2020年第四章图形的相似单元测试(解析版)

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(数学试卷九年级)第四章图形的相似单元测试卷及答案

九（上）第四章图形的相似单元测试一、选择题1、【基础题】在比例尺为1：5000的地图上，量得甲，乙两地的距离为25 cm ，则甲、乙两地的实际距离是 ( )A. 1250千米B. 125千米C. 12.5千米D. 1.25千米2、【基础题】已知135＝a b ，则ba b a ＋－的值是（） ★A. 32B. 23C. 49D. 943、【基础题】如右图，在△ABC 中，看DE ∥BC ，12AD BD ，DE ＝4 cm ，则BC 的长为 ( ) A ．8 cm B ．12 cm C ．11 cm D ．10 cm 4、【基础题】如右图，DE 是ΔABC 的中位线，则ΔADE 与ΔABC 的面积之比是（） A ．1:1 B ．1:2 C ．1:3 D ．1:45、【基础题】如下图，小正方形的边长均为1，则图中三角形（阴影部分）与△ABC 相似的是( ) ★★★6、【基础题】下列结论不正确的是( ) ★ A. 所有的矩形都相似 B. 所有的正方形都相似 C. 所有的等腰直角三角形都相似 D. 所有的正八边形都相似7、【基础题】下列说法中正确的是( ) ★A. 位似图形可以通过平移而相互得到B. 位似图形的对应边平行且相等C. 位似图形的位似中心不只有一个D. 位似中心到对应点的距离之比都相等 8、【综合题Ⅰ】如左下图，ABCD 是正方形，E 是CD 的中点，P 是BC 边上的一点，下列条件中，A不能推出△ABP与△ECP相似的是（）★★★A.∠APB＝∠EPCB. ∠APE＝90°C. P是BC的中点D. BP︰BC＝2︰39、【综合题Ⅱ】（2020山东潍坊）如右上图,Rt△ABC中，AB⊥AC，AB=3，AC=4，P 是BC边上一点，作PE⊥AB于E，PD⊥AC于D，设BP＝x，则PD+PE＝（）A. 35x+ B. 45x- C.72D.21212525x x-10、【综合题Ⅲ】如图，在Rt ABC△内有边长分别为a，b，c的三个正方形．则a、b、c满足的关系式是（）A. b a c=+ B. b ac=C. 222b a c=+ D. 22b a c==二、填空题11、【基础题】在同一时刻，高为1.5m的标杆的影长为2.5m，一古塔在地面上影长为50m，那么古塔的高为．12、【基础题】两个相似三角形面积比是9∶25，其中一个三角形的周长为36cm，则另一个三角形的周长是．13、【综合题Ⅰ】如左下图，在△ABC中，AB＝5，D、E分别是边AC和AB上的点，且∠ADE＝∠B，DE＝2，那么AD·BC＝ . ★★★ABCDEP14、【基础题】如右上图，在△ABC 和△DEF 中，G 、H 分别是边BC 和EF 的中点，已知AB ＝2DE ，AC ＝2DF ，∠BAC ＝∠EDF. 那么AG ：DH ＝，△ABC 与△DEF 的面积比是 . ★★★15、【基础题】把一个三角形改做成和它相似的三角形，如果面积缩小到原来的21倍，边长应缩小到原来的____倍.16、【综合Ⅱ】如左下图在Rt△ABC 中, ∠ACB＝90°,CD⊥AB 于D ，若AD ＝1，BD ＝4，则CD ＝ . ★17、【基础题】如右上图，一人拿着一支厘米小尺，站在距电线杆约30米的地方，把手臂向前伸直，小尺竖直，看到尺上12厘米的长度恰好遮住电线杆，已知手臂长约60厘米，则电线杆的高为 . ★★★ 18、【基础题】已知一本书的宽与长之比为黄金比，且这本书的长是20 cm ，则它的宽为_____cm.（结果保留根号） 19、【综合Ⅲ】顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形，如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝1，∠A ＝36°，BD 是三角形ABC 的角平分线，那么AD ＝ . ★20、【提高题】如图，点1234A A A A ，，，在射线OA 上，点123B B B ，，在射线OB 上，且112233A B A B A B ∥∥，213243A B A B A B ∥∥．若212A B B △、323A B B △的面积分别为1、4，则图中三个阴影三角形面积之和为．三、解答题 21、【基础题】（2020无锡）如图，已知点E 是矩形ABCD 的边CD 上一点，BF ⊥AE 于点F ，求证△ABF ∽△EAD ． 22、【综合Ⅰ】如图27－106所示，已知E 为ABCD 的边CD 延长线上的一点，连接BE 交AC 于O ，交AD 于F ．求证BO 2＝OF ·OE ．23、如图，在平面直角坐标系中，已知OA=12 cm ，OB=6 cm ，点P 从O 点开始沿OA边向点A 以1cm/s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BO 边向点O 以1cm/s 的速度移动，如果P 、Q 同时出发，用t （单位：秒）表示移动的时间（06t ≤≤），那么：（1）当t 为何值时， △POQ 与△AOB 相似？（第20题图） OA A A A AB B B 2 B 31 4（2）设△POQ 的面积为y ，求y 关于t 的函数解析式。

北师大版2020九年级数学上册第四章图形的相似自主学习基础过关测试卷B(附答案详解)

