解析几何直线与圆练习题及答案
直线与圆练习题(附答案)
直线与圆一、填空题1.若函数1()ax f x e b=-的图象在x =0处的切线l 与圆C:221x y +=相离，则P(a ，b)与圆C 的位置关系是2.实数x 、y 满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥≥001y x y x ，则W=x y 1-的取值范围是_____________.3.已知x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤++≤+≥041c by ax y x x 且目标函数y x z +=2的最大值为7，最小值为１，则=++a c b a_____________.4.已知点A （3,2），B （-2,7），若直线y=ax-3与线段AB 的交点P 分有向线段AB 的比为4:1，则a 的值为5.设E 为平面上以 (4,1),(1,6),(3,2)A B C ---为顶点的三角形区域(包括边界 )，则Z ＝4x －3y 的最大值和最小值分别为_____________.6.实数y x z y x y x y x y x -=⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+-≤-+则满足条件,0,0,022,04,的最大值为_____________.7.由直线1y x =+上的点向圆22(3)(2)1x y -++= 引切线，则切线长的最小值为_____________. 8.圆()2211y x +=-被直线0x y -=分成两段圆弧，则较短弧长与较长弧长之比为_____________.9.设定点A （0，1），动点(),P x y 的坐标满足条件0,,x y x ≥⎧⎨≤⎩则PA 的最小值是_____________.10.直线2)1(0122=+-=++y x y x 与圆的位置关系是_____________.11.设实数y x ,满足线性约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥-≤+013y y x y x ，则目标函数y x z +=2的最大值为 _____________.12.直线()23--=x y 截圆422=+y x 所得的劣弧所对的圆心角为_____________.13.已知点()y x P ,在不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤-≤-0220102y x y x 表示的平面区域内运动，则y x z -=的取值范围是_____________. /的值是_____________.二、解答题：1.求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系．2. 圆9)3()3(22=-+-y x 上到直线01143=-+y x 的距离为1的点有几个？3.已知圆422=+y x O ：，求过点()42，P 与圆O 相切的切线．4.求半径为4，与圆042422=---+y x y x 相切，且和直线0=y 相切的圆的方程5. 已知圆0622=+-++m y x y x 与直线032=-+y x 相交于P 、Q 两点，O 为原点，且OQ OP ⊥，求实数m 的值．6. 两圆0111221=++++F y E x D y x C ：与0222222=++++F y E x D y x C ：相交于A 、B 两点，求它们的公共弦AB 所在直线的方程参考答案1．在圆内2.[－1,1)3.-24.-95.14 ， －186.47.8.1∶39.根号2/2 10.相切 11.612.π/3 13.[]2,1-14.2或-2设圆的标准方程为222)()(rb y a x =-+-．∵圆心在0=y 上，故0=b ． ∴圆的方程为222)(ry a x =+-．又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点．∴⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-22224)3(16)1(r a r a解之得：1-=a ，202=r ．所以所求圆的方程为20)1(22=++y x ．16.符合题意的点是平行于直线01143=-+y x ，且与之距离为1的直线和圆的交点．设所求直线为043=++m y x ，则1431122=++=m d ，∴511±=+m ，即6-=m ，或16-=m ，也即6431=-+y x l ：，或016432=-+y x l ：．设圆9)3()3(221=-+-y x O ：的圆心到直线1l 、2l 的距离为1d 、2d ，则 34363433221=+-⨯+⨯=d ，143163433222=+-⨯+⨯=d ．∴1l与1O 相切，与圆1O 有一个公共点；2l 与圆1O 相交，与圆1O 有两个公共点．即符合题意的点共3个．17.∵点()42，P 不在圆O 上，∴切线PT 的直线方程可设为()42+-=x k y根据r d =∴21422=++-kk解得43=k所以()4243+-=x y即 01043=+-y x因为过圆外一点作圆得切线应该有两条，可见另一条直线的斜率不存在．易求另一条切线为2=x ．4.则题意，设所求圆的方程为圆222)()(rb y a x C =-+-：．圆C 与直线0=y 相切，且半径为4，则圆心C 的坐标为)4,(1a C 或)4,(2-a C ．又已知圆42422=---+y x y x 的圆心A 的坐标为)1,2(，半径为3．若两圆相切，则734=+=CA 或134=-=CA ．(1)当)4,(1a C 时，2227)14()2(=-+-a ，或2221)14()2(=-+-a (无解)，故可得1022±=a ．∴所求圆方程为2224)4()1022(=-+--y x ，或2224)4()1022(=-++-y x ．(2)当)4,(2-a C 时，2227)14()2(=--+-a ，或2221)14()2(=--+-a (无解)，故622±=a ．∴所求圆的方程为2224)4()622(=++--y x ，或2224)4()622(=+++-y x5.由直线方程可得y x 23+=，代入圆的方程0622=+-++m y x y x ，有)2(9)6)(2(31222=++-+++y x m y x y x y x ，整理，得0)274()3(4)12(22=-+-++y m xy m x m ． 由于0≠x ，故可得12)3(4))(274(2=++-+-m x ym x y m ．∴OPk ，OQk 是上述方程两根．故1-=⋅OQ OP k k ．得127412-=-+m m ，解得3=m ．经检验可知3=m 为所求．6.设两圆1C 、2C 的任一交点坐标为),(00y x ，则有：101012020=++++F y E x D y x ① 0202022020=++++F y E x D y x ②①－②得：)()(21021021=-+-+-F F y E E x D D ．∵A 、B 的坐标满足方程0)()(212121=-+-+-F F y E E x D D ．∴方程)()(212121=-+-+-F F y E E x D D 是过A 、B 两点的直线方程．又过A 、B 两点的直线是唯一的． ∴两圆1C 、2C 的公共弦AB 所在直线的方程为)()(212121=-+-+-F F y E E x D D。
完整版)直线与圆综合练习题含答案
完整版)直线与圆综合练习题含答案直线与圆的方程训练题1.选择题:1.直线x=1的倾斜角和斜率分别是（）A。
45,1B。
不存在C。
不存在D。
-12.设直线ax+by+c=0的倾斜角为α，且sinα+cosα=√2/2，则a,b满足（）A。
a+b=1B。
a-b=1C。
a+b=√2D。
a-b=√23.过点P(-1,3)且垂直于直线x-2y+3=0的直线方程为（）A。
2x+y-1=0B。
2x+y-5=0C。
x+2y-5=0D。
x-2y+7=04.已知点A(1,2),B(3,1)，则线段AB的垂直平分线的方程是（）A。
4x+2y=5B。
4x-2y=5C。
x+2y=5D。
