概率论与数理统计(4-7章)(高显彩)
概率论与数理统计第四章统计量及其分布（李念伟）
概率论与数理统计第四章统计量及其分布（李念伟）第4章统计量及其分布幻灯片2本章转入课程的第二部分数理统计从历史的典籍中，人们不难发现许多关于钱粮、户口、地震、水灾等等的记载，说明人们很早就开始了统计的工作.但是当时的统计，只是对有关事实的简单记录和整理，而没有在一定理论的指导下，作出超越这些数据范围之外的推断.到了十九世纪末二十世纪初，随着近代数学和概率论的发展，才真正诞生了数理统计学这门学科.数理统计学是通过收集数据、分析数据并以此对所研究的问题推断出所需结论的科学. 数理统计对数据的分析处理要借助于概率论方法和计算机的计算. 计算机的发展为数据处理提供了强有力的技术支持，这就大大促进了数理统计学的发展.数理统计不同于一般的资料统计，它更侧重于应用随机现象本身的规律性进行资料的收集、整理和分析.然而数理统计所考察的数据都带有随机性(偶然性) 的误差. 这就使得根据这种数据所作出的结论具有不确定性.幻灯片 4由于大量随机现象必然呈现出它的规律性，因而从理论上讲，只要对随机现象进行足够多次观察，被研究的随机现象的规律性一定能清楚地呈现出来.4.1 总体与样本一个统计问题总有它明确的研究对象. 我们把所研究对象的全体称为总体.4.1.1 总体与个体总体中包含的每个元素称为个体.如将“一批灯泡的寿命”作为研究对象总体，用X 表示.则灯泡的个数就是总体容量.然而每一个个体在呈现总体共性的同时会呈现出其独有的个性. 随机抽取一支灯泡，其寿命显然不能代表“一批灯泡的寿命”，它只是总体X 的一个取值，因而总体X 是一个随机变量．总体的特征属性必然反映到每一个个体上, 我们通过对个体特征的观测，汇集总体的特征属性.每支灯泡的寿命是由总体寿命X 的分布规律所决定的. 所以对总体的研究就相当于对随机变量X 的研究．X 的分布称为总体分布.幻灯片 6为推断总体的特征，需按一定规则从总体中抽取若干个体进行观测试验，以获得有关总体的信息，这一抽取过程称为“抽样”，所抽取的部分个体称为样本. 样本中所包含的个体数目称为样本容量.4.1.2 样本样本容量为5.抽取5个灯泡测试寿命由于样本是从总体表示中随机抽取的，抽取前不能预知抽取的结果，即样本也是随机变量，通常表示为12,,,()n X X X n 为样本容量2.独立性：X 1,X 2,…,X n 相互独立.由于抽样的目的是为了对总体进行统计推断，为使抽取的样本能很好地反映总体的信息，所以抽样时要使总体中每个个体抽到的机会均等，并且每次抽样的结果不互相影响.这样抽取的样本X 1,X 2,…,X n 满足：1.代表性：样本中每一个X i 都与总体X 的分布相同.这样的样本称为简单随机样本.一旦取得一个样本，就得到的是n 个具体的数据x 1, x 2,…, x n ，称之为样本观测值，简称样本值, 记作(x 1,x 2,…,x n ) .幻灯片 8随机抽样分类1．简单随机抽样：在总体中直接抽取样本.2.分层随机抽样：将总体分类，在不同类中分别抽取样本．3．整群随机抽样：将总体分“块”，将每一块作为一个个体；整块抽样．4．多阶随机抽样：先作整群随机抽样，在抽取得“群体”中再随机抽样.5．系统随机抽样(等距抽样)：将总体随机排序编号，按一定的步长抽样.121(,,,)()nn i i F x x x F x ==∏ 设为取自总体X 的样本，则12,,,n X X X 称为的样本分布函数．12,,,n X X X 对于离散总体X , 其分布列为()()i i i P X x p x ==121(,,,)()nn i i p x x x p x ==∏ 称为的样本分布列．12,,,n X X X 称为的样本密度函数．12,,,n X X X 121(,,,)()nn i i f x x x f x ==∏ 对于连续总体X , 其密度函数为()f x幻灯片 10数理统计具有“部分推断整体”的特征.需要强调说明一点：因此由样本推断总体是“不完全归纳推理”. 它不同于经典数学中的“演绎推理”.即由“条件”并非必然导致“结论”，而我们要做的是使由“条件”导致“结论”的可能性(概率)尽可能大.但客观上我们抽取的样本是有限的，也就是说, 我们获得的只是局部观测资料，它不可能包括研究对象的全部信息. 因而由此作出的推断必然具有一定的片面性.要使由样本推断总体得出的结论可靠性大，就需要对样本进行“加工处理”，即构造一些样本函数，把样本中所含的“有用信息”集中起来.4.2 统计量及其分布4.2.1 统计量与枢轴量定义设是取自总体X 的一个样本，若样本函数g ( )中不包含任何未知参数，则称g ( )为统计量．12,,n X X X 12,,n X X X 12,,n X X X 12(,,)n g x x x 12(,,)n x x x 若是一组样本观测值，则称为统计值.幻灯片 12定义设X 1,X 2,…,X n 是取自总体X 的一个样本, h (X 1,X 2,…,X n ;θ)是含有未知参数θ的样本函数，若h (X 1,X 2,…,X n ;θ)的概率分布已知，则称h (X 1,X 2,…,X n ;θ)为枢轴量.20~(,)X N μσ20σ12,,,n X X X 例1 设总体，其中μ未知，已知，是取自总体的一个样本.11ni i X n =∑2211nii Xσ=∑211()1n ii X n μ=--∑10X nσ-判断统计量和枢轴量.