第三章 对偶规划
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第3章 线性规划的对偶理论
第三章 线性规划的对偶理论内涵一致但从相反角度提出的一对问题互为对偶（Dual ）问题。
例如，我们可以问当四边形的周长一定时，什么形状的面积最大？答案当然是正方形；我们也可以这样来问，四边形的面积一定时，什么形状的周长最短？答案同样是正方形。
对偶现象相当普遍，它广泛地存在于数学、物理学、经济学等诸多领域。
每一个线性规划问题都有和它相伴随的另一个问题，一个问题称为原问题，则另一个则称为其对偶问题。
原问题与对偶问题有着非常密切的关系，以至于可以根据一个问题的最优解，得出另一个问题最优解的全部信息。
然而，对偶性质远不仅是一种奇妙的对应关系，它在理论和实践上都有着广泛的应用。
§1对偶问题的提出对偶理论是以对偶问题为基础的，研究对偶理论，首先必须讨论对偶问题的提出。
对偶问题可以从经济学和数学两个角度来提出，本教材仅限于从经济学角度提出对偶问题。
[例3-1] 构造例2-1的对偶问题我们已构造了例2-1追求最大利润的数学模型（见第6页），现在让我们从另外一个侧面来反映一下该问题。
倘若工厂有意放弃甲、乙两种产品的生产，而将其所拥有的资源转让出去；假设有一厂商要购买该工厂的三种资源，那么对三种资源的报价问题将成为关注的焦点。
设1y 、2y 和3y 分别代表厂商对A 、B 、C 三种资源的报价，那么站在厂商的立场上，该问题的数学模型又将是什么样子的呢？首先分析一下厂商购买所付出的代价32112168y y y w ++=。
自然，作为买方厂商当然是希望价格压得越低越好，因此厂商追求的应是付出代价的最小值，即：32112168min y y y w ++=然而，价格能否无限地压低呢？答案当然是否定的，因为最低报价必须以卖方能够接受为前提，否则报价再低也是没有意义的。
落实到这一问题上就是必须保证企业让出资源的收益不低于自己生产创造的利润，即：1y + 42y ≥ 221y +43y ≥ 31y ，2y ，3y ≥ 0至此我们得到了一个完整的线性规划模型：32112168min y y y w ++=1y + 42y ≥ 221y +43y ≥ 31y ，2y ，3y ≥ 0将站在厂商的立场上建立起来的数学模型同站在工厂立场上所建立的数学模型加以对比，可以发现它们的参数是一一对应的。
第三章 线性规划的对偶理论
s.t. AX=b X≥0 由于 AX=b 即 AX=b
AX≤b AX≥b
AX≤b -AX≤-b 所以，原问题可化为 max z=CX s.t. AX≤b -AX≤-b X≥0
A
X≤ -A
b
-b
14
设Y'：AX≤b的对偶变量（行向量） Y''：-AX≤-b的对偶变量（行向量） 按对称形式的对偶关系可得出原问题的对偶问题如下： min w =Y'b-Y''b= （Y'-Y''）b （Yb=bTYT） s.t Y'A-Y''A≥C （ YA=ATYT） Y'≥0，Y''≥0 令Y= Y'-Y''，则对偶问题为 min w =Yb s.t YA≥C Y符号不限 结论：原问题中约束条件为等式，对应的对偶变量 无非负要求；反过来同样成立。
s.t. 2y1+ y2+ 4y3 ≥2
2y1+2y2+ 4y4 ≥3 y1, y2 , y3 , y4 ≥ 0
解：2.首先将原式变形
m axZ 2 x1 3 x 2 4 x 3 2 x 3 x 2 5 x 3 2 3 x1 x 2 7 x 3 3 x1 4 x 2 6 x 3 5 x1 , x 2 , x 3 0
