平面向量复习提纲
高三《平面向量》复习建议
2017. 向量共线定理、向量夹角公式、 简易逻辑的判定方法
2018.（理）向量模相等的运算 （文）两向量垂直的坐标运算
平面向量的考查形式与试题特点：
2、重点考查基础知识：
重点考查平面向量的基本概念、基本运算律、 基本运算技能，试题多数为中档以下题。其中四 种运算中的数量积、运算形式中的坐标运算、向 量的位置关系中平行、垂直是重点内容 。
明确考试要求，落实基础知识
二、一轮复习建议
1.全面复习落实基础
（1）平面向量基本定理； （2）两个向量垂直、平行的充要条件； （3）几何表示（有向线段表示的向量）、字母表 示（符号语言表示的向量）、坐标表示（坐标语 言表示的向量）； （4）向量的加法、减法，实数与向量的积，向量 的数量积
“一个基本定理、两个充要条件、 三种表示方法、四种向量运算”。
√
向量 坐标表示
用坐标表示平面向量的加法、减法与数
√
乘运算
用坐标表示的平面向量共线的条件
√
平 面 向 量 的 数量积
√
数量积
数量积的坐标表示
√
用数量积表示两个向量的夹角
√
用数量积判断两个平面向量的垂直关系
√
向量的应用 用向量方法解决简单的问题
√
平面向量的考试层次要求
C级要求：
向量加法、减法、数乘及其坐标运算 两向量共线与垂直的表示 数量积及其坐标表示
（A） 充分而不必要条件 （B） 必要而不充分条件 （C） 充分必要条件 （D） 既不充分也不必要条件
向量的数量积,向量共线
近十年的北京高考题回顾
（2016•北京理 4）设 ， 是向量，则“| |=| |”是“| + |=| ﹣ |”的（ D ）
平面向量的复习
知识点梳理：一、向量的概念与线性运算 1．向量的有关概念2.向量的线性运算 —三角形法则（1）加法：三角形法则（或平行四边形法则）；满足的运算有：交换律；结合律 （2）减法：三角形法则 3．实数与向量的积⑴定义：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ． 它的长度与方向规定如下：①||||||λλ=⋅a a ；②当0λ>时，λa 的方向与a 的方向 相同 ；当0λ<时，λa 的方向与a 的方向 相反 ． 当0λ=或0a =时，λ0a =.⑵运算律：设λ、μ为实数，那么：①()()λμλμ=a a ；②()λμλμ+=+a a a ；③()λλλ+=+a b a b ． 4．共线的充要条件⑴向量b 与非零向量a 共线的充要条件是：有且只有一个实数λ，使得 a b λ= ．⑵平面上三点A 、B 、C 共线的充要条件是：存在实数α、β，使OA OB OC αβ=+，其中αβ+= 1 ，O 为平面内任一点．基础自测1．（2012佛山二模）已知非零向量a 、b ，则“+0a b =”是“a ∥b ”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．在平行四边形ABCD 中, AB CD BD -+=( ) A. DB B. AD C. AB D. AC3．设P 是ABC ∆所在平面内的一点，2BC BA BP +=，则（ ）A.PA PB +=0B. PA PC +=0C. PB PC +=0D. PA PB PC ++=0 4．（2012四川高考）设a 、b 都是非零向量，下列四个条件中，使||||=a ba b 成立的充分条件是（ ） A ．||||=a b 且a ∥b B ．=-a b C ．a ∥b D ．2=a b 考点1 向量的基本概念【例1】判断下列各命题是否正确，并说明理由．①若=a b ，则=a b ； ②=a b ，=b c ，则=a c ； ③//a b ，//b c ，则//a c ；④若AB DC =，则点A 、B 、C 、D 在同一直线上. 其中正确命题的序号是 .【变式】在四边形ABCD 中，若AC AB AD =+，则四边形ABCD 的形状一定是（ ） A ．平行四边形 B ．菱形 C ．矩形 D ． 正方形考点2 向量的线性运算【例2】如图，已知12OA =e ，24OB =e . (1)若点C 是AB 的中点，求OC ；(2)若点C 、D 是线段AB 的两个三等分点，求OC 、OD ．【变式】已知ABC ∆和点M 满足0PA PB PC ++=．若存在实m 使得AB AC mAP +=成立，则m =（ ）OBCAOBC D AA ．2B ．3C ．4D ．5考点3 共线向量定理的应用【例3】设两个非零向量a 、b 不共线．（1）若AB =+a b ，28BC =+a b ，3()CD =-a b ．求证：A 、B 、D 三点共线. （2）试确定实数k 的值，使k +a b 和k +a b 是两个平行向量．【变式】（2012广州二模）在平行四边形ABCD 中，点E 是AD 的中点，BE 与AC 相交于点F ，若EF mAB nAD =+(,)m n R ∈，则mn的值为_________．二、平面向量的基本定理与坐标表示 1．平面向量基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个 不共线 向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝21e e λλ+． 2．平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量 i 、j 作为基底．