同弦不同弧圆周角和圆心角
同弦不同弧圆周角和圆心角
在同一圆上，如果有两个切线夹在同一弧上，它们所对的圆周角相等，而它们所对的圆心角不一定相等。
具体来说，设圆的弧AB被两个切线所夹，其中一条切线在点A处，
另一条切线在点B处。则它们所对的圆周角相等，且等于1/2弧AB所对
的圆周角。而它们所对的圆心角不一定相等，可设圆心角AOB为θ，则
由正弦定理可得：
sin(θ/2) = AB / (2r)。
其中r为圆的半径。由此可见，同弦不同弧的圆心角大小取决于弦长
和圆的半径大小关系，而与弧所对的圆周角大小无关。
圆周角和圆心角的关系—知识讲解(提高)
圆周角和圆心角的关系—知识解说（提升） 【学习目标】 1．理解圆周角的观点，认识圆周角与圆心角之间的关系； 2．理解圆周角定理及推论； 3．娴熟掌握圆周角的定理及其推理的灵巧运用；经过察看、比较、剖析圆周角与圆心角的关系，发展 学生合情推理能力和演绎推理能力． 【重点梳理】 重点一、圆周角 1.圆周角定义： 像图中∠ AEB、∠ ADB、∠ ACB这样的角，它们的极点在圆上，而且两边都与圆订交的角叫做圆周角． 2.圆周角定理： 一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角度数的一半． 3.圆周角定理的推论： 推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等； 推论 2：直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 重点解说： (1)圆周角一定知足两个条件：①极点在圆上；②角的两边都和圆订交. (2)圆周角定理建立的前提条件是在同圆或等圆中. （3）圆心与圆周角存在三种地点关系：圆心在圆周角的一边上；圆心在圆周角的内部；圆心在圆周 角的外面．（以下列图） 重点二、圆内接四边形 1.圆内接四边形定义： 四边形的四个极点都在同一个圆上，像这样的四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆.
2.圆内接四边形性质： 圆内接四边形的对角互补 . 如图，四边形 ABCD是⊙ O的内接四边形，则∠ A+∠ C=180°，∠ B+∠ D=180° . B A C O D 重点解说：当四边形的四个极点不一样时在一个圆上时，四边形的对角是不互补. 【典型例题】 种类一、圆周角、圆心角、弧、弦之间的关系及应用 1.已知：以下图，⊙ O中弦 AB＝ CD．求证： AD＝ BC． 【思路点拨】 此题主假如考察弧、弦、圆心角之间的关系，要证AD＝ BC，只要证AD BC 或证∠AOD＝∠BOC即可． 【答案与分析】 证法一：如图①，∵AB ＝ CD，∴AB CD ． ∴AB BD CD BD ，即AD BC ， ∴AD ＝ BC．
圆周角与圆心角
§第9讲圆心角与圆周角 本课是在学习了圆，半径，直径，弦，弧，圆心角等概念以及圆的对称性的基础上，用推理论证的方法研究圆周角与圆心角关系。它在与圆有关推理、论证和计算中应用广泛，是本章重点内容之一。 【知识点清单】 §Ⅰ圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 1.圆的旋转不变性：把圆绕着圆心旋转角度，都与原来的图形重合，我们把这种性质称为圆的。则圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。 2.圆心角：顶点在的角。 3.弦心距：从圆心到的距离叫作弦心距，弦心距可以说成是圆心到弦的垂线段的长度。 4 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系（即四量定理）：在中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。 推论：在同圆或等圆中，如果两个、、或中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 5．1 的弧：把顶点在圆心的周角等分成360份时，每1份的圆心角 是1 的角；把整个圆也被分成360份，我们把每一份这样的弧叫作的弧。 6.圆心角度数定理：圆心角的度数和它所对的弧的度数。 §Ⅱ圆周角及其相关定理 1．圆周角：顶点在圆上，两边和圆相交的角叫圆周角。 注意：(1)圆周角必须具备两个特征：①顶点在圆周上；②角的两边都和圆相交。如下图中的角 2．圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 圆周角定理的证明：（添加以圆周角的顶点为端点的直径为辅助线分类讨论）因为在⊙0中，同一弧所对的圆周角和圆心角的位置关系有三种情况： ①圆心在圆周角的“一边上”（如图⑴）②圆心在圆周角的“内部”（如图⑵） ③圆心在圆周角的“外部"（如图⑶）
