《除法竖式的认识》教学设计
二年级下册数学教案-5.2 除法竖式的认识 ｜西师大版
二年级下册数学教案-5.2 除法竖式的认识｜西师大版一、教材分析本节课是二年级下册数学教材第五章《整数的认识》第二节课，主要涉及到竖式除法的学习和认识。
通过本节课的教学，学生可以进一步理解整数的特征和性质，掌握竖式除法的基本方法和步骤，并提高计算能力。
二、教学目标1.知识目标：掌握竖式除法的基本方法和步骤，进一步理解整数的特征和性质。
2.能力目标：能够运用竖式除法解决实际问题，提高计算能力。
3.情感目标：培养学生耐心细心的品质，让学生感受到成功的喜悦和成就感。
三、教学重点和难点1.教学重点：掌握竖式除法的基本方法和步骤，进一步理解整数的特征和性质。
2.教学难点：竖式除法的进位和退位运算，学生需要理解整数进位和借位的意义，以及如何运用进退位规则。
四、教学方法和过程1. 教学方法本课堂采用了“讲解+示范+练习”的教学方法。
2. 教学过程第一步：引入通过上一节课的学习，学生已经掌握了整数的基本概念和运算方法。
老师可以通过问答的方式来引导学生进入本节课的学习主题。
问：在数学中，我们知道有哪几种基本运算？答：加、减、乘、除。
问：你们有哪些经验或方法可以解决简单的除法问题？答：比较、试商、算过头、套路等。
第二步：讲解1.算式：写出除数、被除数和商的位置，明确位置和符号。
2.进位和退位：当除法的计算中需要进位或退位时，应该如何进行。
3.余数的概念和意义：查看余数的大小，判断最后的商是否需要加1。
第三步：示范老师可以通过一个具体的例题来进行示范，让学生理解竖式除法的基本方法和步骤。
根据学生的程度不同，老师可以选择较大或者较小的数来进行示范。
第四步：练习老师可以给学生布置练习题和课后作业来巩固知识和技能。
同时，老师也可以在练习过程中时不时地抽查学生，检验学生的掌握程度。
五、教学反思本节课是整个课程的一个重要环节，通过本节课，学生不仅掌握了竖式除法的基本方法和步骤，也进一步理解了整数的特征和性质。
同时，这节课的教学难度相对比较大，所以在教学过程中，还需要不断解决学生的疑惑和误解，耐心和细致是其中的关键。
小学数学《竖式除法》教案（精选3篇）
小学数学《竖式除法》教案（精选3篇）小学数学《竖式除法》篇1详细介绍：教学目标1.使学生掌握乘、除法竖式中各部分的名称，并理解各部分表示的意义.2.使学生初步掌握乘、除法竖式的书写方法，能用竖式正确计算乘、除法.3.培养学生的计算能力.教学重点竖式的计算方法及各部分表示的意义.教学难点计算结果积、商的对位及除法每步的含义.教具、学具准备直尺、例7挂图、学生用直尺.教学步骤一、铺垫孕伏.1.表内乘、除法口算：7385204729873663246379643426562.指名两位同学在黑板上用竖式计算，并口述计算过程和应注意什么.二、探究新知.1.导入：加、减法可以用竖式计算，同样乘、除法也可以用竖式计算，今天我们就学习用竖式计算乘、除法.板书课题：乘、除法竖式2.教学例6.【演示竖式】（1）出示例6横式：59＝（2）教师启发：乘法竖式的写法与加减法的竖式有相同的地方，被乘数与乘数上下对齐数位写，乘号也与加、减法书写位置相同，下面也用直尺画一横线，横线下写积，一定注意相同数位对齐，最后向横式报告计算结果.（3）学生在练习本上试做，教师巡视.学生可互相讨论.（4）指名学生到黑板上计算，然后订正.请学生口述书写及计算过程.①先写被乘数5；②再写乘数9，注意相同数位对齐；③在乘数左边空一个字的位置写乘号；④在乘号和乘数下画一横线，两边稍长一点，要用直尺画；⑤5乘以9的积是45，写在横线下面，注意把积的十位上的4写在十位的位置上，积的个位5要与9对齐；⑥在横式等号后面写上积45.（5）在教师引导下，师生共同总结乘法竖式计算的六个步骤，重点强调积的数位的写法，一定要相同数位对齐，其关键是积的个位与被乘数和乘数的个位对齐.