宜昌市名校2020年高二下数学期末学业水平测试试题含解析
湖北省宜昌市2020年高二第二学期数学期末经典试题含解析
湖北省宜昌市2020年高二第二学期数学期末经典试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．在一次试验中，测得(),x y 的四组值分别是()1,2A ，()2,3B ，()3,4C ，()4,5D ，则y 与x 之间的线性回归方程为( )A ．ˆ1yx =- B ．2y x =+ C ．21y x =+ D ．1y x =+2．若复数21iz =+，其中i 为虚数单位，则下列结论正确的是（ ） A ．z 的虚部为i -B ．2z =C ．z 的共轭复数为1i --D ．2z 为纯虚数3．某车间加工零件的数量x 与加工时间y 的统计数据如图：现已求得上表数据的回归方程ˆˆa y bx=-中的ˆb值为0.9，则据此回归模型可以预测，加工100个零件所需要的加工时间约为( )A ．112分钟B ．102分钟C ．94分钟D ．84分钟4．对于平面上点P 和曲线C ，任取C 上一点Q ，若线段PQ 的长度存在最小值，则称该值为点P 到曲线C 的距离，记作(),d P C ，若曲线C 是边长为6的等边三角形，则点集(){},1D P d P C =≤所表示的图形的面积为（ ）A ．36B ．362π-C ．36π+D ．36π-5．若一个直三棱柱的所有棱长都为1，且其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）． A ．π B ．7π3C ．11π3D ．5π6．)32301231a a x a x a x -=+++，则()()220213a a a a +-+的值为（ ）A ．2B ．-2C ．8D ．-87．若21)nx+展开式中只有第四项的系数最大，则展开式中有理项的项数为（） A ．1B ．2C ．3D ．48．函数1sin cos (0)y x a x a =+>的图象是由函数25sin 5cos y x x =+的图像向左平移ϕ个单位得到的，则cos ϕ=（ ）A ．35B ．45C ．10D ．59．曲线sin 22xy x e π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭在点()0,3处的切线方程是（ ）A ．230x y +-=B ．30x y -+=C ．260x y -+=D ．230x y -+=10，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（） A ．3πB ．4πC．D ．6π11．在复平面上，复数2ii+对应的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限12．若函数()f x ＝sinxcosx,x∈R,则函数()f x 的最小值为 A ．14-B ．12-C．2-D ．1-二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．5人排成一排.其中甲乙相邻，且甲乙均不与丙相邻的排法共有__________种．14．若()23266xC C x R +=∈，则x =______.15．一个口袋中装有2个白球和3个红球，每次从袋中摸出两个球，若摸出的两个球颜色相同为中奖，否则为不中奖，则中奖的概率为_________．16．已知数列{}n a 的前n 项和21nn S =-，则26a a ⋅=__________．三、解答题（本题包括6个小题，共70分） 17．已知1z i =-.(1)若2z az b 1i,a,b R ++=+∈,求,a b .(2)设复数1(,)z x yi x y R =+∈满足11z z -=，试求复数1z 平面内对应的点(,)x y 到原点距离的最大值. 18．给出如下两个命题：命题:[0,1]p x ∃∈，1426(5)0x x a a a +⋅-⋅+-=；命题:q 已知函数()|ln |1a g x x x =++，且对任意1x ，2(0,2]x ∈，12x x ≠，都有2121()()1g x g x x x -<--，求实数a 的取值范围，使命题p q ∧为假，p q ∨为真.19．（6分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知22cos b c a C +=． （1）求角A ；（2）若3b =，2a c -=，求ABC ∆的面积． 20．（6分）7人站成两排队列，前排3人，后排4人. （1）一共有多少种站法；（2）现将甲、乙、丙三人加入队列，前排加一人，后排加两人，其他人保持相对位置不变，求有多少种不同的加入方法.21．（6分）已知()()110f x ax ax a =--+>.（I ）求()f x 的最小值b 及最大值c ；（II ）设0m >，0n >，338m n c +=，求2m n +的最大值.22．（8分）已知函数，()32,1,ln , 1.x x x f x a x x ⎧-+<=⎨≥⎩（1）求()f x 在区间(),1-∞上的极小值和极大值；（2）求()f x 在[]1,e -（e 为自然对数的底数）上的最大值．参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．D 【解析】 【分析】根据所给的这组数据，取出这组数据的样本中心点，把样本中心点代入所给的四个选项中验证，若能够成立的只有一个，这一个就是线性回归方程． 【详解】123423452.5,3.5444x y ++++++=＝＝＝， ∴这组数据的样本中心点是2.53.5（，）把样本中心点代入四个选项中，只有ˆ1yx =+成立， 故选D ． 【点睛】本题考查求线性回归方程，一般情况下是一个运算量比较大的问题，解题时注意平均数的运算不要出错，注意系数的求法，运算时要细心，但是对于一个选择题，还有它特殊的加法． 2．D 【解析】 【分析】将复数z 整理为1i -的形式，分别判断四个选项即可得到结果. 【详解】()()()2121111i z i i i i -===-++- z 的虚部为1-，A 错误；112z =+=，B 错误；1z i =+，C 错误；()2212z i i =-=-，为纯虚数，D 正确本题正确选项：D 【点睛】本题考查复数的模长、实部与虚部、共轭复数、复数的分类的知识，属于基础题. 3．B 【解析】 【分析】由已知求得样本点的中心的坐标，代入线性回归方程求得a ，取100x =求得y 值即可。
2020届宜昌市七校高二下期末考试数学试题(文)含解析(加精)
宜昌市部分示范高中教学协作体高二第二学期期末联考数学试卷（文科）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 如果复数，则（）A. |z|＝2B. z的实部为1C. z的虚部为－1D. z的共轭复数为1＋i【答案】C【解析】由题意可得，所以A错；C,D均错。
所以选B2. 将曲线y＝sin 2x按照伸缩变换后得到的曲线方程为( )A. y′＝3sin 2xB. y′＝3sin x′C. y′＝3sin x′D. y′＝sin 2x′【答案】B【解析】伸缩变换即：，则伸缩变换后得到的切线方程为：，即 .本题选择B选项.3. 在区间[-1,2]上随机取一个数x，则|x|≤1的概率为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】由可得，结合几何概型公式可得：|x|≤1的概率为 .本题选择A选项.点睛：解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考察对象和对象的活动范围．当考察对象为点，点的活动范围在线段上时，用线段长度比计算；当考察对象为线时，一般用角度比计算，即当半径一定时，由于弧长之比等于其所对应的圆心角的度数之比，所以角度之比实际上是所对的弧长(曲线长)之比．4. 抛物线的准线方程为（）A. B. C. D.【答案】B...【解析】抛物线的标准方程为：，据此可得抛物线的准线方程为 .本题选择B选项.5. 某学校组织学生参加交通安全知识测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]，若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是( )A. 45B. 50C. 55D. 60【答案】B【解析】根据频率分布直方可知成绩低于60分的有第一、二组数据，在频率分布直方图中，对应矩形的高分别为0.005，0.01，每组数据的组距为20，则成绩低于60分的频率P=(0.005+0.010)×20=0.3.又因为低于60分的人数是15人，所以该班的学生人数是15÷0.3=50.本题选择B选项.6. 下列说法正确．．的是( )A. “为真”是“为真”的充分不必要条件；B. 样本的标准差是；C. K2是用来判断两个分类变量是否相关的随机变量，当K2的值很小时可以推定两类变量不相关；D. 设有一个回归直线方程为，则变量每增加一个单位，平均减少个单位.【答案】D【解析】逐一分析所给的选项：B,样本10,6,8,5,6的平均数为7,方差为,标准差是，故不正确；C,K2的值很小时，只能说两个变量的相关程度低，不能推定两个变量不相关。
2020年宜昌市名校数学高二第二学期期末达标检测试题含解析
2020年宜昌市名校数学高二第二学期期末达标检测试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．有7张卡片分别写有数字1,1,1,2,2,3,4，从中任取4张，可排出不同的四位数个数为（ ） A ．78B ．102C ．114D ．120【答案】C【解析】分析：根据题意，分四种情况讨论：①取出四张卡片中没有重复数字，即取出四张卡片中的数字为1,2,3,4；②取出四张卡片中4有2个重复数字，则2个重复的数字为1或2；③若取出的四张卡片为2张1和2张2；④取出四张卡片中有3个重复数字，则重复数字为1，分别求出每种情况下可以排出四位数的个数，由分类计数原理计算可得结论.详解：根据题意，分四种情况讨论：①取出四张卡片中没有重复数字，即取出四张卡片中的数字为1,2,3,4；此时有4424A =种顺序，可以排出24个四位数. ②取出四张卡片中4有2个重复数字，则2个重复的数字为1或2，若重复的数字为1，在2,3,4中取出2个，有233C =种取法，安排在四个位置中，有2412A =种情况，剩余位置安排数字1，可以排出31236⨯=个四位数同理，若重复的数字为2，也可以排出36个重复数字；③若取出的四张卡片为2张1和2张2，在4个位置安排两个1，有246C =种情况， 剩余位置安排两个2，则可以排出616⨯=个四位数；④取出四张卡片中有3个重复数字，则重复数字为1，在2,3,4中取出1个卡片，有133C =种取法，安排在四个位置中，有14C 4=种情况，剩余位置安排1，可以排出3412⨯=个四位数，则一共有243636612114++++=个四位数，故选C.点睛：本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，属于难题.有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率.2．若(13)n x +的二项展开式各项系数和为256，i 为虚数单位，则复数(1)n i +的运算结果为（ ） A ．16-B ．16C ．4-D ．4【答案】C【解析】【分析】分析：利用赋值法求得n ，再按复数的乘方法则计算．详解：令1x =，得4256n =，4n =，∴42(1)(2)4i i +==-．故选C ．点睛：在二项式()()n f x a bx =+的展开式中，求系数和问题，一般用赋值法，如各项系数为(1)f ，二项式系数和为2n ，两者不能混淆．3．对任意的实数x 都有f(x ＋2)－f(x)＝2f(1)，若y ＝f(x －1)的图象关于x ＝1对称，且f(0)＝2，则f(2 015)＋f(2 016)＝( )A ．0B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】【分析】根据条件判断函数f （x ）是偶函数，结合条件关系求出函数的周期，进行转化计算即可．【详解】y=f （x ﹣1）的图象关于x=1对称，则函数y=f （x ）的图象关于x=0对称，即函数f （x ）是偶函数， 令x=﹣1，则f （﹣1+2）﹣f （﹣1）=2f （1），即f （1）﹣f （1）=2f （1）=0，即f （1）=0，则f （x +2）﹣f （x ）=2f （1）=0，即f （x +2）=f （x ），则函数的周期是2，又f （0）=2，则f （2015）+f （2016）=f （1）+f （0）=0+2=2，故选：B ．【点睛】本题主要考查函数值的计算，根据抽象函数关系判断函数的周期性和奇偶性是解决本题的关键． 