2.1 空间直角坐标系、矢量及其运算

{x , y , z }

——坐标
C k o i A x
z
M r B j y
N
17
沿三个坐标轴方向的分向量.
对两点
与
a M1M2 OM2 OM1
z
o x
( x2 i y2 j z2 k ) ( x1 i y1 j z1 k )
2 2
方向余弦通常用来表示向量的方向.
向 量 的 方 向 余 弦
M1 M 2
M 1 P M 1Q M 1 R
2
2 2 2 | a | a x a y a z 向量模长的坐标表示式
22
向量方向余弦的坐标表示式
当 a x a y a z 0 时，
2
2
2
cos
12
数与向量的乘积符合下列运算规律：
（1）结合律： ( a ) ( a ) ( )a （2）分配律： ( )a a a (a b ) a b
两个向量的平行关系
定理 设 a 0，则b // a ，使b a.
x 2 2,
PP1 2 PP2 , x 2 11 2 x 2 2
x 1,
所求点为 (1,0,0), ( 1,0,0).
7
2.1.2 向量及其线性运算
一、向量的概念
向量（矢量）： 既有大小又有方向的量.
M2
向量表示：a 或 M1 M 2
| a | 或 | M1 M 2 | 向量的模（大小）：
z
R
M1
M2
d M1 M 2 ?
P
o
在直角 M 1 NM 2 Q 及 直 角 M PN 1 N 中，使用勾股定 y 理知
2 2
x
d M 1 P PN NM 2 ,
2
5
2
M1 P x2 x1 , PN y2 y1 ,
NM 2 z2 z1 ,
向径： 空间直角坐标系中任一点 M与原点 构成的向量 OM .
9
二、向量的线性运算
1. 加法： a b c
（平行四边形法则）
b
c
a
（平行四边形法则有时也称为三角形法则）
特殊地：若 a‖ b 分为同向和反向 |c || a | | b | c b a b c a | c | | a | | b |
19
定理: 设 a {a x , a y , a z }, b {bx , by , bz },
则
a // b a b a x a y az bx b y bz
注：若某个分母为零，则相应 的分子也为零。
20
3. 向量的方向角与方向余弦
非零向量 a 的方向角： 、 、
M1
a
M2
y
{a x , a y , az } ——向量的坐标表达式

a x , a y , az
——向量的坐标
2 2 2
M1M 2 x2 x1 y2 y1 z2 z1 2 2 2 | a | a x a y az
18
2. 向量运算的坐标表达式 a {a x , a y , a z }, b {bx , by , bz }, a b {a x bx , a y by , az bz } (a x bx )i (a y by ) j (az bz )k ; a b {a x bx , a y by , az bz } (a x bx )i (a y by ) j (az bz )k ; a {a x , a y , a z } ( a x )i ( a y ) j ( a z )k .
第2章 向量代数与空间解析几何
2.1 空间直角坐标系、向量及其运算
2.1.1 2.1.2 2.1.3 2.1.4 空间直角坐标系 向量及其线性运算 向量的坐标 向量间的乘积
1
2.1.1 空间直角坐标系
三个坐标轴的正方向 符合右手系.
即以右手握住 z 轴， 当右手的四个手指从
z
竖轴
正向 x 轴以 角 2
6
例2
设P 在x 轴上，它到 P1 ( 0, 2 ,3) 的距离为
P 的坐标. 到点 P2 ( 0,1,1) 的距离的两倍，求点
解 因为 P 在x 轴上， 设P点坐标为 ( x ,0,0),
PP1 x 2 2 2 32 x 2 11,
2 2 PP2 x 1 1 2
坐标面上的点 A, B , C , 坐标原点O(0,0,0) z
R(0,0, z )
B(0, y , z )

C ( x , o, z )
M ( x, y, z )
o
Q(0, y ,0)
y
x
P ( x ,0,0)
A( x , y ,0)
4
空间两点间的距离
设 M 1 ( x1 , y1 , z1 ) 、M 2 ( x 2 , y 2 , z 2 ) 为空间两点
定点 o

y 纵轴
度转向正向 y 轴时， 横轴 x 大拇指的指向就是 z 空间直角坐标系 轴的正向.
2
Ⅲ
z
yoz面
Ⅳ
zox 面
Ⅱ
xoy面
Ⅶ Ⅷ
o
y
Ⅵ Ⅴ
Ⅰ
x
空间直角坐标系共有八个卦限
3
有序数组 ( x , y , z ) 空间的点
一一对应
特殊点的表示: 坐标轴上的点 P , Q , R,
11
3. 向量与数的乘法
设 是一个数，向量a 与 的乘积a 规定为： (1) 0, a 与a 同向，| a | | a | ( 2) 0, a 0 ( 3) 0, a 与a 反向，| a || | | a | a 1 2a a 2
AD 与 BC 平行且相等, 结论得证.
16
2.1.3 向量的坐标
1. 向量的坐标表示 以 i , j , k 分别表示 x , y , z 轴上的单位向量, 设点 M
的坐标为 M ( x , y , z ) , 则
OM ON NM OA OB OC
向径 r x i y j z k
13
单位向量:
0 设a 表示与非零向量a 同方向的单位向量，
按照向量与数的乘积的规定，
0 a | a | a
0 a a |a|
上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是 一个与原向量同方向的单位向量.
14
b 3a 1 例1 化简 a b 5 b 5 2 b 3a 1 解 a b 5 b 5 2
5 1 (1 3)a 1 5 b 2 5
5 2a b . 2
15
例2 试用向量方法证明：对角线互相平分的 四边形必是平行四边形. D C a 证 AM MC b
BM MD
A
M
B
AD AM MD MC BM BC
b

a b | a || b | cos
a
29
关于数量积的说明：
2 (1) a a | a | .
( 2) a b 0 ab .
2. 数量积的运算法则：
（1）交换律：a b b a; （2）分配律： (a b ) c a c b c ;
零向量： 模长为0的向量，记为 0 .
M
1
以 M 1 为起点，M 2 为终点的有向线段.
单位向量：模长为1的向量，记为 a 0 或 M M 0 1 2
8
自由向量：不考虑起点、终点位置的向量. 相等向量：大小相等且方向相同的向量.
a
b
负向量：大小相等但方向相反的向量 a

a
a
25
例 3 设有向量 P1 P2，已知 P1 P2 2，它与 x 轴
和 y 轴的夹角分别为 和 ，如果 P1 的坐标为 3 4 (1,0,3) ，求 P2 的坐标.
解
设向量P1 P2 的方向角为 、 、
, 3
1 cos , 2
, 4
cos2 cos2 cos2 1,
（3）若 为数： ( a ) b a ( b ) ( a b ), 若 、为数： ( a ) ( b ) ( a b ).
10
向量的加法符合下列运算规律：
（1）交换律： a b b a . （2）结合律： a b c (a b ) c a (b c ). （3） a ( a ) 0. b a 2. 减法 a b a ( b ) b b c ab b c a (b ) ab ab a
{cos , cos , cos }.
24
例 2 求平行于向量 a 6i 7 j 6k 的单位向
量的分解式.
解 所求向量有两个，一个与 a 同向，一个反向 | a | 62 7 2 ( 6)2 11, 7 6 a 6 0 a i j k, | a | 11 11 11 a 6 7 6 0 或 a i j k. |a | 11 11 11