ARMAARIMA模型介绍及案例分析
第9章、ARMA模型和ARIMA模型
第9章、ARMA模型和ARIMA模型计量经济学的重点在于解释，而不是预测。
但是，对于某些具体的问题，人们对预测的兴趣仍然很大。
如对GDP、人口等宏观经济变量的预测：什么时候超英赶美。
常见的4种预测模型为：1.单方程回归模型2.联立方程回归模型3.ARIMA模型（自回归积分移动平均模型）4.V AR模型（向量自回归模型）前面两种预测模型的特点：优点：经济学理论作为计量分析的基础。
缺点：Lucas批判（Lucas Critique）指出，使用历史数据估计的计量模型的参数依赖于历史的宏观经济政策。
如果宏观经济政策发生变动，这些参数也会变动。
据此而实施的预测必然误差很大，特别是长期预测。
例子：根据过去几年数据建立的IS－LM模型，难以预测中国宏观调控后和利率提高后的宏观经济。
后面两种预测模型的特点：优点：Box－Jenkins方法的重点不是寻找解释y的解释变量，而是使用滞后的y来构造生产y的动力系统。
所使用的y是平稳序列，即y的均值、方差和自协方差与时间的绝对水平无关，那么分布特征不变，可以适用不同经济环境。
短期预测能力较强。
缺点：为预测而预测。
是泛理论的（a－theoretic），缺乏经济理论基础，很难解释计量结果的经济含义。
当然可以整合这两类方法的优点。
ARMAX模型。
§1、ARIMA模型ARIMA模型(自回归积分移动平均模型，autoregressive integrated movingaverage) 推广了如下模型：AR 模型、MA 模型和ARMA 模型。
1、AR 模型 （1）定义称平稳序列y t 服从AR(p)模型，如果可以表示为11...t t p t p t y y y μααε−−=++++其中t ε是白噪声（均值为0，同方差，无自相关）。
AR 模型的特点：除了滞后的y 之外，没有其他的解释变量。
（2）AR 模型的平稳条件记L 为滞后算子(lag operator)，Ly t ＝y t －1。
ARIMA模型原理以及代码实现案例
ARIMA模型原理以及代码实现案例⼀、时间序列分析北京每年每个⽉旅客的⼈数，上海飞往北京每年的游客⼈数等类似这种顾客数、访问量、股价等都是时间序列数据。
这些数据会随着时间变化⽽变化。
时间序列数据的特点是数据会随时间的变化⽽变化。
随机过程的特征值有均值、⽅差、协⽅差等。
如果随机过程的特征随时间变化⽽变化，那么数据是⾮平稳的，相反，如果随机过程的特征随时间变化⽽不变化，则此过程是平稳的。
如图所⽰：⾮平稳时间序列分析时，若导致⾮平稳的原因是确定的，可以⽤的⽅法主要有趋势拟合模型、季节调整模型、移动平均、指数平滑等。
若导致⾮平稳的原因是随机的，⽅法主要有ARIMA，以及⾃回归条件异⽅差模型等。
⼆、ARIMA1、简介ARIMA通常⽤于需求预测和规划中。
可以⽤来对付随机过程的特征随着时间变化⽽⾮固定。
并且导致时间序列⾮平稳的原因是随机⽽⾮确定的。
不过，如果从⼀个⾮平稳的时间序列开始，⾸先需要做差分，直到得到⼀个平稳的序列。
模型的思想就是从历史的数据中学习到随时间变化的模式，学到了就⽤这个规律去预测未来。
ARIMA（p，d，q）d是差分的步长（差分的阶数指的是进⾏多少次差分。
⽐如步长为n的⼀阶差分diff(x) = f(x) - f(x - n)，⽽⼆阶步长为n的差分： diff(x) = f(x) - f(x-n), diff(x-n) = f(x-n) - f(x - n - n), diff⼆阶差分(x - n) = diff(x) - diff(x-n)），⽤来得到平稳序列p为相应的⾃回归项q是移动平均项数2、⾃回归模型AR⾃回归模型描述当前值与历史值之间的关系，⽤变量⾃⾝的历史时间数据对⾃⾝进⾏预测。
⾃回归模型必须满⾜平稳性。
⾃回归模型需要先确定⼀个阶数p，表⽰⽤⼏期的历史值来预测当前值。