4．函数()2ln f x x x =-+的图象在1x =处的切线方程为（ ）A ．10x y ++=B ．10x y -+=C ．210x y -+=D ．210x y +-=【答案】A【解析】【分析】先求出切点的坐标和切线的斜率，再写出切线的方程.当x=1时，f(1)=-2+0=-2，所以切点为（1,-2）, 由题得11()2,(1)211f x k f x ''=-+∴==-+=-， 所以切线方程为y+2=-1·(x-1),即：10x y ++=故选：A【点睛】本题主要考查导数的几何意义和切线方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.5．在曲线2y x 的图象上取一点()1,1及附近一点()1,1x y +∆+∆，则y x ∆∆为（ ） A ．12x x∆++∆ B ．12x x ∆--∆ C ．2x ∆+D ．12x x +∆-∆ 【答案】C【解析】【分析】 求得y ∆的值，再除以x ∆，由此求得表达式的值.【详解】因为2y x ，所以()2112x y x x x +∆-∆==∆+∆∆．故选C. 【点睛】本小题主要考查导数的定义，考查平均变化率的计算，属于基础题.6．设x ∈R ，则“213x -≤”是“10x +≥”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】首先解这两个不等式，然后判断由题设能不能推出结论和由结论能不能推出题设，进而可以判断出正确的选项.【详解】 213x -≤12x ⇒-≤≤，10x +≥ 1x ⇒≥-，显然由题设能推出结论，但是由结论不能推出题设，因此“213x -≤”是“10x +≥”的充分不必要条件，故本题选A.【点睛】本题考查了充分条件、必要条件的判断，解决本问题的关键是正确求出不等式的解集.7．从2017年到2019年的3年高考中，针对地区差异，理科数学全国卷每年都命了3套卷，即：全国I 卷，全国II 卷，全国III 卷.小明同学马上进入高三了，打算从这9套题中选出3套体验一下，则选出的3套题年份和编号都各不相同的概率为（ ）A ．184B ．142C ．128D ．114【答案】D【解析】【分析】先计算出9套题中选出3套试卷的可能，再计算3套题年份和编号都各不相同的可能，通过古典概型公式可得答案.【详解】通过题意，可知从这9套题中选出3套试卷共有39=84C 种可能，而3套题年份和编号都各不相同共有336A =种可能，于是所求概率为61=8414.选D. 【点睛】本题主要考查古典概型，意在考查学生的分析能力，计算能力，难度不大.8．在平面直角坐标系中，双曲线的右支与焦点为的抛物线交于，两点，若，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】A【解析】【分析】根据抛物线定义得到，再联立方程得到得到答案.【详解】由抛物线定义可得：,因为 , 所以 渐近线方程为.故答案选A【点睛】本题考查抛物线，双曲线的渐近线，意在考查学生的计算能力.9．已知函数()()213x x a x a f x e+---=在区间()1,2上有最大值无最小值，则实数a 的取值范围（ ） A ．(),4-∞-B ．[1,)-+∞C ．()4,1--D ．[]4,1--【答案】C【解析】【分析】先求导，得到函数的单调区间，函数在区间()1,2上有最大值无最小值，即导数的零点在()1,2上，计算得到答案.【详解】 ()()()()221314'x x x a x a x a x f x f x e e+----+++=⇒= 设()2()14g x x a x =-+++ 函数在区间()1,2上有最大值无最小值即()g x 在()1,2有零点，且满足：(1)04(2)01g a g a >⇒>-⎧⎨<⇒<-⎩即()4,1a ∈--故答案选C【点睛】本题考查了函数的最大值和最小值问题，将最值问题转为二次函数的零点问题是解题的关键.10．若集合{|2,}x M y y x R ==∈，2{|,}N y y x x R ==∈，则有（ ）A ．M N R ⋃=B ．M N ⊆C ．M N ⊇D ．M N =【答案】B分析：先分别求出集合M 和N ，由此能求出M 和N 的关系.详解：{}{}|2,0x M y y x R y y ==∈=， {}{}2|,|0N y y x x R y y ==∈=≥，故M N ⊆.故选：B.点睛：本题考查两个集合的包含关系的判断，考查指数函数、一元二次函数等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题.11．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，若cos b c A =⋅，则ABC 的形状为A ．正三角形B ．等腰三角形或直角三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形 【答案】C【解析】【分析】根据题目,,a b c 分别为角A ，B ，C 的对边，且cos b c A =⋅可知，利用边化角的方法，将式子化为sin sin cos B C A =，利用三角形的性质将sin B 化为sin()A C +，化简得cos 0C =，推出90C ∠=︒，从而得出ABC 的形状为直角三角形．【详解】由题意知，cos b c A =⋅∴由正弦定理得sin sin cos B C A =又()B A C∴sin()sin cos A C C A +=展开得，sin cos sin cos sin cos A C C A C A +=∴sin cos 0A C = 又角A ，B ，C 是三角形的内角sin 0cos 0A C ∴>∴= 又0<C<π2C π∴=综上所述，ABC 的形状为直角三角形，故答案选C ．本题主要考查了解三角形的相关问题，主要根据正余弦定理，利用边化角或角化边，若转化成角时，要注意A B C π++=的应用．12．设三次函数()f x 的导函数为()f x '，函数()y x f x '=⋅的图象的一部分如图所示，则正确的是（ ）A ．()f x 的极大值为(3)f ，极小值为(3)fB ．()f x 的极大值为(3)f -，极小值为(3)fC ．()f x 的极大值为(3)f ，极小值为(3)f -D ．()f x 的极大值为(3)f -，极小值为(3)f【答案】C【解析】【分析】由()y x f x '=⋅的图象可以得出()y f x '=在各区间的正负，然后可得()f x 在各区间的单调性，进而可得极值.【详解】由图象可知：当3x =-和3x =时，()=0x f x ⋅'，则(3)=(3)=0f f ''-；当3x <-时，()0x f x '⋅>，则()0f x '<；当30x -<<时，()0x f x '⋅<，则()0f x '>；当03x <<时，()0x f x '⋅>，则()0f x '>；当3x >时，()0x f x '⋅<，则()0f x '<.所以()f x 在(,3)-∞-上单调递减；在(3,0),(0,3)-上单调递增；在(3,)+∞上单调递减.所以()f x 的极小值为(3)f -，极大值为(3)f .故选C.【点睛】本题考查导数与函数单调性的关系，解题的突破点是由已知函数的图象得出()f x '的正负性.二、填空题：本题共4小题13．在等比数列{}n a 中，已知2532a a a =，且4a 与72a 的等差中项为54，则5S =________ 【答案】31 【解析】 【分析】 根据2532a a a =，求出42a =，又4a 与72a 的等差中项为54，得到714a =，所以可以求出 12q =，116a =，即可求出5S 【详解】依题意，数列{}n a 是等比数列，2532a a a =，即252112a q a q =，所以42a = ，又4a 与72a 的等差中项为54，所以752224a +=⨯，即714a =， 所以37418a q a ==，所以12q =，所以41316a a q ==， 551161()231112S ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦==- 故答案为：31【点睛】本题考查等比中项、等比数列的通项公式以及求和公式，需熟记公式。
2019-2020学年宜昌市名校数学高二(下)期末联考试题含解析
2019-2020学年宜昌市名校数学高二(下)期末联考试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．下列说法正确的是（ ）A ．命题“,0x x R e ∀∈>”的否定是“,0x x R e ∃∈>”B ．命题“已知,x y R ∈，若3,x y +≠则2x ≠或1y ≠”是真命题C ．命题“若1,a =-则函数2()21f x ax x =+-只有一个零点”的逆命题为真命题D ．“22x x ax +≥在[]1,2x ∈上恒成立”2min min (2)()x x ax ⇔+≥在[]1,2x ∈上恒成立【答案】B 【解析】 【分析】A ．注意修改量词并否定结论，由此判断真假；B ．写出逆否命题并判断真假，根据互为逆否命题同真假进行判断；C ．写出逆命题，并分析真假，由此进行判断；D ．根据对恒成立问题的理解，由此判断真假. 【详解】A ．“,0x x R e ∀∈>”的否定为“,0x x R e ∃∈≤”，故错误；B ．原命题的逆否命题为“若2x =且1y =，则3x y +=”，是真命题，所以原命题是真命题，故正确；C ．原命题的逆命题为“若函数2()21f x ax x =+-只有一个零点，则1a =-”， 因为0a =时，()21f x x =-，此时也仅有一个零点，所以逆命题是假命题，故错误；D ．“22x x ax +≥在[]1,2x ∈上恒成立”⇔“min2x a x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭在[]1,2x ∈上恒成立”，故错误. 故选：B. 【点睛】本题考查命题真假的判断，涉及到函数零点、含一个量词的命题的真假判断、不等式恒成立问题的理解等内容，难度一般.注意互为逆否命题的两个命题真假性相同. 2．在复平面内与复数21iz i=+所对应的点关于虚轴对称的点为A ，则A 对应的复数为（ ） A ．1i -- B ．1i -C ．1i +D ．1i -+【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的运算法则求出1z i =+，即可得到其对应点关于虚轴对称点的坐标，写出复数. 【详解】由题()()()2122211112i i i i z i i i i -+====+++-，在复平面对应的点为（1,1）， 关于虚轴对称点为（-1,1），所以其对应的复数为1i -+. 故选：D 【点睛】此题考查复数的几何意义，关键在于根据复数的乘法除法运算准确求解，熟练掌握复数的几何意义. 3．分子为1且分母为正整数的分数称为单位分数，1可以分拆为若干个不同的单位分数之和：，，，……，依此类推得：，则（ ）A ．228B ．240C ．260D ．273【答案】C 【解析】 【分析】使用裂项法及，的范围求出，的值，从而求出答案． 【详解】，，．，，．，，所以mn=260.故选：C 【点睛】本题主要考查归纳推理和裂项相消法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题. 4．函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()21f x x =+，则()1f -=A ．1B ．1-C ．2D ．2-【答案】D【解析】 【分析】利用奇函数的性质求出()1f -的值. 【详解】由题得2(1)(1)(11)2f f -=-=-+=-，故答案为：D 【点睛】(1)本题主要考查奇函数的性质，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)奇函数f(-x)=-f(x).5．如图：在直棱柱111ABC A B C -中，1AA AB AC ==，AB AC ⊥，,,P Q M 分别是A 1B 1,BC,CC 1的中点，则直线PQ 与AM 所成的角是（ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 【答案】D 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，结合直线的方向向量确定异面直线所成的角即可. 【详解】以点A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -， 设2AB =，则()()()()0,0,0,1,0,2,1,1,0,0,2,1A P Q M ，据此可得：()()0,1,2,0,2,1PQ AM =-=u u u r u u u u r，0PQ AM ⋅=u u u r u u u u r ，故PQ AM ⊥，即直线PQ 与AM 所成的角是2π.