最小二乘法估计量的性质(高斯—马尔可夫定理的初步证明)
第4章 最小二乘估计量的性质
因为
A XX XA XX X A XX XA XXX
1 1
1
Байду номын сангаас1
1 1 1 1 AA XX XA AXXX XX XXXX
AA XX 0
第4章
最小二乘估计量的特征
在满足基本假设的情况下，其结构参数的 普通最小二乘估计、最大或然估计及矩估计仍具 有： 线性性、无偏性、有效性。 同时，随着样本容量增加，参数估计量具有： 渐近无偏性、渐近有效性、一致性。
1、线性性
ˆ ( X X) 1 X Y CY β
其中,C=(X′X)-1 X′为一仅与固定的X有关的行 向量
1
所以
Var B 0 VarB AA 2 XX 2
1
AA XX 2 0
1
高斯—马尔可夫定理(Gauss-Markov theorem) 在给定经典线性回归的假定下，最小 二乘估计量是具有最小方差的线性无偏估计 量。
2、无偏性
ˆ ) E (( X X ) 1 X Y ) E (β E (( X X ) 1 X ( Xβ μ )) β ( X X ) 1 E ( X μ ) β
这里利用了假设: E(X′)=0
3、有效性（最小方差性）
其中利用了
ˆ ( X X) 1 X Y β
( X X ) 1 X ( Xβ μ) β ( X X ) 1 X μ
和
) 2I E (μμ
如果在上面以A替代 令 B0 AY
B0 X）= σ 2 AA' 则Var（
X X
'
1
高斯马尔可夫假设下ols估计量
高斯马尔可夫假设下ols估计量摘要：1.高斯- 马尔可夫定理的背景和条件2.OLS 估计量的定义和性质3.高斯- 马尔可夫定理下的OLS 估计量4.结论和应用正文：一、高斯- 马尔可夫定理的背景和条件高斯- 马尔可夫定理是线性回归分析中的一个重要定理，它描述了在一定假设条件下，最小二乘法（OLS）估计量的性质。
在经典线性回归模型中，我们通常假设观测数据符合正态分布，即误差项服从正态分布，这一假设被称为高斯分布假设。
此外，我们还需要假设线性回归模型中的参数满足马尔可夫假设，即参数之间的关系是线性的。
二、OLS 估计量的定义和性质OLS 估计量，即最小二乘法估计量，是一种用于求解线性回归模型参数的方法。
通过最小化观测数据的预测误差的平方和，我们可以得到参数的最佳值。
OLS 估计量具有以下性质：1.无偏性：OLS 估计量是参数的真实值的无偏估计，即E(估计值) = 真实值。
2.最小二乘性：OLS 估计量是使预测误差平方和最小的参数值。
3.线性性：OLS 估计量具有线性性质，即当模型参数发生变化时，估计量会按照相应的比例发生变化。
三、高斯- 马尔可夫定理下的OLS 估计量在高斯- 马尔可夫假设条件下，根据高斯- 马尔可夫定理，OLS 估计量是最优的线性无偏估计量。
这意味着在所有可能的线性无偏估计量中，OLS 估计量具有最小的预测误差平方和。
这一结论为OLS 估计量的广泛应用提供了理论依据。
四、结论和应用高斯- 马尔可夫定理为我们提供了在特定假设条件下，如何求解线性回归模型参数的最佳值的理论指导。
在实际应用中，我们通常使用OLS 估计量来求解回归模型参数，而高斯- 马尔可夫定理为我们提供了这一方法的理论支持。
《计量经济学》试题及答案大全(二)
《计量经济学》试题及答案第一章绪论一、填空题：1．计量经济学是以揭示经济活动中客观存在的___数量关系_______为内容的分支学科，挪威经济学家弗里希，将计量经济学定义为______经济理论____、______统计学____、___数学_______三者的结合。
2．数理经济模型揭示经济活动中各个因素之间的____理论______关系，用______确定____性的数学方程加以描述，计量经济模型揭示经济活动中各因素之间的____定量_____关系，用_____随机_____性的数学方程加以描述。
3．经济数学模型是用___数学方法_______描述经济活动。
