【全程复习方略】2013版高中数学 (主干知识+典例精析)4.1平面向量的线性运算课件 理 新人教B版
(2)把平面上一切单位向量归结到共同的始点，那么这些向量的 终点所构成的图形是 .
【解析】(1)①假，当a为零向量时，方向是不确定的. ②假，向量不能比较大小. ③真，向量 a与b的模相等，即长度相等，与方向无关. (2)这些向量的终点所构成的图形是以共同的始点为圆心，以单位 1为半径的圆. 答案：(1)①假 ②假 ③真 (2)圆
(3)平行向量与起点无关.
【例1】已知下列命题： ①若 a与 b是共线向量，b 与 c是共线向量，则 a与 c 是共线向量 ②两个有共同起点而长度相等的非零向量，它们的终点必相同 ③由于 0方向不确定，故 0不能与任意向量平行 ④如果 a b, b c, 则 a c ⑤如果|a |=| b|，则 a与 b的方向相同. 其中不正确的命题是 (请把不正确的命题的序号都填上).
(2)2
4.向量的数乘与平行向量基本定理 (1)向量的数乘 ①长度： a |_____ | || a | | ②方向 当λ >0时， a 的方向与 a 的方向 相同 ； 当λ <0时， a 的方向与 a 的方向 相反 ，
当λ =0时， a = 0 ,其方向是任意的.
(2)向量的数乘的运算律 设λ ,μ 为实数，则①λ (μ a)= a ; ②(λ +μ )a = a a ；③λ ( a b)= a b . (3)平行向量基本定理 如果 a b ，则 a b ，反之，如果 a b ，且 b 0 ，则一定存在 唯一一个实数λ ，使 a b .
第一节 平面向量的线性运算
完全与教材同步，主干知识精心提炼。素质和能力源于基 础，基础知识是耕作“半亩方塘”的工具。视角从【考纲点击
】中切入，思维从【考点梳理】中拓展，智慧从【即时应用】
中升华。科学的训练式梳理峰回路转，别有洞天。去尽情畅游
吧，它会带你走进不一样的精彩！
三年3考
高考指数:★★
1.了解向量的实际背景；
用了.
【例2】在△ABC中，(1)若D是AB边上一点，且
1 AD 2DB,CD CA CB, 则λ =( 3
)
(A)
2 3
(B)
1 3
(C) 1
(D) 2
3
3
(2)若O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且
) 2OA OB OC 0, 那么( (A)AO OD (B)AO 2OD (C) AO 3OD (D)2AO OD (3)若 AB AC AB AC 2，则｜ AC ｜ ｜｜ ｜｜ ｜ AB ｜
同，所以 a c, 故④正确；⑤不正确.
答案：①②③⑤
【反思·感悟】平面向量的基本概念较多，比较容易遗忘，复
习时要构建良好的知识结构来帮助记忆，还可以与物理中、生
活中的模型进行类比和联想来记忆.
平面向量的线性运算 【方法点睛】 平面向量的线性运算法则的应用 三角形法则和平行四边形法则是向量线性运算的主要方法，共
【解析】(1)由向量的定义可知，物理中的速度、力、加速度等
都为向量. (2)向量是既有大小又有方向的量，向量的大小为实数，故① 为真；向量可以用有向线段来表示，有向线段的长度为向量的 大小，有向线段的方向为向量的方向，所以②为真；因为有向
线段只是向量的一种表示形式，所以③为假； 与 BA 是大小 AB
a
ab
三角形法则
【即时应用】 (1)判断下列命题是否正确.(请在括号中填“√”或“×”) ① OA OB AB
② AB BA 0
( ( (
) ) ) .
③ AC BD CD AB 0 (2)若菱形ABCD的边长为2，则| AB CB CD|=
相等、方向相反的向量，故④为真. 答案：(1)速度、力、加速度(答案不唯一) (2)①真 ②真 ③假 ④真
2.特殊向量
名 称 零向量 定义 长度等于零 ____________的向量；其方向不确定 同方向 给定一个非零向量 a ,与 a ______且 长度等于1 ____________的向量，叫做向量 a 的单位向量，可记作 a 0 . 平行或重合 如果向量的基线互相_________， 则称这些向量共线或平行 同向且等长 __________的有向线段表示同一向 备注 0 记作___
起点的向量和用平行四边形法则，差用三角形法则.对于多个向
量求和，可用向量加法的多边形法则:
A1A 2 A 2 A3 A3A 4 A n 1A n A1A n .
【提醒】向量加法的平行四边形法则与三角形法则在本质上是 一致的，但当两个向量共线(平行)时，平行四边形法则就不适
a |a| a0 =____
单位 向量
共线( 平行) 向量 相等 向量 相反 向量
向量 a与b平行记 aPb 作______
量，或相等的向量
方向相反 与向量 a ________且等长的向量， 叫做 a 的相反向量
uur u 如 AB a
记作- a
【即时应用】
(1)判断下列命题的真假.(请在括号中填写“真”或“假”)
2.题型以客观题为主，与解析几何交汇命题则以解答题为主.
1.向量的有关概念
(1)定义：具有 大小 和 方向 的量叫做向量.
(2)表示方法：用 有向线段 来表示向量.有向线段的长度表示
向量的 大小 ，用箭头所指的方向表示向量的 方向 .用 a, b,或
用 AB,CD 来表示. (3)向量的长(模)：有向线段的 长度 叫做向量的长(或模)，记 作| a|,| b|或|AB|，|CD |.
3.向量的加法与减法
向量 运算
定义
法则（或几何意义）
ab
运算律
（1）交换律：
ba a b _____ .
求两个 加法 向量和 的运算
b
a
三角形法则
b
ab
（2）结合律： (a b) c
a (b c) __________ .
a
平行四边形法则
求a与b的 相反向量 减法 b的和的 运算叫做 a与b的差 b
2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义； 3.理解向量的几何表示； 4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义； 5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义； 6.了解向量线性运算的性质及其几何意义.
1.平面向量的线性运算及平行向量基本定理是高考考查的重点，
也是热点，难度中等偏下.
【即时应用】
(1)请写出物理中的三个向量
.
