八年级上册数学典例讲解
青岛版八年级数学上册典例举析：几何证明
• 所以∠ADE＝∠DAE，故EA＝ED. • 因为EA是圆的切线，所以由切割线定理知， • EA2＝EC·EB. • 而EA＝ED，所以ED2＝EC·EB.
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热点三 四点共圆的判定
【例4】 如图，已知△ABC的两条角平分线 AD和CE相交于H，∠B＝60°，F在AC 上，且AE＝AF.证明：(1)B、D、H、E 四点共圆； (2)EC平分∠DEF. 证明 (1)在△ABC中，因为∠B＝60°， 所以∠BAC＋∠BCA＝120°. 因为AD、CE是角平分线， 所以∠HAC＋∠HCA＝60°， 故∠AHC＝120°.
• (1)证明：A，P，O，M四点共圆； • (2)求∠OAM＋∠APM的大小．
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(1)证明 连接OP、OM， ∵AP与⊙O相切于P，∴OP⊥AP， 又∵M是⊙O的弦BC的中点， ∴OM⊥BC， 于是∠OMA＋∠OPA＝180°， 由圆心O在∠PAC的内部，
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可知四边形 APOM 的对角互补， ∴A，P，O，M 四点共圆． (2)解 由(1)得 A，P，O，M 四点共圆，可知∠OAM ＝∠OPM，又∵OP⊥AP，由圆心在∠PAC 的内部， 可知∠OPM＋∠APM＝90°， ∴∠OAM＋∠APM＝90°.
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• (2)相似三角形的性质 • ①相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比
都等于相似比； • ②相似三角形周长的比等于相似比； • ③相似三角形面积的比等于相似比的平方． • (3)直角三角形的射影定理：直角三角形中，每一条直角边是这
条直角边在斜边上的射影与斜边的比例中项；斜边上的高是两直角 边在斜边上射影的比例中项． • 2．(1)圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角 的一半． • (2)圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数．
八年级数学上册第十五章 典型例题讲解
第十五章 分式【典型例题讲解】拓展天地（1）已知x 2－3x ＋1＝0，求x 2＋1x2.【解析】 本题应采用技巧计算，将x 2－3x ＋1＝0两边同除以x 移项，可得x ＋1x＝3，而x 2＋1x 2＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2－2，将x ＋1x＝2代入可求值．【解】 因为，当x ＝0时，x 2－3x ＋1＝1≠0，所以方程x 2－3x ＋1＝0中的x ≠0，在x 2－3x ＋1＝0两边都除以x ，得x －3＋1x ＝0，所以x ＋1x ＝3，而⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2＝x 2＋2x·1x ＋1x2＝x 2＋1x 2＋2，所以，x 2＋1x 2＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2－2＝32－2＝7.拓展天地（2）不改变分式的值，把分式43－14a 3＋a 212a 2－a ＋13中的分子、分母的各项系数化为整数，并使分子与分母的最高次项的系数均为正数．【解析】 本题应根据分式的基本性质，将分子、分母同乘以分子与分母中的分母的最小公倍数，就可以把分子、分母的各项系数化为整数，然后，如果分子与分母的最高次项的系数不是正数，则可将负号提取到分式的前面，提取负号时应注意项的符号的改变．【解】 分式中的分子、分母同乘12，得⎝⎛⎭⎫43－14a 3＋a 2×12⎝⎛⎭⎫12a 2－a ＋13×12＝16－3a 3＋12a 26a 2－12a ＋4，分式本身及分式分子的符号都变为“－”号，得原式＝－－（16－3a 3＋12a 2）6a 2－12a ＋4＝－3a 3－12a 2－166a 2－12a ＋4.拓展天地（3）给定下面一列分式：x 3y ，－x 5y 2，x 7y 3，－x 9y4，…，其中x ≠0.(1)用任意一个分式除以前面与它相邻的分式，你发现了什么规律？(2)根据你发现的规律，写出给定的这列分式中的第7个分式．【解析】 用任意一个分式除以前面与它相邻的分式，可以发现计算结果都等于－x 2y .【解】 根据题目要求：可求出－x 5y 2÷x 3y ＝－x 5y 2·y x 3＝－x 2y ；x 7y 3÷⎝⎛⎭⎫－x 5y 2＝x 7y 3·⎝⎛⎭⎫－y 2x 5＝－x 2y ；⎝⎛⎭⎫－x 9y 4÷x 7y 3＝⎝⎛⎭⎫－x 9y 4·y 3x 7＝－x 2y；…由此可发现规律：任意一个分式除以前面的与它相邻的分式都等于－x 2y.(2)按照上面的规律，第7个分式为(－1)7＋1·x 2×7＋1y 7＝x 15y7.拓展天地（4） 化简求值：(8a 2－2b 2)÷4a 2b ＋4ab 2＋b 32b 2－5ab －3a 2·ab 2b 2－5ab ＋6a 2＋1，其中a ＝－12，b ＝14.【解析】 先要进行因式分解、约分、化简后再代入求值．【解】 原式＝2(2a ＋b)(2a －b)·（2b ＋a ）（b －3a ）b （2a ＋b ）2·ab 2（b －3a ）（b －2a ）＋1＝－2·ab （2b ＋a ）2a ＋b＋1.当a ＝－12，b ＝14时，原式＝－2×－12×14×⎝⎛⎭⎫2×14－12－2×⎝⎛⎭⎫－12＋14＋1＝1.