九年级数学复习专题动态几何问题

中考数学专题 动态几何问题

第一部分 真题精讲

【例1】如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，3AD =，5DC =，10BC =，梯形的高为4．动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t （秒）．

（1）当MN AB ∥时，求t 的值；

（2）试探究：t 为何值时，MNC △为等腰三角形．

【思路分析1】本题作为密云卷压轴题，自然有一定难度，题目中出现了两个动点，很多同学看到可能就会无从下手。但是解决动点问题，首先就是要找谁在动，谁没在动，通过分析动态条件和静态条件之间的关系求解。对于大多数题目来说，都有一个由动转静的瞬间，就本题而言，M ，N 是在动，意味着BM,MC 以及DN,NC 都是变化的。但是我们发现，和这些动态的条件密切相关的条件DC,BC 长度都是给定的，而且动态条件之间也是有关系的。所以当题中设定

MN M N t D DE AB ∥BC E ABED AB DE ∥AB MN ∥DE MN ∥MC NC EC CD =1021035

t t

-=

-5017t =MN NC =NF BC ⊥BC F 2MC FC =4sin 5DF C CD ∠==3cos 5C ∠=310225t

t -=?258t =MN MC =M MH CD ⊥2CN CH =()321025t t =-?60

17t =MC CN =102t t -=103t =258t =

601710

3MNC

△3=BC x x Θ（3）过点A 作AQ ⊥BC 交CB 的延长线于点Q ，

①点D 在线段BC 上运动时，

∵∠BCA=45o，可求出AQ= CQ=4．∴ DQ=4-x ， 易证△AQD ∽△DCP ，∴CP CD DQ

AQ

= ， ∴

44

CP x

x =-， 2

4

x CP x ∴=-+．

②点D 在线段BC 延长线上运动时，

∵∠BCA=45o，可求出AQ= CQ=4，∴ DQ=4+x ．

过A 作AC AG ⊥交CB 延长线于点G ，则ACF AGD ???．∴ CF ⊥BD ，

∴△AQD ∽△DCP ，∴CP CD DQ

AQ

= ， ∴

44

CP x

x =+， 2

4

x CP x ∴=+．

【例3】已知如图，在梯形中，点是的中点，是等边三角形． （1）求证：梯形是等腰梯形；

（2）动点、分别在线段和上运动，且保持不变．设求与的函数关系式； （3）在（2）中，当取最小值时，判断的形状，并说明理由．

【思路分析1】本题有一点综合题的意味，但是对二次函数要求不算太高，重点还是在考察几何方面。第一问纯静态问题，自不必说，只要证两边的三角形全等就可以了。第二问和例1一样是双动点问题，所以就需要研究在P,Q 运动过程中什么东西是不变的。题目给定∠MPQ=60°，这个度数的意义在哪里？其实就是将静态的那个等边三角形与动态条件联系了起来.因为最终求两条线段的关系,所以我们很自然想到要通过相似三角形找比例关系.怎么证相似三角形呢? 当然是利用角度咯.于是就有了思路. 【解析】

（1）证明：∵是等边三角形 ∴

∵是中点 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴

∴梯形是等腰梯形． （2）解：在等边中，

∴ (这个角度传递非常重要,大家要仔细揣摩)

∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴

(设元以后得出比例关系,轻松化成二次函数的样子)

【思路分析2】第三问的条件又回归了当动点静止时的问题。由第二问所得的二次函数，很轻易就可以求出当X 取对称轴的值时Y 有最小值。接下来就变成了“给定PC=2，求△PQC 形状”的问题了。由已知的BC=4，自然看出P 是中点，于是问题轻松求解。

（3）解： 为直角三角形 ∵

∴当取最小值时， ∴是的中点，而 ∴ ∴

A D C

B P

M Q

60

以上三类题目都是动点问题，这一类问题的关键就在于当动点移动中出现特殊条件，例如某边相等，某角固定时，将动态问题化为静态问题去求解。如果没有特殊条件，那么就需要研究在动点移动中哪些条件是保持不变的。当动的不是点，而是一些具体的图形时，思路是不是一样呢?接下来我们看另外两道题.