p阶⾃回归模型可以表⽰为：y t是当前值，u是常数项，p是阶数，r是⾃相关系数，e是误差AR的限制：⾃回归模型是⾃⾝的数据进⾏预测必须具有平稳性必须具有相关性如果⾃相关系数⼩⾬0.5，则不宜采⽤⾃回归只适⽤于预测与⾃⾝前期相关的现象3、移动平均模型MA移动平均模型关注的⾃回归模型中的误差项的累加，q阶⾃回归过程的公式定义如下：移动平均模型能有效地消除预测中的随机波动4、⾃回归移动平均模型ARMA⾃回归模型AR和移动平均模型MA模型相结合，我们就得到了⾃回归移动平均模型ARMA(p,q)，计算公式如下：5、p、q的确定 （1） （2）结合最终的预测误差来确定p、q的阶数，在相同的预测误差情况下，根据奥斯卡姆剃⼑准则，模型越⼩越好。
AR,MA,ARIMA模型介绍及案例分析
BOX-JENKINS 预测法1 适用于平稳时序的三种基本模型（1）()AR p 模型（Auto regression Model ）——自回归模型p 阶自回归模型：式中，为时间序列第时刻的观察值，即为因变量或称被解释变量；，为时序的滞后序列，这里作为自变量或称为解释变量；是随机误差项；，，，为待估的自回归参数。
（2）()MA q 模型（Moving Average Model ）——移动平均模型q 阶移动平均模型：式中，μ为时间序列的平均数，但当{}t y 序列在0上下变动时，显然μ=0，可删除此项；t e ，1t e -，2t e -，…，t q e -为模型在第t 期，第1t -期，…，第t q -期的误差；1θ，2θ，…，q θ为待估的移动平均参数。
（3）(,)ARMA p q 模型——自回归移动平均模型（Auto regression Moving Average Model ）模型的形式为：显然，(,)ARMA p q 模型为自回归模型和移动平均模型的混合模型。
当q =0,时，退化为纯自回归模型()AR p ；当p =0时，退化为移动平均模型()MA q 。
2 改进的ARMA 模型（1）(,,)ARIMA p d q 模型这里的d 是对原时序进行逐期差分的阶数，差分的目的是为了让某些非平稳（具有一定趋势的）序列变换为平稳的，通常来说d 的取值一般为0,1,2。
对于具有趋势性非平稳时序，不能直接建立ARMA 模型，只能对经过平稳化处理，而后对新的平稳时序建立(,)ARMA p q 模型。
这里的平文化处理可以是差分处理，也可以是对数变换，也可以是两者相结合，先对数变换再进行差分处理。
（2）(,,)(,,)s ARIMA p d q P D Q 模型对于具有季节性的非平稳时序（如冰箱的销售量，羽绒服的销售量），也同样需要进行季节差分，从而得到平稳时序。
这里的D 即为进行季节差分的阶数；,P Q 分别是季节性自回归阶数和季节性移动平均阶数；S 为季节周期的长度，如时序为月度数据，则S =12，时序为季度数据，则S =4。
ARMAARIMA模型介绍及案例分析
ARMAARIMA模型介绍及案例分析AR、MA和ARIMA是时间序列分析中常见的模型，用于分析和预测时间序列数据的特征和趋势。
下面将对这三种模型进行介绍，并提供一个案例分析来展示它们的应用。
自回归模型（AR）是一种基于过去的观测值来预测未来观测值的模型。
它基于一个假设：未来的观测值可以由过去的观测值的线性组合来表示。
AR模型的一般形式可以表示为：y_t=c+ϕ_1*y_(t-1)+ϕ_2*y_(t-2)+...+ϕ_p*y_(t-p)+ε_t其中，y_t表示时间t的观测值，c是常数项，ϕ_1至ϕ_p是自回归系数，p是自回归阶数，ε_t是误差项。
AR模型的关键是确定自回归阶数p和自回归系数ϕ。
移动平均模型（MA）是一种基于过去的误差项来预测未来观测值的模型。
它基于一个假设：未来的观测值的误差项可以由过去的误差项的线性组合来表示。
MA模型的一般形式可以表示为：y_t=c+ε_t+θ_1*ε_(t-1)+θ_2*ε_(t-2)+...+θ_q*ε_(t-q)其中，y_t表示时间t的观测值，c是常数项，ε_t是误差项，θ_1至θ_q是移动平均系数，q是移动平均阶数。
