高中数学选修1-2人教A教案导学案3.1.1数系的扩充与复数的概念
人教版高中数学全套教案导学案3.1.1数系的扩充与复数的概念
3.1.1数系的扩充与复数的概念课前预习学案课前预习：（1）预习目标：在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求在数系扩充过程中的作用（2）1) 结合实例了解数系的扩充过程2）引进虚数单位i的必要性及对i的规定3)对复数的初步认识及复数概念的理解（3）提出疑惑：通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中疑惑点疑惑内容课内探究学案学习目标：（1）在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求在数系扩充过程中的作用理解复数的基本概念（2）理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件（3）了解复数的代数表示方法学习过程一、自主学习问题1：我们知道，对于实系数一元二次方程，没有实数根．我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？问题2：类比引进，就可以解决方程在有理数集中无解的问题，怎么解决在实数集中无解的问题呢问题3：把实数和新引进的数i 像实数那样进行运算，并希望运算时有关的运算律仍成立，你得到什么样的数？二、探究以下问题1、如何解决-1的开平方问题，即一个什么数它的平方等于-12、虚数单位i有怎样的性质3、复数的代数形式4、复数集C和实数集R之间有什么关系?5、如何对复数a+bi(a,b∈R)进行分类?三、精讲点拨、有效训练见教案反思总结1、你对复数的概念有了比较清醒的认识了吗？2、对复数a+bi(a,b∈R)的正确分类3、复数相等的概念的理解及应用当堂检测1. m ∈R ，复数z=（m-2）(m+5)+(m-2)（m-5）i ，则z 为纯虚数的充要条件是m 的值为 ( )A.2或5B.5C.2或-5D.-52、设a ∈R.复数a 2-a-6+(a 2-3a-10)i 是纯虚数,则a 的取值为 ( )(A)5或-2 (B)3或-2 (C)-2 (D)33、如果（2 x- y)+(x+3)i=0(x ，y ∈R)则x+y 的值是（ ）A 18BC 3D 9． ． ． ．12-4、x y R (3x +2y)+(x y)i =i [ ]A 5B 5CD ，，且，则的值是 ． ． ． ．∈-+---x yx y 15153.1.1数系的扩充与复数的概念【教学目标】（1）在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求在数系扩充过程中的作用理解复数的基本概念（2）理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件（3）了解复数的代数表示方法【教学重难点】重点：引进虚数单位i的必要性、对i的规定、复数的有关概念难点：实数系扩充到复数系的过程的理解，复数概念的理解【教学过程】一、创设情景、提出问题问题1：我们知道，对于实系数一元二次方程，没有实数根．我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？问题2：类比引进，就可以解决方程在有理数集中无解的问题，怎么解决在实数集中无解的问题呢？问题3：把实数和新引进的数i 像实数那样进行运算，并希望运算时有关的运算律仍成立，你得到什么样的数？二、学生活动1.复数的概念：⑴虚数单位：数＿＿叫做虚数单位，具有下面的性质：①＿＿＿＿＿＿＿＿＿②＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿⑵复数：形如＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿叫做复数，常用字母＿＿＿表示，全体复数构成的集合叫做＿＿＿＿＿＿，常用字母＿＿＿表示．⑶复数的代数形式：＿＿＿＿＿＿＿＿＿，其中＿＿＿＿叫做复数的实部，＿＿＿叫做复数的虚部，复数的实部和虚部都是＿＿＿数．(4)对于复数a+bi(a,b∈R),当且仅当＿＿＿＿＿时,它是实数;当且仅当＿＿＿＿＿时,它是实数0;当＿＿＿＿＿＿＿时, 叫做虚数;当＿＿＿＿＿＿＿时, 叫做纯虚数;2.学生分组讨论⑴复数集C和实数集R之间有什么关系?⑵如何对复数a+bi(a,b∈R)进行分类?⑶复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系，可以用韦恩图表示出来吗？3.练习：(1).下列数中，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数？并分别指出这些复数的实部与虚部各是什么？2+ 2i , 0.618, 2i/7 , 0,5 i +8, 3-9 i(2)、判断下列命题是否正确：（1）若a、b为实数，则Z=a+bi为虚数（2）若b为实数，则Z=bi必为纯虚数（3）若a为实数，则Z= a一定不是虚数三、归纳总结、提升拓展例1 实数m分别取什么值时，复数z＝m+1＋(m-1)i是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？解：归纳总结：确定复数z＝a＋bi是实数、虚数、纯虚数的条件是：练习：实数m分别取什么值时，复数z＝m2+m-2＋(m2-1)i是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？两个复数相等，即两个复数相等的充要条件是它们的实部与虚部分别对应相等．也就是a+bi=c+di _______________________（a、b、c、d为实数）由此容易出：a+bi=0 _______________________例2已知x +2y +(2x+6)i=3x-2 ,其中，x,y为实数，求x与y．四、反馈训练、巩固落实1、若x,y为实数，且 2x -2y+(x+ y)i=x-2 i求x与y.2、若x为实数，且(2x2-3x-2)+(x2-5x+6)i=0，求x的值.。
高中数学《3.1.1数系的扩充和复数的概念》导学案 新人教A版选修1-2
上述例1中，根据定义判断哪些是实数、虚数、纯虚数？
二合作探究，展示，点评
例2.求适合下列方程的 的值
.
例3实数x取何值时，复数 （1）是实数
（2）是虚数（3）是纯虚数
三总结
四检测
1．指出下列复数哪些是实数、虚数、纯虚数，是虚数的找出其实部与虚部。
2．判断①两复数，若虚部都是3，则实部大的那个复数较大( )
3.1.-1.2实数系与复数的引入
【使用说明】
1、课前完成导学案，牢记基础知识，掌握基本题型；
2、认真限时完成，规范书写；课上小组合作探究，答疑解惑。
【重点难点】复数的定义虚数单位;复数集的构成;复数相等的应用.
虚数单位;复数集的构成;复数相等的应用
【学习目标】
1、知识与技能：实数系的总结，复数定义
（1）通过实例分析复数的定义虚数单位;复数集的构成;复数相等的应用.
虚数单位;复数集的构成;复数相等的应用，
2、过程与方法：小组合作探究；
3、情感态度与价值观：以极度的热情，自动自发，如痴如醉，投入到学习中，充分享受学习的乐趣感受人类理性思维对数学发展所起的重要作用,进行历史唯物主义教育与辩证唯物主义教育.
② 复平面内，所有纯虚数都落在虚轴上，所有虚轴上的点都是纯虚数( )
3若 ，则 的值是________.
4．．知 是虚数单位，复数 ，当 取何实数时， 是：
（1）实数（2）虚数（3）纯虚数（4）零
5.已知复数 与 相等，且 的实部、虚部分别是方程 的两根，试求： 的值。（讨论 中，k取何值时是实数？
实数 与 相乘、相加的结果应如何？
4请对实数系进行分类
1.复数的概念：
①定义复数：复数代数形式
高中数学 3.1.1数系的扩充与复数的概念教学案 新人教a版选修1-2
§3.1.1 数系的扩充与复数的概念.重点：复数及其相关概念，能区分虚数与纯虚数，明白各数系的关系。
难点：复数及其相关概念的理解【知识链接】（预习教材P 60~ P 62，找出疑惑之处）复习1：实数系、数系的扩充脉络是：→ → → ，用集合符号表示为： ⊆ ⊆ ⊆复习2：判断下列方程在实数集中的解的个数（引导学生回顾根的个数与∆的关系）：（1）2340x x --= （2）2450x x ++=（3）2210x x ++= （4）210x +=【学习过程】※ 学习探究探究任务一：复数的定义问题：方程210x +=的解是什么？为了解决此问题，我们定义21i i i ⋅==-，把新数添进实数集中去，得到一个新的数集，那么此方程在这个数集中就有解为 .新知：形如a bi +的数叫做复数，通常记为z a bi =+（复数的代数形式），其中i 叫虚数单位，a 叫实部，b 叫虚部，数集{}|,C a bi a b R =+∈叫做复数集.试试：下列数是否是复数，试找出它们各自的实部和虚部。
23i +，84i -，83i +，6，i ，29i --，7i ，0反思：形如 的数叫做复数，其中 和 都是实数，其中 叫做复数z 的实部， 叫做复数z 的虚部.对于复数(,)a bi a b R +∈当且仅当 时，它是实数；当 时，它是虚数；当 时，它是纯虚数；探究任务二：复数的相等若两个复数a bi +与c di +的实部与虚部分别 ，即: ， .则说这两个复数相等. a bi +=c di + ⇔ ；a bi +=0 ⇔ .注意:两复数 比较大小.※ 典型例题例1 实数m 取什么值时，复数1(1)z m m i =++-是（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？变式：已知复数22276(56)()1a a z a a i a R a -+=+--∈-，试求实数a 分别取什么值时，分别为（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？小结：数集的关系：0,0)0)0,0)a a ⎧⎪≠≠⎧⎨≠⎨⎪≠=⎩⎩实数 (b=0)复数z 一般虚数(b 虚数 (b 纯虚数(b例2已知复数a bi +与3(4)k i +-相等，且a bi +的实部、虚部分别是方程2430x x --=的两根，试求：,,a b k 的值.变式：设复数(,)z a bi a b R =+∈，则z 为纯虚数的必要不充分条件是（ ）A ．0a =B ．0a =且0b ≠C ．0a ≠且0b =D ．0a ≠且0b ≠小结：复数、虚数、纯虚数的概念及它们之间的关系及两复数相等的充要条件.※ 动手试试练1. 若(32)(5)172x y x y i i ++-=-，求,x y 的值.练2. 已知i 是虚数单位，复数2(1)(23)4(2)z m i m i i =+-+-+，当m 取何实数时，z 是：（1）实数；（2） 虚数；（3）纯虚数；（4）零.【学习反思】※ 学习小结1. 复数的有关概念；2. 两复数相等的充要条件；3. 数集的扩充.※ 知识拓展复数系是在实数系的基础上扩充而得到的.数系扩充的过程体现了实际需求与数学内部的矛盾（数的.）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 实数m 取什么数值时，复数1(1)z m m i =-++是实数（ ）A ．0B ．1-C ． 2-D ．3-2. 如果复数a bi +与c di +的和是纯虚数，则有（ ）A ．0b d +=且0a c +≠B ．0b d +≠且0a c +=C ．0a d +=且0b d +≠D ．0b c +=且0b d +≠3. 如果222(32)z a a a a i =+-+-+为实数,那么实数a 的值为（ ）A．1或2- B．1-或2C．1或2 D．1--或24.若22-+++是纯虚数，则实数x的值是x x x i(1)(32)5. 若()(1)(23)(21)x y y i x y y i++-=+++，则实数x= ；y= .1.求适合下列方程的实数与的值:(1)(32)(5)172++-=-x y x y i i(2)(3)(4)0+-+-=x y x i2. 符合下列条件的复数一定存在吗?若存在，请举出例子；若不存在,请说明理由.(1)实部为(2)虚部为(3)虚部为。
人教版高中数学选修(1-2)-3.1《数系的扩充与复数的概念》教学设计
第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念一、教学目标1.核心素养通过学习数系的扩充和复数的概念，初步形成基本的数学抽象和逻辑推理能力.2.学习目标（1）在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程求根）在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系.（2）理解复数的基本概念，复数的代数形式及复数相等的充要条件.（3）复数的向量表示.3.学习重点复数的概念，复数的代数形式，复数的向量表示.4.学习难点复数相等的条件，复数的向量表示.二、教学设计（一）课前设计1.预习任务任务1 阅读教材P102，思考：方程210x+=在实数集中无解.联系从自然数系到实数系的扩充过程，你能设想一种方法，使这个方程有解吗？任务2 阅读教材P103，思考：复数集C和实数集R有什么关系？任务3 阅读教材P104-P105，思考：实数与数轴上的点一一对应，因此，实数可以用数轴上的点来表示.类比实数的几何意义，复数的几何意义是什么呢？2.预习自测1.下列复数中，满足方程x2＋2＝0的是( )A.±1B.±iC.±2iD.±2i解：C2.已知复数z＝a2－(2－b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是( )A.2，1B.2，5C.±2，5D.±2，1解：C3.如果z＝m(m＋1)＋(m2－1)i为纯虚数，则实数m的值为( )A.1B.0C.－1D.－1或1解：B（二）课堂设计1.知识回顾（1）对因生产和科学发展的需要而逐步扩充数集的过程进行概括自然数→分数→负数→整数→有理数→无理数→实数2.问题探究问题探究一数系的扩充x+=，没有实数根.我们能否将实数集进行对于实系数一元二次方程210扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？●活动一回顾旧知，回顾数集的扩充过程对因生产和科学发展的需要而逐步扩充数集的过程进行概括自然数→分数→负数→整数→有理数→无理数→实数（教师引导）●活动二类比旧知，探究数系的扩充.x+=，没有实数根，我们能否将实数集进行对于实系数一元二次方程210扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？。
人教A版高中数学选修1-2《三章 数系的扩充与复数的引入 3.1.2 复数的几何意义》优质课教案_2
§ 3.1.1数系的扩充和复数的概念教学设计[教学目标]1、通过方程在实数集中无解的情况，了解复数的引入过程；2、掌握复数的代数形式和与复数相关的概念，能充分认识复数集；3、理解复数的几何意义，能利用复数的向量表示、复数相等及复数的模解决相关问题；[教学过程]1、知识引入提出问题：“方程x2+1=0在实数集中有根吗？这个问题要如何解决？”设计意图：引发知识冲突，用“2个饼平均分给5个人不能在自然数集中解决，所以提出有理数集”和“直角边都为1的直角三角形的斜边长不能在有理数集中解决，所以提出无理数集”等问题，引导学生要解决这个问题，必须得扩充实数集。
2、学生自学用PPT展示本节课的学习目标，让学生自行看书。
设计意图：督促学生阅读教材，并能从文字中自行获取到重要的信息，让学生带着问题去思考，去看书寻找答案。
3、新知讲解（1）复数的概念我们把形如a+bi（a∈R，b∈R）的数叫做复数，通常用字母z来表示，即z=a+bi，其中i叫做虚数单位，a与b分别叫做复数z的实部和虚部。
强调：①这是一个形式化的定义，只要符合“a+bi”这种形式的数都叫做复数；②i为虚数单位，i2=-1；③复数z的虚部是实数b，而不是bi这个整体。
例题1：请指出下列复数的实部和虚部（1）z=-1+√3i（2）z=2+i（3）z=3（4）z=-2i（5）z=x+1+(x-1)i设计意图：学生自学后，由师生一起对知识进行合理的总结梳理，统一认知。