（6）学生修正做错的题.（7）反馈练习（101页做一做）：①独立完成；②集体订正：竖式中各部分名称，写积时注意什么？3.教学例7.【继续演示课件竖式】（1）出示例7挂图①引导学生观察挂图，理解题意：把8个苹果按每2个分一份，可以分成几份？②明确属于平均分的第二种分法，用除法计算.列式82＝（2）教学除法竖式的写法.教师讲解：除法竖式的写法与加、减、乘法的竖式不一样.哪不一样呢？①先写，表示是除法计算，被除数写在里，除数写在的左边，指导学生在练习本上照写.②8除以2商是4，把4对着被除数8写在的上面.同时注明4是商.教师讲明，每2个是一份，可以分成4份，共分掉了（24＝8）8个，就把24的积写在被除数8的下面，表示从原来的8里分掉8个，8－8＝0，说明正好分完，没有剩余，用0表示，竖式中这样写：在24＝8，即分掉的8下面用直尺画一条横线，用被除数8减去24的积8，等于0，写在横线下面，写时注意与被除数的个位对齐.指导学生在练习本上逐步写.板书：③引导学生总结写除法竖式的步骤，重点总结商的对位及商和除数乘积的写法.4.教学例8.【继续演示课件竖式】（1）出示例8：，这个算式表示直接让我们求商.（2）被除数是63，除数9，商应是几？（7），商应写在什么置？因为（7）是7个1，所以要把7写在被除数个位的上面.（3）下一步该怎样计算？把9和7的乘积写在被除数的下面.最后一步怎样算？用减法，63－63＝0，画横线，在横线下把0与被除数的个位对齐.得0表示正好分完，没有剩余.（4）反馈练习.（101页例8下面的做一做）教师指导做对重点步骤要强调.学生在课本上独立完成，教师巡视指导，后订正.教师要加强计算步骤及书写格式的指导，书写必须规范，培养良好的书写习惯.三、巩固发展.1.竖式计算并口述计算步骤及写法.强调积、商的对位.65＝84＝279＝2.把不对的改正过来.通过这一练习，使学生进一步掌握乘、除法竖式的计算步骤、方法、书写格式、特别防止积、商数位对错现象的发生.四、全课小结.1.让学生观看板书，总结今天学的新知识，再次强调重点、难点.2.教师纠正、补充性地进行小结.五、布置作业.1.用竖式计算下面各题.4563967892.食堂运来24袋米，平均分8天吃，每天吃几袋？（写出横式和竖式）六、板书设计.乘、除法竖式小学数学《竖式除法》教案篇2一、教学目标：1、使学生在理解算理的基础上初步掌握一位数除两位数，商是两位数的计算方法。
《除法竖式的认识》说课稿Word版
《除法竖式的认识》说课稿______周凤英尊敬的各位老师，大家好！我今天说课的内容是西师版义务教育数学课程标准实验教材二年级下册第70，71页中《除法竖式的认识》例1，例2，“试一试”和“课堂活动”第1，2题。
一.教材分析：除法竖式的认识和计算这部分内容是在学生已学过一位数（或两位数）除以一位数的简单口算除法的基础上进一步探讨的。
本节课内容是表内除法的延伸和扩展，也是多位数除以一位数的基础与起点。
学生学习表内除法时是应用口诀求商，并用横式写出运算的结果。
现在要求学生用竖式进行书写。
本节内容学习表内除法竖式的写法，为学习有余数的除法打下基础。
学好本单元内容，有利于整个小学阶段除法知识的学习。
本节教学重点是表内除法。
了解除法竖式中各部分的名称及含义，会用竖式计算表内除法，而这些知识也是本节课的教学难点。
教材中所呈现的内容不但是学生认识到数学与生活的联系，也激发学生用所学知识解决生活中实际问题的欲望。
是以学生已有的知识入手，通过插花，分桃子的活动抽象出除法竖式的书写过程。
使学生体会到除法竖式每一步的含义。
二.学情分析：通过口算表内除法的学习，加法，减法竖式的学习，学生已经掌握了一些基础知识和基本技能。