拓展天地（5） (1)观察下列各式： 16＝12×3＝12－13；112＝13×4＝13－14；120＝14×5＝14－15；…由此可推导出142＝________； (2)请猜想出能表示(1)的特点的一般规律，用字母m 的等式表示出来，并说明理由(m 表示不为0和－1的整数)；(3)请直接用(2)的规律计算：1（x －3）（x －4）＋1（x －2）（x －3）＋1（x －1）（x －2）.【解析】 通过观察，可以发现：等式左边的分母都可以写成相邻两个整数的乘积，左边都可以写成分别以这两个整数为分母的两个分式的差．【解】 (1)16－17(2)规律：1m （m ＋1）＝1m －1m ＋1.理由：∵1m －1m ＋1＝m ＋1－m m （m ＋1）＝1m （m ＋1）且符合(1)的特点，∴猜想的等式成立．(3)原式＝⎝⎛⎭⎫1x －4－1x －3＋⎝⎛⎭⎫1x －3－1x －2＋⎝⎛⎭⎫1x －2－1x －1＝1x －4－1x －1＝3x 2－5x ＋4.拓展天地（6）在解题目：“当x ＝2012时，求代数式x 2－4x ＋4x 2－4÷x 2－2x x ＋2－1x ＋1的值”时，聪聪认为x只要任取一个使原式有意义的值代入都有相同结果，你认为他说的有道理吗？请说明理由．【解析】 应先将代数式进行化简，便可知其结果均为1.【解】 x 2－4x ＋4x 2－4÷x 2－2x x ＋2－1x ＋1＝（x －2）2（x ＋2）（x －2）·x ＋2x （x －2）－1x ＋1＝1x －1x ＋1＝1.通过化简结果可知，无论x 取任何一个使原式有意义的值，原式的结果都等于1，所以聪聪说的有道理．拓展天地（7）我们都知道纳米(nm)是一种长度单位，1nm ＝10－9m ，已知某种植物的花粉的直径为35000nm ，小李为研究这些花粉，自做了一棱长为2cm 的正方体小盒子收集花粉，请问小李一次能收集多少粒花粉？【解析】 先计算棱长为2cm 的正方体盒子的体积，再求一粒花粉的体积，二者相除，就可以求出花粉的个数，计算时要注意单位的换算与统一．【解】 由题意可知，正方体小盒子的体积为V ＝a 3＝23＝8(cm 3)，又因为花粉的直径为35000nm ，所以半径为35000÷2＝17500(nm).17500×10－9×102＝1.75×10－3(cm)，我们假想花粉颗粒为球形状，则花粉粒的体积为V ≈43×3.14×(1.75×10－3)3≈2.24×10－8(cm 3)，所以收集花粉的个数为82.24×10－8≈3.57×108(粒)．答：小李一次能收集约3.57×108粒花粉．拓展天地（8） 阅读下列材料：方程1x ＋1－1x ＝1x －2－1x －3的解为x ＝1；方程1x －1x －1＝1x －3－1x －4的解为x ＝2；方程1x －1－1x －2＝1x －4－1x －5的解为x ＝3… (1)请你观察上述方程与解的特征，写出能反映上述方程一般规律的方程，并写出这个方程的解；(2)根据(1)中所得的结论，写出一个解为x ＝－5的分式方程．【解析】 从等式中可以观察出等式左、右两边的分母，都是二个连续的整数，其解与等式的分母有一定联系．【解】 (1)1x －n －1x －（n ＋1）＝1x －（n ＋3）－1x －（n ＋4）的解为x ＝n ＋2.(2)由n ＋2＝－5，得n ＝－7，所以所求分式方程为：1x －（－7）－1x －（－6）＝1x －（－4）－1x －（－3），即1x ＋7－1x ＋6＝1x ＋4－1x ＋3.拓展天地（9）某市在道路改造过程中，需要铺设一条长为1000m 的管道，决定由甲、乙两个工程队来完成这一工程．已知甲工程队比乙工程队每天能多铺设20m ，且甲工程队铺设350m 所用的天数与乙工程队铺设250米所用的天数相同．(1)甲、乙工程队每天能铺设多少m?(2)如果要求完成该项工程的工期不超过10天，那么为两工程队分配工程量(以100m 为单位)的方案有几种？请你帮助设计出来．【解析】 在(2)问中，应通过列不等式组加以讨论， 并注意分配工程量以100m 为单位这个条件．【解】 (1)设甲工程队每天能铺设x m ，则乙工程队每天能铺设(x －20)m ，根据题意，得350x ＝250x －20.解得x ＝70，经检验，x ＝70是原分式方程的解，当x ＝70时，x －20＝50.答：甲、乙工程队每天分别铺设70m 和50m.(2)设分配给甲工程队y m ，则分配给乙工程队(1000－y )m ，由题意得⎩⎨⎧y70≤10，1000－y50≤10.解得500≤y ≤700.所以分配方案有3种．方案一：分配给甲工程队500m ，分配给乙工程队500m. 方案二：分配给甲工程队600m ，分配给乙工程队400m. 方案三：分配给甲工程队700m ，分配给乙工程队300m.。
秋八年级数学上册 第15章 轴对称图形与等腰三角形备课参考(教材知识盘点+典例诠释解法+中考无缝对接
题型 1 轴对称图形与轴对称的识别
题型典例❶ 如图 15-1-1 的图形中,哪些是轴对称图形?
重点剖析 (1) 轴对称指的是两个图形之间的一种特殊的位置 关系. (2) 成轴对称的两个图形沿着某一条直线折叠后能够完
全重合.
知识点 3 轴对称的性质和判定 ( 重点㊁难点)
中垂线.
题型典例❼ 如图 15 -1 -8,△ABC 和 △A′B′C′ 关于直线 MN
【 出题角度 1】 作轴对称图形的对称轴
题型 4 轴对称( 图形) 的作图题
题型典例❺ 如图 15-1-5,找出它们的对称轴.
图 15-1-8
J 55
解:如图 15-1-6 .
图 15-1-5
线,即为 EF.
S △ACD =
轴,所以△ABD 与△ACD 关于直线 AD 成轴对称, 所以 S △ABD =
思路导引: 因为 △ABC 是轴对称图形, 且直线 AD 是对称 1 S . 又 因 为 点 E, F 是 AD 上 的 任 意 两 点, 所 以 2 △ABC
图 15-1-3
【 出题角度 2】 根据对称轴补全轴对称图形
(3) 简单图形之间的轴对称关系( 掌握) ;
知识点 1 轴对称图形 ( 重点)
分能够完全重合.
