高阶线性微分方程解的结构
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高阶线性微分方程解的结构
特解的求解方法
总结词
求解高阶线性微分方程的特解通常采用常数 变易法、分离变量法、幂级数法等。
详细描述
常数变易法是通过将高阶微分方程转化为等 价的积分方程，然后求解积分得到特解的方 法。分离变量法适用于具有分离变量形式的 高阶线性微分方程，通过将方程拆分为若干 个一阶微分方程来求解特解。幂级数法是将 高阶微分方程转化为幂级数形式的等价方程
稳定性性质
稳定性具有相对性，即一个方程的解在某个 参照系下是稳定的，在另一个参照系下可能 是不稳定的。
稳定性的判断方法
代数法
通过对方程进行整理和化简，利用代数性质判断其稳定性。
图形法
通过绘制方程的解曲线，观察其随时间变化的趋势，判断其稳定性。
比较法
通过比较两个方程的解，利用已知方程解的稳定性判断另一个方程 的解的稳定性。
定义
高阶线性微分方程的通解是指满足方程的任意常数变动的解。
性质
通解具有任意常数可加性和乘性，即通解可以表示为任意常数与基础解系的线性组合。
通解的求解方法
分离变量法
01
通过将方程转化为多个一阶微分方程来求解。
积分法
02
通过对方程两边积分来求解。
幂级数法
03
通过构造幂级数来求解高阶微分方程。
通解的表示形式
高阶线性微分方程解 的结构
目录
CONTENTS
• 高阶线性微分方程的基本概念 • 高阶线性微分方程的通解 • 高阶线性微分方程的特解 • 高阶线性微分方程解的结构 • 高阶线性微分方程的稳定性
01 高阶线性微分方程的基本 概念
高阶线性微分方程的定义
定义
高阶线性微分方程是形如$y^{(n)}(x) + a_{n-1}(x)y^{(n-1)}(x) + cdots + a_1(x)y'(x) + a_0(x)y(x) = 0$的微分 方程，其中$y^{(n)}(x)$表示函数$y(x)$的$n$阶导数。
2.线性微分方程解的结构
推广 yi(： x)(i 若 1 ,2, .n)是 n阶齐线性微
y ( n ) p 1 ( x ) y ( n 1 ) p n 1 ( x ) y p n ( x ) y 0 ..( .2 ..) .
n
的解，则它们的线性组合 y(x) ciyi(x) 也是方程 (2) 的解。 i1
当且 c1c 仅 20时 当， c 1 y 1 (x 才 ) c 2 y 2 ( 有 x ) 0 ,x I， 则 y1(x)与 y2(x)在区 I上 间线性无关。
定义: 设 y 1 ( x ) y 2 ( , x ) , , y n ( x ) 是定义在区间 I 上的 n 个函数, 若存在不全为 0 的常数 k1,k2, ,kn,使得
由e x 函 的数 e 特 x (e x ) 点 (e x ) ： ， 即 可
例 1 .求(x 方 1 )y x 程 y y 0 的通解。
解： (x 1 因 ) x 1 为 0 ，所以，
yex是原方程的一个解。
又容易看出：yx 也是原方程的一个解。
利用y： 1(x) y2(x)
常数 y1(x)、 y2(x)线性无关
( 2 ) 若 1 P ( x ) Q ( x ) 0 , 则yex是它的一个; 特解 ( 3 ) 若 1 P ( x ) Q ( x ) 0 , 则yex是它的一个 ; 特
(4 )若 h (x ) p (x ) q (x ) 0 ，则方程
h ( x ) y p ( x ) y q ( x ) y 0 , 则yex是它的一个; 特解
第四节 二阶常系数线性微分方程
一、高阶线性微分方程的一般理论 二、二阶常系数齐线性微分方程的解 三、二阶常系数非齐线性微分方程的解
高阶线性微分方程的一般理论
线性微分方程解的结构
c1 y1 ( x) + c2 y2 ( x) ≡ 0 x∈I ，
上线性无关。 则 y1 ( x) 与 y2 ( x) 在区间 I 上线性无关。
例
证
证明： cos 线性无关的。 证明： x 与 sin x 在任何一个区间上均为 线性无关的。
上线性相关， 若 cos x 与 sin x 在某区间 I 上线性相关，则存在不 全为零
π
2
) 上线性无关。 上线性无关。
(3) 二阶齐线性微分方程解的结构 定理 1 若 y1 ( x)、y2 ( x) 是二阶齐线性方程
y′′ + p ( x) y′ + q( x) y = 0
的两个线性无关的解， 的两个线性无关的解，则
(2)
y ( x) = c1 y1 ( x) + c2 y2 ( x)
x ex W [ x, e x ] = = e x ( x − 1) ， 1 ex
从而， 线性无关。 由题意 x ≠ 1，故 W [ x, e x ] ≠ 0，从而，x 与 e x 线性无关。
由叠加原理， 由叠加原理，原方程的通解为
y = C1 x + C2 e x 。
问题： 问题：
的一个解， 如果已知 y1 ( x) 是方程 y′′ + p( x) y′ + q ( x) y = 0 的一个解， 如何求出方程的一个与 y1 ( x) 线性无关的解 y2 ( x) ?