MA模型的关键是确定移动平均阶数q和移动平均系数θ。
自回归移动平均模型（ARIMA）结合了AR和MA模型的特点，同时考虑了时间序列数据的趋势性。
ARIMA模型一般形式可以表示为：y_t=c+ϕ_1*y_(t-1)+ϕ_2*y_(t-2)+...+ϕ_p*y_(t-p)+ε_t+θ_1*ε_(t-1)+θ_2*ε_(t-2)+...+θ_q*ε_(t-q)其中，y_t表示时间t的观测值，c是常数项，ϕ_1至ϕ_p是自回归系数，p是自回归阶数，ε_t是误差项，θ_1至θ_q是移动平均系数，q是移动平均阶数。
ARIMA模型的关键是确定自回归阶数p、移动平均阶数q和相关系数ϕ和θ。
下面举一个电力消耗预测的案例来展示AR、MA和ARIMA模型的应用：假设有一段时间内的电力消耗数据，我们想要用AR、MA和ARIMA模型来预测未来一段时间内的电力消耗。
时间序列大数据分析方法
时间序列大数据分析方法时间序列分析是一种用于处理时间序列数据的统计方法，它在多个领域都有广泛的应用，如金融、经济学、气象学等。
随着大数据技术的发展，时间序列大数据的分析方法也在不断地被探索和改进。
本文将介绍一些常用的时间序列大数据分析方法，并说明它们的应用场景和优劣势。
一、ARIMA模型ARIMA模型（自回归综合移动平均模型）是一种常用的时间序列预测方法。
它包括自回归（AR）部分、差分（I）部分和移动平均（MA）部分。
ARIMA模型适用于具有稳定平均值和方差的时间序列数据。
通过拟合ARIMA模型，可以对未来的数值进行预测。
二、SARIMA模型SARIMA模型（季节性自回归综合移动平均模型）是对ARIMA模型的扩展，适用于具有季节性变化的时间序列数据。
SARIMA模型可以捕捉到季节性的趋势，提高预测的准确性。
三、ARMA模型ARMA模型（自回归移动平均模型）是ARIMA模型的特殊情况，它不包括差分（I）部分。
ARMA模型适用于具有稳定平均值和方差的非季节性时间序列数据。
ARMA模型对于预测长期趋势比较有效。
四、VAR模型VAR模型（向量自回归模型）是一种多变量时间序列分析方法，适用于多个相关联的时间序列数据。
VAR模型可以描述变量之间的相互作用，并进行联合预测。
VAR模型在经济学和金融领域得到了广泛的应用。
五、ARCH/GARCH模型ARCH模型（自回归条件异方差模型）和GARCH模型（广义自回归条件异方差模型）主要用于描述时间序列数据的波动性。
ARCH模型主要适用于有明显波动性的数据，而GARCH模型在ARCH模型的基础上考虑了更长期的波动性。
六、机器学习方法除了传统的时间序列模型外，机器学习方法在时间序列大数据分析中也有着广泛的应用。
例如，支持向量机（SVM）、神经网络和随机森林等算法可以通过学习历史数据的模式来预测未来的数值。
机器学习方法可以有效地处理大数据，但在数据较少或模型解释性要求较高的情况下可能会存在一定的局限性。
ARMAARIMA模型介绍及案例分析
模型的识别的本质是确定 ARIMA( p, d, q)(P, D,Q)s 中的 p, d, q 以及 P, D,Q 与 S 的取值。借助于自相关函数（Auto correlation Function, ACF）以及自相关分析 图和偏自相关函数（Partial Correlation Function, PACF）以及偏自相关分析图来 识别时序特性，并进一步确定 p 、 q 、 P 、 Q 。
模型
AR( p)
MA(q )
ARMA( p, q)
拖尾
拖尾
自相关函数
指数衰减和（或） 截尾
指数衰减和（或）
正弦衰减
正弦衰减
拖尾
拖尾
偏自相关函数
截尾（阶）
指数衰减和（或） 指数衰减和（或）
正弦衰减
正弦衰减
关于 p, q 的取值 当不包括时滞 k 12（或 4），24（或 8）， p 取落入随机区间之外的偏相关系