对于平面内的一个向量a ，有且只有一对实数x 、y ，使a ＝xi ＋yj ，把有序数对()y x ,叫做向量a 的坐标，记作a= ()y x ,；等的向量其坐标相同，坐标相等的向量是相等向量． 3. 平面向量的坐标运算（1）若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b=________________, a －b=_________________, （2）若A (x 1, y 1), B (x 2, y 2), 则= （3）若a =(x 1, y 1), 则=a λ4. 若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b ⇔ ．5.平面向量的模（1）若a ＝(x ，y )，则|a|=__________.（2）若A (x 1, y 1), B (x 2, y 2), =6．三点共线定理：若OC OA OB λμ=+，且1λμ+=，则A 、B 、C 三点共线． 基础自测1．（2012广东高考）若向量(1,2)AB =，(3,4)BC =，则AC =（ ） A ．(4,6) B ．(4,6)-- C ．(2,2)-- D ．(2,2) 2．（2012湛江一模）已知向量(1,3)=a ，(2,)x =b ，且a ∥b ，则x =（ ） A ．23-B ．23C ．6D ．6- 3．（2012湛江一模）已知向量(2,3)a =，(,1)k b =，若(2)+a b ∥()-a b ，则k =（ ） A ．6- B ．23-C ．23D ．144．（2012肇庆二模）已知平行四边形ABCD 中，(3,7)AD =，(2,3)AB =-，对角线AC 与BD 交于点O ，则CO 的坐标为（ ）A ．1(,5)2- B ．1(,5)2 C ．1(,5)2- D ．1(,5)2-- 考点1 平面向量基本定理【例1】如图，在平行四边形ABCD 中，M ，N 分别为DC ， BC 的中点，已知AM =c ，AN =d ，试用c ，d 表示AB ，AD ．【变式】(2012潮州质检)如图，在ABC ∆中，若点D 是边AB 上靠近点B的三等分点，若CB =a ，CA =b ，则CD =( )A ．1233+a b B ．2133+a bC ．3455+a bD ．4355+a b考点2 平面向量的坐标运算【例2】已知点(1,2)A -，(2,8)B 及13AC AB =，13DA BA =-． 求点C 、D 和CD 的坐标．【变式】在ABC ∆中，点P 在BC 上，且2BP PC =，点Q 是AC 的中点，若(4,3)PA =，(1,5)PQ =，则BC =（ ）A ．(2,7)-B ．(6,21)-C ．(2,7)-D ．(6,21)- 考点3 平面向量共线的坐标表示【例3】平面内给定三个向量(3,2),(1,2),(4,1)==-=a b c ，回答下列问题： （1）求满足m n =+a b c 的实数,m n ； （2）若()//(2)k +-a c b a ，求实数k ；（3）若d 满足()//()-+d c a b ，且-=d c d ．【变式】（2012广州二模）已知向量(3,4)OA =-，(6,3)OB =-，(,1)OC m m =+，若AB ∥OC ，则实数m 的值为（ ） A ．32-B ．14- C ．12 D ．32三、平面向量的数量积1．两个向量的夹角：已知非零向量a 与b ，作OA =a ， OB =b ，则AOB θ∠=叫做向量a 与b 的夹角，a 与b 的夹角范围是 ．2．两个向量的数量积已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则⋅=a b cos θ⋅a b 叫做a 与b 的数量积． 规定0⋅=0a ． 3．向量的投影cos θa 叫做向量a 在b 方向上的投影．cos θb 叫做向量b 在a 方向上的投影．4．向量数量积的运算律⑴⋅=⋅a b b a ；⑵()λ⋅=a b ()λ⋅a b ＝()λ⋅a b ()R λ∈；⑶()+⋅=a b c ⋅+⋅a c b c ． 6．平面向量数量积的坐标运算设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，,θ>=<a b ．⑴⋅a b = ．⑵⊥a b ⇔ ． ⑶cos θ=．基础自测1．（2012辽宁高考）已知向量(1,1)=-a ，(2,)x =b ．若1⋅a b =，则x =（ ） A ．1- B ．12-C ．12D ．12．（2012福建高考）已知向量(1,2)x =-a ，(2,1)=b ．则⊥a b 的充要条件是（ ） A ． 12x =-B ． 1x =-C ． 5x =D ． 0x = 3．（2012佛山二模）设向量a 、b 满足:1=a ，2=b ，()0⋅-=a a b ，则a 与b 的夹角是（ ） A ．30︒ B ．60︒ C ．90︒ D ．120︒ 4．（2012珠海二模）已知单位向量a ，b ，其夹角为3π，则+=a b （ ）A ．3BC ．2D ．B C考点1 数量积的运算【例1】如图，在边长为1的正三角形ABC 中，设2,3BC BD CA CE ==，则AD BE ⋅=______．【变式】（2012江门一模）如图，ABC ∆中，3=AC ，4=BC ，o 90=∠C ，D 是BC 的中点，则BA AD ⋅=（ ）A ．0B ．135C ．17D ．