大学物理 机械波

1 2 3 4 5 6 7 8 9101112131415161718
A
t0
t T 4
t T 2
1 2 3 4 5 6 7 8 9101112131415161718
t 3T
4
t T B
t 5T
C
4
t 3T 4
t T
t 5T
4
t 3T
2
结论
横波
纵波
(1) 波动中各质点并不随波前进；
(2) 在波的传播方向上各个质点的相 位依次落后,波动是相位的传播；
u Tt 2
u2
说明：...
w 1
T
wdt
1 A2 2
T0
2
二. 能流密度
u
1. 能流
在单位时间内通过某一截面的波动能量为通过该面的能流
P wutS t
wuS
在一个周期中的平均能流为
u s
P 1
T
Pdt wuS
T0
u△t
2. 能流密度 通过垂直于波线截面单位面积上的能流。
大小： J dP wu
0
I0
I
为介质吸收系数，与介质的性质、
dx
温度及波的频率有关。
I I0ex
O
x
x
I
OIx
I0
I0
x
x 应用：增加吸收 减少吸收
§13.4 惠更斯原理
惠更斯原理：
(1) 行进中的波面上任意一点都 可 看作是新的子波源；
(2) 所有子波源各自向外发出许多 子波；
(3) 各个子波所形成的包络面，就 是原波面在一定时间内所传播
Acos[4π
(t
1)] 8
在下列情况下试求波函数： (1) 以 A 为原点；
x1
ux
(2) 以 B 为原点；
BA
(3) 若 u 沿 x 轴负向，以上两种情况又如何？
解 (1) 在 x 轴上任取一点P ，该点
振动方程为：
yp
Acos[4π
(t
x u
1)] 8
x1
BA
u x
P
波函数为：
y(x,t) Acos[4π (t x 1)] u8
1 Tx(y )2 2 x
y
u
△l
T1
△y
线元的机械能为 W Wk Wp
T2
O
△x
x
由T
u2
和
y
A cos[ (t
x) u
0 ] 得
Wk
1 x(y)2
2 t
1 xA2 2 sin 2[(t
2
x) u
0 ]
Wp
1Tx(y)2 2 x
1 2
xA2
2
sin
2[
(t
x u
)
0
]
机械能 讨论
W
Wk
d. 液体和气体只能传播纵波，其波速由下式给出
ul
B
p B V
V
p
B: 流体的容变弹性模量 e. 稀薄大气中的纵波波速为
p
V0+ V
p
RT p
ul
M
p 容变
气体分子热运动平均速率?
§13.2 平面简谐波
简谐波 波所到之处，介质中各质点匀作同频率的谐振动。
平面简谐波 波面为平面的简谐波
说明
波的时间周期性。
频率（）: 单位时间内，波前进距离中完整波的数目。频率
与周期的关系为
1 T
波速（u）:振动状态在媒质中的传播速度。波速与波长、周
期期和和频频率率的的关关系系为为 uT u T
说明
(1) 通常波的周期和频率与媒质的性质无关； 与波源振动的周期和频率相同。
(2) 通常波速（亦即相速度）主要决定于媒质的性质， 与波的频率无关。
注意 在各向同性均匀媒质中，波线⊥波面。
平面波
某时刻，在同一条波线上，是否有振动相位相同的点？ 是否有振动状态相同的点？
四.波长 周期 频率和波速
波长（）: 同一波线上相位差为 2 的质点之间的距离；
即波源作一次完全振动，波前进的距离。
波长反映了波的空间周期性。
周期（T）: 波前进一个波长距离所需的时间。周期表征了
三. 平面波的波动微分方程
由 知
y( 2 t
x,t)
y
2
A cos[ (t
x) u
0 )]
A
2
cos[
(t
x u
)
0
]
2 y x2
A u 22
cos[ (t
x) u
0 ]
说明
2 y x2
1 u2
2 y t2
(1) 上式是一切平面波所满足的微分方程（且正、反传播）；
(2) 不仅适用于机械波，也适用于电磁波、对于热传导、 扩散过程也存在这样的方程；
线元的动能为
Wk
1 2
mv 2
1 m(y)2 2 t
y
u
△l
线元的势能（平衡位置为势能零点）为
T2
Wp T (l x)
O
△x
T1
△y
x
其中 l (x)2 (y)2 x[1 (y)2 ]1/ 2 x
x[1 ( y)2 ]1/ 2 x[1 1 ( y)2 ]
x
2 x
Wp
T (l
x)
Wp
xA2 2
sin 2[(t
x u
)
0
]
(1) 在波的传播过程中，媒质中任一质元的动能和势能是同步变化的，
即Wk=Wp，与简谐弹簧振子的振动能量变化规律是不同的.