解前两个为统计量，第三个为枢轴量.4.2.2 样本均值与样本方差样本均值样本方差11nii X X n ==∑2211()1n ii S X X n ==--∑它反映了总体均值的信息它反映了总体方差的信息2211()n i i S X X n ==-∑未修正的样本方差幻灯片 14由随机变量X 矩的概念，对于总体X ，若X k 的期望存在(k 为非负整数)，则称E (X k ) 为总体k 阶原点矩. 记作若[X -E (X )]k 的期望存在，则称E [X -E (X )]k为总体k 阶中心矩.记作()k k E X μ=[()]k k E X E X υ=-4.2.3总体矩与样本矩样本k 阶原点矩样本k 阶中心矩11nkiU Xn==∑11()nkk iiV X Xn==-∑k=1,2,…它反映了总体K阶矩的信息它反映了总体K阶中心矩的信息k=1,2,…4.2.3 样本矩幻灯片164.3 抽样分布统计量为样本的函数，由样本是随机变量，故统计量也是随机变量，因而具有概率分布，统计量的分布称为“抽样分布”.抽样分布就是通常的随机变量函数的分布.这一分布取决于统计量的形式. 研究统计量的性质和评价一个统计推断的优良性，完全取决于其抽样分布的性质.4.3.2分布2χ注“自由度”是指能够自由取值的变量的个数.1°X 1, X 2,…,X k 独立, X i ~(n i ),(i=1,2,…,k ),则2χ2121~(...)ki k i X n n n χ=+++∑(2)性质:2°若X~(n ),则有E (X )=n , D (X )=2n 2χ221ni i X χ==∑(1)定义:设独立且同为标准正态分布，则称12,,,n X X X 2χ22~()n χχ服从n 个自由度的分布,记作幻灯片 18(3)的密度函数曲线2()n χ随着n 的增大,曲线逐渐趋于平缓,对称.(n =1)(n =10)xf (x )解(1)2()n χ(2) 由题意得例1(1)设是来自总体的样本,则服从( )分布.12,,,n X X X 2(,)N μσ21()ni i X μσ=-∑(2)设是取自总体N (0,4) 的样本,服从( )分布.1234,,,X X X X 2212340.05(2)0.01(34)X X X X -+-12342~(0,20)34~(0,100)X X N X X N -??-?12340.05(2)~(0,1)0.01(34)~(0,1)X X N X X N ?-??-??2(2)χ即故服从幻灯片 204.3.3 t 分布X T Y n=(1)定义设, 且X ,Y 互相独立,则称2~()Y n χ~(0,1)X N (2) 性质：()0, ()2nE T D T n ==-1°当T ~ t (n )时，2°当n 充分大时，t 分布近似于标准正态分布.~().T t n 服从n 个自由度的t 分布,记作(3)t 分布的密度函数曲线:f (x )x(6)n =(2)幻灯片 22解:91~(0,81),i i X N =∑~(0,1),(1,2,,18),3iX N i = 且181822210101()~(9)39i i i i X Y X χ====∑∑所以1919221018()9~(9)99X X X X U t Y X X++++==++ 19221018X X U X X ++=++ 例2 设随机变量X 服从正态分布，是自总体X 的样本, 则下列统计量服从( )分布.1218,,X X X (0,9)N 与独立,91i i X Y =∑由 9Y ?证明:Z~t (3)11627893221231(),()636()1(),2i i i Y X X Y X X X Y Y Y X X Z Y +==++=++-=-=∑ 证：2212~(,),~(,)63Y N Y N σσμμ212~(0,)2Y Y N σ-122()~(0,1)Y Y N σ-则即例3 设是来总体的样本,19,,X X 2~(,)X N μσ幻灯片 24又232321()~(3)2i i i X X χσ+=-∑233~(0,2),~(0,1)2i i i i X X X X N N σσ++--即则1212233212()6()~(3)()23i i i Y Y Y Y t YX X σσ+=--=-∑定义设0<α<1, 对随机变量X ，称满足αα=>)(x X P 的点为X 的概率分布的上侧分位数. x α故有()1P X x αα=-≤标准正态分布的分位数例如:0.05 1.64u =0.025 1.96u =设X ~ N (0, 1)，为上侧分位数，即对0<α<1,有u α()()1u P X u αααΦ==-则≤u α1α-()P X u αα>=f (x )x幻灯片 262()1P X u αα<=-则有 2u α2u α-2α2α设为标准正态分布的上侧分位数，即2u