第一章绪论4．计量经济学根据研究对象和内容侧重面不同，可以分为___理论_______计量经济学和___应用_______计量经济学。
5．计量经济学模型包括____单方程模型______和___联立方程模型_______两大类。
6．建模过程中理论模型的设计主要包括三部分工作，即选择变量、确定变量之间的数学关系、拟定模型中待估计参数的取值范围。
7．确定理论模型中所包含的变量，主要指确定__解释变量________。
8．可以作为解释变量的几类变量有_外生经济_变量、_外生条件_变量、_外生政策_变量和_滞后被解释_变量。
9．选择模型数学形式的主要依据是_经济行为理论_。
10．研究经济问题时，一般要处理三种类型的数据：_时间序列_数据、_截面_数据和_虚变量_数据。
11．样本数据的质量包括四个方面_完整性_、_可比性_、_准确性_、_一致性_。
12．模型参数的估计包括_对模型进行识别_、_估计方法的选择_和软件的应用等内容。
13．计量经济学模型用于预测前必须通过的检验分别是_经济意义检验、_统计检验、_计量经济学检验和_预测检验。
14．计量经济模型的计量经济检验通常包括随机误差项的_异方差_检验、_序列相关_检验、解释变量的_多重共线性_检验。
15．计量经济学模型的应用可以概括为四个方面，即_结构分析_、_经济预测_、_政策评价_、_检验和发展经济理论_。
gauss markov定理
gauss markov定理
高斯-马尔可夫定理是统计学中的一个基本原理，它断言在最小二乘意义下，正态误差的线性回归模型的最佳估计 (即：最小方差无偏估计) 是回归系数的线性无偏估计。
该定理是由高斯和马尔可夫独立提出的，因此被称为高斯-马尔可夫定理。
它的核心思想是：如果我们要对一个线性回归模型进行回归分析，并且假设误差项是独立、正态分布的，那么最小二乘估计得到的回归系数是无偏估计，并且具有最小方差。
因此，高斯-马尔可夫定理是线性回归模型中最优估计理论的基石。
高斯马尔可夫假设下ols估计量
高斯马尔可夫假设下OLS估计量1. 引言在统计学中，最小二乘法（Ordinary Least Squares, OLS）是一种常用的参数估计方法，用于拟合线性回归模型。
OLS估计量是基于高斯马尔可夫假设（Gauss-Markov assumption）下的一种无偏、一致且有效的估计方法。
本文将详细介绍高斯马尔可夫假设以及在该假设下的OLS估计量。
2. 高斯马尔可夫假设高斯马尔可夫假设是线性回归模型的关键假设之一，它包括以下几个假设条件： - 线性关系：自变量和因变量之间存在线性关系。
- 零条件均值：在给定自变量的条件下，误差项的条件均值为零。
- 同方差性：误差项的方差在所有自变量取值下都相等。
- 无自相关性：误差项之间不存在相关性。
- 无外生性：误差项与自变量之间不存在相关性。
高斯马尔可夫假设的核心是零条件均值和无自相关性。
零条件均值意味着在给定自变量的条件下，误差项的平均值为零，即误差项不受自变量的影响。
无自相关性意味着误差项之间不存在相关性，即任意两个误差项之间的协方差为零。
3. OLS估计量OLS估计量是基于高斯马尔可夫假设下的一种参数估计方法。
它通过最小化残差平方和来确定模型的参数估计值。
具体而言，OLS估计量的计算公式如下：β̂=(X T X)−1X T Y其中，β̂表示参数估计值，X是自变量的矩阵，Y是因变量的向量。
通过求解上述公式，可以得到使残差平方和最小化的参数估计值。
OLS估计量的优点在于它是无偏、一致且有效的。
无偏性指的是在样本趋于无穷大时，估计值的期望等于真实参数值；一致性指的是在样本趋于无穷大时，估计值以概率1收敛于真实参数值；有效性指的是在所有线性无偏估计中，OLS估计量具有最小的方差。
4. OLS估计量的性质OLS估计量在高斯马尔可夫假设下具有以下性质： - 线性性：OLS估计量是自变量的线性函数。
- 无偏性：在高斯马尔可夫假设下，OLS估计量是参数的无偏估计量。
参数最小二乘估计量的统计性质
ˆ
பைடு நூலகம்
(1 n
x
ki)
yi
(1 n
x
ki)(
xi
ui)
(
