版数学八年级上册幂的乘方
am · an = am+n (m、n为正整数)
同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
am · an · ap = am+n+p
( m、n、p为正整数)
复习----想一想(2)
① 32×3m = 3m+2 ② 5m·5n = 5m+n ③ x3 ·xn+1 = Xn+4 ④y ·yn+2 ·yn+4 = y2n+7
1a (a ) (a ) a） (a ) 12
3
4(___)
2
6 (____) (
4 3 (_____)
6 2 (_____)
2
9 3 3
(__6__)
幂的乘方的逆运算：
(3)x13·x7=x（20）=( x4 )5=(x5)4=(x2)10；
(4)a2m =( am)2 =( a2)m
②（am)2=____a_m___×____a_m____ =___a_2_m_____；
③ 32 3 32× 32 × 32 = 36 ;
④ a3 4 a3× a3× a3 × a3= a3×4 = a12 .
这几道题有什么共同的特点呢?
计算的结果有什么规律吗?
（1） (32 )3 36 观察： （2） (32 )3 36
（m为正整数）.
• 基础训练76页课后训练4、5题
运算 种类
公式
法则 计算结果
中运 算
底数
指数
a a a 同底
数幂 m n
乘法
mn 乘法 不变 指数 相加
幂乘的方（a m）n a mn 乘方 不变
指数 相乘
幂的乘方与积的乘方(课件)八年级数学上册(人教版)
（4） − 2
3
= 9 ⋅ 12 = 21
+1 2
= −2
2+2
⋅ 4 3 ； (4) − 2
+1 2
.
12．在比较216 和312 的大小时，我们可以这样来处理：
∵216 =(24 )4 =164 ，312 = 33 4 =274 ，16＜27，
∴164 ＜274 ，即216 ＜312 ．
解：原式＝
4
=
5
5
4
2019
= ．
5
×
4
4 2019
5
2019
×
×
5
4
5 2020
−
4
(2) (−8)2020 × (−0.125)2022
解：原式=82020 × 0.1252022
=(8 × 0.125)2020 × 0.1252
=0.1252
=
1
64
三种幂的运算法则逆运用的规律
逆用公式(以下m，n都是
C．c>a>b
D．a<b<c
7．计算：（ 2 ）3 ⋅ 2 − （ 4 ）2 + 2 ⋅ 6 ＝_____．
x8
8．已知2 = ，32 = ，则23+10 =______．
a3b2
9．已知，满足方程3 + 2 = 4，则8 ⋅ 4 =______．
16
10．比较大小：230 ______3
同理：
( ab )
(ab) (ab) (ab)
3
(a a a) (b b b)
a b
3 3
推理验证
八年级数学上册第十四章专题(十)幂的运算五大类型作业课件新版新人教版ppt
4．补充完整下表：
(1)从表中你发现2的方幂的个位数字有何规律？
(2)22 020的个位数是什么数字？写出具体过程．
21 22 23 24
25
26
27
28
2 4 8 16
32
64 128
256
解：填表如下： (1)2的方幂的个位数字是由2，4，8，6…循环出现的． (2)∵2 020÷4＝505，∴22 020的个位数字跟24一样，故22 020的个位数字为6.
2．计算：0.252 019×42 020－8100×0.5300. 解：3. 3．(1)已知ma＝3，mb＝5，求m3a＋2b的值； 解：∵ma＝3，mb＝5，∴m3a＋2b＝(ma)3·(mb)2＝33×52＝675.
(2)已知275＝9×3m，求m的值． 解：∵原等式可变为(33)5＝32×3m，即315＝3m＋2， ∴m＋2＝15，解得m＝13.
第十四章 整式的乘法与因式分解
专题(十) 幂的运算五大类型
1．计算： (1)(－m2)3·(－m3)2； 解：原式＝－m6·m6＝－m12. (2)(－4x3)2－[(－2x)2]3； 解：原式＝16x6－64x6＝－48x6. (3)(x－y)4·[－(x－y)2]5. 解：原式＝－(x－y)4·(x－y)10＝－(x－y)4＋10＝－(x－y)14.