北师大版2020九年级数学上册第四章图形的相似自主学习基础过关测试卷B （附答案详解）1．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，点D 是AB 上的一个动点(不与A 、B 两点重合)，DE ⊥AC 于点E ，DF ⊥BC 于点F ，点D 从靠近点A 的某一点向点B 移动，矩形DECF 的周长变化情况是（）A ．逐渐减小B ．逐渐增大C ．先增大后减小D ．先减小后增大 2．下列实际生活事例，形成位似关系的是（）①放电影时，胶片和屏幕上的画面；②放映幻灯片时，幻灯片上的图片与屏幕上的图形；③照相时人物的影像与被缩小在底片上的影像．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个3．下列语句正确的有（）句()1正方形都相似；()2有一个角对应相等的菱形相似；()3有一个角相等的两个等腰三角形相似；()4如果一个三角形有两个角分别为60和72，另一个三角形有两个角分别为60和48，那么这两个三角形可能不相似． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 4．如图，//DE BC ，则下列结论不正确的是（）A ．ADE ABC ∽B ．AD AE DE AB AC BC== C ．AD AB DE AE AC BC == D ．若23AD DB =，则421ADE DBCE S S =四边形 5．如图，某小区有一块平行四边形状(即图中平行四边形ABCD)土地，土地中有一条平行四边形小路(即平行四边形AECF)，其余部分被直线l 分割成面积分别为1S ，2S ，3S ，4S 四个区域，小区物业准备在这四个区域中种上不同的四种花卉，已知l//AD，交AB于点M，AM1AB k=，则23S(S=)A．22k1k2k++B．2k12k1--C．22k1k1--D．1k1-6．已知ABC∽243DEF A D AB cm AC cm DE cm∠=∠===，，，，，且DE DF<，则DF的长为（）A．1cm B．1.5cm C．6cm D．6cm或1.5cm 7．如图，在Rt ADB中，90D∠=，C为AD上一点，若CBD BAD∽，则x的可能值是（）A．15 B．20 C．25 D．308．在ABC△中，AF、BE 是其两条中线，满足AF ⊥BE ，若CA=3，CB=4，那么AB 的长为（）A．7B．5 C．5D．729．已知：线段a、b，且23ab=,则下列说法错误的是( )A．a＝2cm，b＝3cm B．a＝2k，b＝3k(k≠0)C．3a＝2bD．23a b=10．如图，在Rt△ABC中，CD是边AB上的高，若AC=4，AB=10，则AD的长为（）A．85B．2 C．52D．311．已知2x=3y（y≠0），那么x yy+=_____．12．如果两个相似三角形的面积的比是4：9，那么它们对应的角平分线的比是_____． 13．ABC 中，A 的坐标是()3,6，以原点为位似中心，将三角形缩小到原来12，则对应点的'A 的坐标是________．14．若，则=________． 15．已知△ABC ∽△DEF ，其中顶点A 、B 、C 分别对应顶点D 、E 、F ，如果∠A =40°，∠E =60°，那么∠C =_______度.16．已知a b c 234==，则a b c+的值是________． 17．在 △ABC 中，DE ∥BC , ∠ADE=∠EFC,AD ∶BD=5∶3，CF=6，则DE 的长为__________．18．在四边形ABCD 中，E 是对角线AC 上的一点，EF//AB ，EG //CD ，求EF EG AB CD+=________．19．如图，△ABC 中，DE ∥BC ，AD ：BD=3：4，则DE ：BC=_____．20．如图所示，在ABC 中，AD 是高，EF//BC ，EF 3=，BC 5=，AD 6=，则GD =________．21．阅读材料：如图1，在AOB 中，90O ∠=，OA OB =，点P 在AB 边上，PE OA ⊥于点E ，PF OB ⊥于点F ，则PE PF OA +=．（此结论不必证明，可直接应用）()1（理解与应用）如图2，正方形ABCD 的边长为2，对角线AC ，BD 相交于点O ，点P 在AB 边上，PE OA ⊥于点E ，PF OB ⊥于点F ，则PE PF +的值为________．()2（类比与推理）如图3，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，4AB =，3AD =，点P 在AB 边上，//PE OB 交AC 于点E ，//PF OA 交BD 于点F ，求PE PF +的值； () 3（拓展与延伸）如图4，O 的半径为4，A ，B ，C ，D 是O 上的四点，过点C ，D 的切线CH ，DG 相交于点M ，点P 在弦AB 上，//PE BC 交AC 于点E ，//PF AD 于点F ，当30ADG BCH ∠=∠=时，PE PF +是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．22．小乐同学想利用树影测量校园内的树高．如图，他在某一时刻测得小树AB 高为1.5m 时，其影长AC 为2m ．当他测量教学楼旁的一棵大树DE 影长时，因大树靠近教学楼，有一部分影子FG 在墙上．经测量，地面部分影长DF 为8m ，墙上影长FG 为3m ．求这棵大树DE 的高是多少米？23．在等腰Rt △ABC 中，CA=BA ，∠CAB=90°，点M 是AB 上一点，（1）点N 为BC 上一点，满足∠CNM=∠ANB ．①如图1，求证：BM BN BA CN =；②如图2，若点M 是AB 的中点，连接CM ，求CM AN的值；（2）如图3，若AM=1，BM=2，点P 为射线CA （除点C 外）上一个动点，直线PM 交射线CB 于点D ，猜测△CPD 面积是否有最小值，若有，请求出最小值：若没有，请说明理由．24．如图，取一根9.5 m 长的标杆AB ，在其上系一活动旗帜C ，使标杆的影子落在平地和一堤坝的左斜坡上，拉动旗帜使其影子正好落在斜坡底角顶点D 处．若测得旗高BC ＝4.5 m ，影长BD ＝9 m ，影长DE ＝5 m ，请计算左斜坡的坡比(假设标杆的影子BD ，DE 均与坝底线DM 垂直)．25．（8分）如图，在四边形ABCD 中，AC 平分DAB ∠，90ADC ACB ∠=∠=︒，E 为AB 的中点，连接CE 、DE ，DE 交AC 于点F ．（1）求证：2AC AB AD =⋅．（2）若4=AD ，6AC =AF FC的值． 26．如图，在Rt ABC 中，90ABC ∠=，BD 是AC 边上的高，已知5BC =厘米，13AC =厘米．求：()1AB BC； ()2BD AC ； ()3再找两条线段和AB 、BC 构成比例线段．27．在ABC 和DEF 中，90A D ∠=∠=，3AB DE ==，24AC DF ==．（1）判断这两个三角形是否相似？并说明为什么？（2）能否分别过A D ，在这两个三角形中各作一条辅助线，使ABC 分割成的两个三角形与DEF 分割成的两个三角形分别对应相似？证明你的结论．28．如图，已知在△ABC 中，∠BAC=2∠C ，∠BAC 的平分线AE 与∠ABC 的平分线BD 相交于点F ，FG ∥AC ，联结DG ．（1）求证：BF•BC=AB•BD；（2）求证：四边形ADGF 是菱形．参考答案1．A【解析】试题解析：设DE=λ，DF=μ；∵DE ⊥AC 于点E ，DF ⊥BC 于点F ，∴四边形DECF 为矩形，∴CF=DE=λ，CE=DF=μ，∴矩形DECF 的周长η=2λ+2μ；∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ， ∴AD BC AB λ=①；同理可证BD AC ABμ=②，由①+②得：168λμ+=， ∴μ=8-43λ ∴82163μλλ=+- =-23λ+16， ∵-23＜0， ∴μ随λ的增大而减小；∵点D 从靠近点A 的某一点向点B 移动时，λ逐渐变大，∴矩形DECF 的周长η逐渐减小．故选A ．考点：相似三角形的判定与性质．2．D【解析】【分析】根据位似变换的概念进行判断即可．【详解】①放电影时，胶片和屏幕上的画面，形成位似关系，②放映幻灯片时，幻灯片上的图片与屏幕上的图形，形成位似关系，③照相时人物的影像与被缩小在底片上的影像，形成位似关系，故选D.【点睛】本题考查了位似的相关知识，熟练掌握位似是相似的特殊形式和位似的概念是解题的关键 3．B【解析】【分析】根据相似三角形的判定定理，即可判定各结论的正确与否，注意举反例的解题方法．【详解】（1）根据所有正方形形状都相同，则正方形都相似，此选项正确；（2）有一个角对应相等的菱形相似，则所有角都相等，则菱形形状相同，此选项正确；（3）有一个角相等的两个等腰三角形相似，若果是顶角与底角对应相等，则两三角形不相似，故此选项错误；（4）如果一个三角形有两个角分别为60°和72°，另一个三角形有两个角分别为60°和48°，那么这两个三角形一定相似，故此选项错误．故选B ．【点睛】此题考查了相似三角形的判定．此题比较简单，注意掌握有两角对应相等的三角形相似的判定定理的应用是解此题的关键．4．C【解析】【分析】由DE ∥BC ，证出△ADE ∽△ABC ，得出比例式AD AE DE AB AC BC==，显然 AD AB DE AE AC BC =≠；由23AD DB = ，得出25AD AB =，24()25ADE ABC S AD S AB ==，证出421ADEDBCES S =四边形．【详解】：∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ， ∴AD AE DEAB AC BC==， ∴AD AB DE AE AC BC =≠， ∴A 正确，B 正确，C 不正确； ∵23AD DB =，∴25AD AB =， ∴24()25ADEABC SAD S AB ==， ∴421ADE DBCE S S =四边形， ∴D 正确；故选：C ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键根据三角形相似得出比例式．5．C【解析】【分析】由////l AD BC 可得AMN ∽ABE ，CGH ∽CFD ，再利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可解决问题【详解】如图：////l AD BC ，AMN ∴∽ABE ，CGH ∽CFD ，21213S 1()S S AM AB k ∴==+，22442S 1()()S S B BM k A k -==+，2141()1S S k =-，()2311S k S ∴=-，24221(1)k S S k -=⋅- 223211S k S k -∴=-，故选C ．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握平行线的性质．6．C【解析】试题解析：∵△ABC ∽△DEF ， ∴AB AC DE DF=， ∵AB=2 c m ，AC=4 c m ，DE=3 c m ， ∴243DF= 解得DF=6 c m ．故选C ．7．B【解析】【分析】三角形的任一外角等于和它不相邻的两个内角之和，就可以得到x 与∠CBD 的关系，根据∠CBD 是锐角，就可以得到一个关于x 的不等式组，就可以求出x 的范围．【详解】∵△CBD ∽△BAD ，∴∠DBC=∠A ，∵∠ACB=∠DBC+∠D ，∴6x°=90°+∠A ， ∵∠A<45°， ∴6x°<45°+90°，解得：x<22.5°，∴x>15° ∴x 的可能值是20°，故选B.【点睛】此题主要考查了三角形内角与外角的关系：三角形的任一外角等于和它不相邻的两个内角之和． 8．C 【解析】【分析】连接,EF 根据中位线定理以及中线的性质得到EF //AB ,1131,, 2.2222EF AB AE AC BF BC ===== 即可证明,OEF OBA ∽ 根据相似三角形的性质得到1,2EF OE OF AB OB OA ===设,,OE x OF y == 则2,2,OB x OA y ==根据勾股定理得到关于,x y 的方程组，得到EF 的长，即可求出AB 的长. 【详解】如图：连接,EFAF 、BE 是ABC △的两条中线，EF //AB ,1131,, 2.2222EF AB AE AC BF BC ===== ,OEF OBA ∴∽1,2EF OE OF AB OB OA === 设,,OE x OF y ==则2,2,OB x OA y ==222294444,x y y x ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩ 222555,4x y ∴+=225,4x y +=2EF ==2AB EF ==【点睛】考查三角形的中位线定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理等，综合性比较强，对学生要求较高.9．A【解析】【分析】根据比例的定义和性质，对各选项进行分析，即可解答．【详解】选项A ，两条线段的比，没有长度单位，它与所采用的长度单位无关，选项A 错误；选项B ，23a b =，根据等比性质，a=2k ，b=3k （k≠0），选项B 正确；选项C ，23a b =，根据比例的基本性质可得3a=2b ，选项C 正确；选项D ，23a b =，根据比例的基本性质可得a=23b ，选项D 正确．故选A ．【点睛】本题考查了比例的定义及性质．在比例里，两个外项的乘积等于两个内项的乘积．注意两条线段的比，没有长度单位，它与所采用的长度单位无关．10．A【解析】分析：求出∠ADC=∠ACB=90°，∠CAD=∠BAC ，推出△CAD ∽△BAC ，得出比例式AC ADAB AC=，代入求出即可．详解：∵∠ACB=90°，CD⊥AB，∴∠ADC=∠ACB=90°，∵∠CAD=∠BAC，∴△CAD∽△BAC，∴AC AD AB AC=，∵AC＝4，AB＝10，∴4104AD=，∴AD＝168 105=.故选A.点睛：考查了相似三角形的性质和判定，关键是能根据相似得出比例式．11．5 2【解析】试题解析：∵2x=3y，∴32xy=，∴+y32522xy+==．故答案为52．12．2:3【解析】先根据相似三角形面积的比是4：9，求出其相似比是2：3，再根据其对应的角平分线的比等于相似比，可知它们对应的角平分线比是2：3．故答案为2：3.点睛：本题考查的是相似三角形的性质，即相似三角形对应边的比、对应高线的比、对应角平分线的比、周长的比都等于相似比；面积的比等于相似比的平方．13．3,32⎛⎫⎪⎝⎭或3,32⎛⎫--⎪⎝⎭【解析】【分析】根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k求解．【详解】根据题意得对应点的A′的坐标为(12×3,12×6)或(−12×3,−12×6)，即A′的坐标为3,32⎛⎫⎪⎝⎭或3,32⎛⎫--⎪⎝⎭故答案为:3,32⎛⎫⎪⎝⎭或3,32⎛⎫--⎪⎝⎭【点睛】考查位似变换，位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．14．-11【解析】【分析】根据得到，代入后即可求解．【详解】解：∵，∴故答案为：【点睛】本题考查了比例的性质，解题的关键是能够用一个未知数表示另一个未知数，难度不大．15．80【解析】因为△ABC∽△DEF,所以∠A=∠D, ∠B=∠E, ∠C=∠F,因为∠A=40°,∠E=60°,所以∠B=60°,所以∠C=180°―40°―60°=80°,故答案为: 80.16．5 4【解析】【分析】设a b c234k===，则a=2k，b=3k，c=4k，代入a bc+即可求出答案.【详解】解：（1）设a b c234k ===，则a=2k，b=3k，c=4k，∴a bc+=2k+3k5=4k4，故答案为:5 4 .【点睛】本题考查了比例的性质的应用，主要考查学生的计算能力．17．10【解析】分析：由DE∥BC可得∠AED=∠C，AD：BD=AE：EC=5：3，结合∠ADE=∠EFC△ADE∽△EFC，从而可得DE：FC=AE：EC=5：3，结合CF=6即可求得DE的长. 详解：∵DE∥BC，∴∠AED=∠C，AD：BD=AE：EC=5：3，又∵∠ADE=∠EFC，∴△ADE∽△EFC，∴DE：FC=AE：EC=5：3，又∵CF=6，∴DE=10. 故答案为：10. 点睛：本题的解题要点是：由DE ∥BC 证得∠AED=∠C 和AD ：BD=AE ：EC=5：3，这样结合∠ADE=∠EFC 证得△ADE ∽△EFC 就可使问题得到解决.18．1【解析】【分析】根据平行线分线段成比例推知EF CE EG AE AB AC CD AC ==、，据此可以求得EF EG AB CD+的值．【详解】∵在四边形ABCD 中,E 是对角线AC 上的一点,EF ∥AB ,EG ∥CD ，∴EF CE EG AE AB AC CD AC==、， ∴1EF EG CE AE CE AE AC AB CD AC AC AC AC ++=+===，即EF EG AB CD +=1. 故答案为：1.【点睛】考查平行线分线段成比例，三条平行线截两条直线，所截得的线段成比例.19．37【解析】【分析】根据已知条件先求出37AD AB = ,再根据相似三角形的性质求解即可. 【详解】∵AD：BD=3：4，∴==， ∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴=，∴DE：BC=．故答案为：．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，灵活运用相似三角形的性质是解题的关键.20．2.4【解析】【分析】根据EF ∥BC ，可以得到△AEF~△ABC ，然后根据相似三角形的对应高的比等于相似比，即可求得AG 的长，进而可求出GD 的长.【详解】∵EF //BC ，∴△AEF ~△ABC ，∴EF AG BC AD =，即3=56AF ，解得AG ＝185，∴GD ＝AD －AG ＝6－185＝2.4，故答案为2.4. 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，理解相似三角形的对应高的比等于相似比是解题关键.21．（12（2）52；（）是定值，4. 【解析】【分析】（1）易证：OA=OB ，∠AOB=90°，直接运用阅读材料中的结论即可解决问题．（2）易证：OA=OB=OC=0D=52，然后由条件PE ∥OB ，PF ∥AO 可证△AEP ∽△AOB ，△BFP ∽△BOA ，从而可得 EP FP AP BP OB OA AB AB +=+=1，进而求出EP+FP=52．（3）易证：AD=BC=4．仿照（2）中的解法即可求出PE+PF=4，因而PE+PF 是定值．【详解】()1如图2，∵四边形ABCD 是正方形，∴OA OB OC OD ===，90ABC AOB ∠=∠=． ∵2AB BC ==，∴22AC =． ∴2OA =．∵OA OB =，90AOB ∠=，PE OA ⊥，PF OB ⊥， ∴2PE PF OA +==．()2如图3， ∵四边形ABCD 是矩形，∴OA OB OC OD ===，90DAB ∠=．∵4AB =，3AD =，∴5BD =．∴52OA OB OC OD ====． ∵//PE OB ，//PF AO ，∴AEP AOB ∽，BFP BOA ∽．∴EP AP OB AB =，FP BP OA AB=． ∴1EP FP AP BP OB OA AB AB +=+=．∴15522EP FP+=．∴52EP FP+=．∴PE PF+的值为52．()3当30ADG BCH∠=∠=时，PE PF+是定值．理由：连接OA、OB、OC、OD，如图4∵DG与O相切，∴GDA ABD∠=∠．∵30ADG∠=，∴30ABD∠=．∴260AOD ABD∠=∠=．∵OA OD=，∴AOD是等边三角形．∴4AD OA==．同理可得：4BC=．∵//PE BC，//PF AD，∴AEP ACB∽，BFP BDA∽．∴PE APBC AB=，PF PBAD AB=．∴1PE PF AP PBBC AD AB AB+=+=．∴144PE PF+=．∴4PE PF+=．∴当30ADG BCH∠=∠=时，4PE PF+=．【点睛】本题主要考查矩形、正方形以及相似三角形，熟练掌握他们的性质是解题的关键. 22．9m【解析】试题分析：过G 作GM ⊥ED 于M ，根据题意可得AB AC EM MG =，即可求得EM 的长，从而求得大树DE 的高.试题解析：过G 作GM ED ⊥于M ，∴90EMG ∠=︒，∵AB AC EM MG=， ∴ 1.528EM =，由题意可知：四边形DFGM 为矩形，∴MD GF =，MG DF =，∴ 1.528EM =， ∴6EM =，∴639ED EM MD =+=+=，∴DE 高度为9m ．23．（1）①见解析，②32；（2）4. 【解析】分析：（1）①由已知条件易得∠B=∠C ，∠BNM=∠CAN ，从而可得△BNM ∽△CNA ，由此可得BM ：CA=BN ：CN 结合CA=AB 即可得到所求结论；②如下图2，过点B作BH⊥BA交AN的延长线于点H，则结合已知条件易得△BMN≌△BHN，由此可得BH=BM=AM，从而可得△ACM≌△BAH，由此可得CM=AH=AN+NH=AN+NM，从而可得CM AH AN NH AN MNAN AN AN AN++===，结合由①中△BNM∽△CAN可得的：MN：AN=MB：AC=1：2即可求得所求比值；（2）如下图3，设点M是PD的中点，过点M作直线P′D′与射线CA，CB分别交于点P′，D′，则M不是P′D′中点，此时存在MD′＞MP′或M D′＜MP′两种情况，在两种情况下，分别证明S△P′CD′＞S△PCD即可说明当点M是PD中点时，△PCD的面积最小，然后，如下图4，过点D 作DH⊥AB于点H，证得△DHM≌△PAM，进一步证得△DBM和△PCD此时是等腰直角三角形，这样结合题目中的已知数量即可求得此时△PCD的面积了.详解：（1）①∵CA=BA，∠CAB=90°，∴∠C=∠B=45°，∵∠CNM=∠ANB，∴∠CNM﹣∠ANM=∠ANB﹣∠ANM，∴∠ANC=∠BNM，∴△CNA∽△BNM，∴BM BN AC CN=，∵CA=BA，∴BM BN BA CN=；②作BH⊥BA交AN的延长线于H，∵在△BMN和△BHN中，∠MBN=∠HBN=45°，BN=BN，∠MNB=∠HNB，∴△BMN≌△BHN，则△ACM≌△BAH，∴CM=AH=AN+NH=AN+NM，由①△CNA∽△BNM，点M是AB的中点，∴AN ACMN BM=2，∴CMAN=32；（2）设点M是PD中点，过点M作直线P′D′与射线CA，CB分别交于点P′，D′，则点M不是P′D′的中点，当MD′＞MP′时，在MD′上截取ME=MP′，连接DE，则△MPP′≌△MDE，∴S△P′CD′＞S四边形P′CDE=S△PCD，当MD′＜MP′时，同理可得，S△P′CD′＞S△PCD，∴当点M是PD中点，△CPD面积的最小．如图4，作DH⊥AB于H，则△DHM≌△PAM．∴AM=1，MH=1，BH=1，∴△MDB是等腰直角三角形，∴DH=BH=AP=1，∠PDC=90°，∴△PCD是等腰直角三角形，CP=3+1=4，∴△PCD的面积=4．点睛：本题是一道涉及“全等三角形”、“相似三角形”和“等腰直角三角形”的综合性几何题，读懂题意，作出如图所示的辅助线、熟悉三种几何图形的判定与性质是正确解答本题的关键.24．3：4【解析】【分析】此题的图形比较复杂，解题时要仔细识图，理解题意，将实际问题转化为相似三角形的知识求解，相似三角形的对应边成比例．【详解】解：延长AE 交BD 的延长线于点F ，作EG ⊥DF ，垂足为G ，∵DC ∥AF ，∴△BCD ∽△BAF ．∴BC BD BA BF＝，即4.599.5BF ＝，解得BF=19（m ）．∵EG ∥AB ，∴△FEG ∽△DCB ．∴EG FG CB DB＝，即4.59EG FG ＝，解得FG=2EG ．设EG=x ，则FG=2x ，DG=19-9-2x=10-2x ．在Rt △DEG 中，由勾股定理，得x 2+（10-2x ）2=52，解得，x 1=3，x 2=5（舍去）．∴DG=4．∴左斜坡的坡比i=EG DG=3：4 【点睛】本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出树的高度，体现了转化程的思想．25．（1）见解析；（2）43 【解析】试题分析：()1由AC 平分DAB ∠，90ADC ACB ∠=∠=︒，可证得ADC ACB ∽，然后由相似三角形的对应边成比例，证得2AC AB AD =⋅．（2）证得AFD CFE ∽，然后由相似三角形的对应边成比例，求得AF FC的值．试题解析：（1）证明：∵AC 平分DAB ∠，∴DAC CAB ∠=∠，∵90ADC ACB ∠=∠=︒，∴ADC ACB ∽，∴::AD AC AC AB =，即2AC AB AD =⋅．（2）2AC AB AD =⋅．4AD =，AC =6.AB ∴=13,2CE AB == 证得AFD CFE ∽，43AF AD FC CE ==． 26．()1215AB BC =；()2 60169BD AC =；()3 AC ，BD ．【解析】【分析】根据勾股定理可求AB ；（1）将数值代入可求AB BC. （2）根据三角形面积公式可求BD ，将数值代入可求BD AC ；（3）根据比例线段的定义，找到和AB BC 、构成比例线段的两条线段．【详解】解：在Rt ABC 中，90ABC ∠=，5BC =厘米，13AC =厘米，2212AB AC BC =-=厘米．()1215AB BC =； ()2在Rt ABC 中，1122AC BD AB BC ⋅=⋅，6013BD =， 60601313169BD AC ==； ()3∵::AB AC BD BC =，∴和AB 、BC 构成比例线段的两条线段是AC ，BD ．【点睛】考查了比例线段，判定四条线段是否成比例线段，只要把四条线段按照从小到大的顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可．27．（1）不相似．理由见解析.（2）能作如图所示的辅助线进行分割．具体做法见解析.【解析】【分析】（1）根据两个直角相等但两直角的两边的比不相等，可判定这两个三角形不相似；（2）作BAM E ∠=∠，交BC 于M ；作NDE B ∠=∠，交EF 于N ．由作法和已知条件可知BAM DEN ≌．再证明，即可判断AMC FND ∽．【详解】（1）不相似．在Rt BAC 中，90A ∠=︒，34AB AC ==，；在Rt EDF 中，90D ∠=︒，32DE DF ==，，12AB AC DE DF∴==，． AB AC DE DF∴≠． Rt BAC ∴与Rt EDF 不相似．（2）能作如图所示的辅助线进行分割．具体作法：作BAM E ∠=∠，交BC 于M ；作NDE B ∠=∠，交EF 于N ．由作法和已知条件可知BAM DEN ≌． BAM E ∠=∠，NDE B ∠=∠，AMC BAM B ∠=∠+∠，FND E NDE ∠=∠+∠，BAM DEN ≌．90FDN NDE ∠=︒-∠，BAM E ∠=∠，BAM E ∠=∠．∴AMC FND ∽．考点：相似三角形的判定及性质．28．（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】试题分析：（1）通过证明△ABF ∽△CBD ，由相似三角形对应边成比例即可得出结论；（2）先证明△ABF ≌△GBF ，得到AF =FG ，BA =BG ，再证明△ABD ≌△GBD ，得到∠BAD =∠BGD ，进而得到AF ∥DG ，从而有四边形ADGF 是平行四边形，根据邻边相等的平行四边形是菱形即可得到结论．试题解析：证明：（1）∵AE 平分∠BAC ，∴∠BAC =2∠BAF =2∠EAC ．∵∠BAC =2∠C ，∴∠BAF =∠C =∠EAC ．又∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD =∠DBC ． ∵∠ABF =∠C ，∠ABD =∠DBC ，∴△ABF ∽△CBD ，∴AB BF BC BD=，∴BF •BC =AB •BD ．（2）∵FG ∥AC ，∴∠C =∠FGB ，∴∠FGB =∠F AB ．∵∠BAF=∠BGF，∠ABD=∠GBD，BF=BF，∴△ABF≌△GBF，∴AF=FG，BA=BG．∵BA=BG，∠ABD=∠GBD，BD=BD，∴△ABD≌△GBD，∴∠BAD=∠BGD．∵∠BAD=2∠C，∴∠BGD=2∠C，∴∠GDC=∠C，∴∠GDC=∠EAC，∴AF∥DG．又∵FG∥AC，∴四边形ADGF是平行四边形，∴AF=FG，∴四边形ADGF是菱形．。