(2)判断下列命题的真假.(请在括号中填写“真”或“假”) ①向量的大小是实数 ②向量可以用有向线段表示 ③向量就是有向线段 ④向量 AB 的长度和向量 BA 的长度相等
( ( ( (
) ) ) )
3 2
. .
③设两非零向量 e1 , e2不共线，且 k e1 e2 e1 ke2 ， 则实数k的 值为 .
④点C在线段AB上，且 AC 3 AB,则 AC =
5
CB .
【解析】①原式= 8a 8c 7a 7c c 15a. ②原式= 1 a 8b 4b 2b 1 a 2b .
【解题指南】以概念为判断依据，或通过举反例说明其不正确.
【规范解答】当 b 0 时，a 与 c可以为任意向量，故①不正确； 两个有共同起点而长度相等的非零向量，如果它们的方向相 同，则它们的终点必相同，否则终点不相同，故②不正确；规 定 0 与任意向量平行，故③不正确；如果 a、b、c 都为零向量， 则 a c,如果 a、b、c 为非零向量，则它们的长度都相等、方向相
.
【解题指南】(1)D是AB边上的三等分点，把 CD 用 CA、 表示； CB
(2)由D为BC边中点可得 OB OC 2OD 即可求解； (3)由|AB|=|AC|=|AB AC|=2可得△ABC为正三角形，| AB AC |
是该正三角形高的2倍.
【规范解答】(1)选A.CD CA AD CA 2 AB CA 2 (CB CA)
3 3 2 1 2 = CA CB, 所以λ= ，故选A. 3 3 3 (2)选A.因为D为BC边中点，∴ OB OC 2OD, 又 2OA OB OC 0, ∴ 2OA 2OD 0,即 AO OD,故选A. (3)∵ AB AC AB AC CB 2，
平面向量的有关概念
【方法点睛】
1.平面向量的概念辨析题的解题方法
准确理解向量的基本概念是解决该类问题的关键，特别是对相
等向量、零向量等概念的理解要到位，充分利用反例进行否定 也是行之有效的方法.
2.几个重要结论
(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行具有传递性；
(2)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量；
，∴k=0或1.
例题归类全面精准，核心知识深入解读。本栏目科学归纳 考向，紧扣高考重点。【方法点睛】推门只见窗前月：突出解 题方法、要领、答题技巧的指导与归纳；“经典例题”投石冲 破水中天：例题按层级分梯度进行设计，层层推进，流畅自然， 配以形异神似的变式题，帮你举一反三、触类旁通。题型与方 法贯通，才能高考无忧！
【全程复习方略】2013版高中数学 (主干知识+典例精析)4.4平面向量的应用课件 理 新人教B版
(
)
②在△ABC中，若 ABBC ＜0，则△ABC为钝角三角形.(
)
③在四边形ABCD中，边AB与CD为对边，若 AB DC, 则此四边形
为平行四边形.
(
)
【解析】①因为 AB、 共始点A，且 AB∥ AC, 故①正确； AC ②∵ ABBC＜0⇔ BABC＞0，∴∠B为锐角，不能判断△ABC
利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐
标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值 等问题. (2)工具作用：利用 a⊥b ⇔ a·b =0, a∥b ⇔a=λ b (b≠0),可解决 垂直、平行问题.
【例3】已知两点M(-1,0),N(1,0)，且点P使
NMNP,PMPN,MPMN 成公差非负的等差数列.
=(5,3b-4y). ∴| PA 3PB|2=25+(3b-4y)2(0≤y≤b), 当y=
3 b时，| PA 3PB|最小，|PA 3PB|min=5. 4
答案：5
【反思·感悟】平面几何问题的向量解法 (1)坐标法 把几何图形放在适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的 坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得 到解决.
【提醒】向量关系与几何关系并不完全相同，要注意区别， 例如：向量 AB∥ CD 并不能说明直线AB∥CD.
【例1】(2011·天津高考)已知直角梯形ABCD中，AD∥BC,
∠ADC=90°,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点，则|PA 3PB |的最小
的形状，故②不正确； ③∵ AB DC, ∴AB 答案：①√ ②〓
【全程复习方略】(陕西专用)2013版高考数学 4.1 平面向量的概念及线性运算课时提能演练 理 北
【全程复习方略】（某某专用）2013版高考数学 4.1 平面向量的概念及线性运算课时提能演练 理 北师大版(45分钟70分)一、选择题(每小题5分，共30分)1.下列命题中是真命题的是( )①对任意两向量a 、b ，均有：|a |－|b |<|a |＋|b |②对任意两向量a 、b ，a －b 与b －a 是相反向量③在△ABC 中，AB ＋BC －AC ＝0④在四边形ABCD 中，(AB ＋BC )－(CD ＋DA )＝0⑤AB －AC ＝BC(A)①②③ (B)②④⑤(C)②③④ (D)②③2.(易错题)平面向量a,b 共线的充要条件是( )(A)a,b 方向相同(B)a,b 两向量中至少有一个为零向量(C)存在λ∈R ，b =λa(D)存在不全为零的实数λ1,λ2,λ1a +λ2b =03.已知O ，A ，B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满足2AC +CB =0，则OC 等于( )(A)2OA -OB (B)-OA +2OB (C)21OA OB 33-(D)12OA OB 33-+ 4.(2012·某某模拟)图中的小网格由等大的小正方形拼成，则向量a －b ＝( )(A)e 1＋3e 2(B)－e 1－3e 2(C)e 1－3e 2(D)－e 1＋3e 25.(2012·某某模拟)若△ABC 的三个顶点A ，B ，C 及平面内一点P 满足PA PB PC ＋＋＝，0且实数λ满足AB AC AP λ＋＝，则实数λ的值是( )(A)2 (B)32(C)3 (D)66.(2012•某某模拟)在平面直角坐标系xOy中，点A(5，0)，对于某个正实数k，存在函数f(x)=ax2(a>0)，使得OA OQOP()|OQ|OA=λ+(λ为常数)，这里点P、Q的坐标分别为P(1，f(1)),Q(k,f(k))，则k的取值X围为( )(A)(2,+∞) (B)(3,+∞)(C)［4,+∞) (D)［8,+∞)二、填空题(每小题5分，共15分)7.