场强与电势的习题课(06级)

E dl E dl
c
E y dy E x dx
2 3
a 0
c 1
o b
c
x
600(0 2) 400(1 3) 2000(V )
5、 真空中有一均匀带电球面,半径为R,总电 量为Q(Q>0),今在球面上挖去一很小面积dS, 设其余部分的电荷仍均匀分布,求挖去后球心 处的电场强度和电势
z y a O a
S1
a
S2
a
x
= 1+ 2 = 2b a3-b a3 = b a3 =1 N· 2/C m
4、 一匀强电场,电场强度
E (400i 600j)V m 1 则点a(3,2)和点b(1,0)
间的电势差Uab=______
y
解
U ab E dl
a
b
a
b
侧 底
d
板内一点： 2 E dS DS 2 x 0 底 x E 0 方向：垂直板面向外。
d E 2 0
9、 真空中一半径为R的半圆细环，均匀带电Q， 如图所示。设无穷远处为电势零点，求圆心O处 的电势U。若将一带电量为q的点电荷从无穷远 处移到圆心O处，求电场力所做的功W。
Q
P r O R1 R2
E
Q
40 r Q
2
1 1 U ( ) 40 r R2
12、如图，在正三角形的三个顶点上，放置 三个正的点电荷，若将另一个正点电荷Q从 无穷远处移到三角形中心O，外力所做的功 为： 6 3qQ 4 0a 13、A、B为真空中两平行的无限大均匀带电 平面，已知空间电场如图，则A、B两平面上 的电荷面密度分别为 A 2 0 E0 3 , B 4 0 E0 3
x
2 0 r
2
O点处电势为零。
23、 试用静电场的环路定理证明，电力线为
一系列不均匀分布的平行直线的静电场不存 在。 证明： 作如图闭合环路
E dl E dl E dl
ab bc l
a E1 l
b
cd dl da dl E E ab dl cd dl E E E1l E2l 0
场强与电势的小结
一、电荷系统： 点电荷系 q i 特例：电偶极子 p ql
带电体
dV 体电荷 dq 连续带电体： ds 面电荷 dl 线电荷
二、相互作用（点电荷间）
力： 1 2 F q1 q 2 4 0 r
2
r0
r r0
q1
r0
E
E1 E2
l d E2 c
24、 一细玻璃棒被弯成半径为R的半圆形，其 上半部分均匀带电+Q，下半部分均匀带电-Q， 如图，求圆心O处的电场强度和电势
解
dq +Q
U0=0
Q/ R 2
dq dl Rdq
d O -Q -Q
dq dE dq 2 4 0 R 4 0 R
C B
A
C)EA> EB> EC UA< UB<UC
D)EA< EB<EC UA> UB>UC
3、真空中一立方体形的高斯面,边长a＝0.1 m， 位于图中所示位置．已知空间的场强分布为： Ex=bx , Ey=0 , Ez=0．常量b＝1000 N/(C· m)． 试求通过该高斯面的电通量．
解： 通过平面S1的电通量: 1 = -E1 S1= -b a3 通过平面S2的电通量: 2 = E2 S2 = 2b a3 总电通量:
( 0 )
六、求解 E 和U的方法： 求E
1 根据对称性用高斯定理
求U
U
r0
2 应用矢量叠加原理 n 点电荷系： E 连续带电体
3 先求U，再求
E
E
qi
i 1 4 0 ri
r 2 i0
4
i
qi
0 i
r
4 r 2 带电体 0
C
B
A
q
21、 一圆盘半径为R,中间挖去一个半径为a的 同心小圆盘,余下部分均匀带电面密度为,求 盘心处的场强和电势.
解 作半径为r,宽度为dr的同心圆环
E=0
dq
dq 2rdr
dr a r R
dU dr 4 0 r 2 0
R
U dU a dr (Ra) 2 0 2 0
解
R
Q U0 4 0 R
Wo qU 0 q( U U 0 ) qQ qU 0 4 0 R
10、如图：在点电荷+q的电场中，若取P点处 为电势零点，则M点的电势为： q 80 a P
+q M
a a
11、如图，两个同心球壳，内球壳均匀带电Q, 外球壳厚度忽略，原先不带电，但与地连接， 则 P点的电场强度的大小和电势分别为：
E 2 dE sin q 2 sin qdq 4 0 R
2 0
dE
Q 2 0R 2
强度
r
解 作高斯面如图
1 E dS E 2rL r 2 L
S
0
L
E r 2 0
8、厚度为d的均匀带电无限大平板，电荷体密 度为，求板内、外场强。
DS
1 解： SE dS
0
q
i 1
i
DS
x
板外一点： E dS 2 E dS qi 0
dq
U
带电体

