专题01 平行线知识讲义(原卷版)

专题01 平行线知识讲义【技能一】两条直线的位置关系两条直线的位置关系有三种：（1）平行——没有公共点，在同一平面内；（2）相交——有且只有1个公共点，在同一平面内；（3）异面——没有公共点，不在同一平面内.（如下图所示，直线a与b异面）【技能二】与相交线有关的知识点1. 邻补角互补；2. 对顶角相等；3. 垂直是相交的特殊情况.判断两直线垂直的方法：两直线相交形成的四个角中，①一个为直角；②邻补角相等；③对顶角互补.4. 垂线段最短；5. 从直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.6. 直角三角形斜边上的高等于直角边的乘积除以斜边的长.由S△=ab÷2=ch÷2得：h=ab÷c【技能三】三线八角1. 同位角近似“F” 【★同位角不一定相等】2. 内错角近似“Z” 【★内错角不一定相等】3. 同旁内角近似“U” 【★同旁内角不一定互补】【技能四】平行线的知识点同一平面内，永远不相交的两条直线互相平行，直线a与直线b平行，记作a∥b.【技能五】令人“烦恼”的前提前提：“同一平面内”，“直线外”在哪些情况下添加？过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行；同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；同一平面内，同垂直于一条直线的两条直线互相平行；【技能六】平行线的判定六法1. 定义——同一平面内，不相交的两条直线平行2. 同位角相等，两直线平行3. 内错角相等，两直线平行4. 同旁内角互补，两直线平行5. 平行线传递性6. 同一平面内，同垂直于一条直线的两条直线互相平行【技能七】平行线的性质及命题两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补.命题组成：题设、结论.形式：如果……，那么……分类：真命题，假命题★若两个角的两组边分别平行（垂直），则这两个角相等或互补.【如下图所示】【技能八】平移性质两条线段平移前后，长度不变，位置共线或平行.考点一：相交线题型一、基本概念例1．（2020·江阴市长泾月考）下列说法错误的是（）A．对顶角相等B．两点之间所有连线中，线段最短C．等角的补角相等D．过任意一点P，只能画一条直线【变式1－1】（2020·右玉县期中）下列说法中正确的有（ ）①对顶角相等；②一个角的补角大于这个角；③互为邻补角的两个角的平分线互相垂直；④若两个实数的和是正数，则这两个实数都是正数．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个题型二、求角度例2－1．（2021·江西赣州期末）北京大兴国际机场采用“三纵一横”全向型跑道构型，可节省飞机飞行时间，過极端天气侧向跑道可提升机场运行能力．跑道的布局为：三条南北向的跑道和一条偏东南走向的侧向跑道．如图，侧向跑道AB 在点O 南偏东70°的方向上，则这条跑道所在射线OB 与正北方向所成角的度数为（ ）A ．160°B ．110°C ．70°D ．20°例2－2．（2020·浙江嘉兴期末）将一把直尺和一块三角板如图叠放，直尺的一边刚好经过直角三角板的直角顶点且与斜边相交，则1∠与2∠一定满足的数量关系是（ ）A ．221∠=∠B ．21180∠+∠=︒C ．221180∠+∠=︒D ．2190∠-∠=︒【变式2－1】．（2021·山东济南期中）如图，直线m 和n 相交于点O ，若∠1=40°，则∠2的度数是（ ）A ．40°B ．50°C ．140°D ．150°【变式2－2】．（2019·河北邢台期末）小明用一副三角板自制对顶角的“小仪器”，第一步固定直角三角板ABC ，并将边AC 延长至点P ，第二步将另一块三角板CDE 的直角顶点与三角板ABC 的直角顶点C 重合，摆放成如图所示，延长DC 至点F ，PCD ∠与ACF ∠就是一组对顶角，若30ACF ∠=，则PCD ∠=__________，若重叠所成的∠BCE =n °（0＜n ＜90），则∠PCF 的度数为__________．【变式2－3】（2020·广东阳江期末）如图，两条直线AB，CD交于点O，射线OM是∠AOC 的平分线，若∠BOD＝80°，则∠BOM的度数是．