本题选择D 选项.【点睛】本题主要考查空间向量的应用，异面直线所成的角的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin 2sin cos sin C C B A +=，0,2C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，6a =1cos 3B =，则b =（）A ．2B ．53C ．125D ．4【答案】C 【解析】 【分析】先利用正弦定理解出c ，再利用cos B 的余弦定理解出b 【详解】sin 2sin cos sin +2cos =C C B A c c B a +=⇔365c ⇒=22254311442cos 6266255325b ac ac B =+-=+-=所以125b =【点睛】本题考查正余弦定理的简单应用，属于基础题． 7．若0k m n ≤≤≤，且m ，n ，k ∈N ，则CC mn m k n k n k --==∑（ ）A ．2m n+B ．C 2n mmC ．2C n mnD ．2C m mn【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件，运用组合数的阶乘可得：n m k m kn k n n m C C C C --=，再由二项式系数的性质，可得所要求的和.【详解】()()()()()()()()!!!!!!!!!!!!!!!!n m k n knm kn mn k n n C Cn m m k k n k n m m k k n m C C m n m k m k ---=⋅=-⋅-⋅--⋅-⋅=⋅=⋅-⋅-则()0102mmn m k m k m mm m n knn m n m m m n k k CC C C C C C C C --====⋅+++=∑∑L 故选：D 【点睛】本题考查了组合数的计算以及二项式系数的性质，属于一般题. 8．函数()2log ,0,2,0,xx x f x x ⎧>=⎨≤⎩则函数()()()2384g x fx f x =-+的零点个数是（ ）A ．5B ．4C ．3D ．6【答案】A 【解析】 【分析】通过对()g x 式子的分析，把求零点个数转化成求方程的根，结合图象，数形结合得到根的个数，即可得到零点个数． 【详解】 函数()()()2384g x f x f x =-+=()()322f x f x --⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦的零点即方程()23f x =和()2f x =的根， 函数()2log ,0,2,0x x x f x x ⎧>=⎨≤⎩的图象如图所示：由图可得方程()23f x =和()2f x =共有5个根， 即函数()()()2384g x f x f x =-+有5个零点,故选：A . 【点睛】本题考查函数的零点与方程的根的个数的关系，注意结合图象，利用数形结合求得结果时作图很关键，要标准．9．从5种主料中选2种，8种辅料中选3种来烹饪一道菜，烹饪方式有5种，那么最多可以烹饪出不同的菜的种数为 A ．18 B ．200 C ．2800 D ．33600【答案】C 【解析】 【分析】根据组合定义以及分布计数原理列式求解. 【详解】从5种主料中选2种，有2510C =种方法, 从8种辅料中选3种，有3856C =种方法,根据分布计数原理得烹饪出不同的菜的种数为10565=2800⨯⨯，选C. 【点睛】求解排列、组合问题常用的解题方法：分布计数原理与分类计数原理，具体问题可使用对应方法：如 (1)元素相邻的排列问题——“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题——“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——间接法. 10．空间直角坐标系中，点(10,4,2)A -关于点(0,3,5)M -的对称点的坐标是 A ．(－10,2,8) B ．(－10,2,－8)C ．(5,2,－8)D ．(－10,3,－8)【答案】B 【解析】 【分析】直接利用中点坐标公式求解即可. 【详解】设点()10,4,2A -关于点()0,3,5M -的对称点的坐标是(),,x y z ,根据中点坐标公式可得1002432252x yz+⎧=⎪⎪+⎪=⎨⎪-+⎪=-⎪⎩，解得1028x y z =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩， 所以点()10,4,2A -关于点()0,3,5M -的对称点的坐标是(－10,2,－8)，故选B. 【点睛】本题主要考查中点坐标公式的应用，意在考查对基本公式的掌握与应用，属于基础题.11．已知直线l 过点P(1,0,－1)，平行于向量(2,1,1)a =r，平面α过直线l 与点M(1,2,3)，则平面α的法向量不可能是（ ） A ．(1,－4,2) B ．11(,1,)42-C ．11(,1,)42--D ．(0,－1,1)【答案】D 【解析】试题分析：由题意可知，所研究平面的法向量垂直于向量(2,1,1)a =r ，和向量PM u u u u r， 而PM u u u u r=（1，2，3）-（1，0，-1）=（0，2，4），选项A ，（2，1，1）⋅（1，-4，2）=0，（0，2，4）⋅（1，-4，2）=0满足垂直，故正确； 选项B ，（2，1，1）⋅（14，-1，12）=0，（0，2，4）⋅（14，-1，12）=0满足垂直，故正确； 选项C ，（2，1，1）⋅（-14，1，−12）=0，（0，2，4）⋅（-14，1，−12）=0满足垂直，故正确； 选项D ，（2，1，1）⋅（0，-1，1）=0，但（0，2，4）⋅（0，-1，1）≠0，故错误． 考点：平面的法向量12．设P 是双曲线2221(0)9x y a a -=>上一点，双曲线的一条渐近线方程为1320,x y F -=、2F 分别是双曲线的左、右焦点，若15PF =，则2PF =（ ） A ．1或9 B ．6C ．9D ．以上都不对【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线的一条渐近线方程为320x y -=求出a ，由双曲线的定义求出2PF ，判断点P 在左支上，即求2PF . 【详解】双曲线2221(0)9x y a a -=>的渐近线方程为3y x a=±， 又双曲线的一条渐近线方程为320x y -=， 33,2,2a c a ∴=∴=∴==由双曲线的定义可得1224PF PF a -==，又15PF =， 2254,1PF PF ∴-=∴=或29PF =.152PF a c =<+=+∴Q 点P 在左支上，122,9PF PF PF ∴<∴=.故选：C . 【点睛】本题考查双曲线的定义和性质，属于基础题.二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．设当x=θ时，函数f （x ）=2sinx+cosx 取得最小值，则cos （πθ4+）=______．【答案】10【解析】 【分析】利用辅助角公式化简函数的解析式，再根据正弦函数的最值求出辅助角，再利用两角和的余弦公式求出cos 4πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．【详解】对于函数f （x ）（x+α），其中，，α为锐角．当x=θ时，函数取得最小值，sin （θ+α）sin （θ+α）=-1，∴cos （θ+α）=1． 故可令θ+α=-2π，即θ=-2π-α，故cos cos cos444a πππθαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ sin 210α==故答案为10．【点睛】本题主要考查辅助角公式，正弦函数的最值，两角和的余弦公式，属于中档题．14．已知变量x ，y 具有线性相关关系，它们之间的一组数据如下表所示，若y 关于x 的线性回归方程为ˆy＝1.3x －1，则m ＝________. x 1 2 3 4 y0.11.8m4【答案】3.1. 【解析】分析：利用线性回归方程经过样本中心点，即可求解. 详解：由题意得＝ (1＋2＋3＋4)＝2.5， 代入线性回归方程得＝1.3×2.5－1＝2.25，∴2.25＝ (0.1＋1.8＋m ＋4)，解得m ＝3.1. 故答案为：3.1.点睛：本题考查线性回归方程经过样本中心点，考查学生的计算能力，比较基础.15．一次英语测验由50道选择题构成,每道题有4个选项,其中有且仅有一个是正确的,每个选对得3分,选错或不选均不得分,满分150.某学生选对每一道题的概率均为0.7,则该生在这次测验中的成绩的期望是__________ 【答案】105. 【解析】分析：先判断概率分别为二项分布，再根据二项分布期望公式求结果. 详解：因为(150,0.7)x B ~，所以1500.7105.Ex =⨯= 点睛：(,),(),()(1).x B n p E X np V X np p ~==-16．在极坐标系中，点(2，)到直线ρsinθ=2的距离等于 【答案】1 【解析】试题分析：在极坐标系中，点（2，）对应直角坐标系中坐标（，1），直线ρsinθ＝2对应直角坐标系中的方程为y ＝2，所以点到直线的距离为1． 考点：极坐标化直角坐标三、解答题（本题包括6个小题，共70分） 17．已知函数()()1ln f x k x x k R x=+-∈. (Ⅰ)当2k =时,求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程; (Ⅱ)若()f x 存在两个极值点1x ,2x ,证明:()()12122f x f x k x x -<--.【答案】 (Ⅰ)切线方程为y=0；(Ⅱ)证明见解析 【解析】 【分析】（Ⅰ）求出当k=2时的函数的导数，求得切线的斜率和切点，由直线的点斜式方程，可得切线方程； （Ⅱ）由题意()f x 存在两个极值点1x ,2x ,求导令导函数得0可得1x ,2x ，将之代入()()1212f x f x x x --转化成证明111012ln x x x -<+，再由函数的单调性即可证明. 【详解】(Ⅰ)当k=2时,()12ln f x x x x=+-,即有f(1)=0， 所以()2211f x x x '=--,f′(1)=0. 所以切线方程为y=0；(Ⅱ)因为()()222111=0k x kx f x x x x x-+-'=-->， ()f x 存在两个极值点1x ,2x ,所以1x ,2x 是21=0x kx -+-的根，设1x >2x，1x,2x所以12+=x x k ,121x x =，2=400k k ⎧∆->⎨>⎩，解得2k >， 因为()()11221212121211ln ln =k x x k x x f x f x x x x x x x +--+----1212112212=l 1n x x x k x x x x x x x ⎛⎫++- ⎪-⎝⎭-12lnxkx⎛-，因为121x x=，21112ln=ln=2lnxk k x k xx，()()1212f x f xx x--2-2k<-，1<，即证1ln2x<又111xx-=1<转化为1111ln2x xx-<，即证11112ln x xx-<+，由(Ⅰ)可知,当k=2时,()12lnf x x xx=+-,()f x在（0，+∞）单调递减，而()1=0f，因为11x>，()()110f x f<=，即11112ln x xx-<+恒成立，故()()12122f x f xkx x-<--得证.【点睛】本题考查利用导数研究曲线上某点切线方程、利用导数证明不等式恒成立，证明不等式恒成立通常运用转化思想，本题将不等式转化为已知函数求单调性，在利用导数单调性进行证明，属于难题.18．在一次考试中，某班级50名学生的成绩统计如下表，规定75分以下为一般，大于等于75分小于85分为良好，85分及以上为优秀．经计算，样本的平均值81μ≈，标准差 6.2σ≈．为评判该份试卷质量的好坏，从其中任取一人，记其成绩为X ，并根据以下不等式进行评判： ①()0.6828P X μσμσ-<<+≥； ②(22)0.9544P X μσμσ-<<+≥； ③(33)0.9974P X μσμσ-<<+≥．评判规则：若同时满足上述三个不等式，则被评为优秀试卷；若仅满足其中两个不等式，则被评为合格试卷；其他情况，则被评为不合格试卷． （1）试判断该份试卷被评为哪种等级；（2）按分层抽样的方式从3个层次的学生中抽出10名学生，再从抽出的10名学生中随机抽出4人进行学习方法交流，用随机变量表示4人中成绩优秀的人数，求随机变量ξ的分布列和数学期望． 【答案】（1）该份试卷应被评为合格试卷； （2）见解析，1.2 . 