10.8 二项分布、超几何分布与正态分布
第9节 二项分布、超几何分布与正态分布
A
[解析]由题意可知,P(X>2)=0.5,故P(X>2.5)=P(X>2)-P(2<X≤2.5)=0.14.
5. (2022年新高考全国Ⅱ卷)已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2),且P(2<X≤2.5)=0.36,则P(X>2.5)= .
0.14
考点一 二项分布
【例 1】某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第17,18,19,20层停靠,若该电梯在底层有5个乘客,且每位乘客在这四层的每一层下电梯的概率为,用ξ表示5位乘客在第20层下电梯的人数,则P(ξ=4)= .
D
(2)科研人员在另一个实验中发现,疫苗可多次连续注射,白兔多次注射疫苗后,每次注射的疫苗对白兔是否有效互相不影响,相互独立,试问:如果将实验一中未被感染新冠病毒的白兔的频率当作疫苗的有效率,那么一只白兔注射两次疫苗能否保证有效率达到96%?若能,请说明理由;若不能,请问每支疫苗的有效率至少要达到多少才能满足以上要求.
[解析]每一位乘客是在第20层下电梯为一次试验,且每一位乘客在第20层下电梯的概率都是,因此这是5次独立重复试验,故ξ~B(5,) ,所以P(ξ=4)=() 4×=.
二项分布满足的条件1.每次试验中,同一事件发生的概率是相同的;2.各次试验中的事件是相互独立的;3.每次试验只有两种结果,即事件要么发生,要么不发生;4.随机变量是这n次独立重复试验中事件发生的次数.解此类题时常用互斥事件概率加法公式,相互独立事件概率乘法公式及对立事件的概率公式.
一批产品的一等品率为0.9,从这批产品中每次随机抽取一件,有放回地抽取100次,Χ表示抽到的一等品件数,则D(X)= .
10.8超几何分布二项分布正态分布课件高三数学一轮复习
其中 n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，则 m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．如 果随机变量 X 的分布列具有上式的形式，那么称随机变量 X 服从超几何分布．
(2)超几何分布的均值：设随机变量 X 服从超几何分布，则 X 可以解释为从包含 M 件
第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布
第八节 超几何分布、二项分布、正态分布
课前双基巩固
——整合知识 夯实基础
『知识聚焦』 1．超几何分布 (1)定义：一般地，假设一批产品共有 N 件，其中有 M 件次品，从 N 件产品中随机抽 取 n 件(不放回)，用 X 表示抽取的 n 件产品中的次品数，则 X 的分布列为
(1)用 X 表示甲同学上学期间的三天中 7：30 之前到校的天数，求随机变量 X 的分布 列和数学期望；
(2)设 M 为事件“上学期间的三天中，甲同学在 7：30 之前到校的天数比乙同学在 7： 30 之前到校的天数恰好多 2”，求事件 M 发生的概率．
【解】 (1)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天 7：30 之前到校
_____1_0________.
【解析】 由题意知 X＝2 表示取出的 4 件产品中 2 件次品，故 P(X＝2)＝CC23·41C0 27＝130.
4．小王通4过英语听力测试的概率是13，他连续测试 3 次，那么其中恰有 1 次获得通过 的概率是_____9_________．
【解析】 ＝49.
①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈__□1_1__0_.6_8_2_7_____. ②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈__□_1_2_0_.9_5_4_5_____.