常见的轴对称图形及它们的对称轴 学法 指南
图形名称 图形 对称轴 过顶点与对边中点 的直线 过相对顶点的直线 正六边形 和过相对边中点的 直线 对称轴 的条数 无数条 圆 过圆心的每一条 直线 6 对称轴 的条数 5
个共同的特点:图形的本身沿某条直线折叠后, 折线两旁的部 如果一个图形沿着一条直线折叠,直线两旁的部分能够 完
【 衔接知识】 线段㊁ 等腰三角形㊁ 正方形㊁ 圆等图形都有一
人教版八年级数学上册第十二章全等三角形证明方法归纳及典型例题
全等三角形的证明全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等．寻找对应边和对应角，常用到以下方法：(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边．(2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角．(3)有公共边的，公共边常是对应边．(4)有公共角的，公共角常是对应角．(5)有对顶角的，对顶角常是对应角．(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)．要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键．全等三角形的判定方法：(1)边角边定理(SAS)：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．(2)角边角定理(ASA)：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．(3)边边边定理(SSS)：三边对应相等的两个三角形全等．(4)角角边定理(AAS)：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．(5)斜边、直角边定理(HL)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线．拓展关键点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系．而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础．专题1、常见辅助线的做法典型例题找全等三角形的方法：（1）可以从结论出发，寻找要证明的相等的两条线段（或两个角）分别在哪两个可能全等的三角形中；（2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形全等；（3）可从条件和结论综合考虑，看它们能确定哪两个三角形全等；（4）若上述方法均不可行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。
三角形中常见辅助线的作法：①延长中线构造全等三角形；②利用翻折，构造全等三角形；③引平行线构造全等三角形；④作连线构造等腰三角形。
浙教版八年级上册数学第一章《三角形的初步知识》知识点及典型例
浙教版八年级上册数学第一章《三角形的初步知识》知识点及典型例浙教版八年级上册数学第一章《三角形的初步知识》知识点及典型例题知识方框图三角形的初步知识锐角三角形三角形按角度分类直角三角形钝角三角形边关系属性角关系任意两条边的和第三条边；第三个三角形的内角之和等于任意两条边之间的差；三角形的一个外角与其两个不相邻的内角之和，三角形的一个外角与任何不相邻的内角之和朱国林角平分线重要线段的中心线高线将三角形分成两个面积相等的部分三角形高线交点的位置有关的位置定义命题概念基本事实定理推理一般类型证明字面类型证明的步骤真命题假命题判断命题是假命题，只要提到一个三角形的外角之和等于两个不相邻的内角之和是由三角形的内角和定理导出的。
只需在“证明”中写下推理过程：（1）根据主题的含义绘制图形；（2）结合图形，写出已知和验证；（3）将推理过程写在“证明：”，并确定全等三角尺绘图的相关知识和性质。
SSSSAAS用于查找线段时应特别注意角度：是否存在公共角度和公共边。
使线段等于已知线段。
做一个与已知角度相等的平分线。
制作线段的垂直平分线。
理论基础：SSS定理构成三角形。
根据SSS、SAS和ASA制作三角形线段垂直平分线的定性角平分线。
理论基础：SAS定理理论基础：AAS定理考点一、判断三条线段能否组成三角形测试点2。
找到三角形一侧的长度或周长的值范围考点三、判断一句话是否为命题，以及改成“如果??那么??”的形式考点四、利用角平分线、垂线（90°角）、三角形的外角、内角和、全等三角形来计算角度考点五、利用垂直平分线的性质、角平分线的性质、全等三角形来计算线段长度测试点6：证明三角形的一致性，并在三角形一致性的基础上进一步证明线段和角度之间的定量关系测试点7：绘制三角形的高线、中线和角平分线，以及基本图形测试点8的标尺和量规绘制方法：方案设计问题、河流宽度计算等例1、已知两条线段的长分别是3cm、8cm，要想拼成一个三角形，且第三条线段a的长为奇数，问第三条线段应取多少厘米？1.如果三角形两侧的长度分别为3和5，则三角形周长的值范围为（）a，10≤ a<16b，10<a≤ 16C，10<a<16d，2<a<82。
八年级数学上册第十一章 典型例题讲解
第十一章 三角形【典型例题讲解】拓展天地（1）观察下面的三个图形(1)(2)(3)，回答下列问题：（1） （2） （3）(1)当BC 边上有一个点P 1时，图中共有________个不同的三角形；(2)当BC 边上有两个点P 1、P 2时，图中共有________个不同的三角形；(3)当BC 边上有三个点P 1、P 2、P 3时，图中共有________个不同的三角形；(4)当BC 边上有n 个点P 1、P 2、P 3、…P n 时，图中共有________个不同的三角形．【解析】 (1)当BC 边上有一个点P 1时，图中有3个三角形：△ABP 1、△AP 1C 、△ABC ；(2)当BC 上有两个点P 1、P 2时，图中6个三角形：△ABP 1、△AP 1P 2、△AP 2C 、△ABP 2、△AP 1C 、△ABC ；(3)当BC 边上有三个点P 1、P 2、P 3时，图中有10个三角形：△ABP 1、△ABP 2、△ABP 3、△ABC 、△AP 1P 2、△AP 1P 3、△AP 1C 、△AP 2P 3、△AP 2C 、△AP 3C ；(4)由题(1)(2)(3)可得出规律，当BC 边上有n 个点时，图中共有（n ＋1）（n ＋2）2个三角形． 