【高考数学解题指导】高中数学轨迹方程求法梳理

高中数学轨迹方程求法梳理1．求轨迹方程的常用方法(1)直接法如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系，或这些几何条件简单明了且易于表达，只需把这种关系“翻译”成含x，y的等式，就得到曲线的轨迹方程．由于这种求轨迹方程的过程直接以曲线方程的定义为依据求解，所以称之为直接法．步骤：（1）建系，目前大部分题目都已经建好坐标系了，一般可以省略；x y；（2）设点，直接设动点坐标为(,)（3）写式，运用一定平面几何知识，写出题目中动点满足的几何关系式；（4）代入，将动点坐标、已知数据全部代入关系式；（5）化简，化简式子，注意等价性；（6）证明，证明轨迹的完备性和纯粹性，由于前几步的等价性，所以现已省略此步.(2)几何法若所求的轨迹满足某些几何性质(如线段的垂直平分线、角平分线的性质等)，则可以用几何法，列出几何式，再代入点的坐标，较简单(一般通过几何法分析转变为直接法和定义法)．几个常见定义：（1）到定点的距离等于定值的点的轨迹--------圆；（2）到定直线的距离等于定值的点的轨迹------两条平行线；（3）到两定点的距离之和为定值的点的轨迹（该和大于两定点间的距离）------椭圆（4）到两定点的距离之和为定值的点的轨迹（该和等于两定点间的距离）------线段（5）到两定点的距离之差的绝对值为定值的点的轨迹（差绝对值小于两定点间的距离）------双曲线（6）到两定点的距离之差的为定值的点的轨迹（差绝对值小于两定点间的距离）------双曲线的一支（7）到两定点的距离之差的绝对值为定值的点的轨迹（差绝对值等于两定点间距离）-----两条射线（8）到两定点的距离之差的为定值的点的轨迹（差的绝对值等于两定点间距离）----------一条射线（9）到定点与到定直线距离相等的点的轨迹（该定点不在定直线上）------抛物线（10）到定点与到定直线距离相等的点的轨迹（该定点在定直线上）-------直线注意：1..理论上，所有的几何定义法的题目都可以用直接法解决，但往往计算量大，容易出错2.而在用几何定义法做题时，也不是万能的，一定要注意定义的细节以及等价原则3.曲线的定义与方程无关，并不是说所有题一定都是标准方程(3)定义法若动点的轨迹符合某一基本轨迹的定义，则可根据定义法直接设出所求方程，再确定系数求出动点的轨迹方程．(4)相关点法（代入法或转移法）有些问题中，若动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点(称之为相关点)的运动而运动的．如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析的，这时可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程，这种求轨迹的方法叫作相关点法或坐标代入法．解题步骤：第一，需找到动点和相关点之间的坐标关系，进行表示和反表示，就是坐标转移；第二，需找到相关点在运动时满足的那个关键式，代入关键式；第三，化简即可，注意范围。

目前一般常见的题型有两种：一静一动类，双动类.(5)参数法有时求动点应满足的几何条件不易得出，也无明显的相关点，但却较易发现(或经分析可发现)这个动点的运动常常受到另一个变量(角度、斜率、比值、截距或时间等)的制约，即动点坐标(x，y)中的x，y 分别随另一变量的变化而变化，可称这个变量为参数，建立轨迹的参数方程，这种方法叫参数法，如果需要得到轨迹的普通方程，只要消去参数即可．在选择参数时，选用的参变量可以具有某种物理或几何意义，如时间、速度、距离、角度、有向线段的数量、直线的斜率、点的横(纵)坐标等，也可以没有具体的意义，选定参变量还要特别注意它的取值范围对动点坐标取值范围的影响．(6)交轨法在求动点轨迹时，有时会出现求两动曲线交点的轨迹问题，这类问题常常通过解方程组得出交点(含参数)的坐标，再消去参数求出所求轨迹的方程，该法经常与参数法并用．2．