二项分布、超几何分布与正态分布
(1)两点分布是二项分布当n＝1时的特殊情形.( √ )
(2)若X表示n次重复抛掷1枚骰子出现点数是3的倍数的次数，则X服从二项
分布.( √ )
(3)从装有3个红球、3个白球的盒中有放回地任取一个球，连取3次，则取
到红球的个数X服从超几何分布.( × )
品质型民宿
6 16 4 10 11 10 9 12
民宿点 普通型民宿 品质型民宿
甲乙丙丁戊己庚辛 16 8 12 14 13 18 9 20 6 16 4 10 11 10 9 12
(1)从这8家中随机抽取3家，在抽取的这3家的普通型民宿的房间均不低于 10间的条件下，求这3家的品质型民宿的房间均不低于10间的概率；
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第二部分
探究核心题型
题型一 二项分布
例1 (2023·广东大湾区联考)某工厂车间有6台相同型号的机器，各台机
器相互独立工作，工作时发生故障的概率都是
1 4
，且一台机器的故障能由
一个维修工处理.已知此厂共有甲、乙、丙3名维修工，现有两种配备方案，
方案一：由甲、乙、丙三人维护，每人负责2台机器；方案二：由甲、乙
知识梳理
(3)两点分布与二项分布的均值、方差 ①若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝ p ，D(X)＝ p(1－p) . ②若X～B(n，p)，则E(X)＝ np ，D(X)＝ np(1－p) .
知识梳理
2.超几何分布 一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随机 抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为
(4)当μ取定值时，正态曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“矮胖”.
二项分布和超几何分布
二项分布和超几何分布二项分布和超几何分布是统计学中比较常见的两个概率分布，它们都是很重要的知识点，被应用在许多领域，尤其是生物和药物研究等统计分析中。
在本文中，我们将对这两个概率分布进行介绍和比较，包括定义、性质、应用、关系以及如何求解这两个概率分布。
一、二项分布二项分布是一种偏态分布，也被称为二项概率分布，它以独立的事件进行描述，用来描述一个独立的试验或该试验的结果。
它形成了一种定义精确的概率模型，用来对实际问题进行分析、预测和解决。
二项分布中有两个参数，即n（试验次数）和p（每次试验成功的概率）。
假设有一个试验，该试验有n次，每次试验成功的概率为p，则最终成功的次数X服从二项分布：X~B(n,p)。
其性质如下：（1）二项分布的期望值E[X] = np。
（2）二项分布的方差 D[X]= npq=np（1-p）。
（3）当n趋于无穷大，p趋于某一定值时，此时X服从泊松分布。
（4）二项分布的n和p均大于0，当n=1时，二项分布即成为伯努利分布。
二项分布的应用非常广泛，常被应用在质量控制、生物学、总体调查中。
比如，在质量检验中，二项分布被应用在检验样本中不良品率检验；在生物学中，可以用二项分布研究DNA分子的突变率；在总体调查中，也可用二项分布来描述一个样本是否属于某一总体。
求解二项分布的方法：一般通过概率计算和抽样模拟的方法。
概率计算方法是对二项分布概率的精确计算，即在已知成功的概率p和试验次数n的情况下，可以精确算出在n次试验中成功m次出现的概率。
而抽样模拟方法是通过实际模拟事件，用实际上发生的次数来估计概率，为此可以用计算机模拟，从而统计概率出现的次数。
二、超几何分布超几何分布也称为无限取样分布，是一种古典的概率分布，用来描述一系列独立事件中指定类型的成功次数的分布情况。
它和二项分布很相似，但它的背后的模型是不同的。
超几何分布有三个参数，即n（试验次数）、N（总体样本数）和p（每次试验成功的概率）。
高考数学复习知识点讲解教案第65讲 二项分布与超几何分布、正态分布
正态曲线： =
1
2π
−
⋅e
− 2
22
, ∈ ，其中 ∈ ， > 0为参数，称
正态密度曲线
为正态密度函数，函数 的图象为_________________,简称正态曲线.
（2）
正态曲线的特点
=
①曲线是单峰的，它关于直线________对称.
②
=
1
曲线在________处达到峰值
3
［思路点拨］（1）由题可求出一次试验成功的概率，设试验成功的次数为，可
知服从二项分布，再利用方差的性质即可求解.
[解析] 由题意得，启动一次出现的数字为 = 1010的概率 =
设试验成功的次数为，则～
所以的方差 = 54 ×
2
27
×
25
27
2
54,
27
=
2
1
3
2
3
× =
2
.