我在课前了解到，我们班基础较好的同学已经知道除法竖式的一些知识，就是书写时有些难度，对竖式计算除法每一步的含义不是很理解，商的位置怎么确定把握不好。
因此学生在这节课上要解决的学习目标是：除法竖式的书写方法，计算的步骤和每一步的含义是什么，会用竖式计算表内除法。
三.学习目标：结合以上对教材的分析和对学生情况的了解我从知识与技能，过程与方法，情感态度价值观三方面制订了本节课的学习目标。
1.通过学生对情景图的观察和自学例题初步认识除法竖式，知道除法竖式各部分的名称及含义。
2.通过“分一分”活动在探索中初步学会除法竖式的写法，会列竖式计算表内除法，进一步体会除法的意义。
通过动手实践，合作交流培养学生的观察，概括能力，认真书写的习惯，增强他们学习的自信心。
小学六年级数学的认识除法竖式的教学设计一等奖
小学六年级数学的认识除法竖式的教学设计一等奖1、最新小学六年级数学的认识除法竖式的教学设计一等奖数学知识是人类智慧的结晶，每个知识点都有一个产生、发展的过程，这个过程饱含着人类不断探索、不断创新的艰辛和欢乐。
因此，在教学中引导学生经历数学知识形成的过程，使他们加深对所学知识的理解，并能获得数学思想方法的启迪，品尝成功的喜悦。
教学二年级（上册）认识除法竖式。
教师首先通过6个小朋友跳绳，平均分成2组，每组3人的图画列出除法算式：62=3。
然后指出：除法也可以写成竖式。
随即教学除法竖式的写法和各部分表示的含义，最后总结出除法竖式的一般算法为三步：一除二乘三减。
除法竖式的书写方法与学生熟悉的加、减、乘法竖式都明显不同，并且计算过程涉及到除法、乘法、减法三种不同的运算，比其他三种竖式都来得复杂，因而学生理解起来相对比较困难。
他们对于为什么要把2和3相乘、6减6等于0又是什么含义等可能无法达到真正地理解。
为什么会这样呢？追根溯源，除法的含义是表示平均分。
现实中平均分的结果存在两种情况：一种是正好分完，没有剩余；另一种是分到最后无法再满足平均分的要求，出现剩余。
除法竖式的与众不同就是为了能很好地同时表达上述两种平均分的情况。
因此，除法竖式的教学必须建立在学生对这两种平均分情况的认识之上。
所以，我认为认识除法竖式的教学必须按以下三步展开：一、灵活调整，循序渐进教材安排上学期先教学没有余数的除法，接着认识除法竖式，下学期再教学有余数的除法，我认为这样的教学顺序是不够恰当的。
首先，它使学生无法从本质上理解除法竖式书写与计算的特殊性，颠倒了数学知识与现实生活的连接次序；其次是用成人的思考代替了儿童的思考，教给学生固定的解题思路，让学生沿袭这样的思路反复模仿，降低了开启学生智慧的功效。
因此，我对这部分知识的教学顺序进行了灵活地调整：先学习没有余数的除法，再学习有余数的除法并与前者加以比较，最后学习认识除法竖式。
认识除法竖式时，从有余数的除法竖式入手理解除法竖式各部分的含义，继而推广到没有余数的除法竖式，达到真正理解除法竖式书写与计算的特殊性。
除法(一)认识竖式
除法（一）认识竖式教学内容：教材P2的内容及相关的练习教学目标：1、引导学生经历分苹果等实际操作，初步体会有余数除法与生活密切联系。
2、通过引导学生进行实际操作，计算出有余数除法的书写格式，体会余数一定比除数少。
3、在操作、探索、发现中，使学生获得积。
重点难点：1、使学生体验除法的意义及乘法竖式的计算过程。
体会余数要比除数小。
2、通过分苹果的实际操作，总结出除法竖式的书写过程，使学生体会到除法竖式每一步的实际含义。
教学方法：互动教学教学准备：教师准备：课件、实物投影仪学生准备：每个人准备若干圆片教学过程：一、问题引入二、探索新知1、体验除法竖式的计算过程。
（1）先让学生独立思考上述问题（2）接着进行全班集体交流。
（3）同桌同学合作摆20个圆片，验证推算结果。
（4）介绍除法竖式的写法：20 ÷ 5 ＝44 ——商除数¯¯¯¯¯¯被除数2 0 ——除数与商的积0 ——余数（5）练习学生独立完成课本第2页试一试四道小题，指名板书，集体订正。
