第三章简单随机抽样
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Chap03简单随机抽样
N i j
(Yi
Y
)(Yj
Y
)
1 nN
1
n 1 N 1
N i 1
(Yi
Y
)2
n 1 N 1
N i 1
(Yi
Y
2 )
1 n
N N
n
1 N 1
N i 1
(Yi
Y
)2
1 f S2
n
证明Ⅱ：仍引进随机变量 ai ：
N 1 n 1
N n
n N
ˆ
f
E(ai )
n N
f
(3.5)
借助 ai ，样本均值 y 可以表示成:
y
1 n
N i 1
aiYi
(3.6)
E( y) 1
n
N
E(ai )Yi
i 1
1 n
n N
N
Yi
i 1
Y
推论： Y 的简单估计量Yˆ Ny 也是无偏的，即: E(Ny ) Y
所有可能的样本求平均: E( y)
N 1 y n
N n
个样本中，包含特定单元
Yi
的样
本数为
N 1 n 1
，也有同样多样
本含有任何其他单元，因此
y 1
n
( y1
y2
yn )
1 n
N 1 n 1
数，则编号为这些随机数的 n 个单元组成一个简单随机样本。
随机数的产生可使用随机数骰子或随机数表。
图 3.1 随机数骰子 随机数骰子：标上 0～9 数字的正 20 面体（每个数字出现在两面）
应用抽样技术课后习题答案
=(0.0907,0.4433)
N1的95%的置信区间为: (159，776) 95%的置信区间为 (159， 的置信区间为:
(3)N=1750，n=30， (3)N=1750，n=30，n1=8, t=1.96, p=0.267, q=1q=1-0.267=0.733 由此可计算得： t 2q 1.962 × 0.733 n0 = 2 = =1054.64 r p 0.01× 0.267 n = n0/[1+(n0—1)/N] = 1054.64/[1+1053.64/1750]=658.2942 = 659 计算结果说明，至少应抽取一个样本量为659的简单随机 样本，才能满足95%置信度条件下相对误差不超过10%的精度 要求。
t=1.96 (2)易知，N=1750，n=30， n = 8 1 n 8 N − n 1750 − 30 1− f p= 1 = = 0.267 = = = 0.03389 n −1 (n −1)N 29 ×1750 n 30
pq = p(1 − p) = 0.267 × 0.733 = 0.1957
5.5 证明：由（5.6）得：
V ( yR ) ≈ 1− f n (Yi − RX i )2 ∑
i =1 N
N −n 2 令 Sd = V , Nn
2 d
N −1
=
N −n 2 Sd Nn
则n(NV + S ) = NS ，
2 d
S 2 NSd 从而n = = V 2 2 NV + Sd Sd 1+ NV
第五章 比率估计与回归估计
5.2 N＝2000, n＝36, 1－α＝0.95, t＝1.96, ˆ f = n/N＝0.018， v(R) = 0.000015359， ˆ se(R) ＝0.00392 置信区间为[40.93%,42.47%]。 置信区间为[40.93%,42.47%]。
第三章抽样的原理及类型
五、抽样设计得原则
1、目得性原则 2、可行性原则 3、高效性原则
第三节 样本规模与抽样误差
一、 样本规模及其计算
1所、含定元义素:样得本多规少模。又确称定样样本本容规量模,就指是得每就一是项样具本体中 得社会调查所必须解决得问题之一。
不能少于100个元素
2、简单随机抽样中样本规模计算公式: a,推论总体平均数
4、 实际抽取样本
实际抽取样本得工作就就是在上述几个步 骤得基础上,严格按照所选定得抽样方法,从抽样 框中抽取一个个得抽样单位,构成样本。依据抽 样方法得不同,以及依据抽样框就是否可以事先 得到等因素,实际得抽样工作既可能在研究者到 达实地之前就完成,也可能需要到达实地后才能 完成。即既可能先抽好样本,再下去直接对预先 抽好得对象进行调查或研究;也可能一边抽取样 本一边就开始调查或研究。