怎么做？
′ y1 z ′ + (2 y1 + p ( x) y1 ) z = 0。
即 故有
z′ +
′ 2 y1 + p ( x) y1 z = 0。 y1
−
关于 z 的一阶线性方程
上线性无关。 则 y1 ( x) 与 y2 ( x) 在区间 I 上线性无关。
例
证
证明： cos 线性无关的。 证明： x 与 sin x 在任何一个区间上均为 线性无关的。
上线性相关， 若 cos x 与 sin x 在某区间 I 上线性相关，则存在不 全为零
π
2
) 上线性无关。 上线性无关。
(3) 二阶齐线性微分方程解的结构 定理 1 若 y1 ( x)、y2 ( x) 是二阶齐线性方程
y′′ + p ( x) y′ + q( x) y = 0
的两个线性无关的解， 的两个线性无关的解，则
(2)
y ( x) = c1 y1 ( x) + c2 y2 ( x)
x ex W [ x, e x ] = = e x ( x − 1) ， 1 ex
从而， 线性无关。 由题意 x ≠ 1，故 W [ x, e x ] ≠ 0，从而，x 与 e x 线性无关。
由叠加原理， 由叠加原理，原方程的通解为
y = C1 x + C2 e x 。
问题： 问题：
的一个解， 如果已知 y1 ( x) 是方程 y′′ + p( x) y′ + q ( x) y = 0 的一个解， 如何求出方程的一个与 y1 ( x) 线性无关的解 y2 ( x) ?
怎么做？
′ y1 z ′ + (2 y1 + p ( x) y1 ) z = 0。
即 故有
z′ +
′ 2 y1 + p ( x) y1 z = 0。 y1
−
关于 z 的一阶线性方程
高阶线性微分方程
举例: 证明提示: 注: 我们把方程y′′+P(x)y′+Q(x)y=0叫做与非齐次方程 已知Y=C1cos x+C2sin x是齐次方程y′′+y=0的通解, [Y(x)+y*(x)]′′+P(x)[Y(x)+y*(x)]′+Q(x)[Y(x)+y*(x)] y*=x2−2是非齐次方程y′′+y=x2的一个特解, 因此 = [Y ′′+P(x)Y′+Q(x)Y]+[y*′′+P(x)y*′+Q(x)y*] y′′+P(x)y′+Q(x)y=f(x) 对应的齐次方程. x+C. sin x+x2−2 y=C1cos =0+f(x)=f(x) 2 是非齐次方程y′′+y=x2的通解.
Jlin Institute of Chemical Technology
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定理2(齐次方程的通解的结构) 如果函数y1(x)与y2(x)是方程y′′+P(x)y′+Q(x)y=0的两个线 性无关的解, 那么 y=C1y1(x)+C2y2(x) 是方程的通解, 其中C1、C2是任意常数. •推论 如果y1(x), y2(x), ⋅ ⋅ ⋅, yn(x)是方程 y(n)+a1(x)y(n−1)+ ⋅ ⋅ ⋅ +an−1(x)y′+ an(x)y=0 的n个线性无关的解, 那么, 此方程的通解为 y=C1y1(x)+C2y2(x)+ ⋅ ⋅ ⋅ + Cnyn(x), 其中C1, C2, ⋅ ⋅ ⋅, Cn为任意常数.
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高阶线性方程解析
r1 r2 r3 r4 0, r5 1 原方程通解: y C1 C2 x C3x2 C4 x3 C5ex
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例.
解方程
d4 w dx4
4w
0
(
0 ).
解: 特征方程:
(r2 2)2 2 2r2 0
即 ( r 2 2 r 2 )( r 2 2 r 2 ) 0
一、求通解 练 习 题
(提示:
线性无关的解)
三、降阶法与常数变易法
y P( x) y Q( x) y 0
(1)
1.已知齐次线性方程一个解,求与之线性无关的特解
代入(1)式, 得
解出 u(x) 得到 y2 通解为 (注：u(x)中不含常数)
y P( x) y Q( x) y 0
(1)
其根为
r1, 2
( 1 i ),
2
r3 , 4
(1i )
2
方程通解 :
we
x
2 ( C1 cos
2
x
C2
sin
x)
2
e
x
2 ( C3 cos
2
x
C4
sin
x)
2
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例. 解方程 y(4) 2 y y 0 .
解: 特征方程: r 4 2 r 2 1 0 即 (r2 1)2 0
一、概念的引入
例: 一弹簧下挂一重物, 使物体具有初始速
度
物体便离开平衡位置O,上下振动.
确定物体的振动规律
解 受力分析
物体自由振动的微分方程
2、 y py qy 0 的解法
特征方程法
将其代入上方程, 得
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例.
解方程
d4 w dx4
4w
0
(
0 ).
