126_工程数学线性代数第六版第4章向量组的线性相关性答案

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同济大学数学系《工程数学—线性代数》第6版课后习题(向量组的线性相关性)【圣才出品】

于是
，从而有
6．设 a1，a2 线性无关，a1＋b，a2＋b 线性相关，求向量 b 用 a1，a2 线性表示的表示式．
解：方法一因 a1＋b，a2＋b 线性相关，所以存在不全为零的常数 k1，k2，使
因 a1，a2 线性无关，可知 k1＋k2≠0．不然，由式（4-1）得
（4-1）
这与 k1，k2 不全为零矛盾．于是，由式（4-2-1）得
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同济大学数学系《工程数学—线性代数》第 6 版课后习题第 4 章向量组的线性相关性
1．已知向量组
证明 B 组能由 A 组线性表示，但 A 组不能由 B 组线性表示．
证：因 B 组能由 A 组线性表示 R（A，B）＝R（A）
才能成立，则 a1，…，am 线性无关，b1，…，bm 亦线性无关．（4）若 a1，…，am 线性相关，b1，…，bm 亦线性相关，则有不全为零的数λ1，…，λ
m，使
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同时成立．
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答：（1）命题是错误的，如：取向量
3．判定下列向量组是线性相关还是线性无关：
．解：记（1）、（2）中向量所构成的矩阵为 A．
4．问 a 取什么值时下列向量组线性相关？
解：记
，则
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于是当 a＝－1 或 a＝2 时 detA＝0，即 R（A）＜3，此时向量组 a1，a2，a3 线性相关．
A 组不能由 B 组线性表示 R（B，A）＞R（B）
于是，B 组能由 A 组线性表示并且 A 组不能由 B 组线性表示

同济大学数学系《工程数学—线性代数》(第6版)-章节题库-第4章向量组的线性相关性【圣才出品】

3．设 α1＝（1，2，3，1）T，α2＝（3，4，7，－1）T，α3＝（2，6，a，6）T，α4 ＝（0，1，3，a）T，那么 a＝8 是 α1，α2，α3，α4 线性相关的（）。
A．充分必要条件
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B．充分而非必要条件
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abb
A b a b a b2 a 2b 0
bba
解得 a＝b 或－2b。当 a＝b 时，r（A）＝1≠2，即 a＝－2b。
5．设向量组（Ⅰ）：α 1＝（a11，a12，a13），α 2＝（a21，a22，a23），α 3＝（a31，a32， a33），向量组（Ⅱ）：β1＝（a11，a12，a13，a14），β2＝（a21，a22，a23，a24），β3＝（a31， a32，a33，a34）
则正确的命题是（）。 A．（Ⅰ）相关⇒（Ⅱ）相关 B．（Ⅰ）无关⇒（Ⅱ）无关 C．（Ⅱ）无关⇒（Ⅰ）无关 D．（Ⅱ）相关⇒（Ⅰ）无关【答案】B 【解析】AC 两项，由于这两个命题互为逆否命题，一个命题与它的逆否命题要正确就全正确，要错误就全错误。按本题的要求仅有一个命题是正确的，所以可排除。其实亦可考查下面的例子：α1＝（1，0，0），α2＝（0，1，0），α3＝（0，0，0）与 β1＝（1，0，0， 0），β2＝（0，1，0，0），β3＝（0，0，0，1），显然 r（α1，α2，α3）＝2，r（β1，β2， β3）＝3，即当 α1，α 2，α3 线性相关时，其延伸组 β1，β2，β3 可以线性无关。 D 项，如果 β1，β2，β3 线性相关，即有不全为 0 的 x1，x2，x3 使 x1β1＋x2β2＋x3β3＝
C．必要而非充分条件
D．既不充分也非必要条件【答案】B

同济大学工程数学线性代数第六版答案(全)

第一章行列式1.利用对角线法则计算下列三阶行列式:(1)381141102---。

解381141102--- =2⨯(-4)⨯3+0⨯(-1)⨯(-1)+1⨯1⨯8-0⨯1⨯3-2⨯(-1)⨯8-1⨯(-4)⨯(-1)=-24+8+16-4=-4.(2)ba c a cbc b a ; 解ba c a cbc b a =acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc=3abc -a 3-b 3-c 3.(3)222111c b a c b a 。

解222111c b a c b a =bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2=(a -b )(b -c )(c -a ).(4)yx y x x y x y y x y x +++.解 yx y x x y x y y x y x +++=x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3-(x +y )3-x 3=3xy (x +y )-y 3-3x 2y -x 3-y 3-x 3=-2(x 3+y 3).2.按自然数从小到大为标准次序,求下列各排列的逆序数:(1)1 2 3 4。

解逆序数为0(2)4 1 3 2。

解逆序数为4: 41, 43, 42, 32.(3)3 4 2 1。

解逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1.(4)2 4 1 3。

解逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3.(5)1 3 ⋅⋅⋅ (2n -1) 2 4 ⋅⋅⋅ (2n )。

解逆序数为2)1(-n n : 3 2 (1个)5 2, 5 4(2个)7 2, 7 4, 7 6(3个)⋅⋅⋅⋅⋅⋅(2n-1)2, (2n-1)4, (2n-1)6,⋅⋅⋅, (2n-1)(2n-2)(n-1个)(6)1 3 ⋅⋅⋅(2n-1) (2n) (2n-2) ⋅⋅⋅ 2.解逆序数为n(n-1) :3 2(1个)5 2, 5 4 (2个)⋅⋅⋅⋅⋅⋅(2n-1)2, (2n-1)4, (2n-1)6,⋅⋅⋅, (2n-1)(2n-2)(n-1个)4 2(1个)6 2, 6 4(2个)⋅⋅⋅⋅⋅⋅(2n)2, (2n)4, (2n)6,⋅⋅⋅, (2n)(2n-2)(n-1个)3.写出四阶行列式中含有因子a11a23的项.解含因子a11a23的项的一般形式为(-1)t a11a23a3r a4s,其中rs是2和4构成的排列,这种排列共有两个,即24和42.所以含因子a11a23的项分别是(-1)t a11a23a32a44=(-1)1a11a23a32a44=-a11a23a32a44,(-1)t a11a23a34a42=(-1)2a11a23a34a42=a11a23a34a42.4.计算下列各行列式:(1)71100251020214214。

第四章向量组的线性相关性线性代数含答案.docx

第四章向量组的线性相尖性441基础练习1.设有斤维向量组e，，•••、％与几，02,...，仇若存在两组不全为零的数人、入，…，九和k], kzM使(人+灯⑦+—(心+k丿a卄(石一k) 0汁…+(入一n『#m=0则( )(A)(X、，吆…,J和0户卩2,…,“也都线性相矢(B)(ZI,么2,…，么加和0F“2,..., 0加都线性无矢(C)么汁伤，…，时门曲g—fip…，久线性无矢(D)e+伤，…，皤//”，5_卩[，…，线性相尖2.设如如一os与为，卩2,…，久为两个料维向量组，且R@\, a2, -,a s) = /?(/?… /?2,= r，则( )(A)当s = t吋，两向量组等价；(B)两向量组等价；(C)幻…,冬，卩7几)二”(D)当向量组如S被向量组伤，卩2,…,戸,线性表示时，两个向量组等价.3.设/是4阶方阵，且同=0,则/中( )(A)必有一列元素全为零；(B)必有两列元素成比例；(C)必有一列向量是其余列向量的线性组合；(D)任一列向量是其余列向量的线性组合.4.设力是矩阵，〃是矩阵，贝％)(A)当m > n时，必有14B | HO ；(B)当m > n时，必有(C)当HKD时，必有IMIW；(D)当m < n时，必有IMIP5.设向量组勺，血，他线性无尖，向量几可由勺，么2,么3线性表示，而向量02不能由(A) z a2,k/?7+/?2线性无尖；(B)血竝,冬，k/?7+y?2线性相矢；(C) a J9购么3, 0/+k“2线性无尖；(D)么勿，/ 线性相尖.6.设有向量组勺=(1,- 1,2,4), « = 0,3,1,2), «=(3,0,7,14),勺=(1,-2,2,0)与冬=(2丄5,10), 则向量组的极大线性无尖组是( )(A) °人3 ；(B) ar a2,弘；(C) ap a?, a.门(D) z av a4, as.7.设有向量组a=(a,0,c)fa=(b,c,0),a5=(0,a,b)线性无尖，则a,也c必须满足矢系式.& 向量组a=(l,2,3,4), (i2=(2,3,4,5), a3=(3,4,5,6),恥=(4,5,6,7)的秩等于 ___________________ . 9•已知向量组a =(1,2,-1,1),血=(2,0,0),购=(0,-4,5,-2)的秩为2,则.r 1 2 -2-10 •设矩阵/=2 1 2，向量a=(a,l,l),,已知/la与么线性无矢，则心_________________30 411•向量空间r二(x,2x,y)lx,yG R ｝的维数是______________________________ ，它的基a= _________ ,a2 = __________ .向量么=(3,6,-4)在基勺下的坐标是________________ . 12 ・设有向量组a, =(2,4,7); a2 =(3,2,5);^=(5,6,Q; “ = (1,3,5),当上为何值时，“能由舛42 线性表示？13.设有向量组a, =(2,1,5,3)；血=(1,-1,2,1);佝=(0,3,1,1);恥=(1,2,3,2);少=(-1,1,-2,-8)求向量组的秩和它的一个极大线性无尖组•14.设有向量组© =(1,1,1);血=(1,1,-1);试把P表为a, ,a2用3的线性组合.X,-2X2+X3+X4 • X5 二02XI+x 厂Xq-Xd+Xq 二015 •求方程组12 3 4 5的基础解系和通解.X(+7X2 ・ 5%3 ・5x4+5x5 二03x r X2-2X3+X4-X5 二0*X!-2X2+3X3-4X4=4x?-x.+xd =316•求方程组 2 3 4的通解.XI • 3X2-3X4 二1-7X2+3X3+X4 二-34.4.2提高练习1 .已知a, =(1,0,2,5/, a? =(1,1,3,5/, =Q,」a + 2,l)r他二(l,2,4，a+ 8 几0 = (1,10 +3,5)T(1)a,b为何值时，0不能表示为a…a2,a3,a4的线性组合；(2)a, b为何值时，“有⑦皿2,偽皿4的唯一线性表示，并写出该表达式.2.设向量线性相矢，而其屮任何卩1个向量线性无矢，证明存在不全为零的数《,©, • • •& 便滋+••• + ©%=()・3•设ai9a29a3线性无尖，证明 /?( =a)-2a2 +2a3，/?2 二加-a A py = 2a)-a2 +3a3 线性无尖•4.验证向量a. =(l,-l,0)r,a2 =(2丄3/,=(3,1,2/是疋的一个基，并分别将向量件二(5Q7)丁，仏二(一9,一&・13卩用这个基表示.5.已知H的两个基T3<3<5><A:a)=1/<2 二11；B卩严3,02 =-1'03 二4<2<2><2<3,J2求基力到基〃的过渡矩阵C6•设由向量么〕二(0丄2),血二(1,3,5)，么3二(2丄0)生成的向量空间为V】，由向量几二(1,2,3),仏二(一1，0,1)生成的向量空间为V2,试证匕二V2・7•设/?”的3个基分别为1）求由基（2）到基（1）的过渡矩阵;2）求向S.a 二e 【+e2"・e3在基（2）下的坐标; 3）求向量fl = 3ej+ 2es -3A4在基（1）下的坐标;4）求由基（2）到基（3）的过渡矩阵.8.设加个n 维向量a 〕9ay«”线性无矢，P 为n 阶方阵‘证明:向量组Pa?Pa2, - .Pan1,<o>v9、6具有相同的秩，且“3可由向量组（2）线「7(3)： VI(--I疋2 =1 0 <0 • •<i>r-P了-1 1 、6 二 ?.1<o><0,[1 1 ?也二 311d 丿线性无尖的充耍条件是IPL0.na29•已知向量组（1）：fi 二T0]],“2= ri 丿< 1、n3向量组（2） : a2，亿>二佝二严）A \/(?)作性表不，求* b 的值.，03=10•已知3阶方阵力与3维向量X，使得向量组X9AX9A2X线性无尖，且满足A3X =3A X-2A2X ;1)记P二(x, Axjxj.求3 阶方阵B使A = PBP-;2）计算行列式・A%! + 兀 2 + 兀 3= 1问2取何值时,(1) o 可由勺，J 么3线性表示，且表达式唯一？ (2) "可由勺，《2,冬线性表示，但表达式不唯一？ (3) “不能由勺，色线性表示？x ( +X2+&3 =413. k 为何值时，线性方程组w -x, + kx 2 + x 3 = A:2X]_ 勺 + 2 兀 3 =-4有唯一解、无解、有无穷个解?在有解时求出其全部解. 14. 己知二（1，0,2,3）,力二（1丄3,5）,«3二（1，一 1 卫 + 2,1）,如二（124卫 + &）,，（1 丄/? +3,5）.(1)心b 为何值时，“不能表示为勺，j s 他的线性组合?(2)么/?为何值时，“可表示为么” J 5么4的线性组合？并写出该表示式.11 •讨论并求解方程组<%! + AX2 +X3 = A.12•设有3维列向量a =x]+兀 2+ 7C 3 = Q215. 已知下列线性方程组兀1+兀〉一2兀4 = 一6(1){4 西-X2 -X3-X4 = 1； 3兀L 兀2_兀3 = 3 ⑴求出方程组⑴的通解；(2)当⑵中的参数明/为何值时‘方程组⑴与(2)同解?X] + inx? -XS -XA --5 72X1 —七一2 兀二—1 121第四章参考解答4.4.1基础练习：1. （D ）提示：由题设知，入 5+0） + 希 a+02 + - • • + An J&+Q + kg-卩）+・・・=o又知人，易，…，无，k 、，心…，红不全为零，均+伤,a 2+#2,臥盘，a 厂卩p 卩卫…，亦仇线性相尖.2. （D ）提示：设向量组A ：弘幻 …，匕：向量组B ： P],'T（因向量组/可被向量组B 表示），则用為？仞二/? （C ）o L所以％® r 故选（D ）3. （C ）提示：因仏2,则R （/） v4, /经初等列变换化为阶梯阵〃，〃必有零列，该列就是其余列的线性组合.4. （B ）提示：也习时，R （4） <n<m,又R （4B ）vR 么），则«BX m ，为降阶方阵,所以AB=O.«/'a /A =orf4-k(A ir/+A 2 厂2+7丿Ta 、 M =B «3«3g+02_A_又勺，j 冬线性无尖，且肉不能由勺，叫冬线性表示，则R勺，J 他，妙+几线性无尖•这个结论肯定了（A ）而排除了（B ），对条件（C ），取R 二0即与5. （A ）提示：由可由勺,5幺3线性表示知件二人勺+入么仝+入冬，那么 (4)二R0?>4,即题设矛盾，可排除•对于（D），取21时与（A）中炉1相同，已知（A）正确，从而否定（D）・6.(B)1. abcO ・提示:ar n 冬线性无尖。

3线性代数习题答案(向量组的线性相关性)