x-2y=55.直线xcosθ+ysinθ+a=0与xsinθ-ycosθ+b=0的位置关系是（）θ的值有关A。
平行B。
垂直C。
斜交D。
与a,b,θ的值有关6.两直线3x+y-3=0与6x+my+1=0平行，则它们之间的距离为（）A。
4B。
13√10C。
26√5D。
207.如果直线l沿x轴负方向平移3个单位再沿y轴正方向平移1个单位后，又回到原来的位置，那么直线l的斜率是（）A。
-1/3B。
-3C。
1D。
38.直线l与两直线y=1和x-y-7=0分别交于A,B两点，若线段AB的中点为M(1,-1)，则直线l的斜率为（）A。
2/3B。
-3/2C。
-2D。
-39.若动点P到点F(1,1)和直线3x+y-4=0的距离相等，则点P的轨迹方程为（）A。
3x+y-6=0B。
x-3y+2=0C。
x+3y-2=0D。
3x-y+2=010.若P(2,-1)为(x-1)+y^2=25圆的弦AB的中点，则直线AB的方程是（）A。
x-y-3=0B。
2x+y-3=0C。
x+y-1=0D。
2x-y-5=011.圆x^2+y^2-2x-2y+1=0上的点到直线x-y=2的距离最大值是（）A。
2B。
1+√2C。
1+2√2D。
1+2√512.在坐标平面内，与点A(1,2)距离为1，且与点B(3,1)距离为2的直线共有（）A。
直线与圆练习题(带答案解析)
..直线方程、直线与圆练习1．如果两条直线l 1:260ax y ++=与l 2:(1)30x a y +-+=平行，那么a 等 A ．1 B ．-1 C ．2 D ．23【答案】B 【解析】试题分析：两条直线平行需满足12211221A B A B A C A C =⎧⎨≠⎩即122112211A B A B a AC A C =⎧⇒=-⎨≠⎩，故选择B考点：两条直线位置关系2． 已知点A （1，1），B （3，3），则线段AB 的垂直平分线的方程是 A ．4y x =-+ B ．y x = C ．4y x =+ D ．y x =- 【答案】A 【解析】试题分析：由题意可得:AB 中点C 坐标为()2,2，且31131AB k -==-，所以线段AB 的垂直平分线的斜率为-1，所以直线方程为：()244y x y x -=--⇒=-+，故选择A考点：求直线方程3．如图，定圆半径为a ，圆心为(,)b c ，则直线0ax by c ++=与直线10x y +-=的交点在A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】D 【解析】试题分析：由图形可知0b a c >>>，由010ax by c x y ++=⎧⎨+-=⎩得0b c x b a a c y b a +⎧=>⎪⎪-⎨--⎪=<⎪-⎩所以交点在第四象限考点：圆的方程及直线的交点4．若点(,0)k 与(,0)b 的中点为(1,0)-，则直线y kx b =+必定经过点 A ．(1,2)- B ．(1,2) C ．(1,2)- D ．(1,2)-- 【答案】A 【解析】试卷第2页，总48页试题分析：由中点坐标公式可得2k b +=-，所以直线y kx b =+化为()212y kx k k x y =--∴-=+，令10,201,2x y x y -=+=∴==-，定点(1,2)-考点：1．中点坐标公式；2．直线方程5．过点(1,3)P -且平行于直线032=+-y x 的直线方程为（ ） A ．012=-+y x B ．052=-+y x C ．052=-+y x D ．072=+-y x【答案】D 【解析】试题分析：设直线方程：02=+-c y x ，将点(1,3)P -代入方程，06-1-=+c ，解得7=c ，所以方程是072=+-y x ，故选D ． 考点：直线方程 6．设(),P x y 是曲线2cos :sin x C y θθ=-+⎧⎨=⎩（θ为参数,02θπ≤<）上任意一点，则y x 的取值范围是（）A ．3,3⎡⎤-⎣⎦B ．(),33,⎤⎡-∞-⋃+∞⎦⎣C ．33,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D ．33,,33⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭【答案】C 【解析】试题分析：曲线2cos :sin x C y θθ=-+⎧⎨=⎩（θ为参数,02θπ≤<）的普通方程为：()()2221,,x y P x y ++=是曲线()22:21C x y ++=上任意一点，则yx 的几何意义就是圆上的点与坐标原点连线的斜率， 如图：33,33y x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦．故选C ．考点：1.直线与圆的位置关系；2.直线的斜率；3.圆的参数方程．7．设点(1,0)A ，(2,1)B ，如果直线1ax by +=与线段AB 有一个公共点，那么22a b +..（A ）最小值为15 （B ）最小值为55 （C ）最大值为15 （D ）最大值为55【答案】A【解析】试题分析：直线ax+by=1与线段AB 有一个公共点，则点A(1，0)B(2，1)应分布在直线ax+by-1=0两侧，将(1，0)与(2，1)代入，则(a-1)(2a+b-1)≤0，以a 为横坐标，b 为纵坐标画出区域如下图：则原点到区域内点的最近距离为OA ，即原点到直线2a+b-1=0的距离，OA=55，22a b +表示原点到区域内点的距离的平方，∴22a b +的最小值为15，故选A.考点：线性规划.8．点()11-，到直线10x y -+=的距离是（ ）． A ．21 B ．23 C ．22D ．223【答案】D【解析】试题分析：根据点到直线的距离公式，()221(1)132211d --+==+-，故选D 。
(完整版)直线与圆综合练习题含答案
直线与圆的方程训练题一、选择题:1．直线1x =的倾斜角和斜率分别是（ ）A ．B ．C ． ，不存在D ． ，不存在 2．设直线0ax by c ++=的倾斜角为α，且sin cos 0αα+=，则,a b 满足（ ） A ．1=+b aB ．1=-b aC ．0=+b aD ．0=-b a3．过点(1,3)P -且垂直于直线032=+-y x 的直线方程为（ ）A ．012=-+y xB ．052=-+y xC ．052=-+y xD ．072=+-y x 4．已知点(1,2),(3,1)A B ，则线段AB 的垂直平分线的方程是（ ） A ．524=+y x B ．524=-y x C ．52=+y x D ．52=-y x 5．直线cos sin 0x y a θθ++=与sin cos 0x y b θθ-+=的位置关系是（ ）A ．平行B ．垂直C ．斜交D ．与的值有关 6．两直线330x y +-=与610x my ++=平行，则它们之间的距离为（ ）A ．4 BCD7．如果直线l 沿x 轴负方向平移3个单位再沿y 轴正方向平移1个单位后，又回到原来的位置，那么直线l 的斜率是（ ）A ．-13B ．3-C ．13D ．38．直线l 与两直线1y =和70x y --=分别交于,A B 两点，若线段AB 的中点为(1,1)M -，则直线l 的斜率为（ ）A ．23 B ．32 C ．32- D ． 23-9．若动点P 到点(1,1)F 和直线340x y +-=的距离相等，则点P 的轨迹方程为（ ） A ．360x y +-= B ．320x y -+= C ．320x y +-= D ．320x y -+=10．若 为 圆的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是（ ）A. 03=--y xB. 032=-+y xC. 01=-+y x D . 052=--y x11．圆012222=+--+y x y x 上的点到直线2=-y x 的距离最大值是（ ） A ．2 B ．21+ C ．221+D ．221+ 12．在坐标平面内，与点(1,2)A 距离为1，且与点(3,1)B 距离为2的直线共有（ ）0135,1-045,10900180,,a b θ(2,1)P -22(1)25x y -+=A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条 13．