17-考点2 向量的夹角【例2】（2012汕头二模）已知直线2y x =上一点P 的横坐标为a ，有两个点(1,1)A -、(3,3)B ，使向量PA 与PB 的夹角为钝角，则a 的取值范围是 ．【变式】（2012门头沟一模）向量4=a ，向量(0,2)=b ，若()+⊥a b b ，则向量a 与b 的夹角的大小是（ ） A ．65πB ．32π C ．3π D ．6π 考点3 数量积的综合应用【例3】（2012房山一模）如图，边长为1的正方形ABCD 的顶点A ，D 分别在x 轴、y 轴正半轴上移动，则OB OC ⋅的最大值是（ ）A ．2 B．1 C ．π D ．4CBAE【变式】（2012广州一模）已知两个非零向量a 与b ，定义sin θ⨯=a b a b ，其中θ为a 与b 的夹角．若(3,4)-a =， (0,2)b =，则⨯a b 的值为（ ）A ．8-B ．6-C ．6D ．8 课堂练习： 一、选择题1．(2013·湛江质检)若a ＋c 与b 都是非零向量，则“a ＋b ＋c ＝0”是“b ∥(a ＋c )”的( ) A．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 2．设P是△ABC所在平面内的一点，BC →＋BA →＝2BP →，则( )A.PA →＋PB →＝0B.PC →＋PA →＝0C.PB →＋PC →＝0D.PA →＋PB →＋PC →＝0 3．下列命题中是真命题的是( )①对任意两向量a 、b ，均有：|a |－|b |＜|a |＋|b |；②对任意两向量a 、b ，a －b 与b －a 是相反向量； ③在△ABC中，AB →＋BC →－AC →＝0；④在四边形ABCD中，(AB →＋BC →)－(CD →＋DA →)＝0. A．①②③ B．②④ C．②③④ D．②③4．已知A、B、C三点共线，点O在该直线外，若OB →＝λOA →＋μOC →，则λ＋μ的值为( ) A．0 B．1 C．2 D．35．(2013·佛山调研)已知e 1≠0，λ∈R，a ＝e 1＋λe 2，b ＝2e 1，则a 与b 共线的条件是( ) A．λ＝0 B ．e 2＝0 C．e 1∥e 2D．e 1∥e 2或λ＝0二、填空题6．如图4－1－2所示，向量a －b ＝________(用e 1，e 2表示)．图4－1－27．(2013·揭阳模拟)已知点O为△ABC外接圆的圆心，且0=++，则△ABC的内角A等于__． 8．已知向量a ，b 是两个非零向量，则在下列四个条件中，能使a 、b 共线的条件是________(将正确的序号填在横线上)．①2a －3b ＝4e ，且a ＋2b ＝－3e ；②存在相异实数λ、μ，使λa ＋μb ＝0；③x a ＋y b ＝0(实数x，y满足x＋y＝0)；④若四边形ABCD是梯形，则AB →与CD →共线． 三、解答题9．(2013·清远调研)如图4－1－3所示，在△ABC中，AN →＝13NC →，P是BN上的一点，若AP →＝m AB →＋211AC →，求实数m的值．图4－1－310．设a ，b 是不共线的两个非零向量．(1)若OA →＝2a －b ，OB →＝3a ＋b ，OC →＝a －3b ，求证：A、B、C三点共线． (2)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a －3b ，CD →＝2a －k b ，且A、C、D三点共线，求k的值．课后作业： 一、选择题1．(2013·佛山模拟)已知平面向量a ＝(x，1)，b ＝(－x，x 2)，则向量a ＋b ( ) A．平行于x轴 B．平行于第一、三象限的角平分线 C．平行于y轴 D．平行于第二、四象限的角平分线2．设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2，4)，若表示向量4a 、3b －2a 、c 的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c 为( )A．(1，－1) B ．(－1，1) C ．(－4，6) D ．(4，－6)3．(2013·东莞质检)若a ＝(1，2)，b ＝(－3，0)，(2a ＋b )∥(a －m b )，则m＝( ) A．－12B.12C．2D．－24．△ABC的三内角A、B、C所对边的长分别为a，b，c，设向量p ＝(a＋c，b)，q ＝(b－a，c－a)，若p ∥q ，则角C的大小为( )A.π6.π3C.π2D.2π35．(2013·阳江模拟)设向量a ，b 满足|a |＝25，b ＝(2，1)，则“a ＝(4，2)”是“a ∥b ”成立的是( ) A．充要条件 B ．必要不充分条件 C．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题6．已知同时作用于某物体同一点的三个力对应向量分别为f 1＝(－2，－1)，f 2＝(－3，2)，f 3＝(4，－3)，为使该物体处于平衡状态，现需在该点加上一个力f 4，则f 4＝________．7．(2013·潮州模拟)在△ABC中，若点D是边AB上靠近点B的三等分点，若CB →＝a ，CA →＝b ，则CD →等于________．8．(2013·广州调研)已知A(－3，0)，B(0，3)，O为坐标原点，C在第二象限，且∠AOC＝30°，OC →＝λOA →＋OB →，则实数λ的值为________． 