第三章向量组的线性相关性1.验证}0{是向量空间，其中0 为n 维零向量.证明设}0{, ∈βα，则}0{000∈=+=+βα，且R ∈∀λ，}0{00∈==λαλ，集合}0{ 对向量的加法和数乘向量封闭，所以}0{ 是向量空间. 2.验证：（1）向量空间必含有零向量；（2）若向量空间含有向量α ，则一定含有α-.证明（1）设有向量空间V ，任取向量V ∈α ，R ∈∀λ，都有V ∈αλ，取定0=λ，则V ∈==00ααλ，所以向量空间中一定含有零向量.（2）设有向量空间V ，则可知V ∈0 ，于是存在V ∈βα,，使得V ∈=+0 βα，于是V ∈-=αβ，所以若向量空间含有向量α ，则一定含有α -. 3.判定3R 的下列子集是否是3R 的子空间：（1）{}R z z W ∈=|),1,0(1；解因为1,W ∈∀βα ，设),1,0(1z =α，),1,0(2z =β ， +=+),1,0(1z βα),1,0(2z ),2,0(21z z +=1W ∉，集合1W 对加法不封闭，所以1W 不是3R 的子空间.（2）{}R y x y x W ∈=,|)0,,(2；解因为2,W ∈∀βα ，设)0,,(11y x =α，)0,,(22y x =β ， )0,,()0,,(2211y x y x +=+βα22121)0,,(W y y x x ∈++=，且R ∈∀λ， 211)0,,(W y x ∈=λλαλ ，集合2W 对向量的加法和数乘向量封闭，所以2W 是3R 的子空间.（3）{}R z y x z y x z y x W ∈=+-=,,,03|),,(3；解因为3,W ∈∀βα ，设),,(111z y x =α，),,(222z y x =β ， ),,(),,(222111z y x z y x +=+βα),,(212121z z y y x x +++=，⎭⎬⎫=+-=+-0303222111z y x z y x ⇒0)(3)()(212121=+++-+z z y y x x ，3W ∈+∴βα，且R ∈∀λ，3111),,(W z y x ∈=λλλαλ，集合3W 对向量的加法和数乘向量封闭，所以3W 是3R 的子空间.（4）{}R x x x x x x x x x W ∈=++=3213213214,,,1|),,(；解因为4,W ∈∀βα ，设),,(321x x x =α，),,(321y y y =β ， ),,(),,(321321y y y x x x +=+βα),,(332211y x y x y x +++=而1321=++x x x ，1321=++y y y ，从而有2321321=+++++y y y x x x 即有2)()()(332211=+++++y x y x y x 4W ∈，对加法不封闭，故4W 不是3R 的子空间.（5）⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-==-=R z y x z y x z y x W ,,,2321|),,(5；解因为5,W ∈∀βα ，设),,(111z y x =α，),,(222z y x =β ， ),,(),,(222111z y x z y x +=+βα),,(212121z z y y x x +++=，而1112321z y x -==-，2222321z y x -==-，)(2322212121z z y y x x +-=+=-+21)(21-+≠x x 5W ∉，对加法不封闭，故5W 不是3R 的子空间.（6）{}R z y x y x z y x z y x W ∈==++=,,,,032|),,(6解因为5,W ∈∀βα ，设),,(111z y x =α，),,(222z y x =β ， ),,(),,(222111z y x z y x +=+βα),,(212121z z y y x x +++=，⎭⎬⎫=++=++032032222111z x x z x x ⇒0)(3)(2)(212121=+++++z z x x x x ，所以有6W ∈+βα，且R ∈∀λ，),,(111z x x λλλαλ=，032111=++z x x ⇒032111=++z x x λλλ，所以有6W ∈αλ ，该集合对加法与数乘都封闭，所以6W 是3R 的子空间.4．设)0,4,3(),1,1,0(),0,1,1(321===ααα，求21αα-及32123ααα-+.解 21αα-)1,1,0()0,1,1(-=)10,11,01(---=)1,0,1(-=32123ααα-+)0,4,3()1,1,0(2)0,1,1(3-+=)01203,41213,30213(-⨯+⨯-⨯+⨯-⨯+⨯=).2,1,0(= 5．设)(5)(2)(3321αααααα +=++-，其中)3,1,5,2(1=α，)10,5,1,10(2=α ，)1,1,1,4(3-=α，求.α解由)(5)(2)(3321αααααα+=++-整理得)523(61321αααα-+=)]1,1,1,4(5)10,5,1,10(2)3,1,5,2(3[61--+=).4,3,2,1(=6．设r r αααβααβαβ+++=+==2121211,,,，且向量组r ααα,,,21线性无关，证明向量组r βββ ,,,21线性无关.证明设02211=+++r r k k k βββ，则++++++++++p r p r r k k k k k k ααα)()()(22110 =+r r k α因向量组r ααα,,,21线性无关，故⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==++=+++000221r r r k k k k k k ⇔⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0001001101121 r k k k因为0110011011≠= ，故方程组只有零解则021====r k k k ，所以r βββ,,,21线性无关.7．设144433322211,,,ααβααβααβααβ+=+=+=+=，证明向量组4321,,,ββββ线性相关.证明设有4321,,,x x x x 使得044332211=+++ββββx x x x则 0)()()()(144433322211=+++++++ααααααααx x x x0)()()()(443332221141=+++++++ααααx x x x x x x x(1) 若4321,,,αααα线性相关，则存在不全为零的数4321,,,k k k k ,411x x k +=，212x x k +=，323x x k +=，434x x k +=，由4321,,,k k k k 不全为零，知4321,,,x x x x 不全为零，即4321,,,ββββ线性相关.(2) 若4321,,,αααα 线性无关，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+=+000043322141x x x x x x x x 011000110001110014321=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⇒x x x x 由01100011000111001=知，此齐次方程存在非零解则4321,,,ββββ线性相关. 综合得证.8.讨论向量组的线性相关性：（1）)1,1,1(1=α ，)5,2,0(2=α ，)6,3,1(3=α；解显然有312)1(ααα +-=，所以321,,ααα是线性相关的. （2）)0,1,1(1=α ，)0,2,0(2=α ，)1,0,0(3=α.解设存在常数1k ，2k ， 3k 使得0332211=++αααk k k ，于是有 ()()())0,0,0(,0,00,2,00,,3211=++k k k k ，从而有 ())0,0,0(,2,3211=+k k k k 即⎪⎩⎪⎨⎧==+=00203211k k k k 0321===⇒k k k ，故321,,ααα是线性无关的.9.设T )1,1,1(1=α ，T )3,2,1(2=α ，Tt ),3,1(3=α .（1）问t 为何值时，向量组321,,ααα线性相关？（2）问t 为何值时，向量组321,,ααα线性无关？（3）当向量组321,,ααα 线性相关时，将3α 表示为1α 和2α的线性组合.解设存在常数1k ，2k ， 3k 使得0332211=++αααk k k ，于是有 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++000332321321321tk k k k k k k k k从而有，⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++030320321321321tk k k k k k k k k ①（1）当向量组321,,ααα线性相关时，方程组①有非零解，则031321111=t⇒5=t ，故当5=t 时，向量组321,,ααα线性相关. （2）当5≠t 时，向量组321,,ααα线性无关.（3）设矩阵),,(321TT T A ααα =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=531321111−−→−--1312r r r r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛420210111 −−→−--2321r r r r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-000210101，从最后一个矩阵看出，.2213ααα+-=10.用矩阵的秩判别下列各向量组的线性相关性：（1）T)2,0,1,3(1=α ，T)1,2,1,1(2--=α ，T)4,4,3,1(3-=α；解设矩阵),,(321ααα =A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=412420311113−−→−--↔14122123r r rr r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=210420840311 −−→−--24234121r r r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=000000840311，32)(<=A R ，所以向量组（1）线性相关. （2）T )1,0,1(1=α ，T )0,2,2(2=α ，T)3,3,0(3=α ；解设矩阵),,(321ααα=B ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=301320021−−→−-13r r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-320320021−−→−+23r r⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛600320021，33)(==B R ，所以向量组（2）线性无关. （3）T )0,1,1,4,2(1=α ，T )1,1,0,2,1(2-=α ，T)1,0,1,3,1(3=α .解 ),,(321ααα=C ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=110011101324112−−→−↔31rr ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-110011112324101−−→−---14131224r r r r rr ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----110110*********−−→−+--↔252423252r r r r r r r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--100200200110101−−→−+-353421rr r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-000000200110101，33)(==C R ，所以向量组（3）线性无关.11.已知向量组)1,2,1,1(1=α ，)2,0,0,1(2=α ，),8,4,1(3k ---=α线性相关，求k 的值.解设矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---==k A T T T 21802401111),,(321ααα −−→−---1413122rr r r rr ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-----110620310111k −−→−+-24232r r r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----200000310111k −−→−↔43r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----000200310111k 从最后一个矩阵可以看出，当2=k 时，32)(<=A R ，向量组321,,ααα才线性相关.12.设向量组4321,,,αααα线性相关，但其中任意三个向量线性无关，证明：存在一组全不为零的数4321,,,λλλλ，使.044332211=+++αλαλαλαλ证明由已知4321,,,αααα线性相关，所以存在一组不全为0的数4321,,,λλλλ 使得 .044332211=+++αλαλαλαλ (下证4321,,,λλλλ全不为0)假设01=λ，则0443322=++αλαλαλ，由已知4321,,,αααα其中任意三个向量都线性无关，所以432,,ααα线性无关，于是0432===λλλ，这与4321,,,λλλλ不全为0矛盾. 故01≠λ.同理可证432,,λλλ不等于0 故4321,,,λλλλ全不为0.13.设向量x 可由r ααα ,,,21线性表示，r ααα,,,21可由s βββ ,,,21线性表示，证明x可由s βββ ,,,21线性表示.证明根据题意可知存在常数r λλλ,,,21 和),2,1,(s j i x ij =，使得r r x αλαλαλ +++=2211；s is i i i x x x βββα+++=2211，r i ,,2,1 =++++++++=)()(2222121212121111s s s s x x x x x x x βββλβββλ)(2211s rs r r r x x x βββλ++++++++++++=2222212111212111)()(βλλλβλλλr r r r x x x x x xs rs r s s x x x βλλλ)(2211++++由上式可知，x可由s βββ ,,,21线性表示.14.求作一个秩为4的方阵，它的两个行向量是：)0,0,1,0,1(，)0,0,0,1,1(-. 解设)0,0,1,0,1(1=α ，)0,0,0,1,1(2-=α ，显然21,αα线性无关，因为它们都是5维的，所以所求方阵A 应该含有5个5维的向量，又因为所求的方阵A的秩为4，所以可设)0,,,,(4321T T T T T A αααα=，只要4321,,,αααα线性无关就满足条件了，所以取)0,0,1,0,0(33==εα ，)0,1,0,0,0(44==εα就能满足条件，故满足条件的一个方阵为.0000001000001010001000011⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=A15. 设向量组m ααα,,,21线性无关，向量1β 可用它们线性表示，向量2β 不能用它们线性表示，证明向量组2121,,,,ββλααα+m )(为常数λ线性无关.证明据题意存在常数m λλλ,,,21 ，使得m m αλαλαλβ+++=22111，设0)(2112211=++++++ββλαααm m m k k k k 将1β代入上式，得0])([2221112211=+++++++++βαλαλαλλαααm m m m m k k k k0)()()(21122121111=+++++++++++βαλλαλλαλλm m m m m m m k k k k k k k因为221,,,,βαααm 线性无关，所以有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==+=+=+++++000011212111m m m mm m k k k k k k k λλλλλλ ⇒100010001000121m λλλλλλ01≠=，所以齐次方程组只有零解，故向量组2121,,,,ββλααα+m 线性无关.线性表示？能否由）（线性表示？能否由）（试讨论：线性无关，线性相关，向量组设向量组1211321m 32-1m 21,,2,,,1,,)3(,,.16--≥m m m m αααααααααααααα.,)1(321线性表示能由解ααα线性无关，，由于m 32ααα，.,,,132也线性无关其部分组-m ααα线性相关又1321,,,,-m αααα ，.,,,1321线性表示能由故-m αααα.,,,)2(-1m 21m 线性表示不能由αααα反证如下：线性表示，即能由设-1m 21m ,,αααα-1m 12211m αλαλαλα -+++=m ，由（1）的结论，1133221--++=m m αμαμαμα设，代入上式得， ,)()()(11-1m 133312221m --++++++=m m αλμλαλμλαλμλα 线性表示能由即132m ,,,-m αααα ，,,,,,m 132线性相关从而αααα-m 这与已知矛盾！.,,,-1m 21m 线性表示不能由故αααα17．设n ααα ,,,21是一组n 维向量，已知n 维单位坐标向量n εεε,,,21能由它们线性表示，证明n ααα,,,21线性无关.证明 n 维单位向量n εεε,,,21线性无关，不妨设: n nn n n n nn n n k k k k k k k k k αααεαααεαααε +++=+++=+++=22112222121212121111所以 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛T n T T nn n n n n T n T T k k k k k k k k k αααεεε2121222211121121 两边取行列式，得T n T T nn n n n n T n TT k k k k k k k k k αααεεε2121222211121121=由002121≠⇒≠T nTTT n T T αααεεε即n 维向量组n ααα ,,,21所构成矩阵的秩为n ，故n ααα,,,21线性无关.18．设n ααα ,,,21是一组n 维向量,证明它们线性无关的充分必要条件是：任一n维向量都可由它们线性表示.证明设n εεε,,,21为一组n 维单位向量，对于任意n 维向量Tn k k k ),,,(21=α则有n n k k k εεεα+++=2211即任一n 维向量都可由单位向量线性表示.必要性⇒n ααα ,,,21线性无关，且n ααα,,,21能由单位向量线性表示，即nnn n n n nn n n k k k k k k k k k εεεαεεεαεεεα +++=+++=+++=22112222121212121111故⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛T n T T nn n n n n T n T T k k k k k k k k k εεεααα 2121222211121121 两边取行列式，得T n TTnn n n n n Tn TTk k k k k k k k k εεεααα2121222211121121=由0021222211121121≠⇒≠nnn n nnTnTTk k k k k k k k kααα令⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯nn n n n n n n k k k k k k k k k A212222111211则由⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-T n T T T n T T T n T T T n T T A A εεεαααεεεααα212112121 即n εεε ,,,21都能由n ααα,,,21线性表示，因为任一n 维向量能由单位向量线性表示，故任一n 维向量都可以由n ααα,,,21线性表示.充分性⇐已知任一n 维向量都可由n ααα,,,21线性表示，则单位向量组： n εεε ,,,21可由n ααα ,,,21线性表示，则n ααα,,,21线性无关.19．设向量组A :s ααα,,,21的秩为1r ，向量组B :t βββ ,,,21的秩2r向量组C : t s βββααα,,,,,,,2121的秩3r ，证明21321},ma x {r r r r r +≤≤证明设C B A ,,的最大线性无关组分别为C B A ''',,，含有的向量个数(秩)分别为321,,r r r ，则C B A ,,分别与C B A ''',,等价，易知B A ,均可由C 线性表示，则秩(C )≥秩(A )，秩(C )≥秩(B )，即321},max{r r r ≤.设A '与B '中的向量共同构成向量组D ，则B A ,均可由D 线性表示，即C 可由D 线性表示，从而C '可由D 线性表示，所以秩(C ')≥秩(D )，D 为21r r +阶矩阵，所以秩(D )21r r +≤即213r r r +≤.20.证明()()()B R A R B A R +≤+.证明：设Tn a a a A ),,,(21 =T n b b b B ),,,(21 =且B A ,行向量组的最大无关组分别为Tr T T ααα ,,,21 ， T s T T βββ,,,21显然，存在矩阵B A '',，使得⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛T s T TT n T TA a a a ααα 2121，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛T s T TT n T T B b b b βββ 2121⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=+∴T n T nTT TT b a b a b a B A 2211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'=T s T T T s T T B A βββααα 2121 因此()()()B R A R B A R +≤+ 21.求下列向量组的秩和一个最大无关组，并把其余向量用最大无关组表示出来：（1）)3,1,2,1(1=α，)6,5,1,4(2---=α，)7,4,3,1(3----=α，)0,2,1,2(1=α；（2）T)0,2,3,1(1=α ，T)3,14,0,7(2=α ，T)1,0,1,2(3-=α ，T)2,6,1,5(4=α，T )1,4,1,2(5-=α；（3）)2,1,2,1(1=α ，)1,3,0,1(2=α ，)1,0,1,2(3-=α ，)2,2,1,2(4-=α，)3,4,2,2(5=α.解（1）设矩阵),,,(4321TTTT A αααα=，则⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=2112203111022211A −−→−---14131222r r r r r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------2310422035202211−−→−↔÷3232rr r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------2310352021102211−−→−++-2423212r r rr r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------4400770021104301−−→−--÷-÷3443)4()7(r r r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--0000110021104301−−→−+-32313r r r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0000110010101001，从最后一个矩阵中看出，3)(=A R ，向量组的一个最大无关组为321,,ααα ，且.3214αααα+-=（2）设矩阵),,,,(54321ααααα=B ，则⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=121304601421110325271B −−→−--131223r r r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------1213004400714721025271 −−→−-÷)7(2r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--12130044001213025271−−→−-÷-)4(324r r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛00000011001213025271−−→−--12312r r r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛00000011001103023071−→−÷32r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0000001100313101023071−−→−-217r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-00000011003131010313201，从最后一个矩阵中看出，3)(=B R ，向量组的一个最大无关组为321,,ααα ，且32143132αααα++=，.031313215αααα ++-= （3）设矩阵),,,,(54321TT T T T C ααααα =，则⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=32112420312110222211C −−→−---14131222r r r r r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----------12310242202352022211 −−→−↔÷3232rr r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----------12310235201211022211−−→−++-2423212r r r r r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------04400077001211014301−−→−--÷-÷3443)4()7(rr r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--00000011001211014301−−→−+-32313r r r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-00000011001101011001，从最后一个矩阵中看出，3)(=C R ，向量组的一个最大无关组为321,,ααα，且 3214αααα +-=，.03215αααα ++=等价的充要条件是与矩阵矩阵，证明：矩阵都是与设B A n m B A ⨯.22 ).()(B r A r =证明必要性),,,,(),,,,(2121n n B A βββααα==设),,,,,,,,(),(2121n n B A C βββααα==因为A 与B 等价，即A 的列向量与B 的列向量等价，则它们可以相互线性表示；因此A （或B ）的列向量与C 的列向量可以相互线性表示；由推论3“等价的向量组有相同的秩”，得),()()(B A r B r A r ==充分性.,,,,)2(;,,,)1(2121s s B βββααα=设s γγγ ,,,)3(21分别是A ，B ，C 的极大无关组.因为向量（1）是C 的列向量的一部分且线性无关，又(1)和(3)的秩相等，所以(1)也是C 的极大无关组. 同理(2)也是C 的极大无关组. 于是(1)与(2)是等价的. 从而矩阵A 与B 等价.23.求向量组:)1,5,1,1(1--=α ，)3,2,1,1(2-=α ，)1,8,1,3(3-=α，)7,9,3,1(4-=α的所有最大无关组.解设矩阵),,,(4321TTTT A αααα=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=7131982531111311−−→−+-+1413125r r r r r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---84401477042201311−−→−-+÷24232472r r rr r⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0000000021101311−−→−-21r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0000000021101201，所以从而最后一个矩阵中看出所有最大无关组为：21,αα ；31,αα ；41,αα ；32,αα ；42,αα ；43,αα.24．试证:由)0,1,1(),1,0,1(),1,1,0(321===ααα 所生成的向量空间就是3R .证明设TA ),,(321ααα = 011101110321==αααA 02110101011)1(1≠-=-=-于是3)(=A R 故线性无关.由于321,,ααα均为三维，且秩为3，所以321,,ααα 为此三维空间的一组基，故由321,,ααα所生成的向量空间就是3R .25．由),1,1,0,1(),0,0,1,1(21==αα所生成的向量空间记作1V ，由),1,1,1,0(),3,3,1,2(21--=-=ββ所生成的向量空间记作2V ，试证：21V V =.证明设{}R k k k k x V ∈+==1122111,αα，{}R x V ∈+==1122112,λλβλβλ任取1V 中一向量，可写成2211αα k k +，要证22211V k k ∈+αα，从而得21V V ⊆由22112211βλβλαα+=+k k 得⎩⎨⎧=+-+=⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=-==+1212112122121211212332k k k k k k k k λλλλλλλλλλ 上式中，把21,k k 看成已知数，把21,λλ看成未知数，0211021≠=-=D 21,λλ⇒有唯一解，21V V ⊆∴同理可证: 12V V ⊆ (001112≠=D )故.21V V =26．验证)2,1,3(),3,1,2(),0,1,1(321==-=ααα为3R 的一个基，并把)13,8,9(),7,0,5(21---==v v在这组基下的坐标.解由于06230111321321≠-=-=ααα即矩阵),,(321ααα的秩为3，故321,,ααα 线性无关，则为3R 的一个基. 设3322111αααk k k v ++=，则⎪⎩⎪⎨⎧=+=++-=++723053232321321k k k k k k k k ⎪⎩⎪⎨⎧-===⇒132321k k k 故1v在这组基下的坐标为).1,3,2(- 设3322112αλαλαλ++=v ，则⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=++--=++1323893232321321λλλλλλλλ⎪⎩⎪⎨⎧-=-==⇒233321k k k 故2v在这组基下的坐标为).2,3,3(--27.设有向量组)5,2,3(1=α，)7,4,2(2=α ，),6,5(3λα=，)5,3,1(=β，当λ为何值时，β能由321,,ααα线性表示？解设矩阵),,,(321TT T T A βααα =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=57536421523λ−−→−-21r r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---57536422121λ−−→−--131252rr r r⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+---15517078802121λ−−→−↔-32232r r r r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----7880111102121λ−−→−-+232182rr r r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----18960011110023201λλλ−−→−--÷323)1(r r r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--196800085710023201λλλ，从最后一个矩阵中看出βαα ,,21是线性无关的，要使β 能由321,,ααα 线性表示，必需当321,,ααα线性无关才满足条件，即当0968≠-λ时，即12≠λ时，β 才能由321,,ααα线性表示.28.证明向量组)1,,1,1(:1 =βB ，)1,,1,0(2=β，…)1,,0,0(=n β为n R 的一组基，求向量),,(21n a a a=α在这组基下的坐标.证明设矩阵),,,(21Tn T T A βββ =，则⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=111011001 A ，因为01||≠=A ，所以向量组B 线性无关，且向量组的秩为n ，故向量组B 为nR 的一组基.设矩阵),,,,(21αβββT n T T C =，则⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n a a a C 21111011001−−→−------12211r r r r r r n n n n ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-1121100010001n n a a a a a C所以 ).,,,()(1121---=n n B a a a a aα 29.计算：（1）设A 为三阶矩阵),,(321A A A A =，)3,2,1(=i A i 是A 的第i 个列向量，且3||-=A ，计算3212,2,2A A A A --的值.（2）设四阶矩阵),,,(432r r r A --=α，),,,(432r r r B -=β，其中432,,,,r r r βα均为四维列向量，且已知行列式4||=A ，1||=B ，计算行列式||B A -的值.解（1）32123212,2,2,2,2A A A A A A A A --=-- |,,|2,2,2322312A A A A A A --+-= 312,,4A A A -=0+312,,4A A A -=3213,,)4()1(A A A --=||4A =.12-= （2）4322,2,2,||r r r B A ---=-βα 432,,,8r r r ---=βα432,,,8r r r --=α432,,,8r r r ---+β||8A =4324,,,8)1(r r r --+β||8||8B A +=.40832=+=。