设计例1是要让学生清楚地认识复数的虚部和实部，也提醒学生应同时关注复数的实部和虚部。
（2）复数集及复数的分类我们把集合C={a+bi｜a∈R，b∈R}称为复数集。
①当b=0时，a+bi为实数；②当b≠0时，a+bi为虚数；③特别地，当a=0，b≠0时，a+bi为纯虚数；强调：｛虚数集}∪｛实数集}=｛复数集}，｛纯虚数集} ｛虚数集}例题2：当m 为何值时，z=(m 2-3m)+(m 2-m-6)i,m ∈R 是实数？是虚数？是纯虚数？ 设计意图：让学生充分认识到复数集是对实数集的扩充，并且要能对复数进行分类，进一步深化对复数概念认识。
高中数学 第3章 系数的扩充与复数的引入 精品导学案 新人教A版选修1-2
【三维设计】2015-2016学年高中数学第三章系数的扩充与复数的引入学案新人教A版选修1-2_3.1数系的扩充和复数的概念3．1.1 数系的扩充和复数的概念复数的概念及代数表示[提出问题]问题1：方程x2＋1＝0在实数范围内有解吗？提示：没有．问题2：若有一个新数i满足i2＝－1，试想方程x2＋1＝0有解吗．提示：有解(x＝±i)，但不在实数范围内．[导入新知]1．复数的定义形如a＋b i(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2＝－1.全体复数所成的集合C叫做复数集．2．复数的表示复数通常用字母z表示，即z＝a＋b i(a，b∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式，a与b分别叫做复数z的实部与虚部．3．复数相等的充要条件在复数集C＝{a＋b i|a，b∈R}中任取两个复数a＋b i，c＋d i(a，b，c，d∈R)，规定a ＋b i与c＋d i相等的充要条件是a＝c且b＝d.[化解疑难]对复数概念的理解(1)对复数z＝a＋b i只有在a，b∈R时，a和b才分别是复数的实部和虚部，并注意：虚部是实数b而非b i.(2)当两个复数不全是实数时，不能比较大小，只可判定相等或不相等，但两个复数都是实数时，可以比较大小．(3)利用复数相等，可以把复数问题转化成实数问题进行解决，并且一个复数等式可得到两个实数等式，为应用方程思想提供了条件.复数的分类[提出问题]问题1：复数z ＝a ＋b i 在什么情况下表示实数？ 提示：b ＝0.问题2：如何用集合关系表示实数集R 和复数集C? 提示：RC[导入新知] 复数的分类(1)复数a ＋b i(a ，b ∈R)⎩⎪⎨⎪⎧实数b ＝0，虚数b ≠0当a ＝0时为纯虚数(2)集合表示：[化解疑难] 1．0的特殊性0是实数，因此也是复数，写成a ＋b i(a ，b ∈R)的形式为0＋0i ，即其实部和虚部都是0.2．a ＝0是复数z ＝a ＋b i 为纯虚数的充分条件吗因为当a ＝0且b ≠0时，z ＝a ＋b i 才是纯虚数，所以a ＝0是复数z ＝a ＋b i 为纯虚数的必要不充分条件．复数相等的充要条件[例1] (1)若(2)已知(2x －1)＋i ＝y －(3－y )i ，其中x ，y ∈R ，i 为虚数单位．求实数x ，y 的值． [解析] (1)由复数相等的充要条件可知x ＝－12，y ＝5. [答案] －12 5(2)[解] 根据复数相等的充要条件，由(2x －1)＋i ＝y －(3－y )i ，得⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＝y ，1＝－3－y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝52，y ＝4.即x ＝52，y ＝4.[类题通法]解决复数相等问题的步骤(1)等号两侧都写成复数的代数形式；(2)根据两个复数相等的充要条件列出方程(组)； (3)解方程(组)． [活学活用]已知x 2＋y 2－6＋(x －y －2)i ＝0求实数x ，y 的值．解：由复数相等的条件得方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－6＝0，①x －y －2＝0.②由②得x ＝y ＋2，代入①得y 2＋2y －1＝0.解得y 1＝－1＋2，y 2＝－1－ 2.所以x 1＝y 1＋2＝1＋2，x 2＝y 2＋2＝1－ 2.即⎩⎨⎧x ＝1＋2，y ＝－1＋2或⎩⎨⎧x ＝1－2，y ＝－1－ 2.复数的分类[例2] 已知m ∈R ，复数z ＝m m ＋2m －1＋(m 2＋2m －3)i ，当m 为何值时，(1)z 为实数？ (2)z 为虚数？ (3)z 为纯虚数？ [解] (1)要使z 为实数，需满足m 2＋2m －3＝0，且m m ＋2m －1有意义即m －1≠0，解得m ＝－3.(2)要使z 为虚数，需满足m 2＋2m －3≠0，且m m ＋2m －1有意义即m －1≠0，解得m ≠1且m ≠－3.(3)要使z 为纯虚数，需满足m m ＋2m －1＝0，且m 2＋2m －3≠0，解得m ＝0或m ＝－2.[类题通法]利用复数的分类求参数的方法及注意事项利用复数的分类求参数时，要先确定构成实部、虚部的式子有意义的条件，再结合实部与虚部的取值求解．要特别注意复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)为纯虚数的充要条件是a ＝0且b ≠0.[活学活用]设复数z ＝lg(m 2－2m －2)＋(m 2＋3m ＋2)i ，当m 为何值时， (1)z 是实数？ (2)z 是纯虚数？解：(1)要使复数z 为实数，需满足⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －2＞0，m 2＋3m ＋2＝0，解得m ＝－2或－1.即当m ＝－2或－1时，z 是实数．(2)要使复数z 为纯虚数，需满足⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －2＝1，m 2＋3m ＋2≠0，解得m ＝3.即当m ＝3时，z 是纯虚数．3.对纯虚数的概念把握不准[典例] (上海高考)设m ∈R ，m 2＋m －2＋(m 2－1)i 是纯虚数，其中i 是虚数单位，则m ＝________.[解析] 复数m 2＋m －2＋(m 2－1)i 是纯虚数的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －2＝0，m 2－1≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1或m ＝－2，m ≠±1，即m ＝－2.故m ＝－2时，m 2＋m －2＋(m 2－1)i 是纯虚数． [答案] －2 [易错防范]1．若忽视“纯虚数的虚部不为0”这一条件，易得出m ＝1或－2的错误结论．2．复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)是纯虚数的充要条件为⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ≠0，二者缺一不可．[成功破障]若z ＝(x 2－1)2＋(x －1)i 为纯虚数，则实数x 的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．－1或1解析：选A 因为z 为纯虚数，所以(x 2－1)2＝0，又x －1≠0，所以x ＝－1.[随堂即时演练]1．在2＋7，27i,0,8＋5i ，(1－3)i,0.618这几个数中，纯虚数的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C 27i ，(1－3)i 是纯虚数，2＋7，0,0.618是实数，8＋5i 是虚数．2．以－5＋2i 的虚部为实部，以5i ＋2i 2的实部为虚部的复数是( ) A ．2－2i B ．2＋2i C ．－5＋5iD.5＋5i解析：选A －5＋2i 的虚部为2，5i ＋2i 2＝－2＋5i ，其实部为－2，故所求复数为2－2i.3．下列命题：①若a ∈R ，则(a ＋1)i 是纯虚数；②若(x 2－1)＋(x 2＋3x ＋2)i(x ∈R)是纯虚数，则x ＝±1； ③两个虚数不能比较大小． 其中正确命题的序号是________．解析：当a ＝－1时，(a ＋1)i ＝0，故①错误；两个虚数不能比较大小，故③对；若(x2－1)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1＝0，x 2＋3x ＋2≠0，即x ＝1，故②错．答案：③4．已知(3x ＋y )＋(2x －y )i ＝(7x －5y )＋3i ，则实数x ＝________，y ＝________. 解析：∵x ，y 是实数，∴根据两个复数相等的充要条件，可得⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＝7x －5y ，2x －y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝94，y ＝32.答案：94 325．已知复数z ＝a 2－7a ＋6a 2－1＋(a 2－5a －6)i(a ∈R)，试求实数a 分别取什么值时，z 分别为：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数． 解：(1)当z 为实数时，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2－5a －6＝0，a 2－1≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1或a ＝6，a ≠±1.∴当a ＝6时，z 为实数．(2)当z 为虚数时，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2－5a －6≠0，a 2－1≠0.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≠－1且a ≠6，a ≠±1，即a ≠±1且a ≠6.∴当a ≠±1且a ≠6时，z 为虚数． (3)当z 为纯虚数时，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2－5a －6≠0，a 2－7a ＋6a 2－1＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≠－1且a ≠6，a ＝6且a ≠±1.∴不存在实数a 使z 为纯虚数．[课时达标检测]一、选择题1．若复数2－b i(b ∈R)的实部与虚部互为相反数，则b 的值为( ) A ．－2 B.23 C ．－23D ．2解析：选D 复数2－b i 的实部为2，虚部为－b ，由题意知2＝－(－b )，所以b ＝2. 2．若4－3a －a 2i ＝a 2＋4a i ，则实数a 的值为( ) A ．1 B ．1或－4 C ．－4D ．0或－4解析：选C 易知⎩⎪⎨⎪⎧4－3a ＝a 2，－a 2＝4a ，解得a ＝－4.3．若复数z ＝m 2－1＋(m 2－m －2)i 为实数，则实数m 的值为( ) A ．－1 B ．2 C ．1D ．－1或2解析：选D ∵复数z ＝m 2－1＋(m 2－m －2)i 为实数，∴m 2－m －2＝0，解得m ＝－1或m＝2.4．若复数(a 2－3a ＋2)＋(a －1)i 是纯虚数，则实数a 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．1或2D ．－1解析：选B 根据复数的分类知，需满足⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3a ＋2＝0，a －1≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1或a ＝2，a ≠1，即a ＝2.5．下列命题中，正确命题的个数是( )①若x ，y ∈C ，则x ＋y i ＝1＋i 的充要条件是x ＝y ＝1； ②若a ，b ∈R 且a >b ，则a ＋i>b ＋i ； ③若x 2＋y 2＝0，则x ＝y ＝0. A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选A 对①由于x ，y ∈C ，所以x ，y 不一定是x ＋y i 的实部和虚部，故①是假命题；对②由于两个虚数不能比较大小，故②是假命题； ③是假命题，如12＋i 2＝0，但1≠0，i≠0. 二、填空题6．设x ，y ∈R ，且满足(x ＋y )＋(x －2y )i ＝(－x －3)＋(y －19)i ，则x ＋y ＝________.解析：因为x ，y ∈R ，所以利用两复数相等的条件有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝－x －3，x －2y ＝y －19，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝5，所以x ＋y ＝1.答案：17．若log 2(m 2－3m －3)＋ilog 2(m －2)为纯虚数，则实数m ＝________.解析：因为log 2(m 2－3m －3)＋ilog 2(m －2)为纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧log 2m 2－3m －3＝0，log 2m －2≠0，所以m ＝4.答案：48．已知z 1＝－4a ＋1＋(2a 2＋3a )i ，z 2＝2a ＋(a 2＋a )i ，其中a ∈R ，z 1>z 2，则a 的值为________．解析：由z 1>z 2，得⎩⎪⎨⎪⎧2a 2＋3a ＝0，a 2＋a ＝0，－4a ＋1>2a ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0或a ＝－32，a ＝0或a ＝－1，a <16.解得a ＝0. 答案：0 三、解答题9．当实数m 为何值时，复数z ＝m 2＋m －6m＋(m 2－2m )i 为(1)实数？ (2)虚数？ (3)纯虚数？解：(1)当⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＝0，m ≠0，即m ＝2时，复数z 是实数．(2)当m 2－2m ≠0，且m ≠0， 即m ≠0且m ≠2时，复数z 是虚数．(3)当⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －6m ＝0，m 2－2m ≠0，即m ＝－3时，复数z 是纯虚数．10．已知M ＝{1，(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i}，P ＝{－1,1,4i}，若M ∪P ＝P ，求实数m 的值．解：∵M ∪P ＝P ，∴M ⊆P ，即(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝－1或(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝4i. 由(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－2m ＝－1，m 2＋m －2＝0，解得m ＝1；由(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝4i ，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＝0，m 2＋m －2＝4，解得m ＝2.综上可知m ＝1或m ＝2.3．1.2 复数的几何意义复数的几何意义[提出问题]平面直角坐标系内的点与有序实数对之间的关系是一一对应的，即平面直角坐标系内的任一点对应着一对有序实数；任一对有序实数，在平面直角坐标系内都有唯一的点与它对应．问题1：复数z＝a＋b i(a，b∈R)与有序实数对(a，b)有怎样的对应关系？提示：一一对应．问题2：有序实数对与直角坐标平面内的点有怎样的对应关系？提示：一一对应．问题3：复数集与平面直角坐标系中的点集之间能一一对应吗？提示：由问题1,2可知能一一对应．[导入新知]1．