精品北师大版2019-2020九年级数学上册第四章图形的相似单元检测卷答案解析

第四章图形的相似单元检测卷一、选择题(每题3分，共30分)1．已知7x ＝9y(y ≠0)，那么下列比例式中正确的是( )A.7x ＝9y B.9x ＝7yC.y x ＝97D.7x＝y 92．下列各组图形中有可能不相似的是( )A ．各有一个角是45°的两个等腰三角形B ．各有一个角是60°的两个等腰三角形C ．各有一个角是105°的两个等腰三角形D ．两个等腰直角三角形3．如图，直线a ，b ，c 被直线l 1，l 2所截，交点分别为点A ，C ，E 和点B ，D ，F .已知a ∥b∥c ，且AC ＝3，CE ＝4，则BDBF 的值是( ) A.34B.43C.37D.47(第3题) (第4题) (第6题) (第7题)4．如图，在平面直角坐标系中，有点A (6，3)，B (6，0)，以原点O 为位似中心，相似比为13，在第一象限内把线段AB 缩小后得到线段CD ，则点C 的坐标为( ) A ．(2，1)B ．(2，0)C ．(3，3)D ．(3，1)5．对于平面图形上的任意两点P ，Q ，如果经过某种变换得到新图形上的对应点P ′，Q ′，保持PQ ＝P ′Q ′，我们把这种变换称为“等距变换”．下列变换中不一定是等距变换的是( ) A ．平移B ．旋转C ．轴对称D ．位似6．如图，为估算河的宽度(河两岸平行)，在河对岸选定一个目标点A ，在近岸取点B ，C ，D ，使得AB ⊥BC ，CD ⊥BC ，点E 在BC 上，并且点A ，E ，D 在同一条直线上，若测得BE ＝20 m ，CE ＝10 m ，CD ＝20 m ，则河的宽度AB 等于( ) A ．60 mB ．40 mC ．30 mD ．20 m7．如图，在平面直角坐标系中，已知点O (0，0)，A (6，0)，B (0，8)，以某点为位似中心，作出△CDE ，使它与△AOB 位似，且相似比为k ，则位似中心的坐标和k 的值分别为( ) A ．(0，0)，2 B ．(2，2)，12 C ．(2，2)，2D ．(1，1)，128．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝3，点E 是AD 的中点，CF ⊥BE 于点F ，则CF 等于( ) A ．2B ．2.4C ．2.5D ．2.259．如图，在▱ABCD 中，E 是CD 上的一点，DE ∶EC ＝2∶3，连接AE ，BE ，BD ，且AE ，BD交于点F ，则S △DEF ∶S △EBF ∶S △ABF 等于( ) A ．2∶5∶25B ．4∶9∶25C ．2∶3∶5D ．4∶10∶2510．如图，在矩形ABCD 中，点E 为AD 上一点，且AB ＝8，AE ＝3，BC ＝4，点P 为AB 边上一动点，连接PC ，PE ，若△P AE 与△PBC 是相似三角形，则满足条件的点P 的个数为( ) A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个(第8题) (第9题) (第10题) (第13题) (第14题) 二、填空题(每题3分，共24分)11．假期，爸爸带小明去A 地旅游，小明想知道A 地与他所居住的城市的距离，他在比例尺为1∶500 000的地图上测得所居住的城市距A 地32 cm ，则小明所居住的城市与A 地的实际距离为________．12．若a ＋b c ＝b ＋c a ＝c ＋ab ＝k (a ＋b ＋c ≠0)，则k ＝________.13．如图，已知点C 是线段AB 的黄金分割点，且BC >AC .若S 1表示以BC 为边的正方形的面积，S 2表示长为AD (AD ＝AB )、宽为AC 的矩形的面积，则S 1与S 2的大小关系为____________．14．如图，在△ABC 中，D ，E 分别是AB 和AC 的中点，F 是BC 延长线上一点，DF 平分CE于点G ，CF ＝1，则BC ＝________，△ADE 与△ABC 的周长之比为________，△CFG 与△BFD 的面积之比为________．15．如图，以点A 为位似中心，把正方形ABCD 的各边缩小为原来的一半，得到正方形A ′B ′C ′D ′，则点C 的对应点C ′的坐标为________．(第15题) (第16题) (第17题) (第18题)16．如图，阳光通过窗口AB 照射到室内，在地面上留下4 m 宽的区域DE ，已知点E 到窗口下的墙脚C 的距离为5 m ，窗口AB 高2 m ，那么窗口底端B 距离墙脚C ________m. 17．如图，已知点P 是边长为4的正方形ABCD 内一点，且PB ＝3，BF ⊥BP ，垂足是点B ，若在射线BF 上找一点M ，使以点B ，M ，C 为顶点的三角形与△ABP 相似，则BM 的长为________．18．如图，正三角形ABC 的边长为2，以BC 边上的高AB 1为边作正三角形AB 1C 1，△ABC 与△AB 1C 1公共部分的面积记为S 1，再以正三角形AB 1C 1的边B 1C 1上的高AB 2为边作正三角形AB 2C 2，△AB 1C 1与△AB 2C 2公共部分的面积记为S 2，……，以此类推，则S n ＝________(用含n 的式子表示，n 为正整数)．三、解答题(19，20题每题8分，24题14分，其余每题12分，共66分)19．如图，矩形ABCD 为一密封的长方体纸盒的纵切面的示意图，AB 边上的点E 处有一小孔，光线从点E 处射入，经纸盒底面上的平面镜反射，恰好从点D 处的小孔射出．已知AD ＝26 cm ，AB ＝13 cm ，AE ＝6 cm. (1)求证：△BEF ∽△CDF ； (2)求CF 的长．(第19题)20．如图，△ABC 三个顶点的坐标分别为A (1，2)，B (3，1)，C (2，3)，以原点O 为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍得△A′B′C′.(1)在图中第一象限内画出符合要求的△A′B′C′(不要求写画法)；(2)计算△A′B′C′的面积．(第20题)21．如图，在▱ABCD中，过点A作AE⊥BC于点E，连接DE，点F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B.(1)求证：△ADF∽△DEC；(2)若AB＝8，AD＝63，AF＝43，求AE的长．(第21题) 22．如图，某水平地面上有一建筑物AB，在点D和点F处分别竖有2米高的标杆CD和EF，两标杆相距52米，并且建筑物AB、标杆CD和EF在同一竖直平面内，从标杆CD后退2米到点G处，点G与建筑物顶端A和标杆顶端C在同一条直线上；从标杆EF后退4米到点H处，点H与建筑物顶端A和标杆顶端E在同一条直线上，求建筑物AB的高度．(第22题)23．如图，在矩形ABCD中，AB＝12 cm，BC＝6 cm，点P沿AB边从点A开始向点B以2 cm/s 的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1 cm/s的速度移动．如果P，Q同时出发，用t(s)表示移动的时间(0≤t≤6)，那么：(1)当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？(2)对四边形QAPC的面积，提出一个与计算结果有关的结论．(3)当t为何值时，以点Q，A，P为顶点的三角形与△ABC相似？24．如图①，在R t△ABC中，∠B＝90°，BC＝2AB＝8，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接DE. 将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α.(1)当α＝0°和α＝180°时，求AEBD的值．(2)试判断当0°≤α＜360°时，AEBD的大小有无变化？请仅就图②的情况给出证明．(3)当△EDC旋转至A，D，E三点共线时，求线段BD的长．答案一、1.B 2.A3．C 点拨：因为a ∥b ∥c ，所以BD BF ＝AC AE ＝33＋4＝37.4．A 5.D6．B 点拨：∵AB ⊥BC ，CD ⊥BC ，∴∠ABE ＝∠DCE ＝90°. 又∵∠AEB ＝∠DEC ， ∴△ABE ∽△DCE . ∴AB DC ＝BE CE ，即AB 20＝2010. ∴AB ＝40 m . 7．B8．B 点拨：由∠A ＝90°，CF ⊥BE ，AD ∥BC ，易证△ABE ∽△FCB . ∴AB BE ＝CF BC .由AE ＝12×3＝1.5， AB ＝2，易得BE ＝2.5， ∴22.5＝CF3.∴CF ＝2.4. 9．D10．C 点拨：设AP ＝x ，则BP ＝8－x ，当△P AE ∽△PBC 时， AE BC ＝P A PB ，∴AE ·PB ＝BC ·P A ，即3(8－x )＝4x ，解得x ＝247. 当△P AE ∽△CBP 时，AE PB ＝P A BC ，∴AE ·BC ＝P A ·PB ，即3×4＝x (8－x )，解得x ＝2或6. 故满足条件的点P 的个数为3个．二、11.160 km 点拨：设小明所居住的城市与A 地的实际距离为x km ，根据题意可列比例式为1500 000＝32x ×105，解得x ＝160. 12．2 点拨：∵a ＋b c ＝b ＋c a ＝c ＋ab ＝k ，∴2a ＋2b ＋2ca ＋b ＋c＝k ，故k ＝2.易错提醒：在运用等比性质时，注意分母的和不等于0这个条件． 13．S 1＝S 2 点拨：∵点C 是线段AB 的黄金分割点，且BC >AC ，∴BC 2＝AC ·AB .又∵S 1＝BC 2，S 2＝AC ·AD ＝AC ·AB ，∴S 1＝S 2. 14．2；；15．(2，1)或(0，－1) 点拨：如图，以点A 为位似中心，把正方形ABCD 的各边缩小为原来的一半，得正方形A ′B ′C ′D ′，根据图形可得点C ′的坐标为(2，1)或(0，－1)．(第15题)易错提醒：此类题要注意多种可能：位似图形可能位于位似中心的同侧，也可能位于位似中心的两侧，要分情况进行讨论．16．2.5 点拨：由题意得CE ＝5 m ，AB ＝2 m ，DE ＝4 m.∵AD ∥BE ， ∴BC AB ＝CE ED ， ∴BC 2＝54，解得BC ＝2.5 m ，即窗口底端B 距离墙脚C 2.5 m.17.163或3 点拨：∵∠ABC ＝∠FBP ＝90°，∴∠ABP ＝∠CBF .当△MBC ∽△ABP 时，BM ∶AB＝BC ∶BP ，得BM ＝4×4÷3＝163；当△CBM ∽△ABP 时，BM ∶BP ＝CB ∶AB ，得BM ＝4×3÷4＝3.18.32×⎝ ⎛⎭⎪⎫34n点拨：在正三角形ABC 中，AB 1⊥BC ， ∴BB 1＝12BC ＝1.在R t △ABB 1中，AB 1＝AB 2－BB 21＝22－12＝3，根据题意可得△AB 2B 1∽△AB 1B ，记△AB 1B 的面积为S ，∴S 1S ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322.∴S 1＝34S .同理可得S 2＝34S 1，S 3＝34S 2，S 4＝34S 3，…. 又∵S ＝12×1×3＝32， ∴S 1＝34S ＝32×34，S 2＝34S 1＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫342，S 3＝34S 2＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫343，S 4＝34S 3＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫344，…，S n ＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫34n. 三、19.(1)证明：∵FG ⊥BC ，∠EFG ＝∠DFG ，∴∠BFE ＝∠CFD . 又∵∠B ＝∠C ＝90°， ∴△BEF ∽△CDF .(2)解：设CF ＝x cm ，则BF ＝(26－x )cm ， ∵AB ＝13 cm ，AE ＝6 cm ， ∴BE ＝7 cm ，由(1)得，△BEF ∽△CDF ， ∴BE CD ＝BF CF ，即713＝26－xx ，解得x ＝16.9，即CF ＝16.9 cm.20．解：(1)如图．(2)S △A ′B ′C ′＝4×4－12×2×2－12×2×4－12×2×4＝6.(第20题)21．(1)证明：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AD ∥BC ，∠B ＋∠C ＝180°， ∴∠ADE ＝∠DEC .又∵∠AFE ＝∠B ，∠AFE ＋∠AFD ＝180°， ∴∠AFD ＝∠C ， ∴△ADF ∽△DEC .(2)解：在▱ABCD 中，CD ＝AB ＝8. ∵△ADF ∽△DEC ， ∴AF CD ＝AD DE ，即438＝63DE ，解得DE ＝12. ∵AE ⊥BC ，AD ∥BC ， ∴AE ⊥AD .在Rt △AED 中，由勾股定理，得AE ＝122－（63）2＝6. 22．解：由题意得，CD ＝DG ＝EF ＝2，DF ＝52，FH ＝4.∵AB ⊥BH ，CD ⊥BH ，EF ⊥BH ， ∴∠ABH ＝∠CDG ＝∠EFH ＝90°. 又∵∠CGD ＝∠AGB ，∠EHF ＝∠AHB ， ∴△CDG ∽△ABG ，△EFH ∽△ABH ， ∴CD AB ＝DG BG ，EF AB ＝FH BH ，即CD AB ＝DGDG ＋BD，EF AB ＝FH FH ＋DF ＋BD ， ∴2AB ＝22＋BD ，2AB ＝44＋52＋BD， ∴22＋BD ＝44＋52＋BD，解得BD ＝52， ∴2AB ＝22＋52，解得AB ＝54. 答：建筑物AB 的高度为54米．23．解：(1)由题意知AP ＝2t ，DQ ＝t ，QA ＝6－t ，当QA ＝AP 时，△QAP 是等腰直角三角形，所以6－t ＝2t ，解得t ＝2.(2)四边形QAPC 的面积＝S △QAC ＋S △APC ＝12AQ ·CD ＋12AP ·BC ＝(36－6t )＋6t ＝36(cm 2)．在P ，Q 两点移动的过程中，四边形QAPC 的面积始终保持不变．(3)分两种情况：①当AQ AB ＝AP BC 时，△QAP ∽△ABC ，则6－t 12＝2t 6，即t ＝1.2；②当QA BC ＝AP AB 时，△P AQ ∽△ABC ，则6－t 6＝2t 12，即t ＝3.所以当t ＝1.2或3时，以点Q ，A ，P 为顶点的三角形与△ABC 相似．24．解：(1)当α＝0°时，∵BC ＝2AB ＝8，∴AB ＝4.∵点D ，E 分别是边BC ，AC 的中点，∴BD ＝4，AE ＝EC ＝12AC .∵∠B ＝90°，∴AC ＝82＋42＝4 5.∴AE ＝CE ＝2 5.∴AE BD ＝254＝52.当α＝180°时，如图①，易得AC ＝45，CE ＝25，CD ＝4，∴AE BD ＝AC ＋CE BC ＋CD ＝45＋258＋4＝52.(第24题)(2)无变化．证明：在题图①中，∵DE 是△ABC 的中位线，∴DE ∥AB .∴CE CA ＝CDCB ，∠EDC ＝∠B ＝90°.在题图②中，∵△EDC 在旋转过程中形状大小不变，∴CE CA ＝CD CB 仍然成立．又∵∠ACE ＝∠BCD ＝α，∴△ACE ∽△BCD .∴AE BD ＝AC BC .由(1)可知AC ＝4 5.∴AC BC ＝458＝52.∴AE BD ＝52.∴AE BD 的大小不变．(3)当△EDC 在BC 上方，且A ，D ，E 三点共线时，四边形ABCD 为矩形，如图②，∴BD ＝AC ＝45；当△EDC 在BC 下方，且A ，E ，D 三点共线时，△ADC 为直角三角形，如图③，由勾股定理可得AD ＝AC 2－CD 2＝8.又易知DE ＝2，∴AE ＝6.∵AE BD ＝52，∴BD ＝1255.综上，BD 的长为45或1255.。

2020年第四章相似图形单元达标检测(含答案)

R Q PKHG FED C B A第四章相似图形单元达标检测一、选择题1．若两个相似三角形的面积之比为1∶4，则它们的周长之比为（） A ．1∶2 B ．1∶4 C ．1∶5 D ．1∶16 2．在相同时刻的物高与影长成正比．如果高为1.5m 的竹竿的影长为2.5m ，那么影长为30m 旗杆的高是A. 15mB. 16mC. 18mD. 20m3．已知△ABC 如右图，则下列4个三角形中，与△ABC 相似的是（）,A B C D4．如图，身高1．6m 的学生想测量学校旗杆的高度，当他站在C 处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，并测得AC =2．0m ，BC =8．0m ，则旗杆的高度是 A ．6．4m B ．7．0m C ．8．0m D ．9．0m(第4题) (第5题)5．如图，点D 在△ABC 的边AC 上，要判断△ADB 与△ABC 相似，添加一个条件，不正确．．．的是【】A ．∠ABD =∠CB ．∠ADB =∠ABC C ．AB CB BD CD = D ．AD ABAB AC=6．如图，Rt △ABC 中，∠C =90°，有三个正方形CDEF 、DGHK 、GRPQ ，它们分别是△ACB 、△EDB 和△HGB 的内接正方形，EF =10cm ，HK =7cm ，则第三个正方形的边长PQ 的长为（）．A. 4cmB. 5cmC. 4.5 cmD. 4.9 cmMO DCBA(第6题) (第7题) (第8题)7．如图所示，一般书本的纸张是原纸张多次对开得到的，矩形ABCD沿EF对开后，再把矩形EFCD沿MN对开，依次类推，若各种开本的矩形都相似，那么ABAD等于（）A．0.618 B．22C．2D．28．如图，已知正方形ABCD的边长为1，M是AB的中点，则图中阴影部分的面积是A．29B．14C．15D．16二、填空题9．地图上某城市面积为80cm2，实际该城市面积为320 km2.这地图的比例尺为10．据有关实验测定，当气温处于人体正常体温（37o C）的黄金比值时,人体感到最舒适。

北师大版九年级上册数学第四章图形的相似(单元综合卷)(解析版)