区分“求轨迹”与“求轨迹方程”的不同一般来说，若遇“求轨迹方程”，求出方程就可以了；若是“求轨迹”，求出方程还不够，还应指出方程所表示的曲线的类型，有时候，问题仅要求指出轨迹的形状，如果应用“定义法”求解，可不求轨迹方程．一、直接法求轨迹方程直接法求轨迹方程的常见类型及解题策略：(1)题目给出等量关系，求轨迹方程．直接代入即可得出方程．(2)题中未明确给出等量关系，求轨迹方程．可利用已知条件寻找等量关系，得出方程．例题1： 已知点(2,0)B -、(2,0)C ，顶点A 在坐标平面上运动，且满足4AB AC k k ⋅=-，求动点A 的轨迹方程．【解析】设动点A 的坐标为(,)x y 又4AB AC k k ⋅=-,∴00422y y x x --⋅=-+-，即22416y x += 又当点A 在x 轴上时，0AB AC k k ==，所以点A 在x 轴上时，不合题意，∴动点A 的轨迹方程是22416(0)x y y +=≠例题2： 已知ABC ∆中，||||2,||AB BC m AC ==，求点A 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形． 【解析】以BC 所在直线为x 轴，BC 中点O 为原点建立直角坐标系，则(1,0),(1,0)B C -，设点A 的坐标为(,)x y ，由||||AB m AC =m =， 化简得：222222(1)(1)(22)10m x m y m x m -+-+++-=当1m =时，轨迹为直线0x =；当1m ≠时，配方得：22222212()()11m m x y m m+++=-- （1）0m =时，方程为22210x y x +-+=，轨迹为点(1,0)；（2）0m ≠时，轨迹是圆心为（221,01m m +-），半径为22||1mm -的圆．例题3： 在平面直角坐标系xOy 中，点P (a ，b )为动点，F 1，F 2分别为椭圆12222=+by a x (a >b >0)的左，右焦点．已知△F 1PF 2为等腰三角形．设直线PF 2与椭圆相交于A ，B 两点，M 是直线PF 2上的点，满足AM →·BM →＝－2，求点M 的轨迹方程．【解析】易知a ＝2c ，b ＝3c ，可得椭圆方程为3x 2＋4y 2＝12c 2，直线PF 2的方程为y ＝3(x －c )．A ，B 两点的坐标满足方程组⎩⎨⎧3x 2＋4y 2＝12c 2，y ＝3x －c .消去y 并整理，得5x 2－8cx ＝0.解得x 1＝0，x 2＝85c ，得方程组的解⎩⎨⎧x 1＝0，y 1＝－3c ，⎩⎨⎧x 2＝85c ，y 2＝335c .不妨设A ⎝⎛⎭⎫85c ，335c ，B (0，－3c )．设点M 的坐标为(x ，y )，则AM →＝⎝⎛⎭⎫x －85c ，y －335c ，BM →＝(x ，y ＋3c )．由y ＝3(x －c )，得c ＝x －33y .于是AM →＝⎝⎛⎭⎫8315y －35x ，85y －335x ，BM →＝(x ，3x )，由AM →·BM →＝－2，即⎝⎛⎭⎫8315y －35x ·x ＋⎝⎛⎭⎫85y －335x ·3x ＝－2.化简得18x 2－163xy －15＝0.将y ＝18x 2－15163x 代入c ＝x －33y ，得c ＝10x 2＋516x >0.所以x >0.点M 的轨迹方程是18x 2－163xy －15＝0(x >0)．例题4： 已知两点(1,0),(1,0)M N -，且点P 时,,MP MN PM PN NM NP ⋅⋅⋅成公差小于零的等差数列．（1）点P 的轨迹是什么曲线？