α2()2P X u αα>=1α-f (x )x例如:20.025(3)9.348χ=20.975(3)0.216χ=2{()}P X n αχα>=即设为分布的上侧分位数2()n αχ2()n χf (x )Ox2()n αχα分布的分位数幻灯片 28对于分布，若取上侧分位数2χ22122(), ()n n ααχχ-此时称为“概率对称”的分位数.22122(), ()n n ααχχ-22{()},2P X n ααχ>=212{()}1,2P X n ααχ->=-使得 xf (x )212()n αχ-22()n αχ2α2α{()}P X t n αα>=即设为t (n )分布上侧分位数，()t n α0.05(6) 1.9432 t =例如 0.025(8) 2.306t =()t n α1α-设为t (n )分布的上侧分位数，2()t n α2{()}2P X t n αα>=即{()}1P X t n αα<=-则有 xf (x )t 分布的分位数幻灯片 30定理1(样本均值的分布)4.3.5 正态总体的抽样分布设X 1,X 2,…,X n 是取自正态总体2(,)N μσ的样本，则有2~(,)X N nσμ~(0,1)X N nμσ-定理2(样本方差的分布)222(1)(1)~(1)n S n χσ--设X 1,X 2,…,X n 是取自正态总体2(,)N μσ的样本,2X S 和分别为样本均值和样本方差,则有2(2).X S 和相互独立222211(1)1()()0.nii nii n S XX XX σσ==-=--=∑∑注：在中，由于受到的限制，故自由度减少一个幻灯片 3222221~();~(1);ni i Z n nZ χχ=∑由 1~(0,1);~(0,)i i X X Z N Z N n μμσσ--==证明：令则2221~(1)ni i Z nZ n χ=--∑则 222221(1)1()()nni i i i X n S X X X μμσσσσ==---=-=-∑∑2.X S 和的独立性利用正交矩阵可证（略）22211()n ni i i i Z Z Z nZ ===-=-∑∑定理3设X 1,X 2,…,X n 是取自正态总体),(2σμN 的样本,2S X 和分别为样本均值和样本方差, 则有~(1)X t n Snμ--22212(1)~(0,1)~(1)X n S N n nμχσσ---证明：由定理和定理，有22~(1)(1)1X X n t n Snn S n μμσσ--=-- -故。
概率论与数理统计第四版第四章
概率论与数理统计第四版第四章
《概率论与数理统计（第四版）》是2008年高等教育出版社出版的图书，作者是盛骤、谢式千、潘承毅。
《概率论与数理统计》是普通高等教育“十一五”国家级规划教材,在2001年出版的《概率论与数理统计》(第三版)的基础上增订而成。
本次修订新增的内容有:在数理统计中应用Excel,bootstrap方法,户值检验法,箱线图等;同时吸收了国内外优秀教材的优点对习题的类型和数量进行了调整和充实。
《概率论与数理统计》是普通高等教育“十一五”国家级规划教材,在2001年出版的《概率论与数理统计》(第三版)的基础上增订而成。
本次修订新增的内容有:在数理统计中应用Excel,bootstrap方法,户值检验法,箱线图等;同时吸收了国内外优秀教材的优点对习题的类型和数量进行了调整和充实。
《概率论与数理统计》主要内容包括概率论、数理统计、随机过程三部分,每章附有习题;同时涵盖了《全国硕士研究生入学统一考试数学考试大纲》的所有知识点。
《概率论与数理统计》可作为高等学校工科、理科(非数学专业)各专业的教材和研究生入学考试的参考书,也可供工程技术人员、科技工作者参考。
第四章随机变量的数字特征
1 数学期望
2 方差
3 协方差及相关系数
4 矩、协方差矩阵。
概率论与数理统计浙江大学第四版盛骤概率论部分
浙江大学 盛骤
2019/3/16
1
概率论与数理统计是研究随机现象 数量规律的一门学科。
2
第一章
• • • • • • 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6
概率论的基本概念
随机试验 样本空间 概率和频率 等可能概型（古典概型） 条件概率 独立性
第二章
• • • • • 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5
第九章 方差分析及回归分析
• • • • 9.1 9.2 9.3 9.4 单因素试验的方差分析 双因素试验的方差分析 一元线性回归 多元线性回归
5
第十章 随机过程及其统计描述
• 10.1 随机过程的概念 • 10.2 随机过程的统计描述 • 10.3 泊松过程及维纳过程
第十一章 马尔可夫链
15
§3 频率与概率
(一)频率 n A； f ( A ) 定义：记 n n 其中 nA—A发生的次数(频数)；n—总试验次 数。称fn ( A)为A在这n次试验中发生的频率。 例：
中国国家足球队，“冲击亚洲”共进行了n次，其中成功了
1 n； 一次，则在这n次试验中“冲击亚洲”这事件发生的频率为
