2.7 解线性方程组的高斯消元法

（ c1, c2为任意常数）
11 1 12 2 1n n
(1)
a21 x1 a22 x2 a2 n xn 0 am1 x1 am 2 x2 amn xn 0
(2)
定义2.12 如果方程组中的未知量x1, x2, … ,xn 的一组x1 = c1, x2= c2, … ,xn= cn值代入方程组的每 个方程，都成为恒等式，则称这组值为方程组的 一组解；全部解的集合称为解集合（或解集）。 定义2.22 如果两个方程组的解集合相等，则 称这两个方程组为同解方程组或两个方程组同解。
例4 求解齐次线性方程组 齐次线性方程组 x1 2 x 2 x3 x 4 0 总有r(A)＝r(B)， 2 x1 4 x 2 2 x3＋4x 4 0. 总有零解。 －x1 2 x2 x3 2 x4 0 1 1 0 1 2 解 A B ＝ 2 4 - 2 4 0 - 1 - 2 1 - 2 0
③无解的情形
相应的同解线性方程组为：
x1 3x2 2 x3 4 x 2 － x3 1 －6 x3 6 0 1
所以，方程组无解。
未知量的任 何值都不能 满足此方程
【这是一个矛盾方程组，称“0＝1”为矛盾方程】 ※ ③ r(A)＝3，r(A│B)＝4，[r(A)=r(A│B)－1] 或r(A)≠r(A│B)，则无解。
0 0 0
自由未 知量
令 x2 c1, x4 c2 ，得方程组的全部解为
x1 x2 x 3 x 4 3 2c1 c2 2 c1 1 c2 2 c2
3 x4 0 2 . 1 x3 x 4 0 2
3 2 4 7 1 1 1 1 1 2 5 11 1 1 1 0 7 1 5 5 5 1 1 31 7 0 0 1 1 0 2 1 3 7 x1 2 解得线性方程组解为： x 2 0 x 1 3
问: (1)消元过程能否在增广矩阵上进行？ (2)消元法是否将方程组化为同解方程组？
3 2 4 2 5 11 1 1 3 1 3 7
※考察唯一解时系数矩阵与增广矩阵秩的关系。
解 由初等变换有
x 1 3 x 2 2 x3 4 1 3 x 1 7x x 5 x x3 1 0 11 2 1 2 2 3 2 3 3 0 7 x x x 1 5 x 5 x 5 1 2 x x x 3 2 3 3 2 2 3 3 1 2 3 2 0 0 7x x2 3x x 1 7 3 2 x1 2 3 0 0
系数和常数项按顺序构成如下的矩阵：
a11 a12 记 a a 22 21 A a m1 a m 2 a1n b1 x1 x2 b2 a2n , X , B , b x a mn m n
1 3 1 7
5 －1 －1 －1 1 － 2 7 － 4 7 －4 7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 37 13 7 13 7 1 － 2 7 － 4 7 －4 7 0 0 0 0 0 0 0 0
1 3 1 7
行阶梯 形矩阵
1 2 1 1 0 0 0 2 － 1 0 0 0 0 0 0 ※ 齐次方程组系数矩阵与增广矩阵的秩永远相等。
x1 2 x2 相应的同解线性方程组为：
3 1 2 0 2 1 0 0 1 2 0 0 0 0
a11x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 线性方程组 a m1x1 a m 2 x2 a mn xn bm
的解取决于 系数 常数项
则称A为系数矩阵， A 为增广矩阵；
※
线性方程组与增广矩阵一一对应。
下面讨论消元法：
二、线性方程组的消元解法 1. 线性方程组的初等变换 对线性方程方程组实施以下三种变换 (1) 交换某两个方程的位置； (2) 用一个非零常数k乘某一个方程的两边； (3) 将一个方程的k倍加到另一个方程上去. 以上这三种变换称为线性方程组的初等变换. 矩阵的初等变换由此推广，下面利用矩阵初等变 换来解线性方程组。
解：因为
A
1 1 B 3 1
5 2 8 9
1 1 1 3
1 3 1 7
1 3 1 7
A
1 0 行 0 0 1 0 回代 0 0
1 1 B 3 1
5 2 8 9
1 1 1 3
一、 线性方程组的概念 本节讨论m个方程，n个未知量的线性方程组： 常数项