（2）若点P 的坐标为00(,)x y ，记θ为PM 与PN 的夹角，求tan θ 【解析】设(,)P x y ，∵(1,0),(1,0)M N -，∵(1,)PM MP x y =-=---， (1,)PN NP x y =-=--，(2,0)MN NM =-=，∵2(1)MP MN x ⋅=+221PM PN x y ⋅=+-，2(1)NM NP x ⋅=-，则,,MP MN PM PN NM NP ⋅⋅⋅成公差小于零的等差数列等价于2211[2(1)2(1)]22(1)2(1)0x y x x x x +-=++---+<⎧⎪⎨⎪⎩，即2230x y x +=>⎧⎨⎩所以点P 轨迹是以原点为圆心，3 （2）P 的坐标为00(,)x y ， 由220012PM PN x y ⋅=+-=， ∵20cos ||||24PM PN PM PN x θ⋅==-204x =-，∵003x <≤，∵1cos 12θ<≤ ∵03πθ≤<，∵200sin tan 3||cos x y θθθ==-巩固1： 已知⊙O 方程为x 2＋y 2＝4，过M (4,0)的直线与⊙O 交于A ，B 两点，则弦AB 中点P 的轨迹方程为____________________．【解析】根据垂径定理知：OP ∵PM ，所以P 点轨迹是以OM 为直径的圆且在∵O 内的部分，以OM 为直径的圆的方程为(x －2)2＋y 2＝4，它与∵O 的交点为(1，±3)，结合图形可知所求轨迹方程为(x －2)2＋y 2＝4(0≤x <1)．巩固2： 已知圆： ，由动点向圆引两条切线、，切点分别为、，并且，求点的轨迹。

【解析】设，由题得是直角三角形，且在直角三角形中，所以动点P 的轨迹方程为它是以点为圆心，4为半径的圆。

巩固3： 已知A ，B 为平面内两定点，过该平面内动点M 作直线AB 的垂线，垂足为N .若MN →2＝λAN →·NB →，其中λ为常数，则动点M 的轨迹不可能是( )A ．圆B ．椭圆C ．抛物线D ．双曲线【解析】以AB 所在直线为x 轴，AB 的中垂线为y 轴，建立坐标系，设M (x ，y )，A (－a,0)，B (a,0)，则N (x,0)．因为MN →2＝λAN →·NB →，所以y 2＝λ(x ＋a )(a －x )，即λx 2＋y 2＝λa 2，当λ＝1时，轨迹是圆；当λ>0且λ≠1时，轨迹是椭圆；当λ<0时，轨迹是双曲线；当λ＝0时，轨迹是直线．综上，动点M 的轨迹不可能是抛物线．C 22(1)(1)4x y ++-=P C PA PB A B 60APB ︒∠=P (,)P x y PAC ∆090.PAC ∠=PAC 030,2||4APC AC PC ∠==∴=224(1)(1)16x y =∴++-=22(1)(1)16x y ++-=(1,1)-二、定义法求轨迹方程（一）、知识精讲 定义法求轨迹方程的步骤(1)判断动点的运动轨迹满足某种曲线的定义； (2)设标准方程，求方程中的基本量； (3)求轨迹方程．例题5： 设F 为圆锥曲线的焦点，P 是圆锥曲线上任意一点，则定义PF 为圆锥曲线的焦半径，下列几个命题： ①．平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和为常数的点的轨迹是椭圆②．平面内与两个定点F 1，F 2的距离之差的绝对值为常数的点的轨迹是双曲线. ③．平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹是抛物线 ④．以椭圆的焦半径为直径的圆和以长轴为直径的圆相切 ⑤．以抛物线的焦半径为直径的圆和y 轴相切⑥．以双曲线的焦半径为直径的圆和以实轴为直径的圆相切 其中正确命题的序号是 . 【答案】④⑤⑥例题6： 已知A 、B 是两个定点，且2=AB ，动点M 到定点A 的距离是4，线段MB 的垂直平分线l交线段MA 于点P ，求动点P 的轨迹方程．【解析】过A ，B 两点的直线为x 轴，A ，B 两点的中点O 为坐标原点，建立直角坐标系 ∵2=AB ，∴A ，B 两点坐标分别为)0,1(-，)0,1(．连结PB ．∵l 垂直平分线段BM ，∴PB PM =，4==+=+AM PM PA PB PA ． 设点),(y x P ，由两点距离公式得4)1()1(2222=+-+++y x y x ， 化简方程，移项两边平方得(移项)x y x -=+-4)1(222．两边再平方移项得：13422=+y x ，即为所求点P 轨迹方程．例题7： 设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)两焦点为F 1，F 2，点Q 为双曲线上除顶点外的任一点，过焦点F 1作∠F 1QF 2的平分线的垂线，垂足为P ，则P 点的轨迹是( ) A.