记选出女生的人数为，则服从超几何分布，③满足题意；
盒中有4个白球和3个黑球，每次从中随机摸出1个球且不放回，
记第一次摸出黑球时摸取的次数为，
则不服从超几何分布，④不满足题意.故填③.
5.已知随机变量 ∼
2
2,
0.35
, ≤ 0 = 0.15,则 2 ≤ ≤ 4 =______.
0 < < 1 ,用表示事件发生的次数,则的分布列为( = ) =
−
C 1 −
_________________________，
= 0,1,2,⋯ ,,称随机变量服从二项分布,记作
∼ , .
（2）
1 −
二项分布_超几何分布_正态分布
高考总复习.理科.数学
8．3σ原则
在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机 变量X只取(μ－3σ，μ＋3σ)之间的值，并简称之为3σ原则．
正态总体几乎总取值于区间(μ－3σ，μ＋3σ)之内，而在此 区间以外取值的概率只有0.0026，通常认为这种情况在一 次试验中几乎不可能发生，这是统计中常用的假设检验方 法的基本思想．
高考总复习.理科.数学
解析(1)法一：记“取出的 2 个小球上的数字互不相同” 为事件 A，
∵从袋中的 6 个小球中任取 2 个小球的方法共有 C26种， 其中取出的 2 个小球上的数字互不相同的方法有 C23C12C12，
∴P(A)＝C23CC1226C12＝3×3×2×5 2＝45.
法二：记“取出的 2 个小球上的数字互不相同”的事件 记为 A，“取出的 2 个小球上的数字相同”的事件记为 B，则 事件 A 与事件 B 是对立事件．
令k＝n得，在n次独立重复试验中，事件A全部发生的概率为P(ξ ＝n)＝Cpn(1－p)0 ＝pn.
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3．超几何分布 在含有 M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其中恰有 X 件次品数，则事件 “X ＝ k” 发生的概率为： P(X ＝ k) ＝ CkM·CCnNnN－－kM，k＝0,1,2，…，m，其中 m＝min{M，n}，且 n≤N， M≤N，n，M，N∈N*，称分布列
高考总复习.理科.数学
正态分布 N(μ，σ2))是由均值 μ 和标准差 σ 唯一决定的分 布．
标准正态总体 N(0,1)在正态总体的研究中占有重要的地 位．
7．正态总体在三个特殊区间内取值的概率值(简称三个 基本概率值)
P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.6826； P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.9544； P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.9974.
二项分布与两点分布 超几何分布 正态分布 的区别
用个例子解答吧:假设一批产品有100件,其中次品为10件。
那么:
(1)从中抽取一件产品,为正品的概率？像这种可能结果只有两种(抽的结果正品或次品)情况下就可以归纳为两点分布。
(2)有放回的抽样,抽n次,出现正品数的分布。
这个就就是二项分布了,首先,这n次试验可能出现的正品数为0~n;它相当于做了n次试验,每次都就是两点分布,也就就是说您这抽取n次,每次就是正品的概率都就是0、9。
(3)如果不放回抽取m(≤100)个,这m件产品次品数的分布如何？此问就就是超几何分布了,当然这个时候要讨论m与10谁大,以便确认分布的可能取值,这里不赘述了。
(4)正态分布就是自然界最常见的一种分布。
该分布由两个参数——平均值与方差决定。
它与其它各种分布都有着直接或间接的联系,比如说此题中二项分布,其实每个人抽取n次,最后的结果都就是不尽相同的,这就是由于抽样误差引起的。
但就是,如果好多人(N)都做这么一次试验(每个人都抽n次,并记录下正品数),那么这N个人抽到的正品数的分布就就是一个正态分布了。
(正太分布往往就是与其它分布的极限分布联系起来的,也就就是说N→∞;如果N为有限的<假设为4个>那么N的分布最复杂也就就是4个结果)