复平面建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．2．复数的几何意义(1)复数z＝a＋b i(a，b∈R)一一对应复平面内的点Z(a，b)；(2)复数z＝a＋b i(a，b∈R)一一对应平面向量OZ＝(a，b)．3．复数的模复数z＝a＋b i(a，b∈R)对应的向量为OZ，则OZ的模叫做复数z的模，记作|z|或|a＋b i|，且|z|＝a2＋b2.[化解疑难]探究复数的几何意义根据复数与复平面内的点一一对应，复数与向量一一对应，可知复数z＝a＋b i、复平面内的点Z(a，b)和平面向量OZ之间的关系可用下图表示：复数与复平面内点的一一对应[例1] 15)i 的点Z (1)位于第三象限；(2)位于第四象限；(3)位于直线x －y －3＝0上． [自主解答] 因为x 是实数，所以x 2＋x －6，x 2－2x －15也是实数．(1)当实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x －6＜0，x 2－2x －15＜0，即－3＜x ＜2时，点Z 位于第三象限．(2)当实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x －6＞0，x 2－2x －15＜0，即2＜x ＜5时，点Z 位于第四象限．(3)当实数x 满足(x 2＋x －6)－(x 2－2x －15)－3＝0，即3x ＋6＝0，x ＝－2时，点Z 位于直线x －y －3＝0上．[类题通法]探究复数z 对应复平面内的点的位置如果Z 是复平面内表示复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)的点，则(1)当a ＞0，b ＞0时，点Z 位于第一象限；当a ＜0，b ＞0时，点Z 位于第二象限；当a ＜0，b ＜0时，点Z 位于第三象限；当a ＞0，b ＜0时，点Z 位于第四象限．(2)当a ＝0时，点Z 在虚轴上；当b ＝0时，点Z 在实轴上．(3)当b ＞0时，点Z 位于实轴上面的半平面内；当b ＜0时，点Z 位于实轴下面的半平面内．[活学活用]实数m 取什么值时，复平面内表示复数z ＝(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)i 的点 (1)位于x 轴上方； (2)位于直线y ＝x 上．解：(1)由m 2－2m －15＞0，得m ＜－3或m ＞5，此时z 在复平面内对应的点位于x 轴上方．(2)由m 2＋5m ＋6＝m 2－2m －15，得m ＝－3，此时z 在复平面内对应的点位于直线y ＝x 上.复数与平面向量的一一对应[例2] (1)已知平面直角坐标系中O 是原点，向量OA ，OB 对应的复数分别为2－3i ，－3＋2i ，那么向量BA 对应的复数是( )A ．－5＋5iB ．5－5iC ．5＋5iD ．－5－5i(2)在复平面内，A，B，C三点对应的复数分别为1,2＋i，－1＋2i.①求向量AB，AC，BC对应的复数；②判定△ABC的形状．(1)[解析] 向量OA，OB对应的复数分别为2－3i，－3＋2i，根据复数的几何意义，可得向量OA＝(2，－3)，OB＝(－3,2)．由向量减法的坐标运算可得向量BA＝OA－OB＝(2＋3，－3－2)＝(5，－5)，根据复数与复平面内的点一一对应，可得向量BA对应的复数是5－5i.[答案] B(2)[解] ①由复数的几何意义知：OA＝(1,0)，OB＝(2,1)，OC＝(－1,2)，∴AB＝OB－OA＝(1,1)，AC＝OC－OA＝(－2,2)，BC＝OC－OB＝(－3,1)，∴AB，AC，BC对应的复数分别为1＋i，－2＋2i，－3＋i.②∵|AB|＝2，|AC|＝22，|BC|＝10，∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，∴△ABC是以BC为斜边的直角三角形．[类题通法]复数与平面向量的对应关系(1)根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数．反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量．(2)解决复数与平面向量一一对应的题目时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化．[活学活用](湖北高考)i为虚数单位，设复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z1＝2－3i，则z2＝________.解析：由复数的几何意义知，z1，z2的实部、虚部均互为相反数，故z2＝－2＋3i.答案：－2＋3i复数模的计算－2i的模，并比较它们的模的大小．[例3] 求复数z1＝6＋8i及z2＝－2[自主解答] ∵z 1＝6＋8i ，z 2＝－12－2i ，∴|z 1|＝62＋82＝10， |z 2|＝－122＋－22＝32. ∵10>32，∴|z 1|>|z 2|.[类题通法]复数模的计算方法计算复数的模时，应先找出复数的实部和虚部，然后再利用模的公式进行计算，两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小．[活学活用]已知复数z ＝3＋a i ，且|z |＜4，求实数a 的取值范围． 解：∵z ＝3＋a i(a ∈R)，|z |＝32＋a 2， 由已知得 32＋a 2＜4，∴a 2＜7，即－7＜a ＜7，∴a ∈(－7，7)．2.复数模的几何意义及其应用[典例] 设z ∈C ，满足下列条件的点Z 的集合是什么图形？ (1)|z |＝2； (2)2＜|z |＜3.[解] (1)因为|z |＝2，即|OZ |＝2，所以满足|z |＝2的点Z 的集合是以原点为圆心，2为半径的圆，如图①.(2)不等式2＜|z |＜3可化为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧|z |＞2，|z |＜3，不等式|z |＞2的解集是圆|z |＝2外部所有的点组成的集合，不等式|z |＜3的解集是圆|z |＝3内部所有的点组成的集合，这两个集合的交集就是上述不等式组的解集．因此，满足条件2＜|z |＜3的点Z 的集合是以原点为圆心、分别以2和3为半径的两个圆所夹的圆环，但不包括圆环的边界，如图②.[多维探究]解决复数模的几何意义问题，需把握两个关键点：一是|z |表示点Z 到原点的距离，可依据|z |满足的条件判断点Z 的集合表示的图形；二是利用复数模的定义，把模的问题转化为几何问题来解决．要注意掌握复数模的几何意义常与轨迹、最值等问题相结合命题．1．满足条件|z －i|＝|3＋4i|的复数z 在复平面上对应点的轨迹是________． 解析：由已知得|z －i|＝5，令z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)， 则|x ＋(y －1)i|＝5.∴x 2＋(y －1)2＝25. ∴复数z 在复平面上对应点的轨迹是圆． 答案：圆2．已知z 1＝2(1－i)，且|z |＝1，则|z －z 1|的最大值为________．解析：|z |＝1，即|OZ |＝1，∴满足|z |＝1的点Z 的集合是以(0,0)为圆心，以1为半径的圆，又复数z 1＝2(1－i)在坐标系内对应的点为(2，－2)．故|z －z 1|的最大值为点Z 1(2，－2)到圆上的点的最大距离，即|z －z 1|的最大值为22＋1.答案：22＋1[随堂即时演练]1．在复平面内，复数z ＝(a 2－2a )＋(a 2－a －2)i 对应的点在虚轴上，则a 的值为( ) A ．a ＝0或a ＝2 B ．a ＝0 C ．a ≠1且a ≠2D ．a ≠1或a ≠2解析：选A ∵复数z ＝(a 2－2a )＋(a 2－a －2)i 对应的点在虚轴上，∴a 2－2a ＝0，∴a ＝0或a ＝2.2．在复平面内，复数z ＝sin 2＋icos 2对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选D 因为π2＜2＜π，所以sin 2＞0，cos 2＜0.所以复数z ＝sin 2＋icos 2对应的点位于第四象限．3．若复数z 1＝3－5i ，z 2＝1－i ，z 3＝－2＋a i 在复平面内所对应的点在同一条直线上，则实数a ＝________.解析：复数z 1，z 2，z 3分别对应点P 1(3，－5)，P 2(1，－1)，P 3(－2，a )，由已知可得－5＋13－1＝a ＋1－2－1，从而可得a ＝5. 答案：54．已知3－4i ＝x ＋y i(x ，y ∈R)，则|1－5i|，|x －y i|，|y ＋2i|的大小关系为________． 解析：由3－4i ＝x ＋y i(x ，y ∈R)， 得x ＝3，y ＝－4.而|1－5i|＝1＋52＝26， |x －y i|＝|3＋4i|＝32＋42＝5， |y ＋2i|＝|－4＋2i|＝－42＋22＝20，∵20<5<26，∴|y ＋2i|<|x －y i|<|1－5i|. 答案：|y ＋2i|<|x －y i|<|1－5i|5．在复平面内画出复数z 1＝12＋32i ，z 2＝－1，z 3＝12－32i 对应的向量1OZ ，2OZ ，3OZ ，并求出各复数的模，同时判断各复数对应的点在复平面上的位置关系．解：根据复数与复平面内的点的一一对应，可知点Z 1，Z 2，Z 3的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，(－1,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32，则向量1OZ ，2OZ ，3OZ 如图所示．|z 1|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝1， |z 2|＝|－1|＝1，|z 3|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＝1. 如图，在复平面xOy 内，点Z 1，Z 3关于实轴对称，且Z 1，Z 2，Z 3三点在以原点为圆心，1为半径的圆上．[课时达标检测]一、选择题1．设z ＝a ＋b i 对应的点在虚轴右侧，则( ) A ．a ＞0，b ＞0B ．a ＞0，b ＜0C ．b ＞0，a ∈RD ．a ＞0，b ∈R解析：选D 复数对应的点在虚轴右侧，则该复数的实部大于零，虚部可为任意实数． 2．已知z 1＝5＋3i ，z 2＝5＋4i ，下列选项中正确的是( ) A ．z 1＞z 2 B ．z 1＜z 2 C ．|z 1|＞|z 2|D ．|z 1|＜|z 2|解析：选D ∵复数不能比较大小，∴A ，B 不正确， 又|z 1|＝52＋32＝34，|z 2|＝52＋42＝41， ∴|z 1|＜|z 2|，故C 不正确，D 正确．3．在复平面内，O 为原点，向量OA 对应的复数为－1＋2i ，若点A 关于直线y ＝－x 的对称点为点B ，则向量OB 对应的复数为( )A ．－2－iB ．－2＋iC ．1＋2iD ．－1＋2i解析：选B 因为复数－1＋2i 对应的点为A (－1,2)，点A 关于直线y ＝－x 的对称点为B (－2,1)，所以OB 对应的复数为－2＋i.4．当23＜m ＜1时，复数z ＝(3m －2)＋(m －1)i 在复平面上对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选D 由23<m <1得⎩⎪⎨⎪⎧3m －2>0，m －1<0，∴复数z 在复平面内对应的点位于第四象限．5．已知实数a ，x ，y 满足a 2＋2a ＋2xy ＋(a ＋x －y )i ＝0，则点(x ，y )的轨迹是( ) A ．直线B ．圆心在原点的圆C ．圆心不在原点的圆D ．椭圆解析：选C 因为a ，x ，y ∈R ，所以a 2＋2a ＋2xy ∈R ，a ＋x －y ∈R.又a 2＋2a ＋2xy ＋(a＋x －y )i ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋2a ＋2xy ＝0，a ＋x －y ＝0，消去a 得(y －x )2＋2(y －x )＋2xy ＝0，即x 2＋y2－2x ＋2y ＝0，亦即(x －1)2＋(y ＋1)2＝2，该方程表示圆心为(1，－1)，半径为2的圆．二、填空题6．已知0＜a ＜2，复数z 的实部为a ，虚部为1，则|z |的取值范围是________． 解析：由题意得z ＝a ＋i ，根据复数的模的定义可知|z |＝a 2＋1.因为0＜a ＜2，所以1＜a 2＋1＜5，故1＜a 2＋1＜ 5.答案：(1，5)7．在复平面内，表示复数z ＝(m －3)＋2m i 的点位于直线y ＝x 上，则实数m ＝________. 解析：由表示复数z ＝(m －3)＋2m i 的点位于直线y ＝x 上，得m －3＝2m ，解得m ＝9.答案：98．已知z －|z |＝－1＋i ，则复数z ＝________. 解析：法一：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)， 由题意，得x ＋y i －x 2＋y 2＝－1＋i ， 即(x －x 2＋y 2)＋y i ＝－1＋i.根据复数相等的条件，得⎩⎨⎧x －x 2＋y 2＝－1，y ＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，∴z ＝i.法二：由已知可得z ＝(|z |－1)＋i ， 等式两边取模，得|z |＝|z |－12＋12.两边平方，得|z |2＝|z |2－2|z |＋1＋1⇒|z |＝1. 把|z |＝1代入原方程，可得z ＝i. 答案：i 三、解答题9．实数a 取什么值时，复平面内表示复数z ＝a 2＋a －2＋(a 2－3a ＋2)i 的点 (1)位于第二象限； (2)位于直线y ＝x 上．解：根据复数的几何意义可知，复平面内表示复数z ＝a 2＋a －2＋(a 2－3a ＋2)i 的点就是点Z (a 2＋a －2，a 2－3a ＋2)．(1)由点Z位于第二象限得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a －2＜0，a 2－3a ＋2＞0，解得－2＜a ＜1.故满足条件的实数a 的取值范围为(－2,1)．(2)由点Z 位于直线y ＝x 上得a 2＋a －2＝a 2－3a ＋2，解得a ＝1.故满足条件的实数a 的值为1.10．已知复数z ＝2＋cos θ＋(1＋sin θ)i(θ∈R)，试确定复数z 在复平面内对应的点的轨迹是什么曲线．解：设复数z 与复平面内的点(x ，y )相对应，则由复数的几何意义可知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos θ，y ＝1＋sin θ.由sin 2θ＋cos 2θ＝1可得(x －2)2＋(y －1)2＝1.所以复数z 在复平面内对应的点的轨迹是以(2,1)为圆心，1为半径的圆．_3.2复数代数形式的四则运算3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义复数的加减法[提出问题]已知复数z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R)．问题1：多项式的加减实质是合并同类项，类比想一想复数如何加减？提示：两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)，即(a ＋b i)±(c ＋d i)＝(a ±c )＋(b ±d )i.问题2：复数的加法满足交换律和结合律吗？ 提示：满足．问题3：以交换律说明之．提示：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ，z 2＋z 1＝(c ＋d i)＋(a ＋b i)＝(c ＋a )＋(d ＋b )i ，∴z 1＋z 2＝z 2＋z 1. [导入新知]1．复数的加、减法法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R)， 则z 1＋z 2＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ，z 1－z 2＝(a －c )＋(b －d )i.2．