dq 4 0 r
E gradU
先求
E，再求U

U U U grandU x i y j z k
U A E dl
A
1、长为l、线电荷密度为的两根相同的细塑 料棒如图放置，相距l。 求：两棒之间的静电相互作用力。
r r
q2
qq0 1 (W ∞ =0) 电势能：W 4 0 r 三、静电场的基本规律： 有源场
1 E dS
S
E dl 0
L
0
q
i 1
i
（ qi :所有电荷代数和）
i 1
（保守场）
四、静电场的描述：
1、场量（每个点都存在的量）
E ( x, y , z ) U ( x, y , z )
q1 S q2 S
d
A
B
16、AC为一根长为2l的带电细棒，电荷线密 度分别为-和+，如图示，则O点的电势 3 Uo= 。 0 ln ，P点的电势Up=
4 0 4
17、如图，BA=R,现将一单位正电荷从B点 沿半圆弧BCD移到D点，则电场力作的功为：
q
P
l
C
+q A -q B O R D
2
dx
O x l 2l
dx’
x’ x
3、右棒受的总电场力：
1 1 F ( x l x )dx 4 0 2 l
2 3l
4 ln 4 0 3
2
方向：x方向。
2、 图中实线为某电场的电力线,虚线表示等
势面,则: A)EA> EB> EC UA> UB> UC B)EA< EB<EC UA< UB<UC
q
A B
a
O
E0 3
E0 3
2q
3q
E0
（题9图）
（题10图）
14、如图，A、B金属板平行放置，板间距 为d(d远小于板的线度），则AB两板间的电 势差为： ( q q )d 2 S
1 2 0
15、已知均匀带正电圆盘的静电场的电力线如 图示，判断圆盘边缘处一点P的电势Up与中心 O处的电势Uo的大小： U p U o
R1
+
20、点电荷q=10-9C，与它在同一直线上的A、 B、C三点分别距q为10cm、20cm、30cm，若 选B为电势零点 求：A、C两点的电势。 解： 选B为电势零点： B rB q V A E dl dr 2 A rA 4 0 r
1 1 VA ( ) 45( V ) 4 0 rA rB 1 1 VC ( ) 15( V ) 4 0 rC rB q q
U A E dl
B
U U U gradU x i y j z
k
五、高斯定理可能应用的情况：
1、球面对称；
E q 4 0 r
2
2、圆柱面对称
E 2 r
) 0 (
3、平面对称：
E 2 0
S
2、某特定范围的场：
e E dS
U A U B E dl
B A
E
B A
3、基本量 E 和U的关系：
积分关系： U A U B 若U ∞ =0,
U A E dl
A
E dl
B A
若UB=0
A 微分关系： E gradU
解
思路：利用补偿法。
Q 2 4R
Q R
dq dS
dS
dq QdS E 2 4 0 R 16 2 0 R 4
Q dq Q dS U 4 0 R 4 0 R
6、半径为R，体电荷密度为的均匀带电球 体中，有一半径r的球形空腔，空腔中心’’ 与球心的距离为b. 求：空腔内任意一点的电场强度。 思路：利用补偿法。
dx
O x l 2l