【例4】已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF BD

⊥交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG CG

，．

（1）直接写出线段EG与CG的数量关系；

（2）将图1中BEF

?绕B点逆时针旋转45?，如图2所示，取DF中点G，连接EG CG

，，．你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．

（3）将图1中BEF

?绕B点旋转任意角度，如图3所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？（不要求证明）

【思路分析1】这一题是一道典型的从特殊到一般的图形旋转题。从旋转45°到旋转任意角度，要求考生讨论其中的不动关系。第一问自不必说，两个共斜边的直角三角形的斜边中线自然相等。第二问将△BEF旋转45°之后，很多考生就想不到思路了。事实上，本题的核心条件就是G是中点，中点往往意味着一大票的全等关系，如何构建一对我们想要的全等三角形就成为了分析的关键所在。连接AG之后，抛开其他条件，单看G点所在的四边形ADFE，我们会发现这是一个梯形，于是根据我们在第一讲专题中所讨论的方法，自然想到过G点做AD,EF的垂线。于是两个全等的三角形出现了。

（1）CG EG

=

（2）（1）中结论没有发生变化，即CG EG

=．

证明：连接AG，过G点作MN AD

⊥于M，与EF的延长线交于N点．在DAG

?中，

?与DCG

∵AD CD ADG CDG DG DG

=∠=∠=

，，，

∴DAG DCG

≌．

??

∴AG CG

=．

在DMG

?与FNG

?中，

∵DGM FGN FG DG MDG NFG

，，，

∠=∠=∠=∠

∴DMG FNG

≌．

??

∴MG NG

=

在矩形AENM中，AM EN

=

在Rt AMG

?与Rt ENG

?中，

∵AM EN MG NG

，，

==

∴AMG ENG

≌．

??

∴AG EG

=．

∴EG CG

=

【思路分析2】第三问纯粹送分，不要求证明的话几乎所有人都会答出仍然成立。但是我们不应该止步于此。将这道题放在动态问题专题中也是出于此原因，如果△BEF 任意旋转，哪些量在变化，哪些量不变呢？如果题目要求证明，应该如何思考。建议有余力的同学自己研究一下，笔者在这里提供一个思路供参考：在△BEF 的旋转过程中，始终不变的依然是G 点是FD 的中点。可以延长一倍EG 到H ，从而构造一个和EFG 全等的三角形，利用BE=EF 这一条件将全等过渡。要想办法证明三角形ECH 是一个等腰直角三角形，就需要证明三角形EBC 和三角形CGH 全等，利用角度变换关系就可以得证了。 （3）（1）中的结论仍然成立．

【例5】已知正方形ABCD 的边长为6cm ，点E 是射线BC 上的一个动点，连接AE 交射线DC 于点F ，将△ABE 沿直线AE 翻折，点B 落在点B′ 处．

（1）当

CE

BE

=1 时，CF=______cm ， （2）当

CE

BE

=2 时，求sin∠DAB′ 的值； （3）当

CE

BE = x 时（点C 与点E 不重合），请写出△ABE 翻折后与正方形ABCD 公共部分的面积y 与x 的关系式，（只要写出结论，不要解题过程）．

【思路分析】动态问题未必只有点的平移，图形的旋转，翻折（就是轴对称）也是一大热点。这一题是朝阳卷的压轴题，第一问给出比例为1，第二问比例为2，第三问比例任意，所以也是一道很明显的从一般到特殊的递进式题目。同学们需要仔细把握翻折过程中哪些条件发生了变化，哪些条件没有发生变化。一般说来，翻折中，角，边都是不变的，所以轴对称图形也意味着大量全等或者相似关系，所以要利用这些来获得线段之间的比例关系。尤其注意的是，本题中给定的比例都是有两重情况的，E 在BC 上和E 在延长线上都是可能的，所以需要大家分类讨论，不要遗漏。

【解析】

（1）CF= 6 cm ； （延长之后一眼看出，EAZY ） （2）① 如图1，当点E 在BC 上时，延长AB ′交DC 于点M ， ∵ AB ∥CF ，∴ △ABE ∽△FCE ，∴

FC

AB

CE BE

． C

A

D

B

∵

CE

BE

=2， ∴ CF=3． ∵ AB ∥CF ，∴∠BAE=∠F ．

又∠BAE=∠B ′ AE ， ∴ ∠B ′ AE=∠F ．∴ MA=MF ． 设MA=MF=k ，则MC=k -3，DM=9-k ． 在Rt △ADM 中，由勾股定理得： k 2

