八年级联赛班— 圆的概念与性质1
初中数学知识归纳圆的概念及性质
初中数学知识归纳圆的概念及性质圆是初中数学中的一个重要概念，它具有独特的性质和应用。
本文将对圆的概念及其性质进行归纳总结，以帮助读者更好地理解和掌握这一数学知识点。
一、圆的定义与基本概念圆是由平面上与一个确定点的距离相等的所有点组成的图形。
这个确定点称为圆心，距离称为半径。
圆可以用符号表示为O(A,r)，其中O为圆心，A为圆上的任意一点，r为半径。
二、圆的性质1. 圆的直径圆上的任意两点连线，经过圆心，则称为圆的直径。
直径的长度是半径的两倍，用符号表示为d=2r。
2. 圆的弦圆上的任意两点连线，不经过圆心，则称为圆的弦。
圆的直径是一条特殊的弦，它同时也是最长的弦。
3. 圆的弧圆上的部分曲线，是由两个弦之间的交点所夹的部分，称为圆的弧。
同一个圆上的两个弧可以互补称为对称弧。
4. 圆的周长圆的周长是圆上所有点与圆心的距离之和，也就是圆的一周的长度。
圆的周长公式为C=2πr，其中π取约等于3.14。
5. 圆的面积圆的面积是圆内部的所有点与圆心的距离之和，也就是圆所围成的区域的大小。
圆的面积公式为A=πr²。
6. 圆的切线与切点从圆外一点引一条直线与圆相交，该直线在圆上的切点和与圆相切的直线称为圆的切线。
7. 圆的切圆两个圆相切于一点，称为圆的切圆。
8. 圆的切线定理如果一条直线与一个圆相切，那么与这条直线相垂直的半径也是与这条直线相切的。
9. 圆的相交性质两个圆相交于两个点，这两个点到各自的圆心的距离相等，且此两点不在任一圆内部。
10. 弧长与弧度圆的弧长是指圆心角所对应的弧的长度。
弧度是表示弧长与半径之比，记作θ，弧度大小等于圆心角大小的弧长除以半径，即θ=弧长/半径。
11. 弧长公式圆的弧长公式为L=θr，其中L表示弧长，θ表示圆心角的大小（弧度制），r表示半径。
12. 扇形的面积公式扇形是由圆心角和半径所夹的弧围成的区域，扇形的面积公式为S=1/2θr²，其中S表示扇形的面积。
8圆的基本概念与性质
圆的基本概念1． 圆的定义：在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 随之旋转所形成的图形叫做圆，其中固定端点O 叫做圆心，OA 叫做半径． 2． 弧与弦：弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦．直径：经过圆心的弦叫做圆的直径，直径等于半径的2倍． 弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距．弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A B 、为端点的圆弧记作AB ，读作弧AB ． 等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆． 优弧、劣弧：大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧． 3． 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
判断题（1）直径是弦 ( ) （2）弦是直径 ( ) （3）半圆是弧 ( ) （4）弧是半圆( ) （5）长度相等的两条弧是等弧 ( ) （6）等弧的长度相等( )（7）两个劣弧之和等于半圆( ) （8）半径相等的两个圆是等圆 ( ) （9）两个半圆是等弧( ) （10）圆的半径是R ，则弦长的取值范围是大于0且不大于2R( )【例1】 如图，点A D G M 、、、在半圆O 上，四边形ABOC DEOF HMNO 、、均为矩形，设BC a =，EF b =，NH c =则下列格式中正确的是( )A ．a b c >>B ．a b c ==C ．c a b >>D ．b c a >>ON MHG FE DCB A【例2】 如图，直线212l l ∥，点A 在直线1l 上，以点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线12l l 、于B 、C 两点，连接AC BC 、．