3. 圆周角定理的推论： 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等． 推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90 的圆周角所对的弦是直径。 【典例精析】 考点1: 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系的基本理解 【例1】判断题: (1)相等的圆心角所对弦相等（ ） (2)相等的弦所对的弧相等（ ） (3) 相等弦的弦心距相等（ ） (4)同圆或等圆中，两弦相等，所对弧也相等（ ） 变式训练: 1.下列说法中，正确的是（ ） A ．等弦所对的弧相等 B ．等弧所对的弦相等 C ．圆心角相等，所对的弦相等 D ．弦相等所对的圆心角相等 E ．同圆或等圆中，相等的弦所对的弦心距也相等 2.已知 是同圆中的两条弧，且 那么弦CD 与2AB 的大小关系为 【例2】(09南充)如图1，AB 是O ⊙的直径，点C 、D 在O ⊙上，110BOC ∠=°，AD OC ∥，求AOD ∠= 变式训练: 1. 如图2，在⊙O 中，∠BOC=50°, OC ∥AB, ∠ACO= 。 2．弦心距是弦的一半时，弦与直径的比是 ，弦所对的圆心角是 ． 考点2:圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系的证明、计算 【例4】如图，AB 为直径，AB ⊥OC, AB=24cm ，EF 过CO 的中点D ，EF ∥AB, ①求证： ②求EF 的长。 ︵ ︵ EC=2EA ︵ ︵ CD=2AB ︵ ︵ AB 和CD 图1 O B D A C 图2
圆心角与圆周角
专题：圆心角与圆周角 知识点 1、圆心角，弦心距的概念. __________________________叫做圆心角。 弧AB 是∠AOB 所对的弧，弦AB 既是圆心角∠AOB 也是弧AB 所对的弦. __________________的距离叫做弦心距。 2、圆周角的定义及定理推论 （1）、圆周角：顶点在圆上，且两边都和圆相交的角叫做圆周角. （2）、定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. （3）推论： ①、直径所对的圆周角是直角； ②、如果圆周角是直角，它所对的弧是半圆，所对的弦是直径。 ③、圆内接四边形对角互补，一个外角等于它的内对角； ④、对角互补的四边形，四个顶点在同一个圆上。 3、圆心角、弧、弦、弦心距、圆周角的关系 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距、两个圆周角中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都也相等。 4、 1°的弧的概念. 圆心角的度数和它所对的弧的度数相等。 这里指的是角与弧的度数相等，而不是角与弧相等。即不能写成圆∠AOB= ，这是错误的。 典型例题 例1：如图，在⊙O 中，∠AOB 的度数为m ，C 是弧ACB 上一动点，D 、E 是弧 AB 上不同的两点（不与A 、B 两点重合），则∠D+∠E 的度数为（ ） A.m B.2m - 180? C.2 m 90+? D.2m 例2：如图，在⊙O 中，弦AB ∥CD ，若∠ABC=40°，则∠BOD=（ ） A.20° B.40° C.50° D.80° 例3：.圆中一条弦所对的圆心角为60°，那么它所对的圆周角度数为________________度 例4：△ABC 为⊙O 的内接三角形，若∠AOC=160°，则∠ABC 的度数是______________度。 例5：如图，点A 、B 、C 、D 都在⊙O 上，OC ⊥AB ，∠ADC=30°． （1）求∠BOC 的度数； （2）求证：四边形AOBC 是菱形．
圆周角与圆心角
圆周角与圆心角 圆周角和圆心角是圆的两个重要角度概念。在几何学中，圆是一个 由一条曲线围成的形状，其每一点与中心点的距离相等。圆周角和圆 心角是与圆相关的两种角度测量方式。 一. 圆周角 圆周角是指圆上的一小部分所对应的角度。可以想象圆周角是由圆 的弧所围成的角度。圆周角的度数范围是0度到360度，它是以圆心 为顶点的角度。 二. 圆心角 圆心角是以圆心为顶点的角度，它的两条边分别是两条射线，一条 从圆心指向圆上的一点，另一条则是从圆心指向圆上的另一点。圆心 角可以被认为是由圆周角所围成的角度。圆心角的度数范围是0度到360度。 三. 圆周角和圆心角的关系 圆周角和圆心角之间存在以下关系： 1. 当两个角度互为半周角时，即一个角度的度数是180度，另一个 角度的度数是360度，它们所对应的弧长长度相等。 2. 当一个角度等于90度时，它所对应的弧长长度是1/4圆周的长度。 3. 当一个角度等于30度时，它所对应的弧长长度是1/12圆周的长度。
四. 应用举例 1. 圆周角和圆心角在测量弧长和曲线长度方面有广泛应用。通过测量圆心角的大小，可以计算出弧长的长度。 2. 圆周角和圆心角也被用于计算扇形的面积。扇形的面积可以通过圆心角的度数来计算，面积等于圆周角所对应的弧长与半径的乘积再除以2。 结论： 圆周角和圆心角是与圆相关的两个重要角度概念。圆周角是由圆的弧所围成的角度，度数范围为0度到360度。圆心角以圆心为顶点，度数范围也为0度到360度。圆周角和圆心角之间有一定的关系，可以通过它们的度数计算弧长和扇形的面积。在几何学中，理解圆周角和圆心角的概念对于解决与圆相关的问题非常重要。