圆0422=-+x y x 在点)3,1(P 处的切线方程为（ ）A ．023=-+y xB ．043=-+y xC ．043=+-y xD ．023=+-y x14．直线032=--y x 与圆9)3()2(22=++-y x 交于,E F 两点，则∆EOF （O 是原点）的面积为（ ） Ａ．23 Ｂ．43Ｃ．52 Ｄ．55615．已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线0443=++y x 与圆C 相切，则圆C 的方程为（ ）A ．03222=--+x y x B ．0422=++x y xC ．03222=-++x y xD ．0422=-+x y x16．若过定点)0,1(-M 且斜率为k 的直线与圆05422=-++y x x 在第一象限内的部分有交点，则k 的取值范围是（ ）A. 50<<k B. 05<<-k C. 130<<k D. 50<<k 17．圆：06422=+-+y x y x 和圆：0622=-+x y x 交于,A B 两点，则AB 的垂直平分线的方程是（ ） A.30x y ++= B ．250x y --= C ．390x y --= D ．4370x y -+=18．入射光线在直线1:23l x y -=上，经过x 轴反射到直线2l 上，再经过y 轴反射到直线3l 上，若点P是1l 上某一点，则点P 到3l 的距离为（ ）A ．6 B ．3 C D 二、填空题:19．已知直线,32:1+=x y l 若2l 与1l 关于y 轴对称，则2l 的方程为__________; 若3l 与1l 关于x 轴对称，则3l 的方程为_________; 若4l 与1l 关于x y =对称，则4l 的方程为___________;20．点(,)P x y 在直线40x y +-=上，则22x y +的最小值是________________.21．直线l 过原点且平分ABCD 的面积，若平行四边形的两个顶点为(1,4),(5,0)B D ，则直线l 的方程为________________。
解析几何练习题
解析几何练习题一、直线方程与性质1. 已知两点A(2,3)和B(5,1)，求直线AB的方程。
2. 已知直线l经过点P(1,2)，且斜率为3，求直线l的方程。
3. 设直线y = 2x + 1与直线y = x + 3相交于点A，求点A的坐标。
4. 已知直线l：3x + 4y + 6 = 0，求直线l在x轴和y轴上的截距。
5. 判断下列直线是否平行：y = 2x + 3 和 y = 2x 1。
二、圆的方程与性质1. 已知圆心在原点，半径为5，求圆的方程。
2. 已知圆的方程为(x 2)² +(y + 3)² = 16，求圆的半径和圆心坐标。
3. 求过点A(1,2)、B(3,4)和C(5,6)的圆的方程。
4. 已知圆C：x² + y² = 25，直线l：2x y + 3 = 0，判断直线l与圆C的位置关系。
5. 求圆x² + y² + 2x 4y 20 = 0 的圆心和半径。
三、点、线、圆的综合问题1. 已知直线l：2x + 3y 1 = 0，求直线l上到点P(1,2)距离最短的点的坐标。
2. 已知圆C：(x 3)² + (y + 2)² = 16，直线l：x + y 4 = 0，求直线l与圆C的交点。
3. 设点A(2,3)关于直线y = x的对称点为B，求点B的坐标。
4. 已知直线l：3x 4y + 7 = 0，圆C：(x 1)² + (y + 2)² = 9，求直线l与圆C的公共点。
5. 求直线y = 2x + 1与圆x² + y² = 25的交点。
四、解析几何在实际问题中的应用1. 已知某工厂的原料存放点A(2,3)和产品存放点B(5,1)，求从A 到B的最短路线。
2. 在平面直角坐标系中，有一块长方形土地，其四个角分别为A(0,0)、B(4,0)、C(4,3)和D(0,3)，求该土地的对角线长度。
高中数学直线与圆精选题目(附答案)
高中数学直线与圆精选题目（附答案）一、两直线的位置关系1．求直线斜率的基本方法(1)定义法：已知直线的倾斜角为α，且α≠90°，则斜率k ＝tan α. (2)公式法：已知直线过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，且x 1≠x 2，则斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1.2．判断两直线平行的方法(1)若不重合的直线l 1与l 2的斜率都存在，且分别为k 1，k 2，则k 1＝k 2⇔l 1∥l 2.(2)若不重合的直线l 1与l 2的斜率都不存在，其倾斜角都为90°，则l 1∥l 2. 3．判断两直线垂直的方法(1)若直线l 1与l 2的斜率都存在，且分别为k 1，k 2，则k 1·k 2＝－1⇔l 1⊥l 2. (2)已知直线l 1与l 2，若其中一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0，则l 1⊥l 2.1.已知两条直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，求满足下列条件的a ，b 的值．(1)l 1⊥l 2且l 1过点(－3，－1)；(2)l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等． [解] (1)∵l 1⊥l 2， ∴a (a －1)－b ＝0，① 又l 1过点(－3，－1)， ∴－3a ＋b ＋4＝0.②解①②组成的方程组得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝2.(2)∵l 2的斜率存在，l 1∥l 2， ∴直线l 1的斜率存在． ∴k 1＝k 2，即ab ＝1－a .③又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，l 1∥l 2， ∴l 1，l 2在y 轴上的截距互为相反数，即4b ＝－(－b )．④由③④联立，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，b ＝2.经检验此时的l 1与l 2不重合，故所求值为 ⎩⎨⎧a ＝2，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23 ，b ＝2.注：已知两直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(1)对于l 1∥l 2的问题，先由A 1B 2－A 2B 1＝0解出其中的字母值，然后代回原方程检验这时的l 1和l 2是否重合，若重合，舍去．(2)对于l 1⊥l 2的问题，由A 1A 2＋B 1B 2＝0解出字母的值即可． 2．直线ax ＋2y －1＝0与直线2x －3y －1＝0垂直，则a 的值为( ) A ．－3 B ．－43 C ．2D ．3解析：选D 由2a －6＝0得a ＝3.故选D.3．已知直线x ＋2ay －1＝0与直线(a －1)x ＋ay ＋1＝0平行，则a 的值为( ) A.32 B.32或0 C ．0D ．－2解析：选A 当a ＝0时，两直线的方程化为x ＝1和x ＝1，显然重合，不符合题意；当a ≠0时，a －11＝a 2a ，解得a ＝32.故选A.二、直线方程1．直线方程的五种形式2．常见的直线系方程(1)经过两条直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0交点的直线系方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0，其中λ是待定系数．在这个方程中，无论λ取什么实数，都不能得到A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，因此它不能表示直线l 2.(2)平行直线系方程：与直线Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)平行的直线系方程是Ax ＋By ＋λ＝0(λ≠C )．