继续保持安静
置信区间
指在一定得置信度下,样本统计值与总体 参数值之间得误差范围。反映得就是抽样得 精确性程度。
二、抽样得作用
向人们提供一种实现“由部分认识整 体”这一目标得途径和手段。
日常生活中得抽样
第二节 抽样得类型与抽样程序
一、抽样得类型 从大得方面看,各种抽样都可以归为概率
抽样与非概率抽样两大类,这就是两种有 着本质区别得抽样类型。
抽样
从组成某个整体得所有元素得集合中,按 一定得方式选择或抽取一部分元素得过程。
比如,从1000户家庭构成得总体中,按一定 得方式抽取一个由100户家庭构成得样本得 过程。
抽样单位
抽样单位就就是一次直接得抽样所使用得 基本单位。抽样单位与构成总体得元素有时 就是相同得,有时又就是不同得。
如从32万名大学生抽取1000大学生,单个 大学生既就是元素,又就是抽样单位;但就是,抽 取40个班级(假定正好就是1000名)时,抽样单位 与构成总体得元素就不一样了。
第三章-简单随机抽样
不放回也称不重复抽样，每次从总体中随机抽取 一个样本单位，经调查观测后，不再将该单位放 回总体参加下一次抽样，然后再在剩下的总体单 位中随机抽取下一个样本单位进行调查观测，直 到抽够n个样本单位为止。
N!
考虑顺序可能的样本为 N n !
每个样本被抽中的概率为 ( N n)! N!
s2 1358.41, v( y) (1 f )s2 / n 37.6444, se( y) 6.1355
对该校大学生某月电信消费人均支出额的估计为 53.64元，在置信度95%下，临界值1.96，可以说以 95%的把握说明该校大学生该月的人均支出在 [53.64+(-)1.96*6.1355],即41.61~65.67元。
n 1
2n
正态近似产生的误差 主要与nP有关，特别 当nP比较小时，产生 的误差甚大，在95% 置信度下，P<0.5时正 态分布需要的最小nP 值与n值如下表。
P
nP
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.05
0
n
15
30
20
50
24
80
40 200
60 600
70 1400
80 无穷
试以95%的置信度估计上例大学生月电信消费超 过80元的人数及其比例。
N n S2 N n
nN
为调查某校大学生的电信消费水平，在全 校Ｎ＝15230名学生用简单随机抽样抽取 n=36名学生，调查上月电信支出数据。试 以95%的置信度估计该校大学生该月电信 消费的平均支出额。
样本序号 消费元/月 样本序号 消费
样本序号 消费
1
45
13
N!
考虑顺序可能的样本为 N n !
每个样本被抽中的概率为 ( N n)! N!
s2 1358.41, v( y) (1 f )s2 / n 37.6444, se( y) 6.1355
对该校大学生某月电信消费人均支出额的估计为 53.64元，在置信度95%下，临界值1.96，可以说以 95%的把握说明该校大学生该月的人均支出在 [53.64+(-)1.96*6.1355],即41.61~65.67元。
n 1
2n
正态近似产生的误差 主要与nP有关，特别 当nP比较小时，产生 的误差甚大，在95% 置信度下，P<0.5时正 态分布需要的最小nP 值与n值如下表。
P
nP
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.05
0
n
15
30
20
50
24
80
40 200
60 600
70 1400
80 无穷
试以95%的置信度估计上例大学生月电信消费超 过80元的人数及其比例。
N n S2 N n
nN
为调查某校大学生的电信消费水平，在全 校Ｎ＝15230名学生用简单随机抽样抽取 n=36名学生，调查上月电信支出数据。试 以95%的置信度估计该校大学生该月电信 消费的平均支出额。
样本序号 消费元/月 样本序号 消费
样本序号 消费
1
45
13