圆周角和圆心角
圆心角和圆周角 圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角. 弦、弧、圆心角之间的关系定理： 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。 在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余的各组量也相等。 圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。 圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对弦是直径。 圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补。 例题 1.下列结论中，正确的是（） A．长度相等的两条弧是等弧B．相等的圆心角所对的弧相等 C．平分弦的直径垂直于弦D．圆是中心对称图形 2.如图，已知AB是⊙O的直径，BC是弦，∠ABC=30°，过圆心O作OD⊥BC交弧BC于点D，连接DC，则∠DCB的度数为（）度． A．30 B．45 C．50 D．60 3.在半径为3的圆中，长度等于3的弦所对的圆心角是度． 4.如图，在⊙O中，=，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，求证：AD=BE． 5.如图，已知点A，B，C都在⊙O上，如果∠AOB+∠ACB=84°，那么∠ACB的度数是（）A．30°B．25°C．28°D．40° 5题6题7题8题 6．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，且AE=CD=8，∠BAC=1 2 ∠BOD，则⊙O的 半径为（） A．B．5 C．4 D．3 7．如图，∠AOB=100°，点C在⊙O上，且点C不与点A，B重合，则∠ACB的度数是（）
O D B A A．50° B．80°或50°C．130°D．50°或130° 8. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC=60°，若⊙O的半径为2，弦BC的长为． 9. 如图，若AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=55°，则∠BCD的度数为（）A．35°B．45°C．55°D．75° 9题10题11题12题13题10.如图，AB是⊙O的直径，AB=10 cm，∠CAB=30°，则BC= 11．如图，AB是⊙O的直径，C是圆上一点，∠BAC=70°，则∠OCB= ． 12．如图，AB为⊙O的直径，弦AC=6，BC=8，∠ACB的平分线交⊙O于点D，则BD= ． 13. 如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB=8，∠DCB=30°.则弦BD=_________。 14. 如图，在Rt△ABC中，已知∠ACB=90°，AC=5，CB=12，AD是△ABC的角平分线，过A，C，D三点的圆与斜边AB交于点E，连接DE． （1）求BE的长； （2）求△ACD外接圆的半径． 15. 下列关于圆内接四边形的叙述正确的有（） ①圆内接四边形的任意一个外角都等于它的内对角；②圆内接四边形对角相等；③圆内接四边形中不相邻的两个内角互补；④在圆内部的四边形叫做圆内接四边形． A．1个B．2个C．3个D．4个 16．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若它的一个外角∠DCE=70°，则∠BOD的度数为（）A．35°B．70°C．110°D．140° 16题17题18题 17．如图，在⊙O中，已知∠OAB=22.5°，则∠C的度数为（） A．135°B．122.5°C．115.5°D．112.5° 18. 如图，点A，B，C，D均在⊙O上，点O在∠D的内部，四边形OABC为平行四边形，则∠OAD+∠OCD= ． 19. 一个圆形人工湖，弦AB是湖上的一座桥，已知桥AB长100m，测得圆周角∠C＝45°，求这个人工湖的直径．
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系—知识讲解