解: 特征方程:
(r2 2)2 2 2r2 0
即 ( r 2 2 r 2 )( r 2 2 r 2 ) 0
一、求通解 练 习 题
(提示:
线性无关的解)
三、降阶法与常数变易法
y P( x) y Q( x) y 0
(1)
1.已知齐次线性方程一个解,求与之线性无关的特解
代入(1)式, 得
解出 u(x) 得到 y2 通解为 (注：u(x)中不含常数)
y P( x) y Q( x) y 0
(1)
其根为
r1, 2
( 1 i ),
2
r3 , 4
(1i )
2
方程通解 :
we
x
2 ( C1 cos
2
x
C2
sin
x)
2
e
x
2 ( C3 cos
2
x
C4
sin
x)
2
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例. 解方程 y(4) 2 y y 0 .
解: 特征方程: r 4 2 r 2 1 0 即 (r2 1)2 0
一、概念的引入
例: 一弹簧下挂一重物, 使物体具有初始速
度
物体便离开平衡位置O,上下振动.
确定物体的振动规律
解 受力分析
物体自由振动的微分方程
2、 y py qy 0 的解法
特征方程法
将其代入上方程, 得
可降阶高阶微分方程
n阶线性非奇次方程
y ( n ) + P1 ( x ) y ( n 1) + P2 ( x ) y ( n 2 ) + + Pn ( x ) y = 0
n阶线性奇次方程 下面以二阶方程为例,讨论高阶线性微分方程解的结构.
一. 二阶线性奇次方程解的结构 一般形式: y ′′ + P ( x ) y ′ + Q ( x ) y = 0, 显然, y = 0 是(2)的解. 讨论非平凡解: 定理1. 如果 y1 ( x), y2 ( x) 是(2)的两个解,则 y = C1 y1 ( x) + C2 y2 ( x) 也是(2)的解,其中 C1 ,C2 为任意常数. 证明: 由于 y1 ( x), y2 ( x)是(2)的两个解, 所以
∴C2 = 1
y = x3 + 3x + 1
三. y′′ = f ( y, y′) 型方程 如果方程不显含 x, dp = f ( y, p) 方程变为: p dy 解出这个以 y 为自变量的一阶方程的通解: 令 y′ = p , 则 y′′ =
dp dp dy dp = =p , dx dy dx dy
二. y′′ = f ( x, y′) 型方程 如果二阶方程不显含 y, 令 y′ = p ,则 y′′ = 方程变为: p′ = f ( x, p ) 解出这个一阶方程的通解: p = ( x, C1 ) 则原方程的通解为: 例:
dp = p′ dx
y = ∫ ( x, C1 ) dx + C2
的特解,则 y1 ( x) + y2 ( x) 是方程
y ′′ + P ( x ) y ′ + Q ( x ) y = f1 ( x ) + f 2 ( x ) ( 4)
高阶微分方程求解
3 2 x 则 ( y ) [ax ( 3a b) x 2bx]e , * 3 2 x ( y ) [ax (6a b) x (6a 4b) x 2b]e , *
* 将 y , ( y ) , ( y ) 代入原方程比较系数得 * *
1 1 a , b , 6 2
[(C0 C1 x C k 1 x k 1 ) cos x ( D0 D1 x Dk 1 x k 1 ) sin x ]e x
若是k重共轭 复根 j
4、二阶常系数非齐次线性微分方程解法
y py qy f ( x )
二阶常系数非齐次线性方程
y c1 cos x c2 sin x x
例4 设 f (x) 具有连续的二阶导数试确定f (x) 使曲线积分
( 常数) 与路径无关 解 由曲线积分与路径无关的条件得
f ( x ) e x 2 f ( x ) f ( x )
即
x f ( x) 2 f ( x) f ( x) e
1 x f ( x ) (c1 c2 x )e e ( 1)2
x
例5
解
1 求解方程 y 2 y y ( x cos 2 x ). 2 2 r 4 0, 特征方程
特征根
r1, 2 2i ,
对应的齐方的通解为 Y C1 cos 2 x C2 sin 2 x .
(1) ( 2) 设 y x k e x [ Rm ( x ) cos x Rm ( x ) sin x ],
m maxl , n 其中 R ( x ), R ( x )是m次多项式，
(1) m ( 2) m
; 0 j不是特征方程的根时 k . 1 j是特征方程的单根时
* 将 y , ( y ) , ( y ) 代入原方程比较系数得 * *
1 1 a , b , 6 2
[(C0 C1 x C k 1 x k 1 ) cos x ( D0 D1 x Dk 1 x k 1 ) sin x ]e x
若是k重共轭 复根 j
4、二阶常系数非齐次线性微分方程解法
y py qy f ( x )
二阶常系数非齐次线性方程
y c1 cos x c2 sin x x
例4 设 f (x) 具有连续的二阶导数试确定f (x) 使曲线积分
( 常数) 与路径无关 解 由曲线积分与路径无关的条件得
f ( x ) e x 2 f ( x ) f ( x )
即
x f ( x) 2 f ( x) f ( x) e
1 x f ( x ) (c1 c2 x )e e ( 1)2
x
例5
解
1 求解方程 y 2 y y ( x cos 2 x ). 2 2 r 4 0, 特征方程
特征根
r1, 2 2i ,
对应的齐方的通解为 Y C1 cos 2 x C2 sin 2 x .