1 n
x
k i) ui
(2.3.7)
(2.3.7)表明 ˆ 是ui的线性函数。
二、无偏性
由(2.3.3)知 ˆ ki ui ，取期望值便有
E(ˆ ) ki E(ui)
(2.3.8)
其中E(ui) = 0，(2.3.8)表明 ˆ 是β的无偏估计量。
此时 ˆ* 与最小二乘估计量 ˆ 相等：
ˆ* ci yi ciki ki yi ˆ (2.3.15)
将此结果代入(2.3.14)便有
V (ˆ*)
2 u
k
2 i
2 u
xi2
此结果与(2.3.10)式相同。
(2.3.16)
对于ˆ 的最小方差性的证明与 ˆ 的证明完全类
似，请读者自己完成。
这样我们证明了，只要经典回归模型的假定2—5 满足，回归参数的最小二乘估计量就是线性、无 偏、最佳估计量，简称为最佳线性无偏估计量 (BLUE: best linear unbiased estimators)。这一 结论就是著名的高斯-马尔可夫 (Gauss Markov) 定理。 无偏性与最佳性结合起来构成了估计量好坏的重要 标志。由于最小二乘估计量的最佳线性无偏估计量 的特性，才使得最小二乘法得到了广泛的应用。
足条件
ci 0
ci xi 1
(2.3.13)
下面我们将在满足（2.3.13）的前提下，寻求 ˆ*
的最小方差：
V
(ˆ*)
V
(
ci
yi)
2 u
ci2
最小二乘法估计量的性质(高斯—马尔可夫定理的初步证明)
高斯—马尔可夫定理:若一元线性模型满足计量经济基本假设，则参数的最小二乘估计(OLS)是最小方差的线性无偏估计。
（BLUE )最小二乘法估计量OLS 的性质（高斯—马尔可夫定理的初步证明）1．线性性：0ˆβ和1ˆβ都是i y 的线性函数证明：ini nj j i n j jni iiy x x x x x x y x x∑∑∑∑====--=--=1121211)()()()(ˆβΘ ；令∑=--=nj ji i x xx x k 12)()(则有i ni i y k ∑==11ˆβ ，且有=∑ik，1=∑ii xk ，∑∑=-=ni ii x xk 122)(1从而1ˆβ是i y 的线性函数；同理，0ˆβ＝=-x y 1ˆβi i i i n i i y k x n y k x y n ∑∑∑⎪⎭⎫⎝⎛-=-=111令i i k x nw ⋅-=1，则有：i i y w ∑=0ˆβ，即0ˆβ也是iy 的线性函数。
另有：1=∑iw ，0=∑ii xw2. 无偏性：0ˆβ和1ˆβ都是0β、1β的无偏估计量； 即有：(),ˆ0ββ=E ()11ˆββ=E证明：先证()11ˆββ=EΘ ()i i i i n i i u x k y k ++==∑∑=1011ˆβββ， 又Θ0=∑ik，1=∑i i x k()∑∑∑=++===i i i i i ni i k u x k y k 01011ˆββββ+∑∑+i i i i u k x k 1β =∑+i i u k 1β()()1101ˆββββ=++⋅=∑∑∑i i i i i u E k x k k E(因为:0=∑ik，1=∑i i x k )同理，利用1=∑i w 和0=∑i i x w 可证得(),ˆ00ββ=E3. 最优性或最小方差性：在所有的线性无偏估计中，0ˆβ和1ˆβ分别是0β、1β的方差最小的有效估计量 证明：若1~β是原值1β的一个线性无偏估计（方差条件不限），且记∑=i i y c 1~β（∵线性估计），再根据无偏估计的特性，有：∑∑==1,0i i ix c c。
高斯-马尔科夫定理的内容解释
高斯-马尔科夫定理的内容解释嘿，朋友！咱们今天来聊聊高斯-马尔科夫定理。
这可是个在统计学里相当重要的家伙呢！你想想，咱们平常做研究、搞调查，总得从一堆乱糟糟的数据里找出点儿有用的规律和结论吧？这时候高斯-马尔科夫定理就像个神奇的指南针，能给咱们指明方向。
这个定理说呀，在线性回归模型中，如果一些条件满足了，那普通最小二乘法估计出来的回归系数就是最优线性无偏估计。