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圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系—知识讲解（提高） 【学习目标】 1.了解圆心角、圆周角的概念； 2.理解圆周角定理及其推论，能灵活运用圆周角的定理及其推理解决有关问题； 3.掌握在同圆或等圆中，三组量：两个圆心角、两条弦、两条弧，只要有一组量相等，就可以推出其它两组量对应相等，及其它们在解题中的应用． 【要点梳理】 要点一、弧、弦、圆心角的关系 1.圆心角定义 如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角． 2.定理： 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 3.推论： 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等．在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等．要点诠释： (1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征. (2)注意定理中不能忽视“同圆或等圆”这一前提. 要点二、圆周角 1.圆周角定义：
像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 2.圆周角定理： 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 3.圆周角定理的推论： 半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 要点诠释： (1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交. (2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中. 4.圆内接四边形： （1）定义: 圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形． （2）性质：圆内接四边形对角互补，外角等于内对角（即它的一个外角等于它相邻内角的对角）．5.弦、弧、圆心角、弦心距的关系： 在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何量之间是相互关联的，即它们中间只要有一组量相等，(例如圆心角相等)，那么其它各组量也分别相等(即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等). *如果它们中间有一组量不相等，那么其它各组量也分别不等. 【典型例题】 类型一、圆心角、弧、弦之间的关系及应用
初中数学圆心角和圆周角
圆心角和圆周角及之间的关系
练习：判断下列各图形中的是不是圆周角，并说明理由． 二、看一看 A B C O 有没有圆周角？∠BAC 有没有圆心角？∠BOC 它们有什么共同的特点？ 它们都对着同一条弧BC 三、猜想归纳：请画出弧BC 所对的圆周角. 若按圆心O 与这个圆周角的位置关系来分类,我们可以分成几类？圆周角的度数与什么有关系？动手量一量∠BOC 与∠BAC 有何数量关系？ A B C O A B C O 四、证明圆心角与圆周角之间的关系 1、首先考虑一种特殊情况：
当圆心(O)在圆周角(∠BAC)的一边(AB)上时,圆周角∠BAC与圆心角∠BOC的大小关系. ∵∠BOC是△ACO的外角 ∴∠BOC=∠C+∠A ∵OA=OC， ∴∠A=∠C ∴∠BOC=2∠A 即∠BAC = 1/2∠BOC 2、如果圆心不在圆周角的一边上,结果会怎样? 当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的内部时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样? 思考：能否转化成1中的情况？ 证明：过点A作直径AD.由1可得: ∵∠BAD = 1/2∠BOD,∠CAD = 1/2∠COD ∴∠BAC = 1/2∠BOC. 3、当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的外部时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样? 思考：同样是否能转化成1中的情况？
5．如图4，AB是⊙O的直径，∠AOD是圆心角，∠BCD是圆周角．若∠BCD=25°，则∠AOD=． 6．如图5，⊙O直径MN⊥AB于P，∠BMN=30°，则∠AON=． 7.⊙O的弦AB等于半径，那么弦AB所对的圆周角一定是（）． （A）30°（B）150°（C）30°或150°（D）)60° 8.△ABC中，∠B＝90°，以BC为直径作圆交AC于E，若BC=12，AB=12，则的度数为（） （A）60°（B）80°（C）100°（D）)120° 9.如图，△ABC是⊙O的内接等边三角形，D是AB上一点，AB与CD交于E点，则图中60°的角共有( )个． （A）3 （B）4 （C）5 （D）6 10.如图，△ABC内接于⊙O，∠OBC=25°，则∠A的度数为（） （A）70°（B）65°（C）60°（D）)50° 二、填空题： 1.如图4,A、B、C为⊙O上三点，若∠OAB=46°,则∠ACB=_______度.