(1) ( 2) 设 y x k e x [ Rm ( x ) cos x Rm ( x ) sin x ],
m maxl , n 其中 R ( x ), R ( x )是m次多项式，
(1) m ( 2) m
; 0 j不是特征方程的根时 k . 1 j是特征方程的单根时
阶线性微分方程解的结构与通解性质
稳定性应用举例
控制系统设计
在控制系统中，稳定性是至关重要的指标。通过设计控制器使 得系统达到稳定状态，可以确保系统的正常运行和安全性。
生态学研究
在生态学中，研究生物种群的动态变化时，稳定性是一个重要概念。通过 分析种群的稳定性，可以预测种群的发展趋势和制定相应的保护措施。
经济学分析
在经济学中，稳定性与经济增长、通货膨胀等宏观经济指标密切相关 。通过分析经济系统的稳定性，可以为政策制定者提供决策依据。
微分方程是描述自然现象、工程技术和社会科学等领域中变量间关系的数 学模型。
微分方程按照自变量个数可分为常微分方程和偏微分方程，其中常微分方 程研究一个自变量的函数与其导数之间的关系。
微分方程在物理学、化学、生物学、经济学等领域有广泛应用。
线性微分方程定义
线性微分方程是指关于未知函数及其各 阶导数都是一次方的方程，即方程中不 会出现未知函数及其导数的二次及以上 的项。
高阶线性微分方程的通解表达式较为复杂， 一般通过特征方程、比较系数等方法求解。
通解性质分析
唯一性
对于给定的初始条件，线性微分方程的通解是唯一的。
叠加性
若y1和y2分别是线性微分方程对应于f1(x)和f2(x)的特解，则 y=c1y1+c2y2（c1、c2为任意常数）也是该方程的解。
齐次性
若y1和y2是齐次线性微分方程的解，则它们的线性组合c1y1+c2y2 （c1、c2为任意常数）也是该方程的解。
积分因子法
通过构造一个积分因子$mu(x) = e^{int p(x)dx}$，将原方程转化为$mu(x)y' + mu(x)p(x)y = mu(x)q(x)$，即 $(mu(x)y)' = mu(x)q(x)$，然后两边积分得到通解。
高阶线性微分方程解的结构-文档资料
2 2 1 ,cos x ,sin x ,在( , )上都有 例如，
k y ( x ) k y ( x ) k y ( x ) 0 , x I 1 1 2 2 n n
2 2 1 cos x sin x 0
故它们在任何区间 I 上都线性相关;
2 又如， 1, x , x2, 若在某区间 I 上 k k x k x 0 , 1 2 3
第十二章
是二阶线性齐次方程的两个线 y ( x ), y ( x ) 定理 2. 若 1 2
数) 是该方程的通解. (自证) 有特解 y sin x ,且 cos x ,y y 0 例如, 方程 y 2 1 y2 故方程的通解为 tan x 常数 , y1 y C cos x C sin x 1 2
第十二章
二、线性齐次方程解的结构
是二阶线性齐次方程 定理1. 若函数 y ( x ), y ( x ) 1 2 y P ( x ) y Q ( x ) y 0
也是该方程的解. (叠加原理) 证: 将 代入方程左边, 得 y C y ( x ) C y ( x ) 1 1 2 2 ] ] C2 y2 C2 y2 P ( x )[ C y [ C y 1 1 1 1
的两个解, 则 y C y ( x ) C y ( x ) (C 为任意常数 ) 1 1 2 2 1,C 2
Q ( x ) [ C y C2 y2 ] 1 1
C [ y P ( x ) y Q ( x ) y ] 1 1 1 1
C [ y P ( x ) y Q ( x ) y ] 0 2 2 2 2
是非齐次方程的通解 . 证: 将 y 代入方程①左端, 得 Y ( x ) y * ( x )
k y ( x ) k y ( x ) k y ( x ) 0 , x I 1 1 2 2 n n
2 2 1 cos x sin x 0
故它们在任何区间 I 上都线性相关;
2 又如， 1, x , x2, 若在某区间 I 上 k k x k x 0 , 1 2 3
第十二章
是二阶线性齐次方程的两个线 y ( x ), y ( x ) 定理 2. 若 1 2
数) 是该方程的通解. (自证) 有特解 y sin x ,且 cos x ,y y 0 例如, 方程 y 2 1 y2 故方程的通解为 tan x 常数 , y1 y C cos x C sin x 1 2
第十二章
二、线性齐次方程解的结构
是二阶线性齐次方程 定理1. 若函数 y ( x ), y ( x ) 1 2 y P ( x ) y Q ( x ) y 0
也是该方程的解. (叠加原理) 证: 将 代入方程左边, 得 y C y ( x ) C y ( x ) 1 1 2 2 ] ] C2 y2 C2 y2 P ( x )[ C y [ C y 1 1 1 1
的两个解, 则 y C y ( x ) C y ( x ) (C 为任意常数 ) 1 1 2 2 1,C 2
Q ( x ) [ C y C2 y2 ] 1 1
C [ y P ( x ) y Q ( x ) y ] 1 1 1 1
C [ y P ( x ) y Q ( x ) y ] 0 2 2 2 2
是非齐次方程的通解 . 证: 将 y 代入方程①左端, 得 Y ( x ) y * ( x )
线性齐次及非齐次方程的解法
上面结论也适合于一阶线性非齐次方程，还可推广到二阶 以上的线性非齐次方程。
作业
习 题 五 （P230）
1 （1）（3）（5）；
4 ； 6 （2）。
4.4.2 常系数 线性微分方程
第十二章
一、求解常系数线性齐次微分方程 二、求解常系数线性齐次微分方程
18
一、二阶常系数齐次线性微分方程:
①
和它的导数只差常数因子,
∴ e x 与 xe x 线性无关。
定理 2.