椭圆的一部分B.双曲线的一部分C.抛物线的一部分D.圆的一部分【解析】设点Q 在双曲线的右支上(如图)，延长QF 2，交F 1P 的延长线于点M ，连接OP ，则有||QM ＝||QF 1，P 为F 1M 的中点，∴||PO ＝12||F 2M ＝12(||QM －||QF 2)＝12(||QF 1－||QF 2)＝a ，且P 点不能落在x 轴上，故P点的轨迹是圆的一部分.例题8： 设定点F 1(0，－3)，F 2(0，3)，动点P 满足条件|PF 1|＋|PF 2|＝a ＋9a (a >0)，则点P 的轨迹是_______．【解析】∵a ＋9a≥2a ·9a ＝6.当a ＝3时，a ＋9a＝6，此时|PF 1|＋|PF 2|＝|F 1F 2|， P 点的轨迹为线段F 1F 2，当a ≠3，a >0时，|PF 1|＋|PF 2|>|F 1F 2|.由椭圆定义知P 点的轨迹为椭圆．例题9： 已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C .求C 的方程．【解析】由已知得圆M 的圆心为M (－1,0)，半径r 1＝1；圆N 的圆心为N (1,0)，半径r 2＝3.设圆P 的圆心为P (x ，y )，半径为R .因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，所以|PM |＋|PN |＝(R ＋r 1)＋(r 2－R )＝r 1＋r 2＝4>2＝|MN |.由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左，右焦点，长半轴长为2，短半轴长为3的椭圆(左顶点除外)，其方程为x 24＋y 23＝1(x ≠－2)．例题10： 设圆O 1和圆O 2是两个相离的定圆，动圆P 与这两个定圆都相切，则圆P 的圆心轨迹可能是①两条双曲线；②一条双曲线和一条直线；③一条双曲线和一个椭圆．以上命题正确的是（ ）A ．①③B ．②③C ．①②D ．①②③ 【解析】（1）12r r =，∵ 动圆与这两个圆都外切，此时轨迹为一条直线（12O O 的中垂线） ∵ 动圆与这两个圆都内切，情况同∵ ∵ 动圆与这两个圆一个外切、一个内切， 设动圆半径为R ，12r r r ==则111222||2PO R r PO R r PO PO r PO R r PO R r ⎧=+=-⎧⎪⇒-=⎨⎨=-=+⎪⎩⎩或，此时轨迹为一条双曲线（2）12r r ≠（以12r r >为例进行分析） ∵ 动圆与这两个圆都外切，11121222||PO R r PO PO r r PO R r =+⎧⇒-=-⎨=+⎩此时轨迹为双曲线的一支∵ 动圆与这两个圆都内切， 11122122||PO R r PO PO r r PO R r =-⎧⇒-=-⎨=-⎩此时轨迹为双曲线的一支∵ 动圆与这两个圆一个外切、一个内切， 则111112122222||PO R r PO R r PO PO r r PO R r PO R r ⎧=+=-⎧⎪⇒-=+⎨⎨=-=+⎪⎩⎩或，此时轨迹为一条双曲线 综上，选C巩固4： 已知两个定圆O 1和O 2，它们的半径分别是1和2，且|O 1O 2|＝4.动圆M 与圆O 1内切，又与圆O 2外切，建立适当的坐标系，求动圆圆心M 的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线．【解析】如图所示，以O 1O 2的中点O 为原点，O 1O 2所在直线为x 轴建立平面直角坐标系．由|O 1O 2|＝4，得O 1(－2,0)，O 2(2,0)．设动圆M 的半径为r ，则由动圆M 与圆O 1内切，有|MO 1|＝r －1；由动圆M 与圆O 2外切，有|MO 2|＝r ＋2. ∵|MO 2|－|MO 1|＝3.∵点M 的轨迹是以O 1、O 2为焦点，实轴长为3的双曲线的左支． ∵a ＝32，c ＝2，∵b 2＝c 2－a 2＝74.∵点M 的轨迹方程为4x 29－4y 27＝1 (x ≤－32)．