对于非对称形式的规划，可以按照下面的对应关系直接给 出其对偶规划。 （1）对原问题模型为“max，约束条件为≤”或“min，约 束条件为≥” 的形式，对应的对偶规划的变量大于 0 ；反之， 若原问题模型为“max，≥”或“min，≤” 的形式，对应的 对偶规划的变量小于0。 （ 2 ）原问题线性规划的决策变量大于 0 ，则对偶问题的模 型为“max，约束条件为≤”或“min，约束条件为≥” 的形 式；若原问题线性规划的决策变量小于0；则对偶问题的模型 为“max，≥”或“min，≤” 的形式。
线性规划对偶理论及其应用
第一节 线性规划的对偶问题
原问题：
max Z=60x1+30x2 +20 x3 s.t. 8x1+6x2+ x3 48 M机器
4x1+ 2x2 +1.5x3 20 N机器 2x1+ x2 + 0.5x3 8 P机器 x1,x2，x3 0
max
8 61 A= 4 2 1.5
2 1 0.5
48 b= 20
第二节 对偶规划的基本性质
例3.2 已知线性规划问题
Max z=x1+2x2+3x3+4x4
s.T
x1+2x2+2x3+3x4 ≤ 20
2x1+x2+3x3+2x4≤20
x1 ,x2 ,x3 , x4 , ≥0
其对偶问题的最优解为W=(1.2,0.2)T，试根据对偶理论求出原问题的最优解
第一节 线性规划的对偶问题
(2)非对称型对偶问题
原问题(max)
对偶问题(min)
技术系数矩阵 A
技术系数矩阵 AT
价值系数 C
右端项 b
右端项 b
价值系数 C
第 i 行约束条件为 型
对偶变量 yi 0
第 i 行约束条件为 型
对偶变量 yi 0
第 i 行约束条件为 = 型
对偶变量 yi 不限
6 y
y
1
1
1
2 .5
y2 y2
1y3 0 .5
30 y3
20
y 1 , y 2 , y 3 0
甲厂的数学模型为：
max z 60 x1 30 x 2 20 x3
8 x1 6 x2 x3 48
对偶规划与灵敏度分析
n
yi (bi aij x j ) 0 j 1
m
(c j yi aij )x j 0 i 1
或
yxs ys x
0 0
线性规划问题的对偶理论
（i=1,2,…,m j=1,2,…,n）
于是即不难理解当线性规划达到最优时的下列关系：
1. 如果原问题的某一约束为紧约束（松弛变量为零），该约束对应
对应关系。我们知道，在一对互为对偶线性规划问题中，原问题的变量
和对偶问题的约束一一对应，原问题的约束和对偶问题的变量一一对应。
当线性规划问题达到最优时，我们不仅同时得到了原问题和对偶问题的
最优解，而且也还得到了变量和约束之间的一种对应关系。互补松弛定
理即揭示了这一点。因为，互补松弛定理中的条件也可以等价地表示为
上述的对偶模型都称作为对称型对偶模型。而在当原问题转化为标
准型以后所建立的对偶模型则是非对称型的，这时有如下定义：
(P) maxZ=cx
(D) minS=yb
s.t. Ax = b
s.t. yA≥ c
2020/9/4
x≥ 0
y 为自由变量
6
这种对偶关系可证明如下：
因为，在原问题中，约束 Ax＝b 等价于 Ax≧b 和 Ax≦b，于是原问
题可写为： (P) maxZ=cx
对偶规划的一般数学模型
A b s.t A x b
x≥0
不难看出，这时在原问题中包含了 2m 个约束方程和 n 个变量, 因而
在对偶问题中应含有 2m 个变量和 n 个约束。设这 2m 个对偶变量为
(Y1,Y2 ) ，其中Y1 ( y1 , y2 ,..., ym ) ，Y2 ( ym1 , ym2 ,..., y2m ) 于是根据
对偶规划
产品数据表
设备 产品 甲 乙 A 2 2 B 1 2 C 4 0 D 0 4 产品利润 （元／件） 2 3
设备可利用机时数（时）
12
8
16
12