y
u
A
v最小, y 也最小 x
B O
x v最大, y 也最大
x
(2) 质元机械能随时空周期性变化，表明质元在波传播过程中不断吸收和 放出能量；因此，波动过程是能量的传播过程
(2) 以 B 为原点；
yA x1
Acos[4π (t
u
1)] 8
x
BA
P
B
点振动方程为：
yB (t)
Acos[4π
(t
x1 u
1)] 8
波函数为:
y(x,t) Acos[4π(t x1 x 1)] u u8
(3) 以 A 为原点：
Acos[4π(t x x1 1)] u8
uS
dS
方向：波的传播方向
矢量表示式：
J
wu
J
波的强度 一个周期内能流密度大小的平均值。
I J 1 T Jdt u T wdt uw 1 A2 2u A2
T0
T0
2
三. 平面波和球面波的振幅（不吸收能量）
1. 平面波
P1
I1S1
w1uS
1 2
A12 2uS
u
P2
I2S2
w2uS
若 y(r0,t) A0 cos(t 0 ) 则球面简谐波的波函数为
y(r,t)
A0r0 r
cos[(t
r
r0 u
) 0 ],
r0
球面波的振幅在媒质不吸收的情况下,随 r 增大而减小.
讨论：柱面波振幅的情况...
四. 波的吸收
吸收媒质,实验表明
dI I dx
I dI
x
dx
I I0
简谐振动
平面简谐波的波函数 O
u
P x
x
若 yo Acos(t 0)
确定P 点 t 时刻的振动状态：O 点
t x 时刻的状态：
u
yP
(x,t)
A cos[ (t
x) u
0]
P 为任意点
y(x,t)
A cos[ (t
x) u
0]
(波函数)
(P 点相位较O 点落后 2π x 2 x x )
第13章 机械波
中国国家管弦乐团在联合国总部的演出
§13.1 机械波的产生和传播
一.波的分类
什么是波？ 振动在空间的传播就形成了波. 1. 机械波
机械振动在弹性介质中由近及远地传播形成机械波。
｛波源：作机械振动的物体
产生条件 弹性介质：承担传播振动的物质
u
（遵循经典的力学规律）
2. 电磁波 变化的电场和变化的磁场(电磁振动)在空间的传播过程形
成电磁波，如光波、无线电波、x—射线等。
宏观：凡做加速运动的电荷都是电磁波的波源
｛ 产生条件
例：天线中的振荡电流
微观：分子或原子从高能级向低能级的跃迁
（可以在真空或介质中传播）
（遵循麦克斯韦电磁场理论）
3. 物质波（概率波） 物质波是微观粒子的一种属性，与经典的波相比具有完全 不同的本质。 （遵循量子力学理论）
能量密度
W
Wk
Wp
xA2 2
sin 2[(t
x u
)
0
]
设绳子的横截面为S ，体密度为 ，则线元单位体积
中的机械能（能量密度）为
w
W Sx
A2
2
sin
2[
(t
x) u
0
]
w(
x,t)
平均能量密度
1 tT sin 2[(t x)dt 1 tT 1[1 cos 2(t x)]dt 1
Tt
1 2
A22 2uS
由
P1 P2
S1 S2
得
A1 A2
这表明平面波在媒质不吸收的情况下, 振幅不变。
2. 球面波
由
1 2
A12 2uS1
1 2
A22 2uS2
得
A12 4π r12 A22 4π r22