三、解答题9．设坐标平面上有三点A，B，C，i ，j 分别是坐标平面上x轴、y轴正方向上的单位向量，若向量AB →＝i －2j ，BC →＝i ＋m j ，那么是否存在实数m，使A，B，C三点共线．10．已知点O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)，且OP →＝OA →＋tAB →(t∈R)，问： (1)t为何值时，点P在x轴上？点P在二、四象限角平分线上？(2)四边形OABP能否成为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由．图4－2－31111．(2013·广东六校模拟)如图4－2－3，G是△OAB的重心，P，Q分别是边OA、OB上的动点，且P，G，Q 三点共线．(1)设PG →＝λPQ →，将OG →用λ，OP →，OQ →表示；(2)设OP →＝x OA →，OQ →＝y OB →，证明：1x ＋1y是定值．◆学生对本周课小结：___________________________________________________________◆教师点评： 学生签名： 家长签名：______年_＿月_＿日。
平面向量知识点复习
平面向量复习一、向量的基本概念1、既有_大小___又有_方向___的量叫做向量。
用有向线段表示向量时，有向线段的长度表示向量的_大小___，有向线段的箭头所指的方向表示向量的_方向___ 。
2、 长度为零的向量 叫零向量。
3、 长度等于1个单位长度的向量 叫做单位向量。
4、_方向相同或相反___的_非零___向量叫做平行向量，因为任一组平行向量都可以平移到同一条直线上，所以平行向量也叫做_共线向量__ 。
注意：零向量与任一向量平行。
5、 长度相等 且 方向相同 的向量叫做相等向量。
长度相等方向相反的向量 叫做相反向量。
二、向量的表示方法几何表示法：用有向线段表示 字母表示法：印刷用粗体a ,书写用a ，或者AB坐标表示法：（y x ,）三、向量的模向量的模即向量的长度。
1、若A 的坐标为（y x ,），求OA 则OA =22y x +2、若A 的坐标为),(11y x ，B 的坐标为),(22y x ，求AB则AB =212212)()(y y x x -+-四、向量的线性运算1、向量的加法和减法（1）向量加法的三角形法则：两个向量的和，即它们首尾相连，连接第一个向量的起点到第二个向量的终点之间的有向线段，方向从第一个向量的起点指向第二个向量的终点。
记忆口诀：首尾相连、连接首尾、指向终点。
（2）向量加法的平行四边形法则：已知两个从同一点A 出发的两个向量AD 、AB ，以AD 、A B 为邻边作平行四边形ACDB ，则以A 为起点的对角线AC 就是向量AD 、AB 的和。
实例：物理中两个力的合力的求法。
记忆口诀：共起点，对角连。
（3）向量的减法：两个向量的差，即它们起点相连，连接两个向量的终点的有向线段，方向为从减数指向被减数。
2、向量加法的运算法则对于零向量和任一向量a ：a a a =+=+00对于相反向量：0)()(=+-=-+a a a a 交换律：a b b a +=+结合律：)()(c b a c b a ++=++3、向量的数乘1）实数λ与向量a 的积也是一个向量，记作a λ，它的长度和方向规定如下：（1）a a λλ=（2）当λ>0时，a λ与a 方向相同；当λ<0时，a λ与a 方向相反；当a =0时，a λ=0；当λ=0，a λ=0。
向量复习提纲
一、向量的概念及基本运算基础知识1.向是既有_______又有______的量，向量常用有向线段来表示。
向量AB 的长度记作____；2.长度为零的向量叫做____,记作____;长度等于1的向量叫做____，记作0e ；3.方向相同或相反的向量叫_________,也叫________，记作______；其中，长度相等，方向相同的向量叫________；长度相等，方向相反的向量叫________。
注：规定零向量平行任何向量。
4.向量的加法(1)平行四边形法则：设a b 、不共线，作AB a ＝，AD b ＝，以AB 、AD 为邻边作平行四边形ABCD ，则对角线上的向量AC a b +=.(2)多边形法则：已知n 个向量，依次把这n 个向量首尾相连，以第一个向量的始点为始点，第n 个向量的终点为终点的向量就是这n 个向量的和向量。
线向量求和 注：作向量+,(1)用平行四边形法则时,a b 、需要共始点不共线;(2)用三角形法则时a b 、需要首尾相接.5.向量的减法:把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差就是以减向量的终点为始点，被减向量的终点为终点的向量。
注：作向量-要用三角形法则,需要a b 、共起点且“终向量减始向量” 6.常见运算：(1)BC _____AB +=(2)_____=-P (终向量减始向量)(3)0112231_____n n P P PP P P P P -+++⋯+=(首尾相接)(4)多边形的性质:122311_____n n n PP P P P P P P -++⋯++=(循环相接) (5)_____-=(6)ABCD 中，则AB AD +=______；ABAD =－______。