【解析】 【分析】（1）根据频数分布表，计算出()P X μσμσ-<<+，(22)P X μσμσ-<<+(33)P X μσμσ-<<+的值，由此判断出“该份试卷为合格试卷”；（2）利用超几何分布分布列计算公式，计算出分布列，并求得数学期望． 【详解】解：（1）34()(74.887.2)0.680.682850P X P X μσμσ-<<+=<<==<， 19(22)(68.693.4)0.980.954150P X P X μσμσ-<<+=<<==>， (33)(62.499.6)10.9974P X P μσμσμ-<<+=<<=>，因为考生成绩满足两个不等式，所以该份试卷应被评为合格试卷； （2）50人中成绩一般、良好及优秀的比例为2:5:3，所以所抽出的10人中，成绩优秀的有3人，所以ξ的取值可能为0，1，2，3，44170351(0)2106C P C ξ====， 37410131051(1)2102C C P C ξ====，2234107633(2)21010C C P C ξ====，173341071(3)21030C C P C ξ====，所以随机变量ξ的分布列为：故()0123 1.2621030E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=． 【点睛】本题考查了正态分布的概念，考查频率的计算，超几何分布的分布列及其数学期望的计算，属于中档题． 19．从1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字中任意取出三个不同的数字. （Ⅰ）求取出的这三个数字中最大数字是8的概率；（Ⅱ）记取出的这三个数字中奇数的个数为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望. 【答案】()I . 14；（Ⅱ）见解析. 【解析】分析：（Ⅰ）取出的这三个数字中最大数字是8，其余两个从1，2，3，4，5，6，7中取． （Ⅱ）取出的这三个数字中奇数的个数为0、1、2、3，求出相应的概率，即可求得分布列及期望．2739C 1.8P C 4==解（Ⅰ）取出的这三个数字中最大数字是的概率；（Ⅱ）ξ的所有可能取值为：0、1、2、3 则213454339915(0),(1),2114C C C P P C C ξξ======1234553399105(2),(3),2142C C C P P C C ξξ======所以随机变量ξ的分布列为所以ξ的数学期望3E ξ=. 点睛：（1）本题主要考查古典概型和离散型随机变量的分布列和期望，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) E ξ=11x p +22x p +…n n x p ++… 为ξ的均值或数学期望，简称期望．20．已知抛物线E ：22y px =()0p >，点Q 为直线2x p =-上任一点，过点Q 作抛物线的两条切线，切点分别为A ，B ，（1）证明A ，Q ，B 三点的纵坐标成等差数列；（2）已知当点Q 坐标为()2,2p -时，12AB =，求此时抛物线E 的方程；（3）是否存在点Q ，使得点C 关于直线AB 的对称点D 在抛物线E 上，其中点C 满足OC OA OB =+u u u v u u u v u u u v，若存在，求点Q 的坐标；若不存在，说明理由.【答案】 (1)证明见解析；(2) 2y =；(3) 存在一点(2,0)Q p -满足题意. 【解析】 【分析】(1)设1122(,),(,)A x y B x y ,对22y px =求导,则可求出在A ,B 处的切线方程,再联立切线方程分析即可. (2)根据(1)中的切线方程,代入2211222,2y px y px ==则可得到直线AB 的方程,再联立抛物线求弦长列式求解即可.(3)分情况,当D 的纵坐标00y =与00y ≠两种情况,求出点C 的坐标表达式,再利用AB 与CD 垂直进行求解分析是否存在即可. 【详解】(1) 设1122(,),(,)A x y B x y ,对22y px =求导有2'2,'pyy p y y==,故在11(,)A x y 处的切线方程为111()p y y x x y -=-,即2111y y y x x p p -=-,又2112y x p=,故2112y y y x p p =-同理在22(,)B x y 处的切线方程为2222y y y x p p=-, 联立切线方程有2112212112222222y y y x p p y y y y y y p p p p y y y x p p ⎧=-⎪⎪⇒-=-⎨⎪=-⎪⎩,化简得122y y y +=, 即Q 的纵坐标为122y y +,因为121222y y y y +⨯=+，故A ,Q ,B 三点的纵坐标成等差数列. (2)同(1)有在11(,)A x y 处的切线方程为2111y y y x x p p-=-,因为2112y px =, 所以1112y y x x x p -=-,即11y y x x p =-,又切线过()2,2p -,则1122y p x p -=-,同理2222yp x p-=-,故1122(,),(,)A x y B x y 均满足直线方程22y p x p-=-,即22x y p p =+故直线:AB l 22x y p p =+,联立222244022y pxy y p x y pp ⎧=⎪⇒--=⎨=+⎪⎩,则1212AB y =-===, 即2244p p+=,解得p =,故抛物线E：2y =. (3)设33(,)D x y ,由题意得1212(,)C x x y y ++,则CD 中点123123(,)22x x x y y y M ++++, 又直线AB 斜率1212221212120022222y y y y p p py y x x y y y y p p--====-+-,故设110:()AB pl y y x x y -=- . 又CD 的中点M 在直线AB 上,且AB 中点1212(,)22x x y y ++也在直线AB 上, 代入得330=p y x y .又33(,)D x y 在抛物线上,则2330322y px y y ==. 所以30=y 或302=y y .即点(0,0)D 或2002(,2)y D y p(1)当00y =时,则12020+==y y y ,此时点(2,0)Q p -满足(2) 当00y ≠时,对(0,0)D ,此时221212120(,)(,2)2y y C x x y y C y p+++=,则022124CD py k y y =+.又0ABp k y =.AB CD ⊥,所以20222201212441AB CD py p p k k y y y y y ⋅=⋅==-++,不成立, 对2002(,2)y D y p ,因为22120(,2)2y y C y p+,此时直线CD 平行于x 轴,又因为00AB p k y =≠, 故直线AB 与直线CD 不垂直,与题设矛盾,故00y ≠时,不存在符合题意的Q 点. 综上所述,仅存在一点(2,0)Q p -满足题意. 【点睛】本题考查了抛物线的双切线问题,需要求出在抛物线上的点的切线方程,再根据抛物线双切线的性质进行计算,同时要灵活运用抛物线的方程,属于难题.21．等边ABC ∆的边长为3，点D ，E 分别是AB ，BC 上的点，且满足12AD CE DB EA == (如图(1))，将ADE ∆沿DE 折起到1A DE ∆的位置，使二面角1A DE B --成直二面角，连接1A B ，1A C (如图(2)).(1)求证：1A D ⊥平面BCED ；(2)在线段BC 上是否存在点P ，使直线1PA 与平面1A BD 所成的角为60︒?若存在，求出PB 的长；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）存在点P ，52PB =. 【解析】 【分析】（1）通过证明1A DDE ⊥，1A D DB ⊥即可证明1A D ⊥平面BCED ；（2）以D 为坐标原点，以射线DB 、DE 、1DA 分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴建立空间直角坐标系D xyz -，设()203PB a a =≤≤，然后并求出平面1A BD 的一个法向量及1PA uu u r 的坐标，最后根据113sin 60PA DE PA DE⋅︒==u u u r u u u r u u u r u u u r a 的值及PB 的长度.【详解】(1)证明 题图(1)中，由已知可得：2AE =，1AD =，60A =︒.从而2212212cos603DE +-⨯⨯⨯︒=故得222AD DE AE +=，所以AD DE ⊥，BD DE ⊥. 所以题图(2)中，1A DDE ⊥，BD DE ⊥，所以1A DB ∠为二面角1A DE B --的平面角， 又二面角1A DE B --为直二面角， 所以190A DB ∠=︒，即1A D DB ⊥，因为DE DB D ⋂=且DE 、DB ⊂平面BCED ， 所以1A D ⊥平面BCED .(2)解 存在.由(1)知ED DB ⊥，1A D ⊥平面BCED .以D 为坐标原点，以射线DB 、DE 、1DA 分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴建立空间直角坐标系D xyz -，如图，过P 作//PH DE 交BD 于点H ，设()203PB a a =≤≤，则BH a =，3PH a =，2DH a =-，易知()10,0,1A ，()23,0P a a -，()3,0E ，所以()12,3,1PA a a =--u u u r.因为DE ⊥平面1A BD ，所以平面1A BD 的一个法向量为()3,0DE =u u u r.因为直线1PA 与平面1A BD 所成的角为60︒，所以1213sin 6024453PA DE PA DEa a ⋅︒===-+u u u r u u u ru u ur u u u r ，解得54a =. 所以522PB a ==，满足03a ≤≤，符合题意. 所以在线段BC 上存在点P ，使直线1PA 与平面1A BD 所成的角为60︒，此时52PB =. 【点睛】本题主要考查线面垂直的证明及通过建立空间直角坐标系并表示出平面的法向量及直线的方向向量的坐标，解决已知直线和平面所成的角求参数的值问题，属中等难度题.22．在二项式122nx x ⎛+ ⎝的展开式中. （1）若展开式后三项的二项式系数的和等于67，求展开式中二项式系数最大的项； （2）若n 为满足812n <<的整数，且展开式中有常数项，试求n 的值和常数项. 【答案】（1）展开式中二项式系数最大的项为第6和第7项，726231T x-=，27924T x -=（2）9n =，常数项为672 【解析】 【分析】（1）根据条件求出n 的值，然后判断第几项二项式系数最大，并求之；（2）常数项其实说明x 的指数为0，根据这一特点，利用项数n 与第几项r 的关系求解出n 的值. 【详解】解：（1）由已知21n n n nn n C C C --++210n n n C C C =++(1)1672n n n -=++= 整理得21320(12)(11)0n n n n +-=⇔+-=，显然11n = 则展开式中二项式系数最大的项为第6和第7项65756522611122312T C x x x --⎛⎫== ⎪⎝⎭565632711129242T C x x x --⎛⎫== ⎪⎝⎭（2）设第1r +项为常数项，r 为整数，()21122n rr r n r rr nT C xx ---+⎛⎫= ⎪⎝⎭32222r n r r nnC x--=则有323022r n n r -=⇒=， 所以316181258233r r <<⇒=<<，6r =或7r = 当6r =时，9n =；7r =时，212n =（不合题意舍去），所以9n =常数项为6379(2)672T C ==【点睛】对于形如()n a b +的展开式，展开后一共有1n +项，若n 为奇数，则二项式系数最大的项有2项，分别为11122n n +++、项，为若n 为偶数，则二项式系数最大的项有1项，即为12n +项（也可借助杨辉三角的图分析）.。
湖北省宜昌市2020年高二下数学期末经典试题含解析
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知离散型随机变量 服从二项分布 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用二项分布期望公式 求出 ，再由方差公式 可计算出答案。
【详解】
由于离散型随机变量 服从二项分布 ，则 ，所以， ，
3．设 ，则“ ”是“直线 与 平行”的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】
先由直线 与 平行，求出 的范围，再由充分条件与必要条件的概念，即可得出结果.
