重庆18中高一集合数学试卷
重庆市第十八中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题
重庆市第十八中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题，c=5，a=3，则b=（）1．△ABC的三个内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c，若cos B=35A．213B．34C．4 D．102．复数z=3−2i i的共轭复数为（）A．2−3i B．−2−3i C．−2+3i D．2+3i3．若m，n是空间两条不同的直线，α，β是空间两个不同的平面，那么下列命题成立的是（）A．若m//α，n//α，则m//n B．若α//β，m⊂α，则m//βC．若m//α，α//β，则m//βD．若m//α，n⊂α，则m//n4．如图所示是水平放置的△ABC的直观图，其中A′O′=B′O′=C′O′=1，则原△ABC是一个（）A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形5．已知a,b,c分别是△ABC三内角A,B,C的对边，且满足a sin C+a cos C=b+c，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形6．在边长为2的正方形ABCD中，M是BC的中点，点E在线段AB上运动，则EM⋅EC的取值范围是（）A．2,6B．2,8C．0,2D．0,47．已知M是平面ABC内的一点，若AB⊥AC，2AM=AB+AC，且向量BA在向量BC上的投BC，则∠MAC=（）影向量为34A．15∘B．30∘C．60∘D．75∘8．在△ABC中，∠ABC的角平分线BD交AC于点D，若BD=2，∠ABC=π3，则△ABC的面积的最小值为（）A．3B．23C．233D．433二、多选题9．已知平面向量a=2,m，b=1,−1，且 a+2b= a−2b，则（）A．m=2B． a,b=π3C．a⊥b D．a=22 10．如图所示，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，则下列四个结论正确的是（）A．直线AM与CC1是相交直线B．直线AM与BN是平行直线C．直线BN与MB1是异面直线D．直线AM与DD1是异面直线11．南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上：以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实：一为从隅，开平方得积可用公式S=14 b2c2−b2+c2−a222（其中a、b、c、S为三角形的三边和面积）表示．在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，若a=2，且3sin A=1−3cos A tan C，则下列命题正确的是（）A．c=3b B．a=3cC．△ABC面积的最大值是23D．△ABC面积的最大值是3三、填空题12．已知复数z1=2+i，z2=−1+2i（i为虚数单位）在复平面上对应的点分别为Z1,Z2，则△OZ1Z2的面积为．13．已知在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，点G是△ABC的重心，且a 3GA+b5GB+c7GC=0，则角C的大小为．14．已知圆锥SO底面圆的直径为12，高为8，若球O1在圆锥SO内，则球O1的表面积的最大值为，若在圆锥SO内放置一个棱长为a的正四面体，且正四面体能任意转动，则a的最大值为．四、解答题15．已知a=2， b=3，向量a与b的夹角θ=2π3．(1)若 a+kb⊥a，求k的值；(2)求3a+2b．16．已知在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，分别以a,b,c为直角边的等腰直角三角形的面积依次是S1,S2,S3，且S1+S2=S3+S1S2．(1)求C；(2)若cos A=35,a=2，求△ABC的面积．17．如图，AB是圆柱的底面直径，AP是圆柱的母线且AB=AP=4，点C是圆柱底面圆周上的点．(1)求圆柱的侧面积和体积；(2)若AC=2，D是PB的中点，点E在线段AP上，求CE+DE的最小值．18．如图，直四棱柱ABCD−A1B1C1D1的底面为菱形，∠ADC=120°，BB1=6，AB=3，M,N分别为BC,AA1上一点且AN=4，BM=2．(1)证明：BN//平面AMD1；(2)平面AMD1将该直四棱柱分成两部分，记这两部分中较大的体积为V1；较小的体积为V2，的值．求V1V219．如图1所示，在△ABC中，点D在线段BC上，满足2CD=DB，G是线段AB上的点，且满足3AG=2GB，线段CG与线段AD交于点O．(1)若AD=xAB+yAC，求实数x,y的值；(2)若AO=tAD，求实数t的值；(3)如图2，过点O的直线与边AB,AC分别交于点E,F，设EB=λAE，FC=μAFλ>0,μ>0；（ⅰ）求λμ的最大值；的取值范围．（ⅱ）设△AEF的面积为S1，四边形BEFC的面积为S2，求S2S1。
2019-2020学年重庆市第十八中学高一上学期第一次月考数学试题(解析版)
2019-2020学年重庆市第十八中学高一上学期第一次月考数学试题一、单选题1．设集合{}0,1,2,3A =，集合{}1,1B =-，则A B =（ ）A ．{}1,1-B ．{}1C ．{}1,0-D ．{}1,01-，【答案】B【解析】已知集合A,B ，取交集即可得到答案. 【详解】集合{}0,1,2,3A =，集合{}1,1B =-， 则{}1A B ⋂= 故选B 【点睛】本题考查集合的交集运算，属于简单题.2．已知2(1)22f x x x +=-+，则(1)f =（ ） A ．2 B ．1C ．0D ．2-【答案】A【解析】直接代入x=0求解函数值即可． 【详解】f （x +1）＝x 2﹣2x +2，令x=0， ∴f （0+1）＝f （1）=02﹣0+2=2． ∴f （1）=2． 故选A ． 【点睛】本题考查函数值的求法，考查计算能力．3．函数()()lg 1f x x =+ ） A ．(]1,1- B ．()1,1-C ．(],1-∞D ．(),1-∞【答案】A【解析】由函数的解析式知，对数的真数大于0，偶次根号下非负，易得关于x 的不等式组，解出它的解集即可得到函数的定义域. 【详解】要使函数()()lg 1f x x =+则有1010x x -≥⎧⎨+>⎩，解得11x -<≤，∴函数()()lg 1f x x =+(]1,1-，故选A.【点睛】本题主要考查对数函数的定义域、不等式的解法，属于中档题.定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数()f x 的定义域为[],a b ，则函数()()f g x 的定义域由不等式()a g x b ≤≤求出.4．下列函数中哪个与函数y x =相等A ．2y = B ．yC ．y =D ．32x y x=【答案】B【解析】已知函数的定义域是R ，分别判断四个函数的定义域和对应关系是否和已知函数一致即可． 【详解】A ．函数的定义域为{x |x ≥0}，两个函数的定义域不同．B ．函数的定义域为R ，y x ==，所以两个函数的定义域和对应关系相同，是同一函数． C ．函数的定义域为R ，y ＝|x |，对应关系不一致． D ．函数的定义域为{x |x ≠0}，两个函数的定义域不同． 故选：B ． 【点睛】本题主要考查判断两个函数是否为同一函数，判断的标准是判断函数的定义域和对应关系是否一致，否则不是同一函数，属于基础题． 5．计算式子ln 21lg 2lg5e --的值为（ ）A ．—1B ．12C ．3D ．—5【答案】A【解析】根据对数的基本运算求解即可. 【详解】ln 211lg 2lg lg 22155e ⎛⎫--=÷-=- ⎪⎝⎭.故选：A 【点睛】本题主要考查了指对数的基本运算,属于基础题型.6．已知函数()f x 是定义[]1,1-上的增函数，且(1)(13)f x f x -<-，则x 的取值范围是（） A ．1(,)2-∞ B ．1(,)2+∞C ．10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．1(0,)2【答案】C【解析】根据f （x ）的定义域以及单调性可得x ﹣1，1﹣3x 满足的条件，由此即可解得x 的范围． 【详解】由已知可得1111131113x x x x-≤-≤⎧⎪-≤-≤⎨⎪--⎩＜，解得0≤x 12＜．故选：C ． 【点睛】本题主要考查了函数的单调性以及抽象不等式的解法，解抽象不等式的关键是利用单调性把函数值关系转化为自变量关系．7．已知函数()232mf x m m x （）=-是幂函数，若f （x ）为增函数，则m 等于（ ） A ．13- B ．1-C ．1D ．13-或1【答案】C【解析】根据幂函数的定义与性质，即可求出m 的值． 【详解】函数f （x ）=（3m 2-2m ）x m是幂函数，则3m 2-2m=1，解得m=1或m=-13， 又f （x ）为增函数， 则m=1满足条件， 即m 的值为1． 故选C ． 【点睛】本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题，是基础题．8．函数y = A ．[0,)+∞ B ．[0,4] C ．[0,4) D ．(0,4)【答案】C【解析】【详解】试题分析：由于016416x ≤-<，所以[)0,4y ∈.即值域为[0,4)，故选C.【考点】值域.9．设:f A B →是集合A 到B 的映射，其中{}|0A x x =>，B R =，且2:21f x x x →--，则B 中元素是2的元素为（ ）A ．3或-1B ．-1C ．3D ．2-【答案】C【解析】根据映射的概念列式求解即可. 【详解】由题2212(1)(3)0x x x x --=⇒+-=.又{}|0A x x =>,故3x =.故选：C 【点睛】本题主要考查了映射的概念运用,属于基础题型.10．设[]x 表示不超过x 的最大整数，若关于x 的方程：ln 1020x x +-=的解为0x ，则[]0x =（ ） A ．3 B ．4C ．5D ．6【答案】C【解析】根据零点存在定理求0x 的范围,再求[]0x 即可. 【详解】设()ln 102f x x x =+-,因为(5)ln510100f =+->,(6)ln 61012ln 620f =+-=-<.故()05,6x ∈.故[]05x =.故选：C 【点睛】本题主要考查了零点存在定理的运用,属于基础题型.11．已知定义在R 上的函数()f x ，对任意[)12,2022,x x ∈+∞,都有当12x x ≠时,1212()()0f x f x x x -<-，若(2022)f x +为偶函数，则（ ）A ．(2019)(2021)(2024)f f f <<B ．(2019)(2024)(2021)f f f <<C ．(2024)(2019)(2021)f f f <<D ．(2021)(2019)(2024)f f f <<【答案】B【解析】由题意可得()f x 的对称性与单调性,再判断函数值大小即可. 【详解】由题有()f x 在[)2022,+∞上为减函数,且()f x 关于2022x =对称. 故()f x 在(],2022-∞上为增函数,故(2024)(2020)f f =.又(2019)(2020)(2021)f f f <<,故(2019)(2024)(2021)f f f <<. 故选：B 【点睛】本题主要考查了根据单调性与对称性判断函数值大小的问题,属于基础题型. 12．已知定义在R 上的函数()f x 满足(4044)4()f x f x -=-，若函数220192022x y x +=-与()y f x =的图象有m 个交点(,)(1,2,3)i i x y i m =L ，则1()miii x y =+=∑( )（注111221()()()()mim m i x y x y xy x y =+=++++++∑L ）A ．2022mB ．2019mC ．2021mD ．2024m【答案】D【解析】根据函数对称性求解即可.因为(4044)4()f x f x -=-,故()y f x =关于点(2022,2)对称. 又2201924044606360632202220222022x x y x x x +-+===+---也关于点(2022,2)对称.故两函数的m 个交点(,)(1,2,3)i i x y i m =L 也关于点(2022,2)对称. 故1()(20222)2024miii x y m m =+=+=∑.故选：D 【点睛】本题主要考查利用函数的对称性求和的问题,需要根据题意找到函数的对称点再求和.属于中等题型.二、填空题13．若函数()f x 如下表所示：则[](3)f f =________ 【答案】3【解析】根据函数值表直接判断即可. 【详解】由表得[](3)(0)3f f f ==. 故答案为：3 【点睛】本题主要考查了函数的概念与运用,属于基础题型.14．含有三个实数的集合既可表示成,,1b a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，又可表示成{}2,,0a a b +，则20192022a b +=____．【答案】-1【解析】根据集合的无序性与互异性求解即可.由题,,1b a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭={}2,,0a a b +.显然0a ≠,故0b a=,即0b =,此时{},0,1a ={}2,,0a a .故21a =且1a ≠.故1a =-.故()2019201920222022101a b +=-+=-.故答案为：-1 【点睛】本题主要考查了集合的无序性与互异性.属于基础题型.15．设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且()()3log (1)00x x f x g x x +≥⎧=⎨<⎩，，，则()8g f ⎡⎤-=⎣⎦____．【答案】-1【解析】当0x <时，0x ->， ∴()()3log 1f x x -=-+，∵函数()f x 是定义在R 上的奇函数， ∴()()3log 1f x x -=-+，∴()()3log 1,(0)f x x x =--+<，即()()3log 1,(0)g x x x =--+< 由题意得3(8)(8)log 92f f -=-=-=-， ∴()38(2)log [(2)1]1g f g ⎡⎤-=-=---+=-⎣⎦． 答案：1-16．若函数()f x 是区间D 上的单调函数，且存在区间[],r s D ⊆（其中r s <），使得当[],x r s ∈时， ()f x 的取值范围恰为[],r s ，则称函数()f x 是D 上的“和谐”函数.若函数()2t x x t =+是()0-∞，上的“和谐”函数，则实数t 的取值范围是_______ 【答案】314⎛⎫-- ⎪⎝⎭，【解析】由题得()2t x x t =+在()0-∞，上为减函数,故存在区间[](),0r s ⊆-∞，, 使得()()t r st s r ⎧=⎪⎨=⎪⎩再数形结合列式求解即可.【详解】因为()2t x x t =+在()0-∞，上为减函数,由题意有存在区间[](),0r s ⊆-∞，使得()()t r s t s r ⎧=⎪⎨=⎪⎩.即22r t ss t r⎧+=⎨+=⎩.相减得22r s s r -=-.因为r s <,故(1)s r =-+. 代入2r t s +=得210r r t +++=.又0r s <<,(1)s r =-+.故)0(1r r -+<<.解得112r -<<-.故关于r 的方程210r r t +++=在区间11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭内有实数解.令2()1g r r r t =+++则二次函数对称轴为12r =-, 故(1)0111011113()0102424g t t g t t ->-++>>-⎧⎧⎧⎪⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨-<-++<<-⎪⎪⎪⎩⎩⎩.故31,4t ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭.故答案为：314⎛⎫-- ⎪⎝⎭，【点睛】本题主要考查了函数新定义,同时也考查了零点存在定理的运用,属于中等题型.三、解答题17．若集合{24}A x x =-<<，{0}B x x m =-<． （1）若3m =，全集U A B =⋃，试求()U A B ð．（2）若AB A =，求实数m 的取值范围．【答案】(1) (){34}U A B x x ⋂=≤<ð. (2) [4,)+∞.【解析】分析：（1）根据集合的基本运算求A B ⋃，即可求出答案； （2）根据A B A ⋂=，建立条件关系即可求出实数m 的取值范围. 详解：（1）当3m =时，由0x m -<，得3x <， ∴{3}B x x =<，∴{4}A B x x ⋃=⋃=<， 则{34}U B x x =≤<ð， ∴(){34}U A B x x ⋂=≤<ð．（2）∵{24}A x x =-<<，{0}{}B x x m x x m =-<=<，由A B A ⋂=得A B ⊆，∴4m ≥，即实数m 的取值范围是[)4,+∞． 点睛：解决集合运算问题的方法在进行集合运算时，要尽可能地利用数形结合的思想使抽象问题直观化．(1)用列举法表示的集合进行交、并、补的运算，常采用Venn 图法解决，此时要搞清Venn 图中的各部分区域表示的实际意义．(2)用描述法表示的数集进行运算，常采用数轴分析法解决，此时要注意“端点”能否取到． (3)若给定的集合是点集，常采用数形结合法求解． 18．已知函数()211x f x x -=+． (Ⅰ)证明：函数()f x 在区间()0,+∞上是增函数； (Ⅱ)求函数()f x 在区间[]1,17上的最大值和最小值．【答案】(Ⅰ)见解析；(Ⅱ)见解析 【解析】(Ⅰ)先分离常数得出()321f x x =-+，然后根据增函数的定义，设任意的120x x >>，然后作差，通分，得出()()()()()121212311x x f x f x x x --=++，只需证明()()12f x f x >即可得出()f x 在()0,+∞上是增函数；(Ⅱ)根据()f x 在()0,+∞上是增函数，即可得出()f x 在区间[]1,17上的最大值为()17f ，最小值为()1f ，从而求出()17f ，()1f 即可．【详解】解：(Ⅰ)证明：()213211x f x x x -==-++； 设120x x >>，则：()()()()()121221123331111x x f x f x x x x x --=-=++++； 120x x >>；120x x ∴->，110x +>，210x +>；()()()12123011x x x x -∴>++；()()12f x f x ∴>；()f x ∴在区间()0,+∞上是增函数；(Ⅱ())f x 在()0,+∞上是增函数；()f x ∴在区间[]1,17上的最小值为()112f =，最大值为()11176f =． 