3 线性控制系统的能控性与能观测性-spzhang

5
第一节 能控性和能观测性的基本概念
举例3
u
b


s
1 x2

s

1
x1 y

上图为系统状态能控的模拟结构图。系统的两个状态变量分 别为x1和x2；
其中：x1和x2均受控于输入量u，因此x1和x2都是可控的； 因此，如上，状态完全可控的系统通常称为状态能控系统。
6
第一节 能控性和能观测性的基本概念
1 2 2 2 4 0 1 Ab 0 1 1 0 1 1 1 1
2 , [解]： b 0 1）构造能控性判别矩阵： 1
1 2 2 4 0 1 0 A2b 0 1 1 0 1 1 1 5
系统1：
系统2：
0 2 7 0 x 0 u x 0 5 0 0 1 0 9 0 0 1 7 0 x 4 0 u x 0 5 0 0 1 0 7 5

s

1
x1
y

s
1
x3

该图为不完全观测系统的模拟图。系统的输出值完全与第 3个状态变量无关。即不能从系统的输出中检测出第3个状 态变量。
9
第二节 线性定常系统的能控性及判据
一、状态能控性定义 二、状态能控性判据 （一）具有标准型状态方程的判据 判据一、判据二、判据三 （二）通过线性变换方法的判据 判据四、 判据五
[解]： rankM rankMMT rank[(B AB An1B)(B AB An1B)T ]
2 rank 1 1 59 rank 49 49 1 3 2 5 4 1 2 2 4 4 1 2 2 4 4
T 3 2 5 4 2 1 1 1 2 2 4 4 1 1 2 2 4 4 49 49 59 49 49 49 42 42 2 3 42 42 rank 42 42 0 0 0
4
第一节 能控性和能观测性的基本概念
举例2
u

s
1
x2

s

1
x1
y

上图为系统状态不完全能控的模拟结构图。系统的两个状 态变量分别为x1和x2；
其中：x1受控于输入量u，因此x1是可控的； x2与输入量u无关，因此x2是不可控的； 因此，如上，状态不完全可控的系统通常称为状态不能控系统。
3
第一节 能控性和能观测性的基本概念
一、能控性的基本概念 系统能控的核心问题是：系统的状态变量能否被控制。 举例1： ut为电路的输入新号，选取电容两端的 + R1 R2 u 电压uc为状态变量,即x = uc c u
-
R3
R4
(1)当R1 R4 R2 R3时，电桥平衡，uc 0；ut 无论如何变化，uc 0；即状态x不可控； (1)当R1 R4 R2 R3时，电桥不平衡，uc 0， 且uc随ut的变化而变化，因此状态x可控
0 t
当初始状态为x(0)，输入u=0时： y ce At x(0) x1 (0) x2 (0) e 3t
输出y表明，它只与状态间的误差值有关，也就是说， 并不能从系统的输出值中确定出各个状态值，因此电路是 不可观测的。
8
第一节 能控性和能观测性的基本概念
举例
u