弧、弦、圆心角、圆周角--知识讲解(基础)
弧、弦、圆心角、圆周角--知识讲解（基础） 责编：康红梅 【学习目标】 1.了解圆心角、圆周角的概念； 2.理解圆周角定理及其推论，能灵活运用圆周角的定理及其推理解决有关问题； 3.掌握在同圆或等圆中，三组量：两个圆心角、两条弦、两条弧，只要有一组量相等，就可以推出其它 两组量对应相等，及其它们在解题中的应用． 【要点梳理】 要点一、弧、弦、圆心角的关系 1.圆心角定义 如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角． 2.定理： 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 3.推论： 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等． 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等． 要点诠释： (1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征； (2)注意定理中不能忽视“同圆或等圆”这一前提. 要点二、圆周角 1.圆周角定义： 像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 2.圆周角定理： 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 3.圆周角定理的推论： 半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 要点诠释： (1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交. (2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.
4.圆内接四边形： （1）定义: 圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形． （2）性质：圆内接四边形对角互补，外角等于内对角（即它的一个外角等于它相邻内角的对角）．5.弦、弧、圆心角、弦心距的关系： 在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何量之间是相互关联的，即它们中间只要有一组量相等，(例如圆心角相等)，那么其它各组量也分别相等(即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等)。 *如果它们中间有一组量不相等，那么其它各组量也分别不等。 【典型例题】 类型一、圆心角、弧、弦之间的关系及应用 1.（2016•台湾）如图，圆O通过五边形OABCD的四个顶点．若=150°，∠A=65°，∠D=60°，则的度数为何？（） A．25 B．40 C．50 D．55 【思路点拨】连接OB，OC，由半径相等得到三角形OAB，三角形OBC，三角形OCD都为等腰三角形，根据∠A=65°，∠D=60°，求出∠1与∠2的度数，根据的度数确定出∠AOD度数，进而求出∠3的度数，即可确定出的度数． 【答案】B 【解析】 解：连接OB、OC， ∵OA=OB=OC=OD， ∴△OAB、△OBC、△OCD，皆为等腰三角形， ∵∠A=65°，∠D=60°， ∴∠1=180°﹣2∠A=180°﹣2×65°=50°，∠2=180°﹣2∠D=180°﹣2×60°=60°， ∵=150°， ∴∠AOD=150°， ∴∠3=∠AOD﹣∠1﹣∠2=150°﹣50°﹣60°=40°， 则=40°． 故选B
圆心角、弧、弦、圆周角