(3)垂直直线系方程：与直线Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)垂直的直线系方程是Bx －Ay ＋λ＝0.4.过点A (3，－1)作直线l 交x 轴于点B ，交直线l 1：y ＝2x 于点C ，若|BC |＝2|AB |，求直线l 的方程．[解] 当直线l 的斜率不存在时，直线l ：x ＝3， ∴B (3,0)，C (3,6)．此时|BC |＝6，|AB |＝1，|BC |≠2|AB |， ∴直线l 的斜率存在．设直线l 的方程为y ＋1＝k (x －3)， 显然k ≠0且k ≠2. 令y ＝0，得x ＝3＋1k ， ∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋1k ，0，由⎩⎨⎧y ＝2x ，y ＋1＝k (x －3)，得点C 的横坐标x C ＝3k ＋1k －2.∵|BC |＝2|AB |，∴|x B －x C |＝2|x A －x B |，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪3k ＋1k －2－1k －3＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪1k ， ∴3k ＋1k －2－1k －3＝2k 或3k ＋1k －2－1k －3＝－2k ， 解得k ＝－32或k ＝14.∴所求直线l 的方程为3x ＋2y －7＝0或x －4y －7＝0. 注：求直线方程时，要根据给定条件，选择恰当的方程，常用以下两种方法求解：(1)直接法：直接选取适当的直线方程的形式，写出结果；(2)待定系数法：先以直线满足的某个条件为基础设出直线方程，再由直线满足的另一个条件求出待定系数，从而求得方程．5．已知直线l 1：3x －2y －1＝0和l 2：3x －2y －13＝0，直线l 与l 1，l 2的距离分别是d 1，d 2，若d 1∶d 2＝2∶1，求直线l 的方程．解：由直线l 1，l 2的方程知l 1∥l 2，又由题意知，直线l 与l 1，l 2均平行(否则d 1＝0或d 2＝0，不符合题意)．设直线l ：3x －2y ＋m ＝0(m ≠－1且m ≠－13)，由两平行直线间的距离公式，得d 1＝|m ＋1|13，d 2＝|m ＋13|13，又d 1∶d 2＝2∶1，所以|m ＋1|＝2|m ＋13|，解得m ＝－25或m ＝－9.故所求直线l 的方程为3x －2y －25＝0或3x －2y －9＝0. 6．已知直线l ：3x －y ＋3＝0，求： (1)点P (4,5)关于l 的对称点；(2)直线x －y －2＝0关于直线l 对称的直线方程．解：设P (x ，y )关于直线l ：3x －y ＋3＝0的对称点为P ′(x ′，y ′)． ∵k PP ′·k l ＝－1，即y ′－yx ′－x×3＝－1.① 又PP ′的中点在直线3x －y ＋3＝0上， ∴3×x ′＋x 2－y ′＋y2＋3＝0.②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝－4x ＋3y －95， ③y ′＝3x ＋4y ＋35. ④(1)把x ＝4，y ＝5代入③④得x ′＝－2，y ′＝7， ∴P (4,5)关于直线l 的对称点P ′的坐标为(－2,7)．(2)用③④分别代换x －y －2＝0中的x ，y ，得关于l 的对称直线方程为－4x ＋3y －95－3x ＋4y ＋35－2＝0， 化简得7x ＋y ＋22＝0.三、圆的方程(1)圆的标准方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2 (2)圆的一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(3)若圆经过两已知圆的交点或一已知圆与一已知直线的交点，求圆的方程时可用相应的圆系方程加以求解：①过两圆C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0，C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0交点的圆系方程为x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＋λ(x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2)＝0(λ为参数，λ≠－1)，该方程不包括圆C 2；②过圆C ：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0与直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0交点的圆系方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＋λ(Ax ＋By ＋C )＝0(λ为参数，λ∈R)．7.在平面直角坐标系中，已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为A (－3,0)，B (2,0)，C (0，－4)，经过这三个点的圆记为M .(1)求BC 边的中线AD 所在直线的一般式方程； (2)求圆M 的方程．[解] (1)法一：由B (2,0)，C (0，－4)，知BC 的中点D 的坐标为(1，－2)． 又A (－3,0)，所以直线AD 的方程为y －0－2－0＝x ＋31＋3，即中线AD 所在直线的一般式方程为x ＋2y ＋3＝0. 法二：由题意，得|AB |＝|AC |＝5， 则△ABC 是等腰三角形， 所以AD ⊥BC .因为直线BC 的斜率k BC ＝2， 所以直线AD 的斜率k AD ＝－12，由直线的点斜式方程，得y －0＝－12(x ＋3)， 所以直线AD 的一般式方程为x ＋2y ＋3＝0. (2)设圆M 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.将A (－3,0)，B (2,0)，C (0，－4)三点的坐标分别代入方程，得⎩⎨⎧9－3D ＋F ＝0，4＋2D ＋F ＝0，16－4E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝1，E ＝52，F ＝－6.所以圆M 的方程是x 2＋y 2＋x ＋52y －6＝0. 注：利用待定系数法求圆的方程(1)若已知条件与圆的圆心和半径有关，可设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a ，b ，r 的方程组，从而求出a ，b ，r 的值．(2)若已知条件没有明确给出圆的圆心或半径，可选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D ，E ，F 的方程组，从而求出D ，E ，F 的值．8．以线段AB ：x ＋y －2＝0(0≤x ≤2)为直径的圆的方程为( ) A ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2 B ．(x －1)2＋(y －1)2＝2 C ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝8 D ．(x －1)2＋(y －1)2＝8解析：选B 直径的两端点分别为(0,2)，(2,0)，∴圆心为(1,1)，半径为2，故圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2.9．已知圆C 经过点A (2，－3)，B (－2，－5)，且圆心在直线l ：x －2y －3＝0上，求圆C 的方程．解：设圆C 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.由题意，得⎩⎨⎧(2－a )2＋(－3－b )2＝r 2，(－2－a )2＋(－5－b )2＝r 2，a －2b －3＝0，解得⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝－2，r 2＝10.