线性代数课后习题答案第四章向量组的线性相关性

第四章向量组的线性相关性1. 设v 1=(1, 1, 0)T , v 2=(0, 1, 1)T , v 3=(3, 4, 0)T , 求v 1-v 2及3v 1+2v 2-v 3.解 v 1-v 2=(1, 1, 0)T -(0, 1, 1)T=(1-0, 1-1, 0-1)T=(1, 0, -1)T .3v 1+2v 2-v 3=3(1, 1, 0)T +2(0, 1, 1)T -(3, 4, 0)T =(3⨯1+2⨯0-3, 3⨯1+2⨯1-4, 3⨯0+2⨯1-0)T =(0, 1, 2)T .2. 设3(a 1-a )+2(a 2+a )=5(a 3+a ), 求a , 其中a 1=(2, 5, 1, 3)T , a 2=(10, 1, 5, 10)T , a 3=(4, 1, -1, 1)T . 解由3(a 1-a )+2(a 2+a )=5(a 3+a )整理得 )523(61321a a a a -+=])1 ,1 ,1 ,4(5)10 ,5 ,1 ,10(2)3 ,1 ,5 ,2(3[61T T T --+==(1, 2, 3, 4)T . 3. 已知向量组A : a 1=(0, 1, 2, 3)T , a 2=(3, 0, 1, 2)T , a 3=(2, 3, 0, 1)T ;B : b 1=(2, 1, 1, 2)T , b 2=(0, -2, 1, 1)T , b 3=(4, 4, 1, 3)T , 证明B 组能由A 组线性表示, 但A 组不能由B 组线性表示. 证明由⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=312123111012421301402230) ,(B A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------971820751610402230421301~r⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------531400251552000751610421301 ~r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----000000531400751610421301~r知R (A )=R (A , B )=3, 所以B 组能由A 组线性表示. 由⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=000000110201110110220201312111421402~~r r B 知R (B )=2. 因为R (B )≠R (B , A ), 所以A 组不能由B 组线性表示.4. 已知向量组A : a 1=(0, 1, 1)T , a 2=(1, 1, 0)T ;B : b 1=(-1, 0, 1)T , b 2=(1, 2, 1)T , b 3=(3, 2, -1)T , 证明A 组与B 组等价. 证明由⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=000001122010311112201122010311011111122010311) ,(~~r r A B ,知R (B )=R (B , A )=2. 显然在A 中有二阶非零子式, 故R (A )≥2, 又R (A )≤R (B , A )=2, 所以R (A )=2, 从而R (A )=R (B )=R (A , B ). 因此A 组与B 组等价.5. 已知R (a 1, a 2, a 3)=2, R (a 2, a 3, a 4)=3, 证明 (1) a 1能由a 2, a 3线性表示; (2) a 4不能由a 1, a 2, a 3线性表示.证明 (1)由R (a 2, a 3, a 4)=3知a 2, a 3, a 4线性无关, 故a 2, a 3也线性无关. 又由R (a 1, a 2, a 3)=2知a 1, a 2, a 3线性相关, 故a 1能由a 2,a 3线性表示.(2)假如a 4能由a 1, a 2, a 3线性表示, 则因为a 1能由a 2, a 3线性表示, 故a 4能由a 2, a 3线性表示, 从而a 2, a 3, a 4线性相关, 矛盾. 因此a 4不能由a 1, a 2, a 3线性表示.6. 判定下列向量组是线性相关还是线性无关: (1) (-1, 3, 1)T , (2, 1, 0)T , (1, 4, 1)T ; (2) (2, 3, 0)T , (-1, 4, 0)T , (0, 0, 2)T .解 (1)以所给向量为列向量的矩阵记为A . 因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=000110121220770121101413121~~r r A ,所以R (A )=2小于向量的个数, 从而所给向量组线性相关. (2)以所给向量为列向量的矩阵记为B . 因为022200043012||≠=-=B ,所以R (B )=3等于向量的个数, 从而所给向量组线性相无关.7. 问a 取什么值时下列向量组线性相关？ a 1=(a , 1, 1)T , a 2=(1, a , -1)T , a 3=(1, -1, a )T . 解以所给向量为列向量的矩阵记为A . 由)1)(1(111111||+-=--=a a a aa a A知, 当a =-1、0、1时, R (A )<3, 此时向量组线性相关.8. 设a 1, a 2线性无关, a 1+b , a 2+b 线性相关, 求向量b 用a 1, a 2线性表示的表示式.解因为a 1+b , a 2+b 线性相关, 故存在不全为零的数λ1, λ2使λ1(a 1+b )+λ2(a 2+b )=0, 由此得 2211121122121211)1(a a a a b λλλλλλλλλλλλ+--+-=+-+-=, 设211λλλ+-=c , 则b =c a 1-(1+c )a 2, c ∈R .9. 设a 1, a 2线性相关, b 1, b 2也线性相关, 问a 1+b 1, a 2+b 2是否一定线性相关？试举例说明之. 解不一定.例如, 当a 1=(1, 2)T , a 2=(2, 4)T , b 1=(-1, -1)T , b 2=(0, 0)T 时, 有 a 1+b 1=(1, 2)T +b 1=(0, 1)T , a 2+b 2=(2, 4)T +(0, 0)T =(2, 4)T , 而a 1+b 1, a 2+b 2的对应分量不成比例, 是线性无关的.10. 举例说明下列各命题是错误的:(1)若向量组a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a m 是线性相关的, 则a 1可由a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a m 线性表示.解设a 1=e 1=(1, 0, 0, ⋅ ⋅ ⋅, 0), a 2=a 3= ⋅ ⋅ ⋅ =a m =0, 则a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a m 线性相关, 但a 1不能由a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a m 线性表示. (2)若有不全为0的数λ1, λ2, ⋅ ⋅ ⋅, λm 使λ1a 1+ ⋅ ⋅ ⋅ +λm a m +λ1b 1+ ⋅ ⋅ ⋅ +λm b m =0成立, 则a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a m 线性相关, b 1, b 2, ⋅ ⋅ ⋅, b m 亦线性相关. 解有不全为零的数λ1, λ2, ⋅ ⋅ ⋅, λm 使λ1a 1+ ⋅ ⋅ ⋅ +λm a m +λ1b 1+ ⋅ ⋅ ⋅ +λm b m =0,原式可化为λ1(a 1+b 1)+ ⋅ ⋅ ⋅ +λm (a m +b m )=0.取a1=e1=-b1,a2=e2=-b2,⋅⋅⋅,a m=e m=-b m,其中e1,e2,⋅⋅⋅,e m为单位坐标向量,则上式成立,而a1,a2,⋅⋅⋅,a m和b1,b2,⋅⋅⋅,b m均线性无关.(3)若只有当λ1,λ2,⋅⋅⋅,λm全为0时,等式λ1a1+⋅⋅⋅+λm a m+λ1b1+⋅⋅⋅+λm b m=0才能成立,则a1,a2,⋅⋅⋅,a m线性无关, b1,b2,⋅⋅⋅,b m亦线性无关.解由于只有当λ1,λ2,⋅⋅⋅,λm全为0时,等式由λ1a1+⋅⋅⋅+λm a m+λ1b1+⋅⋅⋅+λm b m=0成立,所以只有当λ1,λ2,⋅⋅⋅,λm全为0时,等式λ1(a1+b1)+λ2(a2+b2)+⋅⋅⋅+λm(a m+b m)=0成立.因此a1+b1,a2+b2,⋅⋅⋅,a m+b m线性无关.取a1=a2=⋅⋅⋅=a m=0,取b1,⋅⋅⋅,b m为线性无关组,则它们满足以上条件,但a1,a2,⋅⋅⋅,a m线性相关.(4)若a1,a2,⋅⋅⋅,a m线性相关, b1,b2,⋅⋅⋅,b m亦线性相关,则有不全为0的数,λ1,λ2,⋅⋅⋅,λm使λ1a1+⋅⋅⋅+λm a m=0,λ1b1+⋅⋅⋅+λm b m=0同时成立.解a1=(1, 0)T,a2=(2, 0)T,b1=(0, 3)T,b2=(0, 4)T,λ1a1+λ2a2 =0⇒λ1=-2λ2,λ1b1+λ2b2 =0⇒λ1=-(3/4)λ2,⇒λ1=λ2=0,与题设矛盾.11.设b1=a1+a2,b2=a2+a3, b3=a3+a4, b4=a4+a1,证明向量组b1, b2,b3,b4线性相关.证明由已知条件得a 1=b 1-a 2, a 2=b 2-a 3, a 3=b 3-a 4, a 4=b 4-a 1, 于是 a 1 =b 1-b 2+a 3=b 1-b 2+b 3-a 4=b 1-b 2+b 3-b 4+a 1, 从而 b 1-b 2+b 3-b 4=0,这说明向量组b 1, b 2, b 3, b 4线性相关.12. 设b 1=a 1, b 2=a 1+a 2, ⋅ ⋅ ⋅, b r =a 1+a 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +a r , 且向量组a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅ , a r 线性无关, 证明向量组b 1, b 2, ⋅ ⋅ ⋅ , b r 线性无关. 证明已知的r 个等式可以写成⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅100110111) , , ,() , , ,(2121r r a a a b b b , 上式记为B =AK . 因为|K |=1≠0, K 可逆, 所以R (B )=R (A )=r , 从而向量组b 1, b 2, ⋅ ⋅ ⋅ , b r 线性无关.13. 求下列向量组的秩, 并求一个最大无关组: (1)a 1=(1, 2, -1, 4)T , a 2=(9, 100, 10, 4)T , a 3=(-2, -4, 2, -8)T ; 解由⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=000000010291032001900820291844210141002291) , ,(~~321r r a a a ,知R (a 1, a 2, a 3)=2. 因为向量a 1与a 2的分量不成比例, 故a 1, a 2线性无关, 所以a 1, a 2是一个最大无关组.(2)a 1T =(1, 2, 1, 3), a 2T =(4, -1, -5, -6), a 3T =(1, -3, -4, -7).解由⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=00000059014110180590590141763451312141) , ,(~~321r r a a a , 知R (a 1T , a 2T , a 3T )=R (a 1, a 2, a 3)=2. 因为向量a 1T 与a 2T 的分量不成比例, 故a 1T , a 2T 线性无关, 所以a 1T , a 2T 是一个最大无关组.14. 利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组: (1)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛4820322513454947513253947543173125;解因为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛482032251345494751325394754317312513121433~r r r r r r ---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛531053103210431731253423~r r r r --⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00003100321043173125, 所以第1、2、3列构成一个最大无关组.(2)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---14011313021512012211. 解因为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---1401131302151201221113142~r r r r --⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------222001512015120122112343~r r r r +↔⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---00000222001512012211, 所以第1、2、3列构成一个最大无关组.15. 设向量组(a , 3, 1)T , (2, b , 3)T , (1, 2, 1)T , (2, 3, 1)T的秩为2, 求a , b .解设a 1=(a , 3, 1)T , a 2=(2, b , 3)T , a 3=(1, 2, 1)T , a 4=(2, 3, 1)T . 因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=52001110311161101110311131********) , , ,(~~2143b a a b a b a r r a a a a ,而R (a 1, a 2, a 3, a 4)=2, 所以a =2, b =5.16. 设a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n 是一组n 维向量, 已知n 维单位坐标向量e 1, e 2,⋅ ⋅ ⋅, e n 能由它们线性表示, 证明a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n 线性无关. 证法一记A =(a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n ), E =(e 1, e 2,⋅ ⋅ ⋅, e n ). 由已知条件知, 存在矩阵K , 使E =AK .两边取行列式, 得|E |=|A ||K |.可见|A |≠0, 所以R (A )=n , 从而a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n 线性无关.证法二因为e 1, e 2,⋅ ⋅ ⋅, e n 能由a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n 线性表示, 所以R (e 1, e 2,⋅ ⋅ ⋅, e n )≤R (a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n ),而R (e 1, e 2,⋅ ⋅ ⋅, e n )=n , R (a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n )≤n , 所以R (a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n )=n , 从而a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n 线性无关.17. 设a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n 是一组n 维向量, 证明它们线性无关的充分必要条件是: 任一n 维向量都可由它们线性表示.证明必要性:设a为任一n维向量.因为a1,a2,⋅⋅⋅,a n线性无关,而a1,a2,⋅⋅⋅,a n,a是n+1个n维向量,是线性相关的,所以a能由a1,a2,⋅⋅⋅,a n线性表示,且表示式是唯一的.充分性:已知任一n维向量都可由a1,a2,⋅⋅⋅,a n线性表示,故单位坐标向量组e1,e2,⋅⋅⋅,e n能由a1,a2,⋅⋅⋅,a n线性表示,于是有n=R(e1,e2,⋅⋅⋅,e n)≤R(a1,a2,⋅⋅⋅,a n)≤n,即R(a1,a2,⋅⋅⋅,a n)=n,所以a1,a2,⋅⋅⋅,a n线性无关.18.设向量组a1,a2,⋅⋅⋅,a m线性相关,且a1≠0,证明存在某个向量a k (2≤k≤m),使a k能由a1,a2,⋅⋅⋅,a k-1线性表示.证明因为a1,a2,⋅⋅⋅,a m线性相关,所以存在不全为零的数λ1,λ2,⋅⋅⋅,λm,使λ1a1+λ2a2+⋅⋅⋅+λm a m=0,而且λ2,λ3,⋅⋅⋅,λm不全为零.这是因为,如若不然,则λ1a1=0,由a1≠0知λ1=0,矛盾.因此存在k(2≤k≤m),使λk≠0,λk+1=λk+2=⋅⋅⋅=λm=0,于是λ1a1+λ2a2+⋅⋅⋅+λk a k=0,a k=-(1/λk)(λ1a1+λ2a2+⋅⋅⋅+λk-1a k-1),即a k能由a1,a2,⋅⋅⋅,a k-1线性表示.19.设向量组B:b1,⋅⋅⋅,b r能由向量组A:a1,⋅⋅⋅,a s线性表示为(b1,⋅⋅⋅,b r)=(a1,⋅⋅⋅,a s)K,其中K为s⨯r矩阵,且A组线性无关.证明B 组线性无关的充分必要条件是矩阵K 的秩R (K )=r . 证明令B =(b 1, ⋅ ⋅ ⋅, b r ), A =(a 1, ⋅ ⋅ ⋅, a s ), 则有B =AK . 必要性: 设向量组B 线性无关.由向量组B 线性无关及矩阵秩的性质, 有 r =R (B )=R (AK )≤min{R (A ), R (K )}≤R (K ), 及 R (K )≤min{r , s }≤r . 因此R (K )=r .充分性: 因为R (K )=r , 所以存在可逆矩阵C , 使⎪⎭⎫⎝⎛=O E KC r 为K 的标准形. 于是(b 1, ⋅ ⋅ ⋅, b r )C =( a 1, ⋅ ⋅ ⋅, a s )KC =(a 1, ⋅ ⋅ ⋅, a r ).因为C 可逆, 所以R (b 1, ⋅ ⋅ ⋅, b r )=R (a 1, ⋅ ⋅ ⋅, a r )=r , 从而b 1, ⋅ ⋅ ⋅, b r 线性无关.20. 设⎪⎩⎪⎨⎧+⋅⋅⋅+++=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅++=+⋅⋅⋅++=-1321312321 n n nn ααααβαααβαααβ, 证明向量组α1, α2, ⋅ ⋅ ⋅, αn 与向量组β1, β2, ⋅ ⋅ ⋅, βn 等价. 证明将已知关系写成⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅0111101111011110) , , ,() , , ,(2121n n αααβββ, 将上式记为B =AK . 因为0)1()1(0111101111011110||1≠--=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-n K n , 所以K 可逆, 故有A =BK -1. 由B =AK 和A =BK -1可知向量组α1,α2, ⋅ ⋅ ⋅, αn 与向量组β1, β2, ⋅ ⋅ ⋅, βn 可相互线性表示. 因此向量组α1, α2, ⋅ ⋅ ⋅, αn 与向量组β1, β2, ⋅ ⋅ ⋅, βn 等价.21. 已知3阶矩阵A 与3维列向量x 满足A 3x =3A x -A 2x , 且向量组x , A x , A 2x 线性无关.(1)记P =(x , A x , A 2x ), 求3阶矩阵B , 使AP =PB ; 解因为AP =A (x , A x , A 2x ) =(A x , A 2x , A 3x ) =(A x , A 2x , 3A x -A 2x )⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=110301000) , ,(2x x x A A ,所以⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=110301000B .(2)求|A |.解由A 3x =3A x -A 2x , 得A (3x -A x -A 2x )=0. 因为x , A x , A 2x 线性无关, 故3x -A x -A 2x ≠0, 即方程A x =0有非零解, 所以R (A )<3, |A |=0.22. 求下列齐次线性方程组的基础解系:(1)⎪⎩⎪⎨⎧=-++=-++=++-02683054202108432143214321x x x x x x x x x x x x ;解对系数矩阵进行初等行变换, 有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=00004/14/3100401 2683154221081~r A ,于是得⎩⎨⎧+=-=43231)4/1()4/3(4x x x x x .取(x 3, x 4)T =(4, 0)T , 得(x 1, x 2)T =(-16, 3)T ; 取(x 3, x 4)T =(0, 4)T , 得(x 1, x 2)T =(0, 1)T . 因此方程组的基础解系为ξ1=(-16, 3, 4, 0)T , ξ2=(0, 1, 0, 4)T .(2)⎪⎩⎪⎨⎧=-++=-++=+--03678024530232432143214321x x x x x x x x x x x x . 解对系数矩阵进行初等行变换, 有 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=000019/719/141019/119/201 367824531232~r A ,于是得⎩⎨⎧+-=+-=432431)19/7()19/14()19/1()19/2(x x x x x x . 取(x 3, x 4)T =(19, 0)T , 得(x 1, x 2)T =(-2, 14)T ; 取(x 3, x 4)T =(0, 19)T , 得(x 1, x 2)T =(1, 7)T . 