超几何分布与二项分布都就是离散型分布
超几何分布与二项分布的区别:
超几何分布需要知道总体的容量,而二项分布不需要;
超几何分布就是不放回抽取,而二项分布就是放回抽取(独立重复)
当总体的容量非常大时,超几何分布近似于二项分布、、、、、、、、、阅读(131)|评论(1)。
(完整版)二项分布、超几何分布、正态分布总结归纳及练习
二项分布与超几何分布辨析二项分布与超几何分布是两个非常重要的、应用广泛的概率模型，实际中的许多问题都可以利用这两个概率模型来解决．在实际应用中，理解并区分两个概率模型是至关重要的．下面举例进行对比辨析． 例 袋中有8个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球．求： （1）有放回抽样时，取到黑球的个数Ｘ的分布列； （2）不放回抽样时，取到黑球的个数Ｙ的分布列． 解：（1）有放回抽样时，取到的黑球数Ｘ可能的取值为０，1，2，3．又由于每次取到黑球的概率均为，3次取球可以看成3次独立重复试验，则1~35X B ⎛⎫⎪⎝⎭，．3031464(0)55125P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴；12131448(1)55125P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；21231412(2)55125P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；333141(3)55125P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．因此，X 的分布列为2．不放回抽样时，取到的黑球数Ｙ可能的取值为0，1，2，且有：03283107(0)15C C P Y C ===；12283107(1)15C C P Y C ===；21283101(2)15C C PY C ===．因此，Y 的分布列为辨析：通过此例可以看出：有放回抽样时，每次抽取时的总体没有改变，因而每次抽到某物的概率都是相同的，可以看成是独立重复试验，此种抽样是二项分布模型．而不放回抽样时，取出一个则总体中就少一个，因此每次取到某物的概率是不同的，此种抽样为超几何分布模型．因此，二项分布模型和超几何分布模型最主要的区别在于是有放回抽样还是不放回抽样．所以，在解有关二项分布和超几何分布问题时，仔细阅读、辨析题目条件是非常重要的．超几何分布和二项分布都是离散型分布超几何分布和二项分布的区别：超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要； 超几何分布是不放回抽取，而二项分布是放回抽取（独立重复） 当总体的容量非常大时，超几何分布近似于二项分布二项分布、超几何分布、正态分布一、选择题1．设随机变量ξ～B ⎝⎛⎭⎫6，12，则P (ξ＝3)的值为( ) A.516 B.316 C.58 D.7162．设随机变量ξ ～ B (2，p )，随机变量η ～ B (3，p )，若P (ξ ≥1) ＝59，则P (η≥1) ＝( )A.13B.59C.827D.19273．一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了ξ次球，则P (ξ＝12)＝( )A ．C 1012⎝⎛⎭⎫3810·⎝⎛⎭⎫582B ．C 911⎝⎛⎭⎫389⎝⎛⎭⎫582·38C ．C 911⎝⎛⎭⎫589·⎝⎛⎭⎫382D ．C 911⎝⎛⎭⎫389·⎝⎛⎭⎫582 4．在4次独立重复试验中，随机事件A 恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率，则事件A 在一次试验中发生的概率p 的取值范围是( )A ．[0.4,1)B ．(0,0.6]C ．(0,0.4]D ．[0.6,1)5．已知随机变量ξ服从正态分布N (2，σ2)，P (ξ≤4)＝0.84，则P (ξ＜0)＝( ) A ．0.16 B ．0.32 C ．0.68 D ．