第四章图形的相似（单元综合卷）一、单选题1．若0234a b c ==≠，则22a b c a-+= ( ) A ．45 B ．54 C ．34 D ．无法确定【答案】B【解析】【分析】设比值为k ，然后用k 表示出a 、b 、c ，再代入算式进行计算即可求解.【详解】设234a b c k ===、则2a k =、3b k =、4c k =、 ∴2223452224a b c k k k a k -+⨯-+==⨯. 故选、B .【点睛】本题考查了比例的性质，利用设“k ”法表示出a 、b 、c 是解题的关键，设“k ”法是中学阶段常用的方法之一，需熟练掌握并灵活运用.2．若、ABC、、DEF ，且、ABC 与、DEF 的面积比是94，则、ABC 与、DEF 对应中线的比为（） A ．23 B ．8116 C ．94 D ．32【解析】【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，再结合相似三角形的对应中线的比等于相似比解答即可．【详解】、、ABC、、DEF、、ABC与、DEF的面积比是9 4、、、ABC与、DEF的相似比为3 2、、、ABC与、DEF对应中线的比为3 2、故选D、【点睛】考查的是相似三角形的性质，相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方；相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．3．如图，在ABC中，点D在BC边上，连接AD，点G在线段AD上，过点G作//GE BD，交AB边于点E，作//GF AC，交BC边于点F，则下列结论中一定正确的是（）A．AB AGAE AD=B．DF DGCF AD=C．FG EGAC BD=D．AE CFBE DF=【答案】D 【解析】由GE、BD、GF、AC利用平行线分线段成比例，可得出AE AGBE DG=，AG CFDG DF=，进而可得出AE CFBE DF=，此题得解．【详解】、GE、BD，GF、AC，、AE AGBE DG=，AG CFDG DF=，、AE CF BE DF=．故选：D．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，利用平行线分线段成比例，找出AE AGBE DG=，AG CFDG DF=是解题的关键．4．如图，平面直角坐标系中，点E（﹣4，2），F（﹣1，﹣1），以原点O为位似中心，把、EFO缩小为、E′F′O，且、E′F′O与、EFO的相似比为1：2，则点E的对应点E′的坐标为（）A．（2，﹣1）B．（8，﹣4）C．（2，﹣1）或（﹣2，1）D．（8，﹣4）或（﹣8，4）【答案】C【解析】【分析】利用位似图形的性质，即可求得点E的对应点E'的坐标．【详解】、点E（﹣4，2），以O为位似中心，按2：1的相似比把、EFO缩小为、E'F'O，、点E的对应点E'的坐标为：（2，﹣1）或（﹣2，1）．故选C．【点睛】本题考查了位似图形的性质．此题比较简单，注意熟记位似图形的性质是解答此题的关键．5．兴趣小组的同学要测量树的高度．在阳光下，一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为0.4米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，如图所示，若此时落在地面上的影长为4.4米，则树高为（、A．11.5米B．11.75米C．11.8米D．12.25米【答案】C【解析】【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．本题中：经过树在台阶上的影子的顶端作树的垂线和经过树顶的太阳光线以及树所成三角形，与竹竿，影子光线形成的三角形相似，这样就可求出垂足到树的顶端的高度，再加上台阶的高就是树高．【详解】如图，根据题意可知EF=BC=4.4米，DE=0.2米，BE=FC=0.3米，则ED=4.6米，、同一时刻物高与影长成正比例，、AE、ED=1、0.4、即AE、4.6=1、0.4、、AE=11.5米，、AB=AE+EB=11.5+0.3=11.8米，、树的高度是11.8米、故选C.【点睛】本题考查了相似三角形的应用，把实际问题抽象到相似三角形中，根据相似三角形的相似比，列出方程进行求解是关键.6．如图所示的两个四边形相似、则α的度数是()A．60°B．75°C．87°D．120°【答案】C【解析】【分析】根据相似多边形性质：对应角相等.【详解】由已知可得：α的度数是：360〫-60〫-75〫-138〫=87〫故选C【点睛】本题考核知识点：相似多边形.解题关键点：理解相似多边形性质.7．下列条件中，能使ABC DEF ∽△△成立的是（）A ．、C ＝98°，、E ＝98°，AC DE BC DF； B ．AB ＝1，AC ＝1.5，BC ＝2，EF ＝8，DE ＝10，FD ＝6C ．、A ＝、F ＝90°，AC ＝5，BC ＝13，DF ＝10，EF ＝26；D ．、B ＝35°，BC ＝10，BC 上的高AG ＝7；、E ＝35°，EF ＝5，EF 上的高DH ＝3.5【答案】D【解析】【分析】根据相似三角形的判定定理对四个选项进行分析即可.【详解】A 、若、ABC~、DEF ，则AC DF =BC EF，故本选项错误； B 、若、ABC~、DEE ，则AB AC BC ==DE DF EF 而AB 1=DE 10≠AC 1.5=DF 6，故本选项错误； C 、若、ABC~、DEF ，、A ＝90°，则、D ＝90°，故本选项错误；D 、BC AG ==2EF DH且、AGC ＝、BHF ＝90°，因此、AGC、、BHF ，所以、C ＝、F ，而、B ＝、E ＝35°，因此可判断相似，故本选项正确；所以D 选项是正确的.【点睛】本题考查的是相似三角形的判定定理，解答此类题目时要熟知相似三角形的判定方法，即：（1）三组对应边的比相等的两个三角形相似；（2）两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（3）有两组角对应相等的两个三角形相似8．如图，、ABC 中，点D 在AB 上，过点D 作DE、BC 交AC 于点E ，过点E 作 EF、AB 交BC 于点F ，连接CD ，交EF 于点G ，则下列说法不正确的是（、A ．BD BF FG FC =B ．DE AE BC AC = C ．AD AE AB AC = D ．BF AD BC AB= 【答案】A【解析】因为DE、BC, 所以,,DE AE AD AE BC AC AB AC== 因为EF、AB, 所以,,BF AE BD BC BC AC FK CF== 所以,BF AD BC AB = 故选A.9．如图， ABC 中， 90C ∠=︒，3,4,AC BC M ==是BC 边上的动点，过M 作//MN AB 交AC 于点,N P 是MN 的中点，当PA 平分BAC ∠时， BM =（）A ．2011B ．2013C ．1511D ．2513【答案】A【解析】【分析】根据题意作PD AC ⊥于D ，PE AB ⊥于,E MF AB ⊥于F ，利用相似三角形判定证得BMF BAC ∽，进而设3,PD PE MF x ===建立方程求解即可．【详解】解：作PD AC ⊥于D ，PE AB ⊥于,E MF AB ⊥于F ，则,PD PE MF BMF BAC ==∽．、3,4,AC BC ==、5AB =设3,PD PE MF x ===则26,5CM PD x BM x ===由65114,BC x x x =+==得420 =,1111x BM =．故选：A ．【点睛】本题考查三角形动点问题，熟练掌握相似三角形判定并运用方程结合思维进行分析是解题的关键． 10．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，CE 平分、DCB 交BD 于点F ，且、ABC ＝60°，AB ＝2BC ，连接OE ，下列结论：、、ACD ＝30°；、S 平行四边形ABCD ＝AC BC ⋅；、OE ：AC ＝1：4；、S 、OCF ＝2S 、OEF ．其中正确的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】【分析】由四边形ABCD 是平行四边形，得到、ABC=、ADC=60°，、BAD=120°，根据角平分线的定义得到、DCE=、BCE=60°推出、CBE 是等边三角形，证得、ACB=90°，求出、ACD=、CAB=30°，故、正确；由AC、BC ，得到S、ABCD=AC•BC ，故、正确；根据直角三角形的性质得到，根据三角形的中位线的性质得到OE=12BC ，于是得到OE ：AC=6，故、错误；由三角形的中位线可得BC、OE ，可判断、OEF、、BCF ，根据相似三角形的性质得到CF BC EF OE==2，求得S 、OCF =2S 、OEF ；故、正确．【详解】解：、四边形ABCD是平行四边形，、、ABC=、ADC=60°，、BCD=120°，、CE平分、BCD交AB于点E，、、DCE=、BCE=60°、、CBE是等边三角形，、BE=BC=CE，、AB=2BC，、AE=BC=CE，、、ACB=90°，、、ACD=、CAB=30°，故、正确；、AC、BC，、S、ABCD=AC•BC，故、正确，在Rt、ACB中，、ACB=90°，、CAB=30°，，、AO=OC，AE=BE，、OE=12 BC，、OE：6；故、错误；、AO=OC，AE=BE，、OE、BC，、、OEF、、BCF ，、CF BC EF OE==2 、S 、OCF ：S 、OEF =CF EF =2，、S 、OCF =2S 、OEF ；故、正确．故选C ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、三角形中位线、相似三角形的性质，熟练掌握并灵活运用是解题的关键．二、填空题11．如图，已知一组平行线////a b c ，被直线m 、n 所截，交点分别为A 、B 、C 和D 、E 、F ，且3AB =，4BC =， 4.8EF =，则DE 的长为__________．【答案】3.6【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理即可得．【详解】由平行线分线段成比例定理得：AB DE BC EF= 3AB =，4BC =， 4.8EF =34 4.8DE ∴= 解得 3.6DE =故答案为：3.6．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟记平行线分线段成比例定理是解题关键．12．已知x 是正整数，且x 是4和16的比例中项，那么x =______．【答案】8【解析】【分析】根据比例中项的性质进行求解．【详解】解：、x 是4和16的比例中项，且是正整数，、241664x =⨯=，解得8x =．故答案是：8．【点睛】本题考查比例中项的性质，解题的关键是掌握比例中项的性质．13．如图，、ABC 与、A′B′C′是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是__、【答案】（9，0）【解析】【分析】【详解】根据位似图形的定义，连接A′A，B′B并延长交于(9，0)，所以位似中心的坐标为(9，0)．故答案为：(9，0)．14．如图，小明在A时测得某树的影长为2m，B时又测得该树的影长为8m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为_____m.【答案】4【解析】【分析】根据题意，画出示意图，易得：Rt、EDC、Rt、CDF，进而可得EDDC=DCFD；即DC2=ED•FD，代入数据可得答案．【详解】如图：过点C作CD、EF，由题意得：、EFC是直角三角形,、ECF=90°，、、EDC=、CDF=90°，、、E+、ECD=、ECD+、DCF=90°，、、E=、DCF，、Rt、EDC、Rt、CDF，有EDDC=DCFD;即DC2=ED FD，代入数据可得DC2=16，DC=4；故答案为4.【点睛】本题考查了相似三角形的应用，能够将实际问题转化为相似三角形的问题是解题的关键.15．如图，E，F分别为矩形ABCD的边AD，BC的中点，且矩形ABCD与矩形EABF相似，AB＝1，则BC 的长为_____．【解析】【分析】根据相似多边形的性质列出比例式，计算即可．【详解】、矩形ABCD与矩形EABF相似，、AEAB＝ABAD，即121AD＝1AD，解得，AD，、矩形ABCD 的面积＝AB •AD ，．【点睛】本题考查了相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应边的比相等是解题的关键.16．如图，////AB EF DC ，//AD BC ，EF 与AC 交于点G ，则是相似三角形共有__________对．【答案】6【解析】【分析】图中三角形有：、AEG ，、ADC ，、CFG ，、CBA ，因为////AB EF DC ，//AD BC ，所以、AEG、、ADC、、CFG、、CBA ，有6中组合，据此可得出答案.【详解】图中三角形有：、AEG ，、ADC ，、CFG ，、CBA ，、////AB EF DC ，//AD BC ，、、AEG、、ADC、、CFG、、CBA共有6个组合分别为：、AEG、、ADC ，、AEG、、CFG ，、AEG、、CBA ，、ADC、、CFG ，、ADC、、CBA ，、CFG、、CBA故答案为6.【点睛】本题考查的是相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键.17．如图，在三角形ABC中，AB＝24，AC＝18，D是AC上一点，AD=12，在AB上取一点E，使A、D、E三点组成的三角形与ABC相似，则AE＝__________.【答案】9或16【解析】【分析】根据相似三角形的判断，要使得、ADE与、ABC相似，已经满足、BAC＝、DAE，因此只要两边对应成比例即可，由于本题中三角形相似，对应点没有确定，因此分两种情况，画出图形，然后根据相似三角形对应边成比例，就出AE的长.【详解】第一种情况：当、ABC、、ADE时，如图、；、、ABC、、ADE，、AB AC AD AE=，、AB＝24，AC＝18，AD＝12，、2418 12AE=，、AE＝9.第二种情况：当、ABC、、AED ，如图、；、、ABC、、AED ，、AB AC AE AD=，、AB ＝24，AC ＝18，AD ＝12，、241812AE =，、AE ＝16.故填9或16.考点：相似三角形的性质.18．如图，在ABC ∆中，D 、E 分别是AB 、BC 上的点，且DE AC ，若:1:4BDE CDE S S ∆∆=，则:BDE ACD S S ∆∆=______.【答案】1:20【解析】【分析】根据、BDE和、CDE高相同得到BE:EC=1:4,再证明、BDE、、BAC,利用面积比等于相似比的平方即可解题.【详解】、、BDE和、CDE高相同,且:1:4BDE CDES S=,、BE:EC=1:4,、//DE AC、、BDE、、BAC,即BE:BC=1：5、:BDE BACS S=1:25、:BDE ACDS S=1、、25-1-4、=1:20【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质,属于简单题,熟悉相似三角形性质是解题关键.19．如图，在矩形ABCD中，BC＝4，AB＝2，Rt、BEF的顶点E在边CD上，且、BEF＝90°，EF＝12 BE，DF BE＝_____．【解析】【分析】过F作FG、CD，交CD的延长线于G，依据相似三角形的性质，即可得到FG＝12EC，GE＝2＝CD；设EC＝x，则DG＝x，FG＝12x，再根据勾股定理，即可得到CE2＝94，最后依据勾股定理进行计算，即可得出BE的长．【详解】解：如图所示，过F作FG、CD，交CD的延长线于G，则、G＝90°，、四边形ABCD是矩形，、、C＝90°，AB＝CD＝2，又、、BEF＝90°，、、FEG+、BEC＝90°＝、EBC+、BEC，、、FEG＝、EBC，又、、C＝、G＝90°，、、BCE、、EGF，、FG GE EF EC CB BE ==，即142EG CE EC ==，、FG ＝12EC ，GE ＝2＝CD ，、DG ＝EC ，设EC ＝x ，则DG ＝x ，FG ＝12x ，、Rt、FDG 中，FG 2+DG 2＝DF 2，、（12x ）2+x 22，解得x 2＝94，即CE 2＝94，、Rt、BCE 中，BE ==．【点睛】本题主要考查了相似三角形和勾股定理的结合，准确分析计算是解题的关键．20．如图，在直角坐标系中，将OAB 绕原点旋转到OCD ，其中()3,1A -、()4,3B ，点D 在x 轴正半轴上，则点C 的坐标为_______．【答案】913,55⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】【分析】连接AC 、BD ，设点C 的坐标为（a ，b ），根据平面直角坐标系中任意两点之间的距离公式即可求出OA 、OB ，由旋转的性质即可求出OC 和OD ，从而证出OAC、OBD ，列出比例式即可求出AC ，再利用平面直角坐标系中任意两点之间的距离公式列出方程即可求出结论．【详解】解：连接AC 、BD ，设点C 的坐标为（a ，b ）、()3,1A -、()4,3B ，=5由旋转的性质可得，OD=OB=5，、AOC=、BOD、点D 的坐标为（5,0）,OA OC OB OD==OAC、OBD、AC OA BDOB== 解得AC=2、()()222210314a b a b ⎧+=⎪⎨++-=⎪⎩ 解得：95135a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或31a b =-⎧⎨=-⎩ 、点C 在第二象限，、95135a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即点C 913,55⎛⎫- ⎪⎝⎭ 故答案为：913,55⎛⎫- ⎪⎝⎭．【点睛】此题考查的是坐标与图形的变化、相似三角形的判定及性质和平面直角坐标系中任意两点之间的距离公式，此题难度较大，掌握旋转的性质、相似三角形的判定及性质和平面直角坐标系中任意两点之间的距离公式是解决此题的关键．三、解答题21．化简并求值：已知2,235a c e a c e b d f===-+=，求b -2d+3f 的值．【答案】52【解析】【分析】由2a c e b d f===可知2,2,2a b c d e f ===，代入235a c e -+=易得b -2d+3f 的值．【详解】解：2a c e b d f=== 2,2,2a b c d e f ∴===232462(23)5a c e b d f b d f ∴-+=-+=-+=5232b d f ∴-+=【点睛】本题考查了比例的性质，灵活的利用比例进行等量代换是解题的关键.22．如图，已知DE、BC ，FE、CD ，AF ＝3，AD ＝5，AE ＝4．（1）求CE 的长；（2）求AB 的长．【答案】（1）CE＝83；（2）AB＝253．【解析】【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理列出比例式求出AC即可解决问题；（2）根据平行线分线段成比例定理列出比例式，然后代入数据计算即可．【详解】解：（1）、FE、CD，、AEAC＝AFAD，即4AC＝35，解得，AC＝203，则CE＝AC﹣AE＝203﹣4＝83；（2）、DE、BC，、ADAB＝AEAC，即5AB＝4203，解得，AB＝253．【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．23．如图，在、ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，、AED=、B，射线AG分别交线段DE，BC于点F，G，且AD DF AC CG=．（1）求证：、ADF、、ACG；（2）若12ADAC=，求AFFG的值．【答案】(1)证明见解析；（2、1.【解析】（1）欲证明、ADF、、ACG，由可知，只要证明、ADF=、C即可．（2）利用相似三角形的性质得到，由此即可证明．【解答】（1）证明：、、AED=、B，、DAE=、DAE，、、ADF=、C，、，、、ADF、、ACG．（2）解：、、ADF、、ACG，、，又、，、，、1．24．已知：平行四边形ABCD，E是BA延长线上一点，CE与AD、BD交于G、F．求证：2CF GF EF=⋅．【答案】详见解析【解析】【分析】由平行四边形对边互相平行，可得平行线分线段成比例，得出比例式进行等比代换即可得证.【详解】解：、四边形ABCD 是平行四边形，、AD BC ∥，AB CD ∥．、GF DF CF BF =，CF DF EF BF= 、GF CF CF EF =，即2CF GF EF =⋅．【点睛】本题考查证明线段乘积关系，由平行线分线段成比例得到比例式是解决本题的关键.25．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点、ABC （顶点是网格线的交点），在建立的平面直角坐标系中，、ABC 绕旋转中心P 逆时针旋转90°后得到、A 1B 1C 1、、1）在图中标示出旋转中心P ，并写出它的坐标；、2）以原点O 为位似中心，将、A 1B 1C 1作位似变换且放大到原来的两倍，得到、A 2B 2C 2，在图中画出、A 2B 2C 2，并写出C 2的坐标．【答案】、1、见解析、P点坐标为（3、1、、、2、作图见解析、C2的坐标为（2、4）或（﹣2、、4、、【解析】【分析】、1）作BB1和AA1的垂直平分线，它们的交点即为P点，然后写出P点坐标；（2）把点A1、B1、C1的横纵坐标都乘以2或-2得到对应点A2、B2、C2的坐标，然后描点即可得到、A2B2C2、【详解】、、、1）如图，点P为所作，P点坐标为（3、1、、、2）如图，、A2B2C2为所作，C2的坐标为（2、4）或（﹣2、、4、、【点睛】本题考查了位似变换：先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；接着根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；然后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．26．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE、BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且、AFE=、B（1）求证：、ADF、、DEC；（2）若AB=8，AE的长．【答案】（1）见解析（2）6【解析】【分析】（1）利用对应两角相等，证明两个三角形相似、ADF、、DEC.（2）利用、ADF、、DEC，可以求出线段DE的长度；然后在在Rt、ADE中，利用勾股定理求出线段AE的长度.【详解】解：（1）证明：、四边形ABCD是平行四边形，、AB、CD，AD、BC、、C+、B=180°，、ADF=、DEC、、AFD+、AFE=180°，、AFE=、B，、、AFD=、C在、ADF与、DEC中，、、AFD=、C，、ADF=、DEC，、、ADF、、DEC（2）、四边形ABCD是平行四边形，、CD=AB=8．由（1）知、ADF、、DEC，、AD AF DE CD=，、AD CDDE12AF⋅===在Rt、ADE中，由勾股定理得：AE6===27．如图，在菱形ABCD中，60C︒∠=，4AB=,点E是边BC的中点，连接DE,AE.（1）求DE的长；（2）点F为边CD上的一点，连接AF，交DE于点G，连接EF，若DAG FEG∠=∠,、求证：、AGE∽、DGF；、求DF的长.【答案】（1）DE=（2）、详见解析；、1.【解析】【分析】（1）只要证明DE 是等边、DBC 的高即可解决问题；（2）、由、AGD、、EGF ，可得AG DG EG FG=，即可推出AG EG DG FG =又、AGE=、DGF ，即可推出、AGE、、DGF ；、根据相似求出EF,再根据勾股定理求出FH 的长，再求出CF 即可解决问题.【详解】解：（1）连结BD4604122∵四边形是菱形，∵△是等边三角形∵点是边的中点ABCD CB CD AB C CDB DB DC BC E BC BE EC BC DE BCDE ︒∴===∠=∴∴===∴===∴⊥∴==（2）、DAG FEG AGD EGFAGD EGFAG DG EG FG AG EG DG FGAGE DGFAGE DGF∠=∠∠=∠∴∴=∴=∠=∠∴∵，△∽△又∵△∽△ 、,9030,901222131∵△∽△∵又∵过点作于点在△中，AGE DGF DE BCEAG GDF C AGD EGF AGE DGFGFE ADG DE EF AE E EH DC HRt ECH FH CF FH CH DF CD CF ︒︒︒⊥∴∠=∠=-∠=∠=∠∠=∠∴∠=∠==∴===⊥==∴=+=+=∴=-=【点睛】此题考查菱形的性质、相似三角形的判定和性质、直角三角形30°角性质、勾股定理等知识，解题的关键是准确寻找相似三角形解决问题，所以中考常考题型．。

2020年秋北师大版九年级数学上册第四章图形的相似单元提高检测题(含解析)