因此方程组的基础解系为ξ1=(-2, 14, 19, 0)T , ξ2=(1, 7, 0, 19)T .(3)nx 1 +(n -1)x 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +2x n -1+x n =0. 解原方程组即为x n =-nx 1-(n -1)x 2- ⋅ ⋅ ⋅ -2x n -1.取x 1=1, x 2=x 3= ⋅ ⋅ ⋅ =x n -1=0, 得x n =-n ;取x 2=1, x 1=x 3=x 4= ⋅ ⋅ ⋅ =x n -1=0, 得x n =-(n -1)=-n +1; ⋅ ⋅ ⋅ ;取x n -1=1, x 1=x 2= ⋅ ⋅ ⋅ =x n -2=0, 得x n =-2. 因此方程组的基础解系为 ξ1=(1, 0, 0, ⋅ ⋅ ⋅, 0, -n )T , ξ2=(0, 1, 0, ⋅ ⋅ ⋅, 0, -n +1)T , ⋅ ⋅ ⋅,ξn -1=(0, 0, 0, ⋅ ⋅ ⋅, 1, -2)T .23. 设⎪⎭⎫⎝⎛--=82593122A , 求一个4⨯2矩阵B , 使AB =0, 且R (B )=2.解显然B 的两个列向量应是方程组AB =0的两个线性无关的解. 因为⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛--=8/118/5108/18/101 82593122~rA ,所以与方程组AB =0同解方程组为⎩⎨⎧+=-=432431)8/11()8/5()8/1()8/1(x x x x x x . 取(x 3, x 4)T =(8, 0)T , 得(x 1, x 2)T =(1, 5)T ; 取(x 3, x 4)T =(0, 8)T , 得(x 1, x 2)T =(-1, 11)T . 方程组AB =0的基础解系为ξ1=(1, 5, 8, 0)T , ξ2=(-1, 11, 0, 8)T . 因此所求矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=800811511B .24. 求一个齐次线性方程组, 使它的基础解系为ξ1=(0, 1, 2, 3)T , ξ2=(3, 2, 1, 0)T .解显然原方程组的通解为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛01233210214321k k x x x x , 即⎪⎩⎪⎨⎧=+=+==14213212213223k x k k x k k x k x , (k 1, k 2∈R ), 消去k 1, k 2得⎩⎨⎧=+-=+-023032431421x x x x x x , 此即所求的齐次线性方程组.25. 设四元齐次线性方程组I : ⎩⎨⎧=-=+004221x x x x , II : ⎩⎨⎧=+-=+-0432321x x x x x x . 求: (1)方程I 与II 的基础解系; (2) I 与II 的公共解. 解 (1)由方程I 得⎩⎨⎧=-=4241x x x x . 取(x 3, x 4)T =(1, 0)T , 得(x 1, x 2)T =(0, 0)T ; 取(x 3, x 4)T =(0, 1)T , 得(x 1, x 2)T =(-1, 1)T . 因此方程I 的基础解系为ξ1=(0, 0, 1, 0)T , ξ2=(-1, 1, 0, 1)T . 由方程II 得⎩⎨⎧-=-=43241x x x x x .取(x 3, x 4)T =(1, 0)T , 得(x 1, x 2)T =(0, 1)T ; 取(x 3, x 4)T =(0, 1)T , 得(x 1, x 2)T =(-1, -1)T . 因此方程II 的基础解系为ξ1=(0, 1, 1, 0)T , ξ2=(-1, -1, 0, 1)T . (2) I 与II 的公共解就是方程III :⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=-=+00004323214221x x x x x x x x x x的解. 因为方程组III 的系数矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=000021*********11110011110100011~r A , 所以与方程组III 同解的方程组为⎪⎩⎪⎨⎧==-=4342412x x x x x x .取x 4=1, 得(x 1, x 2, x 3)T =(-1, 1, 2)T , 方程组III 的基础解系为 ξ=(-1, 1, 2, 1)T .因此I 与II 的公共解为x =c (-1, 1, 2, 1)T , c ∈R .26. 设n 阶矩阵A 满足A 2=A , E 为n 阶单位矩阵, 证明R (A )+R (A -E )=n .证明因为A (A -E )=A 2-A =A -A =0, 所以R (A )+R (A -E )≤n . 又R (A -E )=R (E -A ), 可知R (A )+R (A -E )=R (A )+R (E -A )≥R (A +E -A )=R (E )=n ,由此R (A )+R (A -E )=n .27. 设A 为n 阶矩阵(n ≥2), A *为A 的伴随阵, 证明⎪⎩⎪⎨⎧-≤-===2)( 01)( 1)( *)(n A R n A R nA R n A R 当当当.证明当R (A )=n 时, |A |≠0, 故有 |AA *|=||A |E |=|A |≠0, |A *|≠0, 所以R (A *)=n .当R (A )=n -1时, |A |=0, 故有 AA *=|A |E =0,即A *的列向量都是方程组A x =0的解. 因为R (A )=n -1, 所以方程组A x =0的基础解系中只含一个解向量, 即基础解系的秩为1. 因此R (A *)=1.当R (A )≤n -2时, A 中每个元素的代数余子式都为0, 故A *=O , 从而R (A *)=0.28. 求下列非齐次方程组的一个解及对应的齐次线性方程组的基础解系:(1)⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=+3223512254321432121x x x x x x x x x x ;解对增广矩阵进行初等行变换, 有⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2100013011080101 322351211250011~r B . 与所给方程组同解的方程为⎪⎩⎪⎨⎧=+=--=213 843231x x x x x . 当x 3=0时, 得所给方程组的一个解η=(-8, 13, 0, 2)T . 与对应的齐次方程组同解的方程为⎪⎩⎪⎨⎧==-=043231x x x x x . 当x 3=1时, 得对应的齐次方程组的基础解系ξ=(-1, 1, 1, 0)T .(2)⎪⎩⎪⎨⎧-=+++-=-++=-+-6242163511325432143214321x x x x x x x x x x x x .解对增广矩阵进行初等行变换, 有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=0000022/17/11012/17/901 6124211635113251~r B .与所给方程组同解的方程为⎩⎨⎧--=++-=2)2/1((1/7)1)2/1()7/9(432431x x x x x x . 当x 3=x 4=0时, 得所给方程组的一个解η=(1, -2, 0, 0)T .与对应的齐次方程组同解的方程为⎩⎨⎧-=+-=432431)2/1((1/7))2/1()7/9(x x x x x x . 分别取(x 3, x 4)T =(1, 0)T , (0, 1)T , 得对应的齐次方程组的基础解系ξ1=(-9, 1, 7, 0)T . ξ2=(1, -1, 0, 2)T .29. 设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3, 已知η1,η2, η3是它的三个解向量. 且η1=(2, 3, 4, 5)T , η2+η3=(1, 2, 3, 4)T ,求该方程组的通解.解由于方程组中未知数的个数是4, 系数矩阵的秩为3, 所以对应的齐次线性方程组的基础解系含有一个向量, 且由于η1, η2, η3均为方程组的解, 由非齐次线性方程组解的结构性质得2η1-(η2+η3)=(η1-η2)+(η1-η3)= (3, 4, 5, 6)T为其基础解系向量, 故此方程组的通解:x =k (3, 4, 5, 6)T +(2, 3, 4, 5)T , (k ∈R ).30. 设有向量组A : a 1=(α, 2, 10)T , a 2=(-2, 1, 5)T , a 3=(-1, 1, 4)T ,及b =(1, β, -1)T , 问α, β为何值时(1)向量b 不能由向量组A 线性表示;(2)向量b 能由向量组A 线性表示, 且表示式唯一; (3)向量b 能由向量组A 线性表示, 且表示式不唯一, 并求一般表示式. 解⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=11054211121) , , ,(123βαb a a a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++---βαβαα34001110121 ~r. (1)当α=-4, β≠0时, R (A )≠R (A , b ), 此时向量b 不能由向量组A 线性表示.(2)当α≠-4时, R (A )=R (A , b )=3, 此时向量组a 1, a 2, a 3线性无关, 而向量组a 1, a 2, a 3, b 线性相关, 故向量b 能由向量组A 线性表示, 且表示式唯一.(3)当α=-4, β=0时, R (A )=R (A , b )=2, 此时向量b 能由向量组A 线性表示, 且表示式不唯一. 当α=-4, β=0时,⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=1105402111421) , , ,(123b a a a ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--000013101201 ~r,方程组(a 3, a 2, a 1)x =b 的解为⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛c c c c x x x 1312011132321, c ∈R .因此 b =(2c +1)a 3+(-3c -1)a 2+c a 1, 即 b = c a 1+(-3c -1)a 2+(2c +1)a 3, c ∈R .31. 设a =(a 1, a 2, a 3)T , b =(b 1, b 2, b 3)T , c =(c 1, c 2, c 3)T , 证明三直线l 1: a 1x +b 1y +c 1=0,l 2: a 2x +b 2y +c 2=0, (a i 2+b i 2≠0, i =1, 2, 3) l 3: a 3x +b 3y +c 3=0,相交于一点的充分必要条件为: 向量组a , b 线性无关, 且向量组a , b , c 线性相关.证明三直线相交于一点的充分必要条件为方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000333222111c y b x a c y b x a c y b x a , 即⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=+-=+333222111c y b x a c y b x a c y b x a 有唯一解. 上述方程组可写为x a +y b =-c . 因此三直线相交于一点的充分必要条件为c 能由a , b 唯一线性表示, 而c 能由a , b 唯一线性表示的充分必要条件为向量组a , b 线性无关, 且向量组a , b , c 线性相关.32. 设矩阵A =(a 1, a 2, a 3, a 4), 其中a 2, a 3, a 4线性无关, a 1=2a 2- a 3. 向量b =a 1+a 2+a 3+a 4, 求方程A x =b 的通解.解由b =a 1+a 2+a 3+a 4知η=(1, 1, 1, 1)T 是方程A x =b 的一个解.由a 1=2a 2- a 3得a 1-2a 2+a 3=0, 知ξ=(1, -2, 1, 0)T 是A x =0的一个解.由a 2, a 3, a 4线性无关知R (A )=3, 故方程A x =b 所对应的齐次方程A x =0的基础解系中含一个解向量. 因此ξ=(1, -2, 1, 0)T 是方程A x =0的基础解系. 方程A x =b 的通解为x =c (1, -2, 1, 0)T +(1, 1, 1, 1)T , c ∈R .33. 设η*是非齐次线性方程组A x =b 的一个解, ξ1, ξ2, ⋅ ⋅ ⋅, ξn -r,是对应的齐次线性方程组的一个基础解系, 证明:(1)η*,ξ1,ξ2,⋅⋅⋅,ξn-r线性无关;(2)η*,η*+ξ1,η*+ξ2,⋅⋅⋅,η*+ξn-r线性无关.证明(1)反证法, 假设η*,ξ1,ξ2,⋅⋅⋅,ξn-r线性相关.因为ξ1,ξ2,⋅⋅⋅,ξn-r线性无关,而η*,ξ1,ξ2,⋅⋅⋅,ξn-r线性相关,所以η*可由ξ1,ξ2,⋅⋅⋅,ξn-r线性表示,且表示式是唯一的,这说明η*也是齐次线性方程组的解,矛盾.(2)显然向量组η*,η*+ξ1,η*+ξ2,⋅⋅⋅,η*+ξn-r与向量组η*,ξ1,ξ2,⋅⋅⋅,ξn-r可以相互表示,故这两个向量组等价,而由(1)知向量组η*,ξ1,ξ2,⋅⋅⋅,ξn-r线性无关,所以向量组η*,η*+ξ1,η*+ξ2,⋅⋅⋅,η*+ξn-r也线性无关.34.设η1,η2,⋅⋅⋅,ηs是非齐次线性方程组A x=b的s个解,k1, k2,⋅⋅⋅,k s为实数,满足k1+k2+⋅⋅⋅+k s=1. 证明x=k1η1+k2η2+⋅⋅⋅+k sηs也是它的解.证明因为η1,η2,⋅⋅⋅,ηs都是方程组A x=b的解,所以Aηi=b (i=1, 2,⋅⋅⋅,s),从而A(k1η1+k2η2+⋅⋅⋅+k sηs)=k1Aη1+k2Aη2+⋅⋅⋅+k s Aηs=(k1+k2+⋅⋅⋅+k s)b=b.因此x=k1η1+k2η2+⋅⋅⋅+k sηs也是方程的解.35.设非齐次线性方程组A x=b的系数矩阵的秩为r,η1,η2,⋅⋅⋅,ηn-r+1是它的n-r+1个线性无关的解.试证它的任一解可表示为x=k1η1+k2η2+⋅⋅⋅+k n-r+1ηn-r+1, (其中k1+k2+⋅⋅⋅+k n-r+1=1).证明因为η1,η2,⋅⋅⋅,ηn-r+1均为A x=b的解,所以ξ1=η2-η1,ξ2=η3-η1,⋅⋅⋅,ξn-r=η n-r+1-η1均为A x=b的解.用反证法证:ξ1,ξ2,⋅⋅⋅,ξn-r线性无关.设它们线性相关,则存在不全为零的数λ1,λ2,⋅⋅⋅,λn-r,使得λ1ξ1+λ2ξ2+⋅⋅⋅+λ n-rξ n-r=0,即λ1(η2-η1)+λ2(η3-η1)+⋅⋅⋅+λ n-r(ηn-r+1-η1)=0,亦即-(λ1+λ2+⋅⋅⋅+λn-r)η1+λ1η2+λ2η3+⋅⋅⋅+λ n-rηn-r+1=0,由η1,η2,⋅⋅⋅,ηn-r+1线性无关知-(λ1+λ2+⋅⋅⋅+λn-r)=λ1=λ2=⋅⋅⋅=λn-r=0,矛盾.因此ξ1,ξ2,⋅⋅⋅,ξn-r线性无关.ξ1,ξ2,⋅⋅⋅,ξn-r为A x=b的一个基础解系.设x为A x=b的任意解,则x-η1为A x=0的解,故x-η1可由ξ1,ξ2,⋅⋅⋅,ξn-r线性表出,设x-η1=k2ξ1+k3ξ2+⋅⋅⋅+k n-r+1ξn-r=k2(η2-η1)+k3(η3-η1)+⋅⋅⋅+k n-r+1(ηn-r+1-η1),x=η1(1-k2-k3⋅⋅⋅-k n-r+1)+k2η2+k3η3+⋅⋅⋅+k n-r+1ηn-r+1.令k1=1-k2-k3⋅⋅⋅-k n-r+1,则k1+k2+k3⋅⋅⋅-k n-r+1=1,于是x=k1η1+k2η2+⋅⋅⋅+k n-r+1ηn-r+1.36.设V1={x=(x1,x2,⋅ ⋅ ⋅,x n)T| x1,⋅ ⋅ ⋅,x n∈R满足x1+x2+⋅ ⋅ ⋅ +x n=0},V2={x=(x1,x2,⋅ ⋅ ⋅,x n)T| x1,⋅ ⋅ ⋅,x n∈R满足x1+x2+⋅ ⋅ ⋅ +x n=1},问V1,V2是不是向量空间？为什么？解V1是向量空间,因为任取α=(a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n )T ∈V 1, β=(b 1, b 2, ⋅ ⋅ ⋅, b n )T ∈V 1, λ∈∈R , 有 a 1+a 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n =0, b 1+b 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +b n =0,从而 (a 1+b 1)+(a 2+b 2)+ ⋅ ⋅ ⋅ +(a n +b n ) =(a 1+a 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n )+(b 1+b 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +b n )=0, λa 1+λa 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +λa n =λ(a 1+a 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n )=0, 所以 α+β=(a 1+b 1, a 2+b 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n +b n )T ∈V 1, λα=(λa 1, λa 2, ⋅ ⋅ ⋅, λa n )T ∈V 1. V 2不是向量空间, 因为任取α=(a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n )T ∈V 1, β=(b 1, b 2, ⋅ ⋅ ⋅, b n )T ∈V 1, 有 a 1+a 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n =1, b 1+b 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +b n =1,从而 (a 1+b 1)+(a 2+b 2)+ ⋅ ⋅ ⋅ +(a n +b n ) =(a 1+a 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n )+(b 1+b 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +b n )=2, 所以 α+β=(a 1+b 1, a 2+b 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n +b n )T ∉V 1.37. 试证: 由a 1=(0, 1, 1)T , a 2=(1, 0, 1)T , a 3=(1, 1, 0)T 所生成的向量空间就是R 3.证明设A =(a 1, a 2, a 3), 由02011101110||≠-==A ,知R (A )=3, 故a 1, a 2, a 3线性无关, 所以a 1, a 2, a 3是三维空间R 3的一组基, 因此由a 1, a 2, a 3所生成的向量空间就是R 3.38. 由a 1=(1, 1, 0, 0)T , a 2=(1, 0, 1, 1)T 所生成的向量空间记作V 1,由b 1=(2, -1, 3, 3)T , b 2=(0, 1, -1, -1)T 所生成的向量空间记作V 2, 试证V 1=V 2.证明设A =(a 1, a 2), B =(b 1, b 2). 显然R (A )=R (B )=2, 又由⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=00000013100211 1310131011010211) ,(~r B A , 知R (A , B )=2, 所以R (A )=R (B )=R (A , B ), 从而向量组a 1, a 2与向量组b 1, b 2等价. 因为向量组a 1, a 2与向量组b 1, b 2等价, 所以这两个向量组所生成的向量空间相同, 即V 1=V 2.39. 验证a 1=(1, -1, 0)T , a 2=(2, 1, 3)T , a 3=(3, 1, 2)T 为R 3的一个基, 并把v 1=(5, 0, 7)T , v 2=(-9, -8, -13)T 用这个基线性表示. 解设A =(a 1, a 2, a 3). 由06230111321|) , ,(|321≠-=-=a a a ,知R (A )=3, 故a 1, a 2, a 3线性无关, 所以a 1, a 2, a 3为R 3的一个基. 设x 1a 1+x 2a 2+x 3a 3=v 1, 则⎪⎩⎪⎨⎧=+=++-=++723053232321321x x x x x x x x , 解之得x 1=2, x 2=3, x 3=-1, 故线性表示为v 1=2a 1+3a 2-a 3. 设x 1a 1+x 2a 2+x 3a 3=v 2, 则⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=++--=++1323893232321321x x x x x x x x , 解之得x 1=3, x 2=-3, x 3=-2, 故线性表示为v 2=3a 1-3a 2-2a 3.40. 已知R 3的两个基为a 1=(1, 1, 1)T , a 2=(1, 0, -1)T , a 3=(1, 0, 1)T ,b 1=(1, 2, 1)T , b 2=(2, 3, 4)T , b 3=(3, 4, 3)T . 求由基a 1, a 2, a 3到基b 1, b 2, b 3的过渡矩阵P . 解设e 1, e 2, e 3是三维单位坐标向量组 , 则⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=111001111) , ,() , ,(321321e e e a a a ,1321321*********) , ,() , ,(-⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=a a a e e e ,于是⎪⎪⎭⎫⎝⎛=341432321) , ,() , ,(321321e e e b b b⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-341432321111001111) , ,(1321a a a ,由基a 1, a 2, a 3到基b 1, b 2, b 3的过渡矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-1010104323414323211110011111P。

