应用Matlab模拟光的夫琅禾费衍射的研究

应用Matlab模拟光的夫琅禾费衍射的研究

摘要：光的衍射是一种非常重要的光的物理现象。它指的是：光将障碍物绕过，偏离直线传播路径，然后进入阴影区里的现象。它也是光的波动表现的一种现象。衍射系统的组成有三个部分，它们分别是：光源、衍射屏、接收屏(用来接收衍射图样的屏幕)。通常情况下，我们根据衍射系统当中三个组成部分之间相互距离的大小，将衍射现象分为两类：一类叫做菲涅耳（Fresnel）衍射，剩下的一类叫做夫琅禾费(Fraunhofer,)衍射。

此文通过Matlab软件，进行编程，进而对夫琅禾费衍射过程进行模拟。然后给出衍射光强分布图形，又通过对光的波长、焦距、缝宽等因素的改变,得到了衍射光强的分布和它的变化规律，并在理论上作出了合理的解释。从而帮助我们更深刻的理解光的波动性原理。

关键词：Matlab;衍射；光学实验

目录

1 绪论 (1)

1.1光的衍射现象 (1)

1.2 Matlab模拟的意义 (1)

2 光的衍射理论 (3)

2.1 惠更斯原理 (3)

2.2 惠更斯——菲涅耳原理 (3)

3夫琅禾费衍射原理 (4)

3.1 夫琅禾费单缝衍射 (4)

3.2 夫琅禾费双缝衍射 (5)

4 夫琅禾费衍射模拟 (6)

4.1 单缝 (6)

4.2 矩孔 (12)

5 总结 (15)

参考文献 (15)

1 绪论

1.1光的衍射现象

自然界之中有一些光的现象，它们与人们已经发现的光的直线传播现象并不是百分百符合。这些现象相继在17世纪之后被科学家们发现。这就是由光的波动性表现出来的。在这些现象之中，人们第一个发现的光的现象便是衍射现象，而且还在发现的同时做了些实验与理论的研究和探讨。

第一次成功发现衍射现象的科学家是意大利的物理学者格里马第。在他的一部著作里描写了这样一个实验：让光通过很小的一个孔后射入到一个暗室里面，利用这种方法来形成点光源，然后在光路上面放置根直杆。这时发现了两个特殊的现象：一个是影子，它投在白色的屏幕之上，以光的直线传播理论假定的影子要比它的宽度要小；另一个就是在这个影子的边缘还呈现出大约2、3个条带，条带是彩色的，随着光的增强，增强到很强的时候，这些条带甚至进入影子里。此后，格里马第还在一个不透明的板上面挖一个圆孔，用它来代替直杆，这样就会在屏幕上就呈现一亮斑出来，然而亮斑的大小要比光线沿直线传播的时候稍微大一些。

“衍射”这个词汇就是在这个时候正式被定义到光学当中，格里马第用它来命名光线会绕过障碍物边缘的现象。可惜的是，格里马第并没有能够正确解释这一现象。一方面，他知道他所观察出的衍射现象与光的直线传播和光的微粒说两中当时处在统治地位的学说相矛盾；另一方面，他自己认为的观点是，光是一种稀薄而且感觉不到的光流体，在光遇到障碍物的时候，就会引起流体波动。

除此之外，有关与光的衍射的现象，胡克前辈也曾观察到。《显微术》是一个物理光学的初始建立的标志，它就是胡克著作的。在这本书中，写了在几何阴影中光衍射的现象。另外一个重复衍射实验的学者是牛顿。他的实验是仔细观察屏幕边缘、毛发影子等。在这些实验中，他得出了这样的结论：粒子能够同物体的粒子相互作用，且在它们通过这些物体的边缘时发生倾斜。

最终，光的衍射的正式定义为：光在传播过程中，遇到障碍物或小孔（窄缝）时，它有离开直线路径绕道障碍物阴影里去的现象。

1.2 Matlab模拟的意义

在工程设计的领域之中，我们在理论的分析、物理上做实验后面，观察客观世界的规律性方面又发现一种新型手段：即计算机仿真科学。

仿真程序是实现计算机仿真过程的凭借。运行仿真模拟程序时：第一，模型要研究系统的相关特性，并且针对它们来设定出定量的参数值；第二，我们命令有关研究模型的一些变量变化，当然要在已经规定的变化范围之中；第三，计算；第四，得出这些系统通过计算求出来的各种结果、情况；第五，让参数值不断变化，然后得出相应情况下的结果。