【详解】
因为直线 与 平行，所以 ，
解得 或 ，
又当 时， 与 重合，不满足题意，舍去；
【详解】
因为“三角形法则”和“平行四边形法则”是向量的加减法的运算法则，
故应该放在“向量的加减法”中“运算法则”的下位．
故选A．
【点睛】
本题考查知识结构图，向量的加减法的运算法则，知识结构图比较直观地描述了知识之间的关联，解题的关键是理解知识结构图的作用及知识之间的上下位关系．
12．已知随机变量 服从正态分布 ， ，则 （）
所以 ；
由 时， 与 分别为 ， ，显然平行；
因此“ ”是“直线 与 平行”的充要条件；
故选C
【点睛】
本题主要考查由直线平行求参数，以及充分条件与必要条件的判定，熟记概念即可，属于常考题型.
4．抛物线 的焦点为 ，点 是 上一点， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
2020年宜昌市名校数学高二第二学期期末达标检测试题含解析
2020年宜昌市名校数学高二第二学期期末达标检测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是( ) A ．至少有一个白球；都是白球 B ．至少有一个白球；至少有一个红球 C ．至少有一个白球；红、黑球各一个 D ．恰有一个白球；一个白球一个黑球 2．抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记事件{两次的点数均为奇数}，{两次的点数之和小于}，则（ ）A ．B ．C ．D ．3．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线条画出的是一个三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积是（ ）A ．13B ．23C ．43D ．24．179︒是（） A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角5．在复平面内，复数(),z a bi a R b R =+∈∈对应向量OZ uuu v（O 为坐标原点），设OZ r =u u u v ，以射线Ox 为始边，OZ 为终边逆时针旋转的角为θ，则()cos sin z r i θθ=+，法国数学家棣莫弗发现棣莫弗定理：()1111cos sin z r i θθ=+，()2222cos sin z r i θθ=+，则()()12121212cos sin z z rr i θθθθ=+++⎡⎤⎣⎦，由棣莫弗定理导出了复数乘方公式：()()cos sin cos sin nn n z r i r n i n θθθθ=+=+⎡⎤⎣⎦，则()1013i -+=（ ）A ．102410243i -B ．102410243i -+C ．5123i -D ．5125123i -+6．已知直线l 过点P(1,0,－1)，平行于向量(2,1,1)a =r，平面α过直线l 与点M(1,2,3)，则平面α的法向量不可能是（ ） A ．(1,－4,2)B ．11(,1,)42-C ．11(,1,)42--D ．(0,－1,1)7．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”.根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是A ．甲地：总体均值为3，中位数为4B ．乙地：总体均值为1，总体方差大于0C ．丙地：中位数为2，众数为3D ．丁地：总体均值为2，总体方差为38．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为“鳖臑”.那么从长方体八个顶点中任取四个顶点，则这四个顶点组成的几何体是“鳖臑”的概率为（ ） A ．435B ．635C ．1235D ．18359．已知a ＞b ，则下列不等式一定正确的是（ ） A ．ac 2＞bc 2B ．a 2＞b 2C ．a 3＞b 3D ．11a b＜10．PM2.5是指空气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物（也称可入肺颗粒物），为了探究车流量与PM2.5的浓度是否相关，现采集到某城市周一至周五某时间段车流量与PM2.5浓度的数据如下表：根据上表数据，用最小二乘法求出y 与x 的线性回归方程是（ ）参考公式：121()()()niii ni i x x y y b x x ==--=-∑∑，a y b x =-⋅；参考数据：108x =，84y =；A ．0.6274ˆ.2yx =+ B ．0.7264ˆ.2y x =+ C ．0.7164ˆ.1y x =+ D ．0.6264ˆ.2y x =+ 11．函数()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭向右平移()0ϕϕπ≤≤个单位后得到函数()g x ，若()g x 在,66ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，则ϕ的取值范围是（） A ．0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π B ．20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．2,43ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．,124ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 12．若函数2()x f x e ax a =--在R 上有小于0的极值点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(1,0)-B ．(0,1)C ．(,1)-∞-D ．(1,)+∞二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．已知实数x ，y 满足条件210201x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则z=x+3y 的最小值是_______________.14．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>与双曲线22221(0,0)x y m n m n-=>>具有相同的焦点1F ，2F ，且在第一象限交于点P ，设椭圆和双曲线的离心率分别为1e ，2e ，若123F PF π∠=，则2212e e +的最小值为__________．15．如图所示，在圆锥SO 中，AB CD ，为底面圆的两条直径，AB CD O =I ，且AB CD ⊥,2SO OB ==，P 为SB 的中点，则异面直线SA 与PD 所成角的正切值为__________.16．已知实数x ，y 满足不等式组20,250,20,x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩且2z x y =-的最大值为a ，则20cos d 2x a x π⎰=_____． 三、解答题（本题包括6个小题，共70分） 17．4(n x a x的展开式中，奇数项的二项式系数之和为128，且前三项系数成等差数列.（1）求a 的值；（2）若3a <，展开式有多少有理项？写出所有有理项.18．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩，（θ为参数）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为(cos sin )1ρθθ-=. （1）求C 和l 的直角坐标方程；（2）已知直线l 与y 轴交于点M ，且与曲线C 交于A ，B 两点，求11||||MA MB -的值. 19．（6分）（理科学生做）某一智力游戏玩一次所得的积分是一个随机变量X ,其概率分布如下表，数学期望()2E X =. （1）求a 和b 的值；（2）某同学连续玩三次该智力游戏，记积分X 大于0的次数为Y ，求Y 的概率分布与数学期望. X36P12a b20．（6分）设数列{}n a 的前n 项的和为n S ,且满足12a =,对*n N ∀∈,都有1(1)2n n a p S +=-+ (其中常数1p >),数列{}n b 满足2121log ()n n b a a a n=L . (1)求证:数列{}n a 是等比数列；(2)若220172p =,求2018b 的值；(3)若*k N ∃∈,使得2212k p +=,记3||2n n c b =-,求数列{}n c 的前2(1)k +项的和.21．（6分）函数2()21ln ()f x x ax x a =-++∈R .（Ⅰ）若5a =时，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）设()()2ln g x f x x =-，若函数()g x 在1[,]x e e∈上有两个零点，求实数a 的取值范围. 22．（8分）已知复数()3z bi b R =+∈，且()13i z +⋅为纯虚数，求1zi+.（其中i 为虚数单位） 参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．C 【解析】 【分析】由题意逐一考查所给的事件是否互斥、对立即可求得最终结果. 【详解】袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，逐一分析所给的选项： 在A 中，至少有一个白球和都是白球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故A 不成立． 在B 中，至少有一个白球和至少有一个红球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故B 不成立； 在C 中，至少有一个白球和红、黑球各一个两个事件不能同时发生但能同时不发生， 是互斥而不对立的两个事件，故C 成立；在D 中，恰有一个白球和一个白球一个黑球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故D 不成立； 本题选择C 选项. 【点睛】“互斥事件”与“对立事件”的区别：对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件． 2．D 【解析】 由题意得，两次的点数均为奇数且和小于的情况有，则 ，故选D.3．B 【解析】 【分析】由三视图得到该几何体为三棱锥，底面ABC ∆是等腰直角三角形，且2AB BC ==，三棱锥的高为1．再由棱锥体积公式求解． 【详解】由三视图还原原几何体，如图所示，该几何体为三棱锥，底面ABC ∆是等腰直角三角形，且2AB BC ==，三棱锥的高为1． ∴该三棱锥的体积112221323V =⨯⨯⨯⨯=． 故选B ．【点睛】本题考查了几何体的三视图及体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线，求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解． 4．B 【解析】 【分析】利用象限角的定义直接求解，即可得到答案． 【详解】由题意，1791801︒︒︒=-，所以179︒表示第二象限角，故选B ． 【点睛】本题主要考查了角所在象限的判断，考查象限角的定义等基础知识，考查了推理能力与计算能力，是基础题． 5．D 【解析】【分析】将复数化为()1111cos sin z r i θθ=+的形式，再利用棣莫弗定理解得答案. 【详解】()1010101022202013132(cos sin )2(cos sin )2()5125123333322i i i i i ππππ⎛⎫-+=+=+=-+=-+ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查复数的计算，意在考查学生的阅读能力，解决问题的能力和计算能力. 6．D 【解析】试题分析：由题意可知，所研究平面的法向量垂直于向量(2,1,1)a =r ，和向量PM u u u u r， 而PM u u u u r=（1，2，3）-（1，0，-1）=（0，2，4），选项A ，（2，1，1）⋅（1，-4，2）=0，（0，2，4）⋅（1，-4，2）=0满足垂直，故正确； 选项B ，（2，1，1）⋅（14，-1，12）=0，（0，2，4）⋅（14，-1，12）=0满足垂直，故正确； 选项C ，（2，1，1）⋅（-14，1，−12）=0，（0，2，4）⋅（-14，1，−12）=0满足垂直，故正确； 选项D ，（2，1，1）⋅（0，-1，1）=0，但（0，2，4）⋅（0，-1，1）≠0，故错误． 考点：平面的法向量 7．D 【解析】试题分析：由于甲地总体均值为，中位数为，即中间两个数（第天）人数的平均数为，因此后面的人数可以大于，故甲地不符合.