复数加法的运算律 (1)交换律：z 1＋z 2＝z 2＋z 1；(2)结合律：(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)．[化解疑难]对复数加减法的理解1．把复数的代数形式看成关于“i”的多项式，则复数的加法、减法运算，类似于多项式的加法、减法运算，只需要“合并同类项”就可以了．2．复数的加减法中规定，两复数相加减，是实部与实部相加减，虚部与虚部相加减，复数的加减法可推广到多个复数相加减的情形．3．两个复数的和(差)是复数，但两个虚数的和(差)不一定是虚数．例如，(3－2i)＋2i ＝3.复数加、减法的几何意义[提出问题]如图1OZ ，2OZ 分别与复数a ＋b i ，c ＋d i 对应． 问题1：试写出1OZ 、2OZ 及1OZ ＋2OZ ，1OZ －2OZ 的坐标．提示：1OZ ＝(a ，b )，2OZ ＝(c ，d )，1OZ ＋2OZ ＝(a ＋c ，b ＋d )，1OZ －2OZ ＝(a －c ，b －d )．问题2：向量1OZ ＋2OZ ，1OZ －2OZ 对应的复数分别是什么？提示：向量1OZ ＋2OZ 对应的复数是a ＋c ＋(b ＋d )i ，也就是z 1＋z 2，向量1OZ －2OZ 对应的复数是a －c ＋(b －d )i ，也就是z 1－z 2.[导入新知]复数加、减法的几何意义如图：设在复平面内复数z 1，z 2对应的向量分别为1OZ ，2OZ ，以OZ 1，OZ 2为邻边作平行四边形，则与z 1＋z 2对应的向量是OZ ，与z 1－z 2对应的向量是21Z Z .[化解疑难]对复数加减运算几何意义的认识复数加减运算的几何意义就是向量加减运算的平行四边形法则或三角形法则，由复数加减法的几何意义可得如下结论：||z 1|－|z 2||≤|z 1±z 2|≤|z 1|＋|z 2|.复数的加、减运算[例1] 计算：(2)(－1＋2i)＋(1＋2i)；(3)(a ＋b i)－(2a －3b i)－3i(a ，b ∈R)．[解] (1)(－2＋3i)＋(5－i)＝(－2＋5)＋(3－1)i ＝3＋2i. (2)(－1＋2i)＋(1＋2i)＝(－1＋1)＋(2＋2)i ＝22i.(3)(a ＋b i)－(2a －3b i)－3i ＝(a －2a )＋(b ＋3b －3)i ＝－a ＋(4b －3)i. [类题通法]复数的加、减运算的技巧复数的加减运算，只需把“i”看作一个字母，完全可以按照合并同类项的方法进行． [活学活用] 计算下列各题．(1)(3－2i)－(10－5i)＋(2＋17i)；(2)(1－2i)－(2－3i)＋(3－4i)－(4－5i)＋…＋(2 011－2 012i)． 解：(1)原式＝(3－10＋2)＋(－2＋5＋17)i ＝－5＋20i.(2)原式＝(1－2＋3－4＋…＋2 009－2 010＋2 011)＋(－2＋3－4＋5－…－2 010＋2 011－2 012)i ＝1 006－1 007i.复数加、减运算的几何意义[例2] 5－2i ，－4＋5i,2，求点D 对应的复数及对角线AC 、BD 的长．[解] 如图，因为AC 与BD 的交点M 是各自的中点，所以有z M ＝z A ＋z C2＝z B ＋z D2，所以z D ＝z A ＋z C －z B ＝1－7i ，因为AC ：z C －z A ＝2－(－5－2i)＝7＋2i ，所以|AC |＝|7＋2i|＝72＋22＝53，因为BD ：z D －z B ＝(1－7i)－(－4＋5i)＝5－12i ，所以|BD |＝|5－12i|＝52＋122＝13.故点D 对应的复数是1－7i ，AC 与BD 的长分别是53和13. [类题通法]运用复数加、减运算的几何意义应注意的问题向量加法、减法运算的平行四边形法则和三角形法则是复数加法、减法几何意义的依据．利用加法“首尾相接”和减法“指向被减数”的特点，在三角形内可求得第三个向量及其对应的复数．注意向量AB 对应的复数是z B －z A (终点对应的复数减去起点对应的复数)．[活学活用]复数z 1＝1＋2i ，z 2＝－2＋i ，z 3＝－1－2i ，它们在复平面内的对应点是一个正方形的三个顶点，如图所示，求这个正方形的第四个顶点对应的复数．解：复数z 1，z 2，z 3所对应的点分别为A ，B ，C ，设正方形的第四个顶点D 对应的复数为x ＋y i(x ，y ∈R)．因为AD ＝OD －OA ，所以AD 对应的复数为(x ＋y i)－(1＋2i)＝(x －1)＋(y －2)i ，因为BC ＝OC －OB ，所以BC 对应的复数为(－1－2i)－(－2＋i)＝1－3i.因为AD ＝BC ，所以它们对应的复数相等，即⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝1，y －2＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1.故点D 对应的复数为2－i.综合应用[例3] 设z 1，z 2∈C ，已知|z 1|＝|z 2|＝1，|z 1＋z 2|＝2，求|z 1－z 2|.[解] 法一：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R)，由题设知a 2＋b 2＝1，c 2＋d 2＝1，(a ＋c )2＋(b ＋d )2＝2，又(a ＋c )2＋(b ＋d )2＝a 2＋2ac ＋c 2＋b 2＋2bd ＋d 2， ∴2ac ＋2bd ＝0.∵|z 1－z 2|2＝(a －c )2＋(b －d )2＝a 2＋c 2＋b 2＋d 2－(2ac ＋2bd )＝2， ∴|z 1－z 2|＝ 2.法二：作出z 1，z 2对应的向量1OZ ，2OZ ，使1OZ ＋2OZ ＝OZ ，∵|z 1|＝|z 2|＝1，又1OZ ，2OZ 不共线(若1OZ ，2OZ 共线，则|z 1＋z 2|＝2或0与题设矛盾)，∴平行四边形OZ 1ZZ 2为菱形． 又|z 1＋z 2|＝2，∴∠Z 1OZ 2＝90°，即四边形OZ 1ZZ 2为正方形， 故|z 1－z 2|＝ 2.[类题通法]与复数模有关的几个常见结论在复平面内，z1，z2对应的点为A，B，Z1＋Z2对应的点为C，O为坐标原点，则四边形OACB：(1)为平行四边形；(2)若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为矩形；(3)若|z1|＝|z2|，则四边形OACB为菱形；(4)若|z1|＝|z2|且|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为正方形．[活学活用]已知|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，求|z1＋z2|.解：法一：设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)，∵|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，∴a2＋b2＝c2＋d2＝1，①(a－c)2＋(b－d)2＝1. ②由①②得2ac＋2bd＝1.∴|z1＋z2|＝a＋c2＋b＋d2＝a2＋c2＋b2＋d2＋2ac＋2bd＝ 3.法二：设O为坐标原点，z1，z2，z1＋z2对应的点分别为A，B，C.∵|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，∴△OAB是边长为1的正三角形，∴四边形OACB是一个内角为60°，边长为1的菱形，且|z1＋z2|是菱形的较长的对角线OC的长，∴|z1＋z2|＝|OC|＝|OA|2＋|AC|2－2|OA||AC|cos 120°＝ 3.4.误将复数运算当作实数运算[典例] M＝{z||z＋1|＝1}，N＝{z||z＋i|＝|z－i|}，则M∩N＝________.[解析] 利用复数的几何意义解决问题．在复平面内，|z ＋1|＝1的几何意义是以点(－1,0)为圆心，以1为半径的圆．|z ＋i|＝|z －i|的几何意义是到点A (0,1)和点B (0，－1)距离相等的点的集合，是线段AB 的垂直平分线，也就是x 轴．M ∩N 的几何意义是x 轴与圆的公共点对应的复数．故z ＝0或z ＝－2.∴M ∩N ＝{0，－2}． [答案] {0，－2} [易错防范]1．本题若混淆复数运算与代数运算的不同，则会错误的将集合M 和N 化简为M ＝{z |z ＋1＝±1}，N ＝{z |z ＋i ＝±(z －i)}从而造成解题错误．2．在复数运算中，若z ＝a ＋b i ，则|z |＝a 2＋b 2.要注意与实数运算中的绝对值运算的区别．[成功破障]已知复数z 满足z ＋|z |＝2＋8i ，则复数z ＝________. 解析：法一：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则|z |＝a 2＋b 2， 代入方程得a ＋b i ＋a 2＋b 2＝2＋8i ，∴⎩⎨⎧a ＋a 2＋b 2＝2，b ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－15，b ＝8.∴z ＝－15＋8i.法二：原式可化为z ＝2－|z |＋8i ， ∵|z |∈R ，∴2－|z |是z 的实部， 于是|z |＝2－|z |2＋82，即|z |2＝68－4|z |＋|z |2，∴|z |＝17. 代入z ＝2－|z |＋8i 得z ＝－15＋8i. 答案：－15＋8i.[随堂即时演练]1．复数(1－i)－(2＋i)＋3i 等于( ) A ．－1＋iB ．1－iC ．iD ．－i解析：选A 原式＝(1－2)＋(－1－1＋3)i ＝－1＋i.2．在复平面内，AB ，AC 对应的复数分别为－1＋2i ，－2－3i ，则BC 对应的复数为( )A ．－1－5iB ．－1＋5iC ．3－4iD ．3＋4i解析：选A BC ＝AC －AB ＝(－2－3i)－(－1＋2i) ＝－1－5i.3．实数x ，y 满足(1＋i)x ＋(1－i)y ＝2，则xy 的值是________． 解析：由题意得x ＋y ＋(x －y )i ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，x －y ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，∴xy ＝1. 答案：14．已知z 是复数，|z |＝3且z ＋3i 是纯虚数，则z ＝________. 解析：设z ＝a ＋b i ，则a ＋b i ＋3i ＝a ＋(b ＋3)i 是纯虚数， ∴a ＝0，b ＋3≠0，又∵|z |＝3，∴b ＝3，∴z ＝3i. 答案：3i5．已知z 1＝(3x ＋y )＋(y －4x )i ，z 2＝(4y －2x )－(5x ＋3y )i(x ，y ∈R)，设z ＝z 1－z 2＝13－2i ，求z 1，z 2.解：z ＝z 1－z 2＝(3x ＋y )＋(y －4x )i －[(4y －2x )－(5x ＋3y )i] ＝[(3x ＋y )－(4y －2x )]＋[(y －4x )＋(5x ＋3y )]i ＝(5x －3y )＋(x ＋4y )i ， 又∵z ＝13－2i ，且x ，y ∈R ，∴⎩⎪⎨⎪⎧5x －3y ＝13，x ＋4y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1，∴z 1＝(3×2－1)＋(－1－4×2)i＝5－9i ，z 2＝4×(－1)－2×2－[5×2＋3×(－1)]i ＝－8－7i.[课时达标检测]一、选择题1．已知z 1＝2＋i ，z 2＝1－2i ，则复数z ＝z 2－z 1对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选C z ＝z 2－z 1＝(1－2i)－(2＋i)＝－1－3i.故z 对应的点为(－1，－3)，位于第三象限．2．设f (z )＝z ，z 1＝3＋4i ，z 2＝－2－i ，则f (z 1－z 2)等于( ) A ．1－3i B ．－2＋11i C ．－2＋iD ．5＋5i解析：选D ∵z 1＝3＋4i ，z 2＝－2－i ， ∴z 1－z 2＝(3＋4i)－(－2－i)＝5＋5i ， 又∵f (z )＝z ，∴f (z 1－z 2)＝z 1－z 2＝5＋5i.3．在复平面内的平行四边形ABCD 中，AC 对应的复数是6＋8i ，BD 对应的复数是－4＋6i ，则DA 对应的复数是( )A ．2＋14iB ．1＋7iC ．2－14iD ．－1－7i解析：选D 依据向量的平行四边形法则可得DA ＋DC ＝DB ，DC －DA ＝AC ，由AC 对应的复数是6＋8i ，BD 对应的复数是－4＋6i ，依据复数加减法的几何意义可得DA 对应的复数是－1－7i.4．复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)满足条件|z －4i|＝|z ＋2|，则2x ＋4y的最小值为( ) A ．2 B ．4 C ．4 2D ．16解析：选C 由|z －4i|＝|z ＋2|得 |x ＋(y －4)i|＝|x ＋2＋y i|， ∴x 2＋(y －4)2＝(x ＋2)2＋y 2， 即x ＋2y ＝3， ∴2x＋4y＝2x＋22y≥2 2x ＋2y＝223＝42，当且仅当x ＝2y ＝32时，2x ＋4y取得最小值4 2.5．△ABC 的三个顶点所对应的复数分别为z 1，z 2，z 3，复数z 满足|z －z 1|＝|z －z 2|＝|z －z 3|，则z 对应的点是△ABC 的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心解析：选A 设复数z 与复平面内的点Z 相对应，由△ABC 的三个顶点所对应的复数分别为z 1，z 2，z 3及|z －z 1|＝|z －z 2|＝|z －z 3|可知点Z 到△ABC 的三个顶点的距离相等，由三角形外心的定义可知，点Z 即为△ABC 的外心．二、填空题6．设z 1＝x ＋2i ，z 2＝3－y i(x ，y ∈R)，且z 1＋z 2＝5－6i ，则z 1－z 2＝________. 解析：∵z 1＋z 2＝5－6i ， ∴(x ＋2i)＋(3－y i)＝5－6i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3＝5，2－y ＝－6，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝8，∴z 1＝2＋2i ，z 2＝3－8i ，∴z 1－z 2＝(2＋2i)－(3－8i)＝－1＋10i. 答案：－1＋10i7．已知复数z 1＝(a 2－2)＋(a －4)i ，z 2＝a －(a 2－2)i(a ∈R)，且z 1－z 2为纯虚数，则a ＝________.解析：z 1－z 2＝(a 2－a －2)＋(a －4＋a 2－2)i(a ∈R)为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －2＝0，a 2＋a －6≠0，解得a ＝－1.答案：－18．若复数z 满足z －1＝cos θ＋isin θ，则|z |的最大值为________． 解析：∵z －1＝cos θ＋isin θ，∴z ＝(1＋cos θ)＋isin θ， ∴|z |＝ 1＋cos θ2＋sin 2θ＝21＋cos θ≤2×2＝2.答案：2 三、解答题9.如图所示，平行四边形OABC 的顶点O ，A ，C 分别对应复数0,3＋2i ，－2＋4i.求：(1)向量AO 对应的复数； (2)向量CA 对应的复数； (3)向量OB 对应的复数．解：(1)因为AO ＝－OA ，所以向量AO 对应的复数为－3－2i.(2)因为CA ＝OA －OC ，所以向量CA 对应的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. (3)因为OB ＝OA ＋OC ，所以向量OB 对应的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i. 10．