2、体会平均分后有余数（1）演示20个苹果（2）小组讨论：有20个苹果，如果每盘放6个呢？学生用圆片分一分，讨论怎样用竖式表示。
（3）全班交流3、体验余数一定要比除数小（1）先由学生操作（用圆片分一分）。
再列出除法竖式，独立解答“课本第3题试一试中的第（1）题”。
（2）学生讨论：淘气的列式对不对，为什么？指名回答，引导学生认识“6还可以接着分”，正确的式子应是笑笑做的。
（3）讨论：根据刚才这道习题，你发现什么？余数一定要比除数小。
（4）学生独立完成第（2）题。
指名板书，全班齐练。
练习完，比较每道题的余数和除数，你发现了什么？指名回答：余数要比除数小。
三、巩固练习：第3页“练一练”第1、2题。
四、总结除法竖式的写法，有余数的除法，余数要比除数小。
除法竖式的认识教案
除法竖式的初步认识通滩小学潘玲教学内容：教材第70页例1，例2，第71页课堂活动。
教学目标：1.在探索中初步学会除法竖式的写法，会列竖式计算表内除法，结合具体情况，进一步体会除法的意义。
2.培养学生初步的试商能力，培养学生初步的观察、概括能力，培养学生认真书写的习惯。
教学重点：能正确地将表内除法列成竖式来计算。
教学难点：理解除法竖式中每一步计算所表示的意思。
教学过程：一、抢答1．乘法口诀。
如三八（）……2．口算。
45÷5= 54÷6= 32÷8= 42÷6=3．师：以前我们学习了平均分，你能说说什么是平均分吗？（每份分得同样多）平均分用什么方法表示？（除法）今天我们继续学习和除法有关的知识。
二、探索新知（一）认识除法竖式。
1.出示例1.创设情境：美羊羊很爱美，一天它采了12朵漂亮的花，想插在3个花瓶里，但又不知道怎样插好看？你能帮帮她吗？生：每个花瓶插4朵。
师：哦，这样插很整齐，也很漂亮。
你是怎样算出来的？可以用算式表示出来吗？生：12÷3=4（枝）（师板书）师：12、3、4在这个除法算式里分别叫什么？表示什么？（回忆除法各部分的名称，生说，师课件演示）2.师：我们一年级学习了用竖式计算加、减法，那你会用竖式计算除法吗？今天我们就来认识一下除法竖式。
（板书课题）3.学生尝试写竖式。
学生带着自己写出的竖式（可能正确可能错误）自学例1.要求：把不懂的勾出来，做上记号。
学生提出疑问。
师引导释疑：（1）写除法竖式时，和横式一样，先写被除数，再写“厂”，师板书，生跟写。
（2）“厂”表示表示除法，相当于“÷”。
（3）“厂”的左边写除数3。
（4）商4对着被除数的个位写在上面。
师：商为何写在个位上？（5）商写好后，要检查被除数分完没有，再用除数乘商的积检验。
（6）检查分完没有，就用被减数减去除数乘商的积。
4.编除法竖式儿歌。
5.课件再演示写法。
6.尝试反馈。
北京版-数学-二年级上册-《认识除法竖式》教学建议
《认识除法竖式》教学建议
教学目标：
1、在设计、交流队列表演方案的活动中，经历认识除法竖式并用竖式计算的过程。
2、会用9的乘法口诀求商。
会写除法竖式。
3、积极尝试用竖式计算，增强学好数学的信心。
教学建议：
◆队列表演
1、提出活动内容和要
求，鼓励学生自己设计队
列方案。
2、交流学生设计的方
案，重点说一说是怎样想
的、怎样算的。
3、教师讲解除法算
式。
教师示范用除法竖式
计算的全过程，说明每个
数所在的位置和表示的意
义，边说边板书，强调除
法竖式中相同数位要对
齐。
4、让学生试着自己完
成36÷6的竖式，写完之
后，说一说算式中每个数
代表什么。
◆试一试
让学生独立完成，请四名同学在黑板上各做一道题，然后全班订正。
◆练一练
第1题，让学生在书上填空，独立完成后全班订正。
第2题，是一道变式练习题。
可以用课件练习，也可以用连线的方式完成。
第3题，先让学生说一说题中给出了哪些信息，提出的问题是什么，然后自己解答。