所以圆C 的方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10.10．求以圆C 1：x 2＋y 2－12x －2y －13＝0和圆C 2：x 2＋y 2＋12x ＋16y －25＝0的公共弦为直径的圆C 的方程．解：联立两圆的方程得方程组 ⎩⎨⎧x 2＋y 2－12x －2y －13＝0，x 2＋y 2＋12x ＋16y －25＝0，相减得公共弦所在直线的方程为4x ＋3y －2＝0.再由⎩⎨⎧4x ＋3y －2＝0，x 2＋y 2－12x －2y －13＝0解得两圆交点坐标为(－1,2)，(5，－6)．∵所求圆以公共弦为直径，∴圆心C 是公共弦的中点(2，－2)，半径长为12 (5＋1)2＋(－6－2)2＝5.∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝25.四、直线与圆的位置关系1．直线与圆位置关系的判断方法(1)几何法：设圆心到直线的距离为d ，圆的半径长为r .若d <r ，则直线和圆相交；若d ＝r ，则直线和圆相切；若d >r ，则直线和圆相离．(2)代数法：联立直线方程与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，其判别式为Δ.Δ＝0⇔直线与圆相切；Δ>0⇔直线与圆相交；Δ<0⇔直线与圆相离．2．过圆外一点(x 0，y 0)与圆相切的切线方程的求法①当切线斜率存在时，设切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，化成一般式kx －y ＋y 0－kx 0＝0，利用圆心到直线的距离等于半径长，解出k ；②当切线斜率存在时，设切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，与圆的方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2联立，化为关于x 的一元二次方程，利用判别式为0，求出k .当切线斜率不存在时，可通过数形结合思想，在平面直角坐标系中作出其图象，求出切线的方程．3．圆中弦长的求法(1)直接求出直线与圆或圆与圆的交点坐标，再利用两点间的距离公式求解． (2)利用圆的弦长公式l ＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2(其中x 1，x 2为两交点的横坐标)．(3)利用垂径定理：分别以圆心到直线的距离d 、圆的半径r 与弦长的一半l 2为线段长的三条线段构成直角三角形，故有l ＝2r 2－d 2.4．圆与圆的位置关系：(1)利用圆心间距离与两半径和与差的大小关系判断两圆的位置关系． (2)若圆C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0相交．则两圆方程相减后得到的新方程：(D 1－D 2)x ＋(E 1－E 2)y ＋(F 1－F 2)＝0表示的是两圆公共弦所在直线的方程．11.(1)直线x ＋y －2＝0与圆(x －1)2＋(y －2)2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |＝( )A.22B.32C. 3D. 2(2)若直线x －my ＋1＝0与圆x 2＋y 2－2x ＝0相切，则m 的值为( ) A ．1 B ．±1 C ．±3D. 3(3)已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝4，直线l 过定点A (1,0)． ①若l 与圆C 相切，求l 的方程；②若l 与圆C 相交于P ，Q 两点，且|PQ |＝22，求此时直线l 的方程． [解析] (1)∵圆心(1,2)到直线x ＋y －2＝0的距离d ＝22，∴|AB |＝212－⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝2，故选D.(2)由x 2＋y 2－2x ＝0，得圆心坐标为(1,0)，半径为1，因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即|1－0＋1|1＋m2＝1，解得m ＝±3. 答案：(1)D (2)C(3)解：①若直线l的斜率不存在，则直线l：x＝1，符合题意．若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0.由题意知，圆心(3,4)到直线l的距离等于2，即|3k－4－k|k2＋1＝2，解得k＝34，此时直线l的方程为3x－4y－3＝0.综上可得，所求直线l的方程是x＝1或3x－4y－3＝0.②由直线l与圆C相交可知，直线l的斜率必定存在，且不为0，设直线l的方程为k0x－y－k0＝0，圆心(3,4)到直线l的距离为d，因为|PQ|＝24－d2＝22，所以d＝2，即|3k0－4－k0|k20＋1＝2，解得k0＝1或k0＝7，所以所求直线l的方程为x－y－1＝0或7x－y－7＝0.注：研究直线与圆位置关系综合问题时易忽视直线斜率k不存在情形，要注意作出图形进行判断．12．由直线y＝x＋1上的一点向圆x2－6x＋y2＋8＝0引切线，则切线长的最小值为()A．1 B．2 2C.7 D．3解析：选C切线长的最小值在直线y＝x＋1上的点与圆心距离最小时取得，圆心(3,0)到直线的距离为d＝|3－0＋1|2＝22，圆的半径为1，故切线长的最小值为d2－r2＝8－1＝7.13．P是直线l：3x－4y＋11＝0上的动点，P A，PB是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，C是圆心，那么四边形P ACB面积的最小值是()A. 2 B．2 2C. 3 D．2 3解析：选C圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心C(1,1)，半径r＝1.根据对称性可知四边形P ACB的面积等于2S△APC ＝2×12×|P A|×r＝|P A|＝|PC |2－r 2＝|PC |2－1.要使四边形P ACB 的面积最小，则只需|PC |最小，最小值为圆心C 到直线l ：3x －4y ＋11＝0的距离d ＝|3－4＋11|32＋42＝105＝2，所以四边形P ACB面积的最小值为4－1＝ 3.14．已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0.问是否存在斜率为1的直线l ，使l 被圆C 截得的弦AB 满足：以AB 为直径的圆经过原点．解：假设存在且设l ：y ＝x ＋m ，圆C 化为(x －1)2＋(y ＋2)2＝9，圆心C (1，－2)，则过圆心C 垂直弦AB 的直线为y ＋2＝－x ＋1，解方程组⎩⎨⎧y ＝x ＋m ，y ＋2＝－x ＋1得AB 的中点N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－m ＋12，m －12，由于以AB 为直径的圆过原点，所以|AN |＝|ON |. 又|AN |＝|CA |2－|CN |2＝ 9－2×⎝⎛⎭⎪⎫m ＋322， |ON |＝⎝⎛⎭⎪⎫－m ＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m －122.所以9－2×⎝⎛⎭⎪⎫3＋m 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－m ＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m －122， 解得m ＝1或m ＝－4.所以存在直线l ，其方程为x －y ＋1＝0和x －y －4＝0，并可以检验，这时l 与圆是相交于两点的．。
二轮复习解析几何第1讲 直线与圆