已知复平面内的A ，B 对应的复数分别是z 1＝sin 2θ＋i ，z 2＝－cos 2θ＋icos 2θ，其中θ∈(0，π)，设AB 对应的复数是z .(1)求复数z ；(2)若复数z 对应的点P 在直线y ＝12x 上，求θ的值．解：(1)∵点A ，B 对应的复数分别是z 1＝sin 2θ＋i ，z 2＝－cos 2θ＋icos 2θ，∴点A ，B 的坐标分别是A (sin 2θ，1)，B (－cos 2θ，cos 2θ)，∴AB ＝(－cos 2θ，cos 2θ)－(sin 2θ，1)＝(－cos 2θ－sin 2θ，cos 2θ－1)＝(－1，－2sin 2θ)．∴AB 对应的复数z ＝－1＋(－2sin 2θ)i.(2)由(1)知点P 的坐标是(－1，－2sin 2θ)，代入y ＝12x ，得－2sin 2θ＝－12，即sin 2θ＝14，∴sin θ＝±12.又∵θ∈(0，π)∴sin θ＝12，∴θ＝π6或5π6.3．2.2 复数代数形式的乘除运算复数的乘法[导入新知]1．复数的乘法设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i是任意两个复数，那么它们的积(a＋b i)(c＋d i)＝ac＋bc i＋ad i＋bd i2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i(a，b，c，d∈R)．2．复数乘法的运算律对于任意z1，z2，z3∈C，有交换律z1·z2＝z2·z1结合律(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)乘法对加法的分配律z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3[化解疑难]对复数乘法的理解(1)复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把i2换成－1，再把实部、虚部分别合并．(2)两个复数的积仍然是一个复数，可推广到任意多个复数，任意多个复数的积仍然是一个复数.复数的除法[提出问题]问题1：复数z1＝a＋b i与z2＝a－b i(a，b∈R)有什么关系？提示：两复数实部相等，虚部互为相反数．问题2：试求z1＝a＋b i，z2＝a－b i(a，b∈R)的积．提示：z1z2＝a2＋b2，积为实数．问题3：如何规定两复数z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R，c＋d i≠0)相除？提示：通常先把(a ＋b i)÷(c ＋d i)写成a ＋b ic ＋d i的形式，再把分子和分母都乘c －d i ，化简后可得结果．即a ＋b i c ＋d i ＝a ＋b ic －d i c ＋d i c －d i ＝ac ＋bd ＋bc －ad ic 2＋d 2＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －adc 2＋d 2i(c ＋d i≠0)． [导入新知] 1．共轭复数的概念一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．通常记复数z 的共轭复数为z ，虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数．2．复数的除法法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(c ＋d i≠0)， 则z 1z 2＝a ＋b ic ＋d i ＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －adc 2＋d 2i(c ＋d i≠0)．[化解疑难]辨析复数除法与实数除法的关系复数的除法和实数的除法有所不同，实数的除法可以直接约分、化简得出结果；而复数的除法是先将两复数的商写成分式，然后分母实数化(分子、分母同乘分母的共轭复数)．复数的乘除运算[例1] 计算：(1)(1＋i)(1－i)＋(－1＋i)； (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋12i (1＋i)； (3)(－2＋3i)÷(1＋2i)； (4)3＋2i 2－3i －3－2i 2＋3i. [解] (1)(1＋i)(1－i)＋(－1＋i) ＝1－i 2＋(－1＋i)＝2－1＋i ＝1＋i. (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋12i (1＋i)＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－34－34＋⎝⎛⎭⎪⎫34－14i (1＋i)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋12i (1＋i) ＝⎝⎛⎭⎪⎫－32－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32i ＝－1＋32＋1－32i.(3)(－2＋3i)÷(1＋2i)＝－2＋3i1＋2i ＝－2＋3i1－2i1＋2i1－2i＝－2＋6＋3＋4i 12＋22＝45＋75i. (4)法一：3＋2i 2－3i －3－2i2＋3i＝3＋2i2＋3i －3－2i 2－3i2－3i 2＋3i＝6＋13i －6－6＋13i ＋64＋9＝26i13＝2i.法二：3＋2i 2－3i －3－2i 2＋3i ＝i 2－3i 2－3i －－i 2＋3i2＋3i＝i ＋i ＝2i. [类题通法]复数乘除运算的常用技巧(1)按照复数的乘法法则，三个或三个以上的复数相乘可按从左到右的顺序运算或利用结合律运算，混合运算和实数的运算顺序一致，在计算时，若符合乘法公式，则可直接运用公式计算．(2)根据复数的除法法则，通过分子、分母都乘以分母的共轭复数，使“分母实数化”，这个过程与“分母有理化”类似．[活学活用](1)已知复数z 1＝4＋8i ，z 2＝6＋9i ，求复数(z 1－z 2)i 的实部与虚部；(2)已知z 是纯虚数，z －21＋i是实数，求z .解：(1)由题意得z 1－z 2＝(4＋8i)－(6＋9i)＝(4－6)＋(8i －9i)＝－2－i ，则(z 1－z 2)i ＝(－2－i)i ＝－2i －i 2＝1－2i.于是复数(z 1－z 2)i 的实部是1，虚部是－2.(2)设纯虚数z ＝b i(b ∈R)， 则z －21＋i ＝b i －21＋i＝b i －21－i 1＋i 1－i ＝b －2＋b ＋2i2.由于z －21＋i是实数，所以b ＋2＝0，即b ＝－2，所以z ＝－2i.共轭复数[例2] (1)若z ＝1i ，则复数z ＝( )A ．－2－iB ．－2＋iC ．2－iD ．2＋i(2)(四川高考)如图，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是( )A ．AB ．BC ．CD ．D(3)复数z ＝1＋i ，z －为z 的共轭复数，则z z －－z －1＝( ) A ．－2i B ．－i C ．iD ．2i[解析] (1)z ＝1＋2i i ＝1＋2i －i －i 2＝2－i ，则复数z －＝2＋i. (2)因为x ＋y i 的共轭复数为x －y i ，故选B.(3)依题意得z z －－z －1＝(1＋i)(1－i)－(1＋i)－1＝－i. [答案] (1)D (2)B (3)B [类题通法]共轭复数的求解与应用(1)若复数z 的代数形式已知，则根据共轭复数的定义可以写出z －，再进行复数的四则运算．必要时，需通过复数的运算先确定出复数z 的代数形式，再根据共轭复数的定义求z －.(2)共轭复数应用的另一种常见题型是：已知关于z 和z －的方程，而复数z 的代数形式未知，求z ，解此类题的常规思路为设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则z －＝a －b i ，代入所给等式，利用复数相等的充要条件，转化为方程(组)求解．[活学活用]已知复数z ＝1＋i ，复数z 的共轭复数z －＝1－i ，求实数a 、b 使az ＋2b z －＝(a ＋2z )2. 解：∵z ＝1＋i ，z －＝1－i ，∴az ＋2b z －＝(a ＋2b )＋(a －2b )i ，(a ＋2z )2＝(a ＋2)2－4＋4(a ＋2)i ＝(a 2＋4a )＋4(a ＋2)i. ∵a 、b 都是实数，∴由az ＋2b z －＝(a ＋2z )2，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＝a 2＋4a ，a －2b ＝4a ＋2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－1，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝2.复数运算的综合应用[例3] 已知z 1是虚数，z 2＝z 1＋z 1是实数，且－1≤z 2≤1.(1)求|z 1|的值以及z 1的实部的取值范围； (2)若ω＝1－z 11＋z 1，求证：ω为纯虚数．[解] 设z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R ，且b ≠0)．(1)z 2＝z 1＋1z 1＝a ＋b i ＋1a ＋b i ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a a 2＋b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b －b a 2＋b 2i.因为z 2是实数，b ≠0，于是有a 2＋b 2＝1，即|z 1|＝1，所以z 2＝2a .由－1≤z 2≤1，得－1≤2a ≤1，解得－12≤a ≤12，即z 1的实部的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12.(2)ω＝1－z 11＋z 1＝1－a －b i 1＋a ＋b i ＝1－a 2－b 2－2b i 1＋a 2＋b 2＝－ba ＋1i. 因为a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12，b ≠0，所以ω为纯虚数． [类题通法]解决双复数问题的方法解决此类双复数问题的关键是设出已知条件较多的一个复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，注意题目对a ，b 取值的限制，然后用a ，b 表示出另外的复数，进而转化求解．此类题目难度较大，除需正确进行复数的四则运算外，还需掌握复数的基本概念及复数模的定义．[活学活用]已知z ，ω为复数，(1＋3i)z 为实数，ω＝z2＋i ，且|ω|＝52，求ω.解：设ω＝x ＋y i(x ，y ∈R)，由ω＝z2＋i，得z ＝ω(2＋i)＝(x ＋y i)(2＋i)．依题意，得(1＋3i)z ＝(1＋3i)(x ＋y i)(2＋i)＝(－x －7y )＋(7x －y )i ， ∴7x －y ＝0. ①。
人教A版数学高二选修1-2学案3.1数系的扩充和复数的概念
第1课时数系的扩充和复数的概念[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P50～P51的内容，回答下列问题．(1)方程x2＋1＝0在实数范围内有解吗？提示：没有．(2)为了解决x2＋1＝0这样的方程在实数系中无解的问题，教材中引入了一个什么样的新数？提示：引入了新数i，使i·i＝－1.(3)把实数a与引入的新数i相加，把实数b与i相乘，各得到什么结果？提示：分别得到a＋i，b i.(4)把实数a与实数b和i相乘的结果相加，得到什么结果？提示：得到a＋b i.2．归纳总结，核心必记(1)复数的概念及代数表示①定义：形如a＋b i(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2＝－1.全体复数所成的集合C叫做复数集．②表示：复数通常用字母z表示，即z＝a＋b i(a，b∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式，a与b分别叫做复数z的实部与虚部．(2)复数相等的充要条件在复数集C＝{a＋b i|a，b∈R}中任取两个数a＋b i，c＋d i(a，b，c，d∈R)，规定a＋b i 与c＋d i相等的充要条件是a＝c且b＝d.(3)复数的分类①复数a ＋b i(a ，b ∈R)⎩⎪⎨⎪⎧实数(b ＝0)，虚数(b ≠0)(当a ＝0时为纯虚数).②集合表示：[问题思考](1)复数m ＋n i 的实部、虚部一定是m 、n 吗？提示：不一定．只有当m ∈R ，n ∈R 时，m ， n 才是该复数的实部、虚部． (2)对于复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，它的虚部是b 还是b i? 提示：虚部为b .(3)复数z ＝a ＋b i 在什么情况下表示实数？ 提示：b ＝0.(4)复数集C 与实数集R 之间有什么关系？ 提示：R C.(5)我们知道0是实数，也是复数，那么它的实部和虚部分别是什么？ 提示：它的实部和虚部都是0.(6)a ＝0是z ＝a ＋b i 为纯虚数的充要条件吗？提示：不是．因为当a ＝0且b ≠0时，z ＝a ＋b i 才是纯虚数，所以a ＝0是复数z ＝a ＋b i 为纯虚数的必要不充分条件．(7)z 1＝3＋2i ，z 2＝12－3i ，z 3＝－0.5i ，则z 1，z 2，z 3的实部和虚部各是什么？能否说z 1>z 2?提示：z 1的实部为3，虚部为2；z 2的实部为12，虚部为－3；z 3的实部为0，虚部为－0.5.因为两个虚数不能比较大小，所以不能说z 1>z 2.(8)若(a －2)＋b i>0，则a ，b 应满足什么条件？提示：要使(a －2)＋b i>0成立，则(a －2)＋b i 应为实数，且a －2>0，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝0，a －2>0，故⎩⎪⎨⎪⎧a >2，b ＝0.[课前反思]通过以上预习，必须掌握的几个知识点．(1)复数的定义是什么？；(2)复数的代数形式是什么？什么是复数的实部和虚部？；(3)复数相等的充要条件是什么？；(4)复数的分类是什么？复数z＝a＋b i(a，b∈R)是实数、虚数、纯虚数的条件是什么？.讲一讲1．给出下列三个命题：(1)若z∈C，则z2≥0；(2)2i－1的虚部是2i；(3)2i的实部是0.其中真命题的个数为()A．0 B．1 C．2 D．3[尝试解答]对(1)，当z∈R时，z2≥0成立，否则不成立，如z＝i，z2＝－1<0，所以(1)为假命题；对(2)，2i－1＝－1＋2i，其虚部为2，不是2i，(2)为假命题；对(3)，2i＝0＋2i，其实部是0，(3)为真命题．故选B.[答案] B(1)两个复数不全是实数，就不能比较大小．(2)一个数的平方非负在实数范围内是真命题，在复数范围内是假命题，所以在判定数的性质和结论时，一定要关注在哪个数集上．(3)对于复数实部、虚部的确定不但要把复数化为a ＋b i 的形式，更要注意这里a ，b 均为实数时，才能确定复数的实、虚部．练一练 1．下列命题中：①若a ∈R ，则(a ＋1)i 是纯虚数； ②复数z ＝0的实部和虚部均为0；③若(x 2－1)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，则实数x ＝±1； ④两个虚数不能比较大小． 其中，正确命题的序号是( ) A ．① B ．②④ C ．②③ D ．③④解析：选B 在①中，若a ＝－1， 则(a ＋1)i 不是纯虚数， 故①错误；在③中，若x ＝－1，则(x 2－1)＋(x 2＋3x ＋2)i ＝0为实数， 故③错误；②、④正确．[思考] 当a ，b 满足什么条件时，复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)是实数、虚数、纯虚数？ 名师指津：当b ＝0时，a ＋b i 是实数；当b ≠0时，a ＋b i 是虚数；当a ＝0，b ≠0时，a ＋b i 是纯虚数．讲一讲2．