【答案】 (1)3 (2)6 (3)10 (4)（n ＋1）（n ＋2）2拓展天地（2）等腰三角形一腰上的中线把该三角形的周长分为13.5cm 和11.5cm 两部分，求这个等腰三角形各边的长．【解析】 由于等腰三角形的底和腰谁长没有确定，因此要分两种情况讨论．【解】 设在△ABC 中，AB ＝AC ，BD 是边AC 上的中线，则AD ＝CD.依题意，可分两种情况 ：(1)当AB ＞BC 时，AB －BC ＝13.5－11.5＝2，所以AB ＝BC ＋2，所以AB ＋AC ＋BC ＝2(BC ＋2)＋BC ＝13.5＋11.5，解得BC ＝7，AB ＝AC ＝BC ＋2＝9.(2)当AB ＜BC 时，BC －AB ＝13.5－11.5，BC ＝AB ＋2，因为AC ＝AB ，所以AB ＋AC＋BC ＝2AB ＋AB ＋2＝13.5＋11.5.解得AB ＝233，AC ＝233，BC ＝233＋2＝293，所以这个三角形三边的长分别为9cm ，9cm 和7cm 或233cm ，233cm 和293cm.拓展天地（3）如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，AE 平分∠BAC (∠C ＞∠B )，试说明∠EAD ＝12(∠C －∠B )．【解析】 本题可以通过角之间的代数运算进行求证，这种几何与代数结合的方法，在今后学习中会经常遇到，是一种很好的证明方法．【解】 ∵AD ⊥BC ，∴∠BDA ＝90°，∴∠BAD ＝90°－∠B .又∵AE 平分∠BAC ，∴∠BAE ＝12∠BAC ＝12(180°－∠B －∠C )． ∴∠EAD ＝∠BAD －∠BAE ＝90°－∠B －12(180°－∠B －∠C )＝90°－∠B －90°＋12∠B ＋12∠C ＝12∠C －12∠B ＝12(∠C －∠B )．拓展天地（4）如图，△ABC 中，外角∠ACD 的平分线与∠ABC 的平分线相交于点A 1，∠A 1BC 与∠A 1CD 的平分线相交于点A 2，则∠A 1与∠A 有怎样的数量关系？继续作∠A 2BC 与∠A 2CD 的平分线可得∠A 3，如此下去可得∠A 4，……，∠A n ，那么猜想∠A n 与∠A 又有怎样的数量关系？并求出∠A ＝64°时，∠A 4的度数．【解析】 利用外角性质和角平分线的定义，使∠A ，∠ABC 与∠A 1，∠ABC 建立起等量关系，从而得出∠A 与∠A 1的数量关系，再利用这一规律求出∠A 4的度数．【解】 ∠A 1＝12∠A.理由是：因为BA 1平分∠ABC ，所以∠ABC ＝2∠A 1BC.因为CA 1平分∠ACD ，所以∠ACD ＝2∠A 1CD.因为∠A 1CD ＝∠A 1＋∠A 1BC ，所以∠ACD ＝2∠A 1＋∠ABC.因为∠ACD ＝∠A ＋∠ABC ，所以∠A ＋∠ABC ＝2∠A 1＋∠ABC ，故有∠A 1＝12∠A.在△A 1BC 中，BA 2平分∠A 1BC ，CA 2平分∠A 1CD ，所以有∠A 2＝12∠A 1＝14∠A ，……. 所以∠A n ＝12n ∠A. 当∠A ＝64°时，∠A 4＝124×64°＝4°.拓展天地（5）某n 边形一共有152条对角线，则它是几边形？【解析】 三角形没有对角线、四边形有2条对角线，五边形有5条对角线、六边形有9条对角线，……，因此，据此规律可知，n 边形有12n(n －3)条对角线．反过来，由n 边形的对角线条数，可求出n 边形的边数．【解】 依题意，得12n(n －3)＝152，即n(n －3)＝304. 因为17×17＝289，18×18＝324，所以n 大于18，n －3小于17.猜想n ＝19，n －3＝16，验证成立，所以它是十九边形．拓展天地（6）如图a 是一个正方形的桌面，如果把桌面锯下一角后，问桌子还剩几个角？截去一个角后，剩下多边形的内角和是多少？a（1） （2） （3)【解析】 由于正方形锯下一角的方法有三种，所以桌子剩下的角的情况也有三种，即正方形锯下一个角后，桌面构成的图案可能是五边形、四边形或三角形，则要分类讨论．【解】 剩下角的个数的情况分三种：如图b(1)还剩5个角，内角和为(5－2)×180°＝540°；图b(2)还剩3个角，内角和为180°；图b(3)还剩4个角，内角和为360°.。
最值模型之垂线段最短、将军饮马及造桥选址模型—2024学年八年级数学上册(解析版)
最值模型之垂线段最短、将军饮马及造桥选址模型模型一垂线段最短模型典例1（2023春•莲湖区期中）如图，OC平分∠AOB，P是OC上一点，PH⊥OB于点H，Q是射线OA上的一个动点，若PH＝3，则PQ长的最小值为（）A．1B．2C．3D．4【思路引领】当PQ⊥OA时，PQ有最小值，利用角平分线的性质可得PH＝PQ＝5，即可解答．【解答】解：如图：当PQ⊥OA时，PQ有最小值，∵OC平分∠AOB，PH⊥OB，PQ⊥OA，∴PH＝PQ＝3，∴PQ长的最小值为3，故选：C．【总结提升】本题考查了角平分线的性质，垂线段最短，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．针对练习1．（2023秋•通州区期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝6，CD是△ABC的一条高线．若E，F 分别是CD和BC上的动点，则BE+EF的最小值是（）A．6B．3√2C．3√3D．3【思路引领】作B关于CD的对称点B′，过B′作B′F⊥BC于F交CD于E，则B′F的长度即为BE+EF的最小值，根据直角三角形的性质得到BD=12CD，根据已知条件得到BB′＝BC，推出△CDB≌△BB′F，于是得到B′F＝CD=√32BC＝3√3．【解答】解：作B关于CD的对称点B′，过B′作B′F⊥BC于F交CD于E，则B′F的长度即为BE+EF的最小值，∵∠ABC＝60°，CD⊥AB，∴∠BCD＝30°，∴BD=12CD，∵BD=12BB′，∴BB′＝BC，在△CDB与△B′FB中，{∠CDB=∠B′FB ∠B′BF=∠CBD CD=BB′，∴△CDB≌△BB′F，∴B′F＝CD=√32BC＝3√3．故选：C．【总结提升】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，解题的关键是正确的作出对称点和利用垂直平分线的性质证明BE+EF的最小值为B′F的长度．2．（2022春•临湘市期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，CD＝2，BD ＝3，Q为AB上一动点，则DQ的最小值为（）A．