解析几何第1讲直线与圆一、单项选择题1．直线l经过两条直线x－y＋1＝0和2x＋3y＋2＝0的交点，且平行于直线x－2y＋4＝0，则直线l的方程为()A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0C．2x－y＋2＝0 D．2x＋y－2＝02．(2022·福州)已知A(－3，0)，B(3，0)，C(0,3)，则△ABC外接圆的方程为() A．(x－1)2＋y2＝2B．(x－1)2＋y2＝4C．x2＋(y－1)2＝2D．x2＋(y－1)2＝43．(2022·新高考全国Ⅱ)图1是中国古代建筑中的举架结构，AA′，BB′，CC′，DD′是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图，其中DD1，CC1，BB1，AA1是举，OD1，DC1，CB1，BA1是相等的步，相邻桁的举步之比分别为DD1OD1＝0.5，CC1DC1＝k1，BB1CB1＝k2，AA1BA1＝k3.已知k1，k2，k3成公差为0.1的等差数列，且直线OA的斜率为0.725，则k3等于()A．0.75 B．0.8C．0.85 D．0.94．过圆C：(x－1)2＋y2＝1外一点P作圆C的两条切线P A，PB，切点分别为A，B，若P A⊥PB，则点P到直线l：x＋y－5＝0的距离的最小值为()A．1 B. 2C．2 2 D．3 25．与直线x－y－4＝0和圆(x＋1)2＋(y－1)2＝2都相切的半径最小的圆的方程是() A．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4C．(x－1)2＋(y＋1)2＝2D ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝46．已知圆O ：x 2＋y 2＝94，圆M ：(x －a )2＋(y －1)2＝1，若圆M 上存在点P ，过点P 作圆O 的两条切线，切点分别为A ，B ，使得∠APB ＝π3，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－15，15]B ．[－3，3]C ．[3，15]D ．[－15，－3]∪[3，15]7．已知圆C 1：(x ＋6)2＋(y －5)2＝4，圆C 2：(x －2)2＋(y －1)2＝1，M ，N 分别为圆C 1和C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM |＋|PN |的取值范围是( )A ．[6，＋∞)B ．[7，＋∞)C ．[10，＋∞)D ．[15，＋∞)8．(2022·菏泽质检)瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上．这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．在平面直角坐标系中作△ABC ，|AB |＝|AC |，点B (－1,1)，点C (3,5)，过其“欧拉线”上一点Р作圆O ：x 2＋y 2＝4的两条切线，切点分别为M ，N ，则|MN |的最小值为( ) A. 2B ．2 2 C. 3D ．2 3二、多项选择题9．已知直线l 过点(3,4)，点A (－2,2)，B (4，－2)到l 的距离相等，则l 的方程可能是( )A ．x －2y ＋2＝0B ．2x －y －2＝0C ．2x ＋3y －18＝0D ．2x －3y ＋6＝010．在平面直角坐标系中，圆C 的方程为x 2＋y 2－4x ＝0.若直线y ＝k (x ＋1)上存在一点P ，使过点P 所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k 的可能取值是( )A ．1B ．2C ．3D ．411．(2022·南通)已知P 是圆O ：x 2＋y 2＝4上的动点，直线l 1：x cos θ＋y sin θ＝4与l 2：x sin θ－y cos θ＝1交于点Q ，则( )A ．l 1⊥l 2B ．直线l 1与圆O 相切C ．直线l 2与圆O 截得弦长为2 3D ．|PQ |长的最大值为17＋212．(2022·龙岩质检)已知点P (x 0，y 0)是直线l ：x ＋y ＝4上的一点，过点P 作圆O ：x 2＋y 2＝2的两条切线，切点分别为A ，B ，连接OA ，OB ，则( )A ．当四边形OAPB 为正方形时，点P 的坐标为(2,2)B ．|P A |的取值范围为[6，＋∞)C ．当△P AB 为等边三角形时，点P 的坐标为(1,3)D ．直线AB 过定点⎝⎛⎭⎫12，12三、填空题13．与直线2x －y ＋1＝0关于x 轴对称的直线的方程为__________________．14．过点P (2,2)的直线l 与圆(x －1)2＋y 2＝1相切，则直线l 的方程为____________________．15．(2022·杭州模拟)在平面直角坐标系中，已知第一象限内的点A 在直线l ：y ＝2x 上，B (5,0)，以AB 为直径的圆C 与直线l 的另一个交点为D .若AB ⊥CD ，则圆C 的半径等于________．16．若抛物线y ＝x 2＋ax ＋b 与坐标轴分别交于三个不同的点A ，B ，C ，则△ABC 的外接圆恒过的定点坐标为________．。
解析几何中韦达定理初学(直线与圆,含基础+重点+难点)(教师版)25学年高二数学期中(人教选修一)
特训05 解析几何中韦达定理初学（直线与圆，含基础+重点+难点）一、解答题1．已知点32,2P æöç÷èø，圆C ：226210x y x y +--+=．(1)求圆C 过点P 的最短弦所在的直线方程；(2)若圆C 与直线0x y a -+=相交于A ，B 两点，O 为原点，且OA OB ^，求a 的值．2．已知直线l ：4x ＋3y ＋10＝0，半径为2的圆C 与l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 的右上方．(1)求圆C 的方程．(2)过点M （1，0）的直线与圆C 交于A ，B 两点（A 在x 轴上方），问在x 轴正半轴上是否存在定点N ，使得x 轴平分∠ANB ？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)x 2＋y 2＝4.(2)存在，（4，0）【解析】解：（1） 设圆心C （a ，0）（a ＞－），则＝2，解得a ＝0或a ＝－5（舍去）.所以圆C 的方程为x 2＋y 2＝4.（2） 当直线AB ⊥x 轴时，x 轴平分∠ANB ，此时N 可以为x 轴上任意一点．当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝k （x －1）（k ≠0），点N （t ，0），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由得（k 2＋1）x 2－2k 2x ＋k 2－4＝0，经检验Δ＞0，所以x 1＋x 2＝，x 1x 2＝.若x 轴平分∠ANB ，则kAN＝－kBN ，即＋＝0，则＋＝0，即2x 1x 2－（t ＋1）（x 1＋x 2）＋2t ＝0，即－＋2t ＝0，解得t ＝4，所以当点N 坐标为（4，0）时，能使得∠ANM ＝∠BNM 总成立．【考查意图】与圆有关的定点问题．3．已知圆C ：()2215x y +-=，直线l ：10mx y m -+-=与圆C 交于两点A ，B ．(1)若AB =m 的值；(2)若点P 为直线l 所过定点，且2PB AP =，求直线l 的方程．【答案】(1)1m =±(2)0x y -=或20x y +-=【分析】（1）根据点到直线的距离公式，结合圆的弦长公式即可求解，（2）Q 直线l 的方程：mx \直线l 过定点()1,1P ，且设，，uuu r 4．已知圆2212200x y x +-+=，过点()4,2M 的直线与圆交于,A B 两点，线段AB 的中点为N .(1)若点N 的坐标为()4,0，求AB ；(2)若线段MN 的垂直平分线经过点()2,0P ，求直线AB 的方程.当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为联立()222412200y k x x y x ì-=-í+-+=î，得()21k x +225．在平面直角坐标系中，直线0x y ++=与圆C 相切，圆心C 的坐标为(1,1)-.(1)求圆C 的方程；(2)设直线y x m =+与圆C 交于,M N 两点，且OM ON ^，求m 的值.6．