nH
251 249 256 253 251 246 244 258 262 247
fn(H)
0.502 0.498 0.512 0.506 0.502 0.492 0.488 0.516 0.524 0.494
表 2
实验者
德·摩根 蒲丰
K·皮尔逊 K·皮尔逊
n
nH
fn(H)
2048 4040
12000 24000
关键词： 样本空间 随机事件 频率和概率 条件概率 事件的独立性
概率论与数理统计教程(魏宗舒)第七章答案.
. 第七章 假设检验7.1 设总体2(,)N ξμσ~，其中参数μ，2σ为未知，试指出下面统计假设中哪些是简单假设，哪些是复合假设： （1）0:0,1H μσ==； （2）0:0,1H μσ=>；（3）0:3,1H μσ<=； （4）0:03H μ<<；（5）0:0H μ=.解：（1）是简单假设，其余位复合假设 7.2 设1225,,,ξξξ取自正态总体(,9)N μ，其中参数μ未知，x 是子样均值，如对检验问题001:,:HH μμμμ=≠取检验的拒绝域：12250{(,,,):||}c x x x x c μ=-≥，试决定常数c ，使检验的显著性水平为0.05解：因为(,9)N ξμ~，故9(,)25N ξμ~在0H 成立的条件下，00053(||)(||)53521()0.053c P c P c ξμξμ-≥=-≥⎡⎤=-Φ=⎢⎥⎣⎦55()0.975,1.9633c c Φ==，所以c =1.176。
7.3 设子样1225,,,ξξξ取自正态总体20(,)N μσ，20σ已知，对假设检验010:,:HH μμμμ=>，取临界域12n 0{(,,,):|}cx x x c ξ=>，（1）求此检验犯第一类错误概率为α时，犯第二类错误的概率β，并讨论它们之间的关系；（2）设0μ=0.05，20σ=0.004，α=0.05，n=9，求μ=0.65时不犯第二类错误的概率。
解：（1）在0H 成立的条件下，200(,)nN σξμ~，此时0000()P c P αξ⎛=≥=≥⎝⎭10αμ-=，由此式解出010c αμμ-=+在1H 成立的条件下，20(,)nN σξμ~，此时101010()(P c P αβξσμ-⎛=<=<⎝⎭=Φ=Φ=Φ-由此可知，当α增加时，1αμ-减小，从而β减小；反之当α减少时，则β增加。
（2）不犯第二类错误的概率为100.9511(0.650.51(3)0.21(0.605)(0.605)0.7274αβμμ--=-Φ--=-Φ-=-Φ-=Φ=7.6 设一个单一观测的ξ子样取自分布密度函数为()f x 的母体，对()f x 考虑统计假设：011101201:():()00x x x Hf x H f x ≤≤≤≤⎧⎧==⎨⎨⎩⎩其他其他试求一个检验函数使犯第一，二类错误的概率满足2m in αβ+=，并求其最小值。
概率论与数理统计(浙大版)第四章课件PPT课件
10
10
10
x
14166.7(元）
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数学期望的特性：
1.设C是常数，则有E(C) C 2.设X是一个随机变量，C是常数，则有E(CX ) CE(X )
3.设X ,Y是两个随机变量，则有E(X Y) E(X ) E(Y)
将上面三项合起来就是：E(aX bY c) aE(X ) bE(Y) c 4.设X ,Y是相互独立的随机变量，则有E(XY) E(X )E(Y)
其余同理可得，于是Y的分布率为：
期望利润Y 是多少 2？ 0
5 10
pk 0.057 0.205 0.410 0.328
于是 E(Y ) 5.21（ 6 万元）
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例5：设 X (),求E(X )。
解：X的分布律为：P(X k) ke k 0,1,
k! X的数学期望为：
E( X ) k ke
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§1 数学期望
例1：甲、乙两人射击比赛，各射击100次，其中甲、乙的
成绩
如下：
甲 8 9 10
次数 10 80 10
乙 8 9 10
次数 20 65 15
解：计算评甲的定平他均成们绩的：成
绩
好
810
坏。
980 100
1010
8
10 100
9
80 100
10
10 100
9
计算乙的平均成绩：
也称为均值(加权均值)。
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定义：设离散型随机变量X的分布律为：P( X xk ) pk k 1, 2,
若级数 xk pk绝对收敛，则称级数 xk pk的和为随机变量X
k 1
概率论与数理统计第四章
)
(
)
(
)
,
(
Y
D
X
Dபைடு நூலகம்
Y
X
Cov
xy
=
r
=4[E(WV)]2-4E(W2)×E(V2)≤0
01
得到[E(WV)]2≤E(W2)×E(V2). →(8)式得到证明.