若|AB|＝8，|AC|＝5，则|BC|的取值X围是.8.(2012·某某模拟)如图，在三角形ABC中，D，E分别为BC，AC的中点，F为AB上的点，且AB＝4AF.若AD＝x AF＋y AE，则实数x＝，实数y＝.9.(2012·某某模拟)如图所示，BC＝3CD，O在线段CD上，且O不与端点C、D重合，若OA＝m AB＋(1－m)AC，则实数m的取值X围为.三、解答题(第10题12分，第11题13分，共25分)10.如图所示，O为△ABC内一点，若有4OA＋OB＋OC＝0，试求△ABC与△OBC的面积之比.11.如图，已知OA＝a，OB＝b，OC＝c，OD＝d，OF＝f，试用a、b、c、d、f表示以下向量. (1)AC；(2)AD；(3)AD－AB；(4)AB＋CF；(5)BF－BD.【选做•探究题】如图，点A 1、A 2是线段AB 的三等分点， (1)求证：1OA ＋2OA ＝OA ＋OB ；(2)一般地，如果点A 1，A 2，…A n －1是AB 的n(n≥3)等分点，请写出一个结论，使(1)为所写结论的一个特例，并证明你写的结论.答案解析1.【解析】选D.①假命题.∵当b ＝0时，|a |－|b |＝|a |＋|b |.∴该命题不成立.②真命题.这是因为(a －b )＋(b －a )＝a ＋(－b )＋b ＋(－a )＝a ＋(－a )＋b ＋(－b )＝(a －a )＋(b －b )＝0，∴a －b 与b －a 是相反向量. ③真命题.∵AB ＋BC －AC ＝AC －AC ＝0，∴命题成立. ④假命题.∵AB ＋BC ＝AC ，CD ＋DA ＝CA ，∴(AB ＋BC )－(CD ＋DA )＝AC －CA ＝AC ＋AC ≠0，∴该命题不成立. ⑤假命题.∵AB －AC ＝AB ＋CA ＝CB ≠BC ，∴该命题不成立.【变式备选】在以下各命题中，假命题的个数为( )①“|a |＝|b |”是“a ＝b ”的必要不充分条件②任一非零向量的方向都是唯一的③“a ∥b ”是“a ＝b ”的充分不必要条件④若|a |－|b |＝|a |＋|b |，则b ＝0(A)1 (B)2 (C)3 (D)4【解析】选A.∵a 、b 方向不同⇒a ≠b ；∴仅有|a |＝|b |a ＝b ；但反过来，有a ＝b ⇒|a |＝|b |.故命题①是正确的.命题②正确.∵a ∥b a ＝b ，而a ＝b ⇒a ∥b ，故③不正确.∵|a |－|b |＝|a |＋|b |，∴－|b |＝|b |，∴2|b |＝0，∴|b |＝0，即b ＝0，故命题④正确.综上所述，4个命题中，只有③是错误的，故选A.2.【解题指南】零向量的方向是任意的，且零向量和任意向量共线，可以通过举反例判断错误选项来得出答案.【解析】选D.方法一(筛选法)：零向量的方向是任意的且零向量和任意向量共线，故A 错误；两共线的向量可以均为非零向量，故B 错误；当a 为零向量，b 不是零向量时，λ不存在，C 错误，故选D. 方法二(直接法)：若a,b 均为零向量，则显然符合题意，且存在不全为零的实数λ1,λ2，使得λ1a +λ2b =0;若a ≠0，则由两向量共线知，存在λ≠0,使得b =λa ,即λa -b =0,符合题意，故选D.【误区警示】考虑一般情况而忽视了特殊情况而致误，在解决很多问题时考虑问题必须要全面，除了考虑一般情况外，还要注意特殊情况是否成立.3.【解析】选A.OC =OB +BC =OB +2AC =OB +2(OC -OA ),∴OC =2OA -OB .4.【解析】选C.a ＝2.5e 1＋1.5e 2，b ＝1.5e 1＋4.5e 2，a －b ＝2.5e 1＋1.5e 2－(1.5e 1＋4.5e 2)＝e 1－3e 2，故选C.5.【解析】选C.方法一：因为PA PB PC ＋＋＝，0所以P 为△ABC 的重心，所以AB AC 3AP ＋＝，所以λ＝3.故选C.AB AC AP (PB PA)(PC PA)AP PB PC (2)PA PA PB PC λ∴λ∴λ方法二：＋＝，－＋－＝，＋＋－＋＝，又＋＋＝，00∴－2＋λ＝1，即λ＝3.6.【解析】选A.由题设知，点P(1，a),Q(k,ak 2)，A(5，0)，∴向量OP =(1,a)，OA =(5，0)，OQ =(k,ak 2)， ∴OA OA =(1，0)，OQOQ =∵OAOQ OP ()|OQ |OA=λ+(λ为常数)， ∴1=λ两式相除并化简得 ∴k>2,故选 A. 7.【解析】∵BC ＝AC －AB ，当AB 、AC 同向时，|BC |＝8－5＝3，当AB 、AC 反向时，|BC |＝8＋5＝13，当AB 、AC 不共线时，3<|BC |<13，综上可知3≤|BC |≤13. 答案：[3,13]8.【解析】∵D ，E 分别为BC ，AC 的中点，AB ＝4AF ，∴AD ＝12(AB ＋AC )＝12(4AF ＋2AE ) ＝2AF ＋AE .又∵AD ＝x AF ＋y AE ，∴x ＝2，y ＝1.答案：2 1【变式备选】如图，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AB ＝m AM ，AC ＝n AN ，则m ＋n 的值为.【解题指南】可以由M 、N 的特殊位置求m 、n 的值.【解析】由MN 的任意性可用特殊位置法：当MN 与BC 重合时知m ＝1，n ＝1，故m ＋n ＝2.答案：29.【解析】设CO ＝k BC ，则k ∈(0，13)， ∴AO ＝AC ＋CO ＝AC ＋k BC ＝AC ＋k(AC －AB )＝(1＋k)AC －k AB .又AO ＝m AB ＋(1－m)AC ，∴m ＝－k∵k ∈(0，13)，∴m ∈(－13，0). 答案：(－13，0) 10.【解析】设BC 的中点为点D ，则OB ＋OC ＝2OD ，∴4OA ＋2OD ＝0，∴OA ＝－12OD ， ∴A 、O 、D 三点共线，且|AD |＝3|AO |，别为E 、F ，则|AE |∴|AD |＝32|OD |.作AE ⊥BC ，OF ⊥BC ，垂足分＝32|OF |， ∴S △ABC S △OBC ＝1|BC ||AE |21|BC ||OF |2＝32. 【方法技巧】向量在平面几何中的应用技巧平面向量的知识在解决平面几何中的问题时应用非常广泛：利用向量共线判定定理，可以证明点共线，两直线平行，并进而判定一些特殊图形；利用向量的模，可以说明线段间的长度关系，并进而求解图形的面积.在后续内容中，向量的应用将更广泛.要注意图形中的线段、向量是如何相互转化的.11.【解题指南】本题可利用向量的加法、减法法则并结合图形得以解答.【解析】(1)AC ＝OC －OA ＝c －a(2)AD ＝AO ＋OD ＝－OA ＋OD ＝－a ＋d(3)AD －AB ＝BD ＝OD －OB ＝d －b(4)AB ＋CF ＝OB －OA －OC ＋OF ＝b －a －c ＋f(5)BF －BD ＝DF ＝DO ＋OF ＝－d ＋f【选做•探究题】【解题指南】(1)把向量1OA ，2OA 都用向量OA ，OB 表示；(2)解题思路同(1)，答案不唯一.