已知动点E 与两定点()44,,5,555A B æöç÷èø的距离之比为25(1)求动点E 的轨迹C 的方程；(2)过点()2,2P 作两条直线分别与轨迹C 相交于,M N 两点，若直线PM 与PN 的斜率之积为1，试问线段MN 的中点是否在定直线上，若在定直线上，请求出直线的方程；若不在定直线上，请说明理由.7．圆C ：()2210x a x y ay a -++-+=．(1)若圆C 与y 轴相切，求圆C 的方程；(2)已知1a >，圆C 与x 轴相交于两点M 、N （点M 在点N 的左侧）．过点M 任作一条直线与圆O ：229x y +=相交于两点A 、B 问：是否存在实数a ，使得ANM BNM Ð=Ð？若存在，请说明理由．【答案】(1)220x y x +-=或225440x y x y +--+=．(2)存在，理由见解析.8．已知圆M经过((()(),,4,0,A B C D --中的三点，且半径最大.(1)求圆M 的方程；(2)过点()2,0E 的直线与圆M 交于,P Q 两点（P 在x 轴上方），在x 轴上是否存在定点N ，使得x 轴平分PNQ Ð若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由.【点睛】关键点睛：本题的关键是利用圆的几何性质确定圆，由成立.9．已知圆C ：()2241x y ++=和点()1,0A ，P 为圆C 外一点，直线PQ 与圆C 相切于点Q ，=PQ .(1)求点P 的轨迹方程；(2)记（1）中的点P 的轨迹为T ，是否存在斜率为1-的直线l ，使以l 被曲线T 截得得弦MN 为直径得圆过点()2,0B -？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.（2）设直线l 方程为y =-联立方程()22649y x t x y =-+ìïí-+=ïî【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用直径所对圆周角为直角、一元二次方程根与系数关系进行求解10．已知圆C ：()()22231x y -+-=与圆C ¢：()2215x y +-=.(1)求C 与C ¢相交所得公共弦长；(2)若过点()0,1A 且斜率为k 的直线l 与圆C 交于P ，Q 两点，其中O 为坐标原点，且12OP OQ ×=uuu r uuu r，求.PQ uuu r11．已知圆C的圆心在x轴上，且过(-．(1)求圆C的方程；P-的直线与圆C交于,E F两点（点E位于x轴上方），在x轴上是否存在点A，使得当直线变(2)过点(1,0)Ð=Ð？若存在，求出点A的坐标；若不存在，请说明理由．化时，均有PAE PAF12．已知圆A ：22(2)25x y ++=，A 为圆心，动直线l 过点(2,0)P ，且与圆A 交于B ，C 两点，记弦BC 的中点Q 的轨迹为曲线E .(1)求曲线E 的方程；(2)过A 作两条斜率分别为1k ，2k 的直线，交曲线E 于M ，N 两点，且123k k =-，求证：直线MN 过定点．所以AQ BC ^，即AQ PQ ^所以点Q 的轨迹为以AP 为直径的圆，所以曲线（2）当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为y kx =+代入224x y +=，得22(1)k x +设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则x 则0D >，12221kt x x k +=-+，y y kx t +与曲线E 的方程联立，可得故直线MN 的方程为=1x -，恒过点综上，直线MN 过定点(1,0)-13．已知圆()22:1C x a y -+=与直线1y x --=交于M 、N 两点，点P 为线段MN 的中点，O 为坐标原点，直线OP 的斜率为13-.△的面积；(1)求a的值及MON(2)若圆C与x轴交于,A B两点，点Q是圆C上异于,A B的任意一点，直线QA、QB分别交:4l x=-于,R S 两点.当点Q变化时，以RS为直径的圆是否过圆C内的一定点，若过定点，请求出定点；若不过定点，请说明理由.14．已知圆2216260C x y x y ++-+=:和圆2222:810410C x y x y r +--+-=(0)r >.(1)若圆1C 与圆2C 相交，求r 的取值范围；(2)若直线:1l y kx =+与圆1C 交于P ，Q 两点，且4OP OQ =×uuu r uuu r，求实数k 的值；(3)若2r =，设P 为平面上的点，且满足：存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线1l 和2l ，它们分别与圆1C 和圆2C 相交，且直线1l 被圆1C 截得的弦长与直线2l 被圆2C 截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P 的坐标.设点P 坐标为(,)m n ，直线1l 、即：0kx y n km -+-=，1xk --因为直线1l 被圆1C 截得的弦长与直线15．已知动点(,)P x y 与两定点(1,0)A -，(2,0)B 的距离的比为12.(1)求动点P 的轨迹方程并说明是什么图形；(2)过点B 作直线l ，l 与点P 的轨迹C 相交于M 、N 两点，已知(2,0)Q -，若MNQ S =V l 的方程.16．如图，已知圆C 与y 轴相切于点()02T ，，与x 轴的正半轴交于M ，(N 点M 在点N 的左侧两点，且3MN =．(1)求圆C 的方程；(2)过点M 任作一直线与圆O ：224x y +=相交于A ，B 两点，连结AN ，BN ，试探究：直线AN 与直线BN 的斜率的和AN BN k k +是否为定值？17．已知点A ，B 是圆221:(2)(2)1C x y -+-=上的动点，且1120AC B Ð=°，直线PA ，PB 为圆1C 的切线，当点A ，B 变动时，点P 的轨迹为曲线2C ．(1)求曲线2C 的方程；(2)过点()3,0G ，斜率为k 的直线与曲线2C 交于点M ，N ，点Q 为曲线2C 上纵坐标最大的点，求证：直线MQ ，NQ 的斜率之和为定值．【点睛】直线与圆锥曲线弦的问题包括求弦的方程、弦长、弦中点坐标轨迹等问题，解决这些问题的总体思路是设相关量，找等量关系，使问题解决.18．如图，经过原点O 的直线与圆()22:14M x y ++=相交于A ，B 两点，过点()1,0C 且与垂直的直线与圆M 的另一个交点为D ．(1)当点B 坐标为()1,2--时，求直线的方程；(2)记点A 关于x 轴对称点为F （异于点A ，B ），求证：直线BF 恒过x 轴上一定点，并求出该定点坐标；(3)求四边形ABCD 的面积S 的取值范围．19．在平面直角坐标系xOy 中，已知两点()()4,0,1,0S T ，动点P 满足2PS PT =，设点P 的轨迹为C .如图，动直线l 与曲线C 交于不同的两点,A B （,A B 均在x 轴上方），且180ATO BTO Ð+Ð= .(1)求曲线C 的方程；(2)当A 为曲线C 与y 轴正半轴的交点时，求直线l 的方程；(3)是否存在一个定点，使得直线l 始终经过此定点？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】(1)224x y +=（2）由题意知()0,2A ，设，依题意可知直线l 的斜率存在，设直线由180ATO BTO Ð+Ð= ，得AT BT k k +则2222201y x ì-+=ï-íï，所以2202x y =ìí=-î(舍去（3）设直线l 方程为y kx b =+联立方程224x y y kx bì+=í=+î，得(2k 212122224,,11kb b x x x x k k --\+==++180,ATO BTO Ð+Ð= Q AT k \【点睛】求解曲线的方程，可以有以下两种方法：一是根据圆锥曲线的定义，求得曲线的方程；另一个是。