题型三、综合题例3.（2021·湖北十堰期末）如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠AOD，OF∠OC，（1）图中∠AOF的余角是________ (把符合条件的角都填出来)；（2）如果∠AOC=140°，那么根据________，可得∠BOD=________；（3）如果∠1=31°，求∠2和∠3的度数．【变式3－1】（2021·辽宁抚顺期末）如图，已知O 为直线AD 上一点，OB 是AOC ∠内部一条射线且满足AOB ∠与AOC ∠互补，OM ，ON 分别为AOC ∠，AOB ∠的平分线．（1）COD ∠与AOB ∠相等吗？请说明理由；（2）若30AOB ∠=︒，试求MON ∠的度数；（3）若MON α∠=，请直接写出AOC ∠的度数．（用含α的式子表示）考点二：垂线题型一、基础概念例1－1.（2021·山东临沂期末）下列四个生活、生产现象：∠用两枚钉子就可以把木条固定在墙上；∠植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线；∠体育课上，老师测量某同学的跳远成绩；∠把弯曲的公路改直，就能缩短路程，其中可用基本事实“两点确定一条直线”来解释的现象有（ ）A ．∠∠B ．∠∠C ．∠∠D ．∠∠例1－2．（2021·北京顺义期末）如图，点P 在直线l 外，点A 、B 在直线l 上，若4PA =，7PB =，则点P 到直线l 的距离可能是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．7例1－3．（2020·湖南湘潭月考）下列命题中，其中正确的有（ ）．∠两条相交直线组成的四个角相等，则这两直线垂直．∠两条相交直线组成的四个角中，若有一个直角，则四角都相等．∠两条直线相交，一角的两邻补角相等，则这两直线垂直．∠两条直线相交，一角与其邻补角相等，则这两直线垂直．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【变式1－1】（2019·山西月考）如图，在三角形ABC 中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于点D ，则图中能表示点B 到直线AC 的距离的是（ ）A ．CD 的长度B ．BC 的长度 C ．BD 的长度 D ．AD 的长度【变式1－2】（2020·福建三明期中）如图所示，某工程队计划把河水引到水池A 中，他们先过A 点作AB CD ⊥，垂足为B ，然后沿AB 开渠，可以节约人力、物力和财力，这样设计的数学依据是（ ）A ．两点之间线段最短B ．经过两点有且只有一条直线C ．垂直定义D ．垂线段最短【变式1－3】（2020·广西贺州期末）下列语句错误．．的是（ ）． A ．直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离．B ．在直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短．C ．同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线．D ．经过直线外一点，有且只有一条直线平行于这条直线．题型二、相关计算例2－1.（2020·河南省淮滨县第一中学七年级期末）如图，OA OC ⊥，OB OD ⊥，且150AOD ∠=︒，则BOC ∠的度数是（ ）A ．60︒B ．30C ．50︒D ．40︒例2－2．（2019·浙江杭州）已知60BOC ︒∠=，OF 平分BOC ∠．若AO BO ⊥，OE 平分AOC ∠，则EOF ∠的度数是（ ）A．45︒B．15︒C．30︒或60︒D．45︒或15︒例2－3．（2021·江苏泰州期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF∠CD，若∠BOC比∠DOE大75o．求∠AOD和∠EOF的度数．∠，【变式2－1】（2019·四川绵阳期末）如图，若直线AB与CD相交于点O，OD平分BOF ∠=︒，则COE∠的度数为（）⊥且29OE OFBODA．116︒B．118︒C．