计算机仿真程序用有很多的功能，最大的在运行情况下的功能如下：

（1）计算机能够演示出来系统在运行的时候的整体过程以及此过程当中出现的各个现象、状态；

（2）计算机的拥有高速运算的能力。借助计算机的这个能力，我们能够反复的输入的实验条件、系统参数。从而极大的提高了实验的效率。

由此可以得出，用计算机来模拟：近代制性更好（用参数的调整即可实现），完全没有破坏性（器械和事故都不会因为设计上出现不合理而损坏和发生），可以重复出现（像湿度、温度等随机因素的影响可以排除），观察性更强（在现实实验中根本没有办法观察或很难观察到的现象能够被观察到，从而节省很多耗费在实验上的物力人力），模拟可以看成是研究的基础，模拟的效果达到了一般才会去研发。

Matlab软件是目前应用最广泛的计算机仿真程序之一，它是由MATrix和LABoratory两词的前三个字母组合从而形成的。它的寓意是：“矩阵实验室”。

Cleve Moler(新墨西哥大学计算机系主任)为讲解线性代数编写了程序，后创建Mathworks公司。由1982年Mathworks公司推出了Matlab软件。1984年Mathworks公司把Matlab软件正式推向市场。从此，这个软件的内核编写用C语言，并且填加了数据图视功能。而且C语言的本身就可以进行数值的计算。1997年，Matlab5.0版问世，很快就是5.1、5.2以及2003年的6.5版。

Matlab发展到今天，它的数据结构和类型比以前丰富，面向对象比以前友善，图形可视比以前快速精良，数学和数据分析资源比以前广阔、应用开发工具比以前多。Matlab是一种“高高级”语言，面向工程和科学，可以进行图形显示、数值分析、信号处理、矩阵运算，并且构成方便和界面友好的用户环境。在求特定学科问题的方面，它还有相应的工具箱。其特点是：可扩展性、强大的运算功能、易学易用高效性、良好的开放性、函盖广泛的专业领域——工具箱。Matlab因其大量的特点，在研究单位、工业部门中广泛的应用与解决研究相关的工程问题。有“第四代计算机语言”的美誉。

2 光的衍射理论 2.1 惠更斯原理

波面上的每一点都是一个次级球面波的子波源，如图1点光源的传输示意图所示。因为子波的波速与频率与初级波的波速和频率相同。所以在这以后的每一时刻当中，这个时刻总的波动的波面就构成了子波波面的包络。它的核心的思想是：介质中任一处的波动状态是由各处的波动决定的。

惠更斯原理可以对光的直线传播、折射、反射等现象进行较好的解释。不过，相对来说，原始的惠更斯原理就更加粗糙。所以，它解释衍射现象还是比较困难的。而且用惠更斯原理推倒还会出现倒退波（这个显然不存在）。

点光源的传输示意图图 1

2.2 惠更斯——菲涅耳原理

在惠更斯原理（Huygens principle ）的基础上，进一步发展，就有了惠更斯-菲涅耳原理（ Huggens-Fresnel principle ）。在解释光的传播规律的光的波动理论中，惠更斯-菲涅耳原理是基本原理。创立光的波动说的时候，荷兰物理学家克里斯蒂安·惠更斯（Christiaan Huygens ）首先将它提出。它是研究衍射现象的理论基础，也是求解波（特别是光波）的一种近似方法。

惠更斯于1678年在给巴黎科学院的信和中，阐述了他的光波动原理。 之后， 奥古斯汀-让·菲涅尔（Augustin-Jean Fresnel ）于1815年，补充了惠更斯原理：加入了波的相干性（在考虑各次波到达某点的作用的时候，一起考虑次波之间的位相关系）到里面。