统计学 第三章抽样与抽样分布
=10
= 50 X
总体分布
n= 4
x 5
n =16
x 2.5
x 50
X
抽样分布
从非正态总体中抽样
结论：
从非正态中体中抽样，所形成 的抽样分布最终也是趋近于正态分 布的。只是样本容量需要更大些。
总结：中心极限定理
设从均值为，方差为 2的一个任意总体中抽 取容量为n的样本，当n充分大时（超过30），样本 均值的抽样分布近似服从均值为μ、方差为σ2/n的
总体
样本
参数
统计量
总体与样本的指标表示法
总体参数
样本统计量
(Parameter) (Sample Statistic)
容量 平均数 比例 方差 标准差
N
n
X
x
p
2
s2
s
小练习
某药品制造商感兴趣的是用该公司开发的某 种新药能控制高血压人群血压的比例。进行了一 项包含5000个高血压病人个体的研究。他发现用 这种药后80%的个体，他们的高血压能够被控制。 假定这5000个个体在高血压人群中具有代表性的 话，回答下列问题： 1、总体是什么？ 2、样本是什么？ 3、识别所关心的参数 4、识别此统计量并给出它的值 5、我们知道这个参数的值么？
正态分布
一个任意分 布的总体
x
n
当样本容量足够 大时(n 30) ， 样本均值的抽样 分布逐渐趋于正 态分布
x
X
总体分布
正态分布
非正态分布
大样本 小样本 大样本 小样本
正态分布
正态分布
非正态分布
三 中心极限定理的应用
中心极限定理(Central Limit theorem) 不论总体服从何种分布，从中抽取
初级1 -第三章简单随机抽样
n
n
n 1 N 1 n N
n 1 N 1
二、实施方法 • 抽签 制作N个同质的签，充分混合。从中一次抽出n个签， 或者先抽出一个签但不放回，再抽下一个签直到抽 满n个签为止。抽出的这n个签对应的单元入选样本， 这是不放回简单随机抽样；若从充分混合的N个签 中抽取一个，记录后放回，再抽取下一个，如此进 行，直到抽满n个为止，则是放回简单随机抽样。 抽签法的实施起来比较麻烦，尤其是当总体单元数 N较大时，所以该方法的使用场合为当总体单元数 N比较小，签的制作比较方便时。
第三章 简单随机抽样
第一节
基本问题
一、什么是简单随机抽样
从 N个单元的总体中抽取 n个单元组成的样本。总体单元数为 N，
样本量为 n。 若抽样是放回的，每次都是从 个总体单元中随机抽取1个单元，独 立重复抽取n次，得到 个单元组成的样本，叫做放回简单随机抽样。 若抽样是不放回的，每次都是从剩下的总体单元中随机抽取1个单 元，相继依次抽取n次，得到n个单元组成的样本，叫做不放回简单 随机抽样。
精度margin of error
对精度的要求通常以允许最大绝对误差
差限）或允许最大相对误差 （相对误差限）来表 示。
r
d（绝对误
d 1 P
P r 1
样本量足够大时，可用正态分布近似
ˆ tS ˆ d t V
2
第三章 基本概念
N n N 1
N n N
为 修正系数
2
为 S 修正系数
n f ，称抽样比， N
2
令
N n 1 f 有限总体调整系数 故， N 2
S V ( y ) (1 f ) n
n
n 1 N 1 n N
n 1 N 1
二、实施方法 • 抽签 制作N个同质的签，充分混合。从中一次抽出n个签， 或者先抽出一个签但不放回，再抽下一个签直到抽 满n个签为止。抽出的这n个签对应的单元入选样本， 这是不放回简单随机抽样；若从充分混合的N个签 中抽取一个，记录后放回，再抽取下一个，如此进 行，直到抽满n个为止，则是放回简单随机抽样。 抽签法的实施起来比较麻烦，尤其是当总体单元数 N较大时，所以该方法的使用场合为当总体单元数 N比较小，签的制作比较方便时。
第三章 简单随机抽样
第一节
基本问题
一、什么是简单随机抽样
从 N个单元的总体中抽取 n个单元组成的样本。总体单元数为 N，
样本量为 n。 若抽样是放回的，每次都是从 个总体单元中随机抽取1个单元，独 立重复抽取n次，得到 个单元组成的样本，叫做放回简单随机抽样。 若抽样是不放回的，每次都是从剩下的总体单元中随机抽取1个单 元，相继依次抽取n次，得到n个单元组成的样本，叫做不放回简单 随机抽样。