j 1
rk j
k 1 k 2,3,
偏自相关系数kk ，可看作自变量 k 的函数，即偏自相关函数， 1 kk 1。 它用以测量当剔除其他滞后期（ t 1, 2,3, , k 1）的干扰的条件下，Yt 与Ytk 之 间相关的程度。与自相关系数类似，同样可以采用偏自相关分析图来对模型进行
识别。
3. 勾选自相关、偏自相关，转换暂时不选（如果为非平稳序列，可勾选差分/ 自然对数转换，其中差分的阶数需要根据自相关图形来确定，通常为 0,1,2）
未进行差分处理，由图可知几乎一半的自相 关系数未进入置信区间，说明该序列非平稳，此时需要进行差分处理，即在重复 第 2 步时，差分选项选择 1 或 2。
4.4 建立 ARIMA 模型
Arma模型步骤及案例分析
Arma模型步骤及案例分析ar:自回归auto-regression Arma modelma:移动平均moving average （Ɛ随机干扰random disturbing）步骤一．平稳性检验（单位根检验unit root test）原理：y=ay+Ɛ当回归系数a等于1时，y为单位根过程即y=-y+Ɛ单位根过程=不平稳过程（non-station）=随机漫步（醉步，random walk）注：与平稳过程对应的是平稳过程（猫步，station）案例采取1978年到2005年的居民消费数据在EViews中建立文件，录入数据，取名为XF注；通过file成功建立一个workfile后，点击proc,下拉菜单里面有个import,点击后选择read text-lotus-excel,然后就可以选择你要导入的excel文件了。
不过注意：该文件一定要用英文命名，而且存储路径最好也是英文的。
检验过程：1View→graph→line(视图→图表→曲线图)2view→unit root test→3（注：level为水平序列1st different为一阶差分2nd different为二阶差分；intercept为截距基数trend and intercet为趋势和基数，比较常用；Lag length为后置长度，一般选用自动选择）4出结果根据P值若prob*>a则换用1st差分，以此类推。
本案例中是取二阶差分(注：null hypothesis（原假设）H0：“arimo1”has a unit root H1:“arimo1”has not a unit root)步骤二.建模Quick→Estimate Equation（注：填写d（xf,2）ar(p)ma(q)p属于[0,3]）q[0,3]，此步骤中确定p，q取值是要点）1注：Schwarz criterion施瓦茨准则（最关键，越小越好）Akaike info criterion赤池信息准则（平均预测误差，越小越好）2在p，q的几个取值结果中，寻找SC最小的作为最优选择3View→representations结果为抽样模型步骤三.白噪声检验（W.N.Test纯粹随机性检验）View→Residual Tests→serial correlation LM test(序列相关的拉格朗日乘数检验)→lags to2OK1)注：H0：序列（残差序列，剩余数列，扰动序列）无关H1：序列相关2)“希望接受H0”本案例中，pro>a=0.05,接受H03)对于时间序列用W.N test对于截面数据用D.W test步骤四.预测（forecast）单击Forecast结果如下单击OK，结果是打开xff(本案例的预测变量)为。
时间序列中的ARMA模型
ARMA模型的预测
二. 基于MA过程的预测
过程 结论：
MA (2) 过程仅有2期的记忆力
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ARMA模型的预测
三. 基于ARMA过程的预测
结合对AR过程和MA过程进行预测 ARMA模型一般用于短期预测
33