【解析】(1)∵1AA ＝13AB ， ∴1OA ＝OA ＋1AA ＝OA ＋13AB ＝OA ＋13(OB －OA )＝OB 2OA 3+， 同理2OA ＝2OB OA 3+， 则1OA ＋2OA ＝OB 2OA 3+＋2OB OA 3+＝OA ＋OB . (2)一般结论为1OA ＋n 1OA －＝2OA ＋n 2OA －＝…＝OA ＋OB证明：∵k AA ＝k n AB ， ∴k OA ＝OA ＋k AA ＝OA ＋k n AB ， 而n k OA －＝OA ＋n k AA －＝OA ＋n －k n AB ＝OA ＋AB －k n AB ＝OB －k n AB ∴k OA ＋n k OA －＝OA ＋k n AB ＋OB －k n AB ＝OA ＋OB . 注：也可以将结论推广为1OA ＋2OA ＋…＋n 1OA －＝n －12(OA ＋OB )，证明类似，证明略.。
高中平面向量知识点详细归纳总结(附带练习)
向量的概念一、高考要求：理解有向线段及向量的有关概念,掌握求向量和与差的三角形法则和平行四边形法则,掌握向量加法的交换律和结合律.二、知识要点：1. 有向线段:具有方向的线段叫做有向线段,在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向.以A 为始点,B 为终点的有向线段记作AB ,注意:始点一定要写在前面,已知AB ,线段AB 的长度叫做有向线段AB 的长(或模),AB 的长度记作AB ||.有向线段包含三个要素:始点、方向和长度.2. 向量:具有大小和方向的量叫做向量,只有大小和方向的向量叫做自由向量.在本章中说到向量,如不特别说明,指的都是自由向量.一个向量可用有向线段来表示,有向线段的长度表示向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向.用有向线段AB 表示向量时,我们就说向量AB .另外,在印刷时常用黑体小写字母a 、b 、c 、…等表示向量;手写时可写作带箭头的小写字母a 、b 、c 、…等.与向量有关的概念有:(1) 相等向量:同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量.向量a 和b 同向且等长,即a 和b 相等,记作a =b .(2) 零向量:长度等于零的向量叫做零向量,记作0.零向量的方向不确定.(3) 位置向量:任给一定点O 和向量a ,过点O 作有向线段OA a =,则点A 相对于点O 的位置被向量a 所唯一确定,这时向量a 又常叫做点A 相对于点O 的位置向量.(4) 相反向量:与向量a 等长且方向相反的向量叫做向量a 的相反向量,记作a -.显然,()0a a +-=.(5) 单位向量:长度等于1的向量,叫做单位向量,记作e .与向量a 同方向的单位向量通常记作0a ,容易看出:0a a a =│ │. (6) 共线向量(平行向量):如果表示一些向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,即这些向量的方向相同或相反,则称这些向量为共线向量(或平行向量).向量a 平行于向量b ,记作a ∥b .零向量与任一个向量共线(平行).三、典型例题：例:在四边形ABCD 中,如果AB DC =且AB BC =│ │ │ │ ,那么四边形ABCD 是哪种四边形? 四、归纳小结：1. 用位置向量可确定一点相对于另一点的位置,这是用向量研究几何的依据.2. 共线向量(平行向量)可能有下列情况: (1)有一个为零向量;(2)两个都为零向量;(3)方向相同,模相等(即相等向量);(4)方向相同,模不等;(5)方向相反,模相等;(6)方向相反,模不等.五、基础知识训练：（一）选择题：1. 下列命题中: (1)向量只含有大小和方向两个要素. (2)只有大小和方向而无特定的位置的向量叫自由向量. (3)同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量. (4)点A 相对于点B 的位置向量是BA . 正确的个数是( )A.1个B.2个C.3个D.4个2. 设O 是正△ABC 的中心,则向量,,AO OB OC 是( )A.有相同起点的向量B.平行向量C.模相等的向量D.相等向量3. a b =的充要条件是( )A.a b =│ │ │ │ B.a b =│ │ │ │ 且a b ∥ []l C.a b ∥ D.a b =│ │ │ │ 且a 与b 同向 4. AA BB ''=是四边形ABB A ''是平行四边形的( )A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件5. 依据下列条件,能判断四边形ABCD 是菱形的是( )A.AD BC =B.AD BC ∥且AB CD ∥C.AB DC =且AB AD =│ │ │ │ D.AB DC =且AD BC = 6. 下列关于零向量的说法中,错误的是( )A.零向量没有方向B.零向量的长度为0C.零向量与任一向量平行D.零向量的方向任意7. 设与已知向量a 等长且方向相反的向量为b ,则它们的和向量a b +等于( )A.0B.0C.2aD.2b（二）填空题：8. 下列说法中: (1)AB 与BA 的长度相等 (2)长度不等且方向相反的两个向量不一定共线 (3)两个有共同起点且相等的向量,终点必相同(4)长度相等的两个向量必共线。
(完整版)高中数学平面向量知识点总结
高中数学必修4之平面向量知识点归纳一.向量的基本概念与基本运算1、向量的概念：①向量：既有大小又有方向的量向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．②零向量：长度为0的向量，记为0，其方向是任意的，0与任意向量平行③单位向量：模为1个单位长度的向量④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量2、向量加法：设,ABa BCb uu u ru uu r r r ，则a +b r =AB BC u u u r u u u r =ACuu u r （1）a a a 00；（2）向量加法满足交换律与结合律；AB BCCDPQQRAR u u u r u u u r u uu r u u u r u u u r u u u rL，但这时必须“首尾相连”．3、向量的减法：①相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a 的相反向量②向量减法：向量a 加上b 的相反向量叫做a 与b 的差，③作图法：b a可以表示为从b 的终点指向a 的终点的向量（a 、b 有共同起点）4、实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的长度与方向规定如下：（Ⅰ）a a ；（Ⅱ）当0时，λa 的方向与a 的方向相同；当时，λa 的方向与a 的方向相反；当0时，0a，方向是任意的5、两个向量共线定理：向量b 与非零向量a 共线有且只有一个实数，使得b =a6、平面向量的基本定理：如果21,e e 是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数21,使：2211e ea，其中不共线的向量21,e e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底二.平面向量的坐标表示1平面向量的坐标表示：平面内的任一向量a r可表示成axi yj r rr ，记作a r=(x,y)。