【点睛】考查分离常数法的运用，反比例函数的单调性，增函数的定义，根据增函数的定义证明一个函数是增函数的方法，根据函数单调性求函数在闭区间上的最值的方法．19．已知函数[]2424y x mx x =+-∈，，()1求函数的最小值()g m ； ()2若()10g m =，求m 的值．【答案】（1）()22448444128m m m g m m m m ≥-⎧⎪⎪=---<<-⎨⎪+≤-⎪⎩，，，（2）5m = 【解析】试题分析：()1求出函数的对称轴，通过讨论m 的范围，得到函数的单调性，从而求出()g m 的表达式即可；()2根据()g m 的表达式求出m 的值即可．试题解析：解：()[]21424y x mx x =+-∈，，函数的对称轴是2m x =-， 22m①-≤即4m ≥-时，函数在[]24，递增， 2x =时，函数值最小值，函数的最小值是2m ，242m <-<②时，函数在22m ，⎡⎫-⎪⎢⎣⎭递减，在42m ⎛⎤- ⎥⎝⎦，递增， 2m x =-时，函数值最小，最小值是244m --，42m-≥③时，函数在[]24，递减， 4x =时，函数值最小，函数的最小值是412m +，综上：()22448444128m m m g m m m m ≥-⎧⎪⎪=---<<-⎨⎪+≤-⎪⎩，，，； ()()210g m =，由()1得：若210m =，解得：5m =，符合题意；若24104m --=，无解；若41210m +=，无解； 故5m =．点睛：二次函数在闭区间上必有最大值和最小值，它只能在区间的端点或二次函数图象的顶点处取到；常见题型有：（1）轴固定区间也固定；（2）轴动（轴含参数），区间固定；（3）轴固定，区间动（区间含参数）. 找最值的关键是：（1）图象的开口方向；（2）对称轴与区间的位置关系；（3）结合图象及单调性确定函数最值.20．已知函数()f x ，对于任意的,x y ∈R ，都有()()()f x y f x f y +=+, 当0x >时，()0f x <，且1(1)2f =-.(1)求(0),(3)f f 的值；并证明函数()f x 在R 上是递减的奇函数.(2)设函数2()()2()g x f x m f x =--，判断函数g (x )最多有几个零点，并求出此时实数m 的取值范围.【答案】（1）()00f =,()332f =-,证明见解析 （2）见解析. 【解析】(1)利用赋值法,令0x y ==与1,x y ==2,1x y ==代入求解即可.再令y x =-可证明奇函数,再取12,,x x R ∈且12x x <赋值到条件中分析即可.(2)根据(1)中证明的奇函数化简2()()2()g x f x m f x =--()220f x x m =--=,利用单调性可知220x x m --=,再参变分离求函数取值范围即可. 【详解】解：（1）令0x y ==得()()()000f f f =+,得()00f =. 令1,x y ==得()()2211f f ==-,令2,1x y ==得()()()3321.2f f f =+=-证明：任取12,,x x R ∈且12x x <,则210x x ->,因为()()()f x y f x f y +-=,即()()()()f x y f x f x y x f y ⎡⎤+-=+-=⎣⎦.令 21x x y x x =+=，， 则()()()2121f x f x f x x -=-. 由已知0x >时,()0f x <且210x x ->,则()210f x x -<,所以 ()()210f x f x -<,()()21f x f x <,所以函数()f x 在R 上是减函数 令,y x =-代入()()()f x y f x f y +=+, 得()()()00f x f x f +-==, 所以()()f x f x -=-,故()f x 为奇函数 （2）由()()()22g x f x m fx =--=()()22f x m f x -+-=()()()2f x m f x f x -+-+-()22f x x m =--令()0g x =,即()2200f x x m f --==（）,因为函数()f x 在R 上是减函数, 所以220x x m --=,即22m x x =-[)22,1,y x x y =--+∞令由其图像可得：的值域为所以当()1,0m ∈- 时,函数()g x 最多有4个零点. 【点睛】本题主要考查了抽象函数的求值与单调性奇偶性的证明,主要利用赋值法进行.同时也考查了零点问题的转换与参变分离求参数范围的方法,属于难题.21．伟大的中华民族，用仅占世界淡水总量的百分之六，养育着占全球总人口百分之二十的中华儿女.对“水”这个宝贵的资源，曾经有人认为是取之不尽用之不竭的，如今竟然到了严重制约我国经济发展，严重影响人民生活的程度.因为缺水，每年给我国工业造成的损失达2000亿元，给我国农业造成的损失达1500亿元，因严重缺水困扰全国三分之二的城市.党的“十九”大报告指出：要节约资源，防止浪费.为了节约用水，某市出台一项水费政策，对该市居民用水实行阶梯收费，其标准如下表：（单位：元/立方米）．（1）试写出消费y （元）与用水量x （立方米）之间的函数关系式，其中，x ∈N ． （2）若某居民年交水费1040元，求其中自来水费、水资源费及污水处理费各占多少？【答案】（1）5,0180,7360,180260,9880,260,x x x N y x x x N x x x N <≤∈⎧⎪=-<≤∈⎨⎪->∈⎩（2）自来水费：454元，水资源费：314元，污水处理费：272元，【解析】(1)根据题意,分三段0180x <≤,180260x <≤,260x >进行计算即可. (2)根据(1)中的分段函数先分析交水费1040元中x 的取值范围,再分别计算自来水费与水资源费污水处理费即可. 【详解】解：（1）当0180x <≤时,5y x =；当180260x <≤时,()180518077360y x x =⨯+-⨯=-； 当260x >时,()146026099880y x x =+-⨯=-；∴5,0180,7360,180260,9880,260,x x x N y x x x N x x x N <≤∈⎧⎪=-<≤∈⎨⎪->∈⎩．（2）当1040y =时,73601040x -=,200x =,自来水费：2.07180+20 4.07=454⨯⨯（元）,水资源费：1.57200314⨯=（元）, 污水处理费：1.36200272⨯=（元）, 【点睛】本题主要考查了分段函数的实际运用,需要根据题意分段列出合适的函数式.属于中等题型.22．定义在D 上的函数()f x ，如果满足：对任意x D ∈，存在常数0M ≥，都有()f x M ≤成立，则称()f x 是D 上的有界函数，其中M 称函数()f x 的一个上界.已知函数2()1xxf x a ee--=+⋅+,121()log .1x g x x +=-(1)求函数()g x 在区间17,315⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的所有上界构成的集合(2)若函数()f x 在[)0,+∞上是以4为上界的有界函数，求实数a 的取值范围.【答案】（1）[)4+∞，（2）[]6,2- 【解析】(1)根据()g x 的单调性求得()g x 的值域,再根据上界的定义求所有上界构成的集合即可.(2)由题知()4f x ≤在[)0+∞，上恒成立,再参变分离构造函数求最值即可. 【详解】解：（1）由()121log 1x g x x +=-,设()12111x u x x x +==+--,令12,x x D ∈,且121x x <<, ∵()()121211u x u x x -=+- ()()()212122210111x x x x x ---=>---； ∴()11x u x x +=-在()1,+∞上是减函数, ∴()121log 1x g x x +=-在()1,+∞上是单调递增函数, 12117()log ,3115x g x x +⎡⎤∴=⎢⎥-⎣⎦在区间上是单调递增， 17()()(3),4()115g g x g g x ∴≤≤-≤≤-即 []17(),34,115g x ⎡⎤∴--⎢⎥⎣⎦在上的值域为()4g x ∴≤[)17(),3415g x ⎡⎤+∞⎢⎥⎣⎦故函数在区间上的所有值域的集合为，[)22:()404() 4.41 4.x x f x f x ae e --≤+∞∴-≤≤-≤++≤（）由题意知在，上恒成立，即：因此：[)530x x x x e e a e e ----≤≤-+∞在，上恒成立。
2022-2023学年重庆十八中高一(上)期末数学试卷(含答案解析)
2022-2023学年重庆十八中高一（上）期末数学试卷1. 命题“∃x∈R，e x<2”的否定是( )A. ∃x∈R，e x≥2B. ∃x∈R，e x>2C. ∀x∈R，e x≥2D. ∀x∈R，e x>22. 在平面直角坐标系中，若角α的终边与单位圆的交点为P(−23,√53)，则cos(3π−α)=( )A. 23B. −23C. √53D. −√533. 若正实数a，b满足(a+1)(2b+1)=4，则a+2b+1的最小值为( )A. 2B. 3C. 103D. 44. 已知集合M={x|x2−2x−3<0},N={x|y=√1−log2(4−x)}，则M∪N=( )A. (−3,+∞)B. (−3,4)C. (−1,+∞)D. (−1,4)5. “a−12<b−12”是“lga>lgb”的条件．( )A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要6. y=cos(ωx+φ)的部分图像如图所示，则其单调递减区间为( )A. (112+2k,712+2k),k∈ZB. (112+k,712+k),k∈ZC. (112+2kπ,712+2kπ),k∈ZD. (112+kπ,712+kπ),k∈Z7. 已知定义域为[−4,4]的函数f(x)的图像是一条连续不断的曲线，且满足f(−x)+f(x)=0.若∀x1，x2∈(0,4],当x1<x2时，总有x1f(x1)>x2f(x2)，则满足(2m+1)f(2m+1)≤(m−4)f(m−4)的实数m的取值范围为( )A. [0,1]B. [1,32] C. [−5,1] D. [−3,5]8. 设a=sin40∘,b=2−32,c=log85，则a，b，c的大小关系为( )A. a<b<cB. a<c<bC. b<c<aD. b<a<c9. 下列函数中，与函数y=x是同一函数的有( )A. y=√x2B. y=√x33C. y=lne xD. y=e lnx10. 已知x，y是正数，且x+y=2，则( )A. x(x+2y)的最大值为4B. log2x+log2y的最大值为0C. 2x+2y的最小值为4D. 1x +2y的最小值为32+√211. 已知f(x)=sin(2x+π6)，则( )A. 其图像可以由y=sinx的图像先向左平移π6个单位长度，再将所有点的横坐标缩短为原来的12(纵坐标不变)得到B. 其图像可以由y=sinx的图像所有点的横坐标缩短为原来的12(纵坐标不变)，再向左平移π6个单位长度得到C. ∃x0∈R且x0≠0，使得f(x0)=f(−x0)D. ∀x∈R，都有f(5π6−x)=−f(x)12. 已知函数f(x)=e|x+6|sinax，若存在实数t，使得f(x+t)是奇函数，则cos2a的值可能为( )A. 12B. −12C. √32D. −√3213. 如图所示的时钟显示的时刻为2：00，此时时针与分针的夹角为α(0<α<π).若一个半径为2cm的扇形的圆心角为α，则该扇形的面积为______cm2.14. tan12∘+tan18∘+tan150∘tan12∘tan18∘=______.15. 写出定义域为R 且同时满足下列三个条件的函数f(x)的表达式：f(x)=______.(1)f(x)=f(−x)；(2)f(x)在(−∞,0]上单调递增；(3)f(x)的值域为(0,1].16. 已知函数f(x)={2x 2+4x +1,x ≤0|log 4x|,x >0，记g(x)=f 2(x)−(2a +2)f(x)+a 2+2a ，若g(x)有6个零点，则实数a 的取值范围是______.17. 已知集合A ={y|y =2x ,x ≤2}，B ={x|2a ≤x ≤a +2}.(1)求∁R A ；(2)若A ∪B =A ，求实数a 的取值范围．18. 已知cos(α+β)=−√55,tan(π+α)=3，其中α，β为锐角．(1)求sinα的值； (2)求β的值．19. 某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量(单位：mg/L)与时间(单位：ℎ)间的关系为：P =P 0e −kt ，其中P 0，k 是正的常数．若在前5h 消除了20%的污染物，则：(1)10ℎ后还剩百分之几的污染物？(2)污染物减少50%需要花多少时间？(精确到1h ，参考数据：lg2≈0.3)20. 已知二次函数f(x)满足：关于x 的不等式f(x)+x +3<0的解集为(1,2)且f(0)=−1.(1)求f(x)的表达式；(2)若f(a x )(a >0且a ≠1)在区间[−1,2]上的最小值为−5，求a 的取值范围．21. 已知函数f(x)=cos(ωx −π6)sin(ωx −π3)+√3sinωxcosωx +14.(1)若ω=1，求f(x)在(π2,π]上的值域；(2)若在(0,π2)内恰有两个t 的值，使得函数f(x)关于点(t,0)对称，求ω的取值范围．22. 已知函数f(x)=log a (√4x 2+1−bx)在R 上为奇函数，a >1，b >0.(1)求实数b 的值；(2)指出函数f(x)的单调性(说明理由，不需要证明)；(3)若对任意x >0,θ∈(0,π2)，不等式f(−4x(t 2+2)sin2θ)+f(3t(x 2+2)(sinθ+cosθ))≤0都成立，求正数t 的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：“∃x ∈R ，e x <2”的否定是∀x ∈R ，e x ≥2. 故选：C.任意改存在，将结论取反，即可求解． 本题主要考查特称命题的否定，属于基础题．2.【答案】A【解析】解：∵角α的终边与单位圆的交点为P(−23,√53)， ∴cosα=−23，则cos(3π−α)=−cosα=23. 故选：A.由已知可得cosα的值，再由诱导公式求解．本题考查三角函数的化简求值，考查任意角的三角函数的定义及诱导公式的应用，是基础题．3.【答案】B【解析】解：∵正实数a ，b 满足(a +1)(2b +1)=4，∴a +2b +1=a +1+2b +1−1≥2√(a +1)(2b +1)−1=3，当且仅当{(a +1)(2b +1)=4a +1=2b +1，即{a =1b =12时，等号成立， 故a +2b +1的最小值为3. 故选：B.根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可求解． 本题主要考查基本不等式的公式，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：解不等式x 2−2x −3<0可得：−1<x <3， 则集合M =(−1,3)，令1−log 2(4−x)≥0，则不等式化为0<4−x ≤2，解得2≤x <4，所以集合N =[2,4), 则M ∪N =(−1,4)， 故选：D.利用一元二次不等式以及对数不等式的解法，根式的性质求出集合M ，N ，再利用并集的定义即可求解．本题考查了并集的应用，涉及到不等式的求解，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：因为函数y=x−12在定义域(0,+∞)上为单调递减函数，又a−12<b−12，所以a>b>0，则lga>lgb成立，所以充分性成立，当lga>lgb时，a>b>0，则a−12<b−12，所以必要性成立，故“a−12<b−12”是“lga>lgb”的充要条件，故选：C.分别根据幂函数与对数函数的单调性以及充分，必要条件的定义判断即可求解．本题考查了充分，必要条件的定义的应用，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：由题图可知T2=13−(−16)=12，所以T=1=2πω，故ω=2π，又函数过点(13,0)，可得：13×2π+φ=2kπ+π2，故φ=2kπ−π6，k∈Z，故取φ=−π6，∴y=cos(2πx−π6)，令2kπ≤2πx−π6≤2kπ+π，故k+112≤x≤k+712，k∈Z.函数的单调递减区间为：[k+112,k+712]，k∈Z.故选：B.直接利用三角函数关系式的确定，余弦型函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的确定，余弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：由f(−x)+f(x)=0可得f(−x)=−f(x)，即f(x)为奇函数，所以g(x)=xf(x)为偶函数，因为∀x1，x2∈(0,4],当x1<x2时，总有x1f(x1)>x2f(x2)，即g(x1)>g(x2)，所以g(x)在(0,4]上单调递减，根据偶函数的对称性可知，g(x)在[−4,0)上单调递增，由(2m+1)f(2m+1)≤(m−4)f(m−4)可得g(2m+1)≤g(m−4)，所以{−4≤2m+1≤4−4≤m−4≤4|2m+1|≥|m−4|，解得1≤m≤32.故选：B.由已知不等式考虑构造函数g(x)=xf(x)，然后判g(x)的单调性及奇偶性，结合单调性及奇偶性即可求解不等式．本题主要考查了函数的单调性及奇偶性在求解不等式中的应用，属于中档题．8.【答案】D【解析】解：由角度制与弧度制的互换知，40∘=29πrad，如图，在单位圆中作∠AOB=29π，，∵sin∠AOB=|AB|，∠AOB=AD⏜，又∵|AB|<AD⏜，∴sin∠AOB<∠AOB，即sin40∘<29π，故12=sin30∘<sin40∘<29π<34，即12<a<34，又∵b=2−32<12，∵83=512，54=625，∴83<54，即3<4log85，即log85>34，即c >34， 故b <a <c ， 故选：D.由角度制与弧度制的互换知40∘=29πrad ，再结合三角函数的定义知sin40∘<29π，从而可得12=sin30∘<sin40∘<29π<34，再判断b ，c 的大小即可．本题考查了三角函数，指数运算及对数运算的应用，属于中档题．9.【答案】BC【解析】解：函数y =x 的定义域为R ，A ：函数y =√x 2=|x|与已知函数的解析式不同，不是同一函数，故A 错误，B ：y =√x 33=x ，定义域为R ，与已知函数是同一函数，故B 正确，C ：因为e x >0恒成立，所以函数y =x ，且定义域为R ，故是同一函数，故C 正确，D ：y =e lnx =x ，且x >0，与已知函数的定义域不同，故不是同一函数，故D 错误， 故选：BC.利用根式的性质以及对数的性质对各个选项化简，然后根据判断函数是同一函数的标准即可判断求解．