乙地中总体均值为，因此这天的感染人数总数为，又由于方差大于，故这天中不可能每天都是，可以有一天大于，故乙地不符合，丙地中中位数为，众数为，出现的最多，并且可以出现，故丙地不符合，故丁地符合. 考点：众数、中位数、平均数、方差 8．C 【解析】 【分析】本题是一个等可能事件的概率，从正方体中任选四个顶点的选法是48C ，四个面都是直角三角形的三棱锥有4×6个，根据古典概型的概率公式进行求解即可求得． 【详解】由题意知本题是一个等可能事件的概率，从长方体中任选四个顶点的选法是4870C =，以A 为顶点的四个面都是直角三角形的三棱锥有：111111111111,,,,,A A D C A A B C A BB C A BCC A DCC DD C A ------共6个．同理以1111,,,,,,B C D A B C D 为顶点的也各有6个， 但是，所有列举的三棱锥均出现2次，∴四个面都是直角三角形的三棱锥有186242⨯⨯=个， ∴所求的概率是24127035= 故选：C ． 【点睛】本题主要考查了古典概型问题，解题关键是掌握将问题转化为从正方体中任选四个顶点问题，考查了分析能力和计算能力，属于中档题. 9．C 【解析】 【分析】分别找到特例，说明A ，B ，D 三个选项不成立，从而得到答案. 【详解】因为a b >，所以当2c =0时，得到22ac bc =，故A 项错误； 当0a b >>，得到22a b <，故B 项错误； 当0,0a b ><时，满足a b >，但110a b>>，故D 项错误； 所以正确答案为C 项. 【点睛】本题考查不等式的性质，通过列举反例，排除法得到答案，属于简单题. 10．B 【解析】 【分析】利用最小二乘法做出线性回归直线的方程的系数，写出回归直线的方程，得到结果． 【详解】 由题意，b=22222210078102801088411488116905108841001021081141165108⨯+⨯+⨯+⨯+⨯-⨯⨯++++-⨯=0.72，a=84﹣0.72×108=6.24， ∴y $=0.72x+6.24， 故选：B ． 【点睛】本题主要考查线性回归方程，属于难题.求回归直线方程的步骤：①依据样本数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关关系；②计算211,,,n ni i i i i x y x x y ==∑∑的值；③计算回归系数ˆˆ,ab ；④写出回归直线方程为ˆˆˆybx a =+； 回归直线过样本点中心(),x y 是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势. 11．D 【解析】 【分析】首先求函数()g x ，再求函数的单调递增区间，区间,66ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数单调递增区间的子集，建立不等关系求ϕ的取值范围. 【详解】()()sin 23g x x πϕ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦,令2222232k x k ππππϕπ-+≤-+≤+解得51212k x k ππϕπϕπ-++≤≤++ ，k Z ∈ 若()g x 在,66ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增， 126{5126k k ππϕπππϕπ++≥-++≤- ,解得：124k k πππϕπ-≤≤- ()0,ϕπ∈Q0k ∴=时，124ππϕ≤≤.故选D.【点睛】本题考查了三角函数的性质和平移变换，属于中档题型. 12．B 【解析】 【分析】先对函数求导，令导函数等于0，2()xf x e ax a =--在R 上有小于0的极值点等价于导函数有小于0的根． 【详解】由()2()xxf x e ax a f x e a =--⇒=-'因为2()x f x e ax a =--在R 上有小于0的极值点，所以()0xf x e a ='-=有小于0的根，由xy e =的图像如图：可知()0xf x e a ='-=有小于0的根需要01a <<，所以选择B【点睛】本题主要考查了利用导数判断函数极值的问题．属于基础题． 二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．-5 【解析】作可行域,则直线z=x+3y 过点A(1,-2)取最小值-5点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得. 1423+【解析】分析：通过椭圆与双曲线的定义，用a 和m 表示出12PF PF 、的长度，根据余弦定理建立a m c 、、 的关系式22234a m c +=；根据离心率的定义c e a = 表示出两个离心率的平方和，利用基本不等式即可求得最小值。
宜昌市名校2020年新高考高二数学下学期期末联考试题
【解析】
【分析】
全部用 表示，联立方程组，解出
【详解】
【点睛】
本题考查等差数列的基本量计算，属于基础题。
12．B
【解析】
【分析】
根据组合数的公式，列出方程，求出 的值即可．
【详解】
∵ ，
∴ ，或 ，
解得 （不合题意，舍去），或 ；
∴ 的值是1．
故选：B．
【点睛】
本题考查了组合数公式的应用问题，是基础题目．
（2）根据频率分布直方图，求出成绩合格的频率，即可得出结果；
（3）根据每组的中间值乘以该组的频率，再求和，即可得出平均值.
【详解】
（1）因为在 内有10人，考试成绩在 的频率为 ，
所以 ；
又由频率分布直方图可得： ，
解得： ；
（2）由频率分布直方图可得：化学成绩合格的频率为 ，
因此，化学成绩合格（不低于60分）的人数为 ；
3．B
【解析】
分析：易得到fn（x）表达式以8为周期，呈周期性变化，由于2018÷8余2，故f2008（x）= f2（x），进而得到答案
详解：∵f0（x）=ex（cosx+sinx），
∴f0′（x）=ex（cosx+sinx）+ex（﹣sinx+cosx）=2excosx，
∴f1（x）= = excosx，
15．
【解析】
【分析】
在正数数列 中，由点 在直线 上，知 ，所以 ，得到数列 是首项为1，公比为2的等比数列，由此能求出前n项和 ，得到答案．
【详解】
由题意，在正数数列 中， ，且 在直线 上，
可得 ，所以 ，
即 ，
因为 ，所以数列 表示首项为1，公比为2的等比数列，
宜昌市名校2019-2020学年数学高二第二学期期末联考试题含解析
宜昌市名校2019-2020学年数学高二第二学期期末联考试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．如图是函数()y f x =的导函数()'y f x =的图象,则下列说法正确的是( )A ．x a =是函数()y f x =的极小值点B ．当x a =-或x b =时,函数()f x 的值为0C ．函数()y f x =关于点()0,c 对称D ．函数()y f x =在(),b +∞上是增函数2． “十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于同一个常数．若第一个单音的频率为f ，第三个单音的频率为62f ，则第十个单音的频率为（ ） A ．22fB ．432fC ．322fD ．652f3．如图，向量OZ 对应的复数为Z ，则复数2z的共轭复数是（ ）A ．1i +B ．1i -C ．1i -+D ．1i --4．已知命题：①函数2(11)x y x =-≤≤的值域是1[,2]2； ②为了得到函数sin(2)3y x π=-的图象，只需把函数sin 2y x =图象上的所有点向右平移3π个单位长度；③当0n =或1n =时，幂函数ny x =的图象都是一条直线；④已知函数2log ,02()12,22x x f x x x ⎧<≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若,,a b c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，则abc 的取值范围是(2,4).其中正确的命题个数为（ ） A ．4B ．3C ．2D ．15．若m 是小于10的正整数，则()()()151620m m m ---等于（ ）A ．515m P -B ．1520mm P --C ．520m P - D ．620m P -6．已知空间三条直线.l m n 、、若l 与m 异面,且l 与n 异面,则（ ） A ．m 与n 异面. B ．m 与n 相交.C ．m 与n 平行.D ．m 与n 异面、相交、平行均有可能.7．已知定义在[]1,25a a --上的偶函数()f x 在[]0,25a -上单调递增，则函数()f x 的解析式 不可能是( )A ．2()f x x a =+B ．()log (||2)a f x x =+C ．()a f x x D ．()x f x a =-8．某物体的位移s （米）与时间t （秒）的关系为2s t t =-，则该物体在2t =时的瞬时速度是（ ） A ．2米/秒B ．3米/秒C ．5米/秒D ．6米/秒9． “读整本的书”是叶圣陶语文教育思想的重要组成部分，整本书阅读能够扩大阅读空间。
2020年宜昌市名校数学高二第二学期期末达标检测试题含解析
2020年宜昌市名校数学高二第二学期期末达标检测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．已知{|12}A x x =-<<，2{|20}B x x x =+<，则A B =I A ．(1,0)- B ．(0,2)C ．(2,0)-D ．(2,2)-【答案】A 【解析】{|12},A x x =-<<2 {|20}B x x x =+<{|20},x x A B =-<<⋂ {|10}x x =-<<(1,0)=-，故选A.2．一个样本数据从小到大的顺序排列为12，15，20，x ，23，28，30，50，其中，中位数为22，则x =（ ） A ．21 B ．15C ．22D ．35【答案】A 【解析】 【分析】数据的个数为偶数个，则中位数为中间两个数的平均数. 【详解】因为数据有8个，所以中位数为：23222x +=，所以解得：21x =， 故选：A. 【点睛】本题考查中位数的计算问题，难度较易.当一组数据的个数为偶数时（从小到大排列），中位数等于中间两个数的平均数；当一组数据的个数为奇数时（从小到大排列），中位数等于中间位置的那个数. 3．若函数()2ln f x ax x x =+-存在增区间，则实数a 的取值范围为（ ）A ．1,4⎛⎫-∞-⎪⎝⎭B ．1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C ．1,8⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D ．1,8⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】先假设函数()f x 不存在增区间，则()f x 单调递减，利用()f x 的导数恒小于零列不等式，将不等式分离常数后，利用配方法求得常数a 的取值范围，再取这个取值范围的补集，求得题目所求实数a 的取值范围. 【详解】若函数()f x 不存在增区间，则函数()f x 单调递减， 此时()1210f x ax x'=+-≤在区间()0,∞+恒成立， 可得2112a x x ≤-，则22111111244x x x ⎛⎫-=--≥- ⎪⎝⎭，可得18a ≤-，故函数存在增区间时实数a 的取值范围为1,8⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭．故选C. 【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查不等式恒成立问题的求解策略，属于中档题. 4．下列关于“频率”和“概率”的说法中正确的是（ ） （1）在大量随机试验中，事件A 出现的频率与其概率很接近； （2）概率可以作为当实验次数无限增大时频率的极限； （3）计算频率通常是为了估计概率． A ．（1）（2） B ．（1）（3）C ．（2）（3）D ．（1）（2）（3）【答案】D 【解析】 【分析】利用频率和概率的定义分析判断得解. 【详解】（1）在大量随机试验中，事件A 出现的频率与其他概率很接近，所以该命题是真命题； （2）概率可以作为当实验次数无限增大时频率的极限，所以该命题是真命题； （3）计算频率通常是为了估计概率，所以该命题是真命题. 故选D 【点睛】本题主要考查频率和概率的关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.5．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>过2)A ，(2)B -两点，点P 为该双曲线上除点A ，B 外的任意一点，直线PA ，PB 斜率之积为4，则双曲线的方程是（ ）A ．22134x y -=B ．22148x y -=C ．22136x y -=D ．221520x y -=【答案】D 【解析】分析：根据两条直线斜率之积为定值，设出动点P 的坐标，即可确定解析式。
