管理统计第三章

1.1 随机变量与概率分布
1.1.2 随机变量的数字特征

例：某推销人与工厂约定，用船把一箱货物按期无损地运到 目的地可得佣金10元，若不按期则扣2元，若货物有损则扣5 元，若既不按期又有损坏则扣16元。推销人员按他的经验认 为，一箱货物按期无损地运到目的地有60%的把握，不按期 到达占20%，货物有损占10%，不按期又有损的占10%。试问 推销人在用船运送货物时，每箱期望得多少？
0.2 0.7 0.1
0.2 0.7 0.1

试问：该人资金应该流向何方为好？
3 i 1 3
E ( X ) ( xi ) pi 11 0.2 3 0.7 4 0.1 3.9 E (Y ) ( yi ) pi 6 0.2 4 0.7 1 0.1 3.9
管理统计
——第三章 随机变量和抽样分布
指导老师：刘广 联系方式：hdugl@
1.1 随机变量与概率分布
1.1.1 随机变量的基本概念 1.随机变量的概念 随机变量是随机试验结果的数量化。 特点: (1)取值随机会而定。由于随机变量取某个值对应于一个 随机事件，因此随机变量取某个值有一定的概率。 (2)随机变量有一定的取值范围，它对应于我们关心哪些 随机事件。 随机变量按其可能取值全体的性质，区分为两大类： 离散型随机变量和连续型随机变量。 研究随机变量主要研究：随机变量可能取哪些值或取值 范围以及取这些值的概率。
E (Y ) E ( ) ( xi 2 ) pi (2) 2 0.4 0 0.3 22 0.3 2.8
2 i 1
1.1 随机变量与概率分布
1.1.2 随机变量的数字特征 2.方差和标准差 方差是反映随机变量波动程度的一个量，一般定义为： Var(X)=E(X-EX)2 若X为离散型随机变量，则Var(X)=∑(xi-EX)2Pi 若X为连续型随机变量，则 Var(X)= ∫+∞-∞(x-EX)2f(x)dx 在计算方差时，一个常用的简化公式是： Var(X)=EX2-（EX）2




g ( x) f ( x)dx
1.1 随机变量与概率分布
1.1.2 随机变量的数字特征 例：设离散型随机变量X概率分布为
X -2 0 2
P
0.4
0.3
0.3

求E（X）、E（X2）
E (Y ) E ( X )
3
(x )p
i 1 i
3
i
2 0.4 0 0.3 2 0.3 0.2
n
X i ~ (r , p), 则 xi ~ NB(r , p), 其中r= r i i
i 1 i 1
n
1.2 常见的概率分布
例：一个市场调查员需完成500份调查问卷的访问任务，随机碰 到的行人大约3/10的人乐意回答问题，每找到一个人需要花6 分钟的时间。问该调查员要完成500份问卷的任务，需要花多 长时间。 解：X表示要访问的人数，则X服从NB（500，0.3）。 由负二项分布的性质2得：
p(1 p)

任何一个只有两种可能结果的随机试验，都可以用 一个服从0－1分布的随机变量来描述。有时也称0 －1分布为两点分布或贝努利分布。
1.2 常见的概率分布
1.2.1 离散型分布 2.二项分布（Binomial Distribution) n重贝努里试验：一种常见的随机模型 （1）贝努里试验：只有两个结果的试验 （2）在一次贝努里试验中，设成功的概率为P，即P（A）=P， P（-A）=1-P （3）n重贝努里试验：由n个（次）相同的、独立的贝努里试验组 成的随机试验。 n重贝努里试验的特点： 重复进行n次相互独立的试验；每次试验只可能有两个结果：成功 与失败；每次出现成功的概率相同；

COV ( X , Y ) Va r ( X )Va r (Y )
为两个随机变量X与Y的线性相关系数，简称相关系数。
1.2 常见的概率分布
1.2.1 离散型分布 1．0－1分布 只取两个不同数值的随机变量X称为0－1分布。定义：设 0<p<1,如果X的概率函数为
PX k p k (1 p)1k
1.1 随机变量与概率分布

例 某人有一笔资金可以投入两个项目：房地产和开商店，其收益都与 市场状态有关。若把未来市场划分为好、中、差三个等级，其发生的概 率分布为0.2、0.7和0.1。通过调查，该人认为购置房地产的收益X（万 元）和开商店的收益Y（万元）的分布分别为：
X P 11 3 -4 Y P 6 4 -1
i 1
Var ( X ) [ xi E ( X )]2 pi (11 3.9) 2 0.2 (3 3.9) 2 0.7 (4 3.9) 2 0.1 10.65
i 1 3
3
Var (Y ) [ yi E (Y )]2 pi (6 3.9) 2 0.2 (4 3.9) 2 0.7 (1 3.9) 2 0.1 1.73
1.2 常见的概率分布