本题考查了判断函数是同一函数的标准的应用，属于基础题．10.【答案】BCD【解析】解：∵x ，y 是正数，且x +y =2，∴x(x +2y)=(2−y)(2−y +2y)=4−y 2<4，故A 错误， log 2x +log 2y =log 2xy ≤log 2(x+y)24=0，当且仅当{x =yx +y =2，即x =y =1时，等号成立，故log 2x +log 2y 的最大值为0，故B 正确， 2x+2y≥2√2x ⋅2y =2√2x+y=4，当且仅当{2x =2yx =y，即x =y =1时，等号成立，故2x +2y 的最小值为4，故C 正确， x ，y 是正数，且x +y =2，则1x +2y=12(1x +2y)(x +y)=12(3+y x +2x y)≥12(3+2√y x ⋅2xy)=32+√2，当且仅当{x +y =2y x=2x y，即{x =2√2−2y =4−2√2时，等号成立，故1x +2y 的最小值为32+√2，故D 正确． 故选：BCD.根据已知条件，结合基本不等式的公式，以及对数、指数的运算性质，即可求解． 本题主要考查基本不等式的公式，以及对数、指数的运算性质，属于基础题．11.【答案】ACD【解析】解：选项A ，y =sinx 的图像先向左平移π6个单位长度，得到y =sin(x +π6)，再将所有点的横坐标缩短为原来的12(纵坐标不变)得到y =sin(2x +π6)=f(x)，即A 正确；选项B ，y =sinx 的图像所有点的横坐标缩短为原来的12(纵坐标不变)，得到y =sin2x ，再向左平移π6个单位长度得到y =sin2(x +π6)=sin(2x +π3)≠f(x)，即B 错误；选项C ，取x 0=π2，则f(π2)=sin(π+π6)=−sin π6=−12，f(−π2)=sin(−π+π6)=−sin π6=−12， 所以f(π2)=f(−π2)，即C 正确；选项D ，f(5π6−x)=sin[2(5π6−x)+π6]=sin(11π6−2x)=sin(2π−π6−2x)=−sin(2x +π6)=−f(x)，即D 正确． 故选：ACD.根据函数图像的变换法则，可判断选项A 和B ；取x 0=π2，计算f(π2)和f(−π2)的值，可判断选项C ；结合诱导公式化简f(5π6−x)，即可得解．本题考查三角函数的图像与性质，熟练掌握函数图像的变换法则，正弦函数的奇偶性，诱导公式等是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．12.【答案】AB【解析】解：令g(x)=f(x +t)=e |x+t+6|sin[a(x +t)]，要使g(x)为奇函数， 则g(−x)+g(x)=e |−x+t+6|sin(−ax +at)+e |x+t+6|sin(ax +at)=0恒成立， 只需{t +6=0at =kπ,k ∈Z ，解得a =−kπ6，k ∈Z ，cos2a =cos(−kπ3)，k ∈Z ，k =0时，cos2a =cos0=1， k =1时，cos2a =cos(−π3)=12， k =2时，cos2a =cos(−2π3)=−12， k =3时，cos2a =cos(−π)=−1， k =4时，cos2a =cos(−4π3)=−12，k =5时，cos2a =cos(−5π3)=12， k =6时，cos2a =cos(−2π)=1.综上可知，cos2a 的所有可能取值为：±1,±12. 故选：AB.首先f(x +t)的定义域为R ，若为奇函数，必有f(0)=0，据此求出a 的值，再加以验证即可． 本题考查三角函数的性质和奇函数的定义，属于中档题．13.【答案】2π3【解析】解：根据题意知α=π3，∴S =12αr 2=12×π3×4=2π3. 故答案为：2π3.根据条件可得出α=π3，然后根据扇形的面积公式即可求出该扇形的面积． 本题考查了扇形的面积公式，考查了计算能力，属于容易题．14.【答案】−√33【解析】解：原式=tan(12∘+18∘)(1−tan12∘tan18∘)−tan30∘tan12∘tan18∘=tan30∘−tan30∘tan12∘tan18∘−tan30∘tan12∘tan18∘=−tan30∘=−√33，故答案为：−√33.利用诱导公式以及正切的和角公式化简即可求解．本题考查了两角和与差的三角函数公式的应用，属于基础题．15.【答案】2−|x|(答案不唯一)【解析】解：根据题意，函数f(x)满足f(x)=f(−x)，则f(x)为偶函数， 又由f(x)的值域为(0,1]且在(−∞,0]上单调递增，则f(0)=1， 结合指数函数的性质，可知f(x)可以为f(x)=2−|x|. 故答案为：2−|x|(答案不唯一).根据题意，可得函数f(x)的奇偶性，结合指数函数的性质即可得出结果． 本题考查函数的奇偶性和单调性，属于基础题．16.【答案】{a|a >1或a =0}【解析】解：先作出f(x)={2x 2+4x +1,x ≤0|log 4x|,x >0的大致图象，如图所示，由g(x)=f 2(x)−(2a +2)f(x)+a 2+2a =0可得f(x)=a 或f(x)=a +2， 若g(x)有6个零点，则{−1<a <00<a +2<1或{a =0a +2>1或a >1，解得a >1或a =0， 故答案为：{a|a >1或a =0}.先作出f(x)的大致图象，由g(x)=0可得f(x)=a 或f(x)=a +2，结合函数图象可求． 本题主要考查了由函数的零点求解参数范围，体现了数形结合思想的应用，属于中档题．17.【答案】解：(1)当x ≤2时，0<2x ≤4，所以集合A =(0,4],所以∁R A =(−∞,0]∪(4,+∞)； (2)若A ∪B =A ，则B ⊆A ，当B =⌀时，2a >a +2，解得a >2，此时满足题意； 当B ≠⌀时，要满足题意，只需{2a ≤a +22a >0a +2≤4，解得0<a ≤2，综上，实数a 的范围为(0,+∞).【解析】(1)利用指数的性质求出集合A ，再根据补集的定义即可求解；(2)由题意，可得B ⊆A ，然后分B 为空集和B 不是空集两种情况讨论，根据子集的性质建立不等式，求出a 的取值范围．本题考查了集合的运算和集合间的关系，考查了分类讨论思想和转化思想，属于基础题．18.【答案】解：(1)由已知tan(π+α)=3，则tanα=3，所以sinα=3cosα，且sin 2α+cos 2α=1(sinα>0,cosα>0)， 解得sinα=3√1010，cosα=√1010， 所以sinα的值为3√1010；(2)因为cos(α+β)=−√55，其中α，β为锐角， 则sin(α+β)=√1−cos 2(α+β)=2√55， 所以cosβ=cos[(α+β)−α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=−√55×√1010+2√55×3√1010=√22，又β为锐角， 则β=π4.【解析】(1)利用诱导公式求出tanα的值，再利用正余弦的平方关系建立方程即可求出sinα，cosα的值；(2)利用已知求出sin(α+β)的值，然后利用cosβ=cos[(α+β)−α]以及余弦的差角公式展开即可求解．本题考查了两角和与差的三角函数的公式的应用，涉及到正余弦平方关系以及配凑法的应用，属于基础题．19.【答案】解：(1)当t =0时，P =P 0e −k⋅0=P 0，当t =5时，P 0⋅e −5k P 0=80%，∴e −5k =0.8，∴k =−15ln0.8， 当t =10时，P 0⋅e −10kP 0=e −10k =(e −5k )2=0.82=0.64，∴10ℎ后还剩64%的污染物．(2)设污染物减少50%需要花th 的时间， 则e −kt =0.5，两边同时取以e 为底的对数，得−kt =ln0.5，∴t =−ln0.5k =−ln0.5−15ln0.8=5⋅ln0.5ln0.8=5log 0.80.5=5⋅lg0.5lg0.8=5⋅lg1−lg2lg4−lg5=5⋅−1g23lg2−1≈5⋅.−0.33×0.3−1=15.∴污染物减少50%需要花15ℎ.【解析】(1)根据条件计算e −5k ，从而可得e −10k 的值，由此能求出10h 后还剩百分之几的污染物； (2)令e −kt =0.5，利用指数运算法则能求出污染物减少50%需要花多少时间．本题考查对数函数的性质、运算法则、换底公式在生产生活中的实际运用，考查运算求解能力，是中档题．20.【答案】解：(1)设二次函数f(x)=a′x 2+bx +c ，(a′≠0)，则f(x)+x +3<0转化为a′x 2+(b +1)x +c +3<0，(a′≠0)， ∵关于x 的不等式f(x)+x +3<0的解集为(1,2)且f(0)=−1. ∴1，2是a′x 2+(b +1)x +c +3=0的两个根，且a′>0，c =−1， ∴1+2=−b+1a′，1×2=c+3a′， 解得a′=1，b =−4，∴f(x)=x 2−4x −1.(2)f(x)=x 2−4x −1=(x −2)2−5，∵f(a x )(a >0且a ≠1)在区间[−1,2]上的最小值为−5，由已知得：2∈{t|t =a x ,x ∈[−1,2]}，当a >1时，2∈{t|1a ≤t ≤a 2}，∴1a ≤2≤a 2，解得a ≥√2， 当0<a <1时，2∈{t|a 2≤t ≤1a}，∴a 2≤2≤1a，∴0<a ≤12， 综上，a 的取值范围是(0,12]∪[√2,+∞).【解析】(1)设二次函数f(x)=a′x 2+bx +c ，(a′≠0)，则f(x)+x +3<0转化为a′x 2+(b +1)x +c +3<0，(a′≠0)，从而1，2是a′x 2+(b +1)x +c +3=0的两个根，且a′>0，c =−1，利用韦达定理能求出f(x).(2)f(x)=(x −2)2−5，由已知得：2∈{t|t =a x ,x ∈[−1,2]}，当a >1时，2∈{t|1a ≤t ≤a 2}，当0<a <1时，2∈{t|a 2≤t ≤1a }，由此能求出a 的取值范围．本题考查二次函数的性质、一元二次不等式的性质、解法、韦达定理等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21.【答案】解：(1)当ω=1时，f(x)=cos(x −π6)sin(x −π3)+√3sinxcosx +14=(√32cosx +12sinx)(12sinx −√32cosx)+√32sin2x +14=sin(2x −π6)，∵x ∈(π2,π],∴(2x −π6)∈(5π6,11π6], ∴f(x)∈[−1,12),即f(x)在(π2,π]上的值域[−1,12)； (2)由题意化简得f(x)=sin(2ωx −π6)， ∵t ∈(0,π2)，∴−π6<2ωt −π6<ωπ−π6， ∴π<ωπ−π6≤2π，解得76<ω≤136， 故实数ω的取值范围为(76,136]. 【解析】(1)由题意化简得f(x)=sin(2x −π6)，利用正弦型函数的性质，即可得出答案； (2)由(1)得f(x)=sin(2x −π6)，∵t ∈(0,π2)，∴−π6<2ωt −π6<ωπ−π6，求解即可得出答案． 本题考查三角函数的恒等变换和两角和差的三角函数，考查转化思想和整体思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．22.【答案】解：(1)∵函数f(x)=log a (√4x 2+1−bx)在R 上为奇函数，∴f(x)+f(−x)=log a (√4x 2+1−bx)+log a (√4x 2+1+bx)=log a (4x 2+1−b 2x 2)=0， ∴4x 2+1−b 2x 2=1恒成立，又b >0，可得b =2； (2)当b =2时，f(x)=log a (√4x 2+1−2x)=log a √4x 2+1+2x，∵a >1，∴函数f(x)为减函数；(3)不等式f(−4x(t 2+2)sin2θ)+f(3t(x 2+2)(sinθ+cosθ))≤0，即f(−4x(t 2+2)sin2θ)≤−f(3t(x 2+2)(sinθ+cosθ))=f(−3t(x 2+2)(sinθ+cosθ))， 可得−4x(t 2+2)sin2θ≥−3t(x 2+2)(sinθ+cosθ)， ∵x >0,θ∈(0,π2)，即4xx 2+2⋅t 2+23t ≤sinθ+cosθsin2θ， 也就是sinθ+cosθsin2θ≥t 2+23tx 2+24x， ∵t 2+23t x 4+12x≤t 2+23t 2√x 4⋅12x=√2(t 2+2)3t，当且仅当x 4=12x ，即x =√2时等号成立，∴sinθ+cosθsin2θ≥√2(t 2+2)3t， 由θ∈(0,π2)，令λ=sinθ+cosθ=√2sin(θ+π4)∈(1,√2],则sin2θ=λ2−1，∴sinθ+cosθsin2θ=λλ2−1=1λ−1λ∈(√2,+∞)，∴√2≥√2(t 2+2)3t，即t 2+23t≤1，又t >0，解得1<t <2.∴正数t 的取值范围是(1,2).【解析】(1)利用函数奇偶性的定义列式求解b 值；(2)由函数解析式结合复合函数的单调性可得函数f(x)的单调性；(3)由题设及f(x)单调性、奇偶性可得−4x(t 2+2)sin2θ≥−3t(x 2+2)(sinθ+cosθ)，再由函数的性质转化为关于t 的不等式求解．本题主要考查函数的奇偶性，函数的单调性，不等式恒成立的处理方法等知识，属于中等题．。
重庆市中学2024~2025学年高一上学期第一次月考数学试题含答案
重庆市2024~2025学年高一上学期第一次月考数学试题（命题人：）（答案在最后）考试说明：1.考试时间120分钟2.试题总分150分3.试卷页数2页一、单项选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设全集U =R ，3{|ln}3x M x y x -==+，}2{|2,1xx y y N =≤≤=，如图阴影部分所表示的集合为（）A.{}23x x ≤< B.{}34x x <≤C.{|2x x ≤或3}x > D.{}33x x -≤≤【答案】B 【解析】【分析】由题意知，阴影部分表示的为M N ⋂，算出集合,M N 表示的范围，根据集合的交集的运算，即可得到本题答案.【详解】全集U =R ，集合M 中函数满足303x x ->+，解得3x <-或3x >，M ={|3x x <-或3}x >，集合N 中指数函数2x y =在上单调递增，则24222=x ≤≤，}|24{y N y =≤≤，由图可得阴影部分所表示的集合为{|34}M N x x ⋂=<≤，故选：B.2.若函数()y f x =的一个正零点用二分法计算，零点附近函数值的参考数据如下：(1)2f =-，(1.25)0.984f =-，(1.375)0.260f =-，(1.40625)0.054f =-，(1.4375)0.162f =，(1.6)0.625f =，那么方程()0f x =的一个近似根（精确度0.1）为（）A.1.2 B.1.3C.1.4D.1.5【答案】C【解析】【分析】由参考数据可得(1.4375)(1.375)0f f <，区间(1.375,1.4375)满足题干要求精确到0.1，结合选项可得答案.【详解】因为1.6 1.43750.16250.1-=>，所以不必考虑端点1.6；因为1.40625 1.250.156250.1-=>，所以不必考虑端点1.25和1；因为(1.4375)0f >，(1.375)0f <，所以(1.4375)(1.375)0f f <，所以函数()f x 在(1.375,1.4375)内有零点，因为1.4375 1.3750.06250.1-=<，所以满足精确度0.1；所以方程()0f x =的一个近似根（精确度0.1）是区间(1.375,1.4375)内的任意一个值（包括端点值），根据四个选项可知：1.4[1.375,1.4375]∈.故选：C.3.“1sin 2x =”是“2()6x k k Z ππ=+∈”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】首先根据1sin 2x =可得：2()6x k k Z ππ=+∈或52()6x k k Z ππ=+∈，再判断即可得到答案.【详解】由1sin 2x =可得：2()6x k k Z ππ=+∈或52()6x k k Z ππ=+∈，即2()6x k k Z ππ=+∈能推出1sin 2x =，但1sin 2x =推不出2()6x k k Z ππ=+∈“1sin 2x =”是“2()6x k k Z ππ=+∈”的必要不充分条件故选：B【点睛】本题主要考查必要不充分条件的判断，同时考查根据三角函数值求角，属于简单题.4.函数21π()sin 212x xf x x -⎛⎫=⋅+ ⎪+⎝⎭在区间ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象大致为（）A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】先得到函数的奇偶性，再计算出当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x >，判断出答案.【详解】化简函数()f x 解析式可得21()cos 21x x f x x -=⋅+，定义域为R ，112121212()()cos cos()cos cos 121212112xxxx x x x x f x f x x x x x------+-=⋅+-=⋅+⋅++++ 01212cos 11cos 22x x x x x x -=⋅+⋅+=+-，()f x ∴为奇函数，AC 错误；又因为当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，21()cos 021x x f x x -=⋅>+，B 错误，D 正确.故选：D.5.已知π0,4α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，π,02β⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，πsin 43α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，πsin 423β⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 2βα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（）A.9 B.69-C.9D.9【答案】A 【解析】【分析】先根据已知条件及同角三角函数基本关系求出π1cos 43α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，π3cos 423β⎛⎫-= ⎪⎝⎭；再利用已知角π4α+和π42β-来配凑2βα+；最后利用两角差的正弦公式即可求解.