是二阶线性齐次方程的两个线
性无关特解, 则 y C1y1(x) C2 y2 (x)
数) 是该方程的通解. (自证)
例如, 方程
有特解
且
y2 y1
tan
x
常数, 故方程的通解为
推论.
是 n 阶齐次方程
的 n 个线性无关解, 则方程的通解为
y C1y1 Cn yn (Ck为任意常数)
4
说明:
y C1y1(x) C2 y2 (x) 不一定是所给二阶方程的通解.
例如,
是某二阶齐次方程的解, 则
也是齐次方程的解
但是
并不是通解
为解决通解的判别问题, 下面引入函数的线性相关与 线性无关概念.
5
定义: 设 y1(x), y2 (x), , yn (x) 是定义在区间 I 上的
n 个函数, 若存在不全为 0 的常数
u 0
取 u = x , 则得 y2 x er1 x , 因此原方程的通解为 y ( C1 C2 x ) er1 x
20
3. 当 p2 4 q 0 时, 特征方程有一对共轭复根
这时原方程有两个复数解:
y1 e( i ) x e x (cos x i sin x ) y2 e( i ) x e x (cos x i sin x )
作业
习 题 五 （P230）
1 （1）（3）（5）；
4 ； 6 （2）。
4.4.2 常系数 线性微分方程
第十二章
一、求解常系数线性齐次微分方程 二、求解常系数线性齐次微分方程
18
一、二阶常系数齐次线性微分方程:
①
和它的导数只差常数因子,
∴ e x 与 xe x 线性无关。
定理 2.
是二阶线性齐次方程的两个线
性无关特解, 则 y C1y1(x) C2 y2 (x)
数) 是该方程的通解. (自证)
例如, 方程
有特解
且
y2 y1
tan
x
常数, 故方程的通解为
推论.
是 n 阶齐次方程
的 n 个线性无关解, 则方程的通解为
y C1y1 Cn yn (Ck为任意常数)
4
说明:
y C1y1(x) C2 y2 (x) 不一定是所给二阶方程的通解.
例如,
是某二阶齐次方程的解, 则
也是齐次方程的解
但是
并不是通解
为解决通解的判别问题, 下面引入函数的线性相关与 线性无关概念.
5
定义: 设 y1(x), y2 (x), , yn (x) 是定义在区间 I 上的
n 个函数, 若存在不全为 0 的常数
u 0
取 u = x , 则得 y2 x er1 x , 因此原方程的通解为 y ( C1 C2 x ) er1 x
20
3. 当 p2 4 q 0 时, 特征方程有一对共轭复根
这时原方程有两个复数解:
y1 e( i ) x e x (cos x i sin x ) y2 e( i ) x e x (cos x i sin x )
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）、线性齐次方程解的结构 （二）、线性齐次方程解的结构
定理1. 若 数 y1(x), y2 (x) 是二阶线性齐次方程 函
y′′ + P(x) y′ + Q(x) y = 0
的两个解, 则y = C y1(x) + C2 y2 (x) 1 也是该方程的解. (叠加原理) 证: 将 y = C1y1(x) + C2 y2 (x) 代入方程左边, 得
u′′ − u′ = x (二阶常系数非齐次方程 二阶常系数非齐次方程) 二阶常系数非齐次方程 此题不需再作变换. 特征根: r = 0, r =1,
设⑦的特解为 代入⑦可得: 于是得⑦的通解: 故原方程通解为
说明: 说明
y = C1y1(x) + C2 y2 (x) 不一定是所给二阶方程的通解.
例如, 是某二阶齐次方程的解, 则 也是齐次方程的解 但是 并不是通解 为解决通解的判别问题, 下面引入函数的线性相关与 线性无关概念.