2平面向量的坐标运算：(1)若1122,,,ax y bx y rr ，则1212,a bx x y y r r (2)若2211,,,y x B y x A ，则2121,AB x x y y u u u r(3)若a r =(x,y)，则a r =(x, y)(4)若1122,,,a x y b x y r r ，则1221//0a b x y x y rr (5)若1122,,,ax y bx y rr ，则1212a bx x y y r r 若ab rr ，则02121y y x x 三．平面向量的数量积1两个向量的数量积：已知两个非零向量a r 与b r，它们的夹角为，则a r ·b r =︱a r︱·︱b r ︱cos 叫做a r与b r 的数量积（或内积）规定00ar r 2向量的投影：︱b r ︱cos =||a b a r r r ∈R ，称为向量b r 在a r方向上的投影投影的绝对值称为射影3数量积的几何意义：a r ·b r 等于a r 的长度与b r 在a r方向上的投影的乘积4向量的模与平方的关系：22||a a a a r r r r 5乘法公式成立：2222a b ab a b a b r r r r r r r r ；2222abaa bb r r r r r r 222aa bbr r r r 6平面向量数量积的运算律：①交换律成立：a bb arr r r ②对实数的结合律成立：a b a b a bRr r r r r r ③分配律成立：abca cb c r r r r r r r ca br r r 特别注意：（1）结合律不成立：ab ca b c r r r r r r ；（2）消去律不成立a ba cr r r r 不能得到bc rr （3）a b r r =0不能得到a r =0r或b r =0r 7两个向量的数量积的坐标运算：已知两个向量1122(,),(,)ax y b x y rr，则a r ·b r=1212x x y y 8向量的夹角：已知两个非零向量a r与b r ，作OA u u u r =a r , OB uuu r =b r ,则∠AOB=（01800）叫做向量a r 与b r 的夹角cos =cos,a b a ba b??r r r r r r =222221212121y x y x y y x x 当且仅当两个非零向量a r 与b r 同方向时，θ=00，当且仅当a r与b r 反方向时θ=1800，同时0r与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题9垂直：如果a r 与b r 的夹角为900则称a r 与b r 垂直，记作a r⊥br 10两个非零向量垂直的充要条件：a ⊥ba ·b ＝O02121y y x x 平面向量数量积的性质一、选择题1．在△ABC 中，AB ＝AC ，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，则()．A ．AB 与AC 共线B ．DE 与CB 共线C ．AD 与AE 相等D ．AD 与BD 相等2．下列命题正确的是()．A ．向量AB 与BA 是两平行向量B ．若a ，b 都是单位向量，则a ＝bC ．若AB ＝DC ，则A ，B ，C ，D 四点构成平行四边形D ．两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同3．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A(3，1)，B(－1，3)，若点C满足OC ＝OA ＋OB ，其中，∈R ，且＋＝1，则点C 的轨迹方程为()．A ．3x ＋2y －11＝0B ．(x －1)2＋(y －1)2＝5C ．2x －y ＝0D ．x ＋2y －5＝04．已知a 、b 是非零向量且满足(a －2b)⊥a ，(b －2a)⊥b ，则a 与b 的夹角是A ．6B ．3C ．23D ．565．已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上(不包括端点A ，C )，则AP ＝A ．λ(AB ＋AD )，λ∈(0，1)B ．λ(AB ＋BC )，λ∈(0，22)C ．λ(AB －AD )，λ∈(0，1)D ．λ(AB －BC )，λ∈(0，22)6．△ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，AC 的中点，则DF ＝()．(第1题)A．EF＋ED B．EF－DE C．EF＋AD D．EF＋AF7．若平面向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则向量a的模为()．A．2 B．4 C．6 D．128．点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足OA·OB＝OB·OC＝OC·OA，则点O是△ABC的()．A．三个内角的角平分线的交点B．三条边的垂直平分线的交点C．三条中线的交点D．三条高的交点9．在四边形ABCD中，AB＝a＋2b，BC＝－4a－b，DC＝－5a－3b，其中a，b不共线，则四边形ABCD为()．A．平行四边形B．矩形C．梯形D．菱形10．如图，梯形ABCD中，|AD|＝|BC|，EF∥AB∥CD则相等向量是()．A．AD与BC B．OA与OBC．AC与BD D．EO与OF二、填空题11．已知向量OA＝(k，12)，OB＝(4，5)，OC＝(－k，10)，且A，B，C三点共线，则k＝．12．已知向量a＝(x＋3，x2－3x－4)与MN相等，其中M(－1，3)，N(1，3)，则x＝．13．已知平面上三点A，B，C满足|AB|＝3，|BC|＝4，|CA|＝5，则AB·BC ＋BC·CA＋CA·AB的值等于．