119︒D．120︒【变式2－2】（2020·湖北咸宁期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠AOC，OF∠OE 于点O，若∠AOD＝70°，则∠AOF＝______度．【变式2－3】（2020·沭阳县月考）已知如图，直线AB 、CD 相交于点O ，∠COE =90°． （1）若∠AOC =36°，求∠BOE 的度数；（2）若∠BOD ：∠BOC =1：5，求∠AOE 的度数；（3）在（2）的条件下，过点O 作OF ∠AB ，请直接写出∠EOF 的度数．【变式2－4】如图，直线BC 、DE 相交于点O ，OA 、OF 为射线，OA OB ⊥，OF 平分BOE ∠，BOF COD ∠+∠＝54．求AOE ∠的度数．考点三：三线八角例1.（2020·长汀县月考）如图所示，下列结论中正确的是（）A．∠1和∠2是同位角B．∠1和∠4是内错角C．∠2和∠3是同旁内角D．∠3和∠4是对顶角例2．（2019·商水县期末）如图所示，同位角有a对，内错角有b对，同旁内角有c对，则a+b－c的值是____________例3．（2021·河南周口期末）如图，找出标注角中的同位角、内错角和同旁内角．【变式1】．（2020·黑龙江哈尔滨期末）如图，1∠和2∠不是同旁内角的是（ ） A ．B ．C ．D ．【变式2】．（2019·河南洛阳期中）如图，1∠和2∠是同位角的有（ ）A ．∠∠B ．∠∠C ．∠∠D ．∠∠【变式3】．（2020·河南周口期中）如图，直线AB ，CD 被直线EF 所截，与AB ，CD 分别交于点E，F，下列描述：∠∠1和∠2互为同位角∠∠3和∠4互为内错角∠∠1=∠4 ∠∠4+∠5=180°其中，正确的是（）A．∠∠B．∠∠C．∠∠D．∠∠【变式4】（2020·湖北武汉月考）如图所示的图形中，同位角有_____对考点四：平行线例1.（2021·江苏宿迁期末）下列说法错误的是（）A．平面内过一点有且只有一条直线与已知直线平行B．平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直C．两点之间的所有连线中，线段最短D．对顶角相等例2．（2020·四川师范大学附属中学期中）下列说法中不正确的个数为（）．∠在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交和垂直．∠有且只有一条直线垂直于已知直线．∠如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．∠从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离．∠过一点，有且只有一条直线与已知直线平行．A．2个B．3个C．4个D．5个【变式1】．（2021·陕西宝鸡期末）下列说法中正确的个数为（）∠不相交的两条直线叫做平行线；∠平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；∠平行于同一条直线的两条直线互相平行；∠在同一平面内，两条直线不是平行就是相交．A．1个B．2个C．3个D．4个【变式2】．（2020·江苏苏州期中）下列说法中：∠对顶角相等；∠同位角相等；∠平行于同一条直线的两条直线平行；∠垂直于同一条直线的两条直线垂直；其中正确的有（）A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个内部有一点M，过点M画OA的平行线，这样【变式3】．（2019·山西月考）已知AOB的直线（ ）A ．有且只有一条B ．有两条C ．有三条D ．有无数条考点五：平行线的判定例1. （2020·浙江杭州期中）如图，下列四个图中12∠=∠，不能判断不能判定//a b 的是（ ） A ． B ．C ．D ．例2．（2021·河南开封期末）如图，下列条件能判断//AD CB 的是（ ）A ．180D DAB ∠+∠=︒ B ．12∠=∠C ．34∠=∠D ．45∠=∠例3．（2021·福建三明期末）如图是利用直尺和三角板过直线l外一点P作直线l的平行线的方法，这样做的依据是（）A．同位角相等，两直线平行B．两直线平行，同位角相等C．两直线平行，内错角相等D．