2019-2020学年宜昌市名校数学高二第二学期期末联考试题含解析
2019-2020学年宜昌市名校数学高二第二学期期末联考试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．下列四个不等式：①log 10lg 2(1)x x x +>…；②a b a b -<+；③2(0)b aab a b+≠…；④121x x -+-≥，其中恒成立的个数是( ) A ．1B ．2C ．3D ．42．中国古代儒家要求学生掌握六种基本才艺：礼、乐、射、御、书、数，简称“六艺”,某高中学校为弘扬“六艺”的传统文化，分别进行了主题为“礼、乐、射、御、书、数”六场传统文化知识竞赛，现有甲、乙、丙三位选手进入了前三名的最后角逐,规定：每场知识竞赛前三名的得分都分别为,,a b c ()a b c >>且,,a b c N *∈；选手最后得分为各场得分之和，在六场比赛后，已知甲最后得分为26分，乙和丙最后得分都是11分，且乙在其中一场比赛中获得第一名，下列说法正确的是( ) A ．乙有四场比赛获得第三名 B ．每场比赛第一名得分a 为4 C ．甲可能有一场比赛获得第二名 D ．丙可能有一场比赛获得第一名3．设随机变量，且，则实数a 的值为A ．10B ．8C ．6D ．44．函数在上不单调，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．5．如图所示，给出了样本容量均为7的A 、B 两组样本数据的散点图，已知A 组样本数据的相关系数为r 1，B 组数据的相关系数为r 2，则（ ）A ．r 1＝r 2B ．r 1<r 2C ．r 1>r 2D ．无法判定6．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为“鳖臑”.那么从长方体八个顶点中任取四个顶点，则这四个顶点组成的几何体是“鳖臑”的概率为（ ） A 4B 6C 12D 187．已知函数()21,1254,12xx f x x x x ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎪-+->⎪⎩，若函数()()g x f x mx m =--的图象与x 轴的交点个数不少于2个，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(]1,2ln2,6304⎡⎤-∞-⋃-⎢⎥⎣⎦B ．1,6304⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．(]1,2ln2,6304e ⎡⎤-∞-⋃-⎢⎥⎣⎦D ．1,6304⎡⎤+⎢⎥⎣⎦8．现有5人参加抽奖活动，每人依次从装有5张奖票（其中3张为中奖票）的箱子中不放回地随机抽取一张，直到3张中奖票都被抽出时活动结束，则活动恰好在第4人抽完后结束的概率为（ ） A ．B ．C ．D ．9．若样本数据1210,,,x x x ⋅⋅⋅的均值与方差分别为x 和2s ，则数据121010,10,,10x x x ++⋅⋅⋅+的均值与方差分别为（ ） A ．x ，210s +B ．210,10x s ++C ．2,x sD ．210,x s +10．在一次投篮训练中，某队员连续投篮两次.设命题p 是“第一次投中”，q 是“第二次投中”，则命题“两次都没有投中目标”可表示为 A ．p q ∧ B ．()()p q ⌝∨⌝ C ．()p q ⌝∧D ．()()p q ⌝∧⌝ 11．等差数列中的是函数的两个极值点，则（ ）A ．5B ．4C ．3D ．212．已知函数()3cos(2)2f x x π=+，若对于任意的x ∈R ，都有12()()()f x f x f x 剟成立，则12x x -的最小值为（ ） A ．4B ．1C ．12D ．2二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．某地区共有4所普通高中，这4所普通高中参加2018年高考的考生人数如下表所示： 学校 A 高中B 高中C 高中D 高中参考人数80012001000600现用分层抽样的方法在这4所普通高中抽取144人，则应在D 高中中抽取的学生人数为_______．于点B ，若2AB BF =，则圆A 截线段AF 的垂直平分线所得弦长为7，则p =______．15．将参数方程214x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）化成普通方程为__________.16．已知关于x 的不等式2320ax ax a ++-<的解集为R ，则实数a 的取值范围 ． 三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形， PA ⊥底面ABCD ， M 是棱PD 的中点，且2,22PA AB AC BC ====.（1）求证： CD ⊥平面PAC ；（2）如果N 是棱AB 上一点，且直线CN 与平面MAB 10,求ANNB的值. 18．设()ln f x a x bx b =+-，()x exg x e=，其中a ，b R ∈． (Ⅰ)求()g x 的极大值；(Ⅱ)设1b =，0a >，若()()()()212111f x f xg x g x -<-对任意的1x ，[]()2123,4x x x ∈≠恒成立，求a 的最大值；(Ⅲ)设2a =-，若对任意给定的(]00,x e ∈，在区间(]0,e 上总存在s ，()t s t ≠，使()()()0f s f t g x ==成立，求b 的取值范围．19．（6分）某企业是否支持进军新的区域市场，在全体员工中进行了抽样调查，调查结果如下表所示：支持进军新的区城市场不支持进军新的区域市场合计老员工（入职8年以上） 50 20 70新员工（入职不超过8年） 10 20 30（Ⅰ）根据表中数据，问是否有99%的把握认为“新员工和老员工是否支持进军新的区域市场有差异”； （Ⅱ）已知在被调查的新员工中有6名来自市场部，其中2名支持进军新的区域市场，现在从这6人中随机抽取3人，设其中支持进军新的区域市场人数为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望.附：()21122122121212n n n n n x n n n n ++++-=20．（6分）在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换123x x y y⎧=⎪⎨⎪='⎩'后，曲线22:914x C y +=变为曲线C '，过点(0,且倾斜角为α的直线l 与C '交于,A B 不同的两点. （1）求曲线C '的普通方程；（2）求AB 的中点P 的轨迹的参数方程（以α为参数）. 21．（6分）已知数列{}n a 中，11a =，136nn na a a +=-. （1）写出234,,a a a 的值，猜想数列{}n a 的通项公式； （2）用数学归纳法证明（1）中你的结论. 22．（8分）（本小题满分12分）已知0a ≥，函数()()22xf x x ax e =-+．（I ）当x 为何值时， ()f x 取得最大值？证明你的结论； （II ） 设()f x 在[]1,1-上是单调函数，求a 的取值范围；（III ）设()()21xg x x e =-，当1x ≥时， ()()f x g x ≤恒成立，求a 的取值范围．参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．C【分析】依次判断每个选项的正误，得到答案. 【详解】 ①1log 10lg lg 2(1)lg x x x x x+=+>…，当10x =时等号成立，正确 ②a b a b -<+，0b =时不成立，错误③，a b =时等号成立.正确④12(1)(2)1x x x x -+-≥---=，12x ≤≤时等号成立，正确 故答案选C 【点睛】本题考查了不等式性质，绝对值不等式，均值不等式，综合性较强，是不等式的常考题型. 2．A 【解析】 【分析】先计算总分，推断出5a =，再根据正整数把,,a b c 计算出来，最后推断出每个人的得分情况，得到答案. 【详解】由题可知()626111148a b c ++⨯=++=,且,,a b c 都是正整数=8a b c ++当4a ≤时，甲最多可以得到24分，不符合题意 当6a ≥时，2b c +≤，不满足 推断出，a=5, b=2, c=1 最后得出结论:甲5个项目得第一,1个项目得第三乙1个项目得第一,1个项目得第二，4个项目得第三 丙5个项目得第二,1个项目得第三, 所以A 选项是正确的. 【点睛】本题考查了逻辑推理,通过大小关系首先确定a 的值是解题的关键,意在考查学生的逻辑推断能力. 3．D根据随机变量符合正态分布，从表达式上看出正态曲线关于对称，得到对称区间的数据对应的概率是相等的，根据两个区间的概率相等，得到这两个区间关于对称，从而得到结果．【详解】随机变量，正态曲线关于对称，，与关于对称，，解得，故选D．【点睛】本题主要考查正态曲线的对称性，考查对称区间的概率的相等的性质，是一个基础题．正态曲线的常见性质有：（1）正态曲线关于对称，且越大图象越靠近右边，越小图象越靠近左边；（2）边越小图象越“痩长”，边越大图象越“矮胖”;(3)正态分布区间上的概率，关于对称，.4．D【解析】【分析】函数在上不单调，即在内有极值点，由，结合二次函数的性质，即可求出实数的取值范围.【详解】，函数在上不单调，即在内有极值点，因为，且，所以有，即，解得.故答案为D.【点睛】本题考查了函数的单调性，考查了二次函数的性质，考查了学生分析问题与解决问题的能力，属于中档题. 5．C利用“散点图越接近某一条直线线性相关性越强，相关系数的绝对值越大”判断即可. 【详解】根据,A B 两组样本数据的散点图知，A 组样本数据几乎在一条直线上，且成正相关，∴相关系数为1r 应最接近1，B 组数据分散在一条直线附近，也成正相关， ∴相关系数为2r ，满足21r r <，即12r r >，故选C ． 【点睛】本题主要考查散点图与线性相关的的关系，属于中档题.判断线性相关的主要方法：（1）散点图（越接近直线，相关性越强）；（2）相关系数（绝对值越大，相关性越强）. 6．C 【解析】 【分析】本题是一个等可能事件的概率，从正方体中任选四个顶点的选法是48C ，四个面都是直角三角形的三棱锥有4×6个，根据古典概型的概率公式进行求解即可求得． 【详解】由题意知本题是一个等可能事件的概率，从长方体中任选四个顶点的选法是4870C =，以A 为顶点的四个面都是直角三角形的三棱锥有：111111111111,,,,,A A D C A A B C A BB C A BCC A DCC DD C A ------共6个．同理以1111,,,,,,B C D A B C D 为顶点的也各有6个， 但是，所有列举的三棱锥均出现2次，∴四个面都是直角三角形的三棱锥有186242⨯⨯=个， ∴所求的概率是24127035= 故选：C ．能力和计算能力，属于中档题. 7．C 【解析】分析：根据()()g x f x mx m =--的图象与x 轴的交点个数不少于2个，可得函数()f x 的图象与y mx m =+的交点个数不少于2个，在同一坐标系中画出两个函数图象，结合图象即可得到m 的取值范围.详解：Q ()()g x f x mx m =--的图象与x 轴的交点个数不少于2个，∴函数()y f x =的图象与函数y mx m =+的图象的交点个数不少于2个，Q 函数()21,1254,12xx f x x x x ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎪-+->⎪⎩，∴1x ≤时，函数()f x 为指数函数，过点(0,1)，1(1,)2A1x >时，函数23()(2)2f x x =--+，为对称轴2x =，开口向下的二次函数.Q (1)y mx m m x =+=+，∴y mx m =+为过定点(1,0)-的一条直线.在同一坐标系中，画出两函数图象，如图所示. （1）当0m ≥时，①当y mx m =+过点1(1,)2A 时，两函数图象有两个交点，将点1(1,)2A 代入直线方程12m m =+，解得14m =.②当y mx m =+与25()42f x x x =-+-相切时，两函数图象有两个交点.联立2542y mx my x x =+⎧⎪⎨=-+-⎪⎩，整理得25(4)()02x m x m +-++= 则25(4)4()02m m ∆=--+=，解得6m =6m =如图当1[,64m ∈+，两函数图象的交点个数不少于2个. （2）当0m <时，易得直线y mx m =+与函数25()4(1)2f x x x x =-+->必有一个交点 如图当直线y mx m =+与1()(1)xf x x ⎛⎫=≤ ⎪相切时有另一个交点设切点为1 (,())2t t，Q1'()ln2()2xf x=-⋅，∴切线的斜率1'()ln2()2tk f t==-⋅，切线方程为11ln2()()22tty x t⎛⎫-=-⋅-⎪⎝⎭Q切线与直线y mx m=+重合，即点(1,0)-在切线上.∴110ln2(1)221ln22t tttm⎧⎛⎫⎛⎫-=---⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎩，解得21log2ln2t em e=--⎧⎨=-⎩由图可知，当(,2ln2]m e∈-∞-,两函数图象的交点个数不少于2个.综上，实数m的取值范围是1(,2ln2][,630]4e-∞-⋃+故选C.点睛：本题考查函数零点问题，考查数形结合思想、转化思想及分类讨论的思想，具有一定的难度. 利用函数零点的情况，求参数值或取值范围的方法（1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解（2）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.8．C【解析】试题分析：将5张奖票不放回地依次取出共有55120A=种不同的取法，若活动恰好在第四次抽奖结束，则前三次共抽到2张中奖票，第四次抽到最后一张中奖票．共有211321336A A A=种取法，∴36312010P==考点：古典概型及其概率计算公式9．D直接根据均值和方差的定义求解即可． 【详解】解：由题意有，121010x x x x ++⋅⋅⋅+=，则12101010101010x x x x ++++⋅⋅⋅++=+， ∴新数据的方差是2221s s ⨯=， 故选：D ． 【点睛】本题主要考查均值和方差的求法，属于基础题． 10．D 【解析】分析：结合课本知识点命题的否定和“且”联结的命题表示来解答 详解：Q 命题p 是“第一次投中”，则命题p ⌝是“第一次没投中” 同理可得命题q ⌝是“第二次没投中”则命题“两次都没有投中目标”可表示为()()p q ⌝∧⌝ 故选D点睛：本题主要考查了p ⌝，q ⌝以及p q ∧的概念，并理解()()p q ⌝∨⌝为真时，p ⌝，q ⌝中至少有一个为真。