若54ABC ∠=︒，则∠1的大小为________【例3】 如图，ABC ∆内接于O ，84AB AC D ==，，是AB 边上一点，P 是优弧 BAC 的中点，连接PA 、PB 、PC 、PD ，当BD 的长度为多少时，PAD ∆是以AD 为底边的等腰三角形？并加以证明．二 垂径定理及其应用【例4】 如图，AB 是O 的直径，BC 是弦，OD BC ⊥于E ，交弧BC 于D ．（1）请写出五个不同类型的正确结论； （2）若82BC ED ==，，求O 的半径．【例5】 如图，在O 中，120,3AOB AB ∠=︒=，则圆心O 到AB 的距离=_______BAO【例6】 如图，D 内接于O ，D 为线段AB 的中点，延长OD 交O 于点E , 连接,AE BE 则下列五个结论①AB DE ⊥,②AE BE =,③OD DE =,④AEO C ∠=∠,⑤12AB ACB =，正确结论的个数是( )EDCBAA ．2B ．3C ． 4D ．5如图，AB 为O 的直径，CD 为弦, AB CD ⊥,如果70BOC ∠=︒,那么A ∠的大小为（ ）ODCBAA ． 70︒B ． 35︒C ． 30︒D ．20︒【例7】 如图，AB 是O 的在直径，弦CD AB ⊥于点E ，若8CD =，3OE =,则O 的直径为（ ）EO BDCAA ．10B ．12C ．14D ．16【例8】 如图，O 是ABC ∆的外接圆，60BAC ∠=︒，若O 的半径OC 为2，则弦BC 的长为（ ）A ．1B ．3C ．2D ．23【例9】 小英家的圆镜子被打破了，她拿了如图（网格中的每个小正方形边长为1）的一块碎片到玻璃店，配制成形状、大小与原来一致的镜面，则这个镜面的半径是（ ）OCBAA ．2B ．5C ．22D ．3如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O ，直径AB 是河底线，弦CD 是水位线，CD ∥AB ，且CD = 24 m ，OE ⊥CD 于点E ．已测得=∠DOE sin 1213． （1）求半径OD ；（2）根据需要，水面要以每小时0.5m 的速度下降，则经过多长时间才能将水排干？【例10】 如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为（ ）ABCDA ．5米B ． 8米C ．7米D ．53米【例11】 如图，AB 为O 的直径，弦CD AB ⊥,垂足是E ,连接OC ，若5,8OC CD ==,则AE =_______BEO DCA【例12】 一条排水管的截面如图所示．已知排水管的截面圆半径10OB =,截面圆圆心O 到水面的距离OC 是6，则水面宽AB 是（ ）AOBEC DOCBAA ．16B ．10C ．8D ．6【例13】 已知，如图，1O 与坐标轴交与A （1,0）、B ( 5，0)两点，点1O 的纵坐标为5，求1O 的半径。
初二数学圆的知识点归纳总结
初二数学圆的知识点归纳总结在初中数学中，圆是一个重要的几何概念，它是指平面上所有到定点的距离都相等的点的集合。
在学习圆的知识时，我们需要掌握圆的基本性质、公式和相关定理。
本文将对初二数学圆的知识点进行归纳总结，帮助大家更好地理解和掌握这一内容。
一、圆的基本性质1. 圆的定义：圆是指平面上到定点O的距离等于r的点的集合，O 为圆心，r为半径。
2. 圆的元素：圆心、半径、直径、弦、弧、切线等。
3. 圆的稳定性：圆心和半径确定一个圆，改变圆心或半径会得到不同的圆。
二、圆的公式1. 圆的周长公式：圆的周长C等于2πr，其中r为半径。
2. 圆的面积公式：圆的面积A等于πr²，其中r为半径。
3. 圆心角的弧度制：圆心角的弧度等于弧长与半径的比值。
三、圆的相关定理1. 同一个圆或等圆的弧长的度数是相等的。
2. 在同一个圆或等圆中，以圆心为顶点的角都是直角，其对应的弧都是半圆。
3. 圆内接四边形的两个对角和为180°。
4. 在一个圆中，半径垂直于弦，且七分弦等分圆的弧。
四、圆的常见问题类型1. 求圆的面积和周长：根据给定的半径或直径，应用相应的公式计算出圆的面积和周长。