菲涅耳在它的基础上，添加了一些定量表示式，这些表示式是用来描述次波的基本特征（位相和振幅）的，并且加入“次波相干叠加原理”。进一

波源

R t 1s

步将这个原理发展成了惠更斯——菲涅耳原理。这个原理的内容表述如下：由面积元dS发出的各次波如图所示，它的振幅和位相同时满足下面的四个假设：

(1)在波动理论中，波面是一个等位相面。所以，我们能够将所有dS面上发出的次波的初位相看作相同(并且可以假设它是零)。

(2)次波在P点引起的振动的振幅与r成反比。

(3)面元dS发出的次波，在P点的振幅于dS的面积成正比,并且与倾角θ有关。

(4)P点次波的位相，由光程nr来决定。

由于惠更斯——菲涅耳原理并不是严格的理论上的产物，在较大的程度上，它是凭科学家们朴素的直觉得到的。而且对于倾斜因子来说，它也没有办法给出具体的函数形式。

3夫琅禾费衍射原理

3.1 夫琅禾费单缝衍射

在衍射角=0的情况下，因为所有的光在经历缝面AB到会聚点0时都是相同的光程，所以它们的振动是同位相的。

所以，所有的衍射线在O点所引出的振动振幅的和就是此点合振动的振幅。因而，O点的合振动强度最大，振幅也最大。

从而，在O点呈现出明纹，因为位置在屏幕的中央，这个条纹也叫中央明纹。

我们假设会聚于屏幕上的某点P的一束衍射光,它和屏幕中心O 点的距离是x。

就光程差来说，在单缝上面的其它各点所发出的子波都小于AC.

子波在其它的位置上的时候:

我们来作此光过B点的同相面BC, 只是在波从AB面转到BC面的时候，产生同相面AB发出的子波到P点的光程差。

A点发出的子波比B点发出的子波多走的光程是asinθ。

单缝衍射的特点：

1）主极大

在屏幕上，相同θ角的地方拥有的光强相同，导致相互平行的条纹出现在屏上，成为它的衍射图样。这些条纹平行于狭缝。在θ=0的地方，因为没有光程差，各衍射光线相干加强，因而光强最大。

2）次级大

屏上光强分布上有中央主极大，还有次级大。次级大的位置可以通过计算来得出：

,47.3,46.2,43.1ππ±±±=a （1）

3）暗纹位置 它满足下面关系

() ,2,1=±=k k a π （3） () ,2,1sin =±=k k a πθ （4） 4）明纹角宽度

由于其间明纹的角宽度是指相邻暗纹的角距离，所以中央主极大的半角

3.2 夫琅禾费双缝衍射

衍射利用惠更斯——菲涅耳原理。它让光穿过矩孔或者狭缝，从而利用矩孔或者狭缝来将一个向外的波动分成很多向外的波动。波动通过矩孔或者狭缝的时候，会被分成很多波动，然后各自分别平行行进，后面跟着的波动亦是如此。我们把屏幕放在波动的行经路线上，就可以观测到成像条纹。此办法应用的就是如上所述的这个原理。

由于夫琅禾费双缝衍射数学上并不复杂，实验设置可以很准确地找出入射单色光的波长，障碍物是两个相距很近的细狭缝时的夫琅和费衍射。两个狭缝，宽度一样并且都是a ，中间隔上宽度为b 的不透光部分。平行光照射此双缝，在L2的焦平面上可得到夫琅和费双缝衍射图样。图样的形成机制可看为两步，首先，若两个缝分别打开，它们将分别形成单缝衍射图样，图样的形状，位置和强度都是完全相同的。第二步，两个缝同时打开，则屏上某点P 的总振幅是每个缝形成的振幅的合成，是干涉的结果。由于此二缝对应点的间距为