1B．2C．2.5D．√5【思路引领】作DH⊥AB于H，根据角平分线的性质得到DH＝DC＝2，然后根据垂线段最短求解．【解答】解：作DH⊥AB于H，如图，∵AD平分∠BAC，DH⊥AB，DC⊥AC，∴DH＝DC＝2，∵Q为AB上一动点，∴DQ的最小值为DH的长，即DQ的最小值为2．故选：B．【总结提升】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了垂线段最短．3．（2023•龙岩模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC于D，点E，F分别在AD，AB 上，则BE+EF的最小值是（）A．4B．4.8C．5D．5.4【思路引领】作F关于AD的对称点M，连接BM交AD于E，连接EF，过B作BN⊥AC于N，根据三线合一定理求出BD的长和AD平分∠BAC，根据勾股定理求出AD，根据三角形面积公式求出BN，根据对称性质求出BE+EF＝BM，根据垂线段最短得出BE+EF≥4.8，即可得出答案．【解答】解：作F关于AD的对称点M，连接BM交AD于E，连接EF，过B作BN⊥AC于N，∵AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC于D，∴BD＝DC＝3，AD平分∠BAC，∴M在AC上，在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD=√52−32=4，∴S△ABC=12×BC×AD=12×AC×BN，∴BN=BC×ADAC =6×45=4.8，∵F关于AD的对称点M，∴EF＝EM，∴BE+EF＝BE+EM＝BM，根据垂线段最短得出：BM≥BN，即BE+EF≥4.8，即BF+EF的最小值是4.8，故选：B．【总结提升】此题主要考了等腰三角形的性质，勾股定理，轴对称﹣最短路线问题等知识点的理解和掌握，能求出BE+EF＝BM的长是解此题的关键．题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．4．（2023春•鄄城县期中）已知∠ABC＝60°，点P为平面内一点，且BP为定长，∠ABP＝20°，Q为射线BC上一动点，连接PQ，当BP+PQ的值最小时，∠BPQ＝．【思路引领】分两种情况讨论，当BP+PQ的值最小时，PQ最小，此时PQ⊥BC，据此解答即可．【解答】解：当点P 在∠ABC 内部时，∵BP 为定长，∴当BP +PQ 的值最小时，PQ 最小，此时PQ ⊥BC ，∴∠PQB ＝90°，∵∠ABC ＝60°，∠ABP ＝20°，∴∠PBQ ＝40°，∴∠BPQ ＝90°﹣40°＝50°，当点P 在∠ABC 外部时，同理可求∠BPQ ＝10°，故答案为：50°或10°．【总结提升】本题考查了直角三角形的性质，正确理解点到直线上所有连线中垂线段最短是解题的关键．5．（2022秋•东港区校级期末）在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠BAC ＝15°，点P 为AC 边上的动点，点D 为AB 边上的动点，若AB ＝6cm ，则PB +PD 的最小值为 cm ．【思路引领】如图所示，延长BC 到E 使得CE ＝BC ，连接EP ，AE ，证明△ACB ≌△ACE ，得到AE ＝AB ＝6cm ，∠CAE ＝∠BAC ＝15°，则∠BAE ＝30°，再证明△BCP ≌△ECP ，得BP ＝EP ，推出当D 、P 、E 三点共线且ED ⊥AD 时PD+PE 有最小值即PB+PD 有最小值(PB +PD)最小值=DE 最小值=12AE =3cm ． 【解答】解：如图所示，延长BC 到E 使得CE ＝BC ，连接EP ，AE ，∵∠ACB＝90°，∴∠ACE＝∠ACB＝90°，又∵AC＝AC，BC＝EC，∴△ACB≌△ACE（SAS），∴AE＝AB＝6cm，∠CAE＝∠BAC＝15°，∴∠BAE＝30°，同理可证△BCP≌△ECP（SAS），∴BP＝EP，∴PB+PD＝PD+PE，∴当D、P、E三点共线且ED⊥AD时，PD+PE有最小值，即PB+PD有最小值，∴(PB+PD)最小值=DE最小值=12AE=3cm，故答案为：3．【总结提升】本本题主要考查轴对称﹣最短路线问题，全等三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．模型二将军饮马模型类型一一直线同侧两定点典例2 （2022秋•和平区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD、CE是△ABC的两条中线，CE＝5，AD＝7，P是AD上一个动点，则BP+EP的最小值是（）A ．7B ．3.5C ．5D ．2.5【思路引领】利用将军饮马模型找出使BP+EP 取得最小值时的点P 的位置即可求得结论．【解答】解：∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∴BD ＝CD ，∴AD 为BC 的垂直平分线，∴B ，C 关于AD 对称，∴连接EC 与AD 的交点即为使BP+EP 取得最小值时的点P ，∴BP+EP 的最小值＝EC ＝5，故选：C ．【总结提升】本题主要考查了轴对称的性质，最短线路问题，等腰三角形的性质，利用等腰三角形的三线合一的性质和将军饮马模型找出使BP+EP 取得最小值时的点P 的位置是解题的关键．类型二 两射线一顶点两动点典例3（2021秋•颍东区期末）如图，∠AOB ＝30°，点P 是∠AOB 内的定点且OP ＝3，若点M 、N 分别是射线OA 、OB 上异于点O 的动点，则△PMN 周长的最小值是（ ）A ．3B ．23C ．43D ．6【思路引领】作点P 关于OB 的对称点P'，点P 关于OA 的对称点P''，连接P'P''与OA ，OB 分别交于点M 与N ，则P'P''的长即为△PMN 周长的最小值；连接OP'，OP''，利用已知条件可以证明∠P ′OP ″＝60°即可求出P'P''；【解答】解：作点P关于OB的对称点P'，点P关于OA的对称点P''，连接P'P''与OA，OB分别交于点M与N，则P'P''的长即为△PMN周长的最小值，连接OP'，OP''，∵OP＝3，∠AOB＝30°，由对称性可知OP＝OP'＝OP''，∠P′OP″＝60°，∴∠OP'P″＝∠OP''P′＝60°，∴OP′＝OP''＝P'P''，∴P'P''＝3；故选：A．