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宜昌市名校2020年高二(下)数学期末学业水平测试试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．函数()()3xf x x e =- 的单调递增区间是（ ）A ．(),2-∞-B ．()2,+∞C ．(1,4)D ．(0,3)2．箱子中有标号为1，2，3，4，5，6且大小、形状完全相同的6个球，从箱子中一次摸出两个球，记下号码并放回，如果两球号码之积是4的倍数，则获奖．若有4人参与摸奖，则恰好有3人获奖的概率为( ) A ．B ．C ．D ．3．四大名著是中国文学史上的经典作品，是世界宝贵的文化遗产.在某学校举行的“文学名著阅读月”活动中，甲、乙、丙、丁、戊五名同学相约去学校图书室借阅四大名著《红楼梦》、《三国演义》、《水浒传》、《西游记》（每种名著至少有5本），若每人只借阅一本名著，则不同的借阅方案种数为（ ） A ．54B ．45C ．·45CD ．45A4．设有下面四个命题1:p 若1x >，则0.30.3x >；2:p 若()~4,0.3X B ，则()0.84D X =； 3:p 若ln 1x x +>，则1x >；4:p 若()2~3,X N σ，则()()25P X P X <>>.其中真命题的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．45．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，顶点P 在底面的射影是底面的中心，且各顶点都在同一球面上，11，体积为4，且四棱锥的高为整数，则此球的半径等于（ ）（参考公式：()3322()a b a b a ab b -=-++）A ．2B ．116 C ．4D ．1136． “3<<7m ”是“方程22173x y m m +=--的曲线是椭圆”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件7．《中国诗词大会》（第二季）亮点颇多，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味．若《将进酒》《山居秋暝》《望岳《送杜少府之任蜀州》和另确定的两首诗词排在后六场，且《将进酒》排在《望岳》的前面，《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻且均不排在最后，则后六场的排法有（ ）A ．288种B ．144种C ．720种D ．360种8．某市践行“干部村村行”活动，现有3名干部甲、乙、丙可供选派，下乡到5个村蹲点指导工作，每个村至少有1名干部，每个干部至多住3个村，则干部甲住3个村的概率为 ( ) A ．215B ．415C ．25D ．359．设随机变量X ～B （n ，p ），且E （X ）＝1.6，D （X ）＝1.28，则 A ．n ＝8，p ＝0.2B ．n ＝4，p ＝0.4C ．n ＝5，p ＝0.32D ．n ＝7，p ＝0.4510．已知i 是虚数单位，则11z i=-在复平面内对应的点位于 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限11．在等比数列{}n a中，若2a，3a =，则115721a a a a +=+A ．12B ．23C ．32D ．212．已知e 为自然对数的底数，则函数x y xe =的单调递增区间是（ ） A ．[)1,-+∞B ．(],1-∞-C ．[)1,+∞D ．(],1-∞二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．81x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中21x 的系数为______. 14．现在“微信抢红包”异常火爆．在某个微信群某次进行的抢红包活动中，若所发红包的总金额9元，被随机分配为1.49元，1.31元，2.19元，3.40元，0.61元，共5份，供甲、乙等5人抢，每人只能抢一次，则甲、乙二人抢到的金额之和不低于5元的概率是__________． 15．已知复数21iz i=-，则复数z 的实部和虚部之和为______. 16．设()f x 是定义在R 上的周期为2的函数，当[1,1)x ?时，242,10,(),01,x x f x x x ⎧-+-≤<=⎨≤<⎩则3()2f =__________． 三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．设函数32()3()121x ex a e x ax ϕ=-+++ ，其中实数,a e e < 是自然对数的底数. (1)若()x ϕ 在(0,3) 上无极值点，求a 的值；(2)若存在0(0,3)x ∈ ，使得0()x ϕ 是()x ϕ 在[0,3] 上的最大或最小值，求a 的取值范围. 18．已知函数()ln(1)f x x ax =+-在12x =-处的切线的斜率为1．(1)求a 的值及()f x 的最大值； (2)用数学归纳法证明：()*1111ln(1)23n n N n+++⋯+>+∈ 19．（6分）网购是现在比较流行的一种购物方式，现随机调查50名个人收入不同的消费者是否喜欢网购，调杳结果表明：在喜欢网购的25人中有19人是低收入的人，另外6人是高收入的人，在不喜欢网购的25人中有8人是低收入的人，另外17人是高收入的人.（1）试根据以上数据完成22⨯列联表，并用独立性检验的思想，指出有多大把握认为是否喜欢网购与个人收入高低有关系；（2）将5名喜欢网购的消费者编号为1、2、3、4、5，将5名不喜欢网购的消费者编号也记作1、2、3、4、5，从这两组人中各任选一人讲行交流，求被选出的2人的编号之和为2的倍数的概率.参考公式：22112212211212()n n n n n n n n n χ++++-=参考数据：20．（6分）已知复数()3z bi b R =+∈，且()13i z +⋅为纯虚数，求1zi+.（其中i 为虚数单位） 21．（6分）已知函数()2ln 23f x x x ax x a =-+-.（1）当1a =时，求函数()f x 的极大值点；（2）当0x >时，不等式()0f x ≤恒成立，求整数a 的最小值. 22．（8分）设函数()22f x x x m =++-. （1）当1m =时，解不等式()3f x x ≤+；（2）若存在实数x ，使得不等式()3f x m x ≤+-成立，求实数m 的取值范围.参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．B 【解析】 【分析】求出函数()y f x =的导数，在解出不等式()0f x '>可得出所求函数的单调递增区间. 【详解】()()3x f x x e =-Q ，()()2x f x x e '∴=-，解不等式()0f x '>，解得2x >，因此，函数()()3xf x x e =-的单调递增区间是()2,+∞，故选B.【点睛】本题考查函数单调区间的求解，一般是先求出导数，然后解出导数不等式，将解集与定义域取交集得出单调区间，但单调区间不能合并，考查计算能力，属于中等题. 2．B 【解析】 获奖的概率为，记获奖的人数为 ，，所以4人中恰好有3人获奖的概率为，故选B.3．A 【解析】 【分析】通过分析每人有4种借阅可能，即可得到答案. 【详解】对于甲来说，有4种借阅可能，同理每人都有4种借阅可能，根据乘法原理，故共 有54种可能，答案为A. 【点睛】本题主要考查乘法分步原理，难度不大. 4．C 【解析】分析：对四个命题逐一分析即可.详解：对1:p 若1x >，则0.30.3x <，故1p 不正确；对2:p 若()~4,0.3X B ，则()()10.84D X np p =-=，故2p 正确； 对3:p 若ln 1x x +>，则1x >，故3p 正确；对4:p 若()2~3,X N σ，对称轴为3x =，则()()25P X P X <>>，故4p 正确.故选：C.点睛：本题考查了命题真假的判断，是基础题. 5．B 【解析】 【分析】如图所示，设底面正方形ABCD 的中心为'O ，正四棱锥P ABCD -的外接球的球心为O ，半径为R .则在'Rt PO D ∆中，有221112a h +=，再根据体积为4可求3h =及2a =，在'Rt OO D ∆中，有222(3)(2)R R -+=，解出R 后可得正确的选项.【详解】如图所示，设底面正方形ABCD 的中心为'O ，正四棱锥P ABCD -的外接球的球心为O ，半径为R .设底面正方形ABCD 的边长为a ，正四棱锥的高为()*h h ∈N，则2O D '=. 11222112a h ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭221112a h +=……① 又因为正四棱锥的体积为4，所以2143a h =• ……②由①得()22211a h=-，代入②得31160hh -+=，配凑得32711330h h --+=，()2(3)3911(3)0h h h h -++--=，即()2(3)320h h h -+-=，得30h -=或2h +320h -=.因为*h ∈N ，所以3h =，再将3h =代入①中，解得2a =，所以2O D a '==，所以OO PO '='-3PO R =-. 在Rt OO D ∆'中，由勾股定理，得222OO O D OD '+'=，即222(3)R R -+=，解得116R =，所以此球的半径等于116.故选B. 【点睛】正棱锥中，棱锥的高、斜高、侧棱和底面外接圆的半径可构成四个直角三角形，它们沟通了棱锥各个几何量之间的关系，解题中注意利用它们实现不同几何量之间的联系. 6．B 【解析】方程22173x ym m +=--的曲线是椭圆，故应该满足条件：73303557.70m m m m m m -≠-⎧⎪->⇒<<<<⎨⎪->⎩或 故37m <<”是“方程22173x y m m +=--的曲线是椭圆”的必要不充分条件.故答案为：B. 7．B 【解析】 【分析】根据题意分2步进行分析：①用倍分法分析《将进酒》，《望岳》和另外两首诗词的排法数目；②用插空法分析《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》的排法数目，由分步计数原理计算可得答案 【详解】根据题意分2步进行分析：①将《将进酒》，《望岳》和另外两首诗词的4首诗词全排列，则有4424A =种顺序Q 《将进酒》排在《望岳》的前面，∴这4首诗词的排法有44122A =种②，这4首诗词排好后，不含最后，有4个空位，在4个空位中任选2个，安排《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》，有3412A =种安排方法则后六场的排法有1212144⨯=种 故选B 【点睛】本题考查的是有关限制条件的排列数的问题，第一需要注意先把不相邻的元素找出来，将剩下的排好，这里需要注意定序问题除阶乘，第二需要将不相邻的两个元素进行插空，利用分步计数原理求得结果，注意特殊元素特殊对待。