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定义: 定义 设 y1(x), y2 (x),L, yn (x) 是定义在区间 I 上的 n 个函数, 若存在不全为 0 的常数 不全为 使得
得
′′ ′ + ( y2 + P y2 + Qy2 )v2 = f (x) y1, y2 是对应 ′ ′ ′ ′ y1v1 + y2v2 = f (x) ⑥
齐次方程的解
因y1, y2 线 无 , 故⑤, ⑥的系数行列式 性 关 y1 y2 W= ≠0 ′ ′ y1 y2
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定理 2. 数) 是该方程的通解. 例如, 例如 方程
是二阶线性齐次方程的两个线
性无关特解, 则 y = C1y1(x) + C2 y2 (x) 有特解 常数, 故方程的通解为 是 n 阶齐次方程 且
y2 y1 = tan x
定理2 定理 `.
y = C1y1 +L+ Cn yn (Ck为 意 数) 任 常
则根据二次多项式至多只有两个零点 , 可见
两个函数在区间 I 上线性相关与线性无关的充要条件 充要条件: 充要条件 y1(x) k2 ( 无妨设 ≡− 线性相关 y2 (x) k1 k1 ≠ 0) y1(x) 常数 线性无关 y2 (x) 例: 常数 中有一个恒为 0, 则 必线性 相关 对于n个函数如何确定它们的线性相关性 个函数如何确定它们的线性相关性， 注: 对于 个函数如何确定它们的线性相关性，有行列式 wronsky理论 理论
例3. 设线性无关函数 都是二阶非齐次线 性方程 y′′ + P(x) y′ + Q(x) y = f (x)的解, C ,C2 是任意 1 常数, 则该方程的通解是 ( D ).
(B) C1y1 + C2 y2 + (C1 + C2 ) y3; (C) C1y1 + C2 y2 − (1− C1 − C2 ) y3;
提示: 提示
y1 − y3, y2 − y3 都是对应齐次方程的解,
二者线性无关 . (反证法可证)
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例4. 已知微分方程 y′′ + p(x) y′ + q(x) y = f (x) 有三 个解 y1 = x, y2 = ex , y3 = e2x , 求此方程满足初始条件
于是得 积分得:
1 ′ v1 = − y2 f , W
1 ′ v2 = − y1 f W
v1 = C1 + g1(x), v2 = C2 + g2 (x)
代入③ 即得非齐次方程的通解:
y = C1y1 + C2 y2 + y1g1(x) + y2g2 (x)
说明: 说明 将③的解设为
y = y1(x) v1(x) + y2 (x) v2 (x)
设其通解为 积分得
(一阶线性方程)
z = C2Z(x) + z∗(x) u = C1 + C2U(x) + u∗(x)
由此得原方程③的通解:
y = C1y1(x) + C2U(x) y1(x) + u∗(x) y1(x)
代入③ 目录 上页 下页 返回 结束
例6. 求 程 x2 y′′ − (x + 2) (x y′ − y) = x4的通解. 方 解: 对应齐次方程为 x2 y′′ − (x + 2) (x y′ − y) = 0 由观察可知它有特解: y1 = x, 令 y = xu(x), 代入非齐次方程后化简得
第四节 高阶线性微分方程解的结构
一、线性齐次方程解的结构 二、线性非齐次方程解的结构 *三、常数变易法 三
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一、线性齐次方程解的结构
阶线性微分方程的概念 （一）n 阶线性微分方程 一个n阶微分方程，如果其中的未知函数及其个阶导数都 是一次的，则叫它为n阶线性微分方程，简称 阶线性方程 阶线性微分方程， 阶线性微分方程 简称n阶线性方程 n 阶线性微分方程 阶线性微分方程的一般形式为
只有一个必须满足的条件即方程③, 因此必需再附加一 个条件, 方程⑤的引入是为了简化计算.
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例5. 已知齐次方程 (x −1) y′′ − x y′ + y = 0 的通解为
Y = C1x + C2ex , 求 (x −1) y′′ − x y′ + y = (x −1)2 的通解. x 1 y′ + y = x −1 解: 将所给方程化为: y′′ − x −1 x −1 x 令 y = xv1(x) + e v2 (x), 利用⑤,⑥建立方程组: ′ + exv2 = 0 ′ xv1 ′ ′ v1 +exv2 = x −1 ′ = −1, v2 = x e−x , 积分得 ′ 解 v1 得 v1 = C1 − x, v2 = C2 − (x +1) e−x
y = y1(x) v1(x) + y2 (x) v2 (x) (v1(x), v2 (x)待 ) 定
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④
由于有两个待定函数, 所以要建立两个方程:
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′ ′ ′ ′ y′ = y1 v1 + y2 v2 + y1 v1 + y2 v2 为 y′′中 含v1 , v2 , 令 使 不 ′′ ′′ ′ ′ ⑤ y1v1 + y2v2 = 0 于是 y′′ = y1 v1 + y2 v2 + y1 v1 + y2 v2 ′ ′ ′ ′ ′′ ′′ 将以上结果代入方程 : y′′ + P(x) y′ + Q(x) y = f (x) ′ ′ ′ ′ ′′ ′ y1v1 + y2v2 + ( y1 + P y1 + Qy1)v1
(Y′′ + y *′′ ) + P(x) (Y′ + y *′ )+ Q(x) (Y + y *) + (Y′′ + P(x)Y′ + Q(x)Y)
= f (x) + 0 = f (x)
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故 y = Y(x) + y *(x) 是非齐次方程的解, 又Y 中含有
两个独立任意常数, 因而 ② 也是通解 . 例如, 例如 方程 对应齐次方程 有特解 有通解
y(0) =1, y′(0) = 3 的特解 .
