第三章晶格振动和晶体的热学性质

二、一维双原子链的振动 （揭示复式格子振动的基本特点）
模型:一维无限长双原子链，原子质量为m和M，且m<M。 原胞长仍为a，两原子之间的距离为a / 2 ,恢复力系数为。
总长为 L = Na , N为原胞总数。
质量为M的原子编号为:··· n-1,1、 n,1、n+1,1、··· 质量为m的原子编号为:··· n-1,2、 n,2、n+1,2、···
本章主要内容：
➢ 先讨论简谐晶体的经典运动，建立原子的运动方程， 得到 晶格振动的能量和频率并讨论其色散关系。
➢ 对简谐晶体进行量子力学处理，将多体问题化为单体 问题，并建立声子的概念（晶格振动波的能量量子）
➢ 晶格振动谱的实验测定原理和方法。 ➢ 对晶体的热学性质，即比热、热膨胀和热导率等进行讨论
(3)周期性边界条件、第一布里渊区中的模数
a
波恩-卡门边界条件 a
（周期性边界条件）
q的取值采用波恩-卡门边界条件（周期性边界条件）来定：
u1 u N 1
N为晶格中的原子个数（晶胞数 ）
即：
Ae Ae i(qat)
i[q( N 1)at ]
un Aei(qnat)
u1 u N 1
Ae Ae i(qat)
m 2
具有周期对称性，周期为2 / a ,即
在晶格中具有物理意义的波矢仅存在于 / a q / a 的区间
举例说明 un Aei(qnat)
第一布里渊区
(1) (2)
对格点振动有贡献的是原 子，两原子之间的振动在 物理上没有意义。
/ a q / a 第一布里渊区（倒格子空间）
倒格子空间-波矢空间
由于周期性，考虑 0q / a 的区间
当 q 2 / 0
2
m
sin
qa 2
m
sin
qa 2
ma / 2q
与 之间是线性关系
速度 v ma / 2
（弹性波的特点）
声学支格波（声学波）: 长声学波为弹性波；频率较低
q 0, 0
(2)q空间的周期对称性
色散关系
2 sin qa
当δ很小时，作二级近似
恢复力 ------简谐近似
----胡克定律 ( 为倔强系数)
研究一维单原子链的振动
模型：设一维单原子链中，原子间距(晶格常量)为a， 总长为 L = Na , N为原子总数（晶胞数 ） ，原子质量为m。
第n个粒子的受力情况：
运动方程：
假设晶格足够长，可忽略边界。以行波作试探解，即
设 un,1、un,2是相应于原子M、m在沿链方向对其平衡位置的偏离
方程和解
和单原子链类似，若只考虑最近邻原子的相互作用，则有：
Mun,1 2un,1 un,2 un1,2 mun,2 2un,2 un1,1 un,1
类似于前面的讨论，可取解的形式为： 代入运动方程得：
(2 m 2 ) A (2 cos qa )B 0
1)色散曲线
第三章 晶格振动和晶体的热学性质
晶格振动：组成晶体的原子并非固定于格点位置，而是以 格点为平衡位置作热振动
晶格振动的强弱依赖于温度，对晶体热学性质起重要作用 （热容、热膨胀和热传导等）。另外，对晶体的光学性质 和电学性质等也有重要影响。
点阵动力学的建立
1907年，Albert Einstein发表了题为“Planck辐射理论与比热 的理论”，第一次提出比热的理论。更重要的，第一次提出经典 力学的点阵振动和量子力学的谐振子能级可以对应。 1912年，Peter Joseph William Debye认识到，Einstein提出 的比热公式在极低温下与实验不符合，是因为没有考虑到晶体 中的原子振动频率不是单一的。后来德拜通过谐振理论求得近 似的原子振动的频率分布，得到与实验更加符合的比热公式。 1912年，Max Born和Theodore von Karman发表了题为“论空间 点阵的振动的论文”。提出晶体中原子振动应该是以点阵波的形 式存在，是点阵动力学的奠基之作。 1920-1950年，点阵动力学被应用到晶体的热力学性质、热传导、 电导、介电、光学和X射线衍射等诸多方面。比较完整地总结在 Max Born和黄昆的书“晶体点阵的动力理论”中。 1950年以后，发展了测量点阵动力学性质的实验：中子衍射。
§3.1 一维晶格的振动
一、一维单原子链的振动
（简单格子，揭示晶格振动的基本特点）
研究固体中原子振动时的两个假设: ❖每个原子的中心的平衡位置在对应Bravais点阵的格点上. ❖原子离开平衡位置的位移与原子间距比是小量,可用谐振近似 . 二原子间的相互作用能
两原子之间的相互作用能为U(r)，r为两原子间的距离； 把U(r)在平衡位置r0附近作泰勒展开：
i[q( N 1)at ]
eiqNa 1
得： qNa 2l l =0，±1，±2……等整数
q 2 l
Na
在第一布里渊区，q取值为
/a q /a
对应于 N / 2l N / 2 ( l 只能取N个值----模数 )
结论：在第一布里渊区内的q值唯一地描述了所有的晶格 振动模式，这些值的数目等于晶格的自由度数N。
2 cos qa
2
2
2 M 2
0
Mm 4
2
(M
m) 2
4
2
sin 2
1 2
qa
0
Mm 4
2 (M
m) 2
4
2
sin 2
1 2
qa
0
M mM
1
1
4mM (m M )2
sin 2
1 2
1
qa
2
—最简单的一维双原子链的色散关系
2
(2 cos qa ) A (2 M 2 )B 0
2
(2 m 2 ) A (2 cos qa )B 0
2
(2 cos qa ) A (2 M 2 )B 0
2 上式看成是以A、B为未知数的线性齐次方程.
以A、B为未知数的线性齐次方程有非零解的条件为系数 行列式为零：
2 m 2 2 cos qa
un Aei(qnat)
代入运动方程得：
利用
，和
得：
即： 2
m
sin qa 2
m
sin
qa 2
其中
m 2
m
一维Bravais格子的色散关系
（频率与波矢之间的关系）
色散概念来自于光学，不同频率的光在同一介质中的传播速 度不同，于是产生色散，频率与波矢之间的关系叫色散关系
讨论：
（1）长波极限