精度margin of error
对精度的要求通常以允许最大绝对误差
差限）或允许最大相对误差 （相对误差限）来表 示。
r
d（绝对误
d 1 P
P r 1
样本量足够大时，可用正态分布近似
ˆ tS ˆ d t V
2
第三章 基本概念
N n N 1
N n N
为 修正系数
2
为 S 修正系数
n f ，称抽样比， N
2
令
N n 1 f 有限总体调整系数 故， N 2
S V ( y ) (1 f ) n
第三章 抽样设计
一、方便抽样
又称任意抽样。一般由调研人员从工作的 方便出发，在调研对象的范围内随意抽取 一定数量的样本进行调查。
最常用的两种方法是“街头拦截法” 最常用的两种方法是“街头拦截法”和 “空间抽样法” 空间抽样法” 特点： 节约费用和时间，但样本的信息不 适用于总体参数的推断。
注意：
方便抽样一般用于非正式的探索性调查， 只有在调查总体各单位之间的差异不大时， 抽取的样本才有较高的代表性。
抽取样本的数量
允许误差 ％ 1 2 3 4 5 6 7 可信程度（把握程度）％ 95 99 9600 16589 2400 4147 1067 1849 600 1037 384 663 267 461 196 339
一、简单随机抽样
适用范围：调查总体中各个体之间差异程 度较小的情况下，或者调研对象不明，难 以分组、分类的情况。 常用方法： １、抽签法 ２、随机数表法
二、系统抽样
又称等距抽样，就是先将调查总体的各个 体按照一定的标志排列起来，然后按照固 定的顺序和一定间隔来抽取样本个体。
排队的标志有两种： １、按调查项目有关的标志排队 ２、按调查项目无关的标志排队
(独立控制配额)按年龄分组: 独立控制配额)按年龄分组:
按年龄分组 18-29岁 18-29岁 30-40岁 30-40岁 41-55岁 41-55岁 56岁 56岁 合计 人数 40 60 70 30 200
按性别分组
性别 人数 100 100 200
男
女
合计
相互控制配额抽样
合计 40 60 70 30 收入 性别 年龄 18-29岁 18-29岁 30-40岁 30-40岁 41-55岁 41-55岁 56岁以上 56岁以上 合计 高 男 3 6 6 3 18 女 4 5 6 3 18 中 男 7 11 13 6 37 女 8 11 13 5 37 低 男 9 13 16 7 45 女 9 14 16 6 45
第3章 抽样分布
样本方差s2
s2取值的概率
0.0 0.5
4/16 6/16
2
4.5
39
4/16
2/16
0.00 0.0 0.5 s的取值 2.0 4.5
(用Excel计算2分布的概率)
1. 利用Excel提供的CHIDIST统计函数，计算2分布 右单尾的概率值
2. 语法为 CHIDIST(x,df) ，其中 df 为自由度， x 是随 机变量的取值 3. 给定自由度和统计量取值的右尾概率，也可以利 用“插入函数”命令来实现 4. 计算自由度为8，统计量的取值大于10的概率
σ2 =1.25
23
x 2.5
x2 0.625
样本均值的抽样分布
当总体服从正态分布N(μ,σ2)时，来自该总体的所有 容量为n的样本的均值x也服从正态分布，x 的数 学期望为μ，方差为σ2/n。即x～N(μ,σ2/n)
=10
n=4 x 5 n =16 x 2.5
37
2分布
(图示)
选择容量为n 的 不同容量样本的抽样分布
n=1 n=4 n=10
总体
简单随机样本
计算样本方差s2
计算卡方值
n=20
2 = (n-1)s2/σ2
计算出所有的
2
2值
38
2分布
(例题的图示)
16个样本方差的分布
s取值的概率
0.40 0.35 0.30 0.25 0.20 0.15 0.10 0.05
13
三种不同性质的分布
1 2 3
14
总体分布 样本分布 抽样分布
总体分布
(population distribution)