【详解】π0,4α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ ，π,02β⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，πππ,442α⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，πππ,4242β⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，πsin 43α⎛⎫+=⎪⎝⎭，πsin 423β⎛⎫-= ⎪⎝⎭，π1cos 43α⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭，πcos 423β⎛⎫-= ⎪⎝⎭.ππsin sin 2442ββαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=+-- ⎪ ⎪ ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ππππsin cos cos sin 442442ββαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+--+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭13333=⨯-⨯9=.故选：A.6.酒驾是严重危害交通安全的违法行为，为了保障安全，根据国家规定，驾驶人员每100毫升血液酒精含量大于或等于20毫克，并每100毫升血液酒精含量小于80毫克为饮酒后驾车；每100毫升血液酒精含量大于或等于80毫克为醉酒驾车.某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中酒精含量上升到了每毫升血液含酒精0.8毫克，如果停止饮酒后，他的血液中的酒精会以每小时25%的速度减少，那么他想要驾车至少要经过（参考数据：lg 20.301≈，lg 30.477≈）（）A.3hB.4hC.5hD.7h【答案】C 【解析】【分析】先根据题意表示出经过t 小时后，该驾驶员体内的酒精含量；再列出不等式求解即可.【详解】经过t 小时后，该驾驶员体内的酒精含量为：30.8mg /ml 4t⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭.只需30.80.24t⎛⎫⨯< ⎪⎝⎭，即3144t⎛⎫< ⎪⎝⎭，341log 43344t ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.因为函数34x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上为减函数，所以341lg 42lg 20.602log 4.8164lg 4lg 32lg 2lg 30.6020.477t >==≈=---，故他至少要经过5个小时后才能驾车.故选：C.7.定义在R 上的奇函数()f x 满足，当(0,2)x ∈时，()cos((1))2f x x π=-，且2x ≥时，有1()(2)2f x f x =-，则函数2()()F x x f x x =-在[2,5]-上的零点个数为A.9B.8C.7D.6【答案】B 【解析】【分析】先由奇函数性质求出函数()f x 在[]2,2-上的解析式，再利用1()(2)2f x f x =-.得到[2,5]-的图象，2()()F x x f x x =-的零点个数，等价于求1()f x x =的解的个数.根据两函数交点个数即可求解.【详解】当(0,2)x ∈时，()cos((1))cos(sin()2222f x x x x ππππ=-=-=，()f x 是奇函数，()00f ∴=，当2x ≥时，有1()(2)2f x f x =-，()()12002f f ∴==，()()14202f f ==，若()2,0x ∈-，则()0,2x -∈，则()sin()(in ()22)s x f x f x x ππ-=-=-=-，即()sin()2f x x π=，()2,0x ∈-即当22x -≤≤时，()sin()2f x x π=，当24x ≤≤时，022x ≤-≤，此时1111()(2)sin[(2)]sin()sin()2222222f x f x x x x ππππ=-=-=-=-，当45x ≤≤时，223x ≤-≤，此时1111()(2)sin[(2)]sin()sin(44)24222f x f x x x x ππππ=-=--=--=，由2()()0F x x f x x =-=，得：当0x =时，由(0)0F =，即0x =是()F x 的一个零点，当0x ≠时，由2()0f x xx -=得1()xf x =，即1()f x x=，作出函数()f x 与1()g x x=在，[2,5]-上的图象如图：由图象知两个函数在[2,5]-上共有7个交点，加上一个0x =，故函数2()()F x x f x x =-在[2,5]-上的零点个数为8个，故选：B.【点睛】本题主要考查函数与方程的应用.判断函数零点个数的方法:直接法:即直接求零点，令()0f x ＝，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点定理法:即利用零点存在性定理，不仅要求函数的图象在区间[]a b ，上是连续不断的曲线，且()()0f a f b < ，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点图象法:即利用图象交点的个数，画出函数()f x 的图象，函数()f x 的图象与x 轴交点的个数就是函数()f x 的零点个数；将函数()f x 拆成两个函数()h x 和()g x 的差，根据()0()()f x h x g x Û＝＝，则函数f(x)的零点个数就是函数()y h x =和()y g x ＝的图象的交点个数性质法:即利用函数性质，若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；若所考查的函数是周期函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数.8.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，若对任意120x x <<，均有()()2112120x f x x f x x x ->-且(3)3f =，则不等式()0f x x ->的解集为（）A.(3,0)(3,)-⋃+∞B.()3,3-C.(,3)(3,)-∞-⋃+∞D.(3,0)(0,3)-⋃【答案】A 【解析】【分析】先变形得到()()1212f x f x x x <，令()()f x g x x =，得到()()f x g x x=在(0,)+∞上单调递增，结合(3)(3)13f g ==，得到3x >，再结合函数的奇偶性和单调性得到30x -<<，从而求出答案.【详解】因为120x x <<，所以()()21120x f x x f x -<，所以()()1212f x f x x x <.设函数()()f x g x x =，则函数()()f x g x x =在(0,)+∞上单调递增，且(3)(3)13f g ==.当0x >时，不等式()0f x x ->等价于()f x x >，即()1f x x>，即()(3)g x g >，解得3x >，又因为()f x 是定义在上的奇函数，所以(0)0f =，所以，当0x =时，不等式()0f x x ->无解.因为()f x 是定义在上的奇函数，所以−=−，()()f x g x x=的定义域为()(),00,∞∞-⋃+，又()()()()()f x f x f x g x g x x x x---====--，故()()f x g x x=为偶函数，且在(,0)-∞单调递减，当0x <时，不等式()0f x x ->等价于()f x x >，即()1f x x<，因为(3)(3)13f g --==-，故()(3)g x g <-，解得30x -<<，综上，不等式()0f x x ->的解集为(3,0)(3,)-⋃+∞.故选：A.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.对于实数a ，b ，c ，下列说法正确的是（）A.若1a b <<，则11b a< B.若22ac bc >，则a b>C.若0a b >>，0c >，则b b c a a c+<+ D.若c a b >>，a b c a c b<--【答案】ABC 【解析】【分析】AB 选项，可利用不等式性质进行判断；CD 选项，利用作差法比较出大小.【详解】A 选项，若1a b <<，则0ab >，不等式两边同除以ab 得11b a<，A 正确；B 选项，若22ac bc >，则0c ≠，故20c >，不等式两边同除以2c 得a b >，B 正确；C 选项，()()()b a cb bc ab bc ab ac a a c a a c a a c -++---==+++，因为0a b >>，0c >，所以0,0b a a c -<+>，故()()0b a c b b c a a c a a c -+-=<++，所以b b ca a c+<+，C 正确；D 选项，()()()a b c a b c a c b c a c b --=----，因为c a b >>，所以0c a ->，0c b ->，0a b ->，但c 的正负不确定，故无法判断()()()c a b c a c b ---的正负，从而无法判断a c a -与bc b-的大小关系，D 错误.故选：ABC.10.已知函数()sin()f x x ωϕ=+（0ω>，π2ϕ<）的最小正周期为π，将该函数的图象向左平移π3个单位后，得到的图象对应的函数为偶函数，则下列说法正确的是（）A.函数()y f x =的图象关于直线π6x =对称B.函数()y f x =在区间5π4π,63⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增C.1(0)2f =-D.函数()y f x =的图象关于点π,012⎛⎫⎪⎝⎭对称【答案】BCD 【解析】【分析】由三角函数的周期性与奇偶性，结合三角函数图象平移法则求得,ωϕ，再利用代入检验法与整体代入法逐一分析各选项即可得解.【详解】因为函数()sin()f x x ωϕ=+的最小正周期为2ππω=，则2ω=，故()sin(2)f x x ϕ=+，将该函数的图象向左平移π3个单位后，得到2πsin 23y x ϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象，因为得到的图象对应的函数2πsin 23y x ϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭为偶函数，所以2πππ(Z)32k k ϕ+=+∈，即ππ(Z)6k k ϕ=-+∈，因为π2ϕ<，所以π6ϕ=-，故π()sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，对于A ，当π6x =时，则πππ1sin 6362f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 错误；对于B ，令πππ2π22π262k x k -+<-<+，Z k ∈，得ππππ(Z)63k x k k -+<<+∈，当1k =时，()y f x =在区间5π4π,63⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，故B 正确；对于C ，π1(0)sin 62f ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，故C 正确；对于D ，πππsin 01266f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 正确.故选：BCD.11.设函数()()12,1log 1,1x x f x x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩，若()()()()1234f x f x f x f x ===，且1234x x x x <<<，则()1243412x x x x ++++的值可以是（）A.4B.5C.163D.6【答案】AB 【解析】【分析】画出函数图象，数形结合得到120x x +=，3322x ≤<，423x <≤，结合交点关系得到()12344444222111x x x x x x +++=++++-，构造函数42()2(23)11g x x x x =++<≤+-，根据函数单调性得到取值范围，求出答案.【详解】函数()f x的图象如图所示，设()()()()1234f x f x f x f x t ====，由图可知，当01t <≤时，直线y t =与函数()f x 的图象有四个交点，交点的横坐标分别为1234,,,x x x x ，且1234x x x x <<<，1x >时，令12()log (1)1f x x =-=，解得32x =或3x =.由图可知，120x x +=，3322x ≤<，423x <≤，由()()34f x f x =，可得34111x x -=-，则有34111x x =+-，所以()1233444444422221111x x x x x x x x +++=+=+++++-.令42()2(23)11g x x x x =++<≤+-，易知()g x 在(2,3]上为减函数，且16(2)3g =，(3)4g =，故()12344164213x x x x ≤+++<+，且1644,3⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，1654,3⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，AB 正确；又1616164,,64,333⎡⎫⎡⎫∉∉⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭，CD 错误.故选：AB.【点睛】将函数零点问题或方程解的问题转化为两函数的图象交点问题，将代数问题几何化，借助图象分析，大大简化了思维难度，首先要熟悉常见的函数图象，包括指数函数，对数函数，幂函数，三角函数等，还要熟练掌握函数图象的变换，包括平移，伸缩，对称和翻折等，涉及零点之和问题，通常考虑图象的对称性进行解决.三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的反函数为1()f x -，且11()()4f a f b --+=-，则11a b +的最小值为__________.【答案】12【解析】【分析】先利用指、对数式的互化得到函数1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的反函数，再利用对数的运算性质化简11()()4f a f b --+=-，最后由基本不等式求得最值即可．【详解】因为x y a =和log a y x =（0a >，1a ≠）互为反函数，若1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则112()log f x x -=，又因为11()()4f a f b --+=-，所以111222log log log ()4a b ab +==-，所以16ab =，且0a >，0b >，又11116162a b a b a b ab +++==≥=，当且仅当4a b ==时等号成立，所以11a b +的最小值为12.故答案为：12.13.如果函数()f x 的图象可以通过()g x 的图象平移得到，则称函数()f x 为函数()g x 的“同形函数”，下面几对函数是“同形函数”的是__________.（填上正确选项的序号即可）①()sin f x x =，()cos g x x =；②()2sin cos f x x x =，()cos 2g x x =；③44()sin cos f x x x =-，()cos 2g x x =；④()sin 2tan f x x x =⋅，()cos 2g x x =.【答案】①②③【解析】【分析】①②③，结合三角恒等变换及平移变换法则求出答案；④由两函数定义域不同，故④错误.【详解】①()cos g x x =的图象向右平移π2个单位得到()sin f x x =的图象，①正确；②π()2sin cos sin 2cos 22f x x x x x ⎛⎫===-⎪⎝⎭，故()f x 的图象可由()cos 2g x x =的图象向右平移π4个单位得到，故②正确；③()()44222222()sin cos sin cos sincos sin cos f x x x x xx x x x =-=-+=-cos 2cos(2π)x x =-=+，故()f x 的图象可由()cos 2g x x =的图象向左平移π2个单位得到，故③正确；④2sin ()sin 2tan 2sin cos 2sin 1cos 2cos(2)1co πs xf x x x x x x x x x=⋅=⋅==-=++，因为()sin 2tan f x x x =⋅的定义域不是，而()cos 2g x x =的定义域是，所以不可能由()cos 2g x x =的图象平移得到()sin 2tan 2f x x x =⋅的图象，故④错误.故答案为：①②③14.定义域为R 的函数()f x 的图象关于直线1x =对称，当[0,1]x ∈时，()f x x =，且对任意x ∈R ，有(2)()f x f x +=-，2024(),0()log (),0f x xg x x x ≥⎧=⎨--<⎩，则方程()()0g x g x --=实数根的个数为__________.【答案】2027【解析】【分析】由于题意可得函数()f x 以4为周期，分0x >，0x <，0x =三种情况讨论，把问题转化函数图象交点个数问题，作出函数图象，结合函数的周期性即可得解．【详解】对任意∈有(2)()f x f x +=-，得(4)(2)()f x f x f x +=-+=，则函数()f x 以4为周期，由于函数()f x 的图象关于直线1x =对称，则()(2)f x f x =-，又(2)()f x f x +=-，所以(2)(2)0f x f x ++-=，则函数()f x 的图象关于(2,0)对称.当0x >时，0x -<，由()()0g x g x --=得()()g x g x =-，则2024()log f x x =-，作出()y f x =与2024log y x =-的大致图象如图，令2024log 1x -=-，则2024x =，而20244506=⨯，由图可知，在第一个周期内有三个交点，后面每个周期内有两个交点，所以()y f x =与2024log y x =-的图象在(0,)+∞上有350521013+⨯=个交点；当0x <时，0x ->，由()()g x g x =-得：2024log ()()x f x --=-，令x t -=，0t >，得2024()log f t t =-，由上述可知，()y f t =与2024log y t =-的图象在(0,)+∞上有1013个交点，故()y f x =-与2024log ()y x =--的图象在(,0)-∞上有1013个交点，又0x =时，()()0g x g x --=成立，所以方程()()0g x g x --=实数根的个数为2101312027⨯+=.