b a + （6）

到屏上某点P 的光程差为

()θsin b a + （7）

故在θ角满足

()() 2,1,0sin ±±==+k k b a λθ （8）

时，屏上光强有极大值，形成明条纹，K 为干涉条纹级数，其总振幅是单缝在该点产生的振幅的二倍。但需注意，若此θ角的值同时满足

λθk a =sin （9）

则单缝在该点产生的振幅为零，K 级干涉条纹将消失，就形成了缺级现象。若

()n a

b a =+ （10） 则第n ，2n ，3n……级干涉条纹将发生缺级现象。采用严格的数学推导，根据菲涅耳积分，屏幕上任一点P 的光强可表为

v u

u

a c I 2222cos sin 4'?= （11）

也就是说：光强分别由两个因子乘积来决定，第一个因子反映的是宽度为a 的夫琅和费单缝衍射的强度，第二个因子反映的是相距为(a+b)的双光干涉的强度。

4 夫琅禾费衍射模拟 4.1 单缝

如图2所示，设单缝宽为，缝与光屏之间的距离为D 。屏幕上，我们将对称中心O 点作为x 轴的坐标原点，屏幕上任一点，其坐标设为

。

设波长为的平行光垂直入射于单缝，根据惠更斯原理，将单缝看作M 个等宽等距的平行窄带次光源组成，由单缝的下边缘开始依次向上分别设计为第1，2，…，，…，M 个。则第个窄带次光源的位置坐标可记为： M a k a x k ?+-=2 (12)

第个窄带次光源发出的次级子波发射到光屏上

处的光程为：

22)(D x x L k p k +-= (13)

由惠更斯——菲涅耳原理，可得光屏上处的相对光强为：

???

?

??????? ??+??? ??=∑∑==∞→2

1212

2sin 2cos

1

lim /M k k M k k M o L L M

I I λπλπ (14)

单缝衍射计算原理图图 2

在平行光垂直照射一个狭缝，而这个狭缝可与光的波长相比较的情况下，光就回绕过它的边缘而向阴影发生衍射，透过透镜衍射光聚焦到屏幕上从而出现衍射条纹，此条纹就是单缝衍射条纹。根据式（12）、（13）、（14），我们用Matlab 软件编写一个函数diffraction(,),单缝与光屏的距离取为固定值D=1000mm,

参数和取如下三种情形：

(a) =632.8nm,

=1mm; (b) =632.8nm,

=2mm; (c) =432.8nm, =2mm.单缝衍射图样和光强分布的Matlab 程序： with(plots):

diffraction:=proc(a,lambda) local D,N,yp,II,points: D:=1000: N:=50:

yp:=x->-a/2+X*a/N: II:=proc(y)

local I,sumcos,sumsin: sumcos:=0: sumsin:=0: for k from 1 to N do

sumcos:=sumcos+cos(evalf(2*Pi*evalf(sqrt((y-yp(k))^2+D^2))/lambda):

sumsin:=sumsin+sin(evalf(2*Pi*evalf(sqrt((y-yp(k))^2+D^2))/lambda):

end do;

evalf((sumcos^2+sumsin^2)/N^2);

end proc:

points:=[seq([y,II(y)],y=-150..150)]:

piot(evalf(points),axes=boxed);

end proc:

diffraction(0.1e-1,0.6328e-3);

diffraction(0.2e-1,0.6328e-3);

diffraction(0.1e-1,0.4328e-3);

diffraction1:=proc(a,lambda)

local D,N,xp,PI;

D:=1000;

N:=50;

xp:=k->-(1/2)*a+k*a/N;

PI:=proc(x)

local i, sumcos,sumsin;

sumcos:=0:

sumsin:=0:

for i from 1 to N do

sumcos:=sumcos+cos(evalf(2*Pi*evalf(sqrt((y-yp(i))^2+D^2))/lambda):

sumsin:=sumsin+sin(evalf(2*Pi*evalf(sqrt((y-yp(i))^2+D^2))/lambda):

end do;

evalf((sumcos^2+sumsin^2)/N^2);

end proc:

point3d([x,y,PI(x)],x=-150..150,

y=-50..50,grid=[150,150],orientation=[270,0],shading=ZGRAYSCALE,style=PATCHN OGRID, numpoints=20000,axes=boxed)

end proc:

diffraction(0.1e-1,0.6328e-3);

diffraction(0.2e-1,0.6328e-3);

diffraction(0.1e-1,0.4328e-3);

实验仿真运行结果见图3,4,5。从图中可直观形象地看到单缝衍射条纹和光强分布的特点；单缝衍射及各级明暗条纹在中央明纹两侧对称分布；中央明纹光强最大，其他明纹光强迅速减少；中央明纹宽度最宽，约为其他明纹宽度的2倍。

