第二章(1)时域离散信号和系统的频域分析

对称性的应用： 减少求FT的计 算量
课本上的证明自学
x(n) xr (n) jxi (n), 令傅立叶变换后为：X (e j ) X e (e j ) X o (e j ) X e (e j ) FT [ xr (n)] j X e (e ) xr (n)e n
j n j n Xo (e j ) j xi (n)e j xi (n)e X o (e j ) n n
结论：序列虚部和j一起对应的FT具有共轭反对称性
(b) 将序列分成共轭对称和反共轭对称两部分
x(n) xe (n) xo (n) (2.2.25), 即： (2.2.18) (2.2.19) xe (n) [ x(n) x* (n)] 2 * x ( n ) [ x ( n ) x (n)] 2 e
序列的Z变换 Z变换与系统的关系
2.2 序列的傅立叶变换的定义及性质 2. 2. 1 序列傅里叶变换的定义
定义
X (e )
j
n
x(n)e

j n
(2.2.1) 为序列x(n)的傅立叶变换。
(2.2.1)式成立充分条件为：
n


x(n) <
(2.2.2)
X(ejω)的傅里叶反变换为 1 j j n x ( n) X ( e ) e d 2
j
X (e )
j
n
2π
( N 1)
2
sin( N / 2) (2.2.5) sin( / 2)
0 π -π 0
π/2 π
arg[ X (e j )]
ω ω
sin( N / 2) 即：X (e ) sin( / 2)
j
arg[ X (e j )]
N 1 2
2.2.2 序列傅里叶变换的性质 1. FT的周期性

n


x(n)e j n
N-1 e jn n0
设N＝4其幅度和相 位随ω变化如下图所 示
x(n) 1 0 1 2 3
= RN n ( n)e
n
j n
1 e j N e j N / 2 (e j N / 2 e j N / 2 ) = j / 2 j / 2 j / 2 j 1 e e (e e ) e
jxi ( n ) [ x ( n ) x * ( n )] / 2 FT [ jxi ( n )] [ X ( e ) X * ( e X o (e )
j j j
)] / 2

(c)共轭对称序列的FT是实函数
xe ( n ) [ x ( n ) x * ( n )] / 2 FT [ xe ( n )] [ X ( e ) X * ( e )] / 2 X R (e )
第二章 离散时间信号和离 时间系统
2.1 引言
一. FT是重要的变换
1.分析有限长序列的有用工具。 2.在信号处理的理论上有重要意义。
3.在运算方法上起核心作用，谱分析、 卷积、相关都可以通DFT在计算机上 实现。
二、本章主要讨论内容
付里叶变换的推导 付里叶变换的有关性质
离散序列付里叶变换逼近连续时间信号的问题
推导如下： X (e )e
j
(2.2.4)



j n
d [ x(m)e jm ]e jn d
m

n m


x ( m) e j ( m n ) d


m n
x(m)2 (m n)
实部为偶 对称序列 虚部为奇 对称序列
0
n
0
n
（2）定义：若xo(n)满足 xo(n)= -xo*(-n)； （2.2.13）， 则称xo(n)为共轭反对称序列。
将其分成实部和虚部： 用-n取代 n并取共轭：
xo (n) xor (n) jxoi (n)
xo*(-n)= xor(-n)-jxoi(-n)
对于频率函数也有类似结论 式2.2.20说明序列的傅里叶变换X(ejω)可以被分解成共轭对称与共轭反对称 两部分之和，它们满足：
X e (e j ) X e (e j ),
(2.2.21)
X o (e j ) X o (e j ), (2.2.22)
其中
将序列分成实部和虚部

例2：已知
x( n) X ( e )
的 FT
j

x ( n / 2)， n为偶数 求： y ( n ) 0， n为奇数

解： FT [ y (n )]

n
jn y ( n ) e jn y ( n ) e jn y ( n ) e
j j j j j j
（4） FT的对称性

(a)实序列的FT是共轭对称函数
xr ( n ) [ x (n ) x * ( n )] / 2 FT [ xr ( n )] [ X (e ) X * ( e X e ( e j )
j j
)] / 2

(b)虚序列的FT是反共轭对称函数
0 ) n
x(n)]
n


x ( n )e
j0 n j n

n

X (e j (
0 )
)
4. 序列的反折

已知序列
x( n) X ( e )
j
j

则 如果 则
x(n) X (e
)


例：求
x(n ) 为实函数 * j j X (e ) X (e ) n FT[a (n)] ， a 1

n 偶数
n 奇数
n
j 2n y ( 2e
X ( e j 2 )
3. 时移与频移
设X (e j ) FT [ x(n)], 那么 FT [ x(n n0 )] e jn0 X (e j ) FT [e jn0 x(n)] X (e j (

例1：已知
x( n) X ( e ) y1 (n) x(2n) 的 FT 求： y2 (n) x(2n 1)
j

解：FT [ y1 (n )]

n
jn x ( 2 n ) e

n 偶数
jn / 2 x ( n ) e
1 [ x ( n ) ( 1) n x ( n )]e jn / 2 n 2 1 [ x (n ) e jn x ( n )]e jn / 2 2 n 1 [ X ( e j / 2 ) X ( e j / 2 ) 2
0 )
(2.2.8) (2.2.9)
)
证: FT [ x(n n0 )] FT [e
j0 n k n n0
n


x(n n0 )e j n e e
j n0
k


x(k )e
j ( k n0 )
k



x(k )e j k e j n0 X (e j ) x(n)e j (

2 x(n)
1 { 2



e j ( m n ) x dx (m n)}
在物理意义上，X(ejω)表示序列x(n)的频谱，ω为数 字域频率。 X(ejω)一般为复数，可用它的实部和虚部表 示为 X (e j ) X R (e j ) jX I (e j ) 或用幅度和相位表示为
xe (n) xer (n) jxei (n)
xe*(-n)=xer(-n)-jxei(-n)
xei (n) xei (n) （2.2.11） （2.2.12）
将两式带入2.2.10 比较，得 xer (n) xer (n)
可见共轭对称序列实部为偶函数，虚部为奇函数。 xei(n) xer(n) 例子
X (e )
j n
x(n)e

j n
＝
n
x(n)e

j ( 2 M )
=X (e j ( 2 M ) ),M为整数
(2.2.6)
因此序列的傅立叶变换是频率ω的周期函数，周期是2π。 在ω ＝0处代表其直流分量的成分，由于频谱被周期延拓， 故在 等处也代表x(n)的直流分量。 2 , 4
5. 序列乘以n

已知序列
x( n) X ( e )

j
则
dX (e ) nx(n) j d
j
6. 序列的复共轭

已知序列
x( n) X ( e )

j
则
x * ( n) X * ( e
j j
)
x * (n) X * (e )
7 傅里叶变换的对称性
（1）定义：若xe(n)满足 xe(n)=xe*(-n)； （2.2.10）， 则称xe(n)为共轭对称序列。 将其分成实部和虚部： 用-n取代 n并取共轭：
xoi (n) xoi (n) （2.2.14） （2.2.15）
将两式带入2.2.13 比较，得 xor (n) xor (n)
可见共轭反对称序列实部为奇函数，虚部为偶函数。
xor(n) 例子
实部为奇 对称序列
xoi(n)
虚部为偶 对称序列
0
n
0
n
(3)序列的分解 任何序列x(n)均可表示成一个共轭对称序列xe(n)和共轭反对称序列xo(n)之和， 即 其中