※ 当常数项不全为零时，称为非齐次的线性方程 组，当常数项全为零时，称为齐次的线性方程组， 即 a x a x a x 0
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a21 x1 a22 x2 a2n xn b2 a x a x a x b m 1 1 m 2 2 mn n m
其中c1 ，c2为任意常数。
※ ② r(A)=r(A│B)＝2<4（未知量的个数）时，
方 程组有无穷多解。
x 1 3 x2 2 x3 4 3 x 2 x 5 x 11 1 2 3 例3 解线性方程组 2 x1 x2 x3 3 2 x1 x2 3 x3 6 1 3 -2 4 2 - 5 11 解 A 3 2 1 1 3 2 1 3 6 3 2 4 1 0 1 1 1 r(A)＝3， 0 0 6 6 r(A│B)＝4 0 0 1 0
2. 消元法的具体做法及类型 就是利用方程组的初等变换将原方程组化为 阶梯形方程组(对应的增广矩阵为行阶梯形矩阵）， 从而求出其解。 例1 解下列线性方程组:
1 x 1 3 x 2 2 x3 4 3 x 2 x 5 x 11 3 1 2 3 2 2 x1 x 2 x3 3 2 x x 3 x 7 1 2 3 2
线性方程组是否有解，有解时，解是什么 等问题，完全由这个矩阵来确定。因此，对线 性方程组的研究可转化为对这个矩阵的研究。
※ 线性方程组的矩阵形式
a11x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 对线性方程组 a m1x1 a m 2 x2 a mn xn bm
aij i, j 1,2,, n
bi i 1,2,, n
线性方程组的系数与常数项按原位置可排为
a a a b x a x a x a 11 12 1 n 1 11 1 12 2 1n n b 1 aa x a a22nnxn bb x2 a 22 22 21211 a22 a1m a bm x1 a x2 amn bm m mnx n m m 22 a
①有唯一解的情形 r(A)= 3 =r(A│B) r(A)=3= r(A│B)＝3(未知量的个数)，有唯一解。
②有无穷多解的情形
例2 解线性方程组
x1 5 x2 x3 x4 1 x1 2 x2 x3 3 x4 3 3 x1 8 x2 x3 x4 1 x1 9 x2 3 x3 7 x4 7
【 x3 , x4 任取一组常数，可得到原方程组的 一个解，称其为自由未知量】
令
x3 c1, x4 c2 ，得方程组的全部解为
13 3 13 x1 7 7 c1 7 c 4 x 4 2 c 4 c 1 2 2 7 7 7 x3 c1 x c 2 4
线性代数
第二章 矩阵
2.7 解线性方程组的高斯消元法
线性方Байду номын сангаас组是线性代数研究的主要对象之
一. 在这一节里，我们讨论线性方程组的高斯
消元解法，解的判定。
※ 用克莱姆法则求解线性方程组时，必须满足：
①方程的个数=未知量的个数；
②系数矩阵的行列式不等于零。
且计算量是比较大的. 对符合或不符合上面两个条件的一般的线性方 程组，需考虑： 有无穷多解时，解 ①判别是否有解？ ②有解时，有多少解？ 之间的关系要用到3章 ③如何求出全部解？ 的n维向量。 用消元法可以较方便的求解和讨论解的各种情况。
方程组的等价矩阵形式为： AX B .
记
a11 a A 21 a m1 a 11 a21 A am1
a12 a1n x1 b1 x2 b2 a 22 a 2 n , X , B , b m a m 2 a mn xn a12 a1n b1 a22 a 2n b2 . A B AX B . am 2 amn b m
行最简 形矩阵
r(A)= 2 =r(A│B) <4
相应的同解线性方程组为：
x1 3 13 13 ＋ x3＋ x4 7 7 7 2 4 4 x2－ x3－ x4 7 7 7
自由未 知量
13 3 13 x1 7 7 x3 7 x 4 4 2 4 x 2 x3 x 4 7 7 7
0 0 1 0
2 0 0 1 1 0 0 0
形矩阵
x1 所以，方程组解是：
2 0
x2