实数x 分别取什么值时，复数z ＝x 2－x －6x ＋3＋(x 2－2x －15)i 是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．[尝试解答] (1)当x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －15＝0，x ＋3≠0，即x ＝5时，z 是实数．(2)当x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －15≠0，x ＋3≠0，即x ≠－3且x ≠5时，z 是虚数．(3)当x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6x ＋3＝0，x 2－2x －15≠0，即x ＝－2或x ＝3时，z 是纯虚数．判断一个复数在什么情况下是实数、虚数或者纯虚数，应首先保证复数的实部、虚部均有意义．其次根据分类的标准，列出实部、虚部应满足的关系式再求解．练一练2．实数m 为何值时，z ＝lg(m 2＋2m ＋1)＋(m 2＋3m ＋2)i 是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数． 解：(1)若z 为实数，则⎩⎪⎨⎪⎧ m 2＋2m ＋1>0，m 2＋3m ＋2＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≠－1，m ＝－2或m ＝－1，解得m ＝－2.∴当m ＝－2时，z 为实数．(2)若z 是虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m ＋1>0，m 2＋3m ＋2≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≠－1，m ≠－2且m ≠－1， 解得m ≠－2且m ≠－1.∴当m ≠－2且m ≠－1时，z 为虚数．(3)若z 为纯虚数，则⎩⎨⎧lg m 2＋2m ＋1＝0，m 2＋3m ＋2≠0，即⎩⎨⎧ m 2＋2m ＋1＝1，m 2＋3m ＋2≠0，即⎩⎨⎧m ＝0或m ＝－2，m ≠－1且m ≠－2.解得m ＝0.∴当m ＝0时，z 为纯虚数．[思考] 若复数z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(其中a ，b ，c ，d ∈R)，则z 1＝z 2的充要条件是什么？名师指津：z 1＝z 2⇔a ＝c 且b ＝d . 讲一讲3．根据下列条件，分别求实数x ，y 的值． (1)x 2－y 2＋2xy i ＝2i ； (2)(2x －1)＋i ＝y －(3－y )i.[尝试解答] (1)∵x 2－y 2＋2xy i ＝2i ，且x ，y ∈R ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 2＝0，2xy ＝2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1.(2)∵(2x －1)＋i ＝y －(3－y )i ，且x ，y ∈R ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＝y ，1＝－(3－y )，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝52，y ＝4.复数相等的充要条件是复数问题实数化的主要依据，多用来求参数，其步骤是：分别确定两个复数的实部与虚部，利用实部与实部、虚部与虚部分别相等，列方程组求解．练一练3．已知复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)，且x ，y 满足2x ＋y ＋x i ＝8＋(1＋y )i ，求复数z . 解：∵2x ＋y ＋x i ＝8＋(1＋y )i ，且x ，y ∈R ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ＝8，x ＝1＋y ， 即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝3，x －y ＝1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1.∴z ＝2＋i.———————————————[课堂归纳·感悟提升]————————————— 1．本节课的重点是复数的分类及复数相等的充要条件，难点是复数的概念． 2．本节课要重点掌握的规律方法 (1)由复数的分类求参数，见讲2；(2)复数相等的充要条件的应用，见讲3.3．若z ＝a ＋b i ，只有当a ，b ∈R 时，a 才是z 的实部，b 才是z 的虚部，且注意虚部不是b i ，而是b .不要将复数与虚数的概念混淆，实数也是复数，实数和虚数是复数的两大构成部分．这是本节课的易错点．课下能力提升(七)[学业水平达标练]题组1 复数的概念1．设全集I ＝{复数}，R ＝{实数}，M ＝{纯虚数}，则( ) A ．M ∪R ＝I B ．(∁I M )∪R ＝I C ．(∁I M )∩R ＝R D ．M ∩(∁I R )＝∅解析：选C 根据复数、纯虚数的定义以及它们之间的关系进行判断．依题意，I ，R ，M 三个集合之间的关系如图所示．所以应有：M ∪R I ，(∁I M )∪R ＝∁I M ，M ∩(∁I R )≠∅，故A ，B ，D 三项均错，只有C项正确．2．以－5＋2i 的虚部为实部，以5i ＋2i 2的实部为虚部的复数是( ) A ．2－2i B ．2＋2i C ．－5＋5i D.5＋5i解析：选A －5＋2i 的虚部为2，5i ＋2i 2＝－2＋5i ，其实部为－2，故所求复数为2－2i.3．若复数2－b i(b ∈R)的实部与虚部互为相反数，则b 的值为( ) A ．－2 B.23 C ．－23D ．2解析：选D 复数2－b i 的实部为2，虚部为－b ，由题意知2＝－(－b )，即b ＝2.4．下列四个命题： ①两个复数不能比较大小；②若x ，y ∈C ，则x ＋y i ＝1＋i 的充要条件是x ＝y ＝1； ③若实数a 与a i 对应，则实数集与纯虚数集一一对应； ④实数集相对复数集的补集是虚数集． 其中是真命题的有________(填序号)．解析：①中当这两个复数都是实数时，可以比较大小．故①不正确；②由于x ，y 都是复数，故x ＋y i 不一定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件．故②不正确；③若a ＝0，则a i 不是纯虚数，即实数集中的0在纯虚数集中没有对应元素，故③不正确；④由实数集、虚数集、复数集之间的关系知④正确． 答案：④题组2 复数的分类5．在2＋7，27i,0,8＋5i ，(1－3)i,0.618这几个数中，纯虚数的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C 27i ，(1－3)i 是纯虚数，2＋7，0,0.618是实数，8＋5i 是虚数．6．若复数z ＝m 2－1＋(m 2－m －2)i 为实数，则实数m 的值为( ) A ．－1 B ．2 C ．1 D ．－1或2解析：选D ∵复数z ＝m 2－1＋(m 2－m －2)i 为实数，∴m 2－m －2＝0，解得m ＝－1或m ＝2.7．若复数(a 2－3a ＋2)＋(a －1)i 是纯虚数，则实数a 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．1或2 D ．－1解析：选B 根据复数的分类知，需满足⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－3a ＋2＝0，a －1≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1或a ＝2，a ≠1，即a＝2.8．已知m ∈R ，复数z ＝m (m ＋2)m －1＋(m 2＋2m －3)i ，当m 为何值时，(1)z 为实数；(2)z 为虚数；(3)z 为纯虚数．解：(1)要使z 为实数，需满足m 2＋2m －3＝0，且m (m ＋2)m －1有意义即m －1≠0，解得m＝－3.(2)要使z 为虚数，需满足m 2＋2m －3≠0，且m (m ＋2)m －1有意义即m －1≠0，解得m ≠1且m ≠－3.(3)要使z 为纯虚数，需满足m (m ＋2)m －1＝0，且m 2＋2m －3≠0，解得m ＝0或m ＝－2. 题组3 复数相等的充要条件9．若4－3a －a 2i ＝a 2＋4a i ，则实数a 的值为( ) A ．1 B ．1或－4 C ．－4 D ．0或－4解析：选C 易知⎩⎪⎨⎪⎧4－3a ＝a 2，－a 2＝4a ，解得a ＝－4.10．已知(3x ＋y )＋(2x －y )i ＝(7x －5y )＋3i ，则实数x ＝________，y ＝________. 解析：∵x ，y 是实数，∴根据两个复数相等的充要条件，可得⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＝7x －5y ，2x －y ＝3，解得⎩⎨⎧x ＝94，y ＝32.答案：94 32[能力提升综合练]1．若复数z ＝(m ＋2)＋(m 2－9)i(m ∈R)是正实数，则实数m 的值为( ) A ．－2 B ．3 C ．－3 D ．±3解析：选B 依题意应有⎩⎪⎨⎪⎧m 2－9＝0，m ＋2>0，解得m ＝3.2．若(7－3x )＋3y i ＝2y ＋2(x ＋2)i(x ，y ∈R)，则x ，y 的值分别为( ) A ．1,2 B ．2,1 C ．－1,2 D ．－2,1解析：选A (7－3x )＋3y i ＝2y ＋2(x ＋2)i ⇔⎩⎪⎨⎪⎧ 7－3x ＝2y ，3y ＝2(x ＋2)⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.即x ，y 的值分别为 1,2.3．已知M ＝{1,2，m 2－3m －1＋(m 2－5m －6)i}，N ＝{－1,3}，M ∩N ＝{3}，则实数m 的值为( )A ．－1或6B ．－1或4C ．－1D ．4解析：选C 由M ∩N ＝{3}，知m 2－3m －1＋(m 2－5m －6)i ＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m －1＝3，m 2－5m －6＝0，解得m ＝－1. 4．已知z 1＝－4a ＋1＋(2a 2＋3a )i ，z 2＝2a ＋(a 2＋a )i ，其中a ∈R ，z 1>z 2，则a 的值为( ) A ．0 B ．－1 C ．－32 D.16解析：选A 由z 1>z 2，得⎩⎪⎨⎪⎧2a 2＋3a ＝0，a 2＋a ＝0，－4a ＋1>2a ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0或a ＝－32，a ＝0或a ＝－1，a <16.解得a ＝0.5．若log 2(m 2－3m －3)＋ilog 2(m －2)为纯虚数，则实数m ＝________.解析：因为log 2(m 2－3m －3)＋ilog 2(m －2)为纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧log 2(m 2－3m －3)＝0，log 2(m －2)≠0，m －2>0，所以m ＝4.答案：46．若log 2(x 2－3x －2)＋ilog 2(x 2＋2x ＋1)>1，则实数x 的值(或取值范围)是________．解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x 2＋2x ＋1)＝0，log 2(x 2－3x －2)>1.解得x ＝－2. 答案：－27．已知关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫x ＋32＋2(y ＋1)i ＝y ＋4x i ，(2x ＋ay )－(4x －y ＋b )i ＝9－8i 有实数解，求实数a ，b 的值．解：设(x 0，y 0)是方程组的实数解，则由已知及复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＋32＝y 0， ①2(y 0＋1)＝4x 0， ②2x 0＋ay 0＝9， ③－(4x 0－y 0＋b )＝－8， ④由①②得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝52，y 0＝4，代入③④得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.8．已知M ＝{1，(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i}，P ＝{－1,1,4i}，若M ∪P ＝P ，求实数m 的值．解：∵M ∪P ＝P ，∴M ⊆P ，即(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝－1或(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝4i.由(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－2m ＝－1，m 2＋m －2＝0，解得m ＝1； 由(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝4i ，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＝0，m 2＋m －2＝4，解得m ＝2. 综上可知m ＝1或m ＝2.第2课时 复数的几何意义[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P 52～P 53的内容，回答下列问题．(1)根据复数相等的定义，复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)与有序实数对(a ，b )之间有什么对应关系？提示：一一对应关系．(2)有序实数对(a ，b )与平面直角坐标系内的点有怎样的对应关系？ 提示：一一对应关系．(3)通过以上2个问题，你认为复数集与平面直角坐标系中的点集之间有什么对应关系？ 提示：一一对应关系． 2．归纳总结，核心必记 (1)复平面的定义建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴．显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．(2)复数的几何意义①复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)一一对应复平面内的点Z (a ，b )； ②复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)一一对应平面向量.(3)复数的模复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)对应的向量为，则的模叫做复数z 的模，记作|z |或|a ＋b i|，且|z |＝a 2＋b 2.[问题思考](1)复平面的虚轴的单位长度是1，还是i? 提示：复平面的虚轴的单位长度是1，而不是i. (2)原点是实轴与虚轴的公共点吗？ 提示：是．(3)若复数(a ＋1)＋(a －1)i(a ∈R)在复平面内对应的点P 在第四象限，则a 满足什么条件？提示：a 满足⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1>0，a －1<0，即－1<a <1.(4)若复数z 的实部为－1，虚部为2，则|z |为何值？ 提示：|a |＝(－1)2＋22＝ 5.[课前反思](1)复平面的定义是什么？什么是实轴、虚轴？ ；(2)复数的几何意义是什么？ ；(3)复数模的定义是什么？ .[思考] 如何判断复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)在复平面内所对应的点的位置？