内错角相等，两直线平行例4．（2021·浙江绍兴期末）如图，已知CD∠DA，DA∠AB，∠1=∠4．试说明DF∠AE．请你完成下列填空，把证明过程补充完整．证明：∠_________（___________）∠∠CDA=90°，∠DAB=90°（_________）．∠∠4+∠3=90°，∠2+∠1=90°．又∠∠1=∠4，∠_____（_____），∠DF∠AE（______）．例5．（2020·甘肃张掖期末）已知：如图，1C ∠=∠，2∠和D ∠互余，1∠和D ∠互余，求证：//AB CD ．例6．（2020·渠县月考）已知：如图，,,,AC AB BD AB CAE DBF ⊥⊥∠=∠且请猜想直线AE 与BF 的位置关系，并说明理由．【变式1】（2020·洛阳市月考）下面是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容，则回答正确的是（ ）A ．∠代表∠FECB ．□代表同位角C ．▲代表∠EFCD ．∠代表AB【变式2】（2020·浙江金华期末）下列说法中：（1）不相交的两条直线叫做平行线；（2）经过一点，有且只有一条直线与已知直线平行；（3）垂直于同一条直线的两直线平行；（4）直线//a b ，//b c ，则//a c ；（5）两条直线被第三条直线所截，同位角相等．其中正确的是________．【变式3】（2019·山西期末）如图1，在探索“如何过直线外一点作已知直线的平行线”时，小颖利用两块完全相同的三角尺进行如下操作：如图 2 所示，（1）用第一块三角尺的一条边贴住直线 l ，第二块三角尺的一条边紧靠第一块三角尺；（2）将第二块三角尺沿第一块三角尺移动，使其另一边经过点 A ，沿这边作出直线 AB ，直线 AB 即为所求，则小颖的作图依据是________．【变式4】（2020·江西宜春期末）如图，已知点E 在直线DC 上，射线EF 平分∠AED ，过E 点作EB ∠EF ，G 为射线EC 上一点，连结BG ，且90EBG BEG ︒∠+∠=．（1）求证：DEF EBG ∠=∠；（2）若EBG A ∠=∠，试判断AB 与EF 的位置关系，并说明理由．考点六：平行线的性质题型一、求度数例1－1.（2020·浙江杭州期中）如图，//AB CD ，AD AC ⊥，32ADC ︒∠=，则CAB ∠的度数是（ ）A ．120度B ．121度C ．122度D ．123度例1－2．（2021·山东潍坊期末）一把直尺与30°的直角三角板如图所示，150∠=︒，则2∠=（ ）A ．50°B ．60°C ．70°D ．80°【变式1－1】（2020·浙江金华期中）如图所示，已知AD 与BC 相交于点O ，////CD OE AB ．如果40B ∠=︒，30D ∠=︒，则AOC ∠的大小为（ ）A ．60°B ．70°C ．80°D ．120°【变式1－2】如图，∠1＝∠2，AC 平分∠DAB ，且∠D ：∠DAB ＝2：1，则∠D 的度数是（ ）A ．120°B ．130°C ．140°D ．150°题型二、方位角 例2.（2021·甘肃白银期末）一条船停留在海面上，从船上看灯塔位于北偏东60°方向，那么从灯塔看船位于灯塔的 方向（ ）A ．南偏西60°B ．西偏南60°C ．南偏西30°D ．北偏西30°【变式】如图，李强和同事驾驶快艇执行巡逻任务，他们从岛屿A 处向正南方向航行到B 处时，向右转60︒航行到C 处，再向左转80︒继续航行，此时快艇的航行方向为（ ）A ．南偏东20︒B ．南偏东80︒C ．南偏西20︒D ．南偏西80︒题型三、综合题型 例3－1.（2020·浙江杭州期中）已知A ∠的两边与B 的两边分别平行，若A ∠的度数比B 的2倍少30°，则B 的度数是（ ）A ．30°B ．50°C ．30°或70°D ．50°或70°例3－2．如图，已知直线AB 、CD 被直线AC 所截，//AB CD ，E 是直线AC 右边任意一点（点E 不在直线AB ，CD 上），设BAE α∠=，DCE β∠=．下列各式：∠αβ+，∠αβ-，∠βα-，∠360αβ︒--，AEC ∠的度数可能是（ ）A ．∠∠∠B ．∠∠∠C ．∠∠∠D ．∠∠∠∠例3－3．（2021·陕西咸阳期末）如图，360ABC C CDE ∠+∠+∠=︒，直线FG 分别交AB 、DE 于点F 、G ．