2020年秋北师大版九年级数学上册第四章图形的相似单元提高检测题解析版一、选择题（共10题；共30分）1.给出下列各组线段，其中成比例线段的是（）A. 1cm,2cm,3cm,4cmB. 2cm,3cm,4cm,5cmC. 0.3m,0.6m,0.5m,0.9mD. 1cm,√5cm,2√3cm,2√15cm2.已知x ：y ：z=3：4：6，则 x+y−z x−y+z 的值为（）A. 15B. 1C. 135D. 1133.如图，一张矩形报纸ABCD 的长AB=a ，宽BC=b ，E,F 分别是AB ，CD 的中点，将这张报纸沿着直线EF 对折后，矩形AEFD 的长与宽的比等于矩形ABCD 的长与宽的比，则a:b 等于（）A. √2:1B. 1:√2C. √3:1D. 1:√34.某数学活动小组在利用太阳光线测量某棵树 AB 的高度时，发现树 AB 的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上.经测量，落在墙壁上影高 CD 为2米，落在地面上的影长 BC 为5米，同一时间测得8米高的国旗杆影长是4米，则树高为（）A. 8米B. 10米C. 12米D. 14米5.若△ABC ∽△DEF ，相似比为1∶2，则△ABC 与△DEF 的面积的比为（）A. √2 ：1B. 1∶ √2C. 4∶1D. 1∶46.在如图所示的网格中，以点O 为位似中心，四边形 ABCD 的位似图形是（）A. 四边形 NPMQB. 四边形 NPMRC. 四边形 NHMQD. 四边形 NHMR7.如图，在 △ABC 中，点D 在BC 上，连接AD ，点E 在AC 上，过点E 作 EF//BC ，交AD 于点F ，过点E 作 EG//AB ，交BC 于点G ，则下列式子一定正确的是（）A. AE EC =EF CDB. EG AB =EF CDC. AF FD =BG GCD. CG BC =AF AD8.如图，矩形ABCD 中，AB=8，BC=4.点G ，E 分别在边AB ，CD 上，点F ，H 在对角线AC 上.若四边形EFGH 是菱形，则AG 的长是（）A. 2√5B. 5C. 3√5D. 69.正方形ABCD 的边长AB ＝2，E 为AB 的中点，F 为BC 的中点，AF 分别与DE 、BD 相交于点M ， N ，则MN 的长为( )A. 5√56B. 2√53 ﹣1C. 4√515D. √3310.如图，等腰直角三角形ABC ， ∠BAC ＝90°，D 、E 是BC 上的两点，且BD ＝CE ，过D 、E 作DM 、EN 分别垂直AB 、AC ，垂足为M 、N ，交与点F ，连接AD 、AE ．其中①四边形AMFN 是正方形；②△ABE ≌△ACD ；③CE 2+BD 2＝DE 2；④当∠DAE ＝45°时，AD 2＝DE •CD ．符合题意结论有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题（共6题；共24分）11.△ABC∽△A1B1C1，其中点A,B,C分别与点A1,B1,C1对应，如果AB:A1B1=2:3，AC=6，那么A1C1=________．12.我军侦察员在距敌方AN=120m的地方发现敌方的一座建筑物，但不知其高度，又不能靠近建筑物测量，机灵的侦察员将自己的食指竖直举在右眼前，闭上左眼，并将食指前后移动，使食指恰好将该建筑物遮住，如图所示.若此时眼睛到食指的距离AM约为40cm，食指BC的长约为8cm，则敌方建筑物DE 的高度约是________m。

北师大版2020九年级数学上册第四章图形的相似自主学习基础过关测试卷A(附答案详解)

北师大版2020九年级数学上册第四章图形的相似自主学习基础过关测试卷A （附答案详解）1．如图，左、右并排的两棵树AB 和CD ，小树的高AB=6m ，大树的高CD=9m ，小明估计自己眼睛距地面EF=1.5m ，当他站在F 点时恰好看到大树顶端C 点．已知此时他与小树的距离BF=2m ，则两棵树之间的距离BD 是（）A ．1mB ．43mC ．3mD ．103m 2．△ADE ∽△ABC ，且相似比为1：3，若△ADE 的面积为5，则△ABC 的面积为（） A ．10 B ．15 C ．30 D ．453．如图，在55⨯的正方形方格中，ABC 的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，作一个与ABC 相似的DEF ，使它的三个顶点都在小正方形的顶点上，则DEF 的最大面积是（）A ．5B ．10C ．52D ．54．下列各组中的四条线段成比例的是（）A ．4、2、1、3B ．1、2、3、5C ．3、4、5、6D ．1、2、2、45．如图，△ABC 中，若DE ∥BC ，EF ∥AB ，则下列等式①AD DE AB BC=② BF AE BC AC =③ AE BF EC FC =④ EF CE AB AC=其中正确的是( )A ．①③④B ．②③④C ．①②④D ．①②③④ 6．如果两个相似三角形对应高的比是4：9，那么它们的面积比是（）A ．4：9B ．2：3C ．16：81D ．9：47．下列说法正确的是（）A ．两个正方形一定相似B ．两个平行四边形一定相似C ．两个矩形一定相似D ．两个等腰梯形一定相似8．中午12点,身高为150cm 的小冰的影长为20cm ,同学小雪此时在同一地点的影长为22cm ,那么小雪的身高为( )A ．150cmB ．155cmC ．160cmD ．165cm9．如图，▱ABCD 中，AB=3，BC=5，BE 平分∠ABC 交AD 于点E 、交AC 于点F ，则AF FC 的值为( )A ．53B ．35C ．32D ．2310．如图，////AD BE CF ，直线1l ，2l 与这三条平行线分别交于点A ，B ，C ，D ，E ，F ，23AB BC =，6DE =，则EF 的值为（）A ．4B ．6C ．9D ．12 11．已知0234a b c ==≠，则323a c b c+-=________． 12．如图，在△ABC 中，D ，E 分别是边AB ，AC 的中点，则△ADE 与四边形BCED 的面积比S △ADE ：S 四边形BCED =_____．13．若a c b d=，其中a=3，b=6，c=2，则d=_____． 14．如图，已知正方形DEFG 的顶点D 、E 在△ABC 的边BC 上，顶点G 、F 分别在边AB 、AC 上．如果BC=4，△ABC 的面积是6，那么这个正方形的边长是_____．15．如图，在 A 时测得某树(垂直于地面)的影长为 4 米，B 时又测得该树的影长为 16 米，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为_____米．16．已知AD 是△ABC 的高，∠BAD =72°，∠CAD =21°，则∠BAC 的度数是______． 17．在一幅比例尺是1∶100000的地图上，测得A ，B 两地间的距离为3.5厘米，那么A ，B 两地间的实际距离为________米．18．如图，△ABC 中，∠B ＝90°．∠BAC 的平分线交BC 于点E ，CD ⊥AE 于点D ，若AC ＝13，AD ＝12，则AB ＝_____．19．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=，30ABC ∠=，直角MON ∠的顶点O 在AB 上，OM 、ON 分别交CA 、CB 于点P 、Q ，MON ∠绕点O 任意旋转．当12OA OB =时，OP OQ 的值为________；当1OA OB n=时，OP OQ 为________．（用含n 的式子表示）20．如果两个三角形相似，相似比为5﹕6，则它们的周长比等于________，面积比等于________．21．在Rt △ABC 中，AB=BC=5，∠B=90°，将一块等腰直角三角板的直角顶点O 放在斜边AC 上，三角板的两直角边分别交直线AB 、BC 于E 、F 两点．（1）如图①，若O 为AC 的中点，点E 、F 分别在边AB 、BC 上．①当△OFC 是等腰直角三角形时，∠FOC= ；②求证：OE=OF ；（2）如图②，若AO ：AC=1：4时，OE 和OF 有怎样的数量关系？证明你发现的结论．22．如图，已知在四边形ABCD 中，∠ADB ＝∠ACB ，延长AD ，BC 相交于点E.求证：AC·DE ＝BD·CE.23．如图，在直角坐标系中，直线AB 分别与x 轴、y 轴交于B 、A 两点，OA 、OB 的长是关于x 的一元二次方程x 2﹣12x+32=0的两个实数根，且OB ＞OA ，以OA 为一边作如图所示的正方形AOCD ，CD 交AB 于点P ．（1）求直线AB 的解析式；（2）在x 轴上是否存在一点Q ，使以P 、C 、Q 为顶点的三角形与△ADP 相似？若存在，求点Q 坐标；否则，说明理由；（3）设N 是平面内一动点，在y 轴上是否存在点M ，使得以A 、C 、M 、N 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点M 的坐标；否则，请说明理由．24．如图，在菱形ABCD 中，60ABC ︒∠=，点F 为边AD 上一点，连接BF 交对角线AC 于点G ．（1）如图1，已知CF AD ⊥于F ，菱形的边长为6，求线段FG 的长度；（2）如图2，已知点E 为边AB 上一点，连接CE 交线段BF 于点H ，且满足60FHC ︒∠=，2CH BH =，求证：AH CE ⊥．图1 图225．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A 、B 、C 均在格点上．（I ）AC 的长等于_____．（II ）若AC 边与网格线的交点为P ，请找出两条过点P 的直线来三等分△ABC 的面积．请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出这两条直线，并简要说明这两条直线的位置是如何找到的_____（不要求证明）．26．如图，已知正三角形ABC 的边长AB 是480毫米．一质点D 从点B 出发，沿BA 方向，以每秒钟10毫米的速度向点A 运动．（1）建立合适的直角坐标系，用运动时间t （秒）表示点D 的坐标；（2）过点D 在三角形ABC 的内部作一个矩形DEFG ，其中EF 在BC 边上，G 在AC 边上．在图中找出点D ，使矩形DEFG 是正方形（要求所表达的方式能体现出找点D 的过程）；（3）过点D 、B 、C 作平行四边形，当t 为何值时，由点C 、B 、D 、F 组成的平行四边形的面积等于三角形ADC 的面积，并求此时点F 的坐标．27．在矩形ABCD 中,AD=3，CD=4,点E 在边CD 上,且 DE=1.（1）感知：如图①，连接AE ，过点E 作EF AE ⊥，交BC 于点F ，连接AF ，易证：ADE ECF ∆≅∆ (不需要证明)；（2）探究：如图②，点P 在矩形ABCD 的边AD 上(点P 不与点A 、D 重合)，连接PE ，过点E EF PE ⊥ ,交BC 于点F ，连接PF.求证：PDE ECF 和∆∆相似;（3）应用：如图③，若EF 交AB 边于点F ，EF PE ⊥，其他条件不变，且PEF ∆的面积是6，则AP 的长为____.28．如图①，在四边形ABCD 中，AC ⊥BD 于点E ，AB=AC=BD ，点M 为BC 中点，N 为线段AM 上的点，且MB=MN.（1）求证：BN平分∠ABE；（2）若BD=1，连结DN，当四边形DNBC为平行四边形时，求线段BC的长；（3）如图②，若点F为AB的中点，连结FN、FM，求证：△MFN∽△BDC．参考答案1．B【解析】【分析】由∠AGE=∠CHE=90°，∠AEG=∠CEH可证明△AEG∽△CEH，根据相似三角形对应边成比例求出GH的长即BD的长即可.【详解】由题意得：FB=EG=2m，AG=AB﹣BG=6﹣1.5=4.5m，CH=CD﹣DH=9﹣1.5=7.5m，∵AG⊥EH，CH⊥EH，∴∠AGE=∠CHE=90°，∵∠AEG=∠CEH，∴△AEG∽△CEH，∴EGAG=EHCH=EG GHCH+，即24.5=27.5GH+，解得：GH=43，则BD=GH=43 m，故选：B．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出相似三角形.2．D【解析】解：∵△ADE∽△ABC，且相似比为1：3，∴面积比为：1：9．∵△DEF的面积为5，∴△ABC的面积为：5×9=45．故选D．3．A【解析】【分析】要让ABC的相似三角形最大，就要让AC为网格最大的对角线，据此可根据相似三角形的性质解答．【详解】解：从图中可以看出ABC的三边分别是2, ，要让ABC的相似三角形最大,就要让DF为网格最大的对角线,=5=，ABC的面积为2121⨯÷=，所以DEF的最大面积是5.故选A.【点睛】本题考查的知识点是相似三角形的判定，解题关键是先求出最大的相似三角形，再利用面积比等于相似比的平方.4．D【解析】【分析】根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案．【详解】A. 2×1≠3×4，故本选项错误；B. 1×5≠2×3，故本选项错误；C. 4×5≠3×6，故本选项错误；D. 2×2=1×4，故本选项正确.故答案选：D.【点睛】本题考查了比例线段，解题的关键是熟练的掌握判断四条线段成比例线段的方法.5．D【解析】【分析】根据平行线分线段成比例，得到比例式，然后判断即可．【详解】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴AD DEAB BC=，故①正确；∵EF∥AB，∴BF AEBC AC=，故②正确；∵EF∥AB，∴AC BC EC FC=，∴AC EC BC FC EC FC--=，即AE BF EC FC=故③正确；∵EF∥AB，∴△CEF∽△CAB，∴EF CE AB AC=，故④正确；故选D．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，找准对应线段是解题的关键．6．C【解析】【分析】根据相似多边形的面积比等于相似边比的平方，即可求得答案．【详解】解：∵两个相似多边形的对应高比是4：9，∴这两个相似多边形面积的比是16：81．故选C．【点睛】此题考查了相似多边形的性质．注意熟记定理是解此题的关键．7．A【解析】【分析】根据相似形的对应边成比例，对应角相等，结合正方形，平行四边形，矩形，等腰梯形的性质与特点对各选项分析判断即可得答案.【详解】A 、两个正方形角都是直角一定相等，四条边都相等一定成比例，所以一定相似，故本选项正确；B 、两个平行四边形的边不一定成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项错误；C 、两个矩形的角都是直角，但边不一定成比例，所以不一定相似，故本选项错误；D 、两个等腰梯形的边不一定成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项错误．故选A ．【点睛】本题主要考查了相似图形的定义，相似图形的对应边成比例、对应角相等，熟记定义是解题关键.8．D【解析】【分析】设小雪的身高为xcm ，根据在同一时刻物高与影长的比相等得到2215020x =，然后根据比例性质求x 即可．【详解】设小雪的身高为xcm ，根据题意得 2215020x =，解得x=165．所以小雪的身高为165cm ．故选D ．【点睛】本题考查了相似三角形的应用：利用影长测量物体的高度．通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．9．B【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠AEB=∠EBC ，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠EBC，∴∠ABE=∠AEB，∴AE=AB=3，∵AD∥BC，∴△AEF∽△CBF，∴35 AF AEFC BC==，故选B．10．C 【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理得到AB DEBC EF=，即623EF=，然后利用比例性质求EF即可．【详解】∵AD∥BE∥CF，∴AB DEBC EF=，即623EF=，∴EF=9．故选C．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．11．7【解析】设a2=b3=c4=k≠0，所以，a=2k，b=3k，c=4k，所以,3a2c3b c+-=3224234k kk k⋅+⋅⋅-=142kk=7，故答案为：7. 12．1：3 【解析】【分析】根据三角形中位线定理可知△ADE∽△ABC相似且相似比是1：2，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可得△ADE与△ABC的面积比为1：4，再根据比例的性质即可求得．【详解】∵D，E分别是边AB，AC的中点，∴DE∥BC，DE=12 BC，∴△ADE∽△ABC，∴214 ADEABCS DES BC⎛⎫==⎪⎝⎭，∵S△ABC=S△ADE+S四边形BCED，∴S△ADE：S四边形BCED=1：3，故答案为：1：3．