巩固5： 设双曲线12222=-by a x (a >0，b >0)两焦点为F 1，F 2，点Q 为双曲线上除顶点外的任一点，过焦点F 1作∠F 1QF 2的平分线的垂线，垂足为P ，则P 点的轨迹是( ) A.椭圆的一部分B.双曲线的一部分C.抛物线的一部分D.圆的一部分【解析】设点Q 在双曲线的右支上(如图)，延长QF 2，交F 1P 的延长线于点M ，连接OP ，则有||QM ＝||QF 1，P 为F 1M 的中点，∵||PO ＝12||F 2M ＝12(||QM －||QF 2)＝12(||QF 1－||QF 2)＝a ，且P 点不能落在x 轴上，故P点的轨迹是圆的一部分.三、“代入法”或“相关点”求轨迹方程（一）、知识精讲“代入法”或“相关点法”的基本步骤：(1)设点：设被动点坐标为(x ，y )，主动点坐标为(x 1，y 1)；(2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝f (x ，y )，y 1＝g (x ，y )；(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程． 例题11：求椭圆2221x y +=关于直线:210l x y +-=对称的曲线方程．【解析】设对称后曲线上任一点(,)P x y ，它关于l 的对称点为(,)P a b '则有210222()()0a x b y a x b y ++⎧+⋅-=⎪⎨⎪---=⎩，解得34254345x y a x y b -+⎧=⎪⎪⎨--+⎪=⎪⎩所以342434(,)55x y x y P -+--+' 又因为P '应在原来的椭圆上，所以代入得：22342434()2()155x y x y -+--++= 例题12：双曲线2222by a x -=1的实轴为A 1A 2，点P 是双曲线上的一个动点，引A 1Q ⊥A 1P ，A 2Q ⊥A 2P ，A 1Q 与A 2Q 的交点为Q ，则Q 点的轨迹方程为( )A. 22224()a x b y a x a +=≠± B. 22224()a x b y a x a -=≠± C. 22224()b y a x b y b -=≠± D. 22224()b x a y b y b +=≠±【解析】设P (x 0,y 0）(x ≠±a ),Q (x ,y ).∵A 1(－a ,0),A 2(a ,0).由条件⎪⎩⎪⎨⎧-=±≠-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-⋅--=+⋅+y a x y a x x x ax y a x y a x y a x y220000000)( 11得 而点P (x 0,y 0)在双曲线上，∴b 2x 02－a 2y 02=a 2b 2.即b 2(－x 2)－a 2(ya x 22-)2=a 2b 2化简得Q 点的轨迹方程为：a 2x 2－b 2y 2=a 4(x ≠±a ). 例题13：设直线x －y ＝4a 与抛物线y 2＝4ax 交于两点A ，B (a 为定值)，C 为抛物线上任意一点，求△ABC 的重心的轨迹方程．【解析】设∵ABC 的重心为G (x ，y )，点C 的坐标为(x 0，y 0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)由方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝4a ，y 2＝4ax ，消去y 并整理得：x 2－12ax ＋16a 2＝0.∵x 1＋x 2＝12ay 1＋y 2＝(x 1－4a )＋(x 2－4a )＝(x 1＋x 2)－8a ＝4a .∵G (x ，y )为∵ABC 的重心 ∵⎩⎨⎧x ＝x 0＋x 1＋x 23＝x 0＋12a3，y ＝y 0＋y 1＋y 23＝y 0＋4a3，∵⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3x －12a ，y 0＝3y －4a .