分段函数及映射

分段函数及映射

第 2 课时分段函数及映射

[学习目标] 1.掌握简单的分段函数，并能简单应用.2.了解映射概念及它与函数的联系.

知识点一分段函数在函数的定义域内，对于自变量x 的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数.

思考分段函数对于自变量x 的不同取值区间对应关系不同，那么分段函数是一个函数还是几个函数？分段函数的定义域和值域分别是什么？

答分段函数是一个函数，而不是几个，各段定义

域的并集即为分段函数的定义域，各段值域的并集即为分段函数的值域.

知识点二映射映射的定义：设A、B 是两个___的集合，如果

按某一个确定的对应关系f，使对于集合A 中的

_______ 元素x，在集合B 中都有 _____ 的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A→B 为从集合A 到集合B 的一个映射.

思考函数与映射有何区别与联系？

题型一分段函数求值

x＋1，x≤－2，

例1 已知函数f(x)＝x2＋2x，－2

2x－1，x≥2.

(1) 求

f(－5)，f(－3)，f[f(－25)]的值；(2)

若f(a)＝3，求实数a 的值.

x2，x≥0，

跟踪训练1 (1)若f(x)＝则f[f(－

－x，x<0，

2)］等于( )

3x ＋1，x ≤1， (2) 已知函数 f(x)＝ 3－x x ＋，1x ，＞x 1≤，1，

若 f(x)＝2，

题型二 分段函数的图象及应用

定义域和值域 .

跟 踪 训 练 2

－ 7，x ∈ －∞，－ 2]， 2x － 3， x ∈ － 2，

5] ， 7， x ∈ 5，＋∞

域. 跟踪训练 3 设 x ∈(－∞，＋∞ )，求函数 y ＝2|x － 1|－ 3|x|的最大值 .

A.2

B.3

C.4

D.5

例 2 已知 f(x)＝

x ，

－1≤x ≤1，

1， x ＞1或x ＜－

1，

(1)画出 f(x)的图象； (2)求 f(x)的

的图象，并求 y 的值

题型三映射的概念

例3 判断下列对应是不是映射？

1 (1)A＝｛x|0≤x≤3｝，B＝｛y|0≤y≤1｝，f：y＝x，

3

x∈A，y∈B；

(2)A＝N，B＝N*，f：y＝|x－1|，x∈A，y∈B；

1

(3) A＝｛x|0

(4) A＝R，B＝｛y|y∈R，y≥0｝，f：y＝|x|，

x∈A，

y ∈B.

跟踪训练 4 下列对应是从集合 M 到集合 N 的 映射的是 （ ）

1 ①M ＝N ＝R ，f ：x →y ＝

x ，x

∈M ，y ∈N ；②M

x ＝N ＝R ，f ：x →y ＝

x 2

，x ∈M ，y ∈N ；③M ＝N

1 ＝R ，f ：x →y ＝|x|＋

x ，x ∈

M ，y ∈

N ；④M ＝N

|x|＋x

＝R ，f ：x →y ＝x 3

，x ∈M ，y ∈N.

A.①②

B.②③

C.①④

D.②④ 题型四 求某一映射

中的像或原像 例 4 设 f ：A →B 是 A 到 B 的一个映射， 其中 A ＝B ＝｛（x ，y ）|x ，y ∈R ｝，f ：

（x ，y ）→（x －y ，x ＋ y ）. （1）求 A 中元素 （－1,2）的像； （2）求 B 中元素 （－1,2）的原像 .

跟踪训练 5 设集合 A 、B 都是坐标平面上的点 集

｛（x ，y ）|x ∈R ，y ∈R ｝ ，映射 f ：A →B 使集合 A 中的元素 （x ，y ）映射成集合 B 中的元素 （x ＋y ， x 6

－ y)，则在 f 作用下，像 (2,1)的原像是 ( )

题型五 映射的个数问题

例 5 已知 A ＝｛a ，b ，c ｝ ，B ＝｛－1,2｝.

