全等三角形及三角形全等的条件一对一辅导讲义

课题全等三角形及三角形全等的条件1、掌握全等三角形对应边相等、对应角相等的性质，并能进行简单的推理计算。

教学目的2、理解并掌握三角形全等的判定定理，能准确找到判定定理的条件，并熟练运用。

教学内容一、课前检测1．如图（1），△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，则__________≌__________．2．斜边和一锐角对应相等的两直角三角形全等的根据是__________，底边和腰相等的两个等腰三角形全等的根据是__________．3．已知△ABC≌△DEF，△DEF的周长为32 cm，DE=9 cm，EF=12 cm则AB=____________，BC=____________，AC=____________．图（1）图（2）图（3）4．如图（2），AC=BD，要使△ABC≌△DCB还需知道的一个条件是__________5．如图（3），若∠1=∠2，∠C=∠D，则△ADB≌__________，理由______________________．6．不能确定两个三角形全等的条件是（）A．三边对应相等B．两边及其夹角相等C．两角和任一边对应相等D．三个角对应相等7·△ABC和△DEF中，AB=DE，∠A=∠D，若△ABC≌△DEF还需要（）A．∠B=∠E B．∠C=∠F C．AC=DF D．前三种情况都可以8·在△ABC和△A′B′C′中①AB=A′B′②BC=B′C′③AC=A′C′④∠A=∠A′⑤∠B=∠B′⑥∠C=∠C′，则下列哪组条件不能保证△ABC≌△A′B′C′（）A．具备①②④B．具备①②⑤C．具备①⑤⑥D．具备①②③参考答案：1．△ADB△ADC2．ASA（或AAS）SSS3．9 cm12 cm11 cm4．∠ACB=∠DBC或AB=CD 5．△ACB AA S 6·D 7·D 8·A二、知识梳理知识要点：要点1：全等三角形的概念及其性质（1）全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

（2）全等三角形性质：对应边相等、对应角相等、周长相等、面积相等要点2：全等三角形的判定（1）两边及夹角对应相等SAS；（2）两角及夹边对应相等ASA；（3）两角及其中一角的对边对应相等AAS；（4）三边对就应相等SSS。

要点3：找全等三角形的对应边，对应角的方法（1）若给出对应顶点即可找出对应边和对应角。

（2）若给出一些对应边或对应角，则按照对应边所对的角是对应角，反之，对应角所对的边是对应边就可找出其他几组对应边和对应角。

（3）按照两对对应边所夹的角是对应角，两对对应角所夹的边是对应边来准确找出对应角和对应边。

（4）一般情况下，在两个全等三角形中，公共边、公共角、对顶角等往往是对应边，对应角。

要点4：寻找两个三角形全等的途径（1）三角形全等的判定是这个单元的重点，也是平面几何的重点①有两组对应角相等时；找②有两组对应边相等时；找③有一边，一邻角相等时；找④有一边，一对角相等时；找任一组角相等（AAS）（2）利用两个三角形的公共边或公共角寻找对应关系，推得新的等量元素如图（一）中的AD，图（二）中的BC都是相应三角形的公共元素。

图（三）中如有BF=CE，利用公有的线段FC就可推出BC=EF。

图（四）中若有∠DAB=∠EAC，就能推出∠DAC=∠BAE。

三、例题讲解：例 1. 如图，,,,A F E B 四点共线，AC CE ⊥，BD DF ⊥，AE BF =，AC BD =。

求证：ACF BDE ∆≅∆。

. 思路分析：从结论ACF BDE ∆≅∆入手，全等条件只有AC BD =；由AE BF =两边同时减去EF 得到AF BE =，又得到一个全等条件。

还缺少一个全等条件，可以是CF DE =，也可以是A B ∠=∠。

由条件AC CE ⊥，BD DF ⊥可得90ACE BDF ∠=∠=，再加上AE BF =，AC BD =，可以证明ACE BDF ∆≅∆，从而得到A B ∠=∠。

解答过程：AC CE ⊥，BD DF ⊥ ∴90ACE BDF ∠=∠= 在Rt ACE ∆与Rt BDF ∆中 AE BFAC BD =⎧⎨=⎩∴Rt ACE Rt BDF ∆≅∆(HL) ∴A B ∠=∠AE BF =∴AE EF BF EF -=-，即AF BE = 在ACF ∆与BDE ∆中 AF BE A B AC BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ACF BDE ∆≅∆(SAS)解题后的思考：本题的分析方法实际上是“两头凑”的思想方法：一方面从问题或结论入手，看还需要什么条件；另一方面从条件入手，看可以得出什么结论。

再对比“所需条件”和“得出结论”之间是否吻合或具有明显的联系，从而得出解题思路。

小结：本题不仅告诉我们如何去寻找全等三角形及其全等条件，而且告诉我们如何去分析一个题目，得出解题思路 例 2. 如图，在ABC ∆中，BE 是∠ABC 的平分线，AD BE ⊥，垂足为D 。

求证：21C ∠=∠+∠。

思路分析：直接证明21C ∠=∠+∠比较困难，我们可以间接证明，即找到α∠，证明2α∠=∠且1C α∠=∠+∠。

也可以看成将2∠“转移”到α∠。

那么α∠在哪里呢？角的对称性提示我们将AD 延长交BC 于F ，则构造了△FBD ，可以通过证明三角形全等来证明∠2=∠DFB ，可以由三角形外角定理得∠DFB=∠1+∠C 。