4. 数乘运算：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作_____,它的长度与方向规定如下：①λ②当λ>0时，a λ与a 的方向____,当λ<0时，a λ与a 的方向____，λ当=0时，λa ＝_______，方向任意。
高二必修4数学第二章平面向量复习要点梳理
高二必修4数学第二章平面向量复习要点梳理数学是研究现实世界空间形式和数量关系的一门科学。
小编准备了高二必修4数学第二章平面向量复习要点，希望你喜欢。
1.向量的概念(1)向量的基本要素：大小和方向.(2)向量的表示：字母表示(注：印刷体是粗体字母，书写体是字母上面加个) 坐标表示法a=xi+yj=(x，y)注：i、j是单位向量。
(3)向量的长度：即向量的大小，记作|a|.(4)特殊的向量：零向量a=0|a|=0.单位向量aO为单位向量|aO|=1.说明：零向量、单位向量的定义都是只限制大小，不确定方向.(5)相等的向量：大小相等，方向相同(x1，y1)=(x2，y2)(6)相反向量：a=-bb=-aa+b=0(7)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量，称为平行向量.记作a//b.平行向量也称为共线向量.(8)两个非零向量夹角的概念：已知非零向量a与b，作OA=a，OB=b，则AOB=(0≦≦)叫a与b的夹角说明：①当=0时，a与b同向;②当时，a与b反向;③当/2时，a与b垂直，记a规定零向量和任意向量都垂直。
④注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的范围0q(9)向量的投影：定义：|b|cosq叫做向量b在a方向上的投影，投影也是一个数量，不是向量;观察内容的选择，我本着先静后动，由近及远的原则，有目的、有计划的先安排与幼儿生活接近的，能理解的观察内容。
随机观察也是不可少的，是相当有趣的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛虫等，孩子一边观察，一边提问，兴趣很浓。
我提供的观察对象，注意形象逼真，色彩鲜明，大小适中，引导幼儿多角度多层面地进行观察，保证每个幼儿看得到，看得清。
看得清才能说得正确。
在观察过程中指导。
我注意帮助幼儿学习正确的观察方法，即按顺序观察和抓住事物的不同特征重点观察，观察与说话相结合，在观察中积累词汇，理解词汇，如一次我抓住时机，引导幼儿观察雷雨，雷雨前天空急剧变化，乌云密布，我问幼儿乌云是什么样子的，有的孩子说：乌云像大海的波浪。
高三复习提纲平面向量
高三复习提纲——《平面向量》一、常用结论（一）向量的几何运算1、,,2OA OB BA OA AB OB OA OB OM -=+=+=（M 为AB 中点）2、数量积：cos a b ab θ⋅=，a 在b 方向上的投影=cos a b a bθ⋅=3、不等关系：a b a b ⋅≤；a b a b a b-≤±≤+（二）平面向量的坐标运算1、(),a x y a xi y j =⇔=+；2、()(),,OA x y A x y =⇔；3、()()()11222121,,,,A x y B x y AB x x y y ⇒=--；(AB x =4、若()()1122,,,,a x y b x y R λ==∈，则（1）()1212,a b x x y y ±=±±；（2）()11,a x y λλλ=；（3）21a x =+（4）1212a b x x y y ⋅=+； （5）21cos x y θ=+；（6）1221//a b x y x y ⇔=； （7）12120a b x x y y ⊥⇒+=； 二、对向量夹角的考查（cos a b a bθ⋅=）1、记号：θ=,a b <>；2、范围：[]0,θπ∈，02πθθπθ=⇔⇔=⇔同向；=反向；垂直；3、只有非零向量才有夹角概念；作角时两向量必须共起点；4、,;,;,OA OB AOB AO BO AOB OA AB AOB π<>=∠<>=∠<>=-∠.5、,a b <>为直角：()0,0a b a b ⋅=≠其中；6、,a b <>为锐角：()00a b a b λλ⋅>≠>且；7、,a b <>为钝角：()00a b a b λλ⋅<≠<且 [范例解析]1、已知平面向量a ＝(3,4)，b ＝(9，x )，c ＝(4，y )，且a ∥b ，a ⊥c .(1)求b 和c ；(2)若m ＝2a －b ，n ＝a ＋c ，求向量m 与向量n 的夹角的大小．2、已知a ＝(1,3)，b ＝(1,1)，c ＝a ＋λb ，若a 和c 的夹角是锐角，则λ的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－52，＋∞B.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－∞，－52 C ．{0} D.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－52，0∪(0，＋∞)3、已知a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，当k 为整数时，向量m ＝ka ＋b 与n ＝a ＋kbOAB ab的夹角能否为60°？证明你的结论．