2. 求圆的弧长：根据给定的半径或角度，利用弧长公式计算出圆的弧长。
3. 利用圆的性质解决几何问题：如证明两个三角形相似或全等、证明线段平行或垂直等等。
五、例题解析1. 已知圆的直径长为10cm，求其周长和面积。
解答：半径r = 直径/2 = 10/2 = 5cm，根据周长公式C = 2πr，将r = 5代入得到C = 2π * 5 = 10π cm，所以周长为10π cm。
根据面积公式A = πr²，将r = 5代入得到A = π * 5² = 25π cm²，所以面积为25π cm²。
2. 圆O的半径r = 8cm，弧AB所对的圆心角θ为60°，求弧AB的弧长。
解答：由弧长公式L = θ/360° * 2πr，将θ = 60°，r = 8代入，得到L = 60/360° * 2π * 8 = 4π cm，所以弧AB的弧长为4π cm。
圆的概念与性质
圆的概念与性质圆是几何学中最基本也是最重要的图形之一。
它具有独特的概念与性质，对于几何学研究和实际生活应用都具有重要的意义。
一、圆的概念圆可以通过平面上的一点（圆心）和与这个点距离相等的所有点构成，这个相等的距离称为圆的半径。
圆的边界称为圆周，圆周上的所有点到圆心的距离都相等。
二、圆的性质1. 圆心和半径：圆心是圆的核心位置，半径是从圆心到任意一个点的距离。
所有半径的长度都相等。
2. 直径：直径是通过圆心的一条线段，且两个端点都在圆上。
直径是圆的最长线段，其长度等于半径的两倍。
3. 弧长：弧长是圆上的一段弧对应的圆周长度。
弧长和圆的半径以及所对应的圆心角有关。
4. 弧度：弧度是弧长和半径之间的比值。
一个完整圆的弧长等于2π倍的半径。
角度和弧度之间的转换关系是180°=π弧度。
5. 扇形：扇形是由圆心、圆周上的两个点以及连接这两个点的弧段所构成的图形。
6. 弦：弦是连接圆周上的两个点的线段。
7. 切线：切线是与圆周只有一个交点的直线，切线与半径的夹角是直角。
8. 正切线：正切线是过圆上一点并且与该点的切线垂直相交的直线。
9. 圆的面积：圆的面积是指圆所包围的平面区域。
圆的面积公式是πr²，其中r为圆的半径。
三、圆的应用1. 圆在建筑设计中的应用：圆形的建筑物，例如圆形剧场、圆形体育馆等，不仅美观而且具有良好的音响效果和观看体验。
2. 圆在交通规划中的应用：交通圆环的设计可以提高交通效率，减少交通事故的发生。
3. 圆在制造业中的应用：例如车轮、电机转子等，圆形的设计可以提高工作效率和产品的稳定性。
4. 圆在数学研究中的应用：圆的概念和性质是数学研究中的基础，广泛应用于数学的各个分支，如几何学、代数学等。
总结：圆是几何学中的基本图形，具有独特的概念和性质。
圆的应用广泛存在于我们的生活中，不仅美观而且具有很多实际价值。
对于几何学的学习和实际应用，深入理解圆的概念和性质是非常重要的。
圆的概念和性质
圆的概念和性质圆是我们数学中重要的几何概念之一，广泛应用于各个领域。
无论是日常生活中的测量、建筑设计，还是工程技术、科学研究中的模型和计算，都离不开圆的概念和性质。
本文将从圆的定义、常见性质以及应用等方面进行详细的探讨。
一、圆的定义圆可以定义为平面上一组到一个定点的距离都相等的点的集合。
这个定点称为圆心，到圆心的距离称为半径。
以圆心为中心、以半径为半径的线段称为圆的半径。
圆内的任意两点到圆心的距离都小于半径，而圆外的任意一点到圆心的距离都大于半径。
二、圆的性质1. 圆的直径圆的直径是通过圆心并且两端点都在圆上的线段。
直径是圆中最长的线段，并且它的长度等于半径的两倍。
2. 圆的周长圆的周长是圆上一周的长度，也称为圆周。
圆周的长度可以通过圆的直径或者半径与圆周率之间的关系来计算。
根据定义，圆周的长度等于直径乘以π(圆周率)。
3. 圆的面积圆的面积是圆内部的所有点与圆心之间的连线围成的区域。
圆的面积也是通过圆的半径与圆周率之间的关系来计算。
根据定义，圆的面积等于半径平方乘以π。
4. 圆的切点两个圆相切时，它们有一个共同的切点。
切点是两个圆相切时，位于两个圆的切线上的点。
5. 圆的切线圆的切线是与圆只有一个公共点的直线。
圆的切线与半径垂直，并且切线的斜率等于半径与圆心连线的斜率的相反数。