0.84 二、填空题6．某篮运动员在三分线投球的命中率是12，他投球10次，恰好投进3个球的概率________．(用数值作答) 答案：151287．从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出两个球，设其中有X 个红球，则X 的分布列为________．8.某厂生产的圆柱形零件的外径ε1000件零件中随机抽查一件，测得它的外径为5.7 cm.则该厂生产的这批零件是否合格________． 答案：不合格三、解答题9．一条生产线上生产的产品按质量情况分为三类：A 类、B 类、C 类．检验员定时从该生产线上任取2件产品进行一次抽检，若发现其中含有C 类产品或2件都是B 类产品，就需要调整设备，否则不需要调整．已知该生产线上生产的每件产品为A 类品，B 类品和C 类品的概率分别为0.9,0.05和0.05，且各件产品的质量情况互不影响．(1)求在一次抽检后，设备不需要调整的概率；(2)若检验员一天抽检3次，以ξ表示一天中需要调整设备的次数，求ξ的分布列．10.甲、乙两人参加2010年广州亚运会青年志愿者的选拔．打算采用现场答题的方式来进行，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题．规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才能入选．(1)求甲答对试题数ξ的概率分布； (2)求甲、乙两人至少有一人入选的概率．参考答案1、解析：P (ξ＝3)＝C 36⎝⎛⎭⎫123⎝⎛⎭⎫1－123＝516. 答案：A2、解析：∵P (ξ≥1) ＝2p (1－p )＋p 2＝59， ∴p ＝13 ，∴P (η≥1) ＝C 13⎝⎛⎭⎫13⎝⎛⎭⎫232＋C 23⎝⎛⎭⎫132⎝⎛⎭⎫23＋C 33⎝⎛⎭⎫133＝1927，故选D.3、解析：P (ξ＝12)表示第12次为红球，前11次中有9次为红球，从而P (ξ＝12)＝C 911·⎝⎛⎭⎫389⎝⎛⎭⎫582×38. 答案：B4、解析：C14p (1－p )3≤C24p 2(1－p )2，即2(1－p )≤3p ，∴p ≥0.4.又∵p <1，∴0.4≤p <15、解析：∵P (ξ≤4)＝0.84，μ＝2，∴P (ξ＜0)＝P (ξ＞4)＝1－0.84＝0.16.故选A.6、解析：由题意知所求概率P ＝C 310⎝⎛⎭⎫123⎝⎛⎭⎫127＝15128. 7、解析：这是超几何分布，P (X ＝0)＝C 03C 22C 25＝0.1；P (X ＝1)＝C 13C 12C 25＝0.6; P (X ＝2)＝C 23C 02C 25＝0.3，分布列如下表：8、解析：根据3σ原则，在4－3×0.5＝2.5~4＋3×0.5＝5.5之外为异常，所以这批零件不合格． 9、解析：(1)设A i 表示事件“在一次抽检中抽到的第i 件产品为A 类品”，i ＝1,2. B i 表示事件“在一次抽检中抽到的第i 件产品为B 类品”，i ＝1,2. C 表示事件“一次抽检后，设备不需要调整”． 则C ＝A 1·A 2＋A 1·B 2＋B 1·A 2.由已知P (A i )＝0.9，P (B i )＝0.05 i ＝1,2. 所以，所求的概率为P (C )＝P (A 1·A 2)＋P (A 1·B 2)＋P (B 1·A 2) ＝0.92＋2×0.9×0.05＝0.9.(2)由(1)知一次抽检后，设备需要调整的概率为p ＝P (C )＝1－0.9＝0.1，依题意知ξ～B (3,0.1)，ξ的分布列为10、解析：(1)P (ξ＝0)＝C 34C 310＝130，P (ξ＝1)＝C 16·C 24C 310＝310，P (ξ＝2)＝C 26·C 14C 310＝12，P (ξ＝3)＝C 36C 310＝16，其分布列如下：(2)法一：设甲、乙两人考试合格的事件分别为A 、B ，则P (A )＝C 26C 14＋C 36C 310＝60＋20120＝23， P (B )＝C 28C 12＋C 38C 310＝56＋56120＝1415.