三、对向量的模的考查：1、2a a =；2、若(),a x y =，则2a x y =+3、a 的含义[范例解析]4、已知12,a a 均为单位向量，那么若()123,1a a +=，则1a =_____________.5、设21,e e 为单位向量,非零向量R y x e y e x b ∈+=,,21,若21,e e 的夹角为6π， 则||||x b 的最大值等 于________.6、在△ABC 中，若对任意k ∈R ，有|BA →－kBC →|≥|AC →|，则△ABC 的形状是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形7、在平面斜坐标系xOy 中，∠xOy ＝45°，点P 的斜坐标定义为“若OP ＝x 0e 1＋y 0e 2(其中e 1，e 2分别为与斜坐标系的x 轴，y 轴同方向的单位向量)，则点P 的坐标为(x 0，y 0)”．若F 1(－1,0)，F 2(1,0)，且动点M (x ，y )满足|1MF |＝|2MF |，则点M 在斜坐标系中的轨迹方程为( )A ．x －2y ＝0B ．x ＋2y ＝0 C.2x －y ＝0 D.2x ＋y ＝0 8、已知向量OA ＝(λcos α，λsin α)(λ≠0)，OB ＝(－sin β，cos β)，其中O 为坐标原点．(1)若α－β＝π6且λ＝1，求向量OA 与OB 的夹角；(2)若|AB |≥2|OB |对任意实数α，β都成立，求实数λ的取值范围．四、对向量共线的考查1、定理：若0a ≠，则b a //⇔存在唯一实数λ使得b a λ=（λ符号代表方向，b aλ=）2、,,A B C 共线//AB AC ⇔()1OC OA OB O AB λμλμ⇔=++=∉且直线 [范例解析]9、已知平面向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，若|a |＝2，|b |＝3，a ·b ＝－6，则x 1＋y 1x 2＋y 2的值为( )A.23 B ．－23 C.56 D ．－56 10、设a 、b 是不共线的两个非零向量，(1)若OA ＝2a －b ，OB ＝3a ＋b ，OC ＝a －3b ，求证：A 、B 、C 三点共线；(2)若8a ＋k b 与k a ＋2b 共线，求实数k 的值；(3)设OM ＝m a ，ON ＝n b ，OP ＝α a ＋β b ，其中m 、n 、α、β均为实数，m ≠0，n ≠0，若M 、P 、N 三点共线，求证：αm ＋βn ＝1.11、如图，平行四边形ABCD 中，AD →＝b ，AB →＝a ，M 为AB 中点，N 为BD 靠近B 的三等分点，求证：M 、N 、C 三点共线． 五、向量与三角形1、角的定性：0AB AC A ⋅=⇔为直角；0AB AC A ⋅>⇔为锐角；0AB AC A ⋅<⇔为钝角 2、判定形状：锐角（或直角、钝角）∆，等腰∆，等边∆，等腰非等边∆，… 3、若三角形的三线（中线、高线、内角平分线）中有两线合一，则∆必为等腰三角形；4、若三角形的四心（重心、垂心、内心、外心）中有两心合一，则∆必为等边三角形；5、四心结论：0G GA GB GC ⇔++=为重心； 222O OA OB OC ⇔==为外心； [范例解析]12、在△ABC 中，(BC ＋BA )·AC ＝|AC |2，则三角形ABC 的形状一定是( )A.等边三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形13、已知O 为△ABC 所在平面内一点，满足2222||||||||OA BC OB CA +=+=22||||OC AB +，则O 点是△ABC 的( )A. 垂心B. 重心C. 内心D. 外心 14、已知A 、B 、C 是平面上不共线的三点，O 是三角形ABC 的重心，动点P 满足OP =31(21OA +OB 21+2OC ),则点P 一定为三角形ABC 的（ ）A. AB 边中线的中点B. AB 边中线的三等分点（非重心）C. 重心D. AB 边的中点 六、解决向量问题的常用思路1、基底法：在图形中选择两条相交线段对应的向量作为基底,a b ，其余所有向量全部均可用,a b 唯一表示，利用加法、减法、共线及基底表示的唯一性等建立等量关系。
平面向量小结复习课提纲例题(共两课时)上课使用【推荐】
高一数学备课小组
一.基本概念
1.向量及向量的模、向量的表示方法 B
1)图形表示 A 有向线段AB
2)字母表示 3)坐标表示
a AB
向 量 的 模 :|a| |A B |
axiyj(x,y)
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一.基本概念
2.零向量及其特殊性
判断正误
(1) 0长 度 为 0 ， 没 有 方 向
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一.基本概念
4.平行向量 (共线向量) 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量
5.相等向量
规定： 0//a
长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.
在保持长度和方向不变的前提下, 向量可以平行移动.平移先后两向量相等 任一组平行向量都可平移到同一直线上
6.相反向量 ( a ) a ,a ( a ) 0
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五.应用举例
例4.