三、圆的应用1. 圆在日常生活中的应用圆在日常生活中有很多应用，比如钟表中的表盘、轮胎的设计、圆桌的使用等。
同时，圆的性质也可以用来解决一些实际问题，比如判断一个物体是否能通过一个洞的尺寸、计算环形花坛的面积等。
2. 圆在几何图形中的应用圆在几何图形中也有广泛的应用。
例如，圆可以用来构造其他几何图形，比如正多边形、扇形、圆锥等。
同时，圆也可以与其他几何图形相交，形成复杂的图形结构。
3. 圆在科学与工程中的应用圆的概念和性质在科学与工程领域中也有重要的作用。
例如，在物理学中，圆的运动轨迹和碰撞规律可以用来描述天体运动、粒子动力学等现象。
初中数学知识归纳圆的概念和性质
初中数学知识归纳圆的概念和性质圆是初中数学中的一个重要概念，它有许多独特的性质。
下面将对圆的概念和性质进行归纳。
一、圆的概念圆是由平面上所有到一个固定点的距离都相等的点的集合。
固定点叫做圆心，等距离叫做半径。
圆可以用圆心和半径表示，通常表示为∠O(r)，其中O表示圆心，r表示半径。
二、圆的性质1. 圆上任意两点的距离都相等。
即圆上的任意两点A和B，都有AB = r，其中r为圆的半径。
2. 圆的直径是圆上任意两点间的最大距离。
直径d等于半径的两倍，即d = 2r。
3. 相交弧：圆上的两条弧如果有一个公共点，则称它们为相交弧。
4. 弧度：圆心角对应的弧长与圆的半径的比值叫做弧度。
常用弧度符号表示为θ。
5. 弧长：圆周上任意两点间的弧长等于该圆心角的弧度数乘以圆的半径。
即L = θr。
三、圆的相关公式1. 圆的面积公式：S = π * r²，其中S表示圆的面积，r表示半径。
π是一个常数，约等于3.14。
2. 圆的周长公式：C = 2π * r，其中C表示圆的周长，r表示半径。
3. 弓形的面积公式：A = 1/2 * θ * r²，其中A表示弓形的面积，θ表示圆心角的弧度数，r表示半径。
4. 弦与弦的关系公式：如果两条弦相交，且其中一条被另一条平分，则两条弦的乘积等于交叉部分之间的弦的乘积。
即AB * CD = BC * AD。
四、圆的常见问题类型1. 判断关系：判断两个图形是否为圆，判断是否为同心圆等。
2. 计算问题：根据已知条件计算圆的面积、周长等。
3. 推理问题：利用圆的性质进行推理，解决几何问题。
4. 证明问题：根据已知条件进行推导，证明一个几何命题。
5. 应用问题：将圆的概念和性质应用于生活实际，解决实际问题。
五、常见解题思路1. 利用定义：根据圆的定义进行判断或运用相关公式进行计算。
2. 运用性质：根据圆的性质推导出结论，解决几何问题。
3. 运用变换：将圆的问题转化为其他图形的问题，通过转换求解。
圆的基本概念与性质
圆的基本概念与性质圆是几何学中最基本的图形之一，它具有独特的形状和性质。
本文将对圆的基本概念和一些重要性质进行详细介绍。
一、圆的定义圆是由平面上距离一个固定点一定距离的所有点组成的集合。
这个固定点被称为圆心，而这个距离被称为半径。
二、圆的常用符号在几何学中，圆常用符号“O”表示圆心，用字母“r”表示半径。
因此，一个圆可以用符号“O(r)”表示。
三、圆的性质1. 圆的对称性由于圆的定义是以一个固定点为中心，所有距离这个点相等的点的集合，因此圆具有天然的对称性。
任意一条直径将圆分成两个等边的半圆，半圆上的所有点与圆心的距离相等。
2. 圆的直径、半径和弦在圆中，直径是通过圆心并且两端点都在圆上的线段；半径是从圆心到圆上的任意一点的线段，它等于圆的半径；弦是圆上连接两个点的线段，不经过圆心。
3. 圆的周长和面积圆的周长定义为圆上的一条完整弧所对应的长度，可以用公式C =2πr来计算，其中C表示周长，r表示半径。
圆的面积定义为圆内所有点所组成的区域的大小，可以用公式A = πr²来计算，其中A表示面积，r表示半径。
4. 圆的切线和法线圆上的切线是与圆相切的直线，它只与圆在切点相交。
切线与半径构成的夹角为90度。
法线是与切线垂直的直线，它通过切点并与切线垂直相交。
5. 圆的弧度制和度数制圆的弧度制是一种用弧长比半径的面度来度量角度的方式。
一个圆的弧长等于半径的弧度数。
度数制是人们常见的度量角度的方式，一个圆被等分为360度，1度等于圆的1/360。