【总结提升】本题考查利用轴对称求最短距离问题；通过轴对称将△PMN周长转化为P'P''的长是解题的关键．针对练习1．（2021秋•天津期末）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DE交BC于点D，垂足为E，M为DE上任意一点，BA＝3，AC＝4，BC＝6，则△AMC周长的最小值为（）A．7B．6C．9D．10【思路引领】连接BM，依据DE是AB的垂直平分线，可得AM＝BM，进而得到当B，M，C在同一直线上时，AM+CM的最小值为BC的长，依据AC＝4，BC＝6，即可得到△AMC周长的最小值．【解答】解：如图所示，连接BM，∵DE是AB的垂直平分线，∴AM＝BM，∴AM+CM＝BM+CM，当B，M，C在同一直线上时，AM+CM的最小值为BC的长，又∵AC＝4，BC＝6，∴△AMC周长的最小值＝6+4＝10，故选：D．【总结提升】本题考查了轴对称—最短路线问题以及线段垂直平分线的性质，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．2．（2021秋•丛台区校级期末）如图，四边形ABCD中，∠BAD＝130°，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上分别找一点M，N，使△AMN的周长最小时，则∠ANM+∠AMN的度数为（）A．80°B．90°C．100°D．130°【思路引领】作A点关于CD的对称点F，作A点关于BC的对称点E，连接EF交CD于N，交BC于M，连接AM、AN，此时△AMN的周长有最小值，由对称性求出∠BAM+∠FAN＝50°，则有∠MAN＝80°，即可求∠ANM+∠AMN＝180°﹣∠MAN＝100°．【解答】解：作A点关于CD的对称点F，作A点关于BC的对称点E，连接EF交CD于N，交BC于M，连接AM、AN，∵∠B＝∠D＝90°，∴AN＝NF，AM＝EM，∴△AMN的周长＝AM+AN+MN＝NF+MN+EM＝EF，此时△AMN的周长有最小值，∵∠FAN＝∠F，∠E＝∠EAM，∴∠E+∠F＝180°﹣∠BAD，∵∠BAD＝130°，∴∠E+∠F＝50°，∴∠BAM+∠FAN＝50°，∴∠MAN＝130°﹣50°＝80°，∴∠ANM+∠AMN＝180°﹣∠MAN＝100°，故选：C．【总结提升】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，三角形内角和定理是解题的关键．3．（2020秋•西城区校级期中）在等边三角形ABC中，D，E分别是BC，AC的中点，点P是线段AD上的一个动点，当△PCE P点的位置在（）A．△ABC三条中线的交点处B．AD的中点处C．A点处D．D点处【思路引领】由点D是等边三角形ABC的中点得到AD所在的直线是△ABC的中垂线，在AB上作点E关于AD的对称点F，连接CF，即可得到△PCE的最小周长．【解答】解：∵点D、E分别是等边三角形ABC的边BC、AC的中点，∴CE长度不变，AD所在的直线是△ABC的对称轴，∴当△PCE的周长最小时，PE+PC最小，如图，在AB上作点E关于AD的对称点F，连接CF，∴点F是AB的中点，∴CF⊥AB，此时，CF即为PE+PC的最小值，点P是△ABC的三条中线交点，∴当△PCE的周长最小时，P点是△ABC的三条中线的交点．故选：A．【总结提升】本题考查了等边三角形的性质、轴对称的性质，解题的关键是利用轴对称的性质与垂线段最短找到△PCE周长最小的点P位置．模型三造桥选址模型类型一异侧两定点一定长典例1（2021春•奉化区校级期末）如图，平行河岸两侧各有一城镇P，Q，根据发展规划，要修建一条公路连接P，Q两镇．已知相同长度造桥总价远大于陆上公路造价，为了尽量减少总造价，应该选择方案（）A．B．【思路引领】虽然P，Q两点在河两侧，但连接P，Q的线段不垂直于河岸．关键在于使PM+NQ最短，但PM与QN未连起来，要用线段公理就要想办法使M与N重合起来，利用平行四边形的特征可以实现这一目的．【解答】解：如图，作PP'垂直于河岸L，使PP′等于河宽，连接QP′，与河岸L相交于N，作NM⊥L，则MN∥PP′且MN＝PP′，于是四边形PMNP′为平行四边形，故PM＝NP′．根据“两点之间线段最短”，QP′最短，即PM+NQ最短．观察选项，选项C符合题意．故选：C．【总结提升】考查了轴对称﹣最短路径问题，要利用“两点之间线段最短”，但许多实际问题没这么简单，往往利用对称性、平行四边形的相关知识进行转化，以后还会学习一些线段转化的方法．类型二同侧两定点一定长典例2（2019•安徽模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝4，E、F分别是AD、BC的中点，点P、Q在EF上．且满足PQ＝2，则四边形APQB周长的最小值为（）A．10B．12C．14D．16【思路引领】因为PQ和AB是定长，所以要使四边形APQB周长的周长最小，只要AP+BQ最小即可；在AB【解答】解：四边形APQB周长＝AP+PQ+QB+AB，∴AB＝5，BC＝4，PQ＝2，∴四边形APQB周长＝AP+PQ+QB+AB＝7+AP+BQ，要使四边形APQB周长的周长最小，只要AP+BQ最小即可；在AB上截取AM＝PQ，F是BC的中点，所以点B关于EF的对称点是C点，连接CM与EF交于点Q，则CM即为AP+BQ的最小值；∴BQ＝CQ，∴MB＝3，BC＝4，∴MC＝5，∴四边形APQB周长＝AP+PQ+QB+AB＝7+AP+BQ＝12；故选：B．【总结提升】本题考查矩形的性质，直角三角形的性质，轴对称求最短距离；能够将四边形的周长转化为AP+BQ的最小值是解题的关键；针对练习1．有一以互相平行的直线a、b为岸的河流，其两侧有村庄A和村庄B，现在要在河上建一座桥梁MN（桥与河岸垂直），使两村庄之间的距离最短，从作图痕迹上来看，正确的是（）A．B．C．D．【思路引领】根据轴对称确定最短路线问题，过村庄B作河岸的垂线并且等于河的宽度，然后与村庄A连接与河岸a相交于一点M，过点M作MN⊥a与b相交于点N，连接AM、BN，则AM+MN+BN即为最短距离．【总结提升】本题考查了轴对称确定最短路线问题，是此类题目的第二种类型，难度较大，利用的原理为平行四边形的对边相等．2．（2023•浠水县二模）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，E为CD边的中点，点P、Q为BC边上的两个动点，且PQ＝2，当BP＝（）时，四边形APQE的周长最小．A．3B．4C．5D．