（a

）衍涉条纹图

（b

）光强分布图

图

3

波长为为632.8nm;缝款1mm为时的衍射图，其中（a）为衍射图，（b）为光强分

布图

（a

）衍涉条纹图

（b

）光强分布图

图

4

波长为为632.8nm;缝款2mm为时的衍射图，

其中（a）为衍射图，（b）为光强分布图

比较图3和图4可知，当入射光波长一定时，缝宽越窄，相邻条纹的间距越大，衍射现象越明显，明纹的宽度也增加；在演示中可看到当变大时，衍射作用则越来越不明显，当缝宽大到一定程度时，各级衍射条纹都收缩于中央明纹附近而无没有办法分辨，仅仅能观察到一个明纹，既是单缝的像，此时光可以看成是直线传播的。

）衍涉条纹图（a

）光强分布图（b

5图

波长为为432.8nm;缝款1mm 为时的衍射图，其中（a ）为衍射图，（b ）为光强分

布图

（屏幕上对称中心O 点为x 轴的坐标原点，中心线为x 轴，纵轴为光强）

再又比较图3和图5可知，当缝宽一定时，入射光的波长越短，相邻条纹的间距越小。 4.2 矩孔

设波长为的平行光垂直入射于一矩孔（长为、宽为）发生夫琅禾费衍射，光屏与矩孔平面的距离为D 。选取矩孔的中心为坐标原点，长、宽方向分别为x 、y 轴，平行光垂直入射的方向为z 轴建立坐标系。将矩孔均分为N×M 个小微格，而光屏任意点（X 、Y ）的衍射可看作来自矩孔上N×M 个小微格发出次波的相干叠加。不难求得第（j 、k ）个小微格到光屏上任意点（X 、Y ）的光程为：

()2

1

2

2

2

,???

?????+??? ???-+??? ???-=D M b k Y N a j x k j L (15)

由由惠更斯——菲涅耳原理，可得其相对光强为

()()????

???

????? ??+?=∑∑∑∑====N j M k N j M k o k j L k j L M N I I 112

11222,2s i n ),2c o s (1/λπλπ (16) 根据式（15）、（16）,我们利用Matlab 软件编程仿真模拟，矩孔到光屏的距离取为固定值D=1000mm 。其它实验参数分为三种组合情形来模拟：(a)

=0.01mm, =0.01mm, =400nm; (b) =0.01mm, =0.01mm, =600nm;(c)

=0.01mm, =0.02mm, =600nm.

矩孔衍射图样和光强分布的Matlab 程序 with(plots):

square:=proc(a,b,d,lambda) local N,II;N:=100;

II:=(X,Y)->(sum(sum(cos(2*Pi*sqrt((X-j*a/N)^2+(Y-k*b/N)^2+D^2)/lambda),k=1..N),j=1..N))^2/N^4+(sum(sum(sin(2*Pi*sqrt((X-j*a/N)^2+(Y-k*b/N)^2+D^2)/lambda), k=1..N),j=1..N))^2/N^4;

Plot3d(II(X,Y),X=-250..250, Y=-250..250,grid=[50,50],axes=boxed); end proc;

square(0.1e-1, 0.1e-1,1000,0.4e-3); square(0.1e-1, 0.1e-1,1000,0.6e-3); square(0.1e-1, 0.2e-1,1000,0.6e-3); square1:=proc(a,b,D,lambda)

local N,II;N:=100;

II:=(X,Y)->(sum(sum(cos(2*Pi*sqrt((X-j*a/N)^2+(Y-k*b/N)^2+D^2)/lambda),k=1..N),j=1..N))^2/N^4+(sum(sum(sin(2*Pi*sqrt((X-j*a/N)^2+(Y-k*b/N)^2+D^2)/lambda), k=1..N),j=1..N))^2/N^4;

Plot3d(II(X,Y),X=-250..250,Y=-250..250,grid=[150,150],orientation=[270,0],shading= ZGRAYSCALE,style=PATCHNOGRID, numpoints=20000,axes=boxed); end proc;

square(0.1e-1, 0.1e-1,1000,0.4e-3); square(0.1e-1, 0.1e-1,1000,0.6e-3); square(0.1e-1, 0.2e-1,1000,0.6e-3);