【点睛】本题考查了三角形的中位线相似三角形性质的理解，相似三角形的判定与性质等，熟记相似三角形的面积的比等于相似比的平方是解本题的关键．13．4．【解析】【分析】把a=3，b=6，c=2代入a cb d=，进行计算即可求解．【详解】解：a cb d=，a=3，b=6，c=2，∴326d =，解得d=4．故答案为4．【点睛】本题考查了比例线段，代值计算即可．14．12 7【解析】【分析】作AH⊥BC于H，交GF于M，如图，先利用三角形面积公式计算出AH=3，设正方形DEFG 的边长为x，则GF=x，MH=x，AM=3﹣x，再证明△AGF∽△ABC，则根据相似三角形的性质得343x x-=，然后解关于x的方程即可．【详解】作AH⊥BC于H，交GF于M，如图，∵△ABC的面积是6，∴12BC•AH=6，∴AH=264⨯=3，设正方形DEFG的边长为x，则GF=x，MH=x，AM=3﹣x，∵GF∥BC，∴△AGF∽△ABC，∴GF AMBC AH=，即343x x-=，解得x=127，即正方形DEFG的边长为127，故答案为127．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，正确添加辅助线求出BC边上的高是解题的关键. 15．8【解析】【分析】1、根据题意画出示意图, 设树顶为C, 树底为D, A时树顶影子的端点为E, B时树顶影子的端点为F.由题意可得CD⊥EF、EC⊥CF、DE=4m,DF=16m;2、题目已知CD⊥EF、 EC⊥CF, 通过推理不难得到RT EDC RT CDF~;3、根据相似三角形的对应边成比例可得ED DCDC FD=, 接下来将已知各边的长度代入, 即可求出DC 的长, 于是问题即可解决.【详解】解：依题意可作如图可得CD ⊥EF 、EC ⊥CF 、DE=4m,DF=16m ，可得：90E ECD E CFD ∠+∠=∠+∠=︒,ECD CFD ∴∠=∠,又CD ⊥EF 、EC ⊥CF ∴ RT EDC RT CDF ~,可得：ED DC DC FD=，代入DE=4m,DF=16m ，可得DC=8m 所以答案：8【点睛】此题主要考查相似三角形的对应边成比例，正确理解题意画出示意图是解题关键． 16．51°或93°【解析】【分析】分高AD 在△ABC 内部和外部两种情况讨论求解即可【详解】①如图1，当高AD 在△ABC 的内部时，∠BAC=∠BAD+∠CAD=72°+21°=93°； ②如图2，当高AD 在△ABC 的外部时，∠BAC=∠BAD-∠CAD=72°-21°=51°，综上所述，∠BAC 的度数为51°或93°故答案为：51°或93°．【点睛】本题考查了三角形的高线，解题的关键在于要分情况讨论17．3500【解析】【分析】图上距离除以比例尺等于实际距离.【详解】由已知可得，A，B两地间的实际距离为3.5÷1100000×10-2=3500米故答案为：3500【点睛】本题考核知识点：比例尺.解题关键点：理解比例尺的意义.18．119 13【解析】【分析】先证明∠DCE=∠EAC，可得△DCE∽△DAC，从而由相似三角形对应边成比例可得DE=25 12,CE=6512,然后计算出AE=11912,再由△ABE∽△ADC得到AB AEAD AC=，最后计算出AB=11913.【详解】解：∵∠B=∠D=90°，∠BEA=∠DEC, ∴∠BAE=∠DCE;∵AD平分∠BAC，∴∠BAE=∠EAC，∴∠DCE=∠EAC，∴△DCE∽△DAC，∴DC DE CE AD DC AC==,∴512513DE CE== ,∴DE=2512, CE=6512,∴AE=AD-DE=12-2512=11912,∵∠B=∠D=90°,∠BAE=∠EAC，∴△ABE∽△ADC，∴AB AE AD AC=∴11912 1213AB,∴AB=119 13.【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，熟练掌握相关定理是解题关键.19．32,3n【解析】如图，过点O作OH⊥AC于H，OG⊥BC于G，由条件可以表示出HO、GO的值，通过证明△PHO∽△QGO由相似三角形的性质就可以求出结论．解答：解：过点O作OH⊥AC于H，OG⊥BC于G，∴∠OHP=∠OGQ=90°．∵∠ACB=90°，∴四边形HCGO为矩形，∴∠HOG=90°，∴∠HOP=∠GOQ，∴△PHO∽△QGO，∴．∵，设OA=x，则OB=2x，且∠ABC=30°，∴AH=x，OG=x．在Rt△AHO中，由勾股定理，得3，∴，∴3 3 20．5:6 25:36【解析】【分析】根据相似三角形的周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方求解．【详解】两个三角形的相似比为5﹕6，∴相似三角形的周长之比是5﹕6，∵面积之比是相似比的平方，∴面积之比是25:36故答案为：5﹕6，25:36【点睛】考查相似三角形的性质，掌握相似三角形面积比等于相似比的平方,周长比等于相似比是解决问题的关键.21．（1）①90°或45°②证明见解析（2）OF=3OE【解析】试题分析：（1）①分OF OC =和FC FO =两种情况，分别写出FOC ∠的度数即可. ②连接OB ，证明BOE △≌COF ，即可证明.（2）作OM BC ⊥于M ，ON AB ⊥于N ．首先证明ANO OMC ∽，得到1,3ON AO OM OC ==再证明ONE OMF ∽，得到1.3OE ON OF OM == 试题解析：（1）①当45OF OC C OFC =∠=∠=︒，，∴90FOC ∠=︒．当FC FO =时，45FOC C ∠=∠=︒，故答案为：90°或45°．②证明：如图①中，连接OB ．∵90BA BC ABC OA OC =∠=︒=，，，∴45OB OA OC ABO C OB AC ==∠=∠=︒⊥，，，∴90EOF BOC ∠=∠=︒，∴EOB FOC ∠=∠，∴BOE △≌COF ，∴OE OF =．（2）结论：3OF OE =．理由如下：作OM BC ⊥于M ，ON AB ⊥于N ．∵90ANO ABC ∠=∠=︒，∴ON ∥BC ，∴AON C ∠=∠，∵ANO OMC ，∠=∠ ∴ANO OMC ∽，∴,ON AO OM OC= ∴:1:4OA AC =，∴:1:3OA OC ，= ∴:1:3ON OM =，∵MON EOF ∠=∠，∴EON MON ∠=∠，∵ONE OMF ∠=∠，∴ONE OMF ∽，∴1.3OE ON OF OM == 点睛：两组角对应相等，两个三角形相似.22．证明见解析.【解析】试题分析：由∠ADB ＝∠ACB ，根据邻补角的性质可得∠EDB ＝∠ECA ,又因为∠E ＝∠E ,所以可证明△ECA ∽△EDB ，由相似三角形的性质列比例式整理即可得到结论.证明：∵∠ADB ＝∠ACB ，∴∠EDB ＝∠ECA.又∵∠E ＝∠E ，∴△ECA ∽△EDB ，∴＝，即AC·DE ＝BD·CE. 点睛：本题考查了相似三角形的判定和性质，邻补角的定义，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解答本题的关键．23．（1）y=12x+4；（2）存在满足条件的点Q ，其坐标为（﹣8，0）或（0，0）或（﹣3，0）或（﹣5，0）；（3）存在满足条件的M 点，其坐标为（0，2）或（0，4﹣2）或（0，0）．【解析】试题分析：（1）由方程可求得OA 、OB 的长，则可求得,A B 的坐标，利用待定系数法可求得直线AB 的解析式；（2）设Q (x ,0)，则CQ =|x +4|，分PCQ PDA ∽和PCQ ADP ∽两种情况，利用相似三角形的性质可分别得到关于x 的方程，则可求得x 的值，可求得Q 点坐标；（3）当AC 为菱形的边时，则有AM AC =，可求得M 点坐标；当AC 为对角线时，由图形可知O 点即为所求，可求得M 点坐标．试题解析：(1)解方程212320x x -+=可得x =4或x =8，∵OA 、OB 的长是关于x 的一元二次方程212320x x -+=的两个实数根，且OB >OA ， ∴OA =4，OB =8，∴A (0,4),B (−8,0)，设直线AB 解析式为y =kx +b ，∴804,k b b -+=⎧⎨=⎩ 解得124k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴直线AB 解析式为142y x ；=+ (2)∵四边形AOCD 为正方形，∴AD =CD =OC =OA =4，∴C (−4,0)，在142y x =+中，令x =−4，可得y =2， ∴PC =PD =2，设Q (x ,0)，则CQ =|x +4|，∵以P 、C. Q 为顶点的三角形与△ADP 相似，∴有△PCQ ∽△PDA 和△PCQ ∽△ADP 两种情况，①当△PCQ ∽△PDA 时,则有PC CQ PD AD =,即4224x +=,解得x =0或x =−8,此时Q 点坐标为(−8,0)或(0,0)；②当△PCQ ∽△ADP 时,则有,PC CQ AD PD =即4242x +=,解得x =−3或x =−5,此时Q 点坐标为(−3,0)或(−5,0)；综上可知存在满足条件的点Q ,其坐标为(−8,0)或(0,0)或(−3,0)或(−5,0)；(3)由题意可设M (0,y )，∵A (0,4),C (−4,0)，∴AC =当AC 为菱形的一边时,则有AC =AM ,即|y−4|=,解得y=4±此时M点坐标为(0,4+或(0,4；- 当AC 为菱形的对角线时,则有MA =MC ,由题意可知此时M 点即为O 点,此时M 点坐标为(0,0)；综上可知存在满足条件的M 点,其坐标为(0,4+或(0,4-或(0,0).24．（1）FG =；（2）见解析【解析】分析：(1)在直角△CDF 中，根据勾股定理和30°角求CF 的长，在直角△BCF 中，由勾股定理求BF 的长，通过△AFG ∽△CBG ，即可求FG ；(2)取CH 的中点M ，连接BM ，可得∠BMC ＝150°，证△ABH ≌△BCM ，则可得到∠AHE ＝90°. 详解：(1)∵在菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°∴AD ＝AB ＝BC ＝CD ＝AC ，∠F AC ＝60°，AD //BC ∴△AFG ∽△CBG ， ∵CF ⊥AD ，∴AF ＝12AD ＝12BC ， ∴12AF AG FG CB CG BG ＝＝＝，∴FG ＝13BF .Rt △CDF 中，由勾股定理可得，CF ＝，Rt △BCF 中，因为BF 2＝BC 2＋CF 2，所以BF ＝则FG ＝1133BF ＝×(2)如图，取CH 的中点M ，连接BM ，∵CH ＝2BH ，∴CM ＝HM ＝BH ，∴∠HBM ＝∠HMB .∵∠FHC ＝60°，∠FHC ＝∠HBM ＋∠HMB ， ∴∠HMB ＝30°，∴∠BMC ＝150°. ∵∠FHC ＝∠HBC ＋∠HCB ＝60°，∠ABC ＝∠HBC ＋∠ABH ＝60° ∴∠HCB ＝∠ABH ，∴△ABH ≌△BCM (SAS )，∴∠AHB ＝∠BMC ＝150°. ∵∠BHE ＝∠FHC ＝60°，∴∠AHE ＝∠AHB －∠BHE ＝90°. ∴AH ⊥CE .点睛：本题考查了的知识点比较点，难度较大，菱形中计算线段的长，往往会把勾股定理与相似三角形和全等三角形结合起来考虑.25．37作a∥b∥c∥d，可得交点P与P′【解析】【分析】（1）根据勾股定理计算即可；（2）利用平行线等分线段定理即可解决问题.【详解】（I）AC=2261=37，故答案为：37；（II）如图直线l1，直线l2即为所求；理由：∵a∥b∥c∥d，且a与b，b与c，c与d之间的距离相等，∴CP=PP′=P′A，∴S△BCP=S△ABP′=13S△ABC．故答案为作a∥b∥c∥d，可得交点P与P′．【点睛】本题考查作图-应用与设计，勾股定理，平行线等分线段定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．26．(1)(5,53)D t t;(2)当点D与点B的距离等于10t=960（2﹣3）毫米时，矩形是正方形;(3) F（560，803），F′（400，﹣803）,F″（﹣400，803）【解析】【分析】运用相似三角形及平行四边形的性质求解．【详解】（1）建立如图所示的直角坐标系，作DE⊥x轴于E，则t秒后，DB=10t又△ABC是正三角形，故∠B=60°在Rt△DEB中，DE=DB×sin∠B=10t×32=53t，BE=DB×cos∠B=10t×12=5t即：D(5t,53)；（2）①先画一个正方形，再利用位似图形找出点D，具体作法阅图②利用正三角形与矩形是轴对称图形或利用相似三角形的性质求得DG=480﹣10t，3．然后由480﹣3t,求出23（23（毫米）．所以当点D与点B的距离等于10t=960（23毫米时，矩形是正方形．（3）如图所示：当点F在第一象限时，这个平行四边形是CBDF；当点F在第二象限时，这个平行四边形是BCDF“；当点F在第三象限时，这个平行四边形是CDBF'．但平行四边形BCDF“的面积、平行四边形CDBF'的面积都与平行四边形CBDF的面积相等（等底等高）平行四边形CBDF的底BC=480，相应的高是53t，则面积是24003t；三角形ADC的底AD=480﹣10t，相应的高是3则面积是3480﹣10t）．由3t3480﹣10t），解得t=16所以当t=16秒时，由点C、B、D、F组成的平行四边形的面积等于三角形ADC的面积．∴此时，点F的坐标是F（560，3），F′（400，﹣3,F″（﹣400，3）．【点睛】考查相似三角形的性质和平行四边形的性质，灵活运用相似三角形的性质和平行四边形的性质是解题的关键.27．（1）见解析；（2）证明见解析；（3）33【解析】试题分析：（1）由已知易证∠AED=∠EFC，∠D=∠C=90°，由AD=3，CD=4结合DE=1可得AD=CE，由此即可证得△AED≌△ECF；（2）由四边形ABCD是矩形可得∠D=∠C=90°，结合∠PEF=90°可证得∠PED=∠EFC，由此即可证得△PDE∽△ECF；（3）过点F作FH⊥CD于点H，易得四边形AFHD是矩形，由此可得FH=AD=3，由（2）可得△PDE∽△EHF，由此结合已知条件可证得EF=3PE，结合S△PEF=12PE·EF=6，即可解得PE=2，由此在Rt△PDE中解得从而可得AP=AD-PD=3. 试题解析：（1）∵四边形ABCD是矩形，EF⊥AE，∴∠C=∠D=∠AEF=90°，∴∠DAE+∠AED=90°，∠AED+∠CEF=90°，∴∠DAE=∠CEF，∵CD=4，DE=1，AD=3，∴EC=CD-DE=3=AD，∴△ADE≌△ECF；（2）同（1）可得：∠D=∠C，∠DPE=∠CEF，∴△PDE∽△ECF；（3）如图3，在矩形ABCD中，过点F作FH⊥CD于点H，∴∠PHD=∠A=∠D=90°，∴四边形AFHD是矩形，∴FH=AD=3，由（2）可得△PDE∽△EHF，∴PE DE EF FH=，∵DE=1，∴13PEEF=，即EF=3PE，∵S△PEF=12PE·EF=6，∴3PE2=12，解得PE=2，∴在Rt△PDE中，由勾股定理可得：=，∴AP=AD-PD=3-28．（1）证明见解析；（210（3）证明见解析.【解析】分析：（1）由AB=AC知∠ABC=∠ACB，由等腰三角形三线合一知AM⊥BC，从而根据∠MAB+∠ABC=∠EBC+∠ACB知∠MAB=∠EBC，再由△MBN为等腰直角三角形知∠EBC+∠NBE=∠MAB+∠ABN=∠MNB=45°可得证；（2）设BM=CM=MN=a，知DN=BC=2a，证△ABN≌△DBN得AN=DN=2a，Rt△ABM中利用勾股定理可得a的值，从而得出答案；（3）F是AB的中点知MF=AF=BF及∠FMN=∠MAB=∠CBD，再由12MF MNAB BC==即可得证．详解：（1）∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵M为BC的中点，∴AM⊥BC，在Rt△ABM中，∠MAB+∠ABC=90°，在Rt△CBE中，∠EBC+∠ACB=90°，∴∠MAB=∠EBC，又∵MB=MN，∴△MBN为等腰直角三角形，∴∠MNB=∠MBN=45°，∴∠EBC+∠NBE=45°，∠MAB+∠ABN=∠MNB=45°，∴∠NBE=∠ABN，即BN平分∠ABE；（2）设BM=CM=MN=a，∵四边形DNBC是平行四边形，∴DN=BC=2a，在△ABN和△DBN中，∵AB DBNBE ABN BN BN⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ABN≌△DBN（SAS），∴AN=DN=2a，在Rt△ABM中，由AM2+MB2=AB2可得（2a+a）2+a2=1，解得：，∴（3）∵F是AB的中点，∴在Rt△MAB中，MF=AF=BF，∴∠MAB=∠FMN，又∵∠MAB=∠CBD，∴∠FMN=∠CBD，∵12 MF MNAB BC==，∴12 MF MNBD BC==，∴△MFN∽△BDC．点睛：本题主要考查相似形的综合问题，解题的关键是掌握等腰三角形三线合一的性质、直角三角形和平行四边形的性质及全等三角形与相似三角形的判定与性质等知识点．。