问：充分利用设备机时，工厂应生产甲和乙型产品各多少件才能 获得最大利润？
2 OM:SM
第一节 对偶规划的数学模型
•解：设甲、乙型产品各生产x1及x2件，则数学模型为： max z 2 x1 3 x 2
10 OM:SM
第一节 对偶规划的数学模型
一、对偶问题的提出
例1的对偶问题的数学模型
maxZ= 3x1 +5 x2 2x1 ≤16 2x2 ≤10 S.t. 3x +4 x ≤32 1 2 x1 , x2 ≥0
• • • •
11
min =16y1+10y2+32y3 2y1+ 0y2+ 3y3≥ 3 S.t. 0y + 2y + 4y ≥ 5 1 2 3 y1，y2，y3≥0
8
第一节 对偶规划的数学模型
一、对偶问题的提出
• 若该厂的产品平销，现有另一企业想租赁其设备。厂方为了在 谈判时心中有数，需掌握设备台时费用的最低价码，以便衡量 对方出价，对出租与否做出抉择。 • 在这个问题上厂长面临着两种选择：自行生产或出租设备。首 先要弄清两个问题： ①合理安排生产能取得多大利润? ②为保持利润水平不降低，资源转让的最低价格是多少？
• 问题 ①的最优解：x1=4，x2=5，Z*=37。
9
OM:SM
第一节 对偶规划的数学模型
一、对偶问题的提出 出让定价
• 假设出让A、B、C设备所得利润分别为y1、y2、y3 • 原本用于生产甲产品的设备台时，如若出让，不应低于 自行生产带来的利润，否则宁愿自己生产。于是有 2y1+0y2+3y3≥ 3 • 同理，对乙产品而言，则有 0y1+2y2+4y3≥ 5 • 设备台时出让的价格（希望出让的价格最少值以获得市 场优势） min 16y1+10y2+32y3 • 显然还有 y1，y2，y3≥0
设备 产品 甲 乙 A 2 2 B 1 2 C 4 0 D 0 4 产品利润 （元／件） 2 3
设备可利用机时数（时）
12
8
16
12
问：充分利用设备机时，工厂应生产甲和乙型产品各多少件才能 获得最大利润？
2 OM:SM
第一节 对偶规划的数学模型
•解：设甲、乙型产品各生产x1及x2件，则数学模型为： max z 2 x1 3 x 2
10 OM:SM
第一节 对偶规划的数学模型
一、对偶问题的提出
例1的对偶问题的数学模型
maxZ= 3x1 +5 x2 2x1 ≤16 2x2 ≤10 S.t. 3x +4 x ≤32 1 2 x1 , x2 ≥0
• • • •
11
min =16y1+10y2+32y3 2y1+ 0y2+ 3y3≥ 3 S.t. 0y + 2y + 4y ≥ 5 1 2 3 y1，y2，y3≥0
8
第一节 对偶规划的数学模型
一、对偶问题的提出
• 若该厂的产品平销，现有另一企业想租赁其设备。厂方为了在 谈判时心中有数，需掌握设备台时费用的最低价码，以便衡量 对方出价，对出租与否做出抉择。 • 在这个问题上厂长面临着两种选择：自行生产或出租设备。首 先要弄清两个问题： ①合理安排生产能取得多大利润? ②为保持利润水平不降低，资源转让的最低价格是多少？
• 问题 ①的最优解：x1=4，x2=5，Z*=37。
9
OM:SM
第一节 对偶规划的数学模型
一、对偶问题的提出 出让定价
• 假设出让A、B、C设备所得利润分别为y1、y2、y3 • 原本用于生产甲产品的设备台时，如若出让，不应低于 自行生产带来的利润，否则宁愿自己生产。于是有 2y1+0y2+3y3≥ 3 • 同理，对乙产品而言，则有 0y1+2y2+4y3≥ 5 • 设备台时出让的价格（希望出让的价格最少值以获得市 场优势） min 16y1+10y2+32y3 • 显然还有 y1，y2，y3≥0
第三章线性规划的对偶定理
特点：
1． max min 2．限定向量b 价值向量C
其它形式 的对偶
?