02
设W=X-E(X),V=Y-E(Y),那么
03
其判别式
由(9)式知, |ρ xy|=1 等价于 [E(WV)]2=E(W2)E(V2). 即 g(t)= E[tW-V)2] =t2E(W2)-2tE(WV)+E(V2) =0 (10) 由于 E[X-E(X)]=E(x)-E(X) =0, E[Y-E(Y)]=E(Y)-E(Y) =0.故 E(tW-V)=tE(W)-E(V)=tE[X-E(X)]-E[Y-E(Y)]=0 所以 D(tW-V)=E{[tW-V-E(tW-V)]2}=E[(tW-V)2]=0 (11) 由于数学期望为0,方差也为0,即(11)式成立的充分必要条件是 P{tW-V=0}=1
随机变量X的数学期望是随机变量的平均数.它是将随机变量 x及它所取的数和相应频率的乘积和.
=
(1)
)
2
3
(
)
(
-
=
ò
µ
µ
-
dx
x
x
E
j
x
可见均匀分布的数学期望为区间的中值.
例2 计算在区间[a,b]上服从均匀分布的随机变量 的数学期望
泊松分布的数学期望和方差都等于参数λ.
其他
02
f(x)=
01
（4-6）
03
（4）指数分布
北方工业大学 概率论与数理统计电子课件：第四章随机变量的数字特征
x0
0
x0
规定:使用寿命在500小时以下为废品,产值为0元;在500到1000小时
之间为次品,产值为10元;在1000到1500小时之间为二等品,产值为
30元;1500小时以上为一等品,产值为40元,求该种产品的平均产值. 分析:平均产值即为产值的数学期望,所以,先求产值的概率分布.
解:设Y表示产值,Y取值为0,10,30,40,
)
,不妨设a>0,
EY
=
yfY ( y)dy
1 y
a
y f X ( a )dy
a
y a
yy f X ( a )d ( a )
令 y z a
a zf X (z)dz=aEX
3.随机变量函数的数学期望:
定理4.1.1:设X是随机变量,Y=g(X),且E(g(X))存在,则;
(1)若X为离散型,P{X=xn}=pn,n=1,2,...,有 E( g( X )) g( xn ) pn
xf ( x)dx
b
x
1
dx
a ba
1 1 x2 b a b ba 2 a 2
数学期望反映了连续型随机变量的平均取值.
2.数学期望的性质:
(1)E(c)=c;
(2)E(aX)=aE(X);
(3)E(X+Y)=EX+EY (4) 若X与Y是独立的,则E(XY)=EXEY
证明:(2) 离散型 X
解: X的取值为0,1, 2, 3 P{X=0}=1/2
X的概率分布为 X01 2 3
P{X=1}=1/2×1/2=1/4
P 1/2 1/4 1/8 1/8
P{X=2}=1/2×1/2×1/2=1/8 (2)E[1/(X+1)]=1×1/2
《概率论与数理统计》魏魏宗舒版课件
5. 从一批灯泡中任取 一只,测试其寿命.
20
三、样本空间 样本点
定义1.1 对于随机试验E，它的每一个可 能结果称为样本点，由一个样本点组成的 单点集称为基本事件。所有样本点构成的 集合称为E 的样本空间或必然事件，用 表示。
我们规定不含任何元素的空集为不可能事件， 用 表示。
AB 事件A与事件B相等
集合论 空间(全集) 空集 元素 子集 A的补集 A是B的子集 A集合与B集合相等
38
AB事件A与事件B的和 A集合与B集合的并集
AB 事件A与B的积事件 A集合与B集合的交集
AB 事件A与事件B的差 A与B两集合的差集
AB 事件A与B互不相容
A与B 两集合中没有 相同的元素
这场革命为研究新的设想，发展自 然科学知识，繁荣人类生活，开拓了道 路. 而且也改变了我们的思维方法，使 我们能大胆探索自然的奥秘.