解: y2 − y1 与y3 − y1 是对应齐次方程的解, 且 y2 − y1 ex − x = 2x ≠ 常数 y3 − y1 e − x 因而线性无关, 故原方程通解为
y = C1(ex − x) + C2 (e2x − x) +
代入初始条件 y(0) =1, y′(0) = 3, 得C1 = −1, C2 = 2, 故所求特解为 y = 2e2x − ex .
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定理 4.
分别是方程
y′′ + P(x) y′ + Q(x) y = fk (x) (k =1, 2,L, n)
的特解, 是方程
n
y′′ + P(x) y′ + Q(x) y = ∑ fk (x)
k= k =1
的特解. (非齐次方程之解的叠加原理)
1 2 2x y = − x + x e 是 y′′ − 5y′ + 6y = xe2x 的一个特解 例 2 1 −x ∗ y2 = e 是 y′′ − 5y′ + 6y = 2e−x 的一个特解 6 1 2 2x 1 −x 则 y = − x + x e + e 是 y′′ − 5y′ + 6y = xe2x + 2e−x 的一个特解 6 2
则称这 n个函数在 I 上线性相关 否则称为线性无关 线性相关, 线性无关. 线性相关 线性无关 例如， 在(−∞ , +∞ )上都有
故它们在任何区间 I 上都线性相关 线性相关; 线性相关 又如， 必需全为 0 , 若在某区间 I 上 在任何区间 I 上都 线性无关 线性无关.
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′′ ′′ ′ ′ [C1y1 +C2 y2 ] + P(x)[C1y1 +C2 y2 ]
+ Q(x)[C1y1 + C2 y2 ]
′′ ′ = C1[ y1 + P(x) y1 + Q(x) y1]
）、线性齐次方程解的结构 （二）、线性齐次方程解的结构
定理1. 若 数 y1(x), y2 (x) 是二阶线性齐次方程 函
y′′ + P(x) y′ + Q(x) y = 0
的两个解, 则y = C y1(x) + C2 y2 (x) 1 也是该方程的解. (叠加原理) 证: 将 y = C1y1(x) + C2 y2 (x) 代入方程左边, 得
u′′ − u′ = x (二阶常系数非齐次方程 二阶常系数非齐次方程) 二阶常系数非齐次方程 此题不需再作变换. 特征根: r = 0, r =1,
设⑦的特解为 代入⑦可得: 于是得⑦的通解: 故原方程通解为
说明: 说明
y = C1y1(x) + C2 y2 (x) 不一定是所给二阶方程的通解.
例如, 是某二阶齐次方程的解, 则 也是齐次方程的解 但是 并不是通解 为解决通解的判别问题, 下面引入函数的线性相关与 线性无关概念.
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定义: 定义 设 y1(x), y2 (x),L, yn (x) 是定义在区间 I 上的 n 个函数, 若存在不全为 0 的常数 不全为 使得
得
′′ ′ + ( y2 + P y2 + Qy2 )v2 = f (x) y1, y2 是对应 ′ ′ ′ ′ y1v1 + y2v2 = f (x) ⑥
齐次方程的解
因y1, y2 线 无 , 故⑤, ⑥的系数行列式 性 关 y1 y2 W= ≠0 ′ ′ y1 y2
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定理 2. 数) 是该方程的通解. 例如, 例如 方程
是二阶线性齐次方程的两个线
性无关特解, 则 y = C1y1(x) + C2 y2 (x) 有特解 常数, 故方程的通解为 是 n 阶齐次方程 且
y2 y1 = tan x
定理2 定理 `.
y = C1y1 +L+ Cn yn (Ck为 意 数) 任 常
则根据二次多项式至多只有两个零点 , 可见
两个函数在区间 I 上线性相关与线性无关的充要条件 充要条件: 充要条件 y1(x) k2 ( 无妨设 ≡− 线性相关 y2 (x) k1 k1 ≠ 0) y1(x) 常数 线性无关 y2 (x) 例: 常数 中有一个恒为 0, 则 必线性 相关 对于n个函数如何确定它们的线性相关性 个函数如何确定它们的线性相关性， 注: 对于 个函数如何确定它们的线性相关性，有行列式 wronsky理论 理论
例3. 设线性无关函数 都是二阶非齐次线 性方程 y′′ + P(x) y′ + Q(x) y = f (x)的解, C ,C2 是任意 1 常数, 则该方程的通解是 ( D ).