（资源向量）
3．一个约束 一个变量。
4． max z的LP约束“ ” min z 的
LP是“ ”的约束。
5．变量都是非负限制。
二、原问题与对偶问题的数学模型
❖ 1．对称形式的对偶
当原问题对偶问题只含有不等式约束
时，称为对称形式的对偶。
根据对称形式的对偶模型,可直接 写出上述问题的对偶问题:
b max w (Y 1,Y 2 ) -b
(Y
1,Y
2
)
A A
C
Y1 0 ,Y2 0
max w (Y 1 Y 2 ) b
(Y
1
Y
2
)
A
C
Y 1 0, Y 2 0
令 Y Y，1 Y得2对偶问题为：
max w Yb
❖ （3）若原问题可行，但其目标函数值无 界，则对偶问题无可行解。
❖ （4）若对偶问题可行，但其目标函数值 无界，则原问题无可行解。
❖ （5）若原问题有可行解而其对偶问题无 可行解，则原问题目标函数值无界。
❖ （6）对偶问题有可行解而其原问题无可 行解，则对偶问题的目标函数值无界。
CX Yb
原问题
设备A 设备B 调试工序
产品Ⅰ 产品Ⅱ
0
5
6
2
1
1
利润（元） 2
1
D
15时 24时 5时
x 设 Ⅰ产量––––– 1
x Ⅱ产量––––– 2
如何安排生产， 使获利最多？
max z 2 x1 x2
s.t.
5x2 15
6 x1 2 x2 24
对偶理论(第三章线性规划3)
可以归结为求解下列线性规划问题：
max f 5x1 4x2
x1 3x2 90
s .t
2x1x1x
x2 80 2 45
x1 , x2 0
其对偶问题的数学模型
设 y1, y2 , y3 分别表示设备甲、乙、丙每台时的价格（或 租金）,则
min g 90y1 80y2 45y3
y1 2 y2 y3 5
4.对偶定理 若原问题和对偶问题之一有最优解，则另一个也有最优
解，且两者的最优目标函数值相等。
5.若原问题和对偶问题同时有可行解，则他们必都有最优解。
6.若原问题的最优解为 X B B 1b ,则对偶问题的最优解为 Y CB B 1 。
7.根据原问题最优单纯形表中的检验数可以读出对偶问题的最优解。
x1+ x2 + x3 = 5 2x2 + x3 5 4x2 +6x3 9
x1 , x2 , x3 0
max f =2x1 +x2
x1+ x2 + x3
=5
2x2 + x3 +x4 = 5
-4x2 –6x3 +x5 =-9
x1 … x5 0
xj 2 x1 0 x4 0 x5
-f
2 x1 0 x4 1 x2
-f
21 00 0 0
x1 x2 x3 x4 x5 B-1b 1110 0 5 0211 0 5 0 -4 -6 0 1 -9 0 -1 -2 0 0 -10 1 0 -1/2 0 1/4 11/4 0 0 -2 1 -1/2 1/2 0 1 3/2 0 -1/4 9/4 0 0 -1/2 0 -1/4 -31/4
-f
0 0 0 -1 -3 -215
max f 5x1 4x2
x1 3x2 90
s .t
2x1x1x
x2 80 2 45
x1 , x2 0
其对偶问题的数学模型
设 y1, y2 , y3 分别表示设备甲、乙、丙每台时的价格（或 租金）,则
min g 90y1 80y2 45y3
y1 2 y2 y3 5
4.对偶定理 若原问题和对偶问题之一有最优解，则另一个也有最优
解，且两者的最优目标函数值相等。
5.若原问题和对偶问题同时有可行解，则他们必都有最优解。
6.若原问题的最优解为 X B B 1b ,则对偶问题的最优解为 Y CB B 1 。
7.根据原问题最优单纯形表中的检验数可以读出对偶问题的最优解。
x1+ x2 + x3 = 5 2x2 + x3 5 4x2 +6x3 9
x1 , x2 , x3 0
max f =2x1 +x2
x1+ x2 + x3