因为事件A 、B 相互独立，∴甲、乙两人考试均不合格的概率为 P()A ·B ＝P ()A ·P ()B ＝⎝⎛⎭⎫1－23⎝⎛⎭⎫1－1415＝145， ∴甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为 P ＝1－P()A ·B ＝1－145＝4445.答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为4445.法二：甲、乙两人至少有一个考试合格的概率为 P ＝P ()A ·B＋P ()A ·B ＋P ()A ·B ＝23×115＋13×1415＋23×1415＝4445. 答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为4445。
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§10.8 二项分布、超几何分布与正态分布
【一】独学：主干知识 知识梳理
一、二项分布
1．伯努利试验 只包含 试验叫作伯努利试验；将一个伯努利试验独立地重复进行n 次所组成的随机试验称为 。
2．二项分布
若随机变量X 的分布列为 其中0＜p ＜1，p ＋q ＝1，k ＝0,1,2，…，n ，则称X 服从参数为n ，p 的 ，记作X ～B (n ，p )．
3．两点分布与二项分布的均值、方差 (1)若随机变量X 服从两点分布，则E (X )＝ ，D (X )＝
(2)若X ～B (n ，p )，则E (X )＝ D (X )＝
二、超几何分布
1．定义：一般地，若一个随机变量X 的分布列为P (X ＝r )＝ ，其中r ＝0,1,2,3，…，l ，l ＝min{n ，M }，
则称X 服从 ．记为X ～H (n ，M ，N )，并将P (X ＝r )＝C r M C n －
r N －M C n N 记为H (r ；n ，M ，N )． 2．E (X )＝
三、正态分布
1．正态密度曲线
函数 x ∈R ，其中实数μ(μ∈R )和σ(σ>0)为参数，该函数的图象称为 ．
2．正态密度曲线的特征：
(1)当x <μ时，曲线 ；当x >μ时，曲线 ．当曲线向左右两边无限延伸时，以 为渐近线．
(2)曲线关于直线 对称．
(3)σ越大，曲线越 ；σ越小，曲线越 ．
(4)在曲线 和 范围内的区域面积为1.
3．正态分布
若X 是一个随机变量，则对任给区间(a ，b ]，P (a <X ≤b )是正态密度曲线下方和x 轴上(a ，b ]上方所围成的图形的面积，我们就称随机变量X 服从参数为μ和σ2的正态分布，简记为X ～N (μ，σ2)．
4．正态总体在三个特殊区间内取值的概率值
考试要求
学习重难点 1.理解二项分布、超几何分布的概念，能解决一些简单的实际问
题.
2.借助正态分布曲线了解正态分布的概念，并进行简单应用． 重点：二项分布、超几何分布、正态分布 难点：理解二项分布、超几何分布的概念，能解决一些简单的实际问题.
(1)落在区间(μ－σ，μ＋σ)内的概率约为
(2)落在区间(μ－2σ，μ＋2σ)内的概率约为
(3)落在区间(μ－3σ，μ＋3σ)内的概率约为 .
5．正态分布的均值与方差
若X ～N (μ，σ2)，则E (X )＝μ，D (X )＝σ2.
常用结论
1．两点分布是二项分布当n ＝1时的特殊情形．
2．“二项分布”与“超几何分布”的区别：有放回抽取问题对应二项分布，不放回抽取问题对应超几何分布，当总体容量很大时，超几何分布可近似为二项分布来处理．
3．在实际应用中，往往出现数量“较大”“很大”“非常大”等字眼，这表明试验可视为n 重伯努利试验，进而判定是否服从二项分布．
4．超几何分布有时也记为 X ～H (n ，M ，N )，其均值E (X )＝nM N ，D (X )＝nM N ⎝⎛⎭⎫1－M N ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－n －1N －1. 教材改编题
1．已知X ～B (20，p )，且E (X )＝6，则D (X )等于( )
A ．1.8
B ．6
C ．2.1
D ．4.2
2．在含有3件次品的10件产品中，任取4件，X 表示取到的次品的个数，则P (X ＝2)＝________.