故答案为：2027.【点睛】思路点睛：由题分析可得函数()f x 以4为周期，图象关于(2,0)中心对称，把问题转化函数图象交点个数问题，数形结合可得解.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.设集合{}11ee x A x -=≤≤，若关于x 的不等式20x mx n ++≤的解集为A .（1）求函数()2f x x mx n =++的解析式；（2）求关于x 的不等式()()2322f x x λλ+>-+的解集，其中λ∈R .【答案】（1）详见解析；（2）{|x x λ<-或}3x λ>-.【解析】【分析】（1）先化简集合A ，再根据关于x 的不等式20x mx n ++≤的解集为A ，利用根与系数的关系求解；（2）由（1）化简不等式为()()30x x λλ++->求解.【小问1详解】解：集合{}11ee x A x -=≤≤{}|12x x =≤≤，因为关于x 的不等式20x mx n ++≤的解集为A ，所以3,2m n =-=，则()232f x x x =-+；【小问2详解】由（1）知：关于x 的不等式()()2322f x x λλ+>-+即为：()2232322x x x λλ-++>-+，即为()222330x x λλλ+-+->，即为()()30x x λλ++->，解得：3x λ>-或x λ<-，所以不等式的解集为：{|x x λ<-或}3x λ>-.16.若函数()y f x =对任意实数x ，y 都有()()()f xy f x f y =，则称其为“保积函数”.现有一“保积函数”()f x 满足(1)1f -=-，且当01x <<时，()(0,1)f x ∈.（1）判断“保积函数”()f x 的奇偶性；（2）若“保积函数”()f x 在区间(0,)+∞上总有()0f x >成立，试证明()f x 在区间(0,)+∞上单调递增；（3）在（2）成立的条件下，若(2)2f =，求()211log sin 2f x +≤，[0,2π]x ∈的解集.【答案】（1）()f x 为奇函数（2）证明见解析（3）π3π0,,π44⎛⎤⎡⎫⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【解析】【分析】（1）赋值，结合(1)1f -=-，进而得到()f x 为奇函数；（2）()f x 在(0,)+∞上单调递增，利用定义法得到函数的单调性；（3）赋值法得到1122f ⎛⎫=⎪⎝⎭，结合函数单调性得到211log sin 2x +≤，[0,2π]x ∈，数形结合，结合定义域，得到不等式，求出解集.【小问1详解】()f x 为奇函数，理由如下：根据题意，令1y =-，得()()(1)f x f x f -=-，因为(1)1f -=-，所以()()f x f x -=-，故结合定义域可知，()f x 为奇函数.【小问2详解】证明：任取1x ∀，2(0,)x ∈+∞，且12x x >，则2101x x <<，因此()()()()()2212111111x x f x f x f x f x f x f x f x x ⎛⎫⎛⎫-=-⋅=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()2111x f x f x ⎛⎫⎛⎫=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为2101x x <<，且当01x <<时，()(0,1)f x ∈，所以2110x f x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，因为(0,)∀∈+∞x ，()0f x >恒成立，所以()10f x >，所以()()()2121110x f x f x f x f x ⎛⎫⎛⎫-=-> ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即()()12f x f x >，又因为120x x >>，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增；【小问3详解】(1)1f -=-Q ，又()f x 为奇函数，(1)(1)1f f ∴=--=，()()()f xy f x f y = ，112(2)22f f f⎛⎫⎛⎫∴⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，(2)2f = ，1122f ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，故原不等式等价于()211log sin 2f x f ⎛⎫+≤⎪⎝⎭，[0,2π]x ∈，()f x 在(0,)+∞上单调递增且(0,)∀∈+∞x ，()0f x >恒成立，又()f x 为奇函数，()f x ∴在上单调递增，故211log sin 2x +≤，[0,2π]x ∈，则221log sin log 22x ≤-=，[0,2π]x ∈，∴sin 0sin 2x x >⎧⎪⎨≤⎪⎩，解得π04x <≤或3ππ4x ≤<，综上，()211log sin 2f x +≤，[0,2π]x ∈的解集为π3π0,,π44⎛⎤⎡⎫⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭.17.已知函数())f x x =ω+ϕ（0ω>，ππ22ϕ-≤≤）的图象关于直线π3x =对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.（1）求ω和ϕ的值；（2）当π0,2⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x 时，求函数()y f x =的最大值和最小值；（3）设()()(0)g x f cx c =>，若()g x 图象的任意一条对称轴与x 轴的交点的横坐标不属于区间(π,2π)，求c 的取值范围.【答案】（1）2ω=，π6ϕ=-（22-（3）1150,,6312⎛⎤⎡⎤ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦【解析】【分析】（1）根据最小正周期求出ω，再根据对称轴求出ϕ；（2）由（1）可得()f x 解析式，再由x 的取值范围求出π26x -的范围，最后由正弦函数的性质计算可得；（3）首先得到()g x 的解析式，由12ππ22c⨯≥求出c 的大致范围，再求出()g x 图象的某一条对称轴与x 轴的交点的横坐标属于区间(π,2π)时c 的取值范围，即可得解.【小问1详解】因为()f x 的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以()f x 的最小正周期πT =，所以2π2Tω==，又因为()f x 的图象关于直线π3x =对称，所以232ππkπϕ⨯+=+，k ∈Z ，所以ππ6k ϕ=-，k ∈Z ，又ππ22ϕ-≤≤，所以π6ϕ=-，综上可得2ω=，π6ϕ=-.【小问2详解】由（1）知π()26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，当π0,2⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x 时，ππ5π2666x -≤-≤，所以当ππ262x -=（即π3x =）时，max ()f x =当ππ266x -=-（即0x =）时，min 3()2f x =-，所以函数()y f x =在π0,2⎡⎤∈⎢⎣⎦x 2-.【小问3详解】由题意π()()26g x f cx cx ⎛⎫==- ⎪⎝⎭()0c >，()g x 图象的任意一条对称轴与x 轴的交点的横坐标都不属于区间(π,2π)，12ππ22c ∴⨯≥且0c >，解得102c <≤，令ππ2π62cx k -=+，k ∈Z ，解得ππ23k x c c=+，k ∈Z ，若()g x 图象的某一条对称轴与x 轴的交点的横坐标属于区间(π,2π)，则πππ2π23k c c <+<，解得114623k k c +<<+，当1k =-时，112c -<且16c <-（矛盾），故解集为空集；当0k =时，1163c <<；当1k =时，55126c <<，故c 的取值范围为1150,,6312⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦.18.已知函数2()43f x x x =-+，()(4)3g x a x =+-，a ∈R .（1）若[1,0]x ∃∈-，使得方程()20m f x -=有解，求实数m 的取值范围；（2）若对任意的1[1,5]x ∈-，总存在2[1,5]x ∈-，使得()()12f x g x ≤，求实数a 的取值范围；（3）设()()()h x f x g x =+，记()M a 为函数()h x 在[0,1]上的最大值，求()M a 的最小值.【答案】（1）[]2log 3,3（2）{15a a ≤-或9}5a ≥-（3）3-【解析】【分析】（1）根据二次函数的单调性，结合存在性的定义、对数的单调性进行求解即可；（2）根据存在性和任意性的定义，结合函数的对称性分类讨论进行求解即可；（3）根据函数的对称性、单调性分类讨论进行求解即可.【小问1详解】[1,0]x ∃∈-，2()20243m m f x x x -=⇔=-+，因为函数2()43f x x x =-+的图象的对称轴是直线2x =，所以()y f x =在[1,0]-上为减函数，max ()(1)8f x f =-=，min ()(0)3f x f ==，故2[3,8]m ∈，所以m 的取值范围为[]2log 3,3.【小问2详解】对任意的1[1,5]x ∈-，总存在2[1,5]x ∈-，使得()()12f x g x ≤，∴即在区间[1,5]-上，()()12max max f x g x ≤，函数2()43f x x x =-+图象的对称轴是直线2x =，又[1,5]x ∈-，∴当5x =时，函数()f x 有最大值为2(5)54538f =-⨯+=，①当4a =-时，()3g x =-，不符合题意，舍去；②当4a >-时，()g x 在[1,5]-上的值域为[7,517]a a --+，5178a ∴+≥，得95a ≥-；③当4a <-时，()g x 在[1,5]-上的值域为[517,7]a a +--，78a ∴--≥，得15a ≤-，综上，a 的取值范围为{15a a ≤-或9}5a ≥-；【小问3详解】函数2()h x x ax =+图象的对称轴为2a x =-，①当2a ≤-或0a ≥时，()h x 在[0,1]上单调递增，则()(1)|1|M a f a ==+；②当20a -<<时，2()max ,(1)max ,124a a M a ff a ⎧⎫⎧⎫⎛⎫=-=+⎨⎬⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭⎩⎭，解不等式组22014a a a -<<⎧⎪⎨>+⎪⎩，得(221a -<<-，故当20a -<<，()((2,22141,210a a M a a a ⎧-<<-⎪=⎨⎪+-≤<⎩，综上，()((2,22141,221a a M a a a a ⎧-<<-⎪=⎨⎪+≤-≥-⎩或，()M a ∴在((),21∞--上单调递减，在()21,∞⎡+⎣上单调递增，(21a ∴=-时，()M a取最小值为(2113+=-.【点睛】关键点睛：本题的关键是根据函数的对称轴与所给区间的相位位置进行分类讨论.19.已知()()()sin22sin cos 8f m θθθθ=---+．（1）当1m =时，求π12f ⎛⎫⎪⎝⎭的值；（2）若()fθ的最小值为7-，求实数m 的值；（3）对任意的π,π4θ⎛⎫∈⎪⎝⎭，不等式()816sin cos m f θθθ->-恒成立．求m 的取值范围．【答案】（1）172+（2）5m =或1m =-（3）722,6⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）利用辅助角公式，化简函数，再代入求π12f ⎛⎫⎪⎝⎭；（2）首先设sin cos t θθ=-，利用三角恒等变换，将函数表示成关于t 的二次函数，讨论对称轴，结合定义域求函数的最小值，列式求解m ；（3）根据（2）的结果，不等式参变分离为128m t t t->+-，在(t ∈恒成立，转化为判断函数的单调性，求函数的最值，即可求解m 的取值范围.【小问1详解】()()())πsin22sin cos 8sin22sin 84f m m θθθθθθ⎛⎫=---+=--+ ⎪⎝⎭，当1m =时，ππππ1ππsin 881261242124f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=--+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1178262π+=+=；【小问2详解】设πsin cos 4t θθθ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，则t ⎡∈⎣，22sin cos 1=-+t θθ，()()()229,f Q t t m t t θ⎡==---+∈⎣，其对称轴为12m t =-+，当102m-+≥，即2m ≥时，()f θ的最小值为(77Q =+=-，则5m =；当102m-+<，即2m <时，()f θ的最小值为77Q =-=-1m =-；综上，5m =或1m =-；【小问3详解】由()816sin cos m f θθθ->-，对所有π,π4θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭都成立．设πsin cos 4t θθθ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，则(t ∈，()281629m t m t t-∴>---+，(t ∈恒成立，280t -> ，128m t t t∴-+->，在(t ∈恒成立，当(t ∈时，8t t -递减，则18t t t+-在(递增，t ∴=时18t t t +-取得最大值726得2m ->2∴>m 所以存在符合条件的实数m ，且m的取值范围为2,6∞⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭．【点睛】关键点点睛：本题的关键利用公式()22sin cos 1sin cos θθθθ=--，从而利用换元法转化为关于t 的函数问题.。
2023-2024学年重庆市十八中高一数学上学期第一次月考卷附答案解析
2023-2024学年重庆市十八中高一数学上学期第一次月考卷全卷满分150分，考试时间120分钟.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}N 13A x x =∈-<<，{}22B x x =-≤<，则A B = （）A ．{}12x x -<<B ．{}0,1C ．{}1,2D ．{}0,1,22．命题“20000,560x x x ∃>-+>”的否定是（）A ．20,560x x x ∀≤-+≤B ．20,560x x x ∀>-+≤C ．2000R,560x x x ∃≤-+≤D ．20000,560x x x ∃>-+≤3．一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程27120x x -+=的一根，则此三角形的周长是（）A ．12B ．13C ．14D ．12或144．二次函数2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数且0a ≠）的图象如图所示，则一次函数y ax b =+与反比例函数cy x =的图象可能是（）A．B ．C ．D．5．在一个不透明的袋子里装有四个小球，球上分别标有6，7，8，9四个数字，这些小球除数字外都相同.甲、乙两人玩“猜数字”游戏，甲先从袋中任意摸出一个小球，将小球上的数字记为m ，再由乙猜这个小球上的数字，记为n.如果m ，n 满足1m n -≤，那么就称甲、乙两人“心领神会”，则两人“心领神会”的概率是（）A ．14B ．38C ．12D ．586．若{|1,Z}6k A x x k ==+∈，1{|,Z}32k B x x k ==+∈，21{|,Z}32k C x x k ==+∈，则这三个集合间的关系是（）A ．ABC ⊆⊆B ．A C B ⊆⊆C ．C B A ⊆⊆D ．C A B⊆⊆7．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，将ABC 绕顶点C 逆时针旋转得到A B C ''' ，M 是BC 的中点，P 是A B ''的中点，连接PM .若2BC =，30BAC ∠=︒，则线段PM 的最大值是（）A ．4B ．3C ．2D ．18．记{}max ,a b 为a ，b 两数的最大值，当正数x ，()y x y >变化时，24max ,()t x y x y ⎧⎫=⎨⎬-⎩⎭的最小值为（）A ．4B ．5C ．6D ．7二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9．如图中阴影部分所表示的集合是（）A ．()U N M ⋂ðB ．()U M N ⋂ðC ．()()UM N N⋃⋂ðD ．()()UM N N⋂⋂ð10．如图，在直角坐标系中，直线122y x =-.与坐标轴交于A 、B 两点，与双曲线2(0)ky x x =>交于点C ，过点C 作CD x ⊥轴，垂足为D ，且OA AD =，则以下结论中正确结论的有（）A ．ADB ADCS S =△△B ．当03x <<时，12y y <C ．如图，当3x =时，83EF =D ．当0x >时，1y 随x 的增大而增大，2y 随x 的增大而减小11．已知正实数x ，y 满足1x y +=，则（）A ．40x y xy +-≥B ．221x y +≥C ．111112x y ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．14912x y +≥+12．对于集合{}22,,M a a x y x y ==-∈∈Z Z.给出如下结论，其中正确的结论是（）A ．如果1a M ∈，2a M ∈，那么12a a M ∈B ．如果1a M ∈，2a M∈，那么12a a M+∈C ．如果{}21,B b b n n ==+∈N .那么B M⊆D ．若{}2,C c c n n ==∈N .对于c C ∀∈，则有c M∈三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．