平行与垂直问题
已知向量a=(cos,sin),b=(cos,sin ),
且a,b满足关系| ka b | 3 | a kb | (k 0)
1)求将a与b的数量积用k表示的解析式f(k)；
2)a能否和b垂直?a能否和b平行?若不能，则 说明理由；若能，求出对应的k值；
3)求a与b夹角的最大值.
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若 A x 1 ,y 1,B x2,y2,则
1 O A x1, y1
2 A B (x2x1,y2y1)
3 A B x2x12+y2y12
平面向量复习
7、已知||=||，，且（+）（k-），则k的值是( )
A．1
B．-1
C．0
D．-2
8、已知，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围为_____.
9、向量，满足，，则的取值范围是
．
10、已知，，，则 ．
11、非零向量和满足：，则与的夹角等于
.
12、如果＝1，＝2，与的夹角为，则等于
.
13、已知a＝（3，－4），则与a平行的单位向量是________，与a垂直
⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同；（ ）
⑦ａ与ｂ共线，ｂ与ｃ共线，则ａ与c也共线；（ ）
⑧向量ａ与ｂ不共线，则ａ与ｂ都是非零向量。（ ）
2、化简下列各式：（1）－=
；
（2）－=
；
3、下列等式不正确的是 （ ）
A.a+0=a
B.a+b=b+a
C.+≠0
D.=++
4、已知平面向量a=（1，1），b=(1,-1),则向量a-b等于
2、已知，且，则向量在向量上的投影为 3、已知a=(2,3),b=(-4,7),则a在b方向上的投影为____________ 4、已知a=(1,-2),b=(5,8),c=(2,3),则a（b·c）＝____________，
（a·b）c＝____________, |a+2b-c|=____________ 5、已知向量a,b满足|a|=1,|b|=4,且a·b=2,则a与b的夹角为 ________________ 6、已知||=3，||=4，且|－|=，则与的夹角为 ．
（3）坐标表示：，，则 3. 实数与向量的积.
（1）模的关系： （2）方向： （3）当时， （4）坐标表示：， （5）数乘的运算律：结合律：
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平面向量1.2. 向量的定义：____________________ 向量的模：__________________ 零向量：_______________________ 单位向量：__________________ 相等向量：____________________ 相反向量：____________________ 平行向量：____________________3. 加法与减法的代数运算.（1）加法：<1>平行四边形法则：起点相同，对角线为和向量。
<2>三角形加法法则：首尾相连 记：AB BC AC +=（2）减法：<1>三角形减法法则：起点相同的两个向量的差，（箭头指向被减向量） 记：OA OB BA -=（3）坐标表示：11(,)a x y = ，22(,)b x y = ，则1212(,)a b x x y y ±=±±4. 实数与向量的积（数乘）（1）模的关系：a a λλ= （2）方向：0,0,a a a a λλλλ⎧>⎪⎨<⎪⎩与方向相同与方向相反（3）当0λ＝时，0a λ ＝ （4）坐标表示：11(,)a x y = ，11(,)a x y λλλ= （5）数乘的运算律：结合律：①(a a λμλμ)＝()分配律：②()a a a λμλμ++ ＝ ③(a b a b λλλ++)＝特别地：())()a a a λλλ-=- ＝-( (a b a b λλλ-- )＝5. 向量共线定理：______________________________________即 //______________a b ⇔6. 平面向量基本定理：______________________________________ 基底的条件：①__________________ ②__________________7. 向量的数量积.① 定义：__________________ 规定：__________________ ② 夹角：__________________ 垂直：__________________③ 向量的投影：如向量a 在向量b方向上的投影，记为：_______________④ 符号问题： 00a b a b ⎧⋅>⎪⎨⋅<⎪⎩ 000009090180θθ≤<<≤⑤ 数量积的有关性质. 设a ，b 为两个非零向量，e 是与b同向的单位向量.<1> cos a e e a a θ⋅=⋅= <2> 0a b a b ⊥⇔⋅= <3> 22a a a a ⋅== 或a =<4>a b a b ⋅≤⋅ <5> cos a b a bθ⋅=⑥ 数量积的运算律：<1> 交换律：__________________<2> 结合律：__________________ <3> 分配律：__________________8. 平面向量的有关坐标表示. 设11(,)a x y = ，22(,)b x y =，（1）______________a b ⋅=（2）向量的模： 2__________a = 或 __________a = （3）两点间距离公式：11(,)A x y ，22(,)B x y ，则___________________AB =（4）两向量平行与垂直 //______________a b ⇔a b ⊥ ______________⇔（5）夹角公式：__________________二：例题讲解.