线性代数习题册(第四章向量组的线性相关性参考答案)

r4 − r2

0
5
2
0 0 2

0
0
2
8
6

r2
−
r3Leabharlann 0506 6
2
2

1 2 r2

0 0
0 0
1 0
2
4

3 1
0
0

1

0 →

0 0
6 1 0 0
0 0 1 0
3 2 5 3 0
4 4 5 1 0

注：整体无关，部分无关。
14. 设三阶行列式=D = aij 0 ，则（ A ）. ( A) D 中至少有一个行向量是其余行向量的线性组合；
(B) D 中每一个行向量都是其余行向量的线性组合；
(C ) D 中至少有两个行向量线性相关；
(D) D 中每一个行向量都线性相关.
分析：行列式为零，所以构成行列式的矩阵的行向量组一定线性相关，故至少有一个行向量可以由其他行向量线表示，从而知（A）是正确的。
β=3 α3 + α4 的秩为（ C ）.
( A) 1
(B) 2
(C ) 3
(D) 4
1 0 0
分析：
(
β1
,
β
2
,
β
3
)
=
(α1
,α
2
,
α
3
,
α
4
)

1 0
1 1
0

1

0 0 1

1 0 0 1 0 0
⇒
R ( β1 ,

同济大学线性代数第六版课后问题详解(全)