6
下面我们就来开始一门“将不定 性数量化”的课程的学习，这就是
7
目录
第一章 事件与概率 第二章 离散型随机变量 第三章 连续型 随机变量 第四章 大数定理与中心极限定理 第五章 数理统计的基本概念 第六章 点估计 第七章 假设检验 第八章 方差分析和回归分析
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第一章
事件与概率
9
1.1 随机事件和样本空间
一、随机现象 二、随机试验 三、样本空间 样本点 四、随机事件的概念 五、随机事件的关系
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一、随机现象
自然界所观察到的现象: 确定性现象 随机现象
1.确定性现象
在一定条件下必然发生 的现象称为确定性现象.
实例
“太阳不会从西边升起”, “水从高处流向低处”, “同性电荷必然互斥”,
概率论与数理统计(叶慈南 刘锡平 科学出版社)第4章 多维随机变量(r.v.)及其分布
O x1
F(x2,y2) -F(x1,y2) -F(x2,y1)+F(x1,y1)
x2 x
4
二、离散型(X,Y)的分布律
设(X,Y)所有可能值为(xi,yj) ，
P{X=xi,Y=yj}=pij (pij ≥0) (i,j=1,2,…) (*)
则称（*）式为(X,Y)的分布律，或X和Y的联合分布律。 可列表为：
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§4.2 边缘分布
一、 边缘分布函数 (X,Y)中，X、Y均为r.v.，它们的分布函数分别记
为FX(x) 和FY(y) ，依次称为二维r.v. (X,Y)关于X和 关于Y的边缘分布函数。
FX(x)=P{X≤x}=P{X≤x,Y≤+∞}=F(x,+∞)
FY(y)=P{Y≤y}=P{X≤+∞,Y≤y}=F(+∞,y)
f (x, y) =
1
− 1(x2+ y2)
e 2 (1 + sin x sin y),
2π
试求关于 X ,Y 的边缘概率密度函数. 解 利用 Γ 函数及奇偶函数的积分性质得
∫ fX ( x) =
+∞ f ( x, y)dy =
−∞
1 e−x2 / 2 , 2π
∫ +∞
fY ( y) =
f ( x, y)dx =
2
一、(X,Y)的分布函数
定义: 设(X,Y)是二维r.v., 对于任意实数x,y, 二元 函数
F(x,y)= P{X≤x,Y≤y}, 称为(X,Y)的分布函数，或X和Y的联合分布函数.
(x,y)
D
即(X,Y)落在D内的概率
O
x
3
性质： 1. F(x,y)关于x,y均为不减函数;
概率论与数理统计教程 魏宗舒等编 第四章
第四章 大数定律与中心极限定理4.1 设)(x D 为退化分布：⎩⎨⎧≤>=0001)(x x x D 讨论下列分布函数列的极限是否仍是分布函数？,2,1},01({)3()};1({)2()};({)1(=-++n nx D n x D n x D 其中解：（1）（2）不是；（3）是。
4.2 设分布函数)(x F n 如下定义：⎪⎩⎪⎨⎧>≤<-+-≤=nx n x n n nx n x x F n 120)(问)(lim )(x F x F n n ∞→=是分布函数吗？解：不是。
4.3设分布函数列)}({x F n 弱收敛于分布函数)(x F ，且)(x F 为连续函数，则)}({x F n 在),(∞-∞上一致收敛于)(x F 。
证：对任意的0>ε，取M 充分大，使有M x x F M x x F -≤∀<≥∀<-,)(;,)(1εε对上述取定的M ，因为)(x F 在],[M M -上一致连续，故可取它的k 分点：M x x x M x k k =<<<<-=-121 ，使有k i x F x F i i <≤<-+1,)()(1ε，再令∞=-∞=+10,k x x ，则有10,)()(1+<≤<-+k i x F x F i i ε（1）这时存在N ，使得当N n >时有10,|)()(|+≤≤<-k i x F x F i i n ε（2）成立，对任意的),(∞-∞∈x ，必存在某个)0(k i i ≤≤，使得),(1+∈i i x x x ，由（2）知当N n >时有ε+<≤++)()()(11i i n n x F x F x F（3）ε->≥)()()(i i n n x F x F x F（4） 由（1），（3），（4）可得εεε2)()()()()()(11<+-≤+-<-++i i i n x F x F x F x F x F x F ， εεε2)()()()()()(1->--≥-->-+i i i n x F x F x F x F x F x F ，即有ε2)()(<-x F x F n 成立，结论得证。