=(9-k)2

+62

， 解得 k=MA=132． ∴ DM=5

2

．（设元求解是这类题型中比较重要的方法）

∴ sin ∠DAB ′=

13

5

=AM DM ； ②如图2，当点E 在BC 延长线上时，延长AD 交B ′ E 于点N ， 同①可得NA=NE ．

设NA=NE=m ，则B ′ N=12-m ． 在Rt △AB ′ N 中，由勾股定理，得 m 2

=(12-m)2

+62

， 解得 m=AN=152． ∴ B ′ N=9

2

． ∴ sin ∠DAB ′=

5

3

='AN N B ． （3）①当点E 在BC 上时，y=18x

x 1

+；

（所求△A B ′ E 的面积即为△ABE 的面积，再由相似表示出边长）

②当点E 在BC 延长线上时，y=

18x 18

x

-．

【总结】 通过以上五道例题，我们研究了动态几何问题当中点动，线动，乃至整体图形动这么几种可能的方式。动态几何问题往往作为压轴题来出,所以难度不言而喻,但是希望考生拿到题以后不要慌张,因为无论是题目以哪种形态出现，始终把握的都是在变化过程中那些不变的量。只要条分缕析,一个个将条件抽出来,将大问题化成若干个小问题去解决,就很轻松了.为更好的帮助考生,笔者总结这种问题的一般思路如下：

第一、仔细读题，分析给定条件中那些量是运动的，哪些量是不动的。针对运动的量，要分析它是如何运动的，运动过程是否需要分段考虑，分类讨论。针对不动的量，要分析它们和动量之间可能有什么关系，如何建立这种关系。

第二、画出图形，进行分析，尤其在于找准运动过程中静止的那一瞬间题目间各个变量的关系。如果没有静止状态，通过比例，相等等关系建立变量间的函数关系来研究。 第三、做题过程中时刻注意分类讨论，不同的情况下题目是否有不同的表现，很多同学丢分就丢在没有讨论，只是想当然看出了题目所给的那一种图示方式，没有想到另外的方式，如本讲例5当中的比例关系意味着两种不一样的状况，是否能想到就成了关键。

图2

第二部分 发散思考

【思考1】已知：如图（1），射线//AM 射线BN ，AB 是它们的公垂线，点D 、C 分别

在AM 、BN 上运动（点D 与点A 不重合、点C 与点B 不重合），E 是AB 边上的动点（点E 与A 、B 不重合）

，在运动过程中始终保持EC DE ⊥，且a AB DE AD ==+． （1）求证：ADE ?∽BEC ?； （2）如图（2），当点E 为AB 边的中点时，求证：CD BC AD =+；

（3）设m AE =，请探究：BEC ?的周长是否与m 值有关？若有关，请用含有m 的代

数式表示BEC ?的周长；若无关，请说明理由．

【思路分析】本题动点较多，并且是以和的形式给出长度。思考较为不易，但是图中有多个直角三角形，所以很自然想到利用直角三角形的线段、角关系去分析。第三问计算周长，要将周长的三条线段分别转化在一类关系当中，看是否为定值，如果是关于M 的函数，那么就是有关，如果是一个定值，那么就无关，于是就可以得出结论了。

【思考2】 △ABC 是等边三角形，P 为平面内的一个动点，BP=BA ，若0?＜∠PBC ＜180°，

且∠PBC 平分线上的一点D 满足DB=DA ，

（1）当BP 与BA 重合时（如图1），∠BPD= °； （2）当BP 在∠ABC 的内部时（如图2），求∠BPD 的度数；

（3）当BP 在∠ABC 的外部时，请你直接写出∠BPD 的度数，并画出相应的图形．

【思路分析】本题中，和动点P 相关的动量有∠PBC ，以及D 点的位置，但是不动的量就是BD 是平分线并且DB=DA ，从这几条出发，可以利用角度相等来找出相似、全等三角形。事实上，P 点的轨迹就是以B 为圆心，BA 为半径的一个圆，那D 点是什么呢？留给大家思考一下~

【思考3】如图：已知，四边形ABCD 中，AD

3

5

断直线FC 1与直线CD 的位置关系，并加以证明；

A

B

C

D

O

P

M N

A

B

C

D

②当P 2为线段DC 的延长线上任意一点时，连结EP 2,将线段EP 2绕点E 逆时针旋转得到线段EC 2.判断直线C 1C 2与直线CD 的位置关系，画出图形并直接写出你的结论. （2）若AD=6,tanB=,AE=1,在①的条件下，设CP 1=，S=，求与之间的函数关系式，并写出

自变量的取值范围.