名师指津：复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)与复平面内的点(a ，b )对应，根据a ，b 的符号判断点(a ，b )所在象限或坐标轴即可．讲一讲1．实数x 取什么值时，复平面内表示复数z ＝x 2＋x －6＋(x 2－2x －15)i 的点Z (1)位于第三象限；(2)位于第四象限；(3)位于直线x －y －3＝0上． [尝试解答] 因为x 是实数，所以x 2＋x －6，x 2－2x －15也是实数．(1)当实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋x －6<0，x 2－2x －15<0，即－3<x <2时，点Z 位于第三象限．(2)当实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x －6>0，x 2－2x －15<0，即2<x <5时，点Z 位于第四象限．(3)当实数x 满足(x 2＋x －6)－(x 2－2x －15)－3＝0， 即3x ＋6＝0，x ＝－2时，点Z 位于直线x －y －3＝0上．(1)复平面内复数与点的对应关系的实质是：复数的实部就是该点的横坐标，虚部就是该点的纵坐标．(2)已知复数在复平面内对应的点满足的条件求参数取值范围时，可根据复数与点的对应关系，建立复数的实部与虚部满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求解．练一练1．实数m 取什么值时，复平面内表示复数z ＝(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)i 的点 (1)位于x 轴上方； (2)位于直线y ＝x 上．解：(1)由m2－2m－15>0，得m<－3或m>5，此时z在复平面内对应的点位于x轴上方．(2)由m2＋5m＋6＝m2－2m－15，得m＝－3，此时z在复平面内对应的点位于直线y＝x 上．[思考]与复数z＝a＋b i(a，b∈R)对应的平面向量是什么？名师指津：与复数z＝a＋b i(a，b∈R)对应的平面向量＝(a，b)．讲一讲2．(1)已知平面直角坐标系中O是原点，向量，对应的复数分别为2－3i，－3＋2i，那么向量对应的复数是()A．－5＋5i B．5－5iC．5＋5i D．－5－5i(2)在复平面内，A，B，C三点对应的复数分别为1,2＋i，－1＋2i.①求向量，，对应的复数；②若ABCD为平行四边形，求D对应的复数．[尝试解答](1)向量，对应的复数分别为2－3i，－3＋2i，根据复数的几何意义，可得向量＝(2，－3)，＝(－3,2)．由向量减法的坐标运算可得向量＝－＝(2＋3，－3－2)＝(5，－5)，根据复数与复平面内的点一一对应，可得向量对应的复数是5－5i.(2)①设O为坐标原点，由复数的几何意义知：＝(1,0)，＝(2,1)，＝(－1,2)，所以＝－＝(1,1)，＝－＝(－2,2)，＝－＝(－3,1)，所以，，对应的复数分别为1＋i，－2＋2i，－3＋i.②因为ABCD为平行四边形，所以＝＝(－3,1)，＝＋＝(1,0)＋(－3,1)＝(－2,1)．所以D对应的复数为－2＋i.[答案](1)B(1)根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数．反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量．(2)解决复数与平面向量一一对应的题目时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化．练一练2．在复平面内，O 是原点，若向量对应的复数z 的实部为3，且||＝3，如果点A关于原点的对称点为点B ，求向量对应的复数．解：根据题意设复数z ＝3＋b i(b ∈R)， 由复数与复平面内的点、向量的对应关系得＝(3，b )，已知||＝3，即32＋b 2＝3，解得b ＝0，故z ＝3，点A 的坐标为(3,0)． 因此，点A 关于原点的对称点为B (－3,0)， 所以向量对应的复数为z ′＝－3.[思考] 复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)的模是什么？其模的几何意义是什么？名师指津：复数z ＝a ＋b i 的模|z |＝a 2＋b 2，其几何意义是点(a ，b )到坐标原点的距离． 讲一讲3．已知复数z 1＝3＋i ，z 2＝－12＋32i.(1)求|z 1|及|z 2|并比较大小；(2)设z ∈C ，满足条件|z |＝|z 1|的复数z 对应的点Z 的轨迹是什么图形？ [尝试解答] (1)|z 1|＝|3＋i|＝(3)2＋12＝2，|z 2|＝⎝⎛⎭⎫－122＋⎝⎛⎭⎫322＝1，所以|z 1|>|z 2|. (2)法一：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)， 则点Z 的坐标为(x ，y )． 由|z |＝|z 1|＝2得x 2＋y 2＝2，即x 2＋y 2＝4. 所以点Z 的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆． 法二：由|z |＝|z 1|＝2知|OZ ―→|＝2(O 为坐标原点)， 所以Z 到原点的距离为2.所以Z 的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆．(1)复数的模是非负实数，因此复数的模可以比较大小．(2)根据复数模的计算公式|a＋b i|＝a2＋b2可把复数模的问题转化为实数问题解决．(3)根据复数模的定义|z|＝|OZ―→|，可把复数模的问题转化为向量模(即两点的距离)的问题解决．练一练3．已知复数z＝3＋a i，且|z|<4，求实数a的取值范围．解：因为z＝3＋a i(a∈R)，所以|z|＝32＋a2，由已知得32＋a2<42，所以a2<7，所以a∈(－7，7)．——————————————[课堂归纳·感悟提升]—————————————1．本节课的重点是复数的几何意义及复数模的计算，难点是复数几何意义的应用．2．本节课要重点掌握的规律方法(1)复数与复平面内点的对应关系，见讲1；(2)复数与平面向量的对应关系，见讲2；(3)复数模的计算及应用，见讲3.课下能力提升(八)[学业水平达标练]题组1复数与复平面内点的对应关系1．在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是()A ．4＋8iB ．8＋2iC ．2＋4iD ．4＋i解析：选C 复数6＋5i 对应A 点坐标为(6,5)，－2＋3i 对应B 点坐标为(－2,3)．由中点坐标公式知C 点坐标为(2,4)，所以点C 对应的复数为2＋4i ，故选C.2．在复平面内，复数z ＝sin 2＋icos 2对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限解析：选D ∵π2<2<π，∴sin 2>0，cos 2<0.故z ＝sin 2＋icos 2对应的点位于第四象限．3．复数z ＝x －2＋(3－x )i 在复平面内的对应点在第四象限，则实数x 的取值范围是________．解析：∵复数z 在复平面内对应的点在第四象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －2>0，3－x <0.解得x >3. 答案：(3，＋∞)4．设z ＝log 2(1＋m )＋ilog 12(3－m )(m ∈R)．(1)若z 在复平面内对应的点位于第三象限，求m 的取值范围； (2)若z 在复平面内对应的点在直线x －y －1＝0上，求m 的值．解：(1)由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧log 2(1＋m )<0，log 12(3－m )<0，1＋m >0，3－m >0，即⎩⎪⎨⎪⎧－1<m <0，m <2，m >－1，m <3.解得－1<m <0，∴m 的取值范围是(－1,0)．(2)由已知得，点(log 2(1＋m )，log 12(3－m ))在直线x －y －1＝0上，即log 2(1＋m )－log 12(3－m )－1＝0，∴log 2[(1＋m )(3－m )]＝1， ∴(1＋m )(3－m )＝2，∴m 2－2m －1＝0，∴m ＝1±2，且当m ＝1±2时都能使1＋m >0，且3－m >0，∴m ＝1±2. 题组2 复数与平面向量的对应关系 5．向量对应的复数为z 1＝－3＋2i ，对应的复数z 2＝1－i ，则|＋|为( )A. 5B. 3 C ．2 D.10 解析：选A 因为向量对应的复数为z 1＝－3＋2i ，对应的复数为z 2＝1－i ，所以＝(－3,2)，＝(1，－1)，则＋＝(－2,1)， 所以|＋|＝ 5.6．向量＝(3，1)按逆时针方向旋转60°所对应的复数为( )A ．－3＋iB ．2iC ．1＋3iD ．－1＋3i 解析：选B 向量＝(3，1)，设其方向与x 轴正方向夹角为θ，tan θ＝13＝33，则θ＝30°，按逆时针旋转60°后与x 轴正方向夹角为90°，又| |＝2，故旋转后对应的复数为2i ，故选B.7．在复平面内，O 是原点，已知复数z 1＝－1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝3－2i ，它们所对应的点分别是A ，B ，C ，若＝x＋y(x ，y ∈R)，求x ＋y 的值．解：由已知，得＝(－1,2)，＝(1，－1)，＝(3，－2)，所以x ＋y ＝x (－1,2)＋y (1，－1)＝(－x ＋y,2x －y )． 由＝x＋y，可得⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝3，2x －y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝4，所以x ＋y ＝5.题组3 复数模的计算及应用8．已知复数z ＝2－3i ，则复数的模|z |是( ) A ．5 B ．8 C ．6 D.11解析：选D |z |＝(2)2＋(－3)2＝11.9．已知0<a <2，复数z 的实部为a ，虚部为1，则|z |的取值范围是________． 解析：∵|z |＝a 2＋1，而0<a <2， ∴1<a 2＋1<5，∴1<|z |< 5.答案：(1，5)10．已知复数z 满足z ＋|z |＝2＋8i ，求复数z . 解：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)， 则|z |＝a 2＋b 2，代入方程得，a ＋b i ＋a 2＋b 2＝2＋8i ，∴⎩⎨⎧a ＋a 2＋b 2＝2，b ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－15，b ＝8.∴z ＝－15＋8i.[能力提升综合练]1．若32<m <2，则复数z ＝(2m －2)＋(3m －7)i 在复平面上对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选D ∵32<m <2，∴2m －2>0,3m －7<0.∴复数z ＝(2m －2)＋(3m －7)i 在复平面上对应的点位于第四象限． 2．复数z 1＝a ＋2i ，z 2＝－2＋i ，如果|z 1|<|z 2|，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－1,1) B ．(1，＋∞)C ．(0，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 解析：选A ∵|z 1|＝a 2＋4，|z 2|＝5， ∴a 2＋4<5，∴－1<a <1.3．已知复数z 对应的点在第二象限，它的模是3，实部是－5，则z 为( ) A ．－5＋2i B ．－5－2i C.5＋2i D.5－2i解析：选A 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)，则x ＝－5， 由|z |＝3，得(－5)2＋y 2＝9， 即y 2＝4，∴y ＝±2.∵复数z 对应的点在第二象限， ∴y ＝2.∴z ＝－5＋2i.4．已知复数z 满足|z |2－2|z |－3＝0，则复数z 对应点的轨迹为( ) A ．一个圆 B ．线段 C ．两点 D ．两个圆 解析：选A ∵|z |2－2|z |－3＝0， ∴(|z |－3)(|z |＋1)＝0，∴|z |＝3，表示一个圆，故选A.5．复数z ＝1＋cos α＋isin α(π<α<2π)的模的取值范围为________． 解析：|z |＝(1＋cos α)2＋sin 2α＝2＋2cos α， ∵π<α<2π， ∴－1<cos α<1. ∴0<2＋2cos α<4. ∴|z |∈(0,2)． 答案：(0,2)6．已知z －|z |＝－1＋i ，则复数z ＝________. 解析：法一：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)， 由题意，得x ＋y i －x 2＋y 2＝－1＋i ， 即(x －x 2＋y 2)＋y i ＝－1＋i.根据复数相等的充要条件，得⎩⎨⎧x －x 2＋y 2＝－1，y ＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，∴z ＝i.法二：由已知可得z ＝(|z |－1)＋i ， 等式两边取模，得|z |＝(|z |－1)2＋12. 两边平方，得|z |2＝|z |2－2|z |＋1＋1⇒|z |＝1. 把|z |＝1代入原方程，可得z ＝i. 答案：i7．在复平面内画出复数z 1＝12＋32i ，z 2＝－1，z 3＝12－32i 对应的向量，并求出各复数的模，同时判断各复数对应的点在复平面上的位置关系．解：根据复数与复平面内的点的一一对应，可知点Z 1，Z 2，Z 3的坐标分别为⎝⎛⎭⎫12，32，(－1,0)，12，－32，则向量如图所示．高中数学-打印版精心校对完整版 |z 1|＝⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫322＝1， |z 2|＝|－1|＝1，|z 3|＝⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫－322＝1， 如图，在复平面xOy 内，点Z 1，Z 3关于实轴对称，且Z 1，Z 2，Z 3三点在以原点为圆心，1为半径的圆上．8．已知复数z ＝2＋cos θ＋(1＋sin θ)i(θ∈R)，试确定复数z 在复平面内对应的点的轨迹是什么曲线．解：设复数z 与复平面内的点(x ，y )相对应，则由复数的几何意义可知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos θ，y ＝1＋sin θ. 由sin 2θ＋cos 2θ＝1可得(x －2)2＋(y －1)2＝1.所以复数z 在复平面内对应的点的轨迹是以(2,1)为圆心，1为半径的圆．。
人教版高中选修1—2数学3.1数系的扩充和复数的概念教案(4)
3.1.1数系的扩充和复数的概念教学目标：1、了解数的发展史，理解实数系扩充复数系的必要性；2．在问题的情境中让学生了解把实数系扩充到复数系的过程,体会实际需求与数学内部的矛盾在数系扩充过程中的作用,感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联；3、初步理解复数、虚数、纯虚数等概念，掌握复数的代数形式与复数相等的充要条件.教学重点：对引入复数的必要性的认识,理解复数的基本概念.教学难点：由于学生对数系扩充的知识不熟悉,对了解实数系扩充到复数系的过程有困难,由于理解复数是一对有序实数不习惯,对于复数概念理解也有一定困难.教学过程:(一)、情境引入：（二）、知识引入：我们已知知道：对于一元二次方程x2+1=0没有实数根．如何解决“在实数范围中开方运算不能实施的矛盾”？引入一个新数：i使得i2=-1引出课题：3.1.1数系的扩充和复数的概念数系的扩充：自然数、整数、有理数、实数、复数复习回顾用图形表示包含关系1、现在我们就引入这样一个数i ，把i叫做虚数单位，并且规定：（1）i2=-1；（2）实数可以与i 进行四则运算，在进行四则运算时，原有的加法与乘法的运算律(包括交换律、结合律和分配律)仍然成立。