3．某班有50名同学，一次数学考试的成绩X 服从正态分布N (110,102)．已知P (100<X ≤110)＝0.34，估计该班学生数学成绩在120分以上的有________人．
【二】互学：核心题型
题型一 二项分布
例1出租车司机从饭店到火车站途中经过六个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是13
. (1)求这位司机遇到红灯前，已经通过了两个交通岗的概率；
(2)求这位司机在途中遇到红灯数X 的均值与方差．
跟踪训练1 (2022·黄冈模拟)某公司为了解会员对售后服务(包括退货、换货、
维修等)的满意度，从下半年的会员中随机调查了20个会员，得到会员对售后
服务满意度评分的雷达图如图所示．规定评分不低于80分为满意，否则为不满
意．
(1)求这20个会员对售后服务满意的频率；
(2)以(1)中的频率作为所有会员对该公司售后服务满意的概率，假设每个会员的
评价结果相互独立，现从下半年的所有会员中随机选取3个会员．
①求只有1个会员对售后服务不满意的概率；
②记这3个会员中对售后服务满意的会员的个数为X ，求X 的均值与标准差(标准差的结果精确到0.1)．
题型二 超几何分布
例2 为庆祝建军节的到来，某校举行“强国强军”知识竞赛．该校某班经过层层筛选，还有最后一个参赛名额要在A ，B 两名学生中产生，该班委设计了一个选拔方案：A ，B 两名学生各自从6个问题中随机抽取3个问题作答．已知这6
个问题中，学生A 能正确回答其中的4个问题，而学生B 能正确回答每个问题的概率均为23
.A ，B 两名学生对每个问题回答正确与否都是相互独立的．
(1)分别求A ，B 两名学生恰好答对2个问题的概率；
(2)设A 答对的题数为X ，B 答对的题数为Y ，若让你投票决定参赛选手，你会选择哪名学生？请说明理由．
跟踪训练2 阳澄湖大闸蟹又名金爪蟹，产于江苏苏州，蟹身青壳白肚，体大膘肥，肉质膏腻，营养丰富，深受消费者喜爱．某水产品超市购进一批重量为100千克的阳澄湖大闸蟹，随机抽取了50只统计其重量，得到的结果如下表所示：
(1))
(2)某顾客从抽取的10只特大蟹中随机购买了4只，记重量在区间[260,280]上的大闸蟹数量为X ，求X 的概率分布和均值．
题型三 正态分布
例3 为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm ).根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布2(,)N μσ.
(1)假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件数，求(1)P X ；
(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查.
(ⅰ)试说明上述监控生产过程方法的合理性；
(ⅱ)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：
9.95，10.12，9.96，9.96，10.01，9.92，9.98，10.04，10.26，9.91，10.13，10.02，9.22，10.04，10.05，9.95
经计算得16119.9716i i x x ===∑，16211()16i i s x x ==-∑16221
1=(16)0.21216i i x x =-=∑，其中i x 为抽取的第i 个零件的尺寸，1,2,,16i =.用样本平均数x 作为μ的估计值μ，用样本标准差s 作为σ的估计值σ，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除(3,3)μσμσ-+之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01). 附：若随机变量Z 服从正态分布2
(,)N μσ，则
0.9974=，160.99740.9592≈0.0080.09≈．
跟踪训练3 (1)(2022·苏锡常镇四市调研)若随机变量X ～B (3，p )，Y ～N (2，σ2)，若P (X ≥1)＝0.657，P (0<Y <2)＝p ，则P (Y >4)等于( )
A ．0.2
B ．0.3
C ．0.7
D ．0.8
（2）为了解高三复习备考情况，某校组织了一次阶段考试．若高三全体考生的数学成绩近似服从正态分布N (100,17.52)．已知成绩在117.5分以上(不含117.5分)的学生有80人，则此次参加考试的学生成绩低于82.5分的概率为________；如果成绩大于135分的为特别优秀，那么本次数学考试成绩特别优秀的大约有________人．(若X ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ≤X ≤μ＋σ)≈0.68，P (μ－2σ≤X ≤μ＋2σ)≈0.96)
【三】悟学：总结提升
1. 知识点总结：
2. 方法小结：
3. 存在的疑惑：
【四】课后作业：
1. 做本节对应的课后习题；
2. 复习、订正今天上课内容；
3. 预习下一节学案。