啥意思？简单说就是，在一定的前提下，用普通最小二乘法算出来的那些数，是又好又准的！就好比你要去一个陌生的地方，有好多条路可以走。
这普通最小二乘法就像是那条最直、最短、能最快带你到达目的地的路。
其他方法可能也能到，但要么绕远了，要么走偏了。
那到底要满足啥条件呢？比如说误差项的均值得是零，而且它们得相互独立，方差还得是常数。
这就像一群调皮的孩子，得守规矩，不能乱跑乱闹，不然整个局面就乱套啦。
再比如说，解释变量得和误差项不相关。
这就好像你做饭的时候，盐不能和糖混在一起，不然味道就不对啦！你可能会问，这定理有啥用啊？用处可大了去了！比如说在经济学里，咱们要研究某个因素对经济增长的影响，用这个定理就能帮咱们找到比较靠谱的结论。
在实际生活中，不也经常会遇到类似的情况吗？比如你想知道多锻炼是不是能让身体更健康，多学习是不是能考更高的分。
通过合理运用这个定理，就能让咱们的判断更准确，不容易被错误的信息给忽悠了。
你看，高斯-马尔科夫定理就像一位深藏不露的智者，默默地为我们在数据的海洋中指引方向，让我们不至于迷失。
咱们可得好好把它学明白，用起来，让它为咱们的研究和生活服务！总之，高斯-马尔科夫定理是统计学中的一颗璀璨明珠，咱们得好好珍惜，把它的光芒发挥到最大！。
简单线性回归模型试题及答案
第二章 简单线性回归模型、单项选择题:1、回归分析中定义的（B ）C 、解释变量和被解释变量都为非随机变量D 解释变量为随机变量，被解释变量为非随机变量 &下面哪一个必定是错误的（ C ）。
A Y?=30+0.2X i ,以丫 =0.8B 、= —75 + 1.5X i ,気=0.91 C 2.1X i , r XY =0.78 D 、 Y? = —12 —3.5X i , r XY = —0.969、 产量（X ,台）与单位产品成本（Y ,元/台）之间的回归方程为Y? = 356 -1.5X ，这说明（D 。
A 产量每增加一台，单位产品成本增加356元B 、产量每增加一台，单位产品成本减少1.5元C 、产量每增加一台，单位产品成本平均增加 356元D 、产量每增加一台，单位产品成本平均减少1.5元10、 回归模型Yi 八。
「X i , i = 1 ，…，25中，总体方差未知，检验H 。
： r =0时，所用的检验 统计量 —L 服从（D 。
S目A 2（n -2）B 、t （n-1）C 、2（n"）D 、t （n-2）11、 对下列模型进行经济意义检验，哪一个模型通常被认为没有实际价值的（ B ）。
A 、Ci （消费）=500弋.8^ （收入）B 、Qdi （商品需求）=10・0.81［（收入）0.9Pi （价格）CQ si （商品供给）二20（价格）D Y （产出量）765K 役（资本）L ："（劳动）12、进行相关分析时，假定相关的两个变量（A ）。
A 、解释变量和被解释变量都是随机变量2、 A 3最小二乘准则是指使（ D n Z （Y t -Y ） B 下图中“{”所指的距离是（ ）达到最小值的原则确定样本回归方程。
nE Y -Y? C 、max Y r -Y Dt -1n、' (Y t -Y?)2t 丄 5、 6、 线性 B 、无偏性 C、有效性 D参数-的估计量？具备有效性是指（B ）Var （ ?） =0 B 、Var （ ?）为最小 C 亠0反映由模型中解释变量所解释的那部分离差大小的是 总体平方和 B 、回归平方和 C 、残差平方和7、 (B )。
最小二乘估计量的性质
第三节 最小二乘估计量的性质三大性质：线性特性、无偏性和最小偏差性 一、 线性特性的含义线性特性是指参数估计值1ˆβ和2ˆβ分别是观测值t Y 或者是扰动项t μ的线性组合，或者叫线性函数，也可以称之为可以用t Y 或者是t μ来表示。
1、2ˆβ的线性特征证明 （1）由2ˆβ的计算公式可得： 222222()ˆt tttt ttttttt tt tt x y x Y x Y xxx xx x x x β--===⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑Y Y Y Y需要指出的是，这里用到了因为t x 不全为零，可设2tt tx b x =∑，从而，t b 不全为零，故2ˆt t b β=∑Y 。