程序运行结果分别见图6,7,8。

图6 波长为400nm, 矩孔长为0.01mm,宽为0.01mm 时的干涉图，其中（a ）为矩

孔衍射图样,（b ）为光强分布图样

图7 波长为600nm, 矩孔长为0.01mm,宽为0.01mm 时的干涉图，

其中（a ）为矩孔衍射图样,（b ）为光强分布图样

比较图6和图7可知，孔的形状和尺寸参数不变，入射光波长增加时，衍射图样的形状不变，而衍射现象更明显。

(b)光强分布图样

（a ）矩孔衍射图样

（矩孔的中心为坐标原点，长、宽方向分别为x、y轴，z轴是光强。）由图7和图8看出，当缝宽一定时，入射光的波长不变，改变衍射屏（一个是方孔衍射屏，另一个为矩孔衍射屏）的形状，能清晰地看到衍射光斑的形状取决于衍射屏的形状。图8表明，光束在矩孔衍射屏上的哪个方向限制越严，其扩展也强烈，衍射效应越强。

5 总结

本文从惠更斯——菲涅耳原理出发，基于Matlab软件实现了单缝、矩孔等典型光学夫琅禾费衍射实验的模拟。模拟结果表明：随着单缝的减小，衍射越来越明显，入射光的波长越短，相邻条纹的间距越小; 随着入射光波长增加时，衍射图样的形状不变，而衍射现象更明显, 当改变衍射屏（一个是方孔衍射屏，另一个为矩孔衍射屏）的形状，衍射光斑的形状取决于衍射屏的形状,而光束在矩孔衍射屏上的哪个方向限制越严，其扩展也强烈，衍射效应越强。且模拟图象细致逼真，与实际实验的结果相符，从而加深对各种衍射现象的理解。

利用本文程序可以改变各种实验参数获得相应的实验结果，而实际实验往往受到实验条件和环境的限制，而有些实验参数是不能任意定量改变的。因此，仿真模拟实验有利于对物理现象内在规律的理解和深入讨论，也弥补了实际实验的不足。

参考文献；

[1] 符运良。Matlab在光学教学中的应用[J]。华南热带农业大学报，2004，10（3），55-57.

[2] 喻平。用Matlab模拟白光夫琅和费衍射[J]。重庆师范大学学报：自然科学看版，2007，24（2）：43-45.

[3] 蓝海江，白光干涉，衍射实验的计算机仿真[J]。实验室研究与探索，2009，28（12）：16-19.

[4] 梁绍荣。普通物理学.光学[M]。高等教育出版社，1988：160-202.

[5] 徐金明。Matlab实用教程[J]。北京：清华大学出版社，2005.

[6] 姚启军。光学教程[M]。北京：高等教育出版社，2002.

[7] 范士喜。白光单缝衍射实验的计算模拟演示[J]。北京印刷学报，2003，24（2）：43-45.

[8] 母国光，战元令。光学[M]。北京：人民教育出版社，1979：198.

[9] 董太原，刘建生，卢敏，等。光学干涉实验的计算机仿真模拟[J].江西理工大学学报，2007，28（3）：65-67.

Computer simulation of the fraunhofer diffraction

experiments by using Matlab software

Abstract: The light diffraction is one of the important physics phenomenon of light. It is the light not pass through obstruction but drift off the straight line spread way, and enter shaded. It is the manifestation of the light wave. The composition of diffraction system is light source, diffraction screen and the screen of receive screen draft. Under normal conditions，we separate diffraction into two lots based on the big or small about the distance of the three things in diffraction system. One is Fresnel diffraction. Another is Fraunhofer diffraction,

Based on Matlab, Fraunhofer diffraction experiments of single slit, rectangle aperture and circular aperture were simulated. The results show that diffraction patterns and light intensity distribution curves of these diffraction experments are delicate and distinct. In addition, the impacts of several parameters upon the diffraction patters have been discussed in some detail, which make whole physical process object and are consistent with the results of actual experiments.

Key words: Matlab；diffraction；optics experiment;