交流时，让更多的学生有机会表达自己的想法。
第4题，让学生独立完成。
交流时，说一说用的是哪句口诀。
2017—2018年新西师大版二年级数学下册除法竖式的认识精品教案
除法竖式的认识教学内容：第97页到99页例1、2及课堂活动1、2题。
教学目标：1、知识与技能：利用学生已有知识，教学竖式计算表内除法，了解除法竖式中各部分含义。
2、过程与方法：创设情境，让学生知道计算问题从生活实际中产生、体会到生活中处处有数学。
3、情感、态度与价值观：培养学生学习的兴趣及初步的观察和概括能力。
教学重点：会用竖式计算表内乘法，了解除法竖式中各部分的含义。
教学难点：让学生了解除法竖式中各部分的含义。
教具准备：电脑课件教学方法：主要通过讲解法和学生交流，学生自己总结掌握用除法竖式计算表内除法。
建议：学生根据例1、2的情境，确定用除法来计算，理解除法的意义；再老师或学生介绍除法竖式的写法，并结合具体情境让学生说一说竖式中每一步所表示的意思，以及竖式中各部分的名称。
教学过程设计：开头图片：课件1一、谈话导入1、以前我们学习了平均分，小朋友你们能说说什么是平均分吗？请举例说说。
生：把东西拿来平均分，每份分得一样多。
2、学生当小老师：判断是不是平均分。
（出示课件2）3、平均分用什么方法来表示？生：用除法。
课件显示3（除法）4、今天我们继续学习和除法有关的知识。
二、新课1、教学例1：课件出示4。
师介绍：把12枝花，平均插在3个花瓶里。
问：每一个花瓶插几枝花？学生独立列算式：12÷3=4（枝），（请小朋友到黑板上写算式并计算，集体评价）。
出示课件算式5。
2、教学竖式。
师：我们以前学过加法，减法、乘法的竖式计算，我们的除法也可以利用竖式来计算。
可除法竖式的写法与加法、减法、乘法的竖式不一样，哪儿不一样呢？板书：除法竖式的认识。
课件显示6。
（1）、出示12÷3=4的竖式，请同学们观察，竖式中的“厂”表示什么？（表示除法计算，也可以理解为除号。
我们要先写“厂”）出示课件7。
被除数写在那里的？（写在“厂”里），除数写在那里的？（写在“厂”左边）。
■引导学生编儿歌，说：“竖式中的…厂‟像什么呀？”A、有学生说像“厂”工厂的厂，有学生说像个小房子，为了和后面的句子押韵，就确切说“小房子”。
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《除法竖式的认识》教学设计
教学内容：《除法竖式》是新人教版二年级上册第六单元62页的例3的内容。
教学目标：
1、知识与技能目标：通过平均分小棒的活动，沟通平均分小棒的操作过程与除法竖式之间的关系，使学生掌握除法竖式的书写方法，知道除法竖式中每个数的名称，并理解除法竖式中每个数的含义。
2、过程与方法目标：通过沟通平均分小棒的操作、列除法横式、书写除法竖式之间的关系，使学生体会事物之间的相互关系，感受有余数除法的多种表征方式。
3、情感与价值观目标：在学习知识的过程中，使学生感受数学的严谨性，理解数学的思考方法，培养学生的知识迁移能力。
教学的重难点
本着义务教育新课程标准，在吃透教材基础上，我确定了以下教学重点和难点。
教学重点：除法竖式的书写方法以及理解除法竖式中每一个数的含义。
教学难点：除法竖式中每一部分的含义以及除法竖式的写法与众不同的道理。
为了讲清教材的重难点，使学生能够达到本课题设定的教学目标，我再从教法我学法上谈谈。
教法：考虑到二年级学生的现状，我主要采取快乐探究教学法，让学生积极主动地参与到教学活动中来，使他们在活动中得到认识和体验。
当然老师自身也是非常重要的教学资源。
教师本人应该通过课堂教学感染和激励学生，调动起学生参与活动的积极性，激发学生对解决实际问题的渴望，并且要培养学生以理论联系实际的能力，从而达到最佳的教学效果。