第一章行列式1.利用对角线法如此计算如下三阶行列式:(1)381141102---; 解381141102--- =2⨯(-4)⨯3+0⨯(-1)⨯(-1)+1⨯1⨯8-0⨯1⨯3-2⨯(-1)⨯8-1⨯(-4)⨯(-1)=-24+8+16-4=-4.(2)ba c a cbc b a ; 解ba c a cbc b a =acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc=3abc -a 3-b 3-c 3.(3)222111c b a c b a ; 解222111c b a c b a =bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2=(a -b )(b -c )(c -a ).(4)yx y x x y x y y x y x +++. 解 yx y x x y x y y x y x +++ =x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3-(x +y )3-x 3=3xy (x +y )-y 3-3x 2y -x 3-y 3-x 3=-2(x 3+y 3).2.按自然数从小到大为标准次序,求如下各排列的逆序数:(1)1 2 3 4;解逆序数为0(2)4 1 3 2;解逆序数为4: 41, 43, 42, 32.(3)3 4 2 1;解逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1.(4)2 4 1 3;解逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3.(5)1 3 ⋅⋅⋅ (2n -1) 2 4 ⋅⋅⋅ (2n );解逆序数为2)1(-n n : 3 2 (1个)5 2, 5 4(2个)7 2, 7 4, 7 6(3个)⋅⋅⋅⋅⋅⋅(2n -1)2, (2n -1)4, (2n -1)6,⋅⋅⋅, (2n -1)(2n -2)(n -1个)(6)1 3 ⋅⋅⋅ (2n -1) (2n ) (2n -2) ⋅⋅⋅ 2.解逆序数为n (n -1) :3 2(1个)5 2, 5 4 (2个)⋅⋅⋅⋅⋅⋅(2n -1)2, (2n -1)4, (2n -1)6,⋅⋅⋅, (2n -1)(2n -2)(n -1个)4 2(1个)6 2, 6 4(2个)⋅⋅⋅⋅⋅⋅(2n )2, (2n )4, (2n )6,⋅⋅⋅, (2n )(2n -2)(n -1个)3.写出四阶行列式中含有因子a 11a 23的项.解含因子a 11a 23的项的一般形式为(-1)t a 11a 23a 3r a 4s ,其中rs 是2和4构成的排列, 这种排列共有两个, 即24和42. 所以含因子a 11a 23的项分别是(-1)t a 11a 23a 32a 44=(-1)1a 11a 23a 32a 44=-a 11a 23a 32a 44,(-1)t a 11a 23a 34a 42=(-1)2a 11a 23a 34a 42=a 11a 23a 34a 42.4.计算如下各行列式: (1)71100251020214214;解71100251020214214010014231020211021473234-----======c c c c 34)1(143102211014+-⨯---= 143102211014--=01417172001099323211=-++======c c c c . (2)2605232112131412-; 解 2605232112131412-260503212213041224--=====c c 041203212213041224--=====r r 0000003212213041214=--=====r r . (3)efcf bf de cd bd ae ac ab ---; 解 efcf bf de cd bd ae ac ab ---e c b e c b e c b adf ---= abcdef adfbce 4111111111=---=. (4)dc b a 100110011001---.解 d c b a 100110011001---dc b a ab ar r 10011001101021---++===== dc a ab 101101)1)(1(12--+--=+01011123-+-++=====cd c ad a ab dc c cdad ab +-+--=+111)1)(1(23=abcd +ab +cd +ad +1. 5.证明:(1)1112222b b a a b ab a +=(a -b )3; 证明1112222b b a a b ab a +00122222221213a b a b a a b a ab a c c c c ------===== a b a b a b a ab 22)1(22213-----=+21))((a b a a b a b +--==(a -b )3. (2)yx z x z y z y x b a bz ay by ax bx az by ax bx az bz ay bx az bz ay by ax )(33+=+++++++++; 证明bzay by ax bx az by ax bx az bz ay bx az bz ay by ax +++++++++ bzay by ax x by ax bx az z bx az bz ay y b bz ay by ax z by ax bx az y bx az bz ay x a +++++++++++++=bzay y x by ax x z bx az z y b y by ax z x bx az y z bz ay x a +++++++=22 zy x y x z x z y b y x z x z y z y x a 33+= yx z x z y z y x b y x z x z y z y x a 33+= yx z x z y z y x b a )(33+=.(3)0)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2222222222222222=++++++++++++d d d d c c c cb b b b a a a a ; 证明2222222222222222)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a (c 4-c 3,c 3-c 2,c 2-c 1得) 5232125232125232125232122222++++++++++++=d d d d c c c c b b b b a a a a (c 4-c 3,c 3-c 2得) 022122212221222122222=++++=d d c c b b a a .(4)444422221111d c b a d c b a d c b a =(a -b )(a -c )(a -d )(b -c )(b -d )(c -d )(a +b +c +d ); 证明444422221111d c b a d c b a d c b a )()()(0)()()(001111222222222a d d a c c a b b a d d a c c a b b a d a c a b ---------=)()()(111))()((222a d d a c c a b b d c b a d a c a b +++---= ))(())((00111))()((a b d b d d a b c b c c b d b c a d a c a b ++-++------= )()(11))()()()((a b d d a b c c b d b c a d a c a b ++++-----==(a -b )(a -c )(a -d )(b -c )(b -d )(c -d )(a +b +c +d ).(5)1221 1 000 00 1000 01a x a a a a x x x n n n+⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅--- =x n +a 1x n -1+⋅⋅⋅+a n -1x +a n . 证明用数学归纳法证明.当n =2时,2121221a x a x a x a x D ++=+-=,命题成立.假设对于(n -1)阶行列式命题成立,即 D n -1=x n -1+a 1x n -2+⋅⋅⋅+a n -2x +a n -1,如此D n 按第一列展开, 有1 11 00 100 01)1(11-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅--+=+-x x a xD D n n n n =xD n -1+a n =x n +a 1x n -1+⋅⋅⋅+a n -1x +a n . 因此,对于n 阶行列式命题成立.6.设n 阶行列式D =det(a ij ), 把D 上下翻转、或逆时针旋转90︒、或依副对角线翻转,依次得nnn n a a a a D 11111 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=,11112 n nn n a a a a D ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=,11113 a a a a D n n nn ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=, 证明D D D n n 2)1(21)1(--==,D 3=D .证明因为D =det(a ij ),所以nnn n n n n nn n a a a a a a a a a a D 2211111111111 )1( ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=- ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅--=-- )1()1(331122111121nnn n n n n n a a a a a a a a D D n n n n 2)1()1()2( 21)1()1(--+-+⋅⋅⋅++-=-=.同理可证nnn n n n a a a a D ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=- )1(11112)1(2D D n n T n n 2)1(2)1()1()1(---=-=. D D D D D n n n n n n n n =-=--=-=----)1(2)1(2)1(22)1(3)1()1()1()1(.7.计算如下各行列式(D k 为k 阶行列式): (1)a aD n 1 1⋅⋅⋅=, 其中对角线上元素都是a ,未写出的元素都是0;解aa a a a D n 0 0010 000 00 0000 0010 00⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=(按第n 行展开) )1()1(10 000 00 0000 0010 000)1(-⨯-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=n n n a a a )1()1(2 )1(-⨯-⋅⋅⋅⋅-+n n n a a a n n n n n a a a +⋅⋅⋅-⋅-=--+)2)(2(1 )1()1(=a n -a n -2=a n -2(a 2-1). (2)xa a a x a a a xD n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅= ;解将第一行乘(-1)分别加到其余各行,得ax x a a x x a a x x a a a a x D n --⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅--⋅⋅⋅--⋅⋅⋅=000 0 00 0 , 再将各列都加到第一列上,得a x a x a x a a a a n x D n -⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-+=0000 0 000 00 )1(=[x +(n -1)a ](x -a )n -1. (3)111 1)( )1()( )1(1111⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅--⋅⋅⋅-=---+n a a a n a a a n a a a D n n n n nn n ; 解根据第6题结果, 有n nn n n n n n n n a a a n a a a n a a a D )( )1()( )1( 11 11)1(1112)1(1-⋅⋅⋅--⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-=---++ 此行列式为X 德蒙德行列式. ∏≥>≥++++--+--=112)1(1)]1()1[()1(j i n n n n j a i a D ∏≥>≥++---=112)1()]([)1(j i n n n j i ∏≥>≥++⋅⋅⋅+-++-⋅-⋅-=1121 )1(2)1()()1()1(j i n n n n n j i∏≥>≥+-=11)(j i n j i .(4)nnnnn d c d c b a b a D ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=11112; 解nnnnn d c d c b a b a D ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=11112(按第1行展开) nn n n n nd d c d c b a b a a 00011111111----⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=0)1(1111111112c d c d c b a b a b nn n n n nn ----+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-+. 再按最后一行展开得递推公式D 2n =a n d n D 2n -2-b n D 2n -2, 即D 2n =(a n d n -b n )D 2n -2. 于是 ∏=-=ni i i i i n D c b d a D 222)(.而111111112c b d a d c b a D -==, 所以 ∏=-=n i i i i i n c b d a D 12)(. (5) D =det(a ij ),其中a ij =|i -j |; 解 a ij =|i -j |, 043214 01233 10122 21011 3210)det(⋅⋅⋅----⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅==n n n n n n n n a D ij n 0 4321 1 11111 11111 11111 1111 2132⋅⋅⋅----⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅----⋅⋅⋅---⋅⋅⋅--⋅⋅⋅--⋅⋅⋅-=====n n n n r r r r 152423210 22210 02210 00210 0001 1213-⋅⋅⋅----⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅----⋅⋅⋅---⋅⋅⋅--⋅⋅⋅-+⋅⋅⋅+=====n n n n n c c c c =(-1)n -1(n -1)2n -2. (6)nn a a a D +⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+=1 11 1 1111121, 其中a 1a 2⋅⋅⋅a n≠0.解nn a a a D +⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+=1 11 1 1111121 nn n n a a a a a a a a a c c c c +-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-=====--10 0001 000 100 0100 0100 0011332212132 1111312112111011 000 00 11000 01100 001 ------+-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅=nn n a a a a a a a a∑=------+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n i i n n a a a a a a a a 1111131******** 00010 000 00 10000 01000 001)11)((121∑=+=ni in a a a a .8.用克莱姆法如此解如下方程组:(1)⎪⎩⎪⎨⎧=+++-=----=+-+=+++01123253224254321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x ;解因为14211213513241211111-=----=D , 142112105132412211151-=------=D ,284112035122412111512-=-----=D , 426110135232422115113-=----=D ,14202132132212151114=-----=D , 所以 111==D D x ,222==D D x ,333==D D x ,144-==DDx . (2)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=++=++=++=+150650650651655454343232121x x x x x x x x x x x x x .解因为 665510006510006510065100065==D ,150751001651000651000650000611==D ,114551010651000650000601000152-==D , 70351100650000601000051001653==D ,395510601000051000651010654-==D , 2121105100065100651100655==D , 所以66515071=x ,66511452-=x ,6657033=x ,6653954-=x ,6652124=x .9.问λ,μ取何值时,齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0200321321321x x x x x x x x x μμλ有非零解？解系数行列式为μλμμμλ-==1211111D .令D =0,得μ=0或λ=1.于是, 当μ=0或λ=1时该齐次线性方程组有非零解.10.问λ取何值时,齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-++=+-+=+--0)1(0)3(2042)1(321321321x x x x x x x x x λλλ有非零解？解系数行列式为λλλλλλλ--+--=----=101112431111132421D=(1-λ)3+(λ-3)-4(1-λ)-2(1-λ)(-3-λ) =(1-λ)3+2(1-λ)2+λ-3. 令D =0, 得λ=0,λ=2或λ=3.于是, 当λ=0,λ=2或λ=3时,该齐次线性方程组有非零解.第二章矩阵与其运算1.线性变换:⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=3213321232113235322y y y x y y y x y y y x , 求从变量x 1,x 2,x 3到变量y 1,y 2,y 3的线性变换.解由:⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321323513122y y y x x x , 故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3211221323513122x x x y y y ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321423736947y y y ,⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=+--=321332123211423736947x x x y x x x y x x x y . 2.两个线性变换⎪⎩⎪⎨⎧++=++-=+=32133212311542322y y y x y y y x y y x ,⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=+-=323312211323z z y z z y z z y ,求从z 1,z 2,z 3到x 1,x 2,x 3的线性变换. 解由⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321514232102y y y x x x ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=321310102013514232102z z z ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321161109412316z z z , 所以有⎪⎩⎪⎨⎧+--=+-=++-=3213321232111610941236z z z x z z z x z z z x .3.设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111111111A ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=150421321B , 求3AB -2A 与A T B .解⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1111111112150421321111111111323A AB⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2294201722213211111111120926508503, ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=092650850150421321111111111B A T .4.计算如下乘积:(1)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134; 解⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯+⨯⨯+⨯-+⨯⨯+⨯+⨯=102775132)2(71112374⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=49635. (2)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛123)321(;解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛123)321(=(1⨯3+2⨯2+3⨯1)=(10).(3))21(312-⎪⎪⎭⎫⎝⎛; 解 )21(312-⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯=23)1(321)1(122)1(2⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=632142.(4)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-20413121013143110412; 解 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-20413121013143110412⎪⎭⎫ ⎝⎛---=6520876.(5)⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x ;解⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x=(a 11x 1+a 12x 2+a 13x 3 a 12x 1+a 22x 2+a 23x 3 a 13x 1+a 23x 2+a 33x 3)⎪⎪⎭⎫⎝⎛321x x x322331132112233322222111222x x a x x a x x a x a x a x a +++++=.5.设⎪⎭⎫ ⎝⎛=3121A ,⎪⎭⎫ ⎝⎛=2101B , 问: (1)AB =BA ? 解AB ≠BA .因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=6443AB ,⎪⎭⎫ ⎝⎛=8321BA , 所以AB ≠BA . (2)(A +B )2=A 2+2AB +B 2? 解 (A +B )2≠A 2+2AB +B 2.因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=+5222B A ,⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=+52225222)(2B A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2914148, 但 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=++43011288611483222B AB A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=27151610, 所以(A +B )2≠A 2+2AB +B 2. (3)(A +B )(A -B )=A 2-B 2? 解 (A +B )(A -B )≠A 2-B 2.因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=+5222B A ,⎪⎭⎫ ⎝⎛=-1020B A ,⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=-+906010205222))((B A B A ,而 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-718243011148322B A ,故(A +B )(A -B )≠A 2-B 2.6.举反列说明如下命题是错误的: (1)假设A 2=0, 如此A =0;解取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0010A , 如此A 2=0, 但A ≠0. (2)假设A 2=A ,如此A =0或A =E ;解取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0011A , 如此A 2=A ,但A ≠0且A ≠E . (3)假设AX =AY ,且A ≠0,如此X =Y .解取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0001A ,⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1111X ,⎪⎭⎫ ⎝⎛=1011Y , 如此AX =AY ,且A ≠0,但X ≠Y .7.设⎪⎭⎫ ⎝⎛=101λA ,求A 2,A 3,⋅⋅⋅,A k . 解⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=12011011012λλλA , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==1301101120123λλλA A A , ⋅⋅⋅⋅⋅⋅,⎪⎭⎫ ⎝⎛=101λk A k . 8.设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λλλ001001A ,求A k . 解首先观察⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λλλλλλ0010010010012A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=222002012λλλλλ, ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅=3232323003033λλλλλλA A A , ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅=43423434004064λλλλλλA A A , ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅=545345450050105λλλλλλA A A , ⋅⋅⋅⋅⋅⋅,⎝⎛=k A k k k k k k k k k k λλλλλλ0002)1(121----⎪⎪⎪⎭⎫. 用数学归纳法证明:当k =2时,显然成立. 假设k 时成立，如此k +1时，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⋅=---+λλλλλλλλλ0010010002)1(1211k k k k k k k k k k k k A A A ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=+-+--+11111100)1(02)1()1(k k k k k k k k k k λλλλλλ, 由数学归纳法原理知:⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=---k k k k k k k k k k k A λλλλλλ0002)1(121. 9.设A ,B 为n 阶矩阵，且A 为对称矩阵，证明B T AB 也是对称矩阵.证明因为A T =A , 所以(B T AB )T =B T (B T A )T =B T A T B =B T AB ,从而B T AB 是对称矩阵.10.设A ,B 都是n 阶对称矩阵，证明AB 是对称矩阵的充分必要条件是AB =BA .证明充分性:因为A T =A ,B T =B , 且AB =BA , 所以(AB )T =(BA )T =A T B T =AB ,即AB 是对称矩阵.必要性: 因为A T =A ,B T =B , 且(AB )T =AB , 所以AB =(AB )T =B T A T =BA .11.求如下矩阵的逆矩阵:(1)⎪⎭⎫ ⎝⎛5221; 解⎪⎭⎫ ⎝⎛=5221A . |A |=1,故A -1存在.因为 ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=1225*22122111A A A A A , 故*||11A A A =-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1225. (2)⎪⎭⎫ ⎝⎛-θθθθcos sin sin cos ; 解⎪⎭⎫ ⎝⎛-=θθθθcos sin sin cos A . |A |=1≠0,故A -1存在.因为 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=θθθθcos sin sin cos *22122111A A A A A , 所以*||11A A A =-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=θθθθcos sin sin cos .(3)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---145243121; 解⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=145243121A . |A |=2≠0,故A -1存在.因为 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=214321613024*332313322212312111A A A A A A A A A A , 所以*||11A A A =-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=1716213213012. (4)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n a a a 0021(a 1a 2⋅⋅⋅a n ≠0) . 解⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n a a a A 0021,由对角矩阵的性质知 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-n a a a A 10011211 . 12.解如下矩阵方程:(1)⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛12643152X ;解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-126431521X ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=12642153⎪⎭⎫ ⎝⎛-=80232. (2)⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--234311*********X ; 解 1111012112234311-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=X ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-=03323210123431131 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=32538122. (3)⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-101311022141X ; 解 11110210132141--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=X ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=210110131142121 ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=21010366121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=04111. (4)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛021102341010100001100001010X . 解 11010100001021102341100001010--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=X⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010100001021102341100001010⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=201431012. 13.利用逆矩阵解如下线性方程组:(1)⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++3532522132321321321x x x x x x x x x ; 解方程组可表示为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321153522321321x x x , 故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0013211535223211321x x x , 从而有 ⎪⎩⎪⎨⎧===001321x x x . (2)⎪⎩⎪⎨⎧=-+=--=--05231322321321321x x x x x x x x x . 解方程组可表示为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----012523312111321x x x , 故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3050125233121111321x x x ,故有 ⎪⎩⎪⎨⎧===305321x x x . 14.设A k =O (k 为正整数),证明(E -A )-1=E +A +A 2+⋅⋅⋅+A k -1. 证明因为A k =O , 所以E -A k =E . 又因为E -A k =(E -A )(E +A +A 2+⋅⋅⋅+A k -1),所以 (E -A )(E +A +A 2+⋅⋅⋅+A k -1)=E ,由定理2推论知(E -A )可逆, 且(E -A )-1=E +A +A 2+⋅⋅⋅+A k -1.证明一方面, 有E =(E -A )-1(E -A ).另一方面, 由A k =O , 有E =(E -A )+(A -A 2)+A 2-⋅⋅⋅-A k -1+(A k -1-A k )=(E +A +A 2+⋅⋅⋅+A k -1)(E -A ),故 (E -A )-1(E -A )=(E +A +A 2+⋅⋅⋅+A k -1)(E -A ),两端同时右乘(E -A )-1,就有(E -A )-1(E -A )=E +A +A 2+⋅⋅⋅+A k -1.15.设方阵A 满足A 2-A -2E =O ,证明A 与A +2E 都可逆,并求A -1与(A +2E )-1.证明由A 2-A -2E =O 得A 2-A =2E , 即A (A -E )=2E ,或 E E A A =-⋅)(21,由定理2推论知A 可逆, 且)(211E A A -=-. 由A 2-A -2E =O 得A 2-A -6E =-4E , 即(A +2E )(A -3E )=-4E ,或 E A E E A =-⋅+)3(41)2( 由定理2推论知(A +2E )可逆, 且)3(41)2(1A E E A -=+-.证明由A 2-A -2E =O 得A 2-A =2E ,两端同时取行列式得 |A 2-A |=2,即 |A ||A -E |=2,故 |A |≠0,所以A 可逆,而A +2E =A 2,|A +2E |=|A 2|=|A |2≠0,故A +2E 也可逆. 由A 2-A -2E =O ⇒A (A -E )=2E⇒A -1A (A -E )=2A -1E ⇒)(211E A A -=-, 又由A 2-A -2E =O ⇒(A +2E )A -3(A +2E )=-4E⇒ (A +2E )(A -3E )=-4 E ,所以 (A +2E )-1(A +2E )(A -3E )=-4(A +2 E )-1,)3(41)2(1A E E A -=+-. 16.设A 为3阶矩阵,21||=A ,求|(2A )-1-5A *|. 解因为*||11A A A =-,所以|||521||*5)2(|111----=-A A A A A |2521|11---=A A =|-2A -1|=(-2)3|A -1|=-8|A |-1=-8⨯2=-16.17.设矩阵A 可逆,证明其伴随阵A *也可逆,且(A *)-1=(A -1)*. 证明由*||11A A A =-,得A *=|A |A -1, 所以当A 可逆时, 有 |A *|=|A |n |A -1|=|A |n -1≠0,从而A *也可逆.因为A *=|A |A -1,所以(A *)-1=|A |-1A . 又*)(||)*(||1111---==A A A A A , 所以 (A *)-1=|A |-1A =|A |-1|A |(A -1)*=(A -1)*.18.设n 阶矩阵A 的伴随矩阵为A *, 证明:(1)假设|A |=0,如此|A *|=0;(2)|A *|=|A |n -1.证明(1)用反证法证明.假设|A *|≠0, 如此有A *(A *)-1=E ,由此得 A =AA *(A *)-1=|A |E (A *)-1=O ,所以A *=O , 这与|A *|≠0矛盾，故当|A |=0时, 有|A *|=0.(2)由于*||11A A A =-, 如此AA *=|A |E , 取行列式得到 |A ||A *|=|A |n .假设|A |≠0, 如此|A *|=|A |n -1;假设|A |=0, 由(1)知|A *|=0, 此时命题也成立. 因此|A *|=|A |n -1.19.设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=321011330A ,AB =A +2B , 求B . 解由AB =A +2E 可得(A -2E )B =A ,故⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-=--321011330121011332)2(11A E A B ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=011321330. 20. 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101020101A , 且AB +E =A 2+B , 求B . 解由AB +E =A 2+B 得(A -E )B =A 2-E ,即 (A -E )B =(A -E )(A +E ).因为01001010100||≠-==-E A , 所以(A -E )可逆, 从而 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=201030102E A B . 21. 设A =diag(1,-2,1),A *BA =2BA -8E , 求B . 解由A *BA =2BA -8E 得(A *-2E )BA =-8E ,B =-8(A *-2E )-1A -1=-8[A (A *-2E )]-1=-8(AA *-2A )-1 =-8(|A |E -2A )-1 =-8(-2E -2A )-1 =4(E +A )-1=4[diag(2,-1,2)]-1 )21 ,1 ,21(diag 4-==2diag(1,-2,1).22. 矩阵A 的伴随阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=8030010100100001*A , 且ABA -1=BA -1+3E , 求B . 解由|A *|=|A |3=8, 得|A |=2. 由ABA -1=BA -1+3E 得 AB =B +3A ,B =3(A -E )-1A =3[A (E -A -1)]-1A 11*)2(6*)21(3---=-=A E A E⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-1030060600600006603001010010000161. 23.设P -1AP =Λ,其中⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1141P ,⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ2001,求A 11.解由P -1AP =Λ,得A =P ΛP -1, 所以A 11= A =P Λ11P -1.|P |=3,⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1141*P ,⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1141311P ,而⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ11111120 012001,故⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=31313431200111411111A ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=68468327322731. 24. 设AP =P Λ, 其中⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=111201111P ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ511, 求ϕ(A )=A 8(5E -6A +A 2). 解 ϕ(Λ)=Λ8(5E -6Λ+Λ2)=diag(1,1,58)[diag(5,5,5)-diag(-6,6,30)+diag(1,1,25)] =diag(1,1,58)diag(12,0,0)=12diag(1,0,0).ϕ(A )=P ϕ(Λ)P -1*)(||1P P P Λ=ϕ ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=1213032220000000011112011112⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1111111114. 25. 设矩阵A 、B 与A +B 都可逆, 证明A -1+B -1也可逆, 并求其逆阵. 证明因为A -1(A +B )B -1=B -1+A -1=A -1+B -1,而A -1(A +B )B -1是三个可逆矩阵的乘积, 所以A -1(A +B )B -1可逆, 即A -1+B -1可逆.(A -1+B -1)-1=[A -1(A +B )B -1]-1=B (A +B )-1A .26. 计算⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛30003200121013013000120010100121. 解设⎪⎭⎫ ⎝⎛=10211A ,⎪⎭⎫ ⎝⎛=30122A ,⎪⎭⎫ ⎝⎛-=12131B ,⎪⎭⎫ ⎝⎛--=30322B ,如此 ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛2121B O B E A O E A ⎪⎭⎫⎝⎛+=222111B A O B B A A ,而 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=+4225303212131021211B B A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛=90343032301222B A ,所以 ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛2121B O B E A O E A ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=222111B A O B B A A ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=9000340042102521, 即 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛30003200121013013000120010100121⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=9000340042102521. 27.取⎪⎭⎫ ⎝⎛==-==1001D C B A ,验证|||||||| D C B A D C B A ≠.解 4100120021010*********0021010010110100101==--=--=D C B A , 而 01111|||||||| ==D C B A ,故 |||||||| D C B A D C B A ≠.28.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=22023443O O A ,求|A 8|与A 4. 解令⎪⎭⎫ ⎝⎛-=34431A ,⎪⎭⎫ ⎝⎛=22022A ,如此 ⎪⎭⎫⎝⎛=21A O O A A ,故 8218⎪⎭⎫ ⎝⎛=A O O A A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=8281A O O A , 1682818281810||||||||||===A A A A A . ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=464444241422025005O O A O O A A . 29.设n 阶矩阵A 与s 阶矩阵B 都可逆,求 (1)1-⎪⎭⎫ ⎝⎛O B A O ; 解设⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-43211C C C C O B A O , 如此⎪⎭⎫ ⎝⎛O B A O ⎪⎭⎫ ⎝⎛4321C C C C ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=s n E O O E BC BC AC AC 2143. 由此得 ⎪⎩⎪⎨⎧====s n EBC OBC O AC E AC 2143⇒⎪⎩⎪⎨⎧====--121413B C O C O C A C ,所以⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛---O A B O O B A O 111. (2)1-⎪⎭⎫ ⎝⎛B C O A . 解设⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-43211D D D D B C O A , 如此 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛s n E O O E BD CD BD CD AD AD D D D D B C O A 4231214321.由此得 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+==s nEBD CD O BD CD OAD E AD 423121⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-===----14113211B D CA B D O D A D ,所以 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-----11111B CA B O A BC O A . 30. 求如下矩阵的逆阵:(1)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛2500380000120025; 解设⎪⎭⎫ ⎝⎛=1225A ,⎪⎭⎫ ⎝⎛=2538B , 如此⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=--5221122511A ,⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=--8532253811B .于是 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----850032000052002125003800001200251111B A B A .(2)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛4121031200210001. 解设⎪⎭⎫ ⎝⎛=2101A ,⎪⎭⎫ ⎝⎛=4103B ,⎪⎭⎫ ⎝⎛=2112C , 如此 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------1111114121031200210001B CA B O A B C O A⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=411212458103161210021210001.第三章矩阵的初等变换与线性方程组1. 把如下矩阵化为行最简形矩阵:(1)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--340313021201; 解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--340313021201(下一步:r 2+(-2)r 1,r 3+(-3)r 1.)~⎪⎪⎭⎫⎝⎛---020*********(下一步:r 2÷(-1),r 3÷(-2).)~⎪⎪⎭⎫⎝⎛--010*********(下一步:r 3-r 2.)~⎪⎪⎭⎫⎝⎛--300031001201(下一步:r 3÷3.)~⎪⎪⎭⎫⎝⎛--100031001201(下一步:r 2+3r 3.)~⎪⎪⎭⎫⎝⎛-100001001201(下一步:r 1+(-2)r 2,r 1+r 3.)~⎪⎪⎭⎫⎝⎛100001000001.(2)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----174034301320; 解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛----174034301320(下一步:r 2⨯2+(-3)r 1,r 3+(-2)r 1. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛---310031001320(下一步:r 3+r 2,r 1+3r 2. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛0000310010020(下一步:r 1÷2. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛000031005010.(3)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------12433023221453334311; 解⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------12433023221453334311(下一步:r 2-3r 1,r 3-2r 1,r 4-3r 1. )~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--------1010500663008840034311(下一步:r 2÷(-4),r 3÷(-3) ,r 4÷(-5). )~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----22100221002210034311(下一步:r 1-3r 2,r 3-r 2,r 4-r 2. )~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---00000000002210032011. (4)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------34732038234202173132.解 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------34732038234202173132(下一步:r 1-2r 2,r 3-3r 2,r 4-2r 2. )~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----1187701298804202111110(下一步:r 2+2r 1,r 3-8r 1,r 4-7r 1. )~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--41000410002020111110(下一步:r 1↔r 2,r 2⨯(-1),r 4-r 3. )~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----00000410001111020201(下一步:r 2+r 3. )~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--000410*******20201. 2. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛987654321100010101100001010A , 求A .解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛100001010是初等矩阵E (1,2), 其逆矩阵就是其本身.⎪⎪⎭⎫⎝⎛100010101是初等矩阵E (1, 2(1)), 其逆矩阵是 E (1, 2(-1)) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=100010101.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100010101987654321100001010A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=287221254100010101987321654. 3. 试利用矩阵的初等变换, 求如下方阵的逆矩阵:(1)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛323513123; 解⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100010001323513123~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---101011001200410123 ~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----1012002110102/102/3023~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----2/102/11002110102/922/7003 ~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----2/102/11002110102/33/26/7001 故逆矩阵为⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----21021211233267. (2)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----1210232112201023.解 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----10000100001000011210232112201023 ~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----00100301100001001220594012102321~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------20104301100001001200110012102321 ~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------106124301100001001000110012102321 ~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----------10612631110`1022111000010000100021 ~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------106126311101042111000010000100001 故逆矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------10612631110104211. 4.(1)设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=113122214A ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=132231B , 求X 使AX =B ; 解因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=132231 113122214) ,(B A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--412315210 100010001 ~r , 所以 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--==-4123152101B A X .(2)设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=433312120A ,⎪⎭⎫ ⎝⎛-=132321B , 求X 使XA =B . 解考虑A T X T =B T . 因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=134313*********) ,(T T B A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---411007101042001 ~r , 所以 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---==-417142)(1T T T B A X , 从而 ⎪⎭⎫ ⎝⎛---==-4741121BA X . 5. 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=101110011A ,AX =2X +A , 求X . 解原方程化为(A -2E )X =A . 因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------=-101101110110011011) ,2(A E A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---011100101010110001~, 所以 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-=-011101110)2(1A E A X . 6. 在秩是r 的矩阵中,有没有等于0的r -1阶子式? 有没有等于0的r 阶子式?解在秩是r 的矩阵中, 可能存在等于0的r -1阶子式, 也可能存在等于0的r 阶子式.例如,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010*********A ,R (A )=3. 0000是等于0的2阶子式,010001000是等于0的3阶子式. 7. 从矩阵A 中划去一行得到矩阵B , 问A ,B 的秩的关系怎样? 解R (A )≥R (B ).这是因为B 的非零子式必是A 的非零子式, 故A 的秩不会小于B 的秩.8. 求作一个秩是4的方阵, 它的两个行向量是(1,0,1,0,0),(1,-1,0,0,0).解用向量容易构成一个有4个非零行的5阶下三角矩阵:⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0000001000001010001100001, 此矩阵的秩为4, 其第2行和第3行是向量.9. 求如下矩阵的秩, 并求一个最高阶非零子式: (1)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---443112112013;解⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---443112112013(下一步:r 1↔r 2. ) ~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---443120131211(下一步:r 2-3r 1,r 3-r 1. ) ~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----564056401211(下一步:r 3-r 2. ) ~⎪⎭⎫ ⎝⎛---000056401211, 矩阵的2秩为,41113-=-是一个最高阶非零子式. (2)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------815073*********; 解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------815073*********(下一步:r 1-r 2,r 2-2r 1,r 3-7r 1. ) ~⎪⎭⎫ ⎝⎛------15273321059117014431(下一步:r 3-3r 2. ) ~⎪⎭⎫ ⎝⎛----0000059117014431, 矩阵的秩是2,71223-=-是一个最高阶非零子式.(3)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---02301085235703273812. 解 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---02301085235703273812(下一步:r 1-2r 4,r 2-2r 4,r 3-3r 4. ) ~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------02301024205363071210(下一步:r 2+3r 1,r 3+2r 1. ) ~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0230114000016000071210(下一步:r 2÷16r 4,r 3-16r 2. ) ~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-02301000001000071210 ~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-00000100007121002301, 矩阵的秩为3,070023085570≠=-是一个最高阶非零子式. 10. 设A 、B 都是m ⨯n 矩阵, 证明A ~B 的充分必要条件是R (A )=R (B ).证明根据定理3, 必要性是成立的.充分性. 设R (A )=R (B ), 如此A 与B 的标准形是一样的. 设A 与B 的标准形为D , 如此有A ~D ,D ~B .由等价关系的传递性, 有A ~B .11. 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=32321321k k k A , 问k 为何值, 可使 (1)R (A )=1;(2)R (A )=2;(3)R (A )=3.解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=32321321k k k A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-----)2)(1(0011011 ~k k k k k r . (1)当k =1时,R (A )=1;(2)当k =-2且k ≠1时,R (A )=2;(3)当k ≠1且k ≠-2时,R (A )=3.12. 求解如下齐次线性方程组:(1)⎪⎩⎪⎨⎧=+++=-++=-++02220202432143214321x x x x x x x x x x x x ; 解对系数矩阵A 进展初等行变换, 有A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--212211121211~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---3/410013100101, 于是 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-==4443424134334x x x x x x x x ,故方程组的解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1343344321k x x x x (k 为任意常数). (2)⎪⎩⎪⎨⎧=-++=--+=-++05105036302432143214321x x x x x x x x x x x x ; 解对系数矩阵A 进展初等行变换,有 A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----5110531631121~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-000001001021, 于是 ⎪⎩⎪⎨⎧===+-=4432242102x x x x x x x x , 故方程组的解为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10010012214321k k x x x x (k 1,k 2为任意常数). (3)⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=+-+=-++=+-+07420634072305324321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x ; 解对系数矩阵A 进展初等行变换,有A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----7421631472135132~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1000010000100001,于是 ⎪⎩⎪⎨⎧====00004321x x x x , 故方程组的解为⎪⎩⎪⎨⎧====00004321x x x x .(4)⎪⎩⎪⎨⎧=++-=+-+=-+-=+-+03270161311402332075434321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x . 解对系数矩阵A 进展初等行变换,有 A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----3127161311423327543~⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--000000001720171910171317301,于是 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=-=4433432431172017191713173x x x x x x x x x x , 故方程组的解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1017201713011719173214321k k x x x x (k 1,k 2为任意常数).13. 求解如下非齐次线性方程组:(1)⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-=-+83111021322421321321x x x x x x x x ; 解对增广矩阵B 进展初等行变换,有 B =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--80311102132124~⎪⎭⎫ ⎝⎛----600034111008331, 于是R (A )=2, 而R (B )=3, 故方程组无解.(2)⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=-+-=+-=++69413283542432z y x z y x z y x z y x ; 解对增广矩阵B 进展初等行变换,有 B =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----69141328354214132~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--0000000021101201, 于是 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=--=z z z y z x 212,。