五、实例：ARMA模型在金融数 据中的应用
数据：
1991年1月到2005年1月的我国货币供应量（广 义货币M2）的月度时间序列数据
将上述p+1个方程联立，得到所谓的Yule-Walker方程 组，共p+1个方程，p+1个未知数，得出AR（p）过程 的方差及各级协方差。
7
ARIMA模型的概念
三. 自回归移动平均（ARMA）过程
1. ARMA过程的形式
Yt=c+1Yt-1+ 2Yt-2+...+pYt-p+1 t-1+ 2 t-2+...+ q t-q+ t
四. 信息准则(information criteria) Akaike 信息准则 AIC=log(ˆ 2 ) 2k
T
Schwarz 信息准则 SC=log(ˆ 2 ) k log T
T Hannan-Quinn 信息准则 HQIC=log(ˆ 2 ) 2k log(log T)
T
其中 ˆ 2 为残差平方， k=p+q+1是所有估计参数
其中 t 为白噪音过程。
若引入滞后算子，可以写成
(L)Yt=c+ (L) t
其中 (L)=1-1L- 2L2 -...- pLp
(L)=1+ 1L+ 2L2 ... qLq
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ARIMA模型的概念
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ARMAARIMA模型介绍及案例分析
ARMAARIMA模型是一种时间序列分析方法，用于对具有自回归和移动
平均特性的数据进行建模和预测。
这个模型是由自回归（AR）和移动平均（MA）两个组成部分构成的，对于非平稳的数据还需要加入差分（I）的
过程，所以称为ARMAARIMA模型。
ARMA模型是根据时间序列的自相关和滑动平均性质来进行建模的。
自回归是指当前数据与历史数据之间的相关关系，移动平均则关注当前数
据与滞后差分误差之间的关系。
ARMA模型的一般形式可以表示为：Y(t)=c+φ₁Y(t-1)+...+φₚY(t-p)+ε(t)-θ₁ε(t-1)-...-
θₚε(t-q)
其中，Y(t)表示当前的观测值，c是常数，φ₁...φₚ是自回归系数，ε(t)是白噪声误差项，θ₁...θₚ是滑动平均系数，p和q分别表示AR
和MA的阶数。
对于非平稳的时间序列数据，需要进行差分操作，即I（积分）的过程，来将数据变为平稳的。
差分阶数常用d表示。
而ARIMA（自回归移动平均积分模型）则是对ARMA模型进行补充，
主要针对非平稳时间序列数据。
ARIMA模型的一般形式可以表示为：ΔY(t)=c+φ₁ΔY(t-1)+...+φₚΔY(t-p)+ε(t)-θ₁ε(t-1)-...-
θₚε(t-q)
其中ΔY(t)表示差分后的序列，其他参数与ARMA模型类似。
下面以一个股票价格的时间序列数据为例进行ARMAARIMA模型的案例
分析。
假设我们有一段时间内的股票价格数据，要通过ARMAARIMA模型对未来的股票价格进行预测。
首先，我们需要对数据进行平稳性检验，可以使用单位根检验（如ADF检验）来确定是否需要进行差分。
接下来，需要确定ARMA模型的阶数，可以通过观察自相关图（ACF）和偏自相关图（PACF）来确定。
根据图形的截尾和拖尾情况，可以估计出AR和MA的阶数。
然后，可以利用最大似然估计方法来估计模型参数，这可以通过软件来实现。
在估计参数之后，需要对模型进行检验，主要包括检查残差序列是否为白噪声，可以通过自相关图和偏自相关图进行检查。
最后，可以使用已建立的模型进行预测。
根据已知历史数据，可以通过模型来推断未来的数据。
总结：ARMAARIMA模型是一种对具有自回归和移动平均特性的时间序列数据进行建模和预测的方法。
它将自回归、移动平均和差分过程结合起来，提供了一种强大的工具来分析非平稳的时间序列数据。
通过对模型参数的估计和残差检验，可以得到一个合适的模型来预测未来的数据。