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出题范围：四、 随机变量及其分布 五、 二维随机变量及其分布 六、 随机变量的函数及其分布 七、 随机变量的数字特征一、填空题(3分)30题1•设随机变量 的分布律为：P( i) p[i 1,2,...,0 p 1，则p ____________ . 2•若随机变量 X~N(1.5,4)，贝U P(X 3.5) _______ (已知 (1)0.8413).3•设随机变量服从参数为0.25的指数分布，则的期望为 ________ .2 24•若(X,Y)〜N( 1, 2, 1, 2,)，则 X ~ __________ .5•设随机变量 X,Y 相互独立，X ~ N(1,1), Y ~ N( 2,1)，则 D(2X Y) ____________设随机变量 的分布律为：P( k) C ($k,k 1,2,...,则C ______________ .36•若随机变量 X ~ N(0,1)，贝U P(X 1.24) ____ (已知 (1.24)0.8925 )7•对任意常数a,b 有D(aX b) __________ . &若随机变量 ，相互独立，〜B(n, p) , ~ B(m, p)，则9•已知随机变量X ~ N( , 2)，则X2 2立，且〜N( 1, 1 ),〜N( 2, 2)，则N( 12, 12I)10•设连续型随机变量的概率密度(x)cx 2 0其它1则常数c11•设随机变量 X ~ B(6, p)，已知 P(X 1) P(X 5),则 p12•设X,Y 为随机变量，则有 E(XY)13 •若随机变量 2,14.若F(x)为分布函数，则Jim F(x)ex 0x215.设随机变量X的密度函数f(x) ' »八，则e .0,其他 -------16•已知随机变量X ~ B(n, p) , EX 12, DX 8，则n ________________ .17•设随机变量与相互独立，且服从参数为2的普哇松分布，服从参数为3的指数分布，则D(2 3)= ___________ .18•设随机变量X ~ P( ), 0,且E[(X 2)(X 3)] 2，贝U __________ .19.正态分布的密度函数是 _____________________________ .x20.设随机变量X的密度函数为f (x) Ae , x ，则系数A _______ .21.若随机变量X服从参数为0的泊松分布，若已知P(X 1) P(X 2)，则X的期望E(X) _______ .22.若随机变量X与Y相互独立，则期望E(XY) ______________ .23.设随机变量X 的分布为P(X 0) 0.3,P(X 1) 0.5,P(X 2) 0.2，贝UE(2X) ___________ .24.如果随机变量X只取0, 1两个数，且P(X 0) 2P(X 1)，贝UP(X 0) __________ .25.对任意随机变量X，若EX存在，则E[E(EX)]= ________________ .226.设X服从泊松分布，若EX 6，贝U P(X 1) ____________ .3 4 27.设X和Y为两个随机变量，且P(X 0,Y 0) ,P(X 0) P(Y 0)亍，则P{max( X,Y) 0} __________________ .28.设二维随机变量(X, Y)的分布律为I200.30.10.210O.i0.3则 P{X=Y}= _______________________29.设随机变量X服从参数为3的泊松分布，则E X 3 _______ •30.设随机变量X的分布律为一!_ , a,b为常数，且E(X)=0,则a b= ____________ .P口b 0.4、选择题（3分）10题1 .若随机变量 与 满足cov （ , ） 0则必有（）C . D(X Y) DX DYD . D(XY) DXDY8.设连续型随机变量 的概率密度函数为f （x ），则其一定满足（A . 与不相关B . 与独立C . D( )D . D( ) D( ) 02.已知随机变量 X 服从参数为A . F(x)0, x 0.C. F(x)1 e x, x 0, 0,x 0.1xe ,x 0,B. F(x)0,x 0.x1 e ,x 0, D. F(x)0,x 0.X ~ P(2), Y~ P(3) A .P(2) B.P(3)C . P(5)D .P(1)4.已知随机变量服从二项分布, 且E2.4, D1.44 ,则二项分布的参数， n, p的值为（)A.n 4, p 0.6B. .n 6, p 0.4C.n 8, p 0.3D. .n24, p 0.15 . 1 ~ N(0,4), 2服从期望值为1 2的普哇松分布，则 ( )A. E( 12)1B.D(12)12C. E( 1 2) 0D. D( 1 2)26.