14．给定两个向量a＝(3，4)，b＝(2，－1)，且(a＋mb)⊥(a－b)，则实数m 等于．15．已知A，B，C三点不共线，O是△ABC内的一点，若OA＋OB＋OC＝0，则O是△ABC的．16．设平面内有四边形ABCD和点O，OA＝a，OB＝b，OC＝c, OD＝d，若a＋c＝b＋d，则四边形ABCD的形状是．三、解答题17．已知点A(2，3)，B(5，4)，C(7，10)，若点P满足AP＝AB＋λAC(λ∈R)，试求λ为何值时，点P在第三象限内？(第10题)18．如图，已知△ABC，A(7，8)，B(3，5)，C(4，3)，M，N，D分别是AB，AC，BC的中点，且MN与AD交于F，求DF．(第18题)19．如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，求证：AF⊥DE(利用向量证明)．(第19题) 20．已知向量a＝(cos θ，sin θ)，向量b＝(3，－1)，则|2a－b|的最大值．一、选择题1．B 解析：如图，AB 与AC ，AD 与AE 不平行，AD 与BD 共线反向．2．A解析：两个单位向量可能方向不同，故B 不对．若AB ＝DC ，可能A ，B ，C ，D 四点共线，故C 不对．两向量相等的充要条件是大小相等，方向相同，故D 也不对．3．D解析：提示：设OC ＝(x ，y)，OA ＝(3，1)，OB ＝(－1，3)，OA ＝(3，)，OB ＝(－，3)，又OA ＋OB ＝(3－，＋3)，∴(x ，y)＝(3－，＋3)，∴33＋＝－＝y x ，又＋＝1，由此得到答案为D ．4．B解析：∵(a －2b)⊥a ，(b －2a)⊥b ，∴(a －2b)·a ＝a 2－2a ·b ＝0，(b －2a)·b ＝b 2－2a ·b ＝0，∴a 2＝b 2，即|a|＝|b|．∴|a|2＝2|a||b|cos θ＝2|a|2cos θ．解得cos θ＝21．∴a 与b 的夹角是3π．5．A解析：由平行四边形法则，AB ＋AD ＝AC ，又AB ＋BC ＝AC ，由λ的范围和向量数乘的长度，λ∈(0，1)．6．D解析：如图，∵AF ＝DE ，∴DF ＝DE ＋EF ＝EF ＋AF ．7．C解析：由(a ＋2b)·(a －3b)＝－72，得a 2－a ·b －6b 2＝－72．而|b|＝4，a ·b ＝|a||b|cos 60°＝2|a|，∴|a|2－2|a|－96＝－72，解得|a|＝6．8．D 解析：由OA ·OB ＝OB ·OC ＝OC ·OA ，得OA ·OB ＝OC ·OA ,即OA ·(OC －OB )＝0，故BC ·OA ＝0，BC ⊥OA ，同理可证AC ⊥OB ，∴O 是△ABC 的三条高的交点．9．C解析：∵AD ＝AB ＋BC ＋D C ＝－8a －2b ＝2BC ，∴AD ∥BC 且|AD |≠|BC |．∴四边形ABCD 为梯形．10．D解析：AD 与BC ，AC 与BD ，OA 与OB 方向都不相同，不是相等向量．(第1题)二、填空题11．－32．解析：A ，B ，C 三点共线等价于AB ，BC 共线，AB ＝OB －OA ＝(4，5)－(k ，12)＝(4－k ，－7)，BC ＝OC －OB ＝(－k ，10)－(4，5)＝(－k －4，5)，又A ，B ，C 三点共线，∴5(4－k)＝－7(－k －4)，∴k ＝－32．12．－1．解析：∵M(－1，3)，N(1，3)，∴MN ＝(2，0)，又a ＝MN ，∴＝4－3－2＝3＋2x x x 解得4＝1＝－1＝－x x x 或∴x ＝－1．13．－25．解析：思路1：∵AB ＝3，BC ＝4，CA ＝5，∴△ABC 为直角三角形且∠ABC ＝90°，即AB ⊥BC ，∴AB ·BC ＝0，∴AB ·BC ＋BC ·CA ＋CA ·AB＝BC ·CA ＋CA ·AB ＝CA ·(BC ＋AB )＝－(CA )2＝－2CA ＝－25．思路2：∵AB ＝3，BC ＝4，CA ＝5，∴∠ABC ＝90°，∴cos ∠CAB ＝CAAB ＝53，cos ∠BCA ＝CABC＝54．根据数积定义，结合图(右图)知AB ·BC ＝0，BC ·CA ＝BC ·CA cos ∠ACE ＝4×5×(－54)＝－16，CA ·AB ＝CA ·AB cos ∠BAD ＝3×5×(－53)＝－9．∴AB ·BC ＋BC ·CA ＋CA ·AB ＝0―16―9＝－25．14．323．解析：a ＋mb ＝(3＋2m ，4－m)，a －b ＝(1，5)．∵(a ＋mb)⊥(a －b)，∴ (a ＋mb)·(a －b)＝(3＋2m)×1＋(4－m)×5＝0m ＝323．15．答案：重心．解析：如图，以OA ，OC 为邻边作□AOCF交AC 于点E ，则OF ＝OA ＋OC ，又OA ＋OC ＝－OB ，(第15题)D(第13题)∴OF ＝2OE ＝－OB ．O 是△ABC 的重心．16．答案：平行四边形．解析：∵a ＋c ＝b ＋d ，∴a －b ＝d －c ，∴BA ＝CD ．∴四边形ABCD 为平行四边形．三、解答题17．λ＜－1．解析：设点P 的坐标为(x ，y)，则AP ＝(x ，y)－(2，3)＝(x －2，y －3)．AB ＋λAC ＝(5，4)－(2，3)＋λ［(7，10)－(2，3)］＝(3，１)＋λ(5，7)＝(3＋5λ，１＋7λ)．∵AP ＝AB ＋λAC ，∴ (x －2，y －3)＝(3＋5λ，1＋7λ)．∴713532yx 即7455yx 要使点P 在第三象限内，只需74055解得λ＜－1．18．DF ＝(47，2)．解析：∵A(7，8)，B(3，5)，C (4，3)，AB ＝(－4，－3)，AC ＝(－3，－5)．又D 是BC 的中点，∴AD ＝21(AB ＋AC )＝21(－4－3，－3－5)＝21(－7，－8)＝(－27，－4)．又M ，N 分别是AB ，AC 的中点，∴F 是AD 的中点，∴DF ＝－FD ＝－21AD ＝－21(－27，－4)＝(47，2)．19．证明：设AB ＝a ，AD ＝b ，则AF ＝a ＋21b ，ED ＝b －21a ．∴AF ·ED ＝(a ＋21b)·(b －21a)＝21b 2－21a 2＋43a ·b ．又AB ⊥AD ，且AB ＝AD ，∴a 2＝b 2，a ·b ＝0．∴AF ·ED ＝0，∴AF ⊥ED ．本题也可以建平面直角坐标系后进行证明．20．分析：思路1：2a －b ＝(2cos θ－3，2sin θ＋1)，∴|2a －b|2＝(2cos θ－3)2＋(2sin θ＋1)2＝8＋4sin θ－43cos θ．又4sin θ－43cos θ＝8(sin θcos3π－cos θsin3π)＝8sin(θ－3π)，最大值为8，∴|2a －b|2的最大值为16，∴|2a －b|的最大值为4．思路2：将向量2a ，b 平移，使它们的起点与原点重合，则|2a －b|表示2a ，b终点间的距离．|2a|＝2，所以2a 的终点是以原点为圆心，2为半径的圆上的动点P ，b 的终点是该圆上的一个定点Q ，由圆的知识可知，|PQ|的最大值为直径的长为4．(第18题)(第19题)。