2√2【思路引领】要使四边形APQE的周长最小，由于AE与PQ都是定值，只需AP+EQ的值最小即可．为此，先在BC边上确定点P、Q的位置，可在AD上截取线段AF＝DE＝2，作F点关于BC的对称点G，连接EG 与BC交于一点即为Q点，过A点作FQ的平行线交BC于一点，即为P点，则此时AP+EQ＝EG最小，然后过G点作BC的平行线交DC的延长线于H点，那么先证明∠GEH＝45°，再由CQ＝EC即可求出BP的长度．【解答】解：如图，在AD上截取线段AF＝PQ＝2，作F点关于BC的对称点G，连接EG与BC交于一点即为Q点，过A点作FQ的平行线交BC于一点，即为P点，过G点作BC的平行线交DC的延长线于H点．∵GH＝DF＝6，EH＝2+4＝6，∠H＝90°，∴∠GEH＝45°，∴∠CEQ＝45°，设BP＝x，则CQ＝BC﹣BP﹣PQ＝8﹣x﹣2＝6﹣x，在△CQE中，∠QCE＝90°，∠CEQ＝45°，∴CQ＝EC，故选：B．【总结提升】本题考查了矩形的性质，轴对称﹣最短路线问题的应用，题目具有一定的代表性，是一道难度较大的题目，对学生提出了较高的要求．3．（2022秋•离石区期末）为贯彻国家城乡建设一体化和要致富先修路的理念，某市决定修建道路和一座桥，方便张庄A和李庄B的群众出行到河岸a．张庄A和李庄B位于一条河流的同一侧，河的两岸是平行的直线，经测量，张庄A和李庄B到河岸b的距离分别为AC＝p（m），BD＝q（m），且CD＝（p+q）m，如图所示．现要求：建造的桥长要最短，然后考虑两村庄到河流另一侧桥头的路程之和最短，则这座桥应建造在C，D间距离C m处．（河岸边上的点到河对岸的距离都相等）【思路引领】作B点关于直线b的对称点B'，连接AB'交b于点P，此时P点到A与B的距离和最短．【解答】解：作B点关于直线b的对称点B'，连接AB'交直线b于点P，∴BP＝B'P，∴AP+BP＝AP+B'P≥AB'，此时P点到A与B的距离和最小，过B'作B'M∥CD，延长AC与B'M交于点M，∴B'M＝CD，∵AC＝p（m）、BD＝q（m），CD＝（p+q）m，∴AM＝（p+q）m，∴∠CAP＝45°，【总结提升】此题主要考查了最短路线问题，正确作出辅助线，构造出最短路线为斜边的直角三角形是解决本题的解题关键．4．如图，某条护城河在CC'处直角转弯，河宽不变，从A处到达B处，须经两座桥，如何恰当地架桥才能使从A地到B地的路程最短？【思路引领】由于含有固定线段“桥”，导致不能将ADD′E′EB通过轴对称直接转化为线段，需要构造平行四边形将AD、BE平移至D′F、E′B'，即可得到桥所在位置．【解答】解：如图，作AF⊥CM，作BB'⊥CN，截取AF＝BB'，连接B'F交两河岸为D'，E'，作D'D⊥CM于D，作E'E⊥CN于E，连接AD，BE，则折线ADD′E′EB的长度等于折线AFD′E′B′B的长度，等于折线FD′E′B′的长度+AF+BB′．而折线FD′E′B′以线段FB′最短，∴确定两座桥的位置是线段DD'和BB'．【总结提升】此题考查了轴对称﹣最短路径问题，由于有固定长度的线段，常用的方法是构造平行四边形，。
(完整)人教版八年级数学上册知识整理与经典例题
八年级数学上册知识总结与相关练习第十一章全等三角形一、全等形能够完全重合的两个图形叫做全等形。
二、全等三角形１、概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
注意：（１）两个三角形全等，互相重合的顶点叫做对应点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。
（２）“能够完全重合”是指在一定的叠放下，能够完全重合。
２、全等三角形的符号表示、读法△ＡＢＣ与△Ａ′Ｂ′Ｃ′全等记作△ＡＢＣ≌△Ａ′Ｂ′Ｃ′，“≌”读作“全等于” 。
注意：（１）两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应的位置上，这样对应的两个字母为端点的线段是对应边；对应的三个字母表示的角是对应角（若用一个字母表示一个角亦是如此）。
（２）对应角夹的边是对应边，对应边的夹角是对应角。
（３）对应边、对应角是对两个三角形而言的，指两条边、两个角的关系，而对边、对角是指同一个三角形的边和角的位置关系，对边是与角相对的边，对角是与边相对的角。
３、全等三角形的性质全等三角形的对应边相等，对应角相等。
４、三角形全等的识别方法（１）三边对应相等的两个三角形全等，简写成“边边边”和“ＳＳＳ” 。
（２）两边和他们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”和“ＳＡＳ”。
（３）两角和他们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成“角边角”和“ＡＳＡ”。
（４）两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等，简写成“角角边”和“ＡＡＳ”。
（５）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”和“ＨＬ”。
注意：ＳＳＡ、ＡＡＡ不能识别两个三角形全等，识别两个三角形全等时，必须有边的参与，如果有两边和一角对应相等时，角必须是两边的夹角。
５、三角形全等的证明思路找夹角——ＳＡＳ（１）已知两边都是直角三角形——ＨＬ找另一边——ＳＳＳ找边的对角——ＡＡＳ（２）已知一边一角找夹角的另一边——ＳＡＳ找夹边的另一角——ＡＳＡ（３）已知两角找夹边——ＡＳＡ找其他任意一边——ＡＡＳ６、全等变换一个图形与另一个图形的形状一样，大小相等，只是位置不同，我们称这个图形是另一个图形的全等变换，三种基本全等变换：（１）旋转；（２）翻折；（３）平移。
人教版八年级上册数学-13《轴对称》知识点及典型例题
⼈教版⼋年级上册数学-13《轴对称》知识点及典型例题第⼗三章《轴对称》⼀、知识点归纳（⼀）轴对称和轴对称图形1、有⼀个图形沿着某⼀条直线折叠，如果它能够与另⼀个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．两个图形关于直线对称也叫做轴对称．2、轴对称图形：如果⼀个图形沿⼀条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形。
这条直线就是它的对称轴。
（对称轴必须是直线）3、对称点：折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。