s
1
x2

系统2：
0 0 b u 1 0 x 2 0 2 b3 1 0 b11 b12 0 0 u 1 0 x 0 2 b31 0 1
根据判据二：系统1能控；系统2不能控；
16
第二节 线性定常系统的能控性及判据
2 4 0 2）求能控性判别矩阵的秩：rankM rank0 1 0 3 1 1 5
故系统的状态完全可控
22
[例] 判别如下线性连续定常系统的能控性
1 1 3 2 x1 2 1 x u x 2 0 2 0 x2 1 1 1 u 2 x 0 1 3 x 1 1 3 3
12
第二节 线性定常系统的能控性及判据
（一）具有标准型状态方程的判据
判据一：若系统矩阵A对对角线型 且特征值互不相同，即
则系统状态能控的充分必要条件是： 对于单输入-单输出系统，输入矩阵b没有零元素；对于
多输入-多输出系统，输入矩阵B无全零行。
13
第二节 线性定常系统的能控性及判据
例3-1 如下两个线性定常系统，判断其能控性
1 et e 3t e t 3t 2 e e
At
e t e 3t e t e3t
t At
状态方程的解为：x e x(0) e A(t )bu (t )d
0
7
第一节 能控性和能观测性的基本概念
于是，系统输出为： y cx ce At x(0) c e A(t )bu (t )d
态 x(t f ) ，则称此状态是能控的。如果系统的所有状态都是能 控的，则称系统是状态完全能控的。简称“系统是能控的”。 若其中有一个状态不可控，就称系统是不能控的。
11
第二节 线性定常系统的能控性及判据
说明： （1）若初始状态为状态空间原点，控制的目标是状态空间 中的任一终端状态，常称系统是状态能达的。对于线性 定常连续系统，系统的能控性和能达性是等价的。 （2）常假定初始时刻t0=0,初始状态的坐标点在状态空间中 的x(0)，而终端状态指定为坐标的原点x(tf)=0。如果控制 的终端目标不在坐标原点，完全可以通过坐标平移，使 其在新的坐标系下处在坐标原点上，这不会影响结果的 正确性。
19
第二节 线性定常系统的能控性及判据
判据五：若系统矩阵A的特征值有相异也有相同时，一定可 x Tz 以选取一变换矩阵T，并令 ，使系统矩阵A变换成约 当矩阵J，变换后的状态方程为：
z Jz T 1 Bu
则系统状态能控的充分必要条件是： 1） 控制矩阵 T 1 B 中对应于互异特征值的部分，它的各行元 素，没有全为0的。 2）控制矩阵 T 1 B 中对应于相同特征值的部分，它与每个约当 块最后一行相对应的一行元素，没有全为0的。
故系统状态不完全能控。
23
第二节 线性定常系统的能控性及判据
例3-4 设系统状态方程如下，若要求系统状态可控，试求 a,b的值。
0 1 1 x x u 1 a b
解：构造能控性矩阵 令：
b 1 M (b Ab) b ab 1

20
第二节 线性定常系统的能控性及判据
（三）“能控性矩阵秩”判据
判据六：设n阶系统状态方程：
x Ax Bu
则系统状态能控的充分必要条件是，由A和B构成的能控性 rankM n 。当 rankM n 矩阵M满秩，即 时，系统状态不 能控。 M ( B, AB, A2 B, An1B)
二、能观测性的基本概念
系统能观测的核心问题是：系统的状态变量能否从输出 在该RL电路中，若选取两个电感上的电流i1和i2分别 量中检测出来。
1H 1
作为状态变量x1和x2 , u (t )为输入量，y(t )为输出量。
u
x1 (t )
x2 状态空间描述为：
y(t ) x 2 1 x 1 u; y 1 1 x 1 2 0 系统状态转移矩阵为：

18
第二节 线性定常系统的能控性及判据
判据四：若系统矩阵A的特征值互异为 1 , 2 ,...,n ，通过 线性非奇异变换后，可化为对角线标准型：
0 1 2 z T 1 Bu z 0 n 则系统状态能控的充分必要条件是，控制矩阵T 1 B 的各行没 有0元素；对于多输入—多输出系统，则控制矩阵 T 1 B 的各 行没有全为0的。
则系统状态能控的充分必要条件是： 1）输入矩阵B中对应于互异的特征值的各行，没有一行的元 素全为零。 2）输入矩阵B中与每个约当块最后一行相对应的各行，没有 一行的元素全为零。
15
第二节 线性定常系统的能控性及判据
举例：判断以下两个系统的能控性
系统1： 1 x 0 0 1 x 0 0
判据三：若系统的状态方程是能控标准型，即
1 0 x x 2 0 n a0 x
1
a1
0 x1 0 x 2 u 1 0 an 1 xn 1

21
第二节 线性定常系统的能控性及判据
例3-3 判断如下系统的能控性：
1 1 2 2 x x 2 0 1 1 3 0 1 x 1 x1 2 x 0 u 2 x3 1
第三章
线性控制系统的 能控性与能观测性
1
主要内容
第一节 能控性和能观测性的基本概念 第二节 线性定常系统的能控性及其判据 第三节 线性定常系统的能观测性及其判据 第四节 离散系统的能控性与能观测性 第五节 能控性与能观测性的对偶关系 第六节 能控标准型与能观测标准型
第七节 系统的结构分解
第八节 传递函数阵的实现问题 第九节 能控性和能观测性与传递函数零极点的关系
则系统一定是状态能控的。
17
第二节 线性定常系统的能控性及判据
（二）通过线性变换方法的判据 线性定常连续系统的状态方程式如下：