北师大版九年级数学上册《第四章图形的相似》单元测试(含答案)

第四章图形的相似第Ⅰ卷 (选择题共30分)一、选择题(每小题3分，共30分)1．下列各组中的四条线段是成比例线段的是( )A ．1 cm ，2 cm ，20 cm ，40 cmB ．1 cm ，2 cm ，3 cm ，4 cmC ．6 cm ，4 cm ，1 cm ，3 cmD ．5 cm ，10 cm ，15 cm ，20 cm2．如图1，两条直线分别被三条平行直线l 1，l 2，l 3所截，若AB ＝3，BC ＝6，DE ＝2，则DF 的长为( )图1A ．4B ．5C ．6D ．73．若a b ＝35，则a ＋b b的值是( )A.58B.35C.85D.324．如图2，△ABC 中，AC ＝BC ，在边AB 上截取AD ＝AC ，连接CD ，若点D 恰好是线段AB 的一个黄金分割点，则∠A 的度数是( )图2A．22.5° B．30° C．36° D．45°5．如图3所示，将△ABO的三边分别扩大为原来的2倍得到△A1B1C1(顶点均在格点上)，它们是以点P为位似中心的位似图形，则点P的坐标是( )A．(－4，－3) B．(－3，－3) C．(－4，－4) D．(－3，－4)图36．如图4，已知矩形ABCD，AB＝2，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使点B落在AD上的点F处，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD的长为( )图4A. 5B.5＋1 C．4 D．2 37．在小孔成像问题中，光线穿过小孔，在屏幕上形成倒立的实像，如图5所示，若点O到AB的距离是18 cm，点O到CD的距离是6 cm，则像CD的长是AB长的( )图5A ．3倍 B.12C.13D ．不知AB 的长度，故无法判断8．为了测量校园水平地面上一棵不可攀的树的高度，学校数学兴趣小组做了如下的探索：根据光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如图6所示的测量方案，把一面很小的镜子水平放置在离树底(B )8.4米的点E 处，然后沿着直线BE 后退到点D ，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A ，再用皮尺量得DE ＝3.2米，观察者目高CD ＝1.6米，则树(AB )的高度为( )图6A ．4.2米B ．4.8米C ．6.4米D ．16.8米9．如图7，将矩形纸片ABCD 沿EF 折叠，使点B 与CD 边的中点B ′重合，若AB ＝2，BC ＝3，则△FCB ′与△B ′DG 的面积之比为( )A．9∶4 B．3∶2 C．4∶3 D．16∶9图710．如图8，在△ABC中，AB＝6 cm，AC＝12 cm，动点D从点A出发到点B停止，动点E从点C出发到点A停止．点D的运动速度为1 cm/s，点E的运动速度为2 cm/s.如果两点同时运动，那么当以点A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是( )图8A．3 s或4.8 s B．3 sC．4.5 s D．4.5 s或4.8 s请将选择题答案填入下表：题号12345678910总分答案第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(每小题3分，共18分)11．如图9，D 是等边三角形ABC 中边AB 上的点，AD ＝2，DB ＝4.现将△ABC 折叠，使得点C 与点D 重合，折痕为EF ，且点E ，F 分别在边AC 和BC 上，则CFCE＝________．图912．如图10，△ABC 中，AB ＝6，DE ∥AC ，将△BDE 绕点B 顺时针旋转得到△BD ′E ′，点D 的对应点D ′落在边BC 上．已知BE ′＝5，D ′C ＝4，则BC 的长为________．图1013．若a b ＝c d ＝e f ＝12，则3a －2c ＋e 3b －2d ＋f(3b －2d ＋f ≠0)＝________．14．如图11所示，Rt △DEF 是由Rt △ABC 沿BC 方向平移得到的，若AB ＝8，BE ＝4，DH ＝3，则△HEC 的面积为________．图1115．如图12，在△ABC 中，AC ＝6，AB ＝4，点D ，A 在直线BC 的同侧，且∠ACD ＝∠B ，CD ＝2，E 是线段BC 延长线上的动点，当△DCE 和△ABC 相似时，线段CE 的长为________．图1216．如图13，直线y ＝12x ＋1与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，△BOC 与△B ′O ′C ′是以点A 为位似中心的位似图形，且相似比为1∶3，则点B 的对应点B ′的坐标为________．图13三、解答题(共72分)17．(6分)已知a ，b ，c 是△ABC 的三边长，且满足a ＋43＝b ＋32＝c ＋84，a ＋b ＋c ＝12，试求a ，b ，c 的值，并判断△ABC 的形状．18．(6分)如图14，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点分别是O(0，0)，A(6，0)，B(3，6)，C(－3，3)．(1)以原点O为位似中心，在点O的异侧画出四边形OABC的位似图形四边形OA1B1C1，使它与四边形OABC的相似比是2∶3；(2)写出点A1，B1，C1的坐标；(3)求四边形OA1B1C1的面积．图1419．(8分)已知：在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，Q是线段AC上的一个动点，过点Q作AC的垂线交线段AB(如图15①)或线段AB的延长线(如图15②)于点P.(1)当点P 在线段AB 上时，求证：△AQP ∽△ABC ；(2)当△PQB 为等腰三角形时，求AP 的长．图1520．(8分)如图16①，点D ，E 分别在AB ，AC 上，且AD AB ＝AEAC .(1)求证：DE ∥BC ；(2)如图②，在△ABC 中，D 为边AC 上任意一点，连接BD ，取BD 的中点E ，连接CE 并延长CE 交边AB 于点F ，求证：BF AF ＝CDAC；(3)在(2)的条件下，若AB ＝AC ，AF ＝CD ，求BFAF的值．图1621．(10分)如图17是位于陕西省西安市荐福寺内的小雁塔，是中国早期方形密檐式砖塔的典型作品，并作为丝绸之路的一处重要遗址点，被列入《世界遗产名录》．小铭、小希等几位同学想利用一些测量工具和所学的几何知识测量小雁塔的高度，由于观测点与小雁塔底部间的距离不易测量，因此经过研究需要进行两次测量，于是在阳光下，他们首先利用影长进行测量，方法如下：小铭在小雁塔的影子顶端D 处竖直立一根木棒CD ，并测得此时木棒的影长DE ＝2.4米；然后，小希在BD 的延长线上找出一点F ，使得A ，C ，F 三点在同一直线上，并测得DF＝2.5米．已知图中所有点均在同一平面内，木棒高CD＝1.72米，AB⊥BF，CD⊥BF，试根据以上测量数据，求小雁塔的高度AB.图1722．(10分)如图18，在平面直角坐标系中，已知OA＝12厘米，OB＝6厘米，点P从点O开始沿OA边向点A以1厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始沿BO边向点O以1厘米/秒的速度移动．如果点P，Q同时出发，用t(秒)表示移动的时间(0≤t≤6)．(1)设△POQ的面积为y，求y关于t的函数表达式；(2)当t为何值时，△POQ与△AOB相似？图1823．(12分)如图19，在等腰三角形ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝2，D是BC边上的一个动点(不与点B，C重合)，在AC上取一点E，使∠ADE＝30°.(1)求证：△ABD∽△DCE；(2)设BD＝x，AE＝y，求y关于x的函数关系式并写出自变量x的取值范围；(3)当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．图1924．(12分)如图20①，点C 将线段AB 分成两部分，如果AC AB ＝BCAC ，那么称点C 为线段AB 的黄金分割点．某数学兴趣小组在进行研究时，由“黄金分割点”联想到“黄金分割线”，类似给出“黄金分割线”的定义：一条直线将一个面积为S 的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S 1，S 2，如果S 1S ＝S 2S 1，那么称这条直线为该图形的黄金分割线．(1)如图②，在△ABC 中，∠A ＝36°，AB ＝AC ，∠ACB 的平分线交AB 于点D ，请问直线CD 是不是△ABC 的黄金分割线？并证明你的结论；(2)如图③，在边长为1的正方形ABCD 中，E 是边BC 上一点，若直线AE 是正方形ABCD 的黄金分割线，求BE 的长．图20详解详析1．A2．C [解析] ∵两条直线分别被三条平行直线l 1，l 2，l 3所截，∴AB BC ＝DE EF.∵AB ＝3，BC ＝6，DE ＝2，∴EF ＝4，∴DF ＝DE ＋EF ＝2＋4＝6.故选C.3．C4．C [解析] ∵点D 是线段AB 的一个黄金分割点，∴AD 2＝BD ·AB . ∵AD ＝AC ＝BC ，∴BC 2＝BD ·AB ，即BC ∶BD ＝AB ∶BC .而∠ABC ＝∠CBD ，∴△BCD ∽△BAC ， ∴∠A ＝∠BCD .设∠A ＝x °，则∠B ＝x °，∠BCD ＝x °， ∴∠ADC ＝∠BCD ＋∠B ＝2x °. 而AC ＝AD ，∴∠ACD ＝∠ADC ＝2x °， ∴x ＋2x ＋2x ＝180，解得x ＝36，即∠A ＝36°.故选C.5．A6．B [解析] 由折叠知AF ＝AB ＝2，设AD ＝x ，则FD ＝x －2，EF ＝2，∵四边形EFDC 与矩形ABCD 相似，∴EF FD ＝AD AB ，即2x －2＝x 2，解得x 1＝1＋5，x 2＝1－5(不合题意，舍去)，即AD 的长为5＋1.故选B.7．C [解析] 过点O 作OM ⊥AB 于点M ，交CD 于点N ，如图，则OM ＝18 cm ，ON ＝6 cm.∵AB ∥CD ，∴△ODC ∽△OAB ，∴CD AB ＝ON OM ＝618＝13，即CD 的长是AB 长的13.故选C.8．A [解析] 如图，过点E 作EF ⊥BD 于点E ，则∠1＝∠2.∵∠DEF ＝∠BEF ＝90°，∴∠DEC ＝∠AEB .∵CD ⊥BD ，AB ⊥BD ，∴∠CDE ＝∠ABE ＝90°，∴△CDE ∽△ABE ，∴DE BE ＝CDAB.∵DE ＝3.2米，CD ＝1.6米，BE ＝8.4米，∴3.28.4＝1.6AB，解得AB ＝4.2米． 9．D [解析] 本题运用方程思想，设CF ＝x ，则BF ＝3－x ，易得CF 2＋CB ′2＝FB ′2，即x 2＋12＝(3－x )2，解得x ＝43.由已知可证得Rt △FCB ′∽Rt△B ′DG ，所以S △FCB ′S △B ′DG ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫CF DB ′2＝169.10．A [解析] 本题运用分类讨论的思想，分△ADE ∽△ABC 和△ADE ∽△ACB 两种情况分别求解．11.54 [解析] ∵△ABC 是等边三角形，∴∠A ＝∠B ＝∠C ＝60°，AC ＝BC ＝AB ＝AD ＋DB ＝6.由折叠的性质可知∠EDF ＝∠C ＝60°，EC ＝ED ，FC ＝FD ，∴∠AED ＝∠BDF ， ∴△AED ∽△BDF ，∴DF DE ＝BD ＋DF ＋BF AE ＋AD ＋DE ＝108＝54，∴CF CE ＝DF DE ＝54. 12．2＋34 [解析] 由旋转可得BE ＝BE ′＝5，BD ＝BD ′. ∵D ′C ＝4，∴BD ′＝BC －4，即BD ＝BC －4.∵DE ∥AC ，∴BD BA ＝BE BC ，即BC －46＝5BC，解得BC ＝2＋34(负值已舍)，即BC 的长为2＋34.13.12 [解析] 由a b ＝c d ＝e f ＝12，得a ＝12b ，c ＝12d ，e ＝12f ，所以3a －2c ＋e 3b －2d ＋f ＝1.5b －d ＋0.5f3b －2d ＋f ＝12. 14.503 [解析] 设CE ＝x ，由△CEH ∽△CBA ，得EH AB ＝CE CB ，即8－38＝x x ＋4，∴x ＝203，∴S△HEC＝12×203×5＝503.15.43或3 [解析] ∵∠ACD ＋∠DCE ＝∠B ＋∠A ，∠ACD ＝∠B ，∴∠DCE ＝∠A ，∴∠A 与∠DCE 是对应角，∴△DCE 和△ABC 相似有两种情况：(1)当△BAC ∽△ECD 时，AB CE ＝AC CD ，∴4CE ＝62，∴CE ＝43； (2)当△BAC ∽△DCE 时，AB CD ＝ACCE， ∴42＝6CE，∴CE ＝3. 综上所述，CE 的长为43或3.故答案为：43或3.易错警示△DCE 和△ABC 相似有两种情况，注意不要漏解．16．(4，3)或(－8，－3) [解析] 由直线y ＝12x ＋1与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，得点A (－2，0)，点B (0，1)．画△BOC 的位似图形△B ′O ′C ′如图所示．∵△BOC 与△B ′O ′C ′的相似比为1∶3，∴点B ′(x ，3)或(x ，－3)．∵点B ′(x ，3)或(x ，－3)在直线y＝12x ＋1上，∴点B ′的坐标为(4，3)或(－8，－3)．故答案为(4，3)或(－8，－3)．17．解：设a ＋43＝b ＋32＝c ＋84＝k (k ≠0)，∴a ＝3k －4，b ＝2k －3，c ＝4k －8. ∵a ＋b ＋c ＝12，将a ＝3k －4，b ＝2k －3，c ＝4k －8代入上式，得3k －4＋2k －3＋4k －8＝12， ∴9k ＝27，即k ＝3. ∴a ＝5，b ＝3，c ＝4.∵b 2＋c 2＝9＋16＝25，a 2＝52＝25， ∴b 2＋c 2＝a 2，∴△ABC 是直角三角形．18．解：(1)如图所示，四边形OA 1B 1C 1即为所求．(2)由图形可得A 1(－4，0)，B 1(－2，－4)，C 1(2，－2)．(3)四边形OA 1B 1C 1的面积为12×2×4＋12×(3＋4)×2＋12×3×2＝14.19．解：(1)证明：∵∠A ＋∠APQ ＝90°，∠A ＋∠C ＝90°， ∴∠APQ ＝∠C . 在△AQP 和△ABC 中， ∵∠APQ ＝∠C ，∠A ＝∠A ， ∴△AQP ∽△ABC .(2)在Rt △ABC 中，AB ＝3，BC ＝4，由勾股定理，得AC ＝5. ①当点P 在线段AB 上时． ∵△PQB 为等腰三角形，∴PB ＝PQ . 由(1)可知，△AQP ∽△ABC ，∴PA AC ＝PQBC，即3－PB 5＝PB 4，解得PB ＝43， ∴AP ＝AB －PB ＝3－43＝53；②当点P 在线段AB 的延长线上时． ∵△PQB 为等腰三角形， ∴PB ＝BQ ，∴∠BQP ＝∠P .∵∠BQP ＋∠AQB ＝90°，∠A ＋∠P ＝90°，∴∠AQB ＝∠A ，∴BQ ＝AB ， ∴AB ＝BP ，即B 为线段AP 的中点， ∴AP ＝2AB ＝2×3＝6.综上所述，当△PQB 为等腰三角形时，AP 的长为53或6.20．解：(1)证明：∵∠A ＝∠A ，AD AB ＝AEAC， ∴△ADE ∽△ABC ，∴∠ADE ＝∠B ， ∴DE ∥BC .(2)证明：如图，过点D 作DG ∥AB 交CF 于点G ，则△CDG ∽△CAF ，∴DG AF ＝CD AC.∵E 是BD 的中点，∴BE ＝ED . ∵DG ∥AB ，∴∠FBE ＝∠EDG .在△BEF 和△DEG 中，∠FBE ＝∠EDG ，∠FEB ＝∠GED ，BE ＝ED ，∴△BEF ≌△DEG (ASA)，∴BF ＝DG ，∴BF AF ＝CDAC.(3)由(2)可得BF AF ＝CDAC.∵AB ＝AC ，AF ＝CD ，∴BF AF ＝AFAF ＋BF，∴BF 2＋BF ·AF －AF 2＝0，∴(BF AF)2＋BF AF －1＝0，解得BF AF ＝－1±52，而BE AF >0，∴BF AF ＝5－12.21．解：由题意得∠ABD ＝∠CDE ＝90°， ∠ADB ＝∠CED ，∴△CDE ∽△ABD ，∴CD AB ＝DE BD.∵由题意得∠CDF ＝∠ABF ＝90°，∠CFD ＝∠AFB ，∴△CDF ∽△ABF ，∴CD AB ＝DF BF，∴DE BD ＝DF BF，即2.4BD ＝ 2.5BD ＋2.5，∴BD ＝60， ∴1.72AB ＝2.460，∴AB ＝43. 答：小雁塔的高度AB 是43米．22．解：(1)由题意，得BQ ＝t 厘米，OP ＝t 厘米．因为OB ＝6厘米，所以OQ ＝(6－t )厘米．所以y ＝12OP ·OQ ＝12t ·(6－t )＝－12t 2＋3t (0≤t ≤6)． (2)当△POQ 与△AOB 相似时，①若OQ OB ＝OP OA ，即6－t 6＝t 12，解得t ＝4； ②若OQ OA ＝OP OB ，即6－t 12＝t 6，解得t ＝2. 所以当t ＝4或t ＝2时，△POQ 与△AOB 相似．23．解：(1)证明：∵△ABC 是等腰三角形，且∠BAC ＝120°，∴∠B ＝∠C ＝30°. 又∵∠ADE ＝30°，∴∠B ＝∠ADE .又∵∠ADC ＝∠ADE ＋∠EDC ＝∠B ＋∠DAB ，∴∠EDC ＝∠DAB ，∴△ABD ∽△DCE .(2)如图①，过点A 作AF ⊥BC 于点F ，∵AB ＝AC ＝2，∠BAC ＝120°，∴∠AFB ＝90°.∵AB ＝2，∠ABF ＝30°，∴AF ＝12AB ＝1， ∴BF ＝3，∴BC ＝2BF ＝23，则CD ＝23－x ，CE ＝2－y .∵△ABD ∽△DCE ，∴AB BD ＝CD CE ，∴2x ＝23－x 2－y ，化简得y ＝12x 2－3x ＋2(0＜x ＜23)．(3)当AD ＝DE 时，如图②，由(1)可知：此时△ABD ∽△DCE ，则AB ＝CD ，即2＝23－x ，x ＝23－2，将其代入y ＝12x 2－3x ＋2，解得y ＝4－23，即AE ＝4－23；当AE ＝ED 时，如图③，∠EAD ＝∠EDA ＝30°，∠AED ＝120°，∴∠DEC ＝60°，∠EDC ＝90°，则DE ＝12CE ，即y ＝12(2－y )，解得y ＝23，即AE ＝23；当AD ＝AE 时，∠AED ＝∠ADE ＝30°，∠EAD ＝120°，此时点D 与点B 重合，不符合题意，故此种情况不存在．综上，当△ADE 是等腰三角形时，AE 的长为4－23或23. 24．解：(1)直线CD 是△ABC 的黄金分割线．证明：∵AB ＝AC ，∠A ＝36°，∴∠ABC ＝∠ACB ＝72°.∵CD 平分∠ACB ，∴∠ACD ＝∠BCD ＝12∠ACB ＝36°， ∴∠BDC ＝72°＝∠B ，∠A ＝∠ACD ，∴BC ＝CD ，AD ＝CD ，∴BC ＝AD .∵∠B ＝∠B ，∠BCD ＝∠A ，∴△BCD ∽△BAC ，∴BD BC ＝BC AB ，∴BD AD ＝AD AB. 又∵S △BCD S △ADC ＝BD AD ，S △ADC S △ABC ＝AD AB， ∴S △BCD S △ADC ＝S △ADC S △ABC， ∴直线CD 是△ABC 的黄金分割线．(2)设BE ＝x ，∵正方形ABCD 的边长为1，∴S △ABE ＝12AB ·BE ＝12x ，S 正方形ABCD ＝12＝1， ∴S 四边形ADCE ＝1－12x . ∵直线AE 是正方形ABCD 的黄金分割线， ∴S △ABES 四边形ADCE ＝S 四边形ADCE S 正方形ABCD， ∴S 四边形ADCE 2＝S △ABE ·S 正方形ABCD ，即(1－12x )2＝12x ·1，整理，得x 2－6x ＋4＝0，解得x 1＝3＋5，x 2＝3－ 5.∵E 是边BC 上一点，∴x ＜1，∴x＝3－5，∴BE的长为3－ 5.。