例1. 已知(1,2)AB a == ，(3,2)BC b ==- ，(6,4)CD =（1）证明：,,A B D 三点共线. （2）k 为何值时，① 向量ka b + 与3a b - 平行 ② 向量ka b + 与3a b -垂直解：由题意得.（1）BD BC CD =+ 即(3,2)(6,4)(3,6)BD =-+=∵ (1,2)AB =∴3BD AB = ∴AB 与BD 共线 又 ∵ 它们有公共点 ∴,,A B D 三点共线（2）∵ (1,2)(3,2)(3,2k a b k k k +=+-=-+3(10,4)a b -=-① ka b + //3a b - ⇔(3)(4)10(22)0k k -⋅--+= 即 13k =-② ()(3)ka b a b +⊥-⇔(3)10(4)(22)0k k -⋅+-+=即 19k =（ 评： ① 三点共线的证明方法 ② 向量平行与垂直的坐标运算 ）例2. 已知向量(sin ,1)a θ= ，(1,cos )b θ= ，(,)22ππθ∈-（1）若a b ⊥求θ的值。
（2）求a b - 的最小值.解：（1）∵a b ⊥ ∴ 0a b ⋅=∴ sin cos 0θθ+= 则sin cos θθ=- 即tan 1θ=-又∵(,)22ππθ∈- ∴ 4πθ=-（2）a b -===＝===∵22ππθ-<<∴3444πππθ-<+<即sin()124πθ-<+≤∴mina b-=（评：（1）两向量垂直的性质应用 （2）数形结合 （3）坐标运算）三：基础训练.1. 若//,a b //,b c，则//a c （ ）A.总成立B. 当0a ≠ 时成立C. 当0b ≠ 时成立D. 当0c ≠时成立2. 向量()()AB MB BO BC OM ++++的值等于（ ）A. BCB. ABC. ACD. AM 3. 对任意四边形ABCD ，下列式子中不等于BC的是（ ）A. BA AD DC ++B. BD DA AC ++C. AB BD DC ++D. DC BA AD ++4. 对平行四边形ABCD ,下列结论错误的是（ ）A. AB DC =B. AD AB AC +=C. AB AD BD -=D. 0AD CB +=5. 设1e ，2e 是两个不共线的向量，则122a e e =- 与向量12()b e e R λλ=+∈ 共线，当且仅当λ的值为（ ）A. 0B. 1-C. 2-D. 12- 6. 下列正确的个数是（ ）（1） ()0a b a b +-+=（2）a λ 与a 的方向相同（R λ∈）（3）12a e e =- 与1222b e e =-+共线 （4） 12123a e e =- 与1216b e e =-- 不共线A. 0B. 1C. 2D. 37. 下面三种说法.①零向量不可作为基底中的向量②1个平面内只有1对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底 ③1个平面内只有无数对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底 其中正确的说法是（ ）A. ① ②B. ① ③C. ② ③D. ① ② ③8.已知ABCDEF 为正六边形，且AB a = ，AE b = ，则BC =（ ）A. 1()2a b -B. 1()2b a -C. 12a b +D. 1()2a b +9. 已知平行四边形OABC （O 为原点），(2,0)OA = ，(3,1)OB =，则OC 为 （ ）A. (1,1)B. (1,1)-C. (1,1)--D. (1,1)-10. 已知向量(1,1)a = ，(1,1)b =- ，则1322a b -=（ ）A. (2,1)--B. (2,1)-C. (1,0)-D. (1,2)-11. 已知10e ≠ ，R λ∈，12a e e λ=+ ，12b e = ，若a 与b共线，则（ ） A. 0λ= B. 20e = C. 12//e e D. 12//e e且0λ=12. 已知1(1,2)2a b -= ，(4,10)a b +=-，则a = （ ）A. (2,2)--B. (2,2)C. (2,2)-D. (2,2)-13. 若(2,3)a = ，(4,7)b =-，则a 在b 方向上的投影为（ ）A.B. C.D. 二：填空题.14. 已知点(1,2)A --，(2,3)B ，(2,0)C -，(,)D x y ，且2AC BD =，则__________x y +=15. 已知(sin a =∂ ，1(,cos )2b =∂ ，其中(0,)π∂∈,且//a b ，则______________∂=16. 已知(2,8)a b +=- ，(8,16)a b -=-，则cos _______θ=（θ为a 与b 的夹角）17. 已知ABC ∆中，AB a = ，AC b = ，0a b ⋅< ，154ABC S ∆=，3a =，5b = ，则a 与b 的夹角______三：解答题.1. 如图所示，ABCD 是一个梯形，//AB CD ，且2AB CD =,M N 分别是DC 与AB 的中点，已知AB a = ，AD b = ，用a ，b 表示BC ，MN.2. 已知1a = ，2b = ，且a 与b 的夹角θ为060（1）求a b ⋅ ，2()a b - ，2a b +（2）证明：a b - 与a 垂直3. 已知(cos ,sin )22a θθ= ，33(cos,sin )22b θθ=- ，且[0,]2πθ∈ （1）求a b ⋅ 及a b +（2）求函数()sin f a b a b θθ=+-⋅ 的最小值.4. 已知1)a =-，1(2b = .（1）求证：a b ⊥（2）若存在不同时为0的实数k 和t ，使得(3)c a t b =+- ，d ka tb =-+，且c d ⊥ ，试求函数关系式()k f t =（3）在（2）的结论中，求k 的最小值.。