圆心角、弧、弦、圆周角 学习要求： 1、理解并初步掌握弧、弦、圆心角的相互对应的关系，会证明两条弦等、两条弧等，两个圆心角等； 2、掌握圆周角定理及推论，能在圆中熟练地进行角的相互转化，从而通过解直角三角形或利用相似的 知识求相关的线段长或证明比例线段。 内容分析： 1、圆心角、弧、弦的关系 在同圆或等圆中，若两个圆心角相等，则它们所对的两条弧、两条弦也分别对应相等； 在同圆或等圆中，若两条弧相等，则它们所对的两个圆心角、两条弦也分别对应相等； 在同圆或等圆中，若两条弦相等，则它们所对的两个圆心角、所对的两条优弧、两条劣弧也分别对应相等。 2、圆周角 （1）定义：顶点在圆上，角的两边都与圆相交的角。 （2）定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。 推论1：同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。 推论3：圆内接四边形的对角互补，一个外角等于它的内对角。 3、学好本单元内容的两个关键： （1）同弧或等弧是沟通圆周角之间、圆心角与圆周角之间联系的桥梁，利用同弧或等弧进行圆周角之 间的相互转化是解决问题的关键； （2）通过作弦心距或直径将一般的圆周角转化到特殊的直角三角形中，是解决问题的关键。 例题分析： 1、已知，如图，⊙O是的外接圆，∠A=60°，BC=12，求⊙O的半径
的长. 解法一：过O作OD⊥BC于D，连接OB. 则BD=BC=6，∠BOD=∠BOC. ∵∠A=∠BOC，∴∠BOD=∠A=60° 在△BOD中，∠BDO=90°， ∴BO= ∴⊙O的半径的长为 解法二：作直径BE，连接CE. 则∠BCE=90°. 又∠A=∠E=60° ∴在△BCE中，BE= ∴⊙O的半径的长为. 【小结】在圆中，常常作弦心距或直径，将圆周角转化到直角三角形中，通过解直角三角形从而解决问题。两种解法中的基本图形同学们要牢记。 2、已知：AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，M是弧AC上一点，延长DC、AM交于F， 求证：∠FMC=∠AMD.
弧、弦、圆心角、圆周角—知识讲解
弧、弦、圆心角、圆周角一知识讲解(提高) 责编：常春芳 【学习目标】 1・了解圆心角、圆周角的槪念； 2.理解圆周角泄理及其推论，能灵活运用圆周角的定理及其推理解决有关问题； 3.掌握在同圆或等圆中，三组疑：两个圆心角、两条弦、两条弧，只要有一组量相等，就可以推出其它两组量对应相等，及 其它们在解题中的应用. 【要点梳理】 知识点一、弧、弦、圆心角的关系 1•圆心角定义 如图所示，ZAOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角. 2.定理； 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等. 3推论： 在同圆或等圆中，如果两条孤相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等. 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等. 要点诠释： (1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征. (2)注意泄理中不能忽视"同圆或等圆”这一前提. 知识点二、圆周角 1.圆周角定义： 像图中ZAEB、ZADB、ZACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角. 2.圆周角定理： 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半. 3.圆周角定理的推论： 半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径. 要点诠释：
(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上：②角的两边都和圆相交.