设a ，b ∈R ，若集合{1,,}0,,b a b a b a ⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭，则2a b -=.14．如图，直径8AB =的半圆，绕B 点顺时针旋转30︒，此时点A 到了点A '，则图中阴影部分的面积是.15．已知两个命题p ：0xy ≥，q ：x y x y+=+，则p 是q 的条件（充分不必要，必要不充分，充要，既不充分又不必要）.16．对于一个各数位数字均不为零的四位自然数m ，若千位与百位数字之和等于十位与个位数字之和，则称m 为“一致数”.设一个“一致数”m abcd =满足8a ≤且1d =.将m 的千位与十位数字对调，百位与个位数字对调得到新数m '.并记()101m m F m '+=；一个两位数102N a b =+，将N 的各个数位数字之和记为()G N ；当()()243F mG N a k --=+（k 为整数）时，则所有满足条件的“一致数”m 中，满足()G N 为偶数时，k 的值为，m 的值为.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知集合{}123,0A x a x a a =-<+，{}24B x x =-<<.(1)当2a =时，求A B ⋃；(2)若A B ⋂=∅，求实数a 的取值范围.18．2023年以来，某区把垃圾分类纳入积分，建立文明账户，市民以行动换积分，以积分转习惯.区政府为了了解4月份甲、乙两个社区居民垃圾换积分的情况，分别从甲、乙两个社区各抽取10人，记录下他们的积分（单位：分），并进行整理和分析（积分用x 表示，共分为4组：:70A x <；:7080B x ≤<，:8090C x ≤<，:90100D x ≤≤），下面给出了部分信息：甲社区10人的积分：47，56，68，71，83，83，85，90，91，94；乙社区10人的积分在C 组中的积分分数为：81，83，84，84；两组数据的平均数，中位数，众数如下表所示：社区平均数中位数众数甲76.883b 乙76.8a84乙社区积分等级扇形图根据以上信息，解答下列问题：(1)填空：=a ______，b =______，m =______；(2)根据以上数据，你认为哪个社区在此次垃圾分类换积分活动中表现更好，请说明理由（一条即可）；(3)若4月份甲社区有700人参与活动，乙社区有800人参与活动，请估计4月份甲、乙两个社区积分在80分以上（包括80分）的一共有多少人？19．已知集合{}22A x x =-≤≤，集合50x B x x -⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭.(1)设a 为实数，若集合{}321C x a x a =≤≤+，且()C A B ⊆ ，求a 的取值范围；(2)设m 为实数，集合12D x m x m ⎧⎫=≤≤+⎨⎬⎩⎭，若“()x A B ∈U ”是“x D ∈”的必要不充分条件，判断满足条件的m 是否存在，若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由.20．如图，一沙尘暴中心在A 地南偏西60︒的方向的B 处，正迅速向正东方向移动，经过一段时间，沙尘暴中心位于A 地西南方向的C 处，且120BC =千米.(1)求A ，C 之间的距离（保留准确值）；(2)距沙尘暴中心200千米的范围为受沙尘暴影响的区域，沙尘暴中心由点C 处开始将沿南偏东75︒的CP方向移动，请说明A 地是否会受到这次沙尘暴的影响？ 1.41≈ 1.73≈ 2.45≈）.21．（1）已知11a b -≤+≤，11a b -≤-≤，求23a b +的取值范围；（2）若实数a ，b ，c 满足2226a b c ++=.试判断221112a b +++与21123c -+的大小并说明理由.22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线()250y ax bx a =++≠与x 轴交于点()1,0A -，()5,0B ，与y轴交于点C.点D 是抛物线对称轴上的一点，纵坐标为-5，P 是线段BC 上方抛物线上的一个动点，连接BP ，DP .(1)求抛物线的解析式；(2)当BDP △的面积取最大值时，求点P 的坐标和BDP △的面积的最大值；(3)将抛物线()250y ax bx a =++≠沿着射线BD 平移，使得新抛物线经过点D.新抛物线与x 轴交于E ，F 两点（点E 在点F 左侧），与y 轴交于点G ，点M 是新抛物线上的一动点，点N 是坐标平面上一点，当以点E ，G ，M ，N 为顶点的四边形是矩形时，写出所有符合条件的点M 的坐标，并写出求解点M 的坐标的其中一种情况的过程.1．B【分析】先求集合A ，再根据交集运算求解.【详解】由题意可得：{}0,1,2A =，所以{}0,1A B = .故选：B.2．B【分析】特称命题的否定：存在改任意并否定原结论，即可写出原命题的否定.【详解】由特称命题的否定为全称命题，则原命题的否定为20,560x x x ∀>-+≤.故选：B 3．C【分析】解方程并结合三角形的性质可得腰长为4，进而可得结果.【详解】因为27120x x -+=，解得3x =或4x =，且336+=，不合题意；4486+=>，符合题意，可知：腰长为4，所以此三角形的周长是44614++=.故选：C.4．A【分析】根据二次函数的开口方向、对称轴的位置、在纵轴的交点坐标的正负判断,,a b c 的正负性，再结合反比例函数、一次函数的图象特征逐一判断即可.【详解】由二次函数的图象可知：开口向上，因此0a >；对称轴为002bx b a =->⇒<，当0x =时，0y c =<；因为0c <，所以反比例函数cy x =的图象在二、四象限，排除BC ；因为0a >，0b <，所以一次函数y ax b =+的图象经过第一、三、四象限，故排除D ，故选：A 5．D【分析】根据古典概型的计算公式，结合绝对值不等式进行求解即可.【详解】根据题意，m ，n 的情况如下：()()()()()()()()6,6,6,7,6,8,6,9,7,6,7,7,7,8,7,9,()()()()()()()()8,6,8,7,8,8,8,9,9,6,9,7,9,8,9,9,共16种情况，其中m ，n 满足1m n -≤的情况如下：()()()()()()()()()()6,6,6,7,7,6,7,7,7,8,8,7,8,8,8,9,9,8,9,9,共10种情况，所以两人“心领神会”的概率是105168=，故选：D 6．C【分析】分析给定的三个集合的约束条件，探讨它们的关系即可判断作答.【详解】依题意，6(3)3{|,Z}{|,Z}66k k A x x k x x k +++==∈==∈，23{|,Z}6k B x x k +==∈，43223{|,Z}{|,Z}66k k C x x k x x k +⨯+==∈==∈，而{|3,Z}Z x x k k =+∈=，{偶数}{|2,Z}x x k k ==∈，因此集合C 中的任意元素都是集合B 中的元素，即有C B ⊆，集合B 中的每一个元素都是集合A 中的元素，即B A ⊆，所以C B A ⊆⊆.故选：C 7．B【分析】根据旋转变换的性质，结合三角形三边关系进行求解即可.【详解】在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，2BC =，30BAC ∠=︒，所以4AB =，因为M 是BC 的中点，所以112CM BC ==，因为ABC 绕顶点C 逆时针旋转得到A B C ''' ，所以4A B ''=，90A CB ''∠=︒，因为P 是A B ''的中点，所以122PC A B ''==，由三角形三边关系，得CP CM PM +>，当旋转到,,P C M 在一条直线上，且C 位于,P M 之间时，PM 有最大值，最大值为213+=，故选：B8．A【分析】根据题中定义，结合基本不等式进行求解即可.【详解】由24max ,()t x y x y ⎧⎫=⎨⎬-⎩⎭可得：2t x ≥，4()t y x y ≥-，所以有242()t x y x y ≥+-，因为x ，y 是正数，且x y >，所以224416()2y x y x y x y ≥=-+-⎛⎫ ⎪⎝⎭，当且仅当y x y =-时取等号，即当2x y =时取等号，于是有222416284()t x x t y x y x ≥+≥+≥=⇒≥-，当且仅当2216x x =时取等号，即当2,1x y ==时取等号，所以t 的最小值为4，故选：A【点睛】关键点睛：本题的关键是理解{}max ,a b 的含义，由24max ,()t x y x y ⎧⎫=⎨⎬-⎩⎭得到2t x ≥，4()t y x y ≥-.9．AD【分析】根据Venn 图，结合集合运算的概念即可得出答案.【详解】A 选项：U M =+①②ð，则U N M = ②ð，故A 正确；B 选项：U N =+④①ð，则U M N = ④ð，故B 错误；C 选项：()①= U M N ð，则()()UM N N ⋃⋂=∅ð，故C 错误；D 选项：()②+④①=+ U M N ð，()UM N N ⎡⎤⋂⋂=⎣⎦②ð，故D 正确.故选：AD.10．AC【分析】A 项，通过证明OBA CDA ≅ 即可得出结论；B 项，利用函数图象的交点即可得出结论；C 项，计算出3x =时12,y y的值，即可求出EF 的长；D 项，根据函数图象即可得出两函数增减性.【详解】由题意，A 选项，对于直线122y x =-,令0x =,得到2y =；令0y =,得到1x =，∴(1,0),(0,2)A B -,即1,2OA OB ==,在OBA △和CDA 中,90,,AOB ADC OAB DAC OA AD︒∠=∠=∠=∠=∴()OBA CDA AAS ≅ ∴()2,1,2,2CD OB OA AD C ====，∴ADB ADCS S =△△(同底等高三角形面积相等），A 正确；B 项，把点C 坐标代入反比例解析式得：4k =,即24y x =,由函数图象得:当02x <<时,12y y <，B 错误；C 项，当3x =时,1244,3y y ==,∴43348EF ==-，C 正确；D 项，当0x >时,1y随x 的增大而增大,2y 随x 的增大，D 错误；故选：AC.11．AD2x y +≤，即14≤xy ，所以选项A 正确；而222()122x y x y ++≥=可判断B 错误；将1111x y ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭展开并结合14≤xy 可知C 错误；观察D 项分母可知12x y ++=，利用基本不等式“1”的妙用求最值，即可知D 正确.【详解】对于A2x y+≤，即14≤xy ，所以41xy x y ≤=+，即40x y xy +-≥；当且仅当12x y ==时，等号成立，故A 正确；对于B ，根据不等式222()122x y x y ++≥=，当且仅当12x y ==时，等号成立；所以B 错误；对于C ，1111112111119x y x y x y xy xy xy xy ⎛⎫+⎛⎫++=+++=++=+≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当12x y ==时，等号成立；故C 错误；对于D ，根据1x y +=，观察分母可知12x y ++=为定值，则1411411419(1)145121212y x x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=+++=+++≥+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当21,33x y ==时，等号成立；故D 正确.故选：AD.12．AC【分析】对于A ：设2222111222,a x y a x y =-=-，则()()221212121221x x y y x y x a a y =+-+，进而分析判断；对于B ：先说明2M ∉，再取特值121a a ==，分析判断；对于C ：令1x n =+，,y n n =∈Z ，可知对任意b B ∈，均有b M ∈，所以B M ⊆，故C 正确；对于D ：取特值121a a ==，分析判断.【详解】对于选项A ：因为1a M ∈，2a M∈，设22221112221212,,,,,a x y a x y x x y y =-=-∈Z ，则()()()()()()222222221222222112212121221121212221x y x y x x y y x y x y x x y x y y a y x a =--=+-+=+-+，因为1212,,,x x y y ∈Z ，则12121221,x x y y x y x y +∈+∈Z Z，所以12a a M ∈，故A 正确；对于选项B ：因为2222a x y x y=-=-，不妨设,,x y x y ≥∈Z，若x y=，则22a x y =-=；若1x y =+，则()2222121a x y y y y =-=+-=+为奇数；若2x y ≥+，则()()22222414a x y y y y =-≥+-=+≥；综上可知：2M ∉.显然22101M -=∈，令121a a ==，则122a a M +=∉，故B 错误；对于选项C ：令1x n =+，,y n n =∈Z ，则()2222121b x y n n n M =-=+-=+∈，即对任意b B ∈，均有b M ∈，所以B M ⊆，故C 正确；对于选项D ：由选项B 可知：2,2C M ∈∉，故D 错误.故选：AC.13．0【分析】利用集合相等以及0a ≠，可得0a b +=，即1ba =-，代入原式可得,ab 的值，进而求出答案．【详解】由题意可知：0a ≠，因为{1,,}0,,b a b a b a ⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭，则0a b +=，可得1b a =-，则{}{1,0,}0,1,a b =-，可得11a b =-⎧⎨=⎩，且满足0a b +=，所以()22110a b -=--=.故答案为：0.14．16π3【分析】由题意可知：阴影部分为以B 点为圆心，AB 为半径的扇形和以A B '为直径的半圆，减去以AB 为直径的半圆，进而结合扇形面积公式运算求解.【详解】由题意可知：阴影部分为以B 点为圆心，AB 为半径的扇形和以A B '为直径的半圆，减去以AB 为直径的半圆，且AB A B '=，即两个半圆的面积相等，则阴影部分的面积即为以B 点为圆心，AB 为半径的扇形得面积，为23016ππ83603︒⨯⨯=︒.故答案为：16π3.15．充要【分析】根据充分条件和必要条件的定义分析判断即可【详解】当0xy ≥时，若,x y 中至少有一个为零，则x y x y+=+成立，若0,0x y >>，则x y x y x y +=+=+，若0,0x y <<，则x y x y x y +=--=+，综上，当0xy ≥时，x y x y+=+成立，故充分性成立；当x y x y+=+时，()()22x y x y +=+，即222222x xy y x xy y ++=++，整理得xy xy=，所以0xy ≥成立，故必要性成立；所以p 是q 的充要条件.故答案为：充要16．6±2231【分析】设一个“一致数”m abcd =满足8a ≤且1d =，得出()()243F m G N a k --=+，然后分类讨论即可求解.【详解】解：设一个“一致数”m abcd =满足18a ≤≤且1,110d a b c a b =+=+⇒+≤，则1000100101m a b c =+++，100010010m c a b '=+++，所以10101011010101()10101101101m m a b c F m a b c '++++===+++，一个两位数102N a b =+，将N 的各个数位数字之和记为()G N ，则()()42529b G N a b b G N a b ≤=+≥=+-时，，时，，因为()()243F mG N a k --=+，即2210101224431591b a b c a b a k k a b +++---=≤=++-，时，，22101012+94315935a b c a b a k k a b b +++---=+=+-≥时，，，因为满足()G N 为偶数时，则5b ≥时a 奇为数，4b ≤时a 为偶数，逐项代入检验可得：当2,2a b ==时，则2366,3k k c ==±=，，当8,4;5,8a b a b ====时，则214410k a b =+>，，故舍去；所以2231m =.故答案为：6±；2231.【点睛】关键点睛：本题的关键是将m 表示成1000100101a b c +++，然后再分类讨论.17．(1){}27x x -<<(2)[5,)+∞【分析】（1）根据集合并集的定义进行求解即可；（2）根据集合交集运算的性质进行求解即可.【详解】（1）因为2a =，所以{}17A x x =<<，而{}24B x x =-<<，所以{}27A B x x ⋃=-<<；（2）因为A B ⋂=∅，所以14a -≥，或232a +≤-，由145a a -≥⇒≥，显然满足0a >；由52322a a +≤-⇒≤-，而0a >，所以不存在这种情况，综上所述：实数a 的取值范围[5,)+∞18．(1)83.5,83,30a b m ===(2)乙社区在此次垃圾分类换积分活动中表现更好，理由见解析(3)980【分析】（1）找出甲社区中出现次数最多的数据，即可求得b 的值，根据乙社区的扇形统计图，计算出,A B 两组的人数，再结合C 组的人数可求出a 的值，利用D 组的数除以10可求出m 的值，（2）从中位数和众数的解度进行分析即可，（3）分别利用总数乘以甲乙两个社区积分在80分以上所占的百分比，将积相加即可.【详解】（1）因为甲社区中出现次数最多的数据为83，所以83b =，由乙社区的扇形统计图可得乙社区A 组人数为1010%1⨯=，B 组人数为1020%2⨯=人，因为乙社区10人的积分在C 组中的积分分数为：81，83，84，84，所以乙社区的积分从小到大排列，第5个和第6个数据分别为83，84，所以1(8384)83.52a =⨯+=，因为乙社区D 组人数为101243---=人，所以D 组人数所占的百分比为3100%30%10⨯=，所以30m =，（2）乙社区在此次垃圾分类换积分活动中表现更好，理由如下：因为甲乙两个社区积分的平均数相同，但是乙社区的中位数和众数均比甲社区高，所以乙社区在此次垃圾分类换积分活动中表现更好，（3）因为甲社区积分在80分以上（包括80分）的人数所占的比例为60.610=，乙社区积分在80分以上（包括80分）的人数所占的比例为70.710=，所以4月份甲、乙两个社区积分在80分以上（包括80分）的一共有0.67000.7800980⨯+⨯=人.19．(1)10,(1,)2⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦(2)92,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】（1）化简集合，通过()C A B ⊆ 即可分类讨论求出a 的取值范围；（2）求出A B ⋃，利用“()x A B ∈U ”是“x D ∈”的必要不充分条件即可求出m 的取值范围.