解答过程：延长AD 交BC 于F在ABD ∆与FBD ∆中 90ABD FBD BD BDADB FDB ⎧∠=∠⎪=⎨⎪∠=∠=⎩ ∴ABD FBD ∆≅∆(ASA ∴2DFB ∠=∠又1DFB C ∠=∠+∠ ∴21C ∠=∠+∠。

解题后的思考：由于角是轴对称图形，所以我们可以利用翻折来构造或发现全等三角形。

例3. 如图，在ABC ∆中，AB BC =，90ABC ∠=。

F 为AB 延长线上一点，点E 在BC 上，BE BF =，连接,AE EF和CF 。

求证：AE CF =。

思路分析：可以利用全等三角形来证明这两条线段相等，关键是要找到这两个三角形。

以线段AE 为边的ABE ∆绕点B 顺时针旋转90到CBF ∆的位置，而线段CF 正好是CBF ∆的边，故只要证明它们全等即可。

解答过程：90ABC ∠=，F 为AB 延长线上一点 ∴90ABC CBF ∠=∠= 在ABE ∆与CBF ∆中 AB BC ABC CBF BE BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ ∴ABE CBF ∆≅∆(SAS)∴AE CF =。

解题后的思考：利用旋转的观点，不但有利于寻找全等三角形，而且有利于找对应边和对应角。

小结：利用三角形全等证明线段或角相等是重要的方法，但有时不容易找到需证明的三角形。

这时我们就可以根据需要利用平移、翻折和旋转等图形变换的观点来寻找或利用辅助线构造全等三角形。

例4. 如图，D 是ABC ∆的边BC 上的点，且CD AB =，ADB BAD ∠=∠，AE 是ABD ∆的中线。

求证：2AC AE =。

思路分析：要证明“2AC AE =”，不妨构造出一条等于2AE 的线段，然后证其等于AC 。

因此，延长AE 至F ，使EF AE =。

解答过程：延长AE 至点F ，使EF AE =，连接DF 在ABE ∆与FDE ∆中 AE FE AEB FED BE DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ ∴ABE FDE ∆≅∆(SAS) ∴B EDF ∠=∠ADF ADB EDF ∠=∠+∠，ADC BAD B ∠=∠+∠ 又ADB BAD ∠=∠ ∴ADF ADC ∠=∠AB DF =，AB CD = ∴DF DC =在ADF ∆与ADC ∆中 AD AD ADF ADC DF DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ADF ADC ∆≅∆(SAS)∴AF AC =又2AF AE = ∴2AC AE =。

解题后的思考：三角形中倍长中线，可以构造全等三角形，继而得出一些线段和角相等，甚至可以证明两条直线平行。

四、课堂练习一、选择题：1. 能使两个直角三角形全等的条件是( ) A. 两直角边对应相等 B. 一锐角对应相等 C. 两锐角对应相等D. 斜边相等2. 根据下列条件，能画出唯一ABC ∆的是( )A. 3AB =，4BC =，8CA =B. 4AB =，3BC =，30A ∠=C. 60C ∠=，45B ∠=，4AB =D. 90C ∠=，6AB =3. 如图，已知12∠=∠，AC AD =，增加下列条件：①AB AE =；②BC ED =；③C D ∠=∠；④B E ∠=∠。

其中能使ABC AED ∆≅∆的条件有( )A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个（第3题） （第4题） （第5题） （第6题）4. 如图，已知AB CD =，BC AD =，23B ∠=，则D ∠等于( )A. 67B. 46C. 23D. 无法确定二、填空题：5. 如图，在ABC ∆中，90C ∠=，ABC ∠的平分线BD 交AC 于点D ，且:2:3CD AD =，10AC cm =，则点D 到AB 的距离等于__________cm ；6. 将一张正方形纸片按如图的方式折叠，,BC BD 为折痕，则CBD ∠的大小为_________；三、解答题：7. 如图，ABC ∆为等边三角形，点,M N 分别在,BC AC 上，且BM CN =，AM 与BN 交于Q 点。

求AQN ∠的度数。

8. 如图，90ACB ∠=，AC BC =，D 为AB 上一点，AE CD ⊥，BF CD ⊥，交CD 延长线于F 点。

求证：BF CE =。

9. 如图，已知AE ⊥AD ，AF ⊥AB ，AF=AB ，AE=AD=BC ，AD//BC.求证：（1）AC=EF ，（2）AC ⊥EF10. 已知：如图，在Rt △ABC 中，AB=AC ，∠BAC=90°，∠1=∠2，CE ⊥BD 的延长线于E.求证：BD=2CE.参考答案 一、选择题： 1. A 2. C3. B4. C二、填空题： 5. 46. 90三、解答题：7. 解：ABC ∆为等边三角形∴AB BC =，60ABC C ∠=∠= 在ABM ∆与BCN ∆中 AB BC ABC C BM CN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABM BCN ∆≅∆(SAS) ∴NBC BAM ∠=∠∴60AQN ABQ BAM ABQ NBC ∠=∠+∠=∠+∠=。

8. 证明：AE CD ⊥，BF CD ⊥ ∴90F AEC ∠=∠= ∴90ACE CAE ∠+∠= 90ACB ∠=∴90ACE BCF ∠+∠=∴CAE BCF ∠=∠ 在ACE ∆与CBF ∆中 F AEC CAE BCF AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ACE CBF ∆≅∆(AAS) ∴BF CE =。