这说明2ˆβ是t Y 的线性组合。
（2）因为12t t t Y X ββμ=++，所以有()212122ˆt t t t t t t t t t t tb b X b b X b b βββμββμβμ==++=++=+∑∑∑∑∑∑Y这说明2ˆβ是t μ的线性组合。
需要指出的是，这里用到了220t t t t t x x b x x ===∑∑∑∑∑以及 ()2222222201t t tt t t tt ttttttttx x X x b X X x x x x X x X x x x x x⎛⎫+⎪== ⎪⎝⎭++==+=∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑2、1ˆβ的线性特征证明 （1）因为12ˆˆY X ββ=-，所以有 ()121ˆˆ1t t t t tY X Y X b nXb n ββ=-=-⎛⎫=- ⎪⎝⎭∑∑∑Y Y这里，令1a Xb n=-，则有1ˆt a β=∑Y 这说明1ˆβ是t Y 的线性组合。
（2）因为回归模型为12t t t Y X ββμ=++，所以()11212ˆt t t t t t t t t ta a X a a X a βββμββμ==++=++∑∑∑∑∑Y因为111t t t a Xb X b nn⎛⎫=-=-=⎪⎝⎭∑∑∑∑。
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最小二乘法估计量的性质（高斯—马尔可夫定理的初
步证明）
高斯马尔可夫定理: 若一元线性模型满足计量经济基本假设，
则参数的最小二乘估计(OLS) 是最小方差的线性无偏估计。
（BLUE) 最小二乘法估计量 OLS 的性质（高斯马尔可夫定理的
初步证明） 1．线性性：
0 和1 都是iy的线性函数证明：
；
令=j=njiixxxxk12)()( 则有 iniiyk==11 ，且有0=ik，
1=iixk，=i=niixxk122)(1 从而1 是iy的线性函数；同理， 0 ＝
令iikxnw=1，则有：
iiyw=0，即0 也是iy的线性函数。
另有：
1=i w，0=iixw 2. 无偏性：
0 和1 都是0 、1 的无偏估计量；即有：
( )=,00=E ( )11=E 证明：
先证 ( )11E ，又，
1=iixk ()=i=++==iiiiinikuxkyk01011+1 +iiiiukxk ==+iiuk1 ( )(因为: ( )u1101=++=i0iiiiiEkxkkE =ik，1ixk) 同理，利用
1=i w和0=iixw可证得 ( ),00=E 3. 最优性或最小方差性：在所有的线性无偏估计中，0 和1 分别是0 、1 的方差最小的
1 / 2
有效估计量证明：
若1~ 是原值1 的一个线性无偏估计（方差条件不限），且记=iiyc1~（∵线性估计），再根据无偏估计的特性，有：再记P==111==1, 0iiixcc。
()iiiykc~，则有11~+= P ( )Cov(+)),(2)()(),(2),(),(),(~,~~1111111111PCovDPDPCovCovP PPPCovCovD++=+=++== 如果能证明0),(1=PCov，则利用方差不小于 0 的性质，判定)()()()~(111DDPDD+=，1 即为所有无偏的线性估计中方差最小的。
∵2u2i2u1)())((),)((),(iiiiiiiiiikkckkcykykcCovPCov=== 又∵=j=njiixxxxk12)()( 且有：
0=ik，1=iixk，=i=niixxk122)(1 所以0)(1)(1212112i===j=j=i=injnjnniiiiixxxxxcxckkc，0),~((1 =PCov, 有：
)()()()111DDPDD+=，命题得证。
（此处利用了==1, 0iiixcc）。