（2）圆周角左理成立的前提条件是在同圆或等圆中. 4. 圆内接四边形： （1） 泄义：圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形. （2） 性质：圆内接四边形对角互补，外角等于内对角（即它的一个外角等于它相邻内角的对角）. 5. 弦、弧、圆心角、弦心距的关系： 在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何疑之间是相互关联的，即它们中间只要有一组疑 相等，（例如圆心角相等），那么其它各组量也分别相等（即相对应的弦、弦心距以及弦所对的呱也分别 相等）. *如果它们中间有一组量不相等，那么其它各组量也分别不等. 【典型例题】 证法一：如图①，••• AB=CD, ••• AB = CD. :.AB-BD = CD-BD,即 AD = BC. :.AD=BC ・ 证法二：如图②，连OA 、OB 、OC 、0D, V AB=CD, :. ZAOB = ZCOD ・ ••• ZAOB 一 ZDOB = ZCOD- ZDOB, 即 ZAOD= ZBOC, ••• AD=BC ・ 【点评】在同圆或等圆中，证两弦相等时常用的方法是找这两弦所对的弧相等或所对的圆心角相等，而 图中没有已知的等 弧和等圆心角，必须借助已知的等弦进行推理.本题主要是考査弧、弦、圆 心角之间的关系，要证AD = BC,只需证AD = BC 或iiEZAOD=ZBOC 即可. 举一反三： 【变式】如图所示，已知AB 是00的直径，M 、N 分别是AO 、BO 的中点，CM 丄AB, DN 丄AB. 求证：AC = BD ・ 类型一、圆心角.弧.弦之间的关系及应用 【答案与解析】
圆心角与圆周角
圆心角和圆周角 定义1：圆既是轴对称图形，又是中心对称图形。 定义2：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦，两个弦心距，两个圆周角中有一对两相等，那么其余各对量相等（注：一条弦对应两段弧，两个圆周角，两个圆心角，这里要优弧对优弧，劣弧对劣弧，大小必须一致） 定义3：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半。注：半圆所对的圆周角是直角，90°角所对的弦是直径。 定义4：圆内接四边形的对角互补 定义5：AB是⊙O的一条弦，M是⊙O上一点，点P与点M在AB同侧，如果∠APB＞∠AMB，那么点P在⊙O内；如果∠APR<∠AMB，则点P在⊙O外：如果∠APR=∠AMB，则点P在⊙O上. 注：以下应用知识基本是在同圆或等圆中成立 基础部分： 1、在圆O中，圆心角∠AOB=90°，点O到弦AB的距离为4，则圆O的直径为 应用知识：（垂径定理+圆心角） 2、在圆O中，弧AB=2弧CD，那么弦AB和2CD的大小关系是？ 应用知识：（三角形两边之和大于第三边） 3、在直径是20cm的圆O中，弧AB所对的圆心角是60°，那么AB的弦心距是 应用知识：（垂径定理+等边三角形的性质+圆心角） 4、如图：已知AB和CD为圆O的两条直径，弦CE∥AB， 弧CE的度数是40°，则∠BOC= 应用知识：平行线所夹弧相等，弦相等+直径所对圆心角为180° 5、在圆O中，∠AOB=84°，则弦AB所对的圆周角是 应用知识：弦所对的圆周角有两个+圆周角的度数为圆心角所对弧度数的一半 6、如图，点A,B,C在圆O上，∠AOC=150°， 则∠ABC的度数是 应用知识：圆弧一周为360°+圆周角的度数为圆心角所对弧度数的一半 7、圆的一条弦长等于半径，那么这条弦所对的圆周角等于 应用知识：正三角形性质+弦所对的圆周角有两个+圆周角度数为圆心角所对弧度数的一半。 8、CD是圆O的直径，∠BCD=45°。∠BAC的度数= 应用知识：直径所对的圆周角=90°+同弧所对的圆周角相等
圆周角与圆心角、弧的关系
(教案)圆周角与圆心角、弧的关系 一、知识讲解： 1．圆周角与圆心角的的概念： 顶点在圆上，同时两边都和圆相交的角叫做圆周角。 2．在同圆或等圆中，假如两条弦，两条弧，两个圆心角中有一组量相等，那么它们所对应的其它各组量都分别相等。 3．一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半。 4．直径所对的圆周角是90度，90度的圆周角所对的弦是直径。 5．圆的内接四边形对角之和是180度。 6．弧的度数确实是圆心角的度数。 解题思路： 1．已知圆周角，能够利用圆周角求出圆心角 2．已知圆心角，能够利用圆心角求出圆周角 3．已知直径和弧度，能够求出圆周角与圆心角 1.圆周角与圆心角的定义 顶点在圆上，同时两边都和圆相交的角叫做圆周角。 注意圆周角定义的两个差不多特点： (1)顶点在圆上； (2)两边都和圆相交。 二、教学内容 【1】圆心角：顶点在圆心的角。 利用两个错误的图形来强调圆周角定义的两个差不多特点： 练习：判断下列各图形中的是不是圆周角，并说明理由． 【2】明白得圆周角定理的证明 一条弧所对的圆周角的度数等于这条弧所对的圆心角度数的一半。 已知：⊙O中，弧BC所对的圆周角是∠BAC，圆心角是∠BOC， 求证：∠BAC= 1/2∠BOC.