=5
2x2 + x3 +x4 = 5
-4x2 –6x3 +x5 =-9
x1 … x5 0
xj 2 x1 0 x4 0 x5
-f
2 x1 0 x4 1 x2
-f
21 00 0 0
x1 x2 x3 x4 x5 B-1b 1110 0 5 0211 0 5 0 -4 -6 0 1 -9 0 -1 -2 0 0 -10 1 0 -1/2 0 1/4 11/4 0 0 -2 1 -1/2 1/2 0 1 3/2 0 -1/4 9/4 0 0 -1/2 0 -1/4 -31/4
-f
0 0 0 -1 -3 -215
第三章+线性规划的对偶问题
•价格应该是非负的 minW=36y1+40y2 +76y3
5
设备
A B C 利润（元/吨）
每吨产品的加工台时
甲
乙
3
4
5
4
9
8
32
30
可供台时数
36 40 76
由此可得两个对称的线性规划：
maxZ=32x1 +30x2
3x1 +4x2 36
59xx11
+4x +8x
2 2
40 76
x1 0,x2 0
目标函数变量系数 约束条件右端项
15
例2 写出下列线性规划的对偶问题
maxZ= 5x1+4x2 +6x3
x1 +2x2 2
-3xx11
+2x
2
+ x3 +x3
3 -5
x1 -x2 +x3 =1
x1
0,x 2
0,x
无约束
3
解：对偶规划： minW=2y1+3y2 -5y3+y4
y1 + y2 -3y3 +y4 5
23
定理5：互补松弛定理
如果 X , Y分别是原问题(min)和对偶问题（max)的可行解，那么 和 为最X 优解Y的充要条件是
通常称
YT (AX-b)=0 ,为(A互T补Y松-弛C条)T件X。=0
YT (AX-b)=0 , (AT Y-C)T X=0
证明：充分性
YT (AX-b)=0 ,YT AX=YT b (YT A-CT )X=0 ,YT AX=CT X
x1 x2
3 4
36
5 9
5
设备
A B C 利润（元/吨）
每吨产品的加工台时
甲
乙
3
4
5
4
9
8
32
30
可供台时数
36 40 76
由此可得两个对称的线性规划：
maxZ=32x1 +30x2
3x1 +4x2 36
59xx11
+4x +8x
2 2
40 76
x1 0,x2 0
目标函数变量系数 约束条件右端项
15
例2 写出下列线性规划的对偶问题
maxZ= 5x1+4x2 +6x3
x1 +2x2 2
-3xx11
+2x
2
+ x3 +x3
3 -5
x1 -x2 +x3 =1
x1
0,x 2
0,x
无约束
3
解：对偶规划： minW=2y1+3y2 -5y3+y4
y1 + y2 -3y3 +y4 5
23
定理5：互补松弛定理
如果 X , Y分别是原问题(min)和对偶问题（max)的可行解，那么 和 为最X 优解Y的充要条件是
通常称
YT (AX-b)=0 ,为(A互T补Y松-弛C条)T件X。=0
YT (AX-b)=0 , (AT Y-C)T X=0
证明：充分性
YT (AX-b)=0 ,YT AX=YT b (YT A-CT )X=0 ,YT AX=CT X
x1 x2
3 4
36
5 9
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的最优解是
X (6,2,0) T
运用互补松弛定理求对偶问 题的最优解。
【解】对偶问题是
min w 10 y 1 16 y 2 y1 2 y 2 3 2 y 2 y 4 1 2 y1 y 2 1 y1 , y 2 0
因为 X1≠0 ， X2≠0 ，所以对偶问题的第 一、二个约束的松弛变量等于零，即：
min x x x
1 1 j
Z
x
1
x
2
x
3
x 3 x 2 0 , j