【全程复习方略】2013版高中数学 (主干知识+典例精析)4.3平面向量的数量积课件 理 新人教B版
【例3】(1)(2011·湖北高考)若向量 a=(1,2),b =(1,-1), 则2 a b 与 a b 的夹角等于 (
1 2 AD AB AC ， AE AB AC AB BE ， 2 3 1 2 ADBE (AB AC) ( AC AB) 2 3 1 2 1 2 1 AC AB AB AC 3 2 6
量积求平面向量的夹角、模及判断向量的垂直，是重点也是难
点； 2.题型以选择题和填空题为主，与三角函数、解析几何等知识 点交汇则以解答题为主.
1.平面向量的数量积
(1)向量的夹角 非零向量 ①定义：如图，已知两个________ a 和 b ，作 OA＝a,OB b，
则向量 a与 b的夹角是_________ ,记作〈 a, b〉. θ 或∠AOB
答案：-140
【反思·感悟】向量的数量积运算是向量之间的一种运算，结 果是一个数量.平面向量的数量积运算类似于多项式的乘法.在 进行数量积运算时，要认清向量的模和夹角，正确地进行数量 积的运算，避免错用公式，如 | ab｜ | a || b | . ≠
平面向量的垂直问题
【方法点睛】 两向量垂直的判断方法及应用 (1)若a,b为非零向量，则a ⊥b ab =0；若非零向量
a=(x1,y1),b =(x2,y2),则 a⊥b x1x2+y1y2=0.
(2)一对向量垂直与向量所在的直线垂直是一致的，向量的线性
运算与向量的坐标运算是求解向量问题的两大途径. 【提醒】向量垂直问题体现了“形”与“数”的相互转化，可 用来解决几何中的线线垂直问题.
1 3 【例2】已知 a=(- , )， = a b,OB a b, 若△AOB是以O为直 OA 2 2
(完整版)高三一轮复习平面向量知识点整理,推荐文档
（答： 2 2 ）；
（3）已知作用在点
A(1,1)
的三个力
F1
(3, 4), F2
(2, 5), F3
(3,1)
，则合力
F F1 F2 F3 的终点坐标是
（答：（9,1））
4⑴、实向数量数与乘向运量算a：的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作 a ．
①
a
a
；
②当
0
时，
a
的方向与
（答：2）；
（2）已知 a (1,1),b (4, x) ， u a 2b ， v 2a b ，且 u // v ，则 x＝______
6、向量垂直： a b a b 0 | a b || a b | x1x2 y1 y2 0 .
（答：4）；
【例题】(1)已知 OA (1, 2),OB (3, m) ，若 OA OB ，则 m
1、已知向量 a = 2，4，，b = 11 ．若向量 b (a + b) ，则实数 的值是
．
2、若向量
a，b
的夹角为
60
，
a
b
1，则 aA a b
．
3、在平面直角坐标系中，正方形 OABC 的对角线 OB 的两端点分别为 O(0，0) ， B(1，1) ，
则 ABAAC
．
三、解答题：
1、已知 ΔABC 三个顶点的直角坐标分别为 A(3，4)、B(0，0)、C( c ，0)．
(1)若 ABAAC 0 ，求 c 的值；
(2)若 c 5 ，求 sin∠A 的值
2、在 △ABC 中，角 A，B， C 的对边分别为 a，b，，c tan C 3 7 ．
（1）求 cos C ；
高中数学平面向量知识点归纳
高中数学平面向量知识点归纳1、向量：既有大小，又有方向的量． 数量：只有大小，没有方向的量． 有向线段的三要素：起点、方向、长度． 零向量：长度为0的向量． 单位向量：长度等于1个单位的向量． 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行． 相等向量：长度相等且方向相同的向量．2、向量加法运算：⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点．⑶三角形不等式：a b a b a b -≤+≤+． ⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+；②结合律：()()a b c a b c ++=++；③00a a a +=+=．⑸坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y +=++． 3、向量减法运算：⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．⑵坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y -=--． 设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则()1212,x x y y AB =--． 4、向量数乘运算：⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λ． ①a a λλ=；②当0λ>时，a λ的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ的方向与a 的方向相反；当0λ=时，0a λ=．⑵运算律：①()()a a λμλμ=；②()a a a λμλμ+=+；③()a b a b λλλ+=+． ⑶坐标运算：设(),a x y =，则()(),,a x y x y λλλλ==．5、向量共线定理：向量()0a a ≠与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b a λ=．设()11,a x y =，()22,b x y =，其中0b ≠，则当且仅当12210x y x y -=时，向量a 、()0b b ≠共线．6、平面向量基本定理：如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使1122a e e λλ=+．（不共线的向量1e 、2e 作为这一平面内所有向量的一组基底）7、分点坐标公式：设点P 是线段12P P 上的一点，1P 、2P 的坐标分别是()11,x y ，()22,x y ，当12λP P =PP 时，点P 的坐标是1212,11x x y y λλλλ++⎛⎫⎪++⎝⎭．（当时，就为中点公式。
【全程复习方略】2013版高中数学 (主干知识 典例精析)7.7空间向量及其运算课件 理 新人教B版.