分析：通过图形的演示指导学生进一步去查找圆心O与∠BAC的关系 本题有三种情形： （1）圆心O在∠BAC的一边上 O （2）圆心O在∠BAC的内部 （3）圆心O在∠BAC的外部 B D C ●假如圆心O在∠BAC的边AB上,只要利用三角形内角和定理的推论和等腰三角 形的性质即可证明 ●假如圆心O在∠BAC的内部或外部,那么只要作出直径AD,将那个角转化为上述 情形的两个角的和或差即可 证明: 圆心O在∠BAC的一条边上 A OA=OC==>∠C=∠BAC ∠BOC=∠BAC+∠C O ==>∠BAC=1/2∠BOC. B C 【3】圆周角与圆心角的关系 （1）．在同圆或等圆中，假如两条弦，两条弧，两个圆心角中有一组量相等，那么它们所对应的其它各组量都分别相等。 （2）．一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半。 （3）．直径所对的圆周角是90度，90度的圆周角所对的弦是直径。 （4）．圆的内接四边形对角之和是180度。 （5）．弧的度数确实是圆心角的度数。 三、精讲精练 （一）选择、填空题： 1．在⊙O中，同弦所对的圆周角（） A．相等 B．互补 C．相等或互补 D．都不对 2．如图，在⊙O中，弦AD=弦DC，则图中相等的圆周角的对数是（） A．5对 B．6对 C．7对 D．8对 3．下列说法正确的是（） A．顶点在圆上的角是圆周角 B．两边都和圆相交的角是圆周角 C．圆心角是圆周角的2倍 D．圆周角度数等于它所对圆心角度数的一半
第十讲 弧、弦、圆心角、圆周角
B ' 第十讲 弧、弦、圆心角、圆周角 知识点一弧、弦、圆心角的关系 【定义】、如图所示，∠AOB 的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做 ． 【探究】如图所示的⊙O 中，分别作相等的圆心角∠AOB•和∠A•′OB•′将圆心角∠AOB 绕圆心O 旋转到∠A ′OB ′的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？ 相等的弦： ；相等的弧： 【探究】在等圆中，相等的圆心角是否也有所对的弧相等，所对的弦相等呢？ 如图1，在⊙O 和⊙O ′中，•分别作相等的圆心角∠AOB 和∠A ′O ′B ′得到如图2，滚动一个圆，使O 与O ′重合，固定圆心，将其中的一个圆旋转一个角度，使得OA 与O ′A ′重合． 你能发现哪些等量关系？说一说你的理由？ 因此，我们可以得到下面的定理： 【归纳】 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧 ，所对的弦 。 几何语言： 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的 相等，•所对的 也相等． 几何语言： 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的 相等，•所对的 也相等． 几何语言： 【辨析】 定理“在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等”中，可否把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？你能举出反例吗？ 【拓展】 如图，在⊙O 中，AB 、CD 是两条弦． （1） 如果AB=CD ，那么______,________ （2） 如果弧AB=弧CD ，那么______,_______ （3） 如果∠AOB=∠COD ，那么______,_______ （4） 如果AB=CD, OE ⊥AB ，OF ⊥CD,OE 与OF 相等吗？ （5）如果OE=OF ，那么 与的大小有什么关系？AB 与CD 的大小有什么 关系？•为什么？∠AOB 与∠COD 呢？ 【归纳】:在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦心距中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也 。 B ' A 'AB CD D