设随机变量X - ~N(0,1),X 的分布函数为(x), 贝U P(|X |2）的值为 （ )A . 2[1 (2)]B . 2 ⑵ 1C . 2 (2)D . 1 2 ⑵A . X 与Y 独立B . D(X Y) DX DY 的指数分布，则X 的分布函数为（，且X,Y 相互独立，则 X Y 服从3•若随机变量 ()7.设随机变量X 和Y 不相关，则下列结论中正确的是（⑵X 的分布函数F X ; (3) P(03.若随机变量 X ,Y 相互独立，X ~U[0,0.2], Y~ E(5).求：(1) (X,Y)的联合概率密度函数 f (x, y) ; (2) P(X Y).4.设二维随机变量(X , Y )的分布律为:a/、 kx , 0 x 1 ..5.连续型随机变量 X 的概率密度为： (x)(k,a0,其它又知EX 0.75，求k 和a 的值.6.设二维随机变量(X ,Y )的概率密度为f(x,y)e 0 y，求: 0 其他A • 0 f(X) 1B . f(x)dx 1C .在定义域内单调增D • f(x)9.如果随机变量的密度函数x,0 x(x)2 x,1 0,其它x 2 ,则 P{ 1.5}1.51.5A . o (2 x)dxB .(2 x)dx C .1 .5(x)d1.51(x)dx 10.已知连续型随机变量 X ~ N(3,2)，则连续型随机变量)~ N(0,1)A . X_3C .三、计算题(6-10分，以6分为主)20题1.设随机变量X 的密度函数为f (x)Ae |x|求：(1)系数A ； (2) X 的期望与方差.2.设随机变量X 的概率密度为f xx 1; cx 2,0 0, 其他.求: (1)常数c ；0)(1)边缘密度函数f X (x)与f Y (y)； (2)P(X Y 1).7.已知的概率密度是(x), 6 1，求的概率密度(x).8.某型号灯泡的“寿命” 服从指数分布， 如果它的平均寿命E 100小时，写出的概率密度，并计算P(100120).9. 设连续型随机变量 X 的分布函数为:Ax 2 1求：(1)系数 A ;( 2)X 的概率密度；(3)P{0.3 X 0.7}.10. 设随机变量X 的概率密度为ax 1, 0 x 2; f (x) 卄宀0 , 其它.16.从学校乘汽车到火车站的途中有 3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是 2/5.设 为途中遇到红灯的次数，求 的分布律、分布函数、数学期望和方差.17.将n 个球随机地放入 M 个盒子中去，设每个球放入各个盒子是等可能的， 求有球盒子数X 的期望.18. 设(X,Y )服从区域 A 上的均匀分布，其中A 为由x 轴，y 轴及直线x+=1围成的平F(x)求(1)常数a ；(2) X 的分布函数F(x)； (3) P(1 X 3).2x 011.已知的概率密度是(x) (1 x 2) =ln ，求的概率密度0 其它2x,0 x 112.已知X 的密度函数为f(x)0,其它求Y 2X 的密度函数.(y).13.设二维随机变量(X , Y )的概率密度为f (x, y)kx 0 x y 1 0 其他(1)求常数 k ； ( 2)求 P(X Y 1).(x y)14.设(X,Y)的概率密度为f (x, y)x 0, Y其他.0,问X,Y 是否独立?15.两个随机变量 与，已知D 25，D 36，0.4，计算 D( )和 D( )2面三角形区域，求E( XY).19.设随机变量X在区间(0,2)上服从均匀分布，求随机变量Y X2在区间(0,4)内的概率密度f Y (y).四、证明题(8-10分，以8分为主)4题1.证明：对于任意的常数c，随机变量X有：D(X) E(X c)2(E(X) c)2.12.证明：事件A在一次试验中发生次数X的方差不超过一.。
423.设随机变量〜N(,)，求证：--------------- 服从N(0,1)的分布•2 1 n4.设X1, X2,..., X n独立同分布，E(xj ,D(XJ ，记 X — X i ,n i 1_ _ 2证明:E(X) , D(X) 一.n五、有实际背景的应用题(8-10分，以8分为主)2题1•某地抽样结果表明，考生的外语成绩(百分制) X近似服从正态分布，平均成绩(即参数之值)为72分，96分以上的占考生总数的2.3%,试求考生的外语成绩在60分至84分之间的概率•( (1) 0.8413.2 , X 1, 2.某公司生产的机器其无故障工作时间X (单位：万小时)有密度函数f(X) x 公0,其他.司每售出一台机器可获利1600元，若机器售出后使用1.2万小时之内出故障，则应予以更换，这时每台亏损1200元；若在1.2到2万小时之间出故障，则予以维修，由公司负担维修费400元；在使用2万小时以后出故障，则用户自己负责.求该公司售出每台机器的平均获利.。