4 2 x 3 3 1 ,2 ,3
补2：LP(max)的初始基变量的检验数的相反数对应于DP(min)的一组基 本解。
16 OR:SM OR:SM
对偶性质 Dual property 本节学习了六个对偶性质；这些性质是研究原问题与对偶问 题解的对应关系；表2－6也许对了解这些性质有帮助。 表2－6
Si
i
(2) y S j 0时 x*j 0, 反之当 x *j 0时 y S j 0
利用上述关系，建立对偶问题（或原问题）的约束线性方程 组，方程组的解即为最优解。
12
OR:SM OR:SM
第一节 对偶规划的数学模型
【例3】 已知线性规划
MaxZ 3 x 1 4 x 2 x 3 x 1 2 x 2 x 3 10 st 2 x 1 2 x 2 x 3 16 x 0 , j 1, 2 , 3 j
问题 ①的最优解：x1=4，x2=5，Z*=37。
5
OR:SM OR:SM
第一节 对偶规划的数学模型
一、对偶问题的提出 出让定价：
假设出让A、B、C设备所得利润分别为y1、y2、y3 原本用于生产甲产品的设备台时，如若出让，不应低于 自行生产带来的利润，否则宁愿自己生产。于是有 2y1+0y2+3y3≥ 3 同理，对乙产品而言，则有 0y1+2y2+4y3≥ 5 设备台时出让的收益（希望出让的收益最少值） min 16y1+10y2+32y3 显然还有 y1，y2，y3≥0
对偶问题实例应用 对偶规划的数学模型 对偶问题与原问题之间的关系 对称性定理 弱对偶定理 对偶定理 互补松弛定理 对偶问题的解 对偶解的经济意义 边际贡献
对偶理论
对偶解的经 济意义
3
OR:SM OR:SM
第一节 对偶规划的数学模型
引例——俩制造商间的对话：
家电生意还真赚 钱，但是现在的手 机生意这样好，不 如干脆把我的机器 设备租给他，又能 收租金又可做生。
1、写出下列问题的对偶问题
Min Z=2x1-x2+2x3 -x1+x2 +x3 =4 -x1+x2 -x3 6 x1 0,x2 0, x3无限制
2、写出下列问题的对偶问题
Max w=5x1+4x2+6x3 x1 +2x2 ≥2 x1 + x3 ≤3 -x1 +x2 +x3 ≤-5 x1 - x2 +x3 =1 x1≥0, x2≤0, x3无约束
19 OR:SM OR:SM
第三节 资源定价的决策方案
例：某厂生产甲乙产品，（1）如何安排每周的利润为最大?
甲 原材料 (kg) 设备 (工时) 电力 (度) 销售价格(元) 9 4 3 390 乙 4 5 10 352 资源成本 20 50 1 资源拥有量 360 200 300
（2）如果企业可以不生产，那资源出让如何定价？
管理运筹学--管理科学方法
李军
桂林电子科技大学商学院
第3 章 对偶规划
内容提要 Sub title
第一节 对偶规划的数学模型
对偶问题的提出 对偶规划的性质
第二节 对偶规划的经济解释
影子价值的内涵 影子价值的应用
第三节 资源定价的决策案例
2
OR:SM OR:SM
本章框架
对偶问题
对 偶 理 论
MinZ x1 5x2 4 x3 9 x4 7 x1 2 x2 8 x3 x4 18 6 x2 5x4 10 2 x1 8x2 x3 14 x1无约束, x2 0, x3 , x4 0
【解】目标函数求最小值，应将 表3-1的右边看作原问题，左边是 对偶问题，原问题有3个约束4个 变量，则对偶问题有3 个变量4个 约束，对照表3-1的对应关系，对 偶问题为：
唉!我想租您的机器设备一 用。咋样？价格嘛……好说， 肯定不会让您兄弟吃亏。 王老板做家电赚了 大钱，可惜我老李有 高科技产品，却苦于没有 足够的机器设备 咋办？只有租咯。
价格嘛……好商量， 好商量。只是…...
Hi：王老板，听说 近来家电生意好惨了， 也帮帮兄弟我哦!