8．若7a＋b能被整数m整除，则7a＋b＋4能被m整除吗？试说明理由． 解：能．理由：∵7a＋b能被整数m整除，即7a＋b÷m等于整数， ∴7a＋b＋4÷m＝7a＋b×74÷m＝74×7a＋b÷m也为整数， 则7a＋b＋4能被m整除．
5．试判断212×58的结果是一个几位正整数． 解：212×58＝28×58×24＝108×16＝1.6×109， 故212×58是一个十位正整数．
(完整版)《幂的运算》习题精选及答案
《幂的运算》提高练习题一、选择题1、计算（﹣2）100+（﹣2）99所得的结果是（）A、﹣299B、﹣2C、299D、22、当m是正整数时，下列等式成立的有（）（1）a2m=（a m）2；（2）a2m=（a2）m；（3）a2m=（﹣a m）2；（4）a2m=（﹣a2）m．A、4个B、3个C、2个D、1个3、下列运算正确的是（）A、2x+3y=5xyB、（﹣3x2y）3=﹣9x6y3C 、D、（x﹣y）3=x3﹣y34、a与b互为相反数，且都不等于0，n为正整数，则下列各组中一定互为相反数的是（）A、a n与b nB、a2n与b2nC、a2n+1与b2n+1D、a2n﹣1与﹣b2n﹣15、下列等式中正确的个数是（）①a5+a5=a10；②（﹣a）6•（﹣a）3•a=a10；③﹣a4•（﹣a）5=a20；④25+25=26．A、0个B、1个C、2个D、3个二、填空题6、计算：x2•x3=_________；（﹣a2）3+（﹣a3）2= _________ ．7、若2m=5，2n=6，则2m+2n= _________ ．三、解答题8、已知3x（x n+5）=3x n+1+45，求x的值。
9、若1+2+3+…+n=a，求代数式（x n y）（x n﹣1y2）（x n﹣2y3）…（x2y n﹣1）（xy n）的值．10、已知2x+5y=3，求4x•32y的值．11、已知25m•2•10n=57•24，求m、n．12、已知a x=5，a x+y=25，求a x+a y的值．13、若x m+2n=16，x n=2，求x m+n的值．14、比较下列一组数的大小．8131，2741，96115、如果a2+a=0（a≠0），求a2005+a2004+12的值．16、已知9n+1﹣32n=72，求n的值．18、若（a n b m b）3=a9b15，求2m+n的值．19、计算：a n﹣5（a n+1b3m﹣2）2+（a n﹣1b m﹣2）3（﹣b3m+2）20、若x=3a n，y=﹣，当a=2，n=3时，求a n x﹣ay 的值．21、已知：2x=4y+1，27y=3x﹣1，求x﹣y的值．22、计算：（a﹣b）m+3•（b﹣a）2•（a﹣b）m•（b﹣a）523、若（a m+1b n+2）（a2n﹣1b2n）=a5b3，则求m+n的值．24、用简便方法计算：（1）（2）2×42（2）（﹣0.25）12×412（3）0.52×25×0.125（4）[（）2]3×（23）3答案与评分标准一、选择题（共5小题，每小题4分，满分20分）1、计算（﹣2）100+（﹣2）99所得的结果是（）A、﹣299B、﹣2C、299D、2考点：有理数的乘方。
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3. ① 3 4n ； ②- a8；
③ - c4m+6；
④0
4. ①- 8b3； ②y6z9；
③- p2nqn；
④6a8； ⑤2
5. ②⑤⑥
6. ①a5n+1；
②- 18a6； ③ 3 4
7. （1）4；（2） 3；
8. 需要杀菌剂 1 000 滴
思考小结
略
第4页 共4页
（1） a p
1 ap
p
1 a （a≠ 0，p 为正整数）；
（2） (am )n (an )m （ m，n 为正整数）．
【参考答案】
巩固练习
1. ①- p2m； ②2；
2. ①16；
②a2m；
③ x3m 1； ③ - (a+b- c)3；
④(a- b+c)m+4 ④21 008； ⑤ 2a2n
第3页 共4页
③ (c2 )2m ( c2 )3 _________； ④ ( x4) 6 ( x3 )8 _________．
4. ① ( 2b)3 ___________；
② ( y2z3) 3 ___________；
③ ( p2 q) n ___________；
④ a3 a4 a (a2) 4 ( 2a4 )2 _________；
⑤ 22 016 72 015
2 015
1
=_________．
14
5. 下列运算： ① a3 a3 2a3 ；
② (3a3 )2 9a6 ； ③ ( 3a2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ)3 9a6 ；
第1页 共4页
④ b2m b2 bm ； ⑦ (a2 )3 a5 ；
⑤ a0 ⑧ a3
a 1 a；
⑥ ( 2) 2
1 ；
4
2. ① 26 22 __________；
② a3m am ___________；
③ (a b c)6 (a b c)3 _____________；
④ 22015 2 21008 __________________；
⑤ a4n ( a)2n a a2n 1 _______________．
3. ① (3 2) 2n _____________； ② (a2 )4 _____________；
第三部分：同底数幂相除．
（ 3）每步推进一点点．
【过程书写】 解：原式 ( x)5 x x4 x5
x5 x5 x5 x5
巩固练习
1. ① p2m 1 p __________；
② 2m 2 2 m n 2n ______；
③ ( x)2m xm 1 __________________；
④ (a b c)3m 2(a b c)2 2m ____________．
8. 一种液体每升含有 1012 个有害细菌．为了试验某种杀菌剂的效果，科学家们 进行了实验，发现 1 滴杀菌剂可以杀死 10 9 个此种细菌．要将 1L 液体中的有 害细菌全部杀死，需要这种杀菌剂多少滴？
思考小结
1. 背默幂的四大运算法则并推导．
第2页 共4页
2. 运用幂的运算法则证明下面的公式．
幂的运算法则（习题）
例题示范
例 1：计算 ( x)2 ( x)3 x ( x2)2 x10 x5 ． 【操作步骤】 （ 1）观察结构划部分： ( x) 2( x)3 x ( x2 )2 x10 x5
①
②
③
（ 2）有序操作依法则：辨识运算类型，依据对应的法则运算．
第一部分：同底数幂相乘；
第二部分：先算积的乘方，再算同底数幂相乘；
a3 a0 ； ⑨ (2ab2 )3 8ab6 ．
其中正确的序号有 _____________．
6. 计算下列各式： ① ( a)2n ( an ) ( a) 2n 1 ；
② ( a)3 a3 ( 5a3 )2
2(
a)2
3
；
③ 2 2 ( 3)0 ( 3 1)2 32 ．
7. （1）若 a3 n a2n 2 a13 ，则 n=__________； （2）若 22 x 1 22 x 2 8x 2 ，则 x _________．