四、圆的相关定理和应用1. 圆上的三角形圆上的三角形是指三个顶点都在圆上的三角形。
它有很多特殊性质，如圆上的两条弧所对应的角相等，半径与割线所包围的弧所对应的角相等等。
2. 切线定理和切割定理切线定理指的是切线与半径的关系，即切线的平方等于切点处外切圆的半径与切点到圆心的距离之积。
切割定理指的是弦分割定理和切线分割定理，它们描述了切线和弦所分割的弧长和线段之间的关系。
圆的基本概念与性质
圆的基本概念与性质圆是几何学中重要的图形之一，具有独特的形态和性质。
本文将介绍圆的基本概念以及与圆相关的性质，旨在帮助读者更好地理解和应用圆的知识。
一、圆的基本概念圆是平面上的一个封闭曲线，它的每个点到圆心的距离都相等。
二、圆的性质1. 圆心和半径圆心是圆上所有点的中心点，通常用字母“O”表示。
半径是从圆心到圆上任意点的距离，通常用字母“r”表示。
圆心和半径是圆的两个重要元素。
2. 直径直径是通过圆心的一条直线段，它的两个端点在圆上。
直径是圆的最长线段，长度等于半径的两倍。
3. 弦弦是圆上连接两个点的线段。
弦可以是直径，也可以是除了直径以外的线段。
4. 弧弧是圆上的一部分，它是由两个端点和连接这两个点的圆弧组成。
弧的长度可以是圆周长度的任意部分。
5. 圆周角圆周角是圆上位于圆心的角，它的两条边是以圆心为顶点的两条弧。
圆周角的度数是圆上所占有的弧的度数。
6. 切线切线是与圆只有一个公共点的直线。
切线与半径的夹角是90度。
7. 弦切角弦切角是一条直线与弦相交所形成的角。
夹在圆上同一弧的两个弦上的切角，称为弦切角。
8. 弦弧关系对于圆上的弦和弧，如果弦的长度与它所夹的圆心角相等，则这个弦所对应的圆周弧的长度也相等。
这是弦和弧之间的一个重要的关系。
9. 圆的面积圆的面积由半径决定，面积的大小等于π乘以半径的平方，其中π是一个固定的无理数，约等于3.14159。
10. 圆的周长圆的周长由半径决定，周长等于半径乘以2π，即2πr。
总结圆的基本概念与性质对于几何学的学习和应用具有重要意义。
掌握了圆的基本概念，我们能够准确理解圆的形态和特点；而掌握了圆的性质，我们能够灵活应用这些性质解决与圆相关的问题。
因此，加深对圆的基本概念与性质的理解与掌握，有利于我们在几何学中取得更好的学习成果。
初二数学圆知识点整理
初二数学圆知识点整理在初二的数学学习中，圆是一个重要的几何概念。
本文将对初二数学中与圆相关的知识点进行整理和总结，以帮助同学们更好地掌握圆的概念和性质。
一、圆的定义和构成要素1. 圆的定义：圆是由平面上与一个确定点的距离相等的所有点构成的集合。
这个确定的点叫作圆心，而与圆心距离相等的线段叫作半径。
2. 圆的构成要素：圆由圆心和半径两个要素来确定。
二、圆的性质1. 半径与直径关系：直径是通过圆心的一条线段，直径的长度是半径的两倍。
2. 弧和圆心角：沿着圆上的两点之间的弧连接圆心，组成的角叫作圆心角。
圆心角的度数等于所对应的弧所在的圆上的弧度。
3. 弧长和圆周角：弧长是弧上的一段弧的长度；圆周角是接在圆上的两个弧所对应的角。
当两个弧所对应的圆周角的和等于360度时，这两段弧被称为圆上的全弧。
4. 弦和切线：在圆上的两点之间的线段叫作弦。
从圆外的一点到圆上的切线叫作切线。
相切于同一圆的两条切线相互垂直。
5. 弦切角关系：当弦和切线相交时，切线和弦所夹的角等于其对应的弦所对应的圆心角的一半。
6. 切线和半径的关系：切线和半径相交时，切线和半径所夹的角等于90度。
7. 切线长度关系：同样以一个点为圆心，画两条切线，这两条切线的长度相等。
三、圆的计算1. 圆的面积计算公式：圆的面积等于圆周率π乘以半径的平方，即S=πr²。
2. 弧长计算公式：弧长等于圆心角度数所对应的圆周的一部分，弧长等于圆周率π乘以半径r乘以圆心角度数所占的比例。
四、圆的应用1. 圆的应用广泛，例如在建筑设计、舞台设计、图形绘制等领域。
2. 在几何题中，有许多基于圆的运算和定理，如切线的性质、切线与弦的关系等。
五、圆的相关定理和定律1. 圆内接四边形：对于圆内接四边形，其对角线互相垂直，且对角线所夹的两个角之和等于180度。
2. 相交弦定理：如果两条弦在圆内相交，那么两弦的乘积等于各自所在弦上的两个弧的乘积。