4、轴对称图形的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何⼀对对应点所连线段的垂直平分线。
类似的，轴对称图形的对称轴，是任何⼀对对应点所连线段的垂直平分线。
连接任意⼀对对应点的线段被对称轴垂直平分．轴对称图形上对应线段相等、对应⾓相等。
5．画⼀图形关于某条直线的轴对称图形步骤：找到关键点，画出关键点的对应点，按照原图顺序依次连接各点。
（⼆）、轴对称与轴对称图形的区别和联系区别：轴对称是指两个图形之间的形状与位置关系，成轴对称的两个图形是全等形；轴对称图形是⼀个具有特殊形状的图形，把⼀个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形是全等形，并且成轴对称．联系：1：都是折叠重合2;如果把成轴对称的两个图形看成⼀个图形那么他就是轴对称图形，反之亦然。
（三）线段的垂直平分线（1）经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）（2）线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，与⼀条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．（证明是必须有两个点）所以线段的垂直平分线能够看成与线段两个端点距离相等的所有点的集合．（四）⽤坐标表⽰轴对称2、点（x，y）关于y轴对称的点的坐标为（x，-y）；(五）关于坐标轴夹⾓平分线对称点P（x，y）关于第⼀、三象限坐标轴夹⾓平分线y＝x对称的点的坐标是（y，x）点P（x，y）关于第⼆、四象限坐标轴夹⾓平分线y＝－x对称的点的坐标是（－y，－x）（六）关于平⾏于坐标轴的直线对称点P（x，y）关于直线x＝m对称的点的坐标是（2m－x，y）；点P（x，y）关于直线y＝n对称的点的坐标是（x，2n－y）；(七）等腰三⾓形1、等腰三⾓形性质：性质1：等腰三⾓形的两个底⾓相等（简写成“等边对等⾓”）性质2：等腰三⾓形的顶⾓平分线、底边上的中线、底边上的⾼相互重合。
人教版数学八年级上册第十一章典例分析：三角形
典例分析：三角形考点一：三角形的三边关系例1、在活动课上，小红已有两根长为4cm，8cm的小木棒，现打算拼一个等腰三角形，则小红应取的第三根小木棒的长 cm．分析：要取第三根小木棒的长度，就要看它和己有的两根小木棒构成的三角形是否满足：任意两边之和大于第三边或任意两边之差小于第三边．解：当4为腰时，4，4，8不满足三角形三边关系定理，当8为腰时，4，8，8满足三角形三边关系定理，所以应填8．点评：三角形的三边关系的应用是考试的热点问题，经常以填空题、选择题的形式出现．例2、用7根火柴棒首尾顺次连接摆成一个三角形，能摆成的不同的三角形的个数为析解：设三角形的边长分别为x、y、z．则7yx其中x、y、z 都++z=是正整数，那么三边长的可能情况有3,2,2;3,3,1;4,2,1;5,1,1再根据三角形的两边之和大于第三边进行验证，可知只有1，3，3；2，2，3符合要求．考点二：三角形的内角和例3、若三角形的一个角是另一个角的6倍，而这两个角的和比第三个角大44，则此三角形的最大角是____.︒析解：设另一个角为x度，则此角是6x度，第三个角是（x+6x-44）度。
根据三角形的内角等于180°，得（x+6x-44）+x+6x=180，所以x=16，6x=96，x+6x-44=68，所以最大角为96°．考点三：三角形的内角和外角例4、如图在直角△ABD中，∠D=90°,C为AD上一点，则x可能是（）A、10°B、20°C、30°D、40°析解：根据三角形的内角和外角的关系有6x=90°+∠DBC，又因为∠DBC应为锐角，代入各项分别验证应选B．例5、如图ABC∠的平分线交于点D，∠的平分线和△ABC的外角ACEBDC求A∠30=︒∠的度数析解：根据三角形的内角和外角的关系有DBC︒∠30=DCE∠+又A=∠∠ACE∠+ABC∴60A∠=︒考点四：多边形的内角和外角例6、如图有两个正方形和一个等边三角形，则图中度数30°的角有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个解析：选D. 通过计算，∠CDG，∠CEF，∠GHB，∠CHF的度数都为30°.点评：由四边形内角和为360°，正方形每一个内角为90°，等边三角形的每一内角为60°可得.考点五：平面镶嵌问题例7、一幅美丽的图案，在某个顶点处由四个边长相等的正多边形镶嵌而成，其中三个分别为正三角形、正四边形、正六边形，那么另一个为（）A. 正三边形B. 正四边形C. 正五边形D. 正六边形解析：多边形平面镶嵌需要满足的条件之一：拼接在同一个点的各个角的和。
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例3：如图（2）在∆ABC中，∠ABC的平分线BD与∠ACB的外 角平分线CD相交于点D，若∠A=460，则∠D=
例6 如图，∠1=∠2，AE⊥OB于E， BD⊥OA于D,AE,BD交于C,求证：AC=BC.
O D C A B E
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
例7 如图，∠MON=400 ,P为∠MON内一定点 ，OM上有一点A，ON上有一点B，当∆PAB的 周长取最小值时，∠APB的度数是（ ）。
N P O
M
例8 等腰三角形的一个外角等 于100，则这个 等 腰三角形的顶角是（ ）。
例9 计算: 201 (1) (0.5) × (-2)200 (2) (3a-5b)(-3a-5b)
例10 全平方式，则m=(
例11 若a+b=
7
2 已知x -2mx+9是一个完
).
, 且a<b, 则a-b=(
).
4 m 1
八年级数学上册讲解
例1：已知三角形的三边长为整数2，x-3, 4,则这样的三角形可作多 少个不同形状的三角形？当x为多少时，所作的三角形的周长最大。
1.若一等 腰三角形的两边长分别是3和8，则其第三边长为
2.若三角形的两边长分别是3和5，则其周长L的取值范为
3.若三角形的两边长分别是2和4，则其周长为奇数，第三边长 为
4.若三角形的两边长分别是3和8，其第三边上的中线m的取值范围 是
5.若a,b,c是三角形的三边长，则式子｜a-b-c｜-2|a+b-c|化简结果 为
例2：如图(1),AD是∆ABC的中线，E是AD的中点，∆ABC的 面积是24cm2,那么S△ABE= .
A
A D
E B D C
B
(2)
C
E
(1)