又点C (x 0，y 0)在抛物线上 ∵将点C 的坐标代入抛物线的方程得：(3y －4a )2＝4a (3x －12a )，即(y －4a 3)2＝4a3(x －4a )．又点C 与A ，B 不重合，∵x 0≠(6±25)a ，∵∵ABC 的重心的轨迹方程为(y －4a 3)2＝4a 3(x －4a )(x ≠(6±253)a )例题14：已知椭圆1222=+y x ， （1）求过点⎪⎭⎫⎝⎛2121，P 且被P 平分的弦所在直线的方程；（2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；（3）过()12，A 引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；（4）椭圆上有两点P 、Q ，O 为原点，且有直线OP 、OQ 斜率满足21-=⋅OQ OP k k ，求线段PQ 中点M 的轨迹方程．【解析】设弦两端点分别为()11y x M ，，()22y x N ，，线段MN 的中点()y x R ，，则221122221212222222x y x y x x x y y y ⎧+=⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩，①，②，③，④ ∵－∵得()()()()022*******=-++-+y y y y x x x x ．由题意知21x x ≠，则上式两端同除以21x x -，有()()0221212121=-+++x x y y y y x x ，将③④代入得022121=--+x x y y yx ．⑤（1）将21=x ，21=y 代入∵，得212121-=--x x y y ，故所求直线方程为： 0342=-+y x ． ∵ 将∵代入椭圆方程2222=+y x 得041662=--y y ，0416436>⨯⨯-=∆符合题意，0342=-+y x 为所求． （2）将22121=--x x y y 代入∵得所求轨迹方程为： 04=+y x ．（椭圆内部分）（3）将212121--=--x y x x y y 代入∵得所求轨迹方程为： 022222=--+y x y x ．（椭圆内部分）（4）由∵＋∵得 ：()2222212221=+++y y x x ， ∵， 将∵∵平方并整理得 212222124x x x x x -=+，∵， 212222124y y y y y -=+， ∵将∵∵代入∵得：()224424212212=-+-y y y x x x ， ∵ 再将212121x x y y -=代入∵式得： 221242212212=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-x x y x x x ， 即 12122=+y x ． 巩固6： 自椭圆221204x y +=上的任意一点P 向x 轴引垂线，垂足Q ，则线段PQ 中点M 轨迹方程为【答案】)0(12022≠=+y y x巩固7： 已知P (4，0)是圆x 2+y 2=36内的一点，A 、B 是圆上两动点，且满足∠APB =90°，则矩形APBQ的顶点Q 的轨迹方程是( )A. 2256x y += B.22139x y += C. 22139x y -= D. 2272x y += 【解析】设AB 的中点为R ，坐标为(x ,y )，则在Rt∵ABP 中，|AR |=|PR |.又因为R 是弦AB 的中点，依垂径定理：在Rt∵OAR 中，|AR |2=|AO |2－|OR |2=36－(x 2+y 2)， 又|AR |=|PR |=22)4(y x +-所以有(x －4)2+y 2=36－(x 2+y 2),即x 2+y 2－4x －10=0因此点R 在一个圆上，而当R 在此圆上运动时，Q 点即在所求的轨迹上运动.设Q (x ,y )，R (x 1,y 1)，因为R 是PQ 的中点，所以x 1=2,241+=+y y x , 代入方程x 2+y 2－4x －10=0,得244)2()24(22+⋅-++x y x －10=0。