3. 切线定理：如果一条切线和一条弦相交，那么切线的平方等于切点到圆心的距离与弦的两段长度的积。
初中关于圆的知识点总结
初中关于圆的知识点总结一、圆的定义和性质圆是一个平面图形，由平面上所有与一个定点的距离相等的点组成。
圆由圆心和半径组成，半径是圆心到圆上任意一点的距离，圆心是圆的中心点。
二、圆的元素1. 圆心：圆的中心点，用字母O表示。
2. 半径：圆心到圆上任意一点的距离，用字母r表示。
3. 直径：通过圆心的两个点所确定的线段，等于半径的两倍，用字母d表示。
4. 弦：圆上任意两点所确定的线段。
5. 弧：圆上两点之间的一段曲线。
6. 弧度：圆心角所对应的弧长与半径的比值，用符号rad表示。
三、圆的计算公式1. 圆的周长：C = 2πr，其中π取近似值3.14。
2. 圆的面积：S = πr²。
四、圆的性质1. 圆的直径是圆上最长的弦，且等于2倍的半径。
2. 圆的半径垂直于其所在弦，并且平分该弦。
3. 圆上任意两个弧所对应的圆心角大小相等，且它们所对应的弧长也相等。
4. 圆上的一个角的顶点在圆心上，这个角叫做圆心角，它的度数等于所对应的弧所对应的圆心角大小的一半。
五、圆与其他图形的关系1. 圆与直线的关系：a. 直线与圆相切，切点在圆上。
b. 直线与圆相交，有两个交点。
c. 直线与圆没有交点，与圆相离。
2. 圆与三角形的关系：a. 圆内切于三角形的情况，三角形的三边都切于圆的内切圆。
b. 圆外切于三角形的情况，三角形的三边都切于圆的外切圆。
3. 圆与正方形、长方形的关系：a. 正方形内切于圆的情况，正方形的四边都切于圆的内切圆。
b. 长方形内切于圆的情况，长方形的两个长边和两个短边都切于圆的内切圆。
六、圆的应用1. 圆在生活中广泛应用于建筑、工程、交通等领域，如圆形建筑、圆形轮胎等。
2. 圆在数学中有许多重要的应用，如解析几何、三角函数等。
总结：初中阶段学习圆的知识点是很重要的，要熟练掌握圆的定义和性质，了解圆的元素和计算公式，掌握圆与其他图形的关系，同时了解圆的应用领域。
通过学习圆的知识，可以培养学生的观察力、逻辑思维能力和解决问题的能力，为后续学习几何学打下坚实基础。
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第2讲圆的基本概念与性质专题1【圆的基本概念】一、知识框架圆的定义点与圆的位置关系不在同一直线上的三点确定一个圆圆的性质对称性圆心角、弦、弧、弦心距关系定理及其推论垂径定理及其推论圆周角定理及其推论二、概念解析1、圆的定义，有两种方式：（1）描述性定义在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，一个端点A随之旋转说形成的图形叫做圆。
固定端点O叫做圆心，以O为圆心的圆记作O，线段OA叫做半径；（2）集合性定义圆是到定点的距离等于定长的点的集合。
注意：圆心确定圆的位置，半径决定圆的大小。
2、圆的表示方法：通常用符号 表示圆，定义中以O为圆心，OA为半径的圆记作“O”，读作：“圆O”。
3、同圆、同心圆、等圆：同圆：圆心相同且半径相等的圆。
同心圆：圆心相同，半径不相等的两个圆叫同心圆。
等圆：圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆。
4、与圆有关的概念：错误！未找到引用源。
弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦；如图所示线段AB，BC，AC都是弦；错误！未找到引用源。
直径：经过圆心的弦叫做直径；如AC是O的直径，直径是圆中最长的弦；错误！未找到引用源。
弧：圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧，如曲线BC,BAC 都是O 中的弧，分别记作 BC 和 BAC ； 错误！未找到引用源。
劣弧和优弧：像 BC这样小于半圆周的圆弧叫做劣弧，像 BAC 这样大于半圆周的圆弧叫做优弧；错误！未找到引用源。