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解析几何直线与圆检测题及答案一、选择题：1. 已知过 A 1, a 、B a, 8 两点的直线与直线2x y 1 0 平行，则a 的值为（）A. -10B. 2C.5D.172. 设直线x my n 0的倾角为，则它关于x轴对称的直线的倾角是（）Ａ. B. C. D.2 213. 已知过A( 2, m), B (m,4) 两点的直线与直线y x2A.4B.-8C.2D.-1垂直，则m的值（）4. 若点P( m, 0) 到点A( 3, 2) 及B(2, 8) 的距离之和最小，则m 的值为（）A. 2B. 1C. 2D. 15. 不论k 为何值，直线(2k 1)x (k 2)y (k 4) 0 恒过的一个定点是（）A.(0,0)B.(2,3)C.(3,2)D.(-2,3)2 y 26. 圆(x 1) ( 2) 8 上与直线x y 1 0的距离等于 2 的点共有（）A．1 个 B ．2 个 C ．3 个 D ．4 个7. 在Rt△ABC中, ∠A＝90°, ∠B＝60°, AB=1, 若圆O的圆心在直角边AC上, 且与AB和BC所在的直线都相切, 则圆O的半径是（）A.23B.12C.32D.338. 圆 2 2 2 2 1 0x y x y 上的点到直线x y 2 的距离的最大值是（）A. 2B. 1 2 C ． 222D. 1 2 22 y2 x my9. 过圆x 4 0上一点P (1,1) 的圆的切线方程为（）A. 2x y 3 0B. 2x y 1 0C. x 2y 1 0D. x 2y 1 010. 已知点P(a,b) (ab 0) 是圆O ： 2 y r2 2x 内一点，直线m 是以P 为中点的弦所在的直线，若直线n的方程为 2ax by r ，则（）A．m ∥n且n与圆O 相离 B ．m∥n且n与圆O相交C．m 与n重合且n与圆O相离 D ．m⊥n且n与圆O相离二、填空题：11. 若直线l 沿x 轴正方向平移 2 个单位，再沿y 轴负方向平移 1 个单位，又回到原来的位置，则直线l 的斜率k =_________ ．2 y212. 斜率为 1 的直线l 被圆x 4截得的弦长为２，则直线l 的方程为．13. 已知直线l 过点P(5,10), 且原点到它的距离为5, 则直线l 的方程为.14. 过点A(1,2) 且与原点距离最大的直线方程是．15. 已知圆C 的圆心与点P ( 2,1) 关于直线y x 1对称，直线3x 4y11 0与圆C相交于A、B 两点，且AB 6，则圆C 的方程为．三、解答题：16. 求经过直线l1:3x+4y-5=0 l2:2x-3y+8=0 的交点M,且满足下列条件的直线方程：( Ⅰ)经过原点; ( Ⅱ)与直线2x+y+5=0 平行; ( Ⅲ)与直线2x+y+5=0 垂直.17. 已知△ABC的两个顶点A(-10 ，2) ，B(6 ，4) ，垂心是H(5，2) ，求顶点C的坐标．18. 已知圆C： 2 2x 1 y 9 内有一点P（2，2），过点P 作直线l 交圆C于A、B 两点.（Ⅰ）当l 经过圆心 C 时，求直线l 的方程；（Ⅱ）当弦AB被点P 平分时，写出直线l 的方程；（Ⅲ）当直线l 的倾斜角为45o 时，求弦AB 的长.19. 已知圆 2 2C :(x a) ( y 2) 4 (a 0) 及直线l : x y 3 0 . 当直线l 被圆C 截得的弦长为2 2 时, 求（Ⅰ）a的值；（Ⅱ）求过点( 3,5) 并与圆 C 相切的切线方程.2 y x y m220. 已知方程x 2 4 0 .（Ⅰ）若此方程表示圆，求m 的取值范围；（Ⅱ）若（Ⅰ）中的圆与直线x 2y 4 0相交于M ，N 两点，且OM ON（O 为坐标原点）求m的值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求以MN 为直径的圆的方程.21. 已知圆 2 2C : x ( y 1) 5，直线l : mx y 1 m 0 。
（Ⅰ）求证：对m R ，直线l 与圆C总有两个不同交点；（Ⅱ）设l 与圆C 交与不同两点A、B，求弦AB的中点M 的轨迹方程；（Ⅲ）若定点P（1，1）分弦AB 为APPB12，求此时直线l 的方程。
直线与圆复习题参考答案题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案B C B A B C D B D A11、k = 1212 、y x 6 13 、x 5或3x 4y 25 02 y214、x 2y 5 0 15 、x( 1) 1816、解：( Ⅰ) 2x y 0 （Ⅱ）2x y 0 （Ⅲ）x 2y 5 02 417、解: k 2 ∴BH5 6kAC12 1∴直线AC的方程为( 10)y 2 x 即x+2y+6=0 (1)2又∵k 0 ∴BC所直线与x 轴垂直故直线BC的方程为x=6 (2) AH解(1)(2) 得点C的坐标为C(6,-6)18、解：( Ⅰ)已知圆C：2 2x 1 y 9 的圆心为C（1，0），因直线过点P、C，所以直线l 的斜率为2，直线l 的方程为y 2(x 1) ，即2x y 2 0 .( Ⅱ)当弦AB被点P 平分时，l⊥PC, 直线l 的方程为即x 2y 6 01y 2 (x2) ,2( Ⅲ)当直线l 的倾斜角为45o 时，斜率为1，直线l 的方程为y 2 x 2 ,即x y 0 ，圆心C到直线l 的距离为12，圆的半径为3，弦AB 的长为34.19、解：（Ⅰ）依题意可得圆心C(a,2),半径r 2，则圆心到直线l : x y 3 0的距离d a212(31) 2a 122 )2 22 2d ( r ，代入化简得 a 1 2 由勾股定理可知2解得a 1或a 3 ，又a 0 ，所以 a 12 y 2 （Ⅱ）由（1）知圆C : (x 1)( 2) 4，又(3,5) 在圆外①当切线方程的斜率存在时，设方程为y 5 k(x 3)由圆心到切线的距离 d r 2 可解得切线方程为5x 12 y 45 0 k512②当过( 3,5) 斜率不存在直线方程为x 3与圆相切由①②可知切线方程为5x 12y 45 0或x 32 y2 x y m20、解：（Ⅰ）x 2 4 0D=-2 ，E=-4，F=m2 2D E 4F =20- 4m 0，m 5（Ⅱ）xx 2y42yx y m 224x 4 2y 代入得2y m 5y16 816 y 1y， 258 my y∵ OM ON1 25得出： x 1xy y0 ∴ 5y 1y 2 8( y 1 y 2 ) 16 0∴212m 8 5（Ⅲ）设圆心为( a,b)x 1 x4 yy8211a,b半径2 5 2 5 r4 5 5圆的方程 (x4 5 )2 y (8 5 2)16 521、解：（Ⅰ）解法一：圆22C : x ( y 1)5的圆心为C (0,1) ，半径为5 。
∴圆心C 到直线l : mx y 1 m 0 的距离d m m 12m1 2m2 5∴直线l 与圆 C 相交，即直线l 与圆 C 总有两个不同交点； 方法二：∵直线l : mx y 1 m0 过定点 P(1,1)，而点 P (1,1)在圆 C : x 2 (y 1)2 5内∴直线l 与圆 C 相交，即直线l 与圆 C 总有两个不同交点；y （Ⅱ）当 M 与 P 不重合时，连结CM 、CP ，则C M MP ，∴2 2 2CM MP CP设 M (x, y)( x 1)，则x 2 ( y 1)2 (x 1)2 (y 1)2 1，Bl 化简得：222 1 0( 1)x yx y xC P (1,1)当 M 与 P 重合时，x 1, y 1也满足上式。
M2221 0故弦 AB 中点的轨迹方程是x y x y。
（Ⅲ）设 A( x , y ), B(x , y ) ，由11 2 2A P1 PB2 得1AP PB ， 2AOx ∴1 1 x(x 1) ，化简的 122x 2 3 2x 1⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ①又由 m xy 1 m 0 22x( y 1) 5消去 y 得 (1 m 2)x 2 2m 2x m 2 5 0⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯（ * ）∴22m xx1221 m⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ②23 m由①②解得 x，带入（ *）式解得 m1，121 m∴直线l的方程为x y 0或x y 2 0 。