王 老 板
4
李 老 板
OR:SM OR:SM
11 OR:SM OR:SM
第一节 对偶规划的数学模型
将互补松弛条件写成下式：
m
n
y i* x S i 0 y S j x *j 0
i1
j1
由于变量都非负，要使求和式等于零，则必定每一分量为 零，因而有下列关系： (1)当yi*>0时， x 0 ,反之当 xS 0 时yi*=0；
* 将 y1 , y* 2 的值代入约束条件，得(2)，(3)，(4)为严格不等式；由互 * * x x 0 。因 y1，y2 0；原问题的两个约束条 补松弛性得 x * 2 3 4
(1) (2) (3) (4) (5)
件应取等式，故有
* * x1 3 x5 4
* * 2 x1 x5 3 求解后得到 x1 1 , x5 1；故原问题的最优解为 X* = (1，0，0，0，1)T；* = 5
一个问题max 有最优解 无 最 优 解 无最优解 无界解 （有可行解） 无可行解 另一个问题min 有最优解 无最优解 无可行解 性质4 性质4 性质2
无界解 （有可行解） 通过解方程
检验数乘以－1
应用
已知最优解 已知检验数
求最优解 求得基本解
性质5 性质6
OR:SM OR:SM
17
第二节 对偶规划的经济解释
10 OR:SM OR:SM
第一节 对偶规划的数学模型
二、对偶规划的性质
1、对称性定理 对偶问题的对偶问题是原问题。 根据对偶规划，很容易写出对偶问题的对偶问题模型。 2、 最优性定理 设 X ， Y 分别为原问题和对偶问题的可行解，且 C X b T Y 则 X ，Y 分别为各自的最优解。 3. 对偶性定理 若原问题有最优解，那么对偶问题也有最优解，而且 两者的目标函数值相等。 4. 互补松弛性 * 最优解的充分必要条件是 Y * X s 0 ，Ys X 0
y1 2 y 2 3 2 y1 2 y 2 4
解此线性方程组得 y1=1 ， y2=1, 从而对偶问题的最优解为 Y= （1，1），最优值w=26。
13 OR:SM OR:SM
解决问题：试试看？
已知线性规划问题
min 2 x1 3 x2 5 x3 2 x4 3 x5 x1 x2 2 x3 x4 3 x5 4 2 x1 x2 3 x3 x4 x5 3 x j 0 , j 1,2 , ,5
一、影子价值的内涵（Shadow price）:
n j 1 m i 1
Z c j x j b i yi
Z yi bi
左边是资源bi每增加一个单位对目标函数Z的贡献； 对偶变量 yi在经济上表示原问题第i种资源的边际价值。 边际价值 对偶变量的值 yi*表示第i种资源的边际价值，称为影子价值。 影子价值 若原问题价值系数Cj表示单位产值，则yi 称为影子价格。 影子价格 若原问题价值系数Cj表示单位利润，则yi 称为影子利润。 影子利润 影子价格=资源成本+影子利润
6 OR:SM OR:SM
第一节 对偶规划的数学模型
一、对偶问题的提出
例1的对偶问题的数学模型
maxZ= 3x1 +5 x2 2x1 ≤16 2x2 ≤10 S.t. 3x +4 x ≤32 1 2 x1 , x2 ≥0
7
min =16y1+10y2+32y3 2y1+ 0y2+ 3y3≥ 3 S.t. 0y + 2y + 4y ≥ 5 1 2 3 y1，y2，y3≥0
* * y 4 / 5 y 已知其对偶问题的最优解为 1 ， 2 3 / 5 z = 5。
试用对偶理论找出原问题的最优解。
14
OR:SM OR:SM
解：先写出它的对偶问题
max z 4 y1 3 y2 y1 2 y2 2 y1 y2 3 2 y1 3 y2 5 y1 y2 2 3 y1 y2 3 y1 , y2 0
n个变量 第j个变量≥0 第j 个变量≤0 第j个变量无约束
m个约束 第i个约束≤ 第i个约束≥ 第i个约束为=
约 束
n个约束 第j个约束为≥ 第j个约束为≤ 第j个约束为=
m个变量 第i个变量≥0 第i个变量≤0 第i个变量无约束
OR:SM OR:SM
约 束
变 量
8
第一节 对偶规划的数学模型
【例2】写出下列线性规划的对偶问题
一、最优生产决策
max Z 7 x1 12 x2 9 x1 4 x2 360 4 x 5 x 200 1 2 s.t. 3 x1 10 x2 300 x1 , x2 0