一.1.3量词与逻辑联结词

§1.3量词与逻辑联结词

2014高考会这样考 1.考查逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义，判断命题的真假或求参数的范围；2.考查全称量词和存在量词的意义，对含一个量词的命题进行否定．复习备考要这样做 1.充分理解逻辑联结词的含义，注意和日常用语的区别；2.对量词的练习要在“含一个量词”框架内进行，不要随意加深；3.注意逻辑联结词与其他知识的交汇．

1．全称量词与存在量词

(1)“所有”、“每一个”、“任意”、“任何”都是在指定范围内，表示整体或全部

的含义，这样的词称为全称量词，含有全称量词的命题，称为全称命题．

(2)“有些”“至少有一个”“有一个”“存在一个”都有表示个别或一部分的含义，

这样的词称为存在量词，含有存在量词的命题称为存在性命题．

2．命题的否定

全称命题的否定是存在性命题，存在性命题的否定是全称命题．

3．逻辑联结词：且、或、非

命题p∧q，p∨q，⌝q的真假判断：

一．自测

1．下列命题中，所有真命题的序号是________．

①5>2且7>4；②3>4或4>3；③2不是无理数．

2．(2012·湖北改编)命题“存在x0∈∁R Q，x30∈Q”的否定是____________ ______．3．若命题“存在x∈R，有x2－mx－m<0”是假命题，则实数m的取值范围是________．4．有四个关于三角函数的命题：

p1：存在x∈R，sin2x

2＋cos

2

x

2＝

1

2；p2：存在x，y∈R，sin(x－y)＝sin x－sin y；

p 3：任意x ∈[0，π]，

1－cos 2x 2＝sin x ；p 4：sin x ＝cos y ⇒x ＋y ＝π

2

. 其中的假命题是____________． 二．典型例题

题型一 含有一个量词的命题的否定 1.写出下列命题的否定，并判断其真假： (1)p ：任意x ∈R ，x 2－x ＋1

4≥0；

(2)q ：所有的正方形都是矩形；

(3)r ：存在x 0∈R ，x 2

0＋2x 0＋2≤0；

(4)s ：至少有一个实数x 0，使x 30＋1＝0. 题型二 含有逻辑联结词的命题的真假

2.命题p ：若a ，b ∈R ，则“|a |＋|b |>1”是“|a ＋b |>1”的充要条件； 命题q ：函数y ＝|x －1|－2的定义域是(－∞，－1]∪[3，＋∞)．

则下列命题是真命题的是________．①p ∨q ；②p ∧q ；③(⌝p )∨(⌝q )；④⌝(p ∨q )． 变式.写出下列各组命题构成的“p 或q ”、“p 且q ”、“⌝p ”形式的新命题，并判断真假：

(1)p ：1是素数；q ：1是方程x 2＋2x －3＝0的根；

(2)p ：平行四边形的对角线相等；q ：平行四边形的对角线互相垂直；

(3)p ：方程x 2＋x －1＝0的两实根的符号相同；q ：方程x 2＋x －1＝0的两实根的绝对值相等．

题型三 逻辑联结词与命题真假的应用

3. 已知p ：方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的负实数根；q ：不等式4x 2＋4(m －2)x ＋1>0

的解集为R .若“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，求实数m 的取值范围．

变式.已知a >0，设命题p ：函数y ＝a x 在R 上单调递增；命题q ：不等式ax 2－ax ＋1>0对∀x ∈R 恒成立．若“p ∧q ”为假，“p ∨q ”为真，求a 的取值范围．

课后作业

一、填空题

1． 下列命题中的真命题是________．

①存在x 0∈R ，lg x 0＝0; ②存在x 0∈R ，tan x 0＝1； ③任意x ∈R ，x 3>0; ④任意x ∈R,2x >0.

2．(2012·湖北改编)命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是

___________________________________________．

3． (2012·山东改编)设命题p ：函数y ＝sin 2x 的最小正周期为π2

；命题q ：函数y ＝cos x 的

图象关于直线x ＝π

2对称．则命题p 或q 为________命题．(填“真”或“假”)

4． 已知p ：|x －a |<4；q ：(x －2)(3－x )>0，若⌝p 是⌝q 的充分不必要条件，则a 的取值范

围为____________．

5． 若命题p ：关于x 的不等式ax ＋b >0的解集是{x |x >－b

a

}，命题q ：关于x 的不等式(x －

a )(x －

b )<0的解集是{x |a

6． 已知命题p ：x 2＋2x －3>0；命题q ：1

3－x

>1，若“⌝q 且p ”为真，则x 的取值范围是

____________________．

7．(2011·安徽改编)命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定．．是

___________________________________________________．

8． 已知命题p ：“任意x ∈R ，∃m ∈R,4x －2x ＋

1＋m ＝0”，若命题⌝p 是假命题，则实数

m 的取值范围是__________．

9． 设p ：方程x 2＋2mx ＋1＝0有两个不相等的正根，q ：方程x 2＋2(m －2)x －3m ＋10＝0

无实根．则使“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假的实数m 的取值范围是____________．

10． 下列结论：

①若命题p ：存在x ∈R ，tan x ＝1；命题q ：任意x ∈R ，x 2－x ＋1>0.则命题“p 且⌝q ”是假命题；

②已知直线l 1：ax ＋3y －1＝0，l 2：x ＋by ＋1＝0，则l 1⊥l 2的充要条件是a

b ＝－3；

③命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题：“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”． 其中正确结论的序号为______ __． 二、解答题

11．已知c >0，设命题p ：函数y ＝c x 为减函数．命题q ：当x ∈⎣⎡⎦⎤12，2时，函数f (x )＝x ＋1x >1c

恒成立．如果“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，求c 的取值范围．

12．若p ：sin x ＋cos x >m ，q ：x 2＋mx ＋1>0，如果∀x ∈R ，p 为假命题，且q 为真命题，求实数m 的取值范围．