1 2
AC
CC1
1 2
AB AD
AA1
1 2
AB
1 2
AD
AA1.
方法二：OC1
CC1
CO
CC1
1 2Leabharlann CA CC1
1 2
AC
AA1
1 2
AB AD
1 2
AB
1 2
AD
AA1.
答案：① AA1(或A1A)
②
1 2
AB
1 2
AD
AA1
()
【解析】由向量加法知(1)正确；当a∥b时，a与b所在直线平行 或重合，故(2)是错误的；由于向量可平移，因此空间任意两向 量都可平移到同一起点，故空间任意两向量共面，即(3)是正确 的；a所在的直线可能在平面α内，故(4)是错误的． 答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)×
2．空间向量的有关定理
向
量 坐
数量积 a b _a_1b_1___a_2_b_2 __a_3_b_3
标
模
运 算
| a |
aa
a12
a
2 2
a
2 3
夹角
cosa,b a b
a1b1 a2b2 a3b3
| a || b |
a12
a
2 2
a
2 3
b12 b22 b32
(2)空间两点间的距离公式 设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),
故E,F,G,H四点共面．
【全程复习方略】2013版高中数学 7.8平面的法向量与平面的向量表示课件 理 新人教B版
【解析】(1)由α⊥β得a·b=0，解得x＝－10.
(2)由a·b=2×(-6)+4×9+(-4)×6=0得a⊥b，从而l1⊥l2．
答案：(1)－10
(2)l1⊥l2
利用空间向量证平行、垂直 【方法点睛】 1.用向量证平行的方法
线线平行 证明两直线的方向向量共线. （1）证明该直线的方向向量与平面的某一 法向量垂直； 线面平行 （2）证明直线的方向向量与平面内某直线 的方向向量平行.
1 z y, y 2z 0, 2 即 2 3x 3y 0, x 3 y, 2
令y=2,得 n ( 3,2,1).
3 3 nCM 3 2 0 1 0, 2 2 ∴n⊥CM, 又CM 平面PAD，
3 3 DP 0, 1, 2 , DA (2 3,3,0),CM ( ,0, ), 2 2
3 3 ,0, ), 2 2
①方法一:令n=(x,y,z)为平面PAD的一个法向量,
DP 0, n 则 即时应用】
(1)思考：①如何确定直线的方向向量？
②在求平面的法向量时，所列的方程组中有三个变量，但只有
两个方程，如何求法向量？
提示：①在直线上任取两点，由这两点确定的向量即可作为直 线的方向向量. ②给其中某一变量恰当赋值，求出该方程组的一组非零解，即 可作为法向量的坐标．
(2)若 A(0, 2, 19 ), B(1, 1, 5 ),C(2,1, 5 ) 是平面α 内的三点，设平面
在Rt△AOB中,AO= 3 =OP,
∴在Rt△POA中,PA= 6, ∴EF=
6 . 2
由题意可知△ABD和△PDB都为正三角形，
高三数学平面向量知识点
高三数学平面向量知识点平面向量是高中数学中的重要内容，既可以用于描述物理问题中的力、速度等概念，也可以应用于平面几何、立体几何等数学领域。
在高三数学中，平面向量的知识点常常涉及向量的表示与运算、向量的共线性与共面性、向量的线性相关与线性无关等内容。
下面将详细介绍这些知识点。
1. 向量的表示与运算平面向量通常用有向线段表示。
设有向线段AB表示向量a，则向量a的起点为A，终点为B。
向量的模长表示了向量的大小，记作|a|。
向量还可以表示为有序数对(a1, a2)，其中a1, a2分别表示向量在坐标系中的横坐标和纵坐标。
对于两个向量a和b，可以进行加法和减法运算。
向量加法满足平行四边形法则，即将两个向量的起点重合，然后将它们的终点相连，所得线段表示了向量a和向量b的和。
向量减法可以通过向量加法和取负得到，即a-b=a+(-b)。
2. 向量的共线性与共面性如果存在一个实数k，使得向量b=k·a，称向量a和向量b共线。
当且仅当k=0时，向量a和向量b重合；当k>0时，向量a和向量b同向；当k<0时，向量a和向量b反向。
设有向线段AB和AC表示向量a和向量b，则向量a和向量b共面的充分必要条件是向量AB和向量AC共线，即向量a和向量b的起点和一个固定点共线。
3. 向量的线性相关与线性无关设有向线段AB, AC和AD分别表示向量a, b和c。
如果存在不全为0的实数k1, k2和k3，使得k1·AB+k2·AC+k3·AD=0，则称向量AB, AC和AD线性相关。
当且仅当k1=k2=k3=0时，向量AB, AC和AD线性无关。
线性相关的向量满足一定的线性关系，可以由其他向量线性表示；线性无关的向量则不存在这样的线性关系。
上述是高三数学中平面向量的几个重要知识点，除此之外，还有向量的数量积、向量的夹角等内容，但因为篇幅有限，无法在此一一展开。
希望通过对这些知识点的学习，能够更好地掌握平面向量的概念和性质，提高解决数学问题的能力。