半圆：圆中任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每条弧都叫做半圆，如 AC 是半圆； ⑥等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧⑦弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形。
⑧弦心距：圆心到弦的距离。
如：OE ⑨圆心角:定点在圆心的角叫做圆心角 如图的∠AOB,∠BOC 是圆心角.圆心角的度数：圆心角度数等于它所对弧的度数； ⑩圆周角:定点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角；如图中的∠BAC,∠ACB 都是圆周角。
【注】弦心距与弦长的关系在同圆或者等圆中，如果两条弦长为12,a a ，它们的弦心距分别为12,d d ，则有 （1）1212a a d d =⇔= （2）1212a a d d >⇔> （3）1212a a d d <⇔<5、与圆有关的性质：①旋转对称性：圆是中心对称图形，对称中心是圆心；圆是旋转对称图形，无论绕圆心旋转多少度，总能与自身重合。
圆的旋转对称性→圆心角、弧、弦，弦心距之间的关系。
②轴对称性：圆是轴对称图形，经过圆心的任一条直线是它的对称轴。
圆的轴对称性→垂径定理。
6、点共圆：（1）平面上任意两点共圆，这样的圆有无穷多个，其圆心的轨迹是这两点连线的垂直平分线。
（2）平面上任意不共线的三点共圆，且这个圆是唯一确定的，它是由这三点构成的三角形的外接圆。
【例题讲解】【例1】在平面上设法找出2015个点，使这些点中的任何三点都不共线。
【例2】如图，EB 为半圆O 的直径，点A 在EB 的延长线上，AD 切半圆O 于点D ，BC ⊥AD 于点C ，AB ＝2，半圆O 的半径为2，则BC 的长为（ ）A ．2B ．1C ．1.5D ．0.5【例3】小明剪了三个半径均为1的圆形纸板：1O ，2O ，3O ，在同一平面内把这三个圆形纸板的圆心放在同一直线上，若2O 分别与1O ，3O 相交，1O 与3O 不相交，则1O 与3O 的圆心距d 的取值范围是 。
【小试牛刀】1.高速公路的隧道和桥梁最多．如图是一个隧道的横截面，若它的形状是以O 为圆心的圆的一部分，路面AB =10米，净高CD =7米，则此圆的半径OA =（ ）A ．5B ．7C ．375D ．377AB CDO例2题图E专题2【与圆有关的角度】1、圆周角定理(1)定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
如图：2COB CAB ∠=∠(2)推论 ① 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。
② 半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90︒的圆周角所对的弦是直径。
③ 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
2、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系（1）定理：在同圆中或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距相等。
（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等。
【注】①前提条件是在同圆或等圆中；②在由等弦推出等弧时应注意：优弧与优弧相等；劣弧与劣弧相等。
例题讲解【例4】如图，四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形，E 为AB 延长线上一点，∠CBE=40°，则∠AOC 等于（ ）A.20°B. 40°C. 80°D.100°【例5】如图所示，C 是O 上一点，O 是圆心，若80AOB = ∠，求B A ∠+∠的值.例2题图ABC O【例6】如图，AB 是O 的直径，弦BC=5，∠BOC=50°，OE ⊥AC ，垂足为E ．(1) 求OE 的长．(2)求劣弧AC⌒ 的长(结果精确到0.1)．3、垂径定理（1）定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