线性代数第四章答案解析

线性代数第四章答案解析第四章向量组的线性相关性1. 设v 1=(1, 1, 0)T , v 2=(0, 1, 1)T , v 3=(3, 4, 0)T , 求v 1-v 2及3v 1+2v 2-v 3.解 v 1-v 2=(1, 1, 0)T -(0, 1, 1)T=(1-0, 1-1, 0-1)T=(1, 0, -1)T .3v 1+2v 2-v 3=3(1, 1, 0)T +2(0, 1, 1)T -(3, 4, 0)T =(3?1+2?0-3, 3?1+2?1-4, 3?0+2?1-0)T =(0, 1, 2)T .2. 设3(a 1-a )+2(a 2+a )=5(a 3+a ), 求a , 其中a 1=(2, 5, 1,3)T ,a 2=(10, 1, 5, 10)T , a 3=(4, 1, -1, 1)T .解由3(a 1-a )+2(a 2+a )=5(a 3+a )整理得)523(61321a a a a -+=])1 ,1 ,1 ,4(5)10 ,5 ,1 ,10(2)3 ,1 ,5 ,2(3[61TT T --+==(1, 2, 3, 4)T .3. 已知向量组A : a 1=(0, 1, 2, 3)T , a 2=(3, 0, 1, 2)T , a 3=(2, 3, 0, 1)T ;B : b 1=(2, 1, 1, 2)T , b 2=(0, -2, 1, 1)T , b 3=(4, 4, 1, 3)T , 证明B 组能由A 组线性表示, 但A 组不能由B 组线性表示. 证明由-=312123111012421301402230) ,(B A ????? ??-------971820751610402230421301~r ????? ?------531400251552000751610421301 ~r-----000000531400751610421301~r 知R (A )=R (A , B )=3, 所以B 组能由A 组线性表示.由-????? ??---????? ??-=000000110201110110220201312111421402~~r r B 知R (B )=2. 因为R(B )≠R (B , A ), 所以A 组不能由B 组线性表示.4. 已知向量组A : a 1=(0, 1, 1)T , a 2=(1, 1, 0)T ;B : b 1=(-1, 0, 1)T , b 2=(1, 2, 1)T , b 3=(3, 2, -1)T , 证明A 组与B 组等价. 证明由- ??- ??--=000001122010311112201122010311011111122010311) ,(~~r r A B ,知R (B )=R (B , A )=2. 显然在A 中有二阶非零子式, 故R (A )≥2, 又R (A )≤R (B , A )=2, 所以R (A )=2, 从而R (A )=R (B )=R (A , B ). 因此A 组与B 组等价.5. 已知R (a 1, a 2, a 3)=2, R (a 2, a 3, a 4)=3, 证明 (1) a 1能由a 2, a 3线性表示;(2) a 4不能由a 1, a 2, a 3线性表示.证明 (1)由R (a 2, a 3, a 4)=3知a 2, a 3, a 4线性无关, 故a 2, a 3也线性无关. 又由R (a 1,a 2, a 3)=2知a 1, a 2, a 3线性相关, 故a 1能由a 2, a 3线性表示.(2)假如a 4能由a 1, a 2, a 3线性表示, 则因为a 1能由a 2, a 3线性表示, 故a 4能由a 2, a 3线性表示, 从而a 2, a 3, a 4线性相关, 矛盾. 因此a 4不能由a 1, a 2, a 3线性表示.6. 判定下列向量组是线性相关还是线性无关: (1) (-1, 3, 1)T , (2, 1, 0)T , (1, 4, 1)T ; (2) (2, 3, 0)T , (-1, 4, 0)T , (0, 0, 2)T .解 (1)以所给向量为列向量的矩阵记为A . 因为-???? ??-???? ??-=000110121220770121101413121~~r r A , 所以R (A )=2小于向量的个数, 从而所给向量组线性相关. (2)以所给向量为列向量的矩阵记为B . 因为022200043012||≠=-=B ,所以R (B )=3等于向量的个数, 从而所给向量组线性相无关.7. 问a 取什么值时下列向量组线性相关？ a 1=(a , 1, 1)T , a 2=(1,a , -1)T , a 3=(1, -1, a )T . 解以所给向量为列向量的矩阵记为A . 由aa aA 111111||--=如能使行列式等于0，则此时向量组线性相关.（具体看书后相应答案）8. 设a 1, a 2线性无关, a 1+b , a 2+b 线性相关, 求向量b 用a 1,a 2线性表示的表示式. 解因为a 1+b , a 2+b 线性相关, 故存在不全为零的数λ1, λ2使λ1(a 1+b )+λ2(a 2+b )=0, 由此得2211121122121211)1(a a a a b λλλλλλλλλλλλ+--+-=+-+-=,设211λλλ+-=c , 则b =c a 1-(1+c )a 2, c ∈R .9. 设a 1, a 2线性相关, b 1, b 2也线性相关, 问a 1+b 1, a 2+b 2是否一定线性相关？试举例说明之. （也可看书后答案）解不一定.例如, 当a 1=(1, 2)T , a 2=(2, 4)T , b 1=(-1, -1)T , b 2=(0, 0)T 时, 有 a 1+b 1=(1, 2)T +b 1=(0, 1)T , a 2+b 2=(2, 4)T +(0, 0)T =(2, 4)T , 而a 1+b 1, a 2+b 2的对应分量不成比例, 是线性无关的.10. 举例说明下列各命题是错误的:(1)若向量组a 1, a 2, ? ? ?, a m 是线性相关的, 则a 1可由a 2, ? ? ?,a m 线性表示. 解设a 1=e 1=(1, 0, 0, ? ? ?, 0), a 2=a 3= ? ? ? =a m =0, 则a 1, a 2, ? ? ?, a m 线性相关, 但a 1不能由a 2, ? ? ?, a m 线性表示.(2)若有不全为0的数λ1, λ2, ? ? ?, λm 使λ1a 1+ ? ? ? +λm a m +λ1b 1+ ? ? ? +λm b m =0成立, 则a 1, a 2, ? ? ?, a m 线性相关, b 1, b 2, ? ? ?, b m 亦线性相关. 解有不全为零的数λ1, λ2, ? ? ?, λm 使λ1a 1+ ? ? ? +λm a m +λ1b 1+ ? ? ? +λm b m =0,原式可化为λ1(a1+b1)++λm(a m+b m)=0.取a1=e1=-b1,a2=e2=-b2,,a m=e m=-b m,其中e1,e2,,e m为单位坐标向量,则上式成立,而a1,a2,,a m和b1,b2,,b m均线性无关.(3)若只有当λ1,λ2,,λm全为0时,等式λ1a1++λm a m+λ1b1++λm b m=0才能成立,则a1,a2,,a m线性无关, b1,b2,,b m亦线性无关.解由于只有当λ1,λ2,,λm全为0时,等式由λ1a1++λm a m+λ1b1++λm b m=0成立,所以只有当λ1,λ2,,λm全为0时,等式λ1(a1+b1)+λ2(a2+b2)++λm(a m+b m)=0成立.因此a1+b1,a2+b2,,a m+b m线性无关.取a1=a2==a m=0,取b1,,b m为线性无关组,则它们满足以上条件,但a1,a2,,a m线性相关.(4)若a1,a2,,a m线性相关, b1,b2,,b m亦线性相关,则有不全为0的数,λ1,λ2,,λm使λ1a1++λm a m=0,λ1b1++λm b m=0同时成立.解a1=(1, 0)T,a2=(2, 0)T,b1=(0, 3)T,b2=(0, 4)T,λ1a1+λ2a2 =0?λ1=-2λ2,λ1b1+λ2b2 =0?λ1=-(3/4)λ2,λ1=λ2=0,与题设矛盾.11.设b1=a1+a2,b2=a2+a3, b3=a3+a4, b4=a4+a1,证明向量组b1,b2,b3,b4线性相关.证明由已知条件得a 1=b 1-a 2, a 2=b 2-a 3, a 3=b 3-a 4, a 4=b 4-a 1, 于是 a 1 =b 1-b 2+a 3 =b 1-b 2+b 3-a 4 =b 1-b 2+b 3-b 4+a 1, 从而 b 1-b 2+b 3-b 4=0,这说明向量组b 1, b 2, b 3, b 4线性相关.12. 设b 1=a 1, b 2=a 1+a 2, ? ? ?, b r =a 1+a 2+ ? ? ? +a r , 且向量组a 1, a 2, ? ? ? , a r 线性无关, 证明向量组b 1, b 2, ? ? ? , b r 线性无关. 证明已知的r 个等式可以写成=100110111) , , ,() , , ,(2121r r a a a b b b , 上式记为B =AK . 因为|K |=1≠0, K 可逆, 所以R (B )=R (A )=r , 从而向量组b 1, b 2, ? ? ? , b r 线性无关.13. 求下列向量组的秩, 并求一个最大无关组:(1)a 1=(1, 2, -1, 4)T , a 2=(9, 100, 10, 4)T , a 3=(-2, -4, 2, -8)T ; 解由-????? ??--????? ??----=000000010291032001900820291844210141002291) , ,(~~321r r a a a , 知R (a 1, a 2, a 3)=2. 因为向量a 1与a 2的分量不成比例, 故a 1, a 2线性无关, 所以a 1, a 2是一个最大无关组.(2)a 1T =(1, 2, 1, 3), a 2T =(4, -1, -5, -6), a 3T =(1, -3, -4, -7).。