若1110∠=︒，则2∠=___________．例3－4．（2021·陕西西安期末）如图，178∠=︒，2102∠=︒，C D ∠=∠．求证：//AC DF ．【变式3－1】（2021·山东青岛期末）如图，//AB CD ，点E 在AC 上，110A ∠=︒，15D ∠=︒，则下列结论正确的个数是（ ）（1）AE EC =；（2）85AED ∠=︒；（3）A CED D ∠=∠+∠；（4）45BED ∠=︒A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【变式3－2】（2021·广西贵港期末）如图，直线a ，b ，//a b ，点C 在直线b 上，90DCB ∠=︒，若170∠=︒，则2∠的度数为______．【变式3－3】（2020·浙江金华期中）已知A ∠与B （A ∠，B 都是大于0°且小于180°的角）的两边一边平行，另一边垂直，且227A B ∠-∠=︒，则A ∠的度数为_________．【变式3－4】（2020·黑龙江哈尔滨期末）在同一平面内，A ∠与B 的两边分别平行，若50A ∠=︒，则B 的度数为__________︒．【变式3－5】（2021·河南洛阳期末）直线AB 和CD 被直线MN 所截，如图1，EG 平分MEB ∠，FH 平分DFE ∠，当12∠=∠时，小明证明//AB CD 的过程如下：∠EG 平分MEB ∠，FH 平分DFE ∠（已知），∠21MEB ∠=∠，22DFE ∠=∠（角平分线的定义）． ∠12∠=∠，（已知），∠MEB DFE ∠=∠（等量代换）．∠//AB CD （同位角相等，两直线平行）．请你参考上述证明过程解决下列问题：（1）如图2，EG 平分AEF ∠，FH 平分DFE ∠，1∠与2∠满足什么条件时，//AB CD ？说明理由．（2）如图3，若//AB CD ，EG 平分AEM ∠，FH 平分CFN ∠，则1∠与2∠满足怎样的条件？说明理由．【变式3－6】（2021·四川成都期末）完成下面推理过程，在括号内的横线上填空或填上推理依据．如图，已知：//AB EF ,EP EQ ⊥，90EQC APE ∠+∠=︒，求证：//AB CD证明：//AB EFAPE ∴∠=__________（__________）EP EQ ⊥PEQ ∴∠=_________（___________）即90QEF PEF ∠+∠=︒90APE QEF ∴∠+∠=︒90EQC APE ∠+∠=︒EQC ∠=________//EF ∴_______（__________________）//AB CD ∴（________________）考点七：命题例1. 举反例说明 “互为补角的两个角都是直角”为假命题．例2．（2021·浙江绍兴期末）把“同位角相等”写成“如果…那么…”的形式为：为_____．【变式1】判断下列命题的真假，如果是假命题，请举一个反例，真命题不需要举例． （1）钝角的补角是锐角；（2）一个角的余角小于这个角；（3）如果a b =，那么a b =．【变式2】（2021·山东青岛期末）把命题“锐角小于90°”改写成“如果……那么……”的形式：______．考点八：平移例1. （2020·浙江杭州模拟）如图，将ABC 沿AC 方向平移1cm 得到DEF ，若ABC 的周长为10cm ，则四边形ABEF 的周长为（ ）A ．14cmB ．13cmC ．12cmD ．10cm例2．（2021·上海宝山期末）如图，ABC 经过平移后得到DEF ，下列说法：∠//AB DE∠AD BE =∠ACB DFE ∠=∠∠ABC 和DEF 的面积相等∠四边形ACFD 和四边形BCFE 的面枳相等，其中正确的有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【变式1】（2021·北京丰台期末）如图，将ABC ∆沿BC 所在的直线平移得到DEF ∆．如果2GC =， 4.5DF =， 那么AG =____．【变式2】（2021·上海浦东新区期末）如图，已知直角三角形ABC ，90A ∠=︒，4AB =厘米，3AC =厘米，5BC =厘米，将ABC 沿AC 方向平移1.5厘米，线段BC 在平移过程中所形成图形的面积为__________平方厘米．。