(1)从 A 到 B 可以建立多少个不同的映射？ (2)若 f(a)＋f(b)＋ f(c)＝0，则从 A 到 B 的映射中

满足条件的映射有几个？

跟踪训练 5 设集合 A ＝｛a ，b ｝，B ＝｛0,1｝ ，则从

A 到

B 的映射共有 ( )

A.2 个

B.3 个

C.4 个

D.5 个 题型六 分段函数与不等式 (组 )综合应用

2

2x,x 1 2x 2 3,x 1,

A.(3,1)

B.

3

2 2 C. 23，－21

D.(1,3)

题型七分段函数的实际应用

例7 为了节约用水，某市打算出台一项水费政策，规定每季度每人用水量不超过5 吨时，每吨水的水费为1.2 元，若超过5 吨而不超过6 吨时，超过部分的水费按原价的200％收费，若超过6 吨而不超过7 吨时，超过部分的水费按原价的400％收费. 如果某人本季度实际用水量为x(x 7) 吨，试计算本季度他应交的水费y( 单位：元).

1. 已知函数f(x)＝x＋11，x<1，则f(2)等于()

2. 下列集合 A 到集合 B 的对应中，构成映射的是 ()

4.如图所示，函数图象是由两条射线及抛物线的 一

部分组成，则函数的解析式为 _______________

5.若方程x 2 4| x| 3 m 有4个互不相等的实数根，求 m 的取值范围.

A.0

1 B.13

C.1

D.2

3.设函数 f(x)＝

x 2＋1， x 2

，x>1

x ≤1

，则 f (f (3))等于

1 ( ) A.1

5

B.3

2 C.2

3 13 D.193

1.对映射的定义，应注意以下几点：

(1)集合A 和B 必须是非空集合，它们可以是数集、点集，也可以是其他集合.

(2)映射是一种特殊的对应，对应关系可以用图示或文字描述的方法来表达.

2.理解分段函数应注意的问题：

(1)分段函数是一个函数，其定义域是各段“定义域”的并集，其值域是各段“值域”的并集.写定义域时，区间的端点需不重不漏.

(2)求分段函数的函数值时，自变量的取值属于哪一段，就用哪一段的解析式.

(3) 研究分段函数时，应根据“先分后合”的原则，尤其是作分段函数的图象时，可先将各段的图象分别画出来，从而得到整个函数的图象.

一、选择题

100

11

1.以下几个论断

① 从映射角度看，函数是其定义域到值域的映 射； ② 函数 y ＝x －1，x ∈Z 且 x ∈[ －3,3)的图象是一 条线段；

③ 分段函数的定义域是各段定义域的并集， 值域 是各段值域的并集；

④ 若 D 1，D 2 分别是分段函数的两个不同对应关 系的值域，则 D 1∩D 2＝?. 其中正确的论断有 ( )

A.0 个

B.1 个

C.2 个

D.3 个 10，x<0，

2.已知 f(x)＝ 则 f [f (－ 7)]的值为

10x ，x ≥0，

()

A.100

B.10

C.－ 10

D.－

3. 已知集合 A 中元素(x ，y)在映射 f 下对应 B 中

元素(x＋y，x－y)，则B 中元素(4，－2)在A 中

对应的元素为( )

A.(1,3)

B.(1,6)

C.(2,4)

D.(2,6)

4. 已知集合A＝［0,4］，B＝［0,2］，按照对应关系f 不能成为从集合A 到集合B 的一个映射的是()

1

A.f：x→ y＝2x

B.f：x→y＝x－2

C.f：x→ y＝x

D.f：x→y＝|x－2|

x＋2，x≤0，

5. 已知函数f(x)＝

2若f(x)＝3，则

x2，0

A. 3

B.9

C.－1或1

D.－3或3

二、填空题

x2－1，x≥1，

7. 已知f(x) ＝1

1 则f(f(13)) ＝，x<1，3

x

12.如图所示，在边长为4 的正方形ABCD 边上有一点P，由点B（起点）沿着折线BCDA，向点A（终点）运动.设点P运动的路程为x，△ APB 的面积为y，求y与x之间的函数解析式.

13.设函数f(x)

(x 1)2,x

4 x 1,x

1,

1,求使f(x) 1的自变量x的取值集

合

1,