同济大学线性代数课后答案第四章

第四章向量组的线性相关性1.设v 1=(1,1,0)T ,v 2=(0,1,1)T ,v 3=(3,4,0)T ,求v 1−v 2及3v 1+2v 2−v 3.解v 1−v 2=(1,1,0)T −(0,1,1)T=(1−0,1−1,0−1)T=(1,0,−1)T .3v 1+2v 2−v 3=3(1,1,0)T +2(0,1,1)T −(3,4,0)T=(3×1+2×0−3,3×1+2×1−4,3×0+2×1−0)T=(0,1,2)T .2.设3(a 1−a )+2(a 2+a )=5(a 3+a ),求a ,其中a 1=(2,5,1,3)T ,a 2=(10,1,5,10)T ,a 3=(4,1,−1,1)T .解由3(a 1−a )+2(a 2+a )=5(a 3+a )整理得)523(61321a a a a −+=])1 ,1 ,1 ,4(5)10 ,5 ,1 ,10(2)3 ,1 ,5 ,2(361T T T −−+==(1,2,3,4)T .3.已知向量组A :a 1=(0,1,2,3)T ,a 2=(3,0,1,2)T ,a 3=(2,3,0,1)T ;B :b 1=(2,1,1,2)T ,b 2=(0,−2,1,1)T ,b 3=(4,4,1,3)T ,证明B 组能由A 组线性表示,但A 组不能由B 组线性表示.证明由⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=312123111012421301402230) ,(B A ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−−−−971820751610402230421301 ~r ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−−−531400251552000751610421301 ~r ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−−000000531400751610421301 ~r 知R (A )=R (A ,B )=3,所以B 组能由A 组线性表示.由⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=000000110201110110220201312111421402~~r r B 知R (B )=2.因为R (B )≠R (B ,A ),所以A 组不能由B 组线性表示.4.已知向量组A :a 1=(0,1,1)T ,a 2=(1,1,0)T ;B :b 1=(−1,0,1)T ,b 2=(1,2,1)T ,b 3=(3,2,−1)T ,证明A 组与B 组等价.证明由,⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=000001122010311112201122010311011111122010311) ,(~~r r A B 知R (B )=R (B ,A )=2.显然在A 中有二阶非零子式,故R (A )≥2,又R (A )≤R (B ,A )=2,所以R (A )=2,从而R (A )=R (B )=R (A ,B ).因此A 组与B 组等价.5.已知R (a 1,a 2,a 3)=2,R (a 2,a 3,a 4)=3,证明(1)a 1能由a 2,a 3线性表示;(2)a 4不能由a 1,a 2,a 3线性表示.证明(1)由R (a 2,a 3,a 4)=3知a 2,a 3,a 4线性无关,故a 2,a 3也线性无关.又由R (a 1,a 2,a 3)=2知a 1,a 2,a 3线性相关,故a 1能由a 2,a 3线性表示.(2)假如a 4能由a 1,a 2,a 3线性表示,则因为a 1能由a 2,a 3线性表示,故a 4能由a 2,a 3线性表示,从而a 2,a 3,a 4线性相关,矛盾.因此a 4不能由a 1,a 2,a 3线性表示.6.判定下列向量组是线性相关还是线性无关:(1)(−1,3,1)T ,(2,1,0)T ,(1,4,1)T ;(2)(2,3,0)T ,(−1,4,0)T ,(0,0,2)T .解(1)以所给向量为列向量的矩阵记为A .因为,⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=000110121220770121101413121~~r r A 所以R (A )=2小于向量的个数,从而所给向量组线性相关.(2)以所给向量为列向量的矩阵记为B .因为,022200043012||≠=−=B 所以R (B )=3等于向量的个数,从而所给向量组线性相无关.7.问a 取什么值时下列向量组线性相关？a 1=(a ,1,1)T ,a 2=(1,a ,−1)T ,a 3=(1,−1,a )T .解以所给向量为列向量的矩阵记为A .由)1)(1(111111||+−=−−=a a a aa a A 知,当a =−1、0、1时,R (A )<3,此时向量组线性相关.8.设a 1,a 2线性无关,a 1+b ,a 2+b 线性相关,求向量b 用a 1,a 2线性表示的表示式.解因为a 1+b ,a 2+b 线性相关,故存在不全为零的数λ1,λ2使λ1(a 1+b )+λ2(a 2+b )=0,由此得,2211121122121211)1(a a a a b λλλλλλλλλλλλ+−−+−=+−+−=设,则211λλλ+−=c b =c a 1−(1+c )a 2,c ∈R .9.设a 1,a 2线性相关,b 1,b 2也线性相关,问a 1+b 1,a 2+b 2是否一定线性相关？试举例说明之.解不一定.例如,当a 1=(1,2)T ,a 2=(2,4)T ,b 1=(−1,−1)T ,b 2=(0,0)T 时,有a 1+b 1=(1,2)T +b 1=(0,1)T ,a 2+b 2=(2,4)T +(0,0)T =(2,4)T ,而a 1+b 1,a 2+b 2的对应分量不成比例,是线性无关的.10.举例说明下列各命题是错误的:(1)若向量组a1,a2,⋅⋅⋅,a m是线性相关的,则a1可由a2,⋅⋅⋅,a m线性表示.解设a1=e1=(1,0,0,⋅⋅⋅,0),a2=a3=⋅⋅⋅=a m=0,则a1,a2,⋅⋅⋅,a m线性相关,但a1不能由a2,⋅⋅⋅,a m线性表示.(2)若有不全为0的数λ1,λ2,⋅⋅⋅,λm使λ1a1+⋅⋅⋅+λm a m+λ1b1+⋅⋅⋅+λm b m=0成立,则a1,a2,⋅⋅⋅,a m线性相关,b1,b2,⋅⋅⋅,b m亦线性相关.解有不全为零的数λ1,λ2,⋅⋅⋅,λm使λ1a1+⋅⋅⋅+λm a m+λ1b1+⋅⋅⋅+λm b m=0,原式可化为λ1(a1+b1)+⋅⋅⋅+λm(a m+b m)=0.取a1=e1=−b1,a2=e2=−b2,⋅⋅⋅,a m=e m=−b m,其中e1,e2,⋅⋅⋅,e m 为单位坐标向量,则上式成立,而a1,a2,⋅⋅⋅,a m和b1,b2,⋅⋅⋅,b m 均线性无关.(3)若只有当λ1,λ2,⋅⋅⋅,λm全为0时,等式λ1a1+⋅⋅⋅+λm a m+λ1b1+⋅⋅⋅+λm b m=0才能成立,则a1,a2,⋅⋅⋅,a m线性无关,b1,b2,⋅⋅⋅,b m亦线性无关.解由于只有当λ1,λ2,⋅⋅⋅,λm全为0时,等式由λ1a1+⋅⋅⋅+λm a m+λ1b1+⋅⋅⋅+λm b m=0成立,所以只有当λ1,λ2,⋅⋅⋅,λm全为0时,等式λ1(a1+b1)+λ2(a2+b2)+⋅⋅⋅+λm(a m+b m)=0成立.因此a1+b1,a2+b2,⋅⋅⋅,a m+b m线性无关.取a1=a2=⋅⋅⋅=a m=0,取b1,⋅⋅⋅,b m为线性无关组,则它们满足以上条件,但a1,a2,⋅⋅⋅,a m线性相关.(4)若a1,a2,⋅⋅⋅,a m线性相关,b1,b2,⋅⋅⋅,b m亦线性相关,则有不全为0的数,λ1,λ2,⋅⋅⋅,λm使λ1a1+⋅⋅⋅+λm a m=0,λ1b1+⋅⋅⋅+λm b m=0同时成立.解a1=(1,0)T,a2=(2,0)T,b1=(0,3)T,b2=(0,4)T,λ1a1+λ2a2=0⇒λ1=−2λ2,λ1b1+λ2b2=0⇒λ1=−(3/4)λ2,⇒λ1=λ2=0,与题设矛盾.11.设b1=a1+a2,b2=a2+a3,b3=a3+a4,b4=a4+a1,证明向量组b1,b2,b3,b4线性相关.证明由已知条件得a1=b1−a2,a2=b2−a3,a3=b3−a4,a4=b4−a1,于是a1=b1−b2+a3=b1−b2+b3−a4=b1−b2+b3−b4+a1,从而b1−b2+b3−b4=0,这说明向量组b 1,b 2,b 3,b 4线性相关.12.设b 1=a 1,b 2=a 1+a 2,⋅⋅⋅,b r =a 1+a 2+⋅⋅⋅+a r ,且向量组a 1,a 2,⋅⋅⋅,a r 线性无关,证明向量组b 1,b 2,⋅⋅⋅,b r 线性无关.证明已知的r 个等式可以写成,⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅100110111) , , ,() , , ,(2121r r a a a b b b 上式记为B =AK .因为|K |=1≠0,K 可逆,所以R (B )=R (A )=r ,从而向量组b 1,b 2,⋅⋅⋅,b r 线性无关.13.求下列向量组的秩,并求一个最大无关组:(1)a 1=(1,2,−1,4)T ,a 2=(9,100,10,4)T ,a 3=(−2,−4,2,−8)T ;解由,⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−=000000010291032001900820291844210141002291) , ,(~~321r r a a a 知R (a 1,a 2,a 3)=2.因为向量a 1与a 2的分量不成比例,故a 1,a 2线性无关,所以a 1,a 2是一个最大无关组.(2)a 1T =(1,2,1,3),a 2T =(4,−1,−5,−6),a 3T =(1,−3,−4,−7).解由,⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−−−⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−−−=00000059014110180590590141763451312141) , ,(~~321r r a a a 知R (a 1T ,a 2T ,a 3T )=R (a 1,a 2,a 3)=2.因为向量a 1T 与a 2T 的分量不成比例,故a 1T ,a 2T 线性无关,所以a 1T ,a 2T 是一个最大无关组.14.利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组:(1);⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛4820322513454947513253947543173125解因为,⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛482032251345494751325394754317312513121433~r r r r r r −−−⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛531053103210431731253423~r r r r −−⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛00003100321043173125所以第1、2、3列构成一个最大无关组.(2).⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−14011313021512012211解因为,⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−1401131302151201221113142~r r r r −−⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−−−222001512015120122112343~r r r r +↔⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−00000222001512012211所以第1、2、3列构成一个最大无关组.15.设向量组(a ,3,1)T ,(2,b ,3)T ,(1,2,1)T ,(2,3,1)T的秩为2,求a ,b .解设a 1=(a ,3,1)T ,a 2=(2,b ,3)T ,a 3=(1,2,1)T ,a 4=(2,3,1)T .因为,⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=5200111031116110111031113111332221) , , ,(~~2143b a a b a b a r r a a a a 而R (a 1,a 2,a 3,a 4)=2,所以a =2,b =5.16.设a 1,a 2,⋅⋅⋅,a n 是一组n 维向量,已知n 维单位坐标向量e 1,e 2,⋅⋅⋅,e n 能由它们线性表示,证明a 1,a 2,⋅⋅⋅,a n 线性无关.证法一记A =(a 1,a 2,⋅⋅⋅,a n ),E =(e 1,e 2,⋅⋅⋅,e n ).由已知条件知,存在矩阵K ,使E =AK .两边取行列式,得|E |=|A ||K |.可见|A |≠0,所以R (A )=n ,从而a 1,a 2,⋅⋅⋅,a n 线性无关.证法二因为e 1,e 2,⋅⋅⋅,e n 能由a 1,a 2,⋅⋅⋅,a n 线性表示,所以R (e 1,e 2,⋅⋅⋅,e n )≤R (a 1,a 2,⋅⋅⋅,a n ),而R (e 1,e 2,⋅⋅⋅,e n )=n ,R (a 1,a 2,⋅⋅⋅,a n )≤n ,所以R (a 1,a 2,⋅⋅⋅,a n )=n ,从而a1,a2,⋅⋅⋅,a n线性无关.17.设a1,a2,⋅⋅⋅,a n是一组n维向量,证明它们线性无关的充分必要条件是:任一n维向量都可由它们线性表示.证明必要性:设a为任一n维向量.因为a1,a2,⋅⋅⋅,a n线性无关,而a1,a2,⋅⋅⋅,a n,a是n+1个n维向量,是线性相关的,所以a能由a1,a2,⋅⋅⋅,a n线性表示,且表示式是唯一的.充分性:已知任一n维向量都可由a1,a2,⋅⋅⋅,a n线性表示,故单位坐标向量组e1,e2,⋅⋅⋅,e n能由a1,a2,⋅⋅⋅,a n线性表示,于是有n=R(e1,e2,⋅⋅⋅,e n)≤R(a1,a2,⋅⋅⋅,a n)≤n,即R(a1,a2,⋅⋅⋅,a n)=n,所以a1,a2,⋅⋅⋅,a n线性无关.18.设向量组a1,a2,⋅⋅⋅,a m线性相关,且a1≠0,证明存在某个向量a k(2≤k≤m),使a k能由a1,a2,⋅⋅⋅,a k−1线性表示.证明因为a1,a2,⋅⋅⋅,a m线性相关,所以存在不全为零的数λ1,λ2,⋅⋅⋅,λm,使λ1a1+λ2a2+⋅⋅⋅+λm a m=0,而且λ2,λ3,⋅⋅⋅,λm不全为零.这是因为,如若不然,则λ1a1=0,由a1≠0知λ1=0,矛盾.因此存在k(2≤k≤m),使λk≠0,λk+1=λk+2=⋅⋅⋅=λm=0,于是λ1a 1+λ2a 2+⋅⋅⋅+λk a k =0,a k =−(1/λk )(λ1a 1+λ2a 2+⋅⋅⋅+λk −1a k −1),即a k 能由a 1,a 2,⋅⋅⋅,a k −1线性表示.19.设向量组B :b 1,⋅⋅⋅,b r 能由向量组A :a 1,⋅⋅⋅,a s 线性表示为(b 1,⋅⋅⋅,b r )=(a 1,⋅⋅⋅,a s )K ,其中K 为s ×r 矩阵,且A 组线性无关.证明B 组线性无关的充分必要条件是矩阵K 的秩R (K )=r .证明令B =(b 1,⋅⋅⋅,b r ),A =(a 1,⋅⋅⋅,a s ),则有B =AK .必要性:设向量组B 线性无关.由向量组B 线性无关及矩阵秩的性质,有r =R (B )=R (AK )≤min{R (A ),R (K )}≤R (K ),及R (K )≤min{r ,s }≤r .因此R (K )=r .充分性:因为R (K )=r ,所以存在可逆矩阵C ,使⎟⎠⎞⎜⎝⎛=O E KC r 为K 的标准形.于是(b 1,⋅⋅⋅,b r )C =(a 1,⋅⋅⋅,a s )KC =(a 1,⋅⋅⋅,a r ).因为C 可逆,所以R (b 1,⋅⋅⋅,b r )=R (a 1,⋅⋅⋅,a r )=r ,从而b 1,⋅⋅⋅,b r 线性无关.20.设,⎪⎩⎪⎨⎧+⋅⋅⋅+++=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅++=+⋅⋅⋅++=−1321312321 n n n n ααααβαααβαααβ证明向量组α1,α2,⋅⋅⋅,αn 与向量组β1,β2,⋅⋅⋅,βn 等价.证明将已知关系写成,⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎝⎛⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅0111101111011110) , , ,() , , ,(2121n n αααβββ将上式记为B =AK .因为,0)1()1(0111101*********||1≠−−=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=−n K n 所以K 可逆,故有A =BK −1.由B =AK 和A =BK −1可知向量组α1,α2,⋅⋅⋅,αn 与向量组β1,β2,⋅⋅⋅,βn 可相互线性表示.因此向量组α1,α2,⋅⋅⋅,αn 与向量组β1,β2,⋅⋅⋅,βn 等价.21.已知3阶矩阵A 与3维列向量x 满足A 3x =3A x −A 2x ,且向量组x ,A x ,A 2x 线性无关.(1)记P =(x ,A x ,A 2x ),求3阶矩阵B ,使AP =PB ;解因为AP =A (x ,A x ,A 2x )=(A x ,A 2x ,A 3x )=(A x ,A 2x ,3A x −A 2x ),⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=110301000) , ,(2x x x A A 所以.⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=110301000B (2)求|A |.解由A 3x =3A x −A 2x ,得A (3x −A x −A 2x )=0.因为x ,A x ,A 2x 线性无关,故3x −A x −A 2x ≠0,即方程A x =0有非零解,所以R (A )<3,|A |=0.22.求下列齐次线性方程组的基础解系:(1);⎪⎩⎪⎨⎧=−++=−++=++−02683054202108432143214321x x x x x x x x x x x x 解对系数矩阵进行初等行变换,有,⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−=00004/14/3100401 2683154221081~r A 于是得.⎩⎨⎧+=−=43231)4/1()4/3(4x x x x x 取(x 3,x 4)T =(4,0)T ,得(x 1,x 2)T =(−16,3)T ;取(x 3,x 4)T =(0,4)T ,得(x 1,x 2)T =(0,1)T .因此方程组的基础解系为ξ1=(−16,3,4,0)T ,ξ2=(0,1,0,4)T .(2).⎪⎩⎪⎨⎧=−++=−++=+−−03678024530232432143214321x x x x x x x x x x x x 解对系数矩阵进行初等行变换,有,⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−−=000019/719/141019/119/201 367824531232~r A 于是得.⎩⎨⎧+−=+−=432431)19/7()19/14()19/1()19/2(x x x x x x 取(x 3,x 4)T =(19,0)T ,得(x 1,x 2)T =(−2,14)T ;取(x 3,x 4)T =(0,19)T ,得(x 1,x 2)T =(1,7)T .因此方程组的基础解系为ξ1=(−2,14,19,0)T ,ξ2=(1,7,0,19)T .(3)nx 1+(n −1)x 2+⋅⋅⋅+2x n −1+x n =0.解原方程组即为x n =−nx 1−(n −1)x 2−⋅⋅⋅−2x n −1.取x 1=1,x 2=x 3=⋅⋅⋅=x n −1=0,得x n =−n ;取x 2=1,x 1=x 3=x 4=⋅⋅⋅=x n −1=0,得x n =−(n −1)=−n +1;⋅⋅⋅;取x n −1=1,x 1=x 2=⋅⋅⋅=x n −2=0,得x n =−2.因此方程组的基础解系为ξ1=(1,0,0,⋅⋅⋅,0,−n )T ,ξ2=(0,1,0,⋅⋅⋅,0,−n +1)T ,⋅⋅⋅,ξn −1=(0,0,0,⋅⋅⋅,1,−2)T .23.设,求一个4×2矩阵B ,使AB =0,且⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−=82593122A R (B )=2.解显然B 的两个列向量应是方程组AB =0的两个线性无关的解.因为,⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−=8/118/5108/18/101 82593122~r A 所以与方程组AB =0同解方程组为.⎩⎨⎧+=−=432431)8/11()8/5()8/1()8/1(x x x x x x 取(x 3,x 4)T =(8,0)T ,得(x 1,x 2)T =(1,5)T ;取(x 3,x 4)T =(0,8)T ,得(x 1,x 2)T =(−1,11)T .方程组AB =0的基础解系为ξ1=(1,5,8,0)T ,ξ2=(−1,11,0,8)T .因此所求矩阵为.⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=800811511B 24.求一个齐次线性方程组,使它的基础解系为ξ1=(0,1,2,3)T ,ξ2=(3,2,1,0)T .解显然原方程组的通解为,即,(k 1,k 2∈R ),⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛01233210214321k k x x x x ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+==14213212213223k x k k x k k x k x 消去k 1,k 2得,⎩⎨⎧=+−=+−023032431421x x x x x x 此即所求的齐次线性方程组.25.设四元齐次线性方程组I :,II :.⎩⎨⎧=−=+004221x x x x ⎩⎨⎧=+−=+−00432321x x x x x x 求:(1)方程I 与II 的基础解系;(2)I 与II 的公共解.解(1)由方程I 得.⎩⎨⎧=−=4241x x x x 取(x 3,x 4)T =(1,0)T ,得(x 1,x 2)T =(0,0)T ;取(x 3,x 4)T =(0,1)T ,得(x 1,x 2)T =(−1,1)T .因此方程I 的基础解系为ξ1=(0,0,1,0)T ,ξ2=(−1,1,0,1)T .由方程II 得.⎩⎨⎧−=−=43241x x x x x 取(x 3,x 4)T =(1,0)T ,得(x 1,x 2)T =(0,1)T ;取(x 3,x 4)T =(0,1)T ,得(x 1,x 2)T =(−1,−1)T .因此方程II 的基础解系为ξ1=(0,1,1,0)T ,ξ2=(−1,−1,0,1)T .(2)I 与II 的公共解就是方程III :⎪⎩⎪⎨⎧=+−=+−=−=+00004323214221x x x x x x x x x x 的解.因为方程组III 的系数矩阵,⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−=0000210010101001 1110011110100011~r A 所以与方程组III 同解的方程组为.⎪⎩⎪⎨⎧==−=4342412x x x x x x 取x 4=1,得(x 1,x 2,x 3)T =(−1,1,2)T ,方程组III 的基础解系为ξ=(−1,1,2,1)T .因此I 与II 的公共解为x =c (−1,1,2,1)T ,c ∈R .26.设n 阶矩阵A 满足A 2=A ,E 为n 阶单位矩阵,证明R (A )+R (A −E )=n .证明因为A (A −E )=A 2−A =A −A =0,所以R (A )+R (A −E )≤n .又R (A −E )=R (E −A ),可知R (A )+R (A −E )=R (A )+R (E −A )≥R (A +E −A )=R (E )=n ,由此R (A )+R (A −E )=n .27.设A 为n 阶矩阵(n ≥2),A *为A 的伴随阵,证明.⎪⎩⎪⎨⎧−≤−===2)( 01)( 1)( *)(n A R n A R n A R n A R 当当当证明当R (A )=n 时,|A |≠0,故有|AA *|=||A |E |=|A |≠0,|A *|≠0,所以R (A *)=n .当R (A )=n −1时,|A |=0,故有AA *=|A |E =0,即A *的列向量都是方程组A x =0的解.因为R (A )=n −1,所以方程组A x =0的基础解系中只含一个解向量,即基础解系的秩为1.因此R (A *)=1.当R (A )≤n −2时,A 中每个元素的代数余子式都为0,故A *=O ,从而R (A *)=0.28.求下列非齐次方程组的一个解及对应的齐次线性方程组的基础解系:(1);⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=+3223512254321432121x x x x x x x x x x 解对增广矩阵进行初等行变换,有.⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=2100013011080101 322351211250011~r B 与所给方程组同解的方程为.⎪⎩⎪⎨⎧=+=−−=213 843231x x x x x 当x 3=0时,得所给方程组的一个解η=(−8,13,0,2)T .与对应的齐次方程组同解的方程为.⎪⎩⎪⎨⎧==−=043231x x x x x 当x 3=1时,得对应的齐次方程组的基础解系ξ=(−1,1,1,0)T .(2).⎪⎩⎪⎨⎧−=+++−=−++=−+−6242163511325432143214321x x x x x x x x x x x x 解对增广矩阵进行初等行变换,有.⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−−−=0000022/17/11012/17/901 6124211635113251~r B 与所给方程组同解的方程为.⎩⎨⎧−−=++−=2)2/1((1/7)1)2/1()7/9(432431x x x x x x 当x 3=x 4=0时,得所给方程组的一个解η=(1,−2,0,0)T .与对应的齐次方程组同解的方程为.⎩⎨⎧−=+−=432431)2/1((1/7))2/1()7/9(x x x x x x 分别取(x 3,x 4)T =(1,0)T ,(0,1)T ,得对应的齐次方程组的基础解系ξ1=(−9,1,7,0)T .ξ2=(1,−1,0,2)T .29.设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3,已知η1,η2,η3是它的三个解向量.且η1=(2,3,4,5)T ,η2+η3=(1,2,3,4)T ,求该方程组的通解.解由于方程组中未知数的个数是4,系数矩阵的秩为3,所以对应的齐次线性方程组的基础解系含有一个向量,且由于η1,η2,η3均为方程组的解,由非齐次线性方程组解的结构性质得2η1−(η2+η3)=(η1−η2)+(η1−η3)=(3,4,5,6)T为其基础解系向量,故此方程组的通解:x =k (3,4,5,6)T +(2,3,4,5)T ,(k ∈R ).30.设有向量组A :a 1=(α,2,10)T ,a 2=(−2,1,5)T ,a 3=(−1,1,4)T ,及b =(1,β,−1)T ,问α,β为何值时(1)向量b 不能由向量组A 线性表示;(2)向量b 能由向量组A 线性表示,且表示式唯一;(3)向量b 能由向量组A 线性表示,且表示式不唯一,并求一般表示式.解.⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−=11054211121) , , ,(123βαb a a a ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+++−−−βαβαα34001110121 ~r (1)当α=−4,β≠0时,R (A )≠R (A ,b ),此时向量b 不能由向量组A 线性表示.(2)当α≠−4时,R (A )=R (A ,b )=3,此时向量组a 1,a 2,a 3线性无关,而向量组a 1,a 2,a 3,b 线性相关,故向量b 能由向量组A 线性表示,且表示式唯一.(3)当α=−4,β=0时,R (A )=R (A ,b )=2,此时向量b 能由向量组A 线性表示,且表示式不唯一.当α=−4,β=0时,,⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−−=1105402111421) , , ,(123b a a a ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−000013101201 ~r 方程组(a 3,a 2,a 1)x =b 的解为,c ∈R .⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛c c c c x x x 1312011132321因此b =(2c +1)a 3+(−3c −1)a 2+c a 1,即b =c a 1+(−3c −1)a 2+(2c +1)a 3,c ∈R .31.设a =(a 1,a 2,a 3)T ,b =(b 1,b 2,b 3)T ,c =(c 1,c 2,c 3)T ,证明三直线l 1:a 1x +b 1y +c 1=0,l 2:a 2x +b 2y +c 2=0,(a i 2+b i 2≠0,i =1,2,3)l 3:a 3x +b 3y +c 3=0,相交于一点的充分必要条件为:向量组a ,b 线性无关,且向量组a ,b ,c 线性相关.证明三直线相交于一点的充分必要条件为方程组,即⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000333222111c y b x a c y b x a c y b x a ⎪⎩⎪⎨⎧−=+−=+−=+333222111c y b x a c y b x a c y b x a 有唯一解.上述方程组可写为x a +y b =−c .因此三直线相交于一点的充分必要条件为c 能由a ,b 唯一线性表示,而c 能由a ,b 唯一线性表示的充分必要条件为向量组a ,b 线性无关,且向量组a ,b ,c 线性相关.32.设矩阵A =(a 1,a 2,a 3,a 4),其中a 2,a 3,a 4线性无关,a 1=2a 2−a 3.向量b =a 1+a 2+a 3+a 4,求方程A x =b 的通解.解由b =a 1+a 2+a 3+a 4知η=(1,1,1,1)T 是方程A x =b 的一个解.由a 1=2a 2−a 3得a 1−2a 2+a 3=0,知ξ=(1,−2,1,0)T 是A x =0的一个解.由a 2,a 3,a 4线性无关知R (A )=3,故方程A x =b 所对应的齐次方程A x =0的基础解系中含一个解向量.因此ξ=(1,−2,1,0)T 是方程A x =0的基础解系.方程A x =b 的通解为x =c (1,−2,1,0)T +(1,1,1,1)T ,c ∈R .33.设η*是非齐次线性方程组A x =b 的一个解,ξ1,ξ2,⋅⋅⋅,ξn −r ,是对应的齐次线性方程组的一个基础解系,证明:(1)η*,ξ1,ξ2,⋅⋅⋅,ξn −r 线性无关;(2)η*,η*+ξ1,η*+ξ2,⋅⋅⋅,η*+ξn −r 线性无关.证明(1)反证法,假设η*,ξ1,ξ2,⋅⋅⋅,ξn−r线性相关.因为ξ1,ξ2,⋅⋅⋅,ξn线性无关,而η*,ξ1,ξ2,⋅⋅⋅,ξn−r线性相关,所以η*−r可由ξ1,ξ2,⋅⋅⋅,ξn−r线性表示,且表示式是唯一的,这说明η*也是齐次线性方程组的解,矛盾.(2)显然向量组η*,η*+ξ1,η*+ξ2,⋅⋅⋅,η*+ξn−r与向量组η*,ξ1,ξ2,⋅⋅⋅,ξn−r可以相互表示,故这两个向量组等价,而由(1)知向量组η*,ξ1,ξ2,⋅⋅⋅,ξn−r线性无关,所以向量组η*,η*+ξ1,η*+ξ2,⋅⋅⋅,η*+ξn−r也线性无关.34.设η1,η2,⋅⋅⋅,ηs是非齐次线性方程组A x=b的s个解,k1, k2,⋅⋅⋅,k s为实数,满足k1+k2+⋅⋅⋅+k s=1.证明x=k1η1+k2η2+⋅⋅⋅+k sηs也是它的解.证明因为η1,η2,⋅⋅⋅,ηs都是方程组A x=b的解,所以Aηi=b(i=1,2,⋅⋅⋅,s),从而A(k1η1+k2η2+⋅⋅⋅+k sηs)=k1Aη1+k2Aη2+⋅⋅⋅+k s Aηs=(k1+k2+⋅⋅⋅+k s)b=b.因此x=k1η1+k2η2+⋅⋅⋅+k sηs也是方程的解.35.设非齐次线性方程组A x=b的系数矩阵的秩为r,η1,η2,⋅⋅⋅,ηn−r+1是它的n−r+1个线性无关的解.试证它的任一解可表示为x=k1η1+k2η2+⋅⋅⋅+k n−r+1ηn−r+1,(其中k1+k2+⋅⋅⋅+k n−r+1=1).证明因为η1,η2,⋅⋅⋅,ηn−r+1均为A x=b的解,所以ξ1=η2−η1,ξ2=η3−η1,⋅⋅⋅,ξn−r=ηn−r+1−η1均为A x=b的解.用反证法证:ξ1,ξ2,⋅⋅⋅,ξn−r线性无关.设它们线性相关,则存在不全为零的数λ1,λ2,⋅⋅⋅,λn−r,使得λ1ξ1+λ2ξ2+⋅⋅⋅+λn−rξn−r=0,即λ1(η2−η1)+λ2(η3−η1)+⋅⋅⋅+λn−r(ηn−r+1−η1)=0,亦即−(λ1+λ2+⋅⋅⋅+λn−r)η1+λ1η2+λ2η3+⋅⋅⋅+λn−rηn−r+1=0,由η1,η2,⋅⋅⋅,ηn−r+1线性无关知−(λ1+λ2+⋅⋅⋅+λn−r)=λ1=λ2=⋅⋅⋅=λn−r=0,矛盾.因此ξ1,ξ2,⋅⋅⋅,ξn−r线性无关.ξ1,ξ2,⋅⋅⋅,ξn−r为A x=b的一个基础解系.设x为A x=b的任意解,则x−η1为A x=0的解,故x−η1可由ξ1,ξ2,⋅⋅⋅,ξn−r线性表出,设x−η1=k2ξ1+k3ξ2+⋅⋅⋅+k n−r+1ξn−r=k2(η2−η1)+k3(η3−η1)+⋅⋅⋅+k n−r+1(ηn−r+1−η1),x=η1(1−k2−k3⋅⋅⋅−k n−r+1)+k2η2+k3η3+⋅⋅⋅+k n−r+1ηn−r+1.令k1=1−k2−k3⋅⋅⋅−k n−r+1,则k1+k2+k3⋅⋅⋅−k n−r+1=1,于是x=k1η1+k2η2+⋅⋅⋅+k n−r+1ηn−r+1.36.设V1={x=(x1,x2,⋅ ⋅ ⋅,x n)T|x1,⋅ ⋅ ⋅,x n∈R满足x1+x2+⋅ ⋅ ⋅ +x n=0}, V2={x=(x1,x2,⋅ ⋅ ⋅,x n)T|x1,⋅ ⋅ ⋅,x n∈R满足x1+x2+⋅ ⋅ ⋅ +x n=1},问V1,V2是不是向量空间？为什么？解V1是向量空间,因为任取α=(a1,a2,⋅ ⋅ ⋅,a n)T∈V1,β=(b1,b2,⋅ ⋅ ⋅,b n)T∈V1,λ∈∈R,有a1+a2+⋅ ⋅ ⋅ +a n=0,b1+b2+⋅ ⋅ ⋅ +b n=0,从而(a1+b1)+(a2+b2)+⋅ ⋅ ⋅ +(a n+b n)=(a1+a2+⋅ ⋅ ⋅ +a n)+(b1+b2+⋅ ⋅ ⋅ +b n)=0,λa1+λa2+⋅ ⋅ ⋅ +λa n=λ(a1+a2+⋅ ⋅ ⋅ +a n)=0,所以α+β=(a1+b1,a2+b2,⋅ ⋅ ⋅,a n+b n)T∈V1,λα=(λa1,λa2,⋅ ⋅ ⋅,λa n)T∈V1.V2不是向量空间,因为任取α=(a1,a2,⋅ ⋅ ⋅,a n)T∈V1,β=(b1,b2,⋅ ⋅ ⋅,b n)T∈V1,有a1+a2+⋅ ⋅ ⋅ +a n=1,b1+b2+⋅ ⋅ ⋅ +b n=1,从而(a1+b1)+(a2+b2)+⋅ ⋅ ⋅ +(a n+b n)=(a1+a2+⋅ ⋅ ⋅ +a n)+(b1+b2+⋅ ⋅ ⋅ +b n)=2,所以α+β=(a1+b1,a2+b2,⋅ ⋅ ⋅,a n+b n)T∉V1.37.试证:由a1=(0,1,1)T,a2=(1,0,1)T,a3=(1,1,0)T所生成的向量空间就是R 3.证明设A =(a 1,a 2,a 3),由,02011101110||≠−==A 知R (A )=3,故a 1,a 2,a 3线性无关,所以a 1,a 2,a 3是三维空间R 3的一组基,因此由a 1,a 2,a 3所生成的向量空间就是R 3.38.由a 1=(1,1,0,0)T ,a 2=(1,0,1,1)T 所生成的向量空间记作V 1,由b 1=(2,−1,3,3)T ,b 2=(0,1,−1,−1)T 所生成的向量空间记作V 2,试证V 1=V 2.证明设A =(a 1,a 2),B =(b 1,b 2).显然R (A )=R (B )=2,又由,⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−=0000000013100211 1310131011010211) ,(~r B A 知R (A ,B )=2,所以R (A )=R (B )=R (A ,B ),从而向量组a 1,a 2与向量组b 1,b 2等价.因为向量组a 1,a 2与向量组b 1,b 2等价,所以这两个向量组所生成的向量空间相同,即V 1=V 2.39.验证a 1=(1,−1,0)T ,a 2=(2,1,3)T ,a 3=(3,1,2)T 为R 3的一个基,并把v 1=(5,0,7)T ,v 2=(−9,−8,−13)T 用这个基线性表示.解设A =(a 1,a 2,a 3).由,06230111321|) , ,(|321≠−=−=a a a 知R (A )=3,故a 1,a 2,a 3线性无关,所以a 1,a 2,a 3为R 3的一个基.设x 1a 1+x 2a 2+x 3a 3=v 1,则,⎪⎩⎪⎨⎧=+=++−=++723053232321321x x x x x x x x 解之得x 1=2,x 2=3,x 3=−1,故线性表示为v 1=2a 1+3a 2−a 3.设x 1a 1+x 2a 2+x 3a 3=v 2,则,⎪⎩⎪⎨⎧−=+−=++−−=++1323893232321321x x x x x x x x 解之得x 1=3,x 2=−3,x 3=−2,故线性表示为v 2=3a 1−3a 2−2a 3.40.已知R 3的两个基为a 1=(1,1,1)T ,a 2=(1,0,−1)T ,a 3=(1,0,1)T ,b 1=(1,2,1)T ,b 2=(2,3,4)T ,b 3=(3,4,3)T .求由基a 1,a 2,a 3到基b 1,b 2,b 3的过渡矩阵P .解设e 1,e 2,e 3是三维单位坐标向量组,则,⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=111001111) , ,() , ,(321321e e e a a a,1321321111001111) , ,() , ,(−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=a a a e e e 于是⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=341432321) , ,() , ,(321321e e e b b b ,⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=−341432321111001111) , ,(1321a a a 由基a 1,a 2,a 3到基b 1,b 2,b 3的过渡矩阵为.⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=−1010104323414323211110011111P。

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