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第四章图形的相似单元测试一、选择题：1．如图，在平行四边形ABCD中，E为DC的中点，AE交BD于点F，S△DEF =12cm2，则S△AOB的值为（）A．12cm2B．24cm2C．36cm2D．48cm2(第1题) (第2题) (第5题)2．如图，△ABC，AB=12，AC=15，D为AB上一点，且AD=AB，在AC上取一点E，使以A、D、E为顶点的三角形与ABC相似，则AE等于（）A．B．10 C．或10 D．以上答案都不对3．（3分）在直角三角形中，两直角边分别为3和4，则这个三角形的斜边与斜边上的高的比为（）A．B．C．D．4．点P是△ABC中AB边上的一点，过点P作直线（不与直线AB重合）截△ABC，使截得的三角形与原三角形相似，满足这样条件的直线最多有（）A．2条B．3条C．4条D．5条5．如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）A．B．C．D．6．正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是BC中点，DE交AC于F，若DE=12，则EF 等于（）A．8 B．6 C．4 D．37．已知正方形ABCD，E是CD的中点，P是BC边上的一点，下列条件中不能推出△ABP与△ECP 相似的是（）A．∠APB=∠EPC B．∠APE=90°C．P是BC的中点D．BP：BC=2：3(第7题) (第8题) (第9题) (第11题)8．如图，矩形ABCD中，BE⊥AC于F，E恰是CD的中点，下列式子成立的是（）A．BF2=AF2；B．BF2=AF2C．BF2＞AF2D．BF2＜AF29．（3分）如图，正方形ABCD的面积为1，M是AB的中点，连接CM、DM、AC，则图中阴影部分的面积为（）A．B．C．D．10．在坐标系中，已知A（﹣3，0），B（0，﹣4），C（0，1），过点C作直线L交x轴于点D，使得以点D，C，O为顶点的三角形与△AOB相似，这样的直线一共可以作出（）A．6条B．3条C．4条D．5条二、填空题：11．如图，把一个矩形纸片ABCD沿AD和BC的中点连线EF对折，要使矩形AEFB与原矩形相似，则原矩形长与宽的比为．12．已知：===，2b+3d﹣5f=9，则2a+3c﹣5e=．13．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，MN⊥AB于M，AM=8cm，AC=AB，BC=15cm，则四边形BCNM的面积为．(第13题) (第14题) (第15题) (第16题)14．如图，在正方形ABCD中，点E是BC边上一点，且BE：EC=2：1，AE与BD交于点F，则△AFD 与四边形DEFC的面积之比是．15．如图，已知梯形AECF中，已知点D是AB边的中点，AF∥BC，CG=3，GA=1，若△AEG的面积为1，那么四边形BDGC的面积为．16．如图，在平行四边形ABCD中，M、N为AB的三等分点，DM、DN分别交AC于P、Q两点，则AP：PQ：QC=．三、解答题：（共36分）17．已知：平行四边形ABCD，E是BA延长线上一点，CE与AD、BD交于G、F．求证：CF2=GF•EF．18．（8分）已知：如图AD•AB=AF•AC，求证：△DEB∽△FE C．19．以长为2的线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连接PD，在BA的延长线上取点F，使PF=PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上．（1）求AM，DM的长；（2）求证：AM2=AD•DM；（3）根据（2）的结论你能找出图中的黄金分割点吗？20．已知：如图，AD是Rt△ABC的角平分线，AD的垂直平分线EF交CB的延长线于点F，求证：FD2=FB•F C．21．已知，如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠CAB交BC于点D，过点C作CE⊥AD，垂足为E，CE的延长线交AB于点F，过点E作EG∥BC交AB于点G，AE•AD=16，．（1）求AC的长；（2）求EG的长．参考答案与试题解析一、选择题：1．如图，在平行四边形ABCD中，E为DC的中点，AE交BD于点F，S△DEF =12cm2，则S△AOB的值为（）A．12cm2B．24cm2C．36cm2D．48cm2【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【分析】根据平行四边形的性质得出AB=DC=2DE，OD=OB，DC∥AB，求出△DFE∽△BFA，推出===，=（）2=，==，求出△AFB的面积是48cm2，△ADF 的面积是24cm2，求出△ABD的面积即可．【解答】解：∵E为DC的中点，∴DC=2DE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=DC=2DE，OD=OB，DC∥AB，∴△DFE∽△BFA，∴===，=（）2=（）2=，==，∵S△DEF=12cm2，∴△AFB的面积是48cm2，△ADF的面积是24cm2，∴△ABD的面积是72cm2，∵DO=OB，∴△ADO和△ABO的面积相等，∴S△AOB的值为×72cm2=36cm2，故选C．【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定，平行四边形的性质的应用，解此题的关键是求出△AFB的面积和△ADF的面积．2．如图，△ABC，AB=12，AC=15，D为AB上一点，且AD=AB，在AC上取一点E，使以A、D、E为顶点的三角形与ABC相似，则AE等于（）A．B．10C．或10 D．以上答案都不对【考点】相似三角形的性质．【专题】分类讨论．【分析】△ADE与△ABC相似，则存在两种情况，即△AED∽△ACB，也可能是△AED∽△ABC，应分类讨论，求解．【解答】解：如图（1）当∠AED=∠C时，即DE∥BC则AE=AC=10（2）当∠AED=∠B时，△AED∽△ABC∴，即AE=综合（1），（2），故选C．【点评】会利用相似三角形求解一些简单的计算问题．3．（3分）在直角三角形中，两直角边分别为3和4，则这个三角形的斜边与斜边上的高的比为（）A．B．C．D．【考点】勾股定理．【分析】本题主要利用勾股定理和面积法求高即可．【解答】解：∵在直角三角形中，两直角边分别为3和4，∴斜边为5，∴斜边上的高为=．（由直角三角形的面积可求得）∴这个三角形的斜边与斜边上的高的比为5：=．故选A．【点评】此题考查了勾股定理和利用面积法求高，此题考查了学生对直角三角形的掌握程度．4．点P是△ABC中AB边上的一点，过点P作直线（不与直线AB重合）截△ABC，使截得的三角形与原三角形相似，满足这样条件的直线最多有（）A．2条B．3条C．4条D．5条【考点】相似三角形的判定．【专题】常规题型；压轴题．【分析】根据已知及相似三角形的判定作辅助线即可求得这样的直线有几条．【解答】解：（1）作∠APD=∠C∵∠A=∠A∴△APD∽△ABC（2）作PE∥BC∴△APE∽△ABC（3）作∠BPF=∠C∵∠B=∠B∴△FBP∽△ABC（4）作PG∥AC∴△PBG∽△ABC所以共4条故选C．【点评】本题考查相似三角形的判定的运用．5．如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）A． B．C．D．【考点】相似三角形的判定．【专题】网格型．【分析】根据网格中的数据求出AB，AC，BC的长，求出三边之比，利用三边对应成比例的两三角形相似判断即可．【解答】解：根据题意得：AB==，AC=，BC=2，∴AC：BC：AB=：2：=1：：，A、三边之比为1：：2，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；B、三边之比为：：3，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；C、三边之比为1：：，图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似；D、三边之比为2：：，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似．故选C．【点评】此题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解本题的关键．6．正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是BC中点，DE交AC于F，若DE=12，则EF 等于（）A．8 B．6 C．4 D．3【考点】相似三角形的判定与性质；正方形的性质．【专题】压轴题；探究型．【分析】先根据题意画出图形，因为四边形ABCD是正方形，E是BC中点，所以CE=AD，由相似三角形的判定定理得出△CEF∽△ADF，再根据相似三角形的对应边成比例可得出==，再根据DF=DE﹣EF即可得出EF的长．【解答】解：如图所示：∵四边形ABCD是正方形，E是BC中点，∴CE=AD，∵AD∥BC，∴∠ADF=∠DEC，∠AFD=∠EFC，∴△CEF∽△ADF，∴==，=，即=，解得EF=4．故选C．【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质及正方形的性质，先根据题意判断出△CEF∽△ADF，再根据相似三角形的对应边成比例进行解答是解答此题的关键．7．已知正方形ABCD，E是CD的中点，P是BC边上的一点，下列条件中不能推出△ABP与△ECP 相似的是（）A．∠APB=∠EPC B．∠APE=90°C．P是BC的中点D．BP：BC=2：3【考点】相似三角形的判定；正方形的性质．【专题】压轴题．【分析】利用两三角形相似的判定定理，做题即可．【解答】解：利用三角形相似的判定方法逐一进行判断．A、B可用两角对应相等的两个三角形相似；D可用两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似进行判断．只有C中P是BC的中点不可推断．故选C．【点评】考查相似三角形的判定定理：（1）两角对应相等的两个三角形相似．（2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．（3）三边对应成比例的两个三角形相似．（4）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．8．如图，矩形ABCD中，BE⊥AC于F，E恰是CD的中点，下列式子成立的是（）A．BF2=AF2B．BF2=AF2C．BF2＞AF2D．BF2＜AF2【考点】相似三角形的判定与性质；矩形的性质；射影定理．【分析】此题即是探求BF2与AF2之间的关系．利用△ABF∽△CEF所得比例线段探究求解．【解答】解：根据射影定理可得BF2=AF×CF；∵△ABF∽△CEF，∴CF：AF=CE：AB=1：2∴BF2=AF×AF=AF2．故选A．【点评】本题主要考查了射影定理及三角形的相似的性质．9．（3分）如图，正方形ABCD的面积为1，M是AB的中点，连接CM、DM、AC，则图中阴影部分的面积为（）A ．B ．C ．D ．【考点】相似三角形的判定与性质；正方形的性质．【分析】根据正方形的性质可得到△AME ∽△CDE ，根据相似三角形的边对应边成比例，求得EH ，EF 的长，从而即可求得阴影部分的面积．【解答】解：如图，过点E 作HF ⊥AB∵AM ∥CD ，∴∠DCE =∠EAM ，∠CDE =∠EMA ，∴△AME ∽△CDE∴AM ：DC =EH ：EF =1：2，FH =AD =1∴EH =，EF =．∴阴影部分的面积=S 正﹣S △AME ﹣S △CDE ﹣S △MBC =1﹣﹣﹣=．故选B ．【点评】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，找出各线段之间的比例关系是本题解题的关键．10．在坐标系中，已知A （﹣3，0），B （0，﹣4），C （0，1），过点C 作直线L 交x 轴于点D ，使得以点D ，C ，O 为顶点的三角形与△AOB 相似，这样的直线一共可以作出（）A ．6条B ．3条C ．4条D ．5条【考点】相似三角形的判定；坐标与图形性质．【专题】常规题型；分类讨论．【分析】△AOB是直角三角形，所作的以点D，C，O为顶点的三角形中∠COD=90度，OC与AD 可能是对应边，这样就可以求出CD的长度，以C为圆心，以所求的长度为半径作圆，圆与x轴有两个交点，因而这样的直线就是两条．同理，当OC与BD是对应边时，又有两条满足条件的直线，共有四条．【解答】解：以点D，C，O为顶点的三角形中∠COD=90度，当OC与AO是对应边，以C为圆心，以CD的长度为半径作圆，圆与x轴有两个交点，因而这样的直线就是两条．同理，当OC与OB是对应边时，又有两条满足条件的直线，所以共有四条．故选C．【点评】本题主要考查了三角形的相似，注意到分两种情况进行讨论是解决本题的关键．二、填空题：11．如图，把一个矩形纸片ABCD沿AD和BC的中点连线EF对折，要使矩形AEFB与原矩形相似，则原矩形长与宽的比为．【考点】相似多边形的性质．【分析】根据相似多边形对应边的比相等，设出原来矩形的长与宽，就可得到一个方程，解方程即可求得．【解答】解：根据条件可知：矩形AEFB∽矩形ABC D．∴=．设AD=x，AB=y，则AE=x．则=，即：x2=y2．∴=2．∴x：y=：1．即原矩形长与宽的比为：1．故答案为：：1．【点评】本题考查了相似多边形的性质，根据相似形的对应边的比相等，把几何问题转化为方程问题，正确分清对应边，以及正确解方程是解决本题的关键．12．已知：===，2b+3d﹣5f=9，则2a+3c﹣5e=．【考点】比例的性质．【分析】根据等比性质解答即可．【解答】解：∵===，∴=，∵2b+3d﹣5f=9，∴2a+3c﹣5e=×9=6．故答案为：6．【点评】本题考查了比例的性质，熟记并理解等比性质是解题的关键．13．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，MN⊥AB于M，AM=8cm，AC=AB，BC=15cm，则四边形BCNM的面积为．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】由△AMN∽△ACB，推出==，由AC：AB=4：5，设AC=4k，AB=5k，则BC=3k，由BC=15，推出k=5，AC=20，AB=25，根据四边形BCNM的面积=S△ABC ﹣S△AMN即可解决问题．【解答】解：∵MN⊥AB，∴∠AMN=∠C=90°，∵∠A=∠A，∴△AMN ∽△ACB ，∴==，∵AC ：AB =4：5，设AC =4k ，AB =5k ，则BC =3k ，∵BC =15，∴3k =15，∴k =5，AC =20，AB =25，∴MN =6，AN =8，∴四边形BCNM 的面积=S △ABC ﹣S △AMN =×20×15﹣×8×6=126．故答案为126．【点评】本题考查相似三角形的性质和判定、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，属于中考常考题型．14．如图，在正方形ABCD 中，点E 是BC 边上一点，且BE ：EC =2：1，AE 与BD 交于点F ，则△AFD 与四边形DEFC 的面积之比是．【考点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质．【专题】压轴题．【分析】根据题意，先设CE =x ，S △BEF =a ，再求出S △ADF 的表达式，利用四部分的面积和等于正方形的面积，得到x 与a 的关系，那么两部分的面积比就可以求出来．【解答】解：设CE =x ，S △BEF =a ，∵CE =x ，BE ：CE =2：1，∴BE =2x ，AD =BC =CD =AD =3x ；∵BC ∥AD ∴∠EBF =∠ADF ，又∵∠BFE =∠DFA ；∴△EBF ∽△ADF∴S △BEF ：S △ADF ===，那么S △ADF =a ．∵S △BCD ﹣S △BEF =S 四边形EFDC =S 正方形ABCD ﹣S △ABE ﹣S △ADF ，∴x 2﹣a =9x 2﹣×3x •2x ﹣，化简可求出x 2=；∴S △AFD ：S 四边形DEFC =： =： =9：11，故答案为9：11．【点评】此题运用了相似三角形的判定和性质，还用到了相似三角形的面积比等于相似比的平方．15．如图，已知梯形AECF 中，已知点D 是AB 边的中点，AF ∥BC ，CG =3，GA =1，若△AEG 的面积为1，那么四边形BDGC 的面积为．【考点】相似三角形的判定与性质；梯形．【分析】先求出△AFG 的面积，然后找出S △CEG =9S △AFG =3，再求出S △AFD =2S △AFC =2×=，S △DEB =S △AFD =，最后用面积差即可．【解答】解：AF ∥BC ，CG =3，GA =1，∴，∴FG =EF ，∵AF ∥BC ，∴， ∵D 是AB 的中点，∴AD =BD ，∴ED =FD ，∴FD =EF ，∵=，∴S △AFG =S △AEG =，∵AF ∥BC ，∴△CEG ∽△AFG ，∴，∴S △CEG =9S △AFG =3，∵FG =EF ，FD =EF ，∴FD =2FG ，∴DG =FG ，∴S △AFD =2S △AFC =2×=，∵△BED ≌△AFD ，∴S △DEB =S △AFD =，∴S 四边形BDGC 的面积=S △CGE ﹣S △BED=3﹣=．【点评】此题是相似三角形的性质和判定，主要考查了相似三角形的性质，面积比等于相似比的平分，等底的两三角形面积的比等于高的比，解本题的关键是求出△AFG 的面积．16．如图，在平行四边形ABCD 中，M 、N 为AB 的三等分点，DM 、DN 分别交AC 于P 、Q 两点，则AP ：PQ ：QC = ．【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【分析】根据题意，可得出△AMP∽△CDP和△ANQ∽△CDQ，可分别得到AP、PQ、QC的关系式，进而求出AP、PQ、QC的比值．【解答】解：由已知得：△AMP∽△CDP，∴AM：CD=AP：PC=AP：（PQ+QC）=，即：3AP=PQ+QC，①△ANQ∽△CDQ，∴AN：CD=AQ：QC=（AP+PQ）：QC=，即2QC=3（AP+PQ），②解①、②得：AQ=AC，PQ=AQ﹣AP=AC，QC=AC﹣AQ=AC，∴AP：PQ：QC=5：3：12．【点评】主要考查了三角形相似的性质和平行四边形的性质，要熟练掌握灵活运用．三、解答题：（共36分）17．已知：平行四边形ABCD，E是BA延长线上一点，CE与AD、BD交于G、F．求证：CF2=GF•EF．【考点】平行线分线段成比例；平行四边形的性质．【专题】证明题．【分析】根据平行四边形的性质得AD∥BC，AB∥CD，再根据平行线分线段成比例定理得=，=，利用等量代换得到=，然后根据比例的性质即可得到结论．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴=，=，∴=，即CF2=GF•EF．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．也考查了平行四边形的性质．18．（8分）已知：如图AD•AB=AF•AC，求证：△DEB∽△FE C．【考点】相似三角形的判定．【专题】证明题．【分析】利用两边对应比值相等，且夹角相等的两三角形相似，进而得出即可．【解答】证明：∵AD•AB=AF•AC，∴=，又∵∠A=∠A，∴△DEB∽△FE C．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握判定定理是解题关键．19．以长为2的线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连接PD，在BA的延长线上取点F，使PF=PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上．（1）求AM，DM的长；（2）求证：AM2=AD•DM；（3）根据（2）的结论你能找出图中的黄金分割点吗？【考点】黄金分割；勾股定理；正方形的性质．【分析】（1）由勾股定理求PD，根据AM=AF=PF﹣PA=PD﹣PA，DM=AD﹣AM求解；（2）由（1）计算的数据进行证明；（3）根据（2）的结论得：=，根据黄金分割点的概念，则点M是AD的黄金分割点．【解答】（1）解：在Rt△APD中，PA=AB=1，AD=2，∴PD==，∴AM=AF=PF﹣PA=PD﹣PA=﹣1，DM=AD﹣AM=2﹣（﹣1）=3﹣；（2）证明：∵AM2=（﹣1）2=6﹣2，AD•DM=2（3﹣）=6﹣2，∴AM2=AD•DM；（3）点M是AD的黄金分割点．理由如下：∵AM2=AD•DM，∴═=，∴点M是AD的黄金分割点．【点评】此题综合考查了正方形的性质、勾股定理和黄金分割的概念．先求得线段AM，DM的长，然后求得线段AM和AD，DM和AM之间的比，根据黄金分割的概念进行判断．20．已知：如图，AD是Rt△ABC的角平分线，AD的垂直平分线EF交CB的延长线于点F，求证：FD2=FB•F C．【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】首先连接AF，可证得△AFC∽△BFA，然后由相似三角形的对应边成比例证得FA2=FB•FC，则可得FD2=FB•F C．【解答】证明：连接AF，∵EF是AD的垂直平分线，∴AF=DF，∴∠FAE=∠FDE，∵∠FAE=∠FAB+∠BAD，∠FDE=∠C+∠CAD，且∠BAD=∠CAD，∴∠FAB=∠C，∵∠AFB是公共角，∴△AFB∽△CFA，∴，∴FA2=FB•FC，即FD2=FB•F C．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质以及角平分线的定义．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．21．已知，如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠CAB交BC于点D，过点C作CE⊥AD，垂足为E，CE的延长线交AB于点F，过点E作EG∥BC交AB于点G，AE•AD=16，．（1）求AC的长；（2）求EG的长．【考点】相似三角形的判定与性质；角平分线的性质；勾股定理；三角形中位线定理．【专题】几何图形问题．【分析】（1）∠CAD是公共角，∠ACB=∠AEC=90°，所以△ACE和△ADC相似，根据相似三角形对应边成比例，列出比例式整理即可得到AC2=AE•AD，代入数据计算即可；（2）根据勾股定理求出BC的长度为8，再根据AD平分∠CAB交BC于点D，CE⊥AD证明△ACE 和△AFE全等，根据全等三角形对应边相等，CE=EF，最后根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半EG=B C．【解答】解：（1）∵CE⊥AD，∴∠AEC=90°，∵∠ACB=90°，∴∠AEC=∠ACB，又∠CAE=∠CAE，∴△ACE∽△ADC，∴，即AC2=AE•AD，∵AE•AD=16，∴AC2=16，∴AC=4；（2）在△ABC中，BC===8，∵AD平分∠CAB交BC于点D，∴∠CAE=∠FAE，∵CE⊥AD，∴∠AEC=∠AEF=90°，在△ACE和△AFE中，，∴△ACE≌△AFE（ASA），∴CE=EF，∵EG∥BC，∴EG=BC=×8=4．【点评】本题主要考查两角对应相等，两三角形相似，相似三角形对应边成比例，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半的性质，熟练掌握性质并灵活运用是解题的关键，难度适中．2。