1.2.1 离散型分布 定义：若随机变量X的所有可能取值为0,1,┄，n,且它的概率函数为
k PX k Cn p k ( p) nk 1
k 1 2,, n ,


则称X服从参数为n和p的二项分布。其中0<p<1。记为X~B(n,p)。当 n=1时，二项分布就是0－1分布。 二项分布的性质 PX k 0 , k 1,2, , n
1.1 随机变量与概率分布
1.1.2 随机变量的数字特征 方差的性质 1.若C是常数，则Var （C）=0 2.若C是常数，则Var （CX）= C2 Var （X） 3.设X、Y相互独立，则Var （X+Y）= Var （X）+ Var （Y） 可推广到n个随机变量相互独立 Var （a1X1+a2X2+…+anXn)=∑ai2 Var(Xi)
C
k 0
n
k n
p k (1 p) n k ( p 1 p) n 1

二项分布的数学期望
np

二项分布的方差 2 np(1 p)
1.2 常见的概率分布
1.2.1 离散型分布 3.负二项分布 考虑一个实验，实验结果只有两种可能，出现某一结果的概率为p， 不出现的概率为q，p＋q＝1。现在，一直进行实验，直到这一结果 出现r次为止。X表示实验共需进行的次数，问X取值为大于r的某个 数的概率是多少。此类问题用负二项分布来描述。
1.1 随机变量与概率分布
1.1.1 随机变量的基本概念 2.分布函数 设X为一随机变量，对任意实数x，事件“X≤x”的概 率是x的函数，记为F（ x ）=P（ X≤x），这个函 数称为X的累积概率分布函数，简称分布函数。 分布函数的基本性质： （1）0 ≤F（x）≤1 （2）对任何a＜b，有P(a＜X≤b)=F(b)- F(a) （3）F（x）是非降函数（单调增函数） （4）F(-∞)=limF(x)=0；F(∞)=limF(x)=1 （5）F(x)是右连续函数

1.1 随机变量与概率分布
1.1.1 随机变量的基本概念
概率密度函数的性质： (1) f(x) ≥0（-∞≤x≤∞) (2) f ( x)dx = 1 (3) F’(x)= f(x) ,即概率密度函数是分布函数导数 （4）对任意两个实数a与b，其中a≤b，有P(a≤X≤b)= P(a＜X＜b)= P(a＜X≤b)= P(a≤X＜b)=F(b)-F(a) = f ( x)dx
NB(r , p ) r n B (r k , p ), B (n, p ) NB (n k , q ) rk nk
（2)x~NB(r,p），则
E ( x) rq , Var ( x ) p rq p2
（3)若随机变量
X1, X 2, ..., X n
相互独立，且
E ( X ) ( xi ) pi 10 0.6 2 0.2 5 0.1 16 0.1 3.5
i 1
4
1.1 随机变量与概率分布
1.1.2 随机变量的数字特征
定义：设连续型随机变量X的密度函数为f(x),当积分 xf ( x)dx 绝对收敛时，则E(x)= xf ( x)dx为随机变量X 的数学期望。 例：设随机变量X在区间【a,b】服从均匀分布，求它的数 学期望。
1.1 随机变量与概率分布
1.1.1 随机变量的基本概念 3.概率密度函数 定义： 设随机变量的分布函数为F(x) ，若f(x)是定义 在整个实数轴上的非负可积函数（满足两个条 件： f(x) ≥0 ， f ( x)dx 1 ，即f(x) 与横轴 所夹面积为1）使得 F ( X ) f (t )dt ,则称X 为连续型随机变量，称f(x)为随机变量X的概 率密度函数（或概率密度或密度函数）。
r 1 f ( ) Ck 1 pr qk r
k＝r，r＋1， ……
则称X服从负二项分布，记作x~NB(r,p),也称帕斯卡分布。 当Y=X-r，则Y的概率分布为： k＝0，1，2,……. k f ( y) Ck r 1 pr qk
1.2 常见的概率分布
1.2.1 离散型分布 负二项分布性质 （1)负二项分布与二项分布之间的关系：

, k 0,1
则称X服从参数为p的0－1分布，记为B(1,p)。0－1分布的概 率函数也可以表示为
X P
0 1－p
1
p
1.2 常见的概率分布
1.2.1 离散型分布 0－1分布的数学期望为 0 (1 p) 1 p p 0－1分布的方差为
2 (0 p) 2 (1 p) (1 p) 2 p