2、形如a +bi (a,b ∈R)的数叫做复数.全体复数所形成的集合叫做复数集，一般用字母C 表示 .3、复数的代数形式：通常用字母 z 表示，即z=a+bi a,b 都属于R 其中a 为实部，b 为虚部；i 为虚数单位。
5、讨论：复数集C 和实数集R 之间有什么关系？复数a+bi思考：复数集，虚数集，实数集，纯虚数集之间的关系？（三）、练习巩固1.说明下列数中，那些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数，并指出复数的实部与虚部。
()i i i i i 293,85,31,,72,0,618.0,722-+-+ 2、判断下列命题是否正确：（1）若a 、b 为实数，则Z=a+bi 为虚数（2）若b 为实数，则Z=bi 必为纯虚数（3）若a 为实数，则Z= a 一定不是虚数3.条例下列条件的复数一定存在吗?若存在,请举例,若不存在,请说明理由.(1)实部为-2的虚数;(2)虚部为-2的虚数;(3)虚部为-2的纯虚数.例1 实数m 取什么值时，复数Z=m+1+(m-1)i 是（1）实数？ （2）虚数？ （3）纯虚数？练习：实数m 取什么值时，复数是 （1）实数 （2）虚数 （3）纯虚数我们知道若a+bi=0,则a=0.b=05、思考：如何定义两个复数的相等？如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．注意：一般对两个复数只能说相等或不相等；不能比较大小。
高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1.2复数的几何意义导学案新人教A版选修1_2
复数的几何意义学习目标：1.能知道复平面、实轴、虚轴等概念．2．能用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数以及它们之间的一一对应关系．3．能知道复数模的概念，会求复数的模．重点：重点：1.理解并掌握复数的几何意义，并能适当应用．2．复数的模．难点：复数的几何意义．方法：合作探究一新知导学1．复平面的定义建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做__________，y轴叫做__________，实轴上的点都表示实数，除了__________外，虚轴上的点都表示纯虚数．2．复数的几何意义(1)每一个复数都由它的__________和__________唯一确定，当把实部和虚部作为一个有序数对时，就和点的坐标一样，从而可以用点表示复数，因此复数与复平面内的点是__________关系．(2)若复数z＝a＋bi(a、b∈R)，则其对应的点的坐标是_______，不是(a，bi)．(3)复数与复平面内____________的向量也可以建立一一对应关系．如图：在复平面内复数z＝a＋bi(a、b∈R)可以用点___或向量表示复数z＝a＋bi(a、b∈R)与点Z(a，b)和向量的一一对应关系如右上图：牛刀小试1．已知a、b∈R，那么在复平面内对应于复数a－bi，－a－bi的两个点的位置关系是( )A．关于x轴对称 B．关于y轴对称C．关于原点对称 D．关于直线y＝x对称课堂随笔:2．复数z ＝－1－2i(i 为虚数单位)在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限 D ．第四象限 3．设复数z ＝a ＋bi 对应的点在虚轴右侧，则( ) A ．a ＞0，b ＞0 B ．a ＞0，b ＜0 C ．b ＞0，a ∈R D ．a ＞0，b ∈R 3．复数的模 复数z ＝a ＋bi(a 、b ∈R)对应的向量为O ，则O 的模叫做复数z 的模，记作|z|且|z|＝a2＋b2 当b ＝0时，z 的模就是实数a 的绝对值． 4．复数模的几何意义 复数模的几何意义就是复数z ＝a ＋bi 所对应的点Z(a ，b)到原点(0,0)的__________． 由向量的几何意义知，|z1－z2|表示在复平面内复数z1与z2对应的两点之间的__________． 牛刀小试 4．(2014·武汉市调研)复数z ＝m(3＋i)－(2＋i)(m ∈R，i 为虚数单位)在复平面内对应的点不可能位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 5．复数i ＋i2的模等于__________. 6．设复数z 的模为17，虚部为－8，则复数z ＝________. 7．比较复数z1＝3＋4i 及z2＝－12－2i 的模的模的大小．命题方向（一）复数的几何意义 【例一】在复平面内，若复数z ＝(m2＋2m －8)＋(m2－3m ＋2)i 对应的点分别满足下列要求，试求复数z ： 在虚轴上(不包括原点)； (2)在实轴负半轴上； (3)在第一、三象限的角平分线上．跟踪训练１：若复数(m2－3m －4)＋(m2－5m －6)i 对应的点在虚轴上，则实数m 的值是( ) A ．－1 B ．4 C ．－1和4 : D ．－1和6 命题方向（二）复数模的计算 【例二】已知复数z 满足z ＋|z|＝2＋8i ，求复数z. 跟踪训练2：下列各复数的模不是1的为( ) －i B ．i C ．12－32i D ．12＋12i命题方向（三）综合应用 【例三】 已知复数z ＝3＋ai ，且|z|＜4，求实数a 的取值范围． 跟踪训练3：若z ＋|z|＝2，则复数z ＝__________. （四）准确掌握复数模的几何意义 【例四】已知复数z 满足|z|2－2|z|－3＝0，则复数z 对应点的轨迹是( ) A ．1个圆 B ．线段 C ．2个点 D ．2个圆 课时小结： 课后作业 一、选择题 1．复数z ＝－2＋i ，则复数z 在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限后记与感悟:2．若OZ →＝(0，－3)，则OZ →对应的复数为( ) A ．0 B ．－3 C ．－3i D ．33．复数z ＝1＋(2－sinθ)i 在复平面内对应的点所在的象限为( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．复数z 与它的模相等的充要条件是( )A ．z 为纯虚数B ．z 是实数C ．z 是正实数D ．z 是非负实数5．已知复数z ＝(m －3)＋(m －1)i 的模等于2，则实数m 的值为( )A ．1或3B ．1C ．3D ．26．已知平行四边形OABC ，O 、A 、C 三点对应的复数分别为0、1＋2i 、3－2i ，则向量AB →的模|AB →|等于( )A ． 5B ．2 5C ．4D ．13二、填空题7．已知复数x2－6x ＋5＋(x －2)i 在复平面内的对应点在第三象限，则实数x 的取值范围是________.8．已知复数z1＝－2＋3i 对应点为Z1，Z2与Z1关于x 轴对称，Z3与Z2关于直线y ＝－x 对称，则Z3点对应的复数为z ＝________.9．若复数z ＝(m2－9)＋(m2＋2m －3)i 是纯虚数，其中m ∈R ，则|z|＝________.三、解答题10．如果复数z ＝(m2＋m －1)＋(4m2－8m ＋3)i(m ∈R)对应的点在第一象限，求实数m 的取值范围．答案：牛刀小试 1、B ； 2、C ； 3、D ； 4、B 5、2；6、±15－8i ；7、|z1|＞|z2|例一 解析：(1)若复数z 对应的点在虚轴上(不包括原点)，则m2＋2m －8＝0且m2－3m ＋2≠0，∴m ＝－4，此时z ＝30i.(2)若复数z 对应的点在实轴负半轴上，则⎩⎪⎨⎪⎧ m2＋2m －8<0，m2－3m ＋2＝0，解得m ＝1，此时z ＝－5.(3)若复数z 对应的点在第一、三象限的角平分线上，即在直线y ＝x 上，即m2－3m ＋2＝m2＋2m －8，∴m ＝2，此时z ＝0.跟踪训练 1、C例二 解析：设z ＝a ＋bi(a ，b∈R)，代入等式后，可利用复数相等的充要条件求出a ，b.解法一：设z ＝a ＋bi(a 、b ∈R)，则|z|＝a2＋b2，代入方程得a ＋bi ＋a2＋b2＝2＋8i ，∴⎩⎨⎧ a ＋a2＋b2＝2b ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－15b ＝8.∴z ＝－15＋8i.解法二：原式可化为z ＝2－|z|＋8i ，∵|z|∈R ，∴2－|z|是z 的实部，于是|z|＝(2－|z|)2＋82，即|z|2＝68－4|z|＋|z|2，∴|z|＝17.代入z ＝2－|z|＋8i 得z ＝－15＋8i.跟踪训练2、D例三 解析：解法一：∵z ＝3＋ai(a ∈R)，∴|z|＝32＋a2，。
人教版高中选修1—2数学3.1数系的扩充和复数的概念教案(2)
板书设计：
[教学反馈]
学生对于如何进行数系的扩充有了一定的认识，大体理解复数的分类，复数相等的充要
条件，课本作业的完成情况较好，但部分同学对于逻辑连结词“或”、“且”的理解不到位，
一是不知该使用或还是且，二是或与且的连结不知如何得到结果。
【教学反思】
这节课我们学习了虚数单位i及它的两条性质，复数的定义、实部、虚部及有关分类问题，复数相等的充要条件，复平面等等.基本思想是：利用复数的概念，联系以前学过的实数的性质，对复数的知识有较完整的认识，以及利用转化的思想将复数问题转化为实数问题复数的概念如果单纯地讲解或介绍会显得较为枯燥无味，学生不易接受，教学时，我们采用讲解或体验已学过的数集的扩充的历史，让学生体会到数集的扩充是生产实践的需要，也是数学学科自身发展的需要；介绍数的概念的发展过程，使学生对数的形成、发展的历史和规律，各种数集中之间的关系有着比较清晰、完整的认识.从而让学生积极主动地建构虚数的概念、复数的概念、复数的分类。
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3.1.1数系的扩充与复数的概念
课前预习学案
课前预习：（1）预习目标：在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求在数系扩充过程中的作用
（2）1) 结合实例了解数系的扩充过程
2）引进虚数单位i的必要性及对i的规定
3)对复数的初步认识及复数概念的理解
（3）提出疑惑：
通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点疑惑内容
课内探究学案
学习目标：
（1）在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求在数系扩充过程中的作用理解复数的基本概念
（2）理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件
（3）了解复数的代数表示方法
学习过程
一、自主学习
问题1：我们知道，对于实系数一元二次方程，没有实数根．我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？
问题2：类比引进，就可以解决方程在有理数集中无解的问题，怎么解决在实数集中无解的问题呢
问题3：把实数和新引进的数i 像实数那样进行运算，并希望运算时有关的运算律仍成立，你得到什么样的数？
二、探究以下问题
1、如何解决-1的开平方问题，即一个什么数它的平方等于-1
2、虚数单位i有怎样的性质
3、复数的代数形式
4、复数集C和实数集R之间有什么关系?
5、如何对复数a+bi(a,b∈R)进行分类?
三、精讲点拨、有效训练
见教案
反思总结
1、你对复数的概念有了比较清醒的认识了吗？
2、对复数a+bi(a,b∈R)的正确分类
3、复数相等的概念的理解及应用
当堂检测
1. m ∈R ，复数z=（m-2）(m+5)+(m-2)（m-5）i ，则z 为纯虚数的充要条件是m 的值为 ( ) A.2或5 B.5 C.2或-5 D.-5 2、设a ∈R.复数a 2-a-6+(a 2-3a-10)i 是纯虚数,则a 的取值为 ( ) (A)5或-2 (B)3或-2 (C)-2 (D)3
3、如果（2 x- y )+(x+3)i=0(x ，y ∈R)则x+y 的值是（ ）
A 18
B
C 3
D 9． ．
． ．1
2-
4、
x y R (3x +2y)+(x y)i =i [ ]A 5B 5C D ，，且，则
的值是 ． ． ． ．
∈-+---x y
x y 151
5
3.1.1数系的扩充与复数的概念
【教学目标】
（1）在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求在数系扩充过程中的作用理解复数的基本概念
（2）理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件
（3）了解复数的代数表示方法
【教学重难点】
重点：引进虚数单位i的必要性、对i的规定、复数的有关概念
难点：实数系扩充到复数系的过程的理解，复数概念的理解
【教学过程】
一、创设情景、提出问题
问题1：我们知道，对于实系数一元二次方程，没有实数根．我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？
问题2：类比引进，就可以解决方程在有理数集中无解的问题，怎么解决在实数集中无解的问题呢？
问题3：把实数和新引进的数i 像实数那样进行运算，并希望运算时有关的运算律仍成立，你得到什么样的数？
二、学生活动
1.复数的概念：
⑴虚数单位：数＿＿叫做虚数单位，具有下面的性质：
①＿＿＿＿＿＿＿＿＿
②＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
⑵复数：形如＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿叫做复数，常用字母＿＿＿表示，全体复数构成的集合叫做＿＿＿＿＿＿，常用字母＿＿＿表示．
⑶复数的代数形式：＿＿＿＿＿＿＿＿＿，其中＿＿＿＿叫做复数的实部，＿＿＿叫做复数的虚部，复数的实部和虚部都是＿＿＿数．
(4)对于复数a+bi(a,b∈R),
当且仅当＿＿＿＿＿时,它是实数;
当且仅当＿＿＿＿＿时,它是实数0;
当＿＿＿＿＿＿＿时, 叫做虚数;
当＿＿＿＿＿＿＿时, 叫做纯虚数;
2.学生分组讨论
⑴复数集C和实数集R之间有什么关系?
⑵如何对复数a+bi(a,b∈R)进行分类?
⑶复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系，可以用韦恩图表示出来吗？
3.练习：
(1).下列数中，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数？并分别指出这些复数的实部与虚部各是什么？
2+ 2i , 0.618, 2i/7 , 0,
5 i +8, 3-9 i
(2)、判断下列命题是否正确：
（1）若a、b为实数，则Z=a+bi为虚数
（2）若b为实数，则Z=bi必为纯虚数
（3）若a为实数，则Z= a一定不是虚数
三、归纳总结、提升拓展
例1 实数m分别取什么值时，复数
z＝m+1＋(m-1)i
是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？
解：
归纳总结：
确定复数z＝a＋bi是实数、虚数、纯虚数的条件是：
练习：实数m分别取什么值时，复数
z＝m2+m-2＋(m2-1)i
是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？
两个复数相等，即两个复数相等的充要条件是它们的实部与虚部分别对应相等．也就是
a+bi=c+di _______________________（a、b、c、d为实数）
由此容易出：a+bi=0 _______________________
例2已知x +2y +(2x+6)i=3x-2 ,其中，x,y为实数，求x与y．
四、反馈训练、巩固落实
1、若x,y为实数，且 2x -2y+(x+ y)i=x-2 i
求x与y.
2、若x为实数，且(2x2-3x-2)+(x2-5x+6)i=0，求x的值.。