【详解】（1）由题意，化简集合，{}22A x x =-≤≤，{}05B x x =<≤，∴(0,2]A B ⋂=，在{}321C x a x a =≤≤+中，()C A B ⊆ ，当C =∅时,2131a a a +<⇒>,满足题意；当C ≠∅时,1a ≤，此时21210302a a a +≤⎧⇒<≤⎨>⎩综上，a 的取值范围为10,(1,)2⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦.（2）由题意及（1）得，{}22A x x =-≤≤，{}05B x x =<≤，∴[2,5]A B =-U ,在12D x m x m ⎧⎫=≤≤+⎨⎬⎩⎭中，“()x A B ∈U ”是“x D ∈”的必要不充分条件，∴2152m m ≥-⎧⎪⎨+≤⎪⎩(等号不同时成立)922m ⇒-≤≤∴满足条件的m 存在,取值范围是92,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.20．(1)A ，C之间的距离60千米(2)A 地不会受到这次沙尘暴的影响【分析】（1）过A 作AD BD ⊥，垂足为D ，设AC m =千米，可得CD千米，BD 千米，再结合题意列式求解即可；（2）过A 作AE CP ⊥，垂足为E ，可得200.4AE ≈千米，对比分析即可.【详解】（1）过A 作AD BD ⊥，垂足为D ，设AC m =千米，在Rt ACD △中，可知：45CAD ∠=︒，可得2sin 2CD AD AC CAD m==∠=千米，在Rt △ABD 中，可知：60BAD ∠=︒，可得tan BD AD BAD =∠=千米，由题意可得：BD CD BC -=，即6212022m m -=，解得60m =，所以A ，C之间的距离60千米.（2）过A 作AE CP ⊥，垂足为E ，在Rt ACE 中，可知：60ACE ∠=︒，可得(sin 60303200.4AE AC ACE =∠=⨯≈千米，因为200.4200>，所以A 地不会受到这次沙尘暴的影响.21．（1）[]3,3-；（2）22211111223a b c +>-+++，理由见详解【分析】（1）根据题意可得()()512322a b a b a b +=+--，结合不等式性质运算求解；（2）令2221,2,3m a n b t c =+=+=+，可得112m n t++=，根据“1”的应用结合基本不等式运分析判断.【详解】（1）设()()()()23a b x a b y a b a x y b x y +=++-=++-，其中,x y ∈R ，则23x y x y +=⎧⎨-=⎩，解得5212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，即()()512322a b a b a b ⎛⎫+=++-- ⎪⎝⎭，因为11a b -≤+≤，11a b -≤-≤，则()555222a b -≤+≤，()111222a b -≤--≤，可得3233a b -≤+≤，所以23a b +的取值范围为[]3,3-；（2）令2221,2,3m a n b t c =+=+=+，则2221,2,3m a n b t c -=-=-=，可得()()()22212366a b c m n t m n t ++=-+-+-=++-=，即112m n t++=，则111111131212m n t n m t m n t m n t m n t m n m t t n ⎡⎤++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=++=++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦133124⎛⎫≥+++= ⎪ ⎪⎝⎭，当且仅当n mm n t m m t t n n t ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，即2224,3,2,1m n t a b c ======时，等号成立，可得2221111113112342m n t a b c ++=++≥>+++，即22211111223a b c +>-+++.22．(1)245y x x =-++(2)7299,636P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，52924(3)()1,4-，()2,5-，⎫⎪⎪⎝⎭或⎫⎪⎪⎝⎭【分析】（1）将()1,0A -，()5,0B 代入抛物线即可得出解析式；（2）过点P 作//PQ BD ，得出PQ ，PB 的解析式，即可求出点P 的坐标和BDP △的面积的最大值；（3）求出平移二次函数的解析式，设出点M 坐标，构造矩形，即可求出点M 的坐标.【详解】（1）由题意，在()250y ax bx a =++≠中，()1,0A -，()5,0B 501,,255504a b a a b b ⎧-+==-⎧⎨⎨++==⎩⎩∴抛物线的函数表达式是：245y x x =-++.（2）由题意及（1）得，如下图1，抛物线的对称轴是直线1522x -+==，(2,5)D ∴-，(5,0)B ，∴直线BD 的解析式是:52533y x =-，过点P 作//PQ BD ，∴可设PQ 的解析式是:53y x b=+，由25453x x x b -++=+得27(5)03x x b -+-=，BPD 面积最大，∴方程由两个相等实数根，2706x ⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭，7,6x ∴=当76x =时，277299456636y ⎛⎫=-+⨯+= ⎪⎝⎭，7299,636P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，如图2，(5,0), B ∴直线PB 的解析式是:136566y x =-+，∴当2x =时，132y =，1323(5)22DE ∴=--=，1237529522624BDP S ⎛⎫∴=⨯⨯-=⎪⎝⎭ ，即BDP △的最大面积是52924.（3）由题意，（1）及（2）得，在245y x x =-++中，(5,0),(2,5)B D -平移后的关系式是2(1)4y x =-++，2(1)40,x ∴-++=解得：1x =或3-，∴(3,0),(0,3)E G -，如图3，当点M 落在抛物线2(1)4y x =-++的顶点(1,4)-时，90EGM ︒∠=，∵//,MN EG MN EG =，∴1(1,4)M -，NE ∴的解析式是3y x =--，∴2(1)43x x -++=--，解得：3x =-（舍）或2∴2(2,5)(5,2)M N '--,，当EG 是对角线时，设点()21,23M m m m --+，由22211M E M G EG +=得()()22222222(3)23233x x x x x x++--+++--=+，∴1234113,0,,22x x x x -+--=-===，∴点M 坐标为()1,4-，()2,5-，⎫⎪⎪⎝⎭或⎫⎪⎪⎝⎭.。
2024届重庆市第十八中学高一数学第二学期期末联考模拟试题含解析
2024届重庆市第十八中学高一数学第二学期期末联考模拟试题请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1．等差数列的公差，且，则数列的前项和取得最大值时的项数是（ ） A ．9 B ．10C ．10和11D ．11和12 2．三棱锥中，，，，则二面角等于 A ．B ．C ．D ．3．矩形ABCD 中，(3,1)AB =-，(2,)BC k =-，则实数k =（ ） A ．-16B ．-6C ．4D ．234．若圆锥的高扩大为原来的3倍，底面半径缩短为原来的，则圆锥的体积（ ） A ．缩小为原来的 B ．缩小为原来的 C ．扩大为原来的2倍D ．不变5．两圆22(2)1x y +-=和22(2)(1)16x y +++=的位置关系是（） A ．相离B ．相交C ．内切D ．外切6．已知函数4(1)1y x x x =+>-，函数的最小值等于（ ） A 41xx -B ．421C ．5D ．97．球O 是棱长为2的正方体的内切球，则这个球的体积为（ ） A ．4π3B ．16π3C ．2πD ．4π8．下列两个变量之间的关系不是函数关系的是（ ） A ．出租车车费与出租车行驶的里程 B ．商品房销售总价与商品房建筑面积 C ．铁块的体积与铁块的质量 D ．人的身高与体重9．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足11a =，()*12n n n a a n N +⋅=∈，则2020S =（ ） A ．202021-B ．1010323⨯-C ．1010321⨯-D ．1010322⨯-10．为了得到函数3sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需把函数3sin y x =的图象上所有点的（ ）A ．横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，再将所得的图像向左平移6π.B ．横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，再将所得的图像向左平移12π.C ．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得的图像向左平移6π. D ．横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，再将所得的图像向右平移12π.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
2020-2021学年重庆十八中两江实验中学高一(下)开学数学试卷(附答案详解)
2020-2021学年重庆十八中两江实验中学高一（下）开学数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分） 1. 计算cos(−330°)=( )A. 12B. √32C. −12D. −√322. 已知集合A ={x|x >1}，B ={x|y =√3−x}，则A ∩B =( )A. [1,3)B. (1,3]C. (1,+∞)D. [3,+∞)3. 已知α∈R ，则“cosα=−12”是“α=2kπ+2π3，k ∈Z ”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 已知角α的终边过点(x,1−2x )(x ≠0)，若sinα<0，则实数x 的取值范围是( )A. (0,+∞)B. (1,+∞)C. (0,13)D. (13,+∞)5. 计算：log 327+9−12−√(−4)2=( )A. −23B. 0C. 103D. 2836. 已知0<x <1，则x(3−3x)的最大值为( )A. 13B. 12C. 34D. 237. 达芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名．如图，画中女子神秘的微笑，数百年来让无数观赏者入迷．某业余爱好者对《蒙娜丽莎》的缩小影像作品进行了粗略测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角A ，C 处作圆弧的切线，两条切线交于B 点，测得如下数据：AB =6cm ，BC =6cm ，AC =10.392cm(其中√32≈0.866).根据测量得到的结果推算：将《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角大约等于( )A. π3B. π4C. π2D. 2π38.已知函数f(x)=√x+lgx的零点为a，设b=3a，c=lna，则a，b，c的大小关系为()A. a<b<cB. c<a<bC. a<c<bD. b<a<c二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.如果2θ是第四象限角，那么θ可能是()A. 第一象限角B. 第二象限角C. 第三象限角D. 第四象限角10.已知函数f(x)=ax2+2ax+4(a>0)，若x1<x2，则()A. 当x1+x2>−2时，f(x1)<f(x2)B. 当x1+x2=−2时，f(x1)=f(x2)C. 当x1+x2>−2时，f(x1)>f(x2)D. f(x1)与f(x2)的大小与a有关11.已知函数f(x)=2√3sin2xcos2x+cos42x−sin42x，则()A. f(x)的最小正周期为πB. f(x)的图象关于直线x=π6对称C. f(x)的单调递增区间为[kπ2−π6,kπ2+π12](k∈Z)D. f(x)的图象关于点(−π24,0)对称12.已知函数f(x)满足：当x≤1时，f(x−4)=f(x)，当x∈(−3,1]时，f(x)=|x+1|−2；当x>1时，f(x)=log a(x−1)(a>0，且a≠1).若函数f(x)的图象上关于原点对称的点至少有3对，则()A. f(x)为周期函数B. f(x)的值域为RC. 实数a的取值范围为(2,+∞)D. 实数a的取值范围为[2√2,+∞)三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知sin(α−π5)=14，则cos(2π5−2α)=______ ．14.命题“∃m∈R，使关于x的方程mx2−x+1=0有实数解”的否定是______ ．15.若sin(α+π4)=√2(sinα+2cosα)，则tanα=______ ．16.已知函数f(x)={x 2−2x+3,x≤2a+log2x,x>2有最小值，则f(1a)的取值范围为______ ．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.若幂函数f(x)=(2m2+m−2)x2m+1在其定义域上是增函数．(1)求f(x)的解析式；(2)若f(2−a)<f(a2−4)，求a的取值范围．18.已知集合A={x|2a+1≤x≤3a+5}，B={x|x≤−2或x≥5}．(1)若a=−2，求A∪B，A∩B；(2)A∩B=A，求实数a的取值范围．19.在平面直角坐标系中，已知角α的终边与单位圆交于点P(m,n)(n>0)，将角α的终边按逆时针方向旋转π2后得到角β的终边，记角β的终边与单位圆的交点为Q．(1)若m=513，求Q点的坐标；(2)若sinβ+cosβ=−15，求tanα的值．20.北京时间2020年11月24日，我国探月工程嫦娥五号探测器在海南文昌航天发射场发射升空，并进入地月转移轨道.探测器实施2次轨道修正，2次近月制动后，顺利进入环月圆轨道，于12月1日在月球正面预选区域着陆，并开展采样工作.12月17日1时59分，嫦娥五号返回器在内蒙古四子王旗预定区域成功着陆，标志着我国首次地外天体采样返回任务圆满完成．某同学为祖国的航天事业取得的成就感到无比自豪，同时对航天知识产生了浓厚的兴趣.通过查阅资料，他发现在不考虑气动阻力和地球引力等造成的影响时，单级火箭的最大速度V(单位：千米/秒)满足V=Wln m+M，其中，W(单位：千米/秒)表M示它的发动机的喷射速度，m(单位：吨)表示它装载的燃料质量，M(单位：吨)表示它自身的质量(不包括燃料质量)．(1)某单级火箭自身的质量为50吨，发动机的喷射速度为3千米/秒.当它装载100吨燃料时，求该单级火箭的最大速度(精确到0.1)上；(2)根据现在的科学水平，通常单级火箭装载的燃料质量与它自身质量的比值不超过9.如果某单级火箭的发动机的喷射速度为2千米/秒，判断该单级火箭的最大速度能否超过7.9千米/秒，请说明理由．(参考数据：无理数=e=2.71828…，ln3≈1.10)21.已知函数f(x)=2sinxcosx−2mcos2x+m(m∈R)．(1)若m=1，求f(x)的单调递减区间；(2)若m=√3，将f(x)的图象向左平移π个单位长度后，得到函数g(x)的图象，求12]上的最值．函数g(x)在区间[0,π222. 若函数f(x)对于定义域内的某个区间I 内的任意一个x ，满足f(−x)=−f(x)，则称函数f(x)为I 上的“局部奇函数”；满足f(−x)=f(x)，则称函数f(x)为I 上的“局部偶函数”.已知函数f(x)=2x +k ×2−x ，其中k 为常数．(1)若f(x)为[−3,3]上的“局部奇函数”，当x ∈[−3,3]时，求不等式f(x)>32的解集；(2)已知函数f(x)在区间[−1,1]上是“局部奇函数”，在区间[−3,−1)∪(1,3]上是“局部偶函数”，F(x)={f(x),x ∈[−1,1]f(x),x ∈[−3,−1)∪(1,3]．(ⅰ)求函数F(x)的值域；(ⅰ)对于[−3,3]上的任意实数x 1，x 2，x 3，不等式F(x 1)+F(x 2)+5>mF(x 3)恒成立，求实数m 的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：cos(−330°)=cos(−360°+30°)=cos30°=√32．故选：B ．直接利用诱导公式以及特殊角的三角函数求值即可． 本题考查三角函数化简求值，诱导公式的应用，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：∵A ={x|x >1}，B ={x|x ≤3}， ∴A ∩B =(1,3]． 故选：B ．可求出集合B ，然后进行交集的运算即可．本题考查了描述法和区间的定义，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：由cosα=−12，解得α=2kπ±2π3,k ∈Z ，“α=2kπ+2π3，k ∈Z ”可以推出“cosα=−12”，满足必要性， “cosα=−12”不能推出“α=2kπ+2π3，k ∈Z ”，不满足充分性，所以“cosα=−12”是“α=2kπ+2π3，k ∈Z ”的必要不充分条件．故选：B ．先根据三角方程的解法求出满足方程cosα=−12的α，然后根据充分条件、必要条件的定义进行判定即可．本题主要考查了三角方程的解法，以及充分条件、必要条件的判定，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：∵角α的终边过点(x,1−2x)(x ≠0)，若sinα=x√x 2+(1−2x )2<0， ∴1−2x <0，∴2x >20，∴x >0， 故选：A ．由题意利用任意角的三角函数的定义，解指数不等式，求得x 的范围． 本题主要考查任意角的三角函数的定义，指数不等式的解法，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：原式=3+1912−4=3+13−4=−23，故选：A ．根据指数幂的运算性质计算即可．本题考查了指数幂的运算性质，考查对数的运算性质，是一道基础题．6.【答案】C【解析】解：设y =x(3−3x) 则y =−3(x 2−x)=−3(x −12)2+34∵0<x <1当x =12时，函数取得最大值：34． 故选：C ．