【思路分析】本题是去年中考原题，虽不是压轴，但动点动线一起考出来，难倒了不少同学。事实上就在于如何把握这个旋转90°的条件。旋转90°自然就是垂直关系，于是又出现了一堆直角三角形，于是证角，证线就手到擒来了。第二问一样是利用平行关系建立函数式，但是实际过程中很多同学依然忘记分类讨论的思想，漏掉了很多种情况，失分非常可惜。建议大家仔细研究这道中考原题，按照上面总结的一般思路去拆分条件，步步为营的去解答。

第三部分 思考题解析

【思考1解析】

（1）证明：∵ EC DE ⊥，∴ ?=∠90DEC ．∴ ?=∠+∠90BEC AED ． 又∵ ?=∠=∠90B A ，∴ ?=∠+∠90EDA AED ． ∴ EDA BEC ∠=∠．∴ ADE ?∽BEC ?． （2）证明：如图，过点E 作EF BC //，交CD 于点F ， ∵ E 是AB 的中点，容易证明)(2

1

BC AD EF +=

． 在DEC Rt ?中，∵ CF DF =，∴ CD EF 2

1

=

． ∴

)(21BC AD +CD 2

1

=． ∴ CD BC AD =+．

（3）解：AED ?的周长DE AD AE ++=m a +=，m a BE -=． 设x AD =，则x a DE -=．

第25题

∵ ?=∠90A ，∴ 222AD AE DE +=．即2

2222x m x ax a +=+-．

∴ a

m a x 22

2-=．

由（1）知ADE ?∽BEC ?，

∴ 的周长的周长BEC ??ADE BE AD =m a a m a --=22

2a

m a 2+=． ∴ BEC ?的周长?+=

m

a a

2ADE ?的周长a 2=． ∴ BEC ?的周长与m 值无关．

【思考2答案】

解：（1）∠BPD= 30 °； （2）如图8，连结CD ．

解一：∵ 点D 在∠PBC 的平分线上，

∴ ∠1=∠2．

∵ △ABC 是等边三角形， ∴ BA=BC=AC ，∠ACB= 60°． ∵ BP=BA ， ∴ BP=BC ． ∵ BD= BD ， ∴ △PBD ≌△CBD ．

∴ ∠BPD=∠3．

∵ DB=DA ，BC=AC ，CD=CD ， ∴ △BCD ≌△ACD ． ∴ 134302

ACB ∠=∠=∠=?． ∴ ∠BPD =30°． 解二：∵ △ABC 是等边三角形， ∴ BA =BC=AC ． ∵ DB=DA ，

∴ CD 垂直平分AB ． ∴ 1

34302ACB ∠=∠=∠=?． ∵ BP=BA ， ∴ BP=BC ．

∵ 点D 在∠PBC 的平分线上，

∴ △PBD 与△CBD 关于BD 所在直线对称． ∴ ∠BPD=∠3． ∴ ∠BPD =30°． （3）∠BPD= 30°或 150° ． 图形见图9、图10．

【思考3解析】

解：（1）过点A 作AE⊥BC,在Rt△ABE 中，由AB=5，cosB=

3

5

得BE=3． ∵CD⊥BC，AD

cos BH B BO =39355?=

18

5

过P 作PQ⊥BC，过点O 作OH⊥AB, ∵CD⊥BC，则有△PQO∽△DOC - 设BO=x ，则PO=x,由

3cos 5BH B x ==，得BH=3

5

x , ∴BP=2BH=

6

5

x . ∴BQ=BP×cosB=

1825x ，PQ=2425

x ． ∴OQ=1872525

x x x -

=． ∵△PQO∽△DOC，∴PQ DC OQ OC =即24

4257

625

x x x =

-，得296x =． 当296x =

时，BP=65x =295

＞5=AB ，与点P 应在边AB 上不符， ∴不存在BP=MN 的情况.

（3）情况一：⊙O 与⊙C 相外切，此时，0＜CN ＜6；------7分 情况二：⊙O 与⊙C 相内切，此时，0＜CN≤

7

3

.-------8分

【思考4解析】 解：（1）①直线与直线的位置关系为互相垂直． 证明：如图1，设直线与直线的交点为．

∵线段分别绕点逆时针旋转90°依次得到线段， ∴． ∵，，

∴．

∴． ∴． ∵，

∴， ∴． ∴．

∴．

∴．

②按题目要求所画图形见图1，直线与直线的位置关系为互相垂直． （2）∵四边形是平行四边形， ∴． ∵， ∴． 可得．

由（1）可得四边形为正方形． ∴．

①如图2，当点在线段的延长线上时， ∵， ∴． ∴．

②如图3，当点在线段上（不与两点重合）时， ∵，

∴． ∴．

③当点与点重合时，即时，不存在． 综上所述，与之间的函数关系式及自变量的取值范围是或． A

B

C D

O P M

N Q H F

D C

B A E

图1 G 2 G 1 P 1

H

P 2

B