如图：AB CD ⊥于E 则CE ED =（2）推论1：① 平分弦（非直径）的直径，垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
② 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
③ 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
（3）推论2:圆的两条平行线所夹弧相等。
【注】应用垂径定理与推论进行计算时，往往要构造如右图所示上网直角三角形，根据垂径定理与勾股定理有：2222a r d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据此公式，在,,a r d 三量中知道任何两个量就可以求出第三个量。
【例题精讲】【例7】（2013年潍坊市）如图，⊙O 的直径AB =12，CD是⊙O 的弦，CD ⊥AB ，垂足为P ，且BP ：AP =1:5,则CD 的长为（ ）. A. 42 B. 82 C. 25 D. 45例3题图【例8】(2013年黄石)如右图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，3AC =，4BC =，以点C 为圆心，CA 为半径的圆与AB 交于点D ，则AD 的长为( )A. 95B. 245C. 185D. 52【例9】（2013•广安）如图，已知半径OD 与弦AB 互相垂直，垂足为点C ，若AB =8cm ，CD =3cm ，则圆O 的半径为（ ）A.256cm B. 5cm C. 4cm D. 196cm【例10】（2013•嘉兴）如图，⊙O 的半径OD ⊥弦AB 于点C ，连结AO 并延长交⊙O 于点E ，连结EC ．若AB =8，CD =2，则EC 的长为（ ）A. 215B. 8C. 210D. 213【例11】（2013•内江）在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为圆心的圆过点()13,0A ，直线34y kx k =-+与⊙O 交于B 、C 两点，则弦BC 的长的最小值为 ．4、圆内接三角形顶点在O 的周角上的三角形称为O 的内接三角形，O 是该三角形的外接圆，O 称为该三角形的外心，它是三条边的垂直平分线的交点。
锐角三角形⇔外心在三角形的内部；CADB直角三角形⇔外心在三角形的边上； 钝角三角形⇔外心在三角形的外部；5、圆内接四边形顶点在O 的周角上的四边形称为O 的内接四边形，O 是该四边形的外接圆，O 称为该四边形的外心，它是四条边的垂直平分线的交点。
四边形有外接圆的充要条件是下列结论之一即可成立： （1）存在一点到四边的距离相等； （2）一组对角互补；（3）一个外角等于它的内角和； 【扩展】圆内角：顶点在圆内，两边与圆相交的角称为圆内角， 圆内角的度数等于所夹的两条弧的度数之和的一半； 如： ()12B E D A nC B mD ∠=+圆外角：顶点在圆外，两边与圆相交的角称为圆外角， 圆外角的度数等于所夹的两条弧的度数之差的一半； 如： ()12APB AmB CnD ∠=-【例题精讲】【例12】设A 为O 内一点，试求过A 点的最短弦长。
【例12】在ABC ∆中，已知30A ∠=︒,80B ∠=︒.在ABC ∆内取点K ，使得BCK ∆为正三角形，求KAC ∠的度数。
【例13】（前苏联委员推荐试题）如图所示，在凸四边形ABCD 中，已知25BAC ∠=︒,20BCA ∠=︒,50BDC ∠=︒,40BDA ∠=︒,若四边形对角线,AC BD相交与点P ，求CPD ∠的度数。
【例14】已知四边形ABCD 中，//AB DC ,AD DC DB p ===，BC q =，求对角线AC 的长。
【例15】证明三角形的正弦定理 在任意ABC ∆中有2sin sin sin a b cR A B C===（其中R 是ABC ∆外接圆半径）。