化简表达式为：y =−3(x −12)2+34，利用二次函数的性质可求函数的最大值． 本题主要考查了二次函数在闭区间上的最值的求解，一般的处理方法是对二次函数进行配方，结合函数在区间上的单调性判断取得最值的条件．7.【答案】A【解析】解：∵AB =6cm ，BC =6cm ，AC =10.392cm(其中√32≈0.866)．设∠ABC =2θ． ∴则sinθ=10.39226=0.866≈√32，∵由题意θ必为锐角，可得θ≈π3，设《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角为α．则α+2θ=π，∴α=π−2π3=π3．故选：A．设∠ABC=2θ.可得sinθ=10.39226=0.866≈√32，可求θ的值，进而得出结论．本题考查了直角三角形的边角关系、三角函数的单调性、切线的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8.【答案】B【解析】解：由已知得lga=−√a<0，a>0，可得：0<a<1，∴b>1，c<0，∴c<a<b．故选：B．由已知得lga=−√a<0，a>0，可得：0<a<1，进而比较出大小关系．本题考查了指数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9.【答案】BD【解析】解：由已知得2kπ−π2<2θ<2kπ，所以kπ−π4<θ<kπ，即θ在第二或第四象限．故选：BD．先写出角2θ的范围，再除以2，从而求出θ角的范围，看出是第几象限角．本题考查了角的范围与象限角的判断问题，是基础题．10.【答案】AB【解析】解：二次函数f(x)=ax 2+2ax +4(a >0)的图象开口向上，对称轴为x =−1， 当x 1+x 2=−2时，x 1，x 2关于x =−1对称，此时f(x 1)=f(x 2)，选项B 正确； 当x 1+x 2>−2时，x 1与x 2的中点大于−1，又x 1<x 2， ∴点x 2到对称轴的距离大于点x 1到对称轴的距离， ∴f(x 1)<f(x 2)，选项A 正确，C 错误；显然当a >0时，f(x 1)与f(x 2)的大小与a 无关，选项D 错误． 故选：AB ．根据二次函数的图象及二次函数的对称轴，即可判断出每个选项的正误． 本题考查了对二次函数图象和性质，考查了计算能力，属于基础题．11.【答案】CD【解析】解：∵函数f(x)=2√3sin2xcos2x +cos 42x −sin 42x =√3sin4x +cos4x =2sin(4x +π6)，故它的最小正周期为2π4=π2，故A 错误；令x =π6，求得f(x)=1，不是最值，故(x)的图象不关于直线x =π6对称，故B 错误； 令2kπ−π2≤4x +π6≤2kπ+π2，可得kπ2−π6≤x ≤kπ2+π12，故函数的增区间为[kπ2−π6,kπ2+π12]，k ∈Z ，故C 正确；令x =−π24，求得f(x)=0，可得(x)的图象关于点(−π24,0)对称，故D 正确， 故选：CD ．由题意利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的图象和性质，得出结论． 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的图象和性质，属于中档题．12.【答案】BC【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A ，当x >1时，f(x)=log a (x −1)(a >0，且a ≠1)，不是周期函数，A 错误，对于B ，当x >1时，f(x)=log a (x −1)(a >0，且a ≠1)，这部分函数的值域为R ，则f(x)的值域为R ，B 正确，对于C ，当x ∈(−3,1]时，f(x)=|x +1|−2，且当x ≤1时，f(x −4)=f(x)， 作出函数f(x)在(−∞,0]上的部分图象关于原点对称的图象，如图所示，若函数f(x)的图象上关于原点对称的点至少有3对，则函数f(x)=log a (x −1)的图象与所作的图象至少有三个交点，必有{a >1log a (5−1)<2，解得a >2，C 正确，对于D ，由C 的结论，D 错误， 故选：BC ．根据题意，依次分析选项是否正确，即可得答案．本题考查分段函数的性质，涉及函数的周期性和对数的运算性质，属于中档题．13.【答案】78【解析】解：因为sin(α−π5)=14，则cos(2π5−2α)=cos2(α−π5)=1−2sin 2(α−π5)=1−2×(14)2=78． 故答案为：78．利用诱导公式，二倍角的余弦公式化简所求即可得解．本题主要考查了诱导公式，二倍角的余弦公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．14.【答案】∀m ∈R ，关于x 的方程mx 2−x +1=0无实数根【解析】解：因为：“∃m ∈R ，使关于x 的方程mx 2−x +1=0有实数根”是特称命题，所以其否定为全称命题；所以，其否定为：∀m ∈R ，关于x 的方程mx 2−x +1=0无实数根． 故答案为：∀m ∈R ，关于x 的方程mx 2−x +1=0无实数根． 直接运用特称命题否定的格式写出原命题的否定即可．本题考查了特称命题，全称命题和特称命题的格式为，全称命题：∀x∈M，p(x)；特称命题∃x∈M，p(x)，全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定为全称命题，此题是基础题．15.【答案】−3【解析】解：若sin(α+π4)=√2(sinα+2cosα)，则sinα×√22+cosα×√22=√2(sinα+2cosα)，∴sinα+3cosα=0，tanα=sinαcosα=−3，故答案为：−3．由题意利用两角和的正弦公式，同角三角函数的基本关系，计算求得结果．本题主要考查两角和的正弦公式，同角三角函数的基本关系，属于基础题．16.【答案】[2,3)【解析】解：当x≤2时，f(x)=(x−1)2+2的最小值为2；当x>2时，要使f(x)存在最小值，必有a+log22≥2，解得a≥1．∴0<1a≤1，∴f(1a )=(1a−1)2+2∈[2,3)．故答案为：[2,3)．利用配方法求出y=x2−2x+3(x≤2)的最小值，结合原函数f(x)有最小值，可得关于a的不等式，求得a的范围，写出f(1a )，即可得到f(1a)的取值范围．本题考查分段函数的应用，考查分段函数最值的求法，是中档题．17.【答案】解：(1)由函数f(x)=(2m2+m−2)x2m+1是幂函数，所以2m2+m−2=1，解得m=1或m=−32；当m=1时，f(x)=x3，在定义域R上是增函数，满足题意；当m=−32时，f(x)=x−2，在定义域(−∞,0)∪(0,+∞)上不是增函数，不满足题意；所以m=1，f(x)=x3．(2)由f(x)=x 3，在定义域R 上是增函数，所以不等式f(2−a)<f(a 2−4)等价于2−a <a 2−4， 化简得a 2+a −6>0， 解得a <−3或a >2，所以a 的取值范围是(−∞,−3)∪(2,+∞)．【解析】(1)根据幂函数的定义列方程求出m 的值，再判断m 的值是否满足题意； (2)由f(x)在定义域R 上是增函数，把不等式f(2−a)<f(a 2−4)化为2−a <a 2−4，求出解集即可．本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题，也考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题．18.【答案】解：(1)a =−2时，集合A ={x|−3≤x ≤−1}，B ={x|x ≤−2或x ≥5}． ∴A ∪B =(−∞,−1]∪[5,+∞)，A ∩B =[−3,−2]．(2)若A ∩B =A ，得A ⊆B ，当A =⌀时，2a +1>3a +5，解得a <−4， 当A ≠⌀时，{2a +1≤3a +5,3a +5≤−2,或{2a +1≤3a +5,2a +1≥5, 解得−4≤a ≤−73或a ≥2， 综上所述，a ≤−73或a ≥2，∴实数a 的取值范围是(−∞,−73]∪[2,+∞)．【解析】(1)a =−2时，求出集合A ，由此能求出A ∪B 和A ∩B ．(2)由A ∩B =A ，得A ⊆B ，当A =⌀时，2a +1>3a +5，当A ≠⌀时，{2a +1≤3a +5,3a +5≤−2,或{2a +1≤3a +5,2a +1≥5,由此能求出实数a 的取值范围． 本题考查交集、并集、实数的取值范围的求法，考查交集、并集、子集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．19.【答案】解：(1)∵β=α+π2，若m =513，则cosα=m =513，sinα=1213，设Q(x,y)，则x =cosβ=−sinα=1213，y =sinβ=cosα=513，即Q(1213,513).(2)∵sinβ+cosβ=−15，∴sin(α+π2)+cos(α+π2)=−15，即cosα−sinα=−15，①， 平方得1−2sinαcosα=125， 即2sinαcosα=2425>0， ∵sinα=n >0，∴cosα>0，则sinα+cosα=√1+2sinαcosα=√1+2425=√4925=75 ②，由①②得cosα=35，sinα=45， 则tanα=43．【解析】(1)根据三角函数的定义以及诱导公式进行求解即可．(2)根据同角关系式以及sinα+cosα，sinα−cosα以及sinαcosα之间的关系进行转化求解即可．本题主要考查三角函数的定义以及三角函数关系的转化，利用sinα+cosα，sinα−cosα以及sinαcosα之间关系进行转化是解决本题的关键，是中档题．20.【答案】解：(1)∵W =3，M =50，m =100，∴V =Wlnm+M M=3×ln100+5050=3ln3≈3.3，∴该单位火箭的最大速度为3.3千米/秒． (2)∵mM ≤9，W =2， ∴m+M M =mM +1≤10，∴V =Wln m+M M≤2ln10，∵e 7.9>27.9>27=128>100， ∴7.9=lne 7.9>1n100=2ln10， ∴V <7.9．∴该单位火箭的最大速度不能超过7.9千米/秒．【解析】(1)把W=3，M=50，m=100，代入V=Wln m+MM，即可求出结果．(2)由mM ≤9，W=2，可得V=Wln m+MM≤2ln10，由对数的运算性质结合参考数据可知7.9=lne7.9>2ln10，从而求出V<7.9．本题主要考查了函数的实际应用，考查了对数的运算性质，是中档题．21.【答案】解：(1)若m=1，函数f(x)=2sinxcosx−2mcos2x+m=2sinxcosx−2cos2x+1=sin2x−cos2x=√2sin(2x−π4 ).令2kπ+π2≤2x−π4≤2kπ+3π2，求得kπ+3π8≤x≤kπ+7π8，求得f(x)的减区间为[kπ+3π8,kπ+7π8]，k∈Z．(2)若m=√3，将f(x)=2sin(2x−π3)的图象向左平移π12个单位长度后，得到函数g(x)=2sin(2x+π6−π3)=2sin(2x−π6)的图象，当x∈[0,π2]时，2x−π6∈[−π6,5π6]，当2x−π6=−π6即x=0时，g(x)取最小值为−1；2x−π6=π2即x=2π3时，g(x)取最大值为2．【解析】(1)由题意利用三角恒等变化，化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性，得出结论．(2)利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，求得g(x)的解析式，再根据正弦函数的定义域和值域，求得函数g(x)在区间[0,π2]上的最值．本题主要考查三角恒等变化，正弦函数的单调性，函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．22.【答案】解：(1)若f(x)为[−3,3]上的“局部奇函数”，则f(−x)=−f(x)，即2−x+k⋅2x=−(2x+k⋅2−x)，整理可得(k+1)(2x+2−x)=0，解得k=−1，即f(x)=2x−2−x，当x∈[−3,3]时，不等式f(x)>32，即为2(2x)2−3⋅2x−2>0，可得2x>2，即x>1，则原不等式的解集为(1,3]；(2)(ⅰ)F(x)={2x −2−x ,x ∈[−1,1]2x +2−x ,x ∈[−3,1)∪(1,3]，令t =2x ，则y =t −1t 在[12,2]递增，当x ∈[−1,1]时，F(x)∈[−32,32]； 因为y =t +1t 在(2,4]递增，所以x ∈(1,3]时，F(x)∈(52,174]；又因为f(x)在[−3,−1)∪(1,3]为“局部偶函数”，可得x ∈[−3,−1)∪(1,3]时，F(x)∈(52,174]；综上可得，F(x)的值域为[−32,32]∪(52，174]；(ⅰ)对于[−3,3]上的任意实数x 1，x 2，x 3，不等式F(x 1)+F(x 2)+5>mF(x 3)恒成立， 可得2F(x)min +5>mF(x)max ， 即有2×(−32)+5>174m ，解得m <817，即m 的取值范围是(−∞,817).【解析】(1)由“局部奇函数”的定义，结合指数不等式的解法，可得解集；(2)(ⅰ)由分段函数的形式写出F(x)的解析式，再由换元法和函数的单调性、基本不等式，可得所求值域；(ⅰ)由题意可得可得2F(x)min +5>mF(x)max ，结合F(x)的值域，可得所求范围． 本题考查函数的新定义的理解和应用，以及函数恒成立问题解法，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．。
重庆市第十八中学2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题
1 5
,
1 2
B．
2 5
,
1 2
C．
1 5
,
4 5
D．
2 5
,
2 3
8．已知函数 f x 的定义域为 R ， f x 1为奇函数， f x 2 为偶函数，当 x 1, 2 时，
f
x
ax2
b .若
f
0
f
3
6 ，则
f
1562 3
（
）
A． 5 2
B． 7 4
C． 3 2
D．
值范围.
21．已知函数
f
x
2sin
2x
π 6
.
(1)求函数 f x 在0, 2π 上的单调递减区间；
(2)若
gx
f
x
8 5
在区间
0,
π 2
上恰有两个零点
x 1
，
x2
x1
x2
，求 cos x1
x2 的值.
22．设函数 f x x a 2 ax ，其中 a R .
(1)当 a 1 时，求函数 f x 的零点；
重庆市第十八中学 2023-2024 学年高一上学期 12 月月考数学 试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合 A 0,1, 2 ，则集合 B xy x A, y A 中元素的个数是（ ）
A．2
B．3
C．4
2．已知 a b 0 ，下列不等式中正确的是（ ）
A．
1 a
1 b
B． ab a2
C． a2 b2
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渝高中学2011-2012学年上期高三半期考试理科数学试卷
一选择题：
1. 已经A={ x|y=},B={ y|y=-2}，则A ∩B= ( )
A.[0，+∞)
B.[-2 , 2]
C.[-2，+∞)
D. [2，+∞)
2. 已知条件p:<1;条件q: x>1.则p 是q 的（ ）条件。
A.充分不必要
B.必要不充分
C.充要
D.既不充分也不必要
3.在等比数列{a n }中，a 1a 7=4则a 2a 3a 5a 6=( )
A.13
B.14
C.15
D.16
4.若函数f(x)=满足f(9)=2则f -1()的值是（ ） A.2 B. C. D.
5.= ( ) A. B. C. D.-
6.若a>0,关于x 的不等式a
A.(-3,1]
B.(-1,3)
C.(-3,3)
D.(-1,1) 7.已知函数 ,若f(a 2
-3)>f(2a),则实数a 的取值范围是（ ） A.(-∞,-3)∪(1，+∞) B. (-∞,-1)∪(3，+∞) C.(-3,1) D.(-1,3)
8.若f(x)=(x-1)(x-2)…(x-2012)，则f ’(2012)=( )
A.2010!
B.2011!
C.2012!
D.2013!
9.函数f(x)=+是（ ）
A.偶函数
B.奇函数
C.既不是奇函数也不是偶函数
D.既是奇函数也是偶函数
10.定义在R 上的函数f(x)满足f(-x)=-f(x),f(x-2)=f(x+2),且
x 时，
f(x)=
+,则
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f()=( ) A.1 B. C.-1 D.-
二．填空题：
11.定义域为R 的函数f(x)满足，f(x)<0的解集为{x|1.5<x<2.5},则f(2) f(e) （用“，填空）
12.已知定义在（-∞,0）∪(0，+∞)上的函数f(x)满足f(x)+f()=2,则f() +f() +f()+ f(1) +f(2) +f(4) +f(6)+ f(8)= 。
13.二次函数f(x)满足3 f(x)-(x-1) f ’(x)=+6x+11,则f(x)= 。
14.若函数f(x)满足f(x+1)= f(x)+ f(x+2)，f(0)=0，f(1)=2012,则f(2012)= 。
15.已知关于x 的方程a()x -()x +2=0在区间[-1,0]上有实数根，则实数a 的取值范围是 。
三．解答题：
16. f(x)=lg(1+
)在(-∞,1]上有意义，求实数a 的取值范围。
17.设函数f(x)=a
+bx+k(k>0)在x=0处取得极值，且曲线y= f(x)在点（1，f(1)）处的切线垂直于直线x+2y+1=0.
(1)求a 、b 的值；
(2)若函数g(x)=
，讨论 g(x)的单调性。
18.若f(x)=+lg(+5)，解不等式f -1(3x-6)<1.
19.已知正项数列{a n}满足递推关系式a n+1=a n2 +2a n, 其中a1=-1.
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）求数列{log2(a n+1)}的前n项和S n.
20.设f(x)=ax+bln(1-x)的导函数满足f ’(-2)=，f ’(-3)=
（1）求在点（-2，f(-2)）处的切线方程；
（2）求g(x)= f ’(x)的单调区间。
21.设数列{a n}的各项都是正数，且对任意n N*都有a13 + a23 + a33 + … + a n3=(S n)2,记S n为数列{a n}
的前n项和。
（1）求证：a n2=2S n- a n;
（2）求数列{a n}的通项公式；
（3）若b n =+(-1)n-1λ•2an(λ为非零常数，n N*)，问是否存在整数λ，使得对任意n N*，都有b n+1b n。
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