学法：引导学生通过自主探究、合作交流等方法进行学习。
让学生主动参与到学习的过程中，让每个学生都动口、动手、动脑。
老师与学生一起体验成功，使得课堂呈现轻松，活泼的氛围,努力构建快乐探究的教学模式。
教学过程：
一、创设情境，让学生乐学
师：同学们，看看谁来了？（出示喜羊羊图片）
喜羊羊遇到了一个难题，你能帮帮他吗？先让学生帮助喜羊羊解决“用13根小棒，每4根分一组，结果怎样？”的数学问题
教师提示学生用分一分、圈一圈、列式计算解决问题。
学生独立完成，教师巡视指导。
学生操作后交流汇报，预设三种方式圈、摆、算。
［设计意图：有意识地为学生提供鲜活、丰富的素材，组织学生开展源于现
实、寓于现实的数学活动。
让学生沟通符号、图形、语言表征三者之间的关系，体会同一件事可以有不同的表征方式，但含义是相同的。
］
二、尝试解决，让学生乐创
1、整体感知竖式写法。
师：除法也和加、减、乘法一样，可以写竖式。
从而揭示课题：认识除法竖式。
教师随即出示13÷4=3（组）……1（根）这一横式对应的除法竖式，让学生猜测竖式中每个数字表示的意思。
2、沟通平均分操作与除法竖式之间的关系，理解除法竖式中每个数的含义。
教师与学生通过分摆小棒的问题，沟通平均分操作与除法竖式之间的关系，理解除法竖式中每个数的含义。
再用课件演示，得出最后通过直观演示教给学生除法竖式的正确书写方法。
3、掌握除法竖式的书写方法。
1）商，即试商，想除数和几相乘接近（小于或等于）被除数，商就是几，与被除数的个位对齐。
2）乘，即相乘，将除数与商的乘积写在被除数的下面。
3）减，即相减，被除数减去除数与商的乘积
4）比，即对比，余数要比除数小，这是检验得数最直接、有效的方法。
4、解决“如果有16根小棒，每4根分一组，结果怎样？竖式怎么写？”的问题，这是教学表内除法竖式的写法。
由于有了前面有余数除法的竖式作为对比，学生理解起来不是太难，我让学生自己写，然后集体订正。
重点在于使学生理解余数位置为什么写0，并理解0所表示的含义。
三、探讨交流，让学生乐说
1、结合板书，比较两个除法横式和竖式：
（1）学生可清楚的看到，在竖式中，分完了几根小棒，能清楚地看到，而在横式中，分完了几根小棒隐含在横式里，不能直观地看到，突出了除法竖式的优越性。
（2）在横式中，没有余数的，在商后面不写。
在竖式中，没有余数的，在横线下的个位上写0。
2、通过讲解、观察、动手写竖式得出，除法竖式的写法为四步：一商二乘三减四比。
［设计意图：在这整个环节中，都是通过学生分小棒、课件演示、讲解来突破重难点，同时给学生充分的时间和空间，引领他们运用已有的知识、经验和方法去探索、去思考、去发现，从而获取新知。
］
四、理解运用，让学生乐练
师：喜羊羊还带来了他的好朋友，但是必须闯关成功才可以见到他们呢，有没有信心？
1、11根小棒，每3根一组，分一分，分了（）组，还剩（）根。
学生对完成横式并书写竖式。
回答完毕之后，出示一部分喜羊羊朋友图片
2、补充练习
让学生先自己在课本上做，然后让学生到黑板上板演，这样能更直观地了解学生掌握新知的情况，并及时纠正错误。
回答完毕之后，继续出示喜羊羊朋友图片。
3、数学诊所重在巩固学生对除法竖式的掌握和理解。
回答完毕之后，出示全部图片
［设计意图：本环节设置闯关活动，激发学生的学习兴趣。
第1题是针对有余数除法竖式的巩固。
第2题是针对表内除法竖式的练习。
第3题数学诊所通过不同层次的练习，进一步加深学生对除法的认识和除法竖式的理解。
］
五、总结延伸，让学生乐用
谈一谈你有什么收获？
［设计意图：在课的结尾让学生说一说本节课的收获，不但培养学生自我反思的好习惯，而且提高了学生自我梳理知识的能力，让学生享受成功的喜悦。
］板书设计：
除法竖式
3……………商（要对着被除数的个位）
除数…4 1 3…………被除数
1 2 ……4乘3的积
1 ……余数。