(B) C1y1 + C2 y2 + (C1 + C2 ) y3; (C) C1y1 + C2 y2 − (1− C1 − C2 ) y3;
提示: 提示
y1 − y3, y2 − y3 都是对应齐次方程的解,
二者线性无关 . (反证法可证)
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例4. 已知微分方程 y′′ + p(x) y′ + q(x) y = f (x) 有三 个解 y1 = x, y2 = ex , y3 = e2x , 求此方程满足初始条件
于是得 积分得:
1 ′ v1 = − y2 f , W
1 ′ v2 = − y1 f W
v1 = C1 + g1(x), v2 = C2 + g2 (x)
代入③ 即得非齐次方程的通解:
y = C1y1 + C2 y2 + y1g1(x) + y2g2 (x)
说明: 说明 将③的解设为
y = y1(x) v1(x) + y2 (x) v2 (x)
设其通解为 积分得
(一阶线性方程)
z = C2Z(x) + z∗(x) u = C1 + C2U(x) + u∗(x)
由此得原方程③的通解:
y = C1y1(x) + C2U(x) y1(x) + u∗(x) y1(x)
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例6. 求 程 x2 y′′ − (x + 2) (x y′ − y) = x4的通解. 方 解: 对应齐次方程为 x2 y′′ − (x + 2) (x y′ − y) = 0 由观察可知它有特解: y1 = x, 令 y = xu(x), 代入非齐次方程后化简得
第四节 高阶线性微分方程解的结构
一、线性齐次方程解的结构 二、线性非齐次方程解的结构 *三、常数变易法 三
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阶线性微分方程的概念 （一）n 阶线性微分方程 一个n阶微分方程，如果其中的未知函数及其个阶导数都 是一次的，则叫它为n阶线性微分方程，简称 阶线性方程 阶线性微分方程， 阶线性微分方程 简称n阶线性方程 n 阶线性微分方程 阶线性微分方程的一般形式为
只有一个必须满足的条件即方程③, 因此必需再附加一 个条件, 方程⑤的引入是为了简化计算.
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例5. 已知齐次方程 (x −1) y′′ − x y′ + y = 0 的通解为
Y = C1x + C2ex , 求 (x −1) y′′ − x y′ + y = (x −1)2 的通解. x 1 y′ + y = x −1 解: 将所给方程化为: y′′ − x −1 x −1 x 令 y = xv1(x) + e v2 (x), 利用⑤,⑥建立方程组: ′ + exv2 = 0 ′ xv1 ′ ′ v1 +exv2 = x −1 ′ = −1, v2 = x e−x , 积分得 ′ 解 v1 得 v1 = C1 − x, v2 = C2 − (x +1) e−x
y = y1(x) v1(x) + y2 (x) v2 (x) (v1(x), v2 (x)待 ) 定
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④
由于有两个待定函数, 所以要建立两个方程:
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′ ′ ′ ′ y′ = y1 v1 + y2 v2 + y1 v1 + y2 v2 为 y′′中 含v1 , v2 , 令 使 不 ′′ ′′ ′ ′ ⑤ y1v1 + y2v2 = 0 于是 y′′ = y1 v1 + y2 v2 + y1 v1 + y2 v2 ′ ′ ′ ′ ′′ ′′ 将以上结果代入方程 : y′′ + P(x) y′ + Q(x) y = f (x) ′ ′ ′ ′ ′′ ′ y1v1 + y2v2 + ( y1 + P y1 + Qy1)v1
(Y′′ + y *′′ ) + P(x) (Y′ + y *′ )+ Q(x) (Y + y *) + (Y′′ + P(x)Y′ + Q(x)Y)
= f (x) + 0 = f (x)
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故 y = Y(x) + y *(x) 是非齐次方程的解, 又Y 中含有
两个独立任意常数, 因而 ② 也是通解 . 例如, 例如 方程 对应齐次方程 有特解 有通解
y(0) =1, y′(0) = 3 的特解 .
解: y2 − y1 与y3 − y1 是对应齐次方程的解, 且 y2 − y1 ex − x = 2x ≠ 常数 y3 − y1 e − x 因而线性无关, 故原方程通解为
y = C1(ex − x) + C2 (e2x − x) +
代入初始条件 y(0) =1, y′(0) = 3, 得C1 = −1, C2 = 2, 故所求特解为 y = 2e2x − ex .
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定理 4.
分别是方程
y′′ + P(x) y′ + Q(x) y = fk (x) (k =1, 2,L, n)
的特解, 是方程
n
y′′ + P(x) y′ + Q(x) y = ∑ fk (x)
k= k =1
的特解. (非齐次方程之解的叠加原理)
1 2 2x y = − x + x e 是 y′′ − 5y′ + 6y = xe2x 的一个特解 例 2 1 −x ∗ y2 = e 是 y′′ − 5y′ + 6y = 2e−x 的一个特解 6 1 2 2x 1 −x 则 y = − x + x e + e 是 y′′ − 5y′ + 6y = xe2x + 2e−x 的一个特解 6 2
则称这 n个函数在 I 上线性相关 否则称为线性无关 线性相关, 线性无关. 线性相关 线性无关 例如， 在(−∞ , +∞ )上都有
故它们在任何区间 I 上都线性相关 线性相关; 线性相关 又如， 必需全为 0 , 若在某区间 I 上 在任何区间 I 上都 线性无关 线性无关.
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′′ ′′ ′ ′ [C1y1 +C2 y2 ] + P(x)[C1y1 +C2 y2 ]
+ Q(x)[C1y1 + C2 y2 ]
′′ ′ = C1[ y1 + P(x) y1 + Q(x) y1]