概率论与数理统计(chapt1-6 n重贝努利试验)
概率论与数理统计公式表
第1章随机事件及其概率（1）排列组合公式)!(!nmmP nm-=从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。
)!(!!nmnmC nm-=从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。
（2）加法和乘法原理加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。
乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m×n 种方法来完成。
（3）一些常见排列重复排列和非重复排列（有序）对立事件（至少有一个）顺序问题（4）随机试验和随机事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。
试验的可能结果称为随机事件。
（5）基本事件、样本空间和事件在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质：①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。
这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用ω来表示。
基本事件的全体，称为试验的样本空间，用Ω表示。
一个事件就是由Ω中的部分点（基本事件ω）组成的集合。
通常用大写字母A，B，C，…表示事件，它们是Ω的子集。
Ω为必然事件，Ø为不可能事件。
不可能事件（Ø）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率为1，而概率为1的事件也不一定是必然事件。
（6）事件的关系与运算①关系：如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生）：BA⊂如果同时有BA⊂，AB⊃，则称事件A与事件B等价，或称A等于B：A=B。
A、B中至少有一个发生的事件：A B，或者A+B。
属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B，也可表示为A-AB或者BA，它表示A发生而B不发生的事件。
概率论与数理统计1.4.2独立试验概型
定义3 若n 个事件中任意 k 2 k n个事件的积事件的
概率等于这k 个事件概率之积，则称这n个事件相互独立。
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
n 重伯努利试验
若随机试验 E 满足：
（1）只有两种结果 A或A （2）在相同条件下可以重复进行n 次，且结果互不影响 则称该n 次试验为n 重独立试验，又称n 重伯努利试验.
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二项概率公式
定理 设在一次试验中事件A发生的概率 为p（0<p<1），则在n 重伯努利试验中，事件A恰好 发生k次的概率为
Pn(k) Cnk pk (1 p)nk (k 0,1, 2, n)
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例题
例3 在一批次品率为0.2的产品中随机抽检 5个样品，求其中次品数分别为3，4的概率。
概率论与数理统计
独立试验概型
目录
CONTENTS
独立试验概型
事件的独立性 n 重伯努利试验 二项概率公式 例题
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事件的独立性
定义1 设A，B是任意两个事件，若
P(AB) P(A)P(B)
则称事件A与B相互独立，简称A与B独立。 定义2 设有三个事件A，B，C
P(AB) P(A)P(B) P(AC) P(A)P(C) P(BC) P(B)P(C) P(ABC) P(A)P(B)P(C)
例4 10道单选题至少懵对6题的概率。
例5 假设一个人事任命有两个候选人， 一个正确一个错误。
两种方案： 1.由一个英明的领导做决定，该领导做正确决定 的概率是75％； 2.由三个草民A，B，C投票来做决定，他们每 个人做正确决定的概率是70％。 请问哪种机制更好？
概率论与数理统计(浙大版)第二章
二、伯努利（Bernoulli）试验及二项分布 1、伯努利（Bernoulli）试验 (1)n次独立重复试验
将试验E重复进行n次,若各次试验的结果互 不影响,则称这n次试验是相互独立的. (2)n重伯努利试验 满足下列条件的试验称为伯努利（Bernoulli）试验: ①每次试验都在相同的条件下重复进行；
令X=“正面出现的次数”，则X是一个随着试 验结果不同而取值不同的量，其对应关系如下：
基本结果(e) 正面出现的次数X(e)
e1=（正，正）
2
e2=（正，反）
1
e3=（反，正)
1
e4=（反，反）
0
由上可知，对每一个样本点e，都有一个X的取值X(e)
与之对应。我们把X称为定义在这个试验上的随机变量。
P ( X x k ) p k k 1 ,2 ,3 , ( 1 )
称 (1) 式为离散型随机变量X的分布律. 注:离散型随机变量X的分布律可用公式法和表格 法描述。
1)公式法: P (X x k ) p k k 1 ,2 ,3 ,
2) 表格法:
X x1 x2 L pk p1 p2 L
例1：将一枚硬币连掷两次，求“正面出现的次 数X ”的分布律。
及 时 维 修 ” ， 则 知 80台 中 发 生 故 障 不 能 及 时 维 修 的 概 率 为 ：
P A 1 A 2 A 3 A 4 P A 1 P X 2
而 Xb20,0.01,故 有 ：
1
1
PX21PXk1 C 2 k00.01k0.9920k0.0169
k0
k0
即 有 ： P A 1 A 2 A 3 A 4 0 .0 1 6 9
text(x(1),pk(1), num2str(pk(1)),'FontSize',21); text(x(3),pk(3), num2str(pk(3)),'FontSize',21);
1-6伯努利概型
定义1 若大量重复试验满足以下两个特点:
可能的结果为有限个，且在相同的条件下重复 进行； 各次试验的结果相互独立. 则称这一系列试验为独立试验序列或独立试验概型.
定义2 若n 次重复试验具有下列特点：
1) 每次试验的可能结果只有两个A 或 A ,
且 P ( A) p, P ( A ) 1 p ( 在各次试验中p是常数，保持不变）
2 2
1 当 p 时, 2
1 1 p2 p1; 当 p 时 p2 p1 . 2 2
1 故当 p 时, 对甲来说采用五局三胜 制为有利 . 2 1 当 p 时, 两种赛制甲、 乙最终获胜的概率 2 是相同的, 都是 50% .
, 例2 一批产品有20%的次品, 进行重复抽样检查 共取5件样品, 计算这5件样品中(1)恰好有3件次品的 概率, ( 2)至多有3件次品的概率.
解 设A0 , A1 , A2 , A3分别表示5件样品中恰好
有0件, 1件, 2件, 3件次品, A表示至多有件次品 ,则
3 P( A3 ) C5 (0.2)3 (0.8)53
有4件废品，问我们能否相信此工厂出废品的概 率不超过0.005？ 解 假设此工厂出废品的概率为0.005，则200件 产品中出现4件废品的概率为
4 p C200 0.0054 0.995196 0.015
小概率事件在实际中几乎是不可能发生的 , 从 而可认为工厂的废品率不超过0.005的说法是不
解
设Bm表示4道题中碰对m道题这一事实 ,则 m 1 m 3 4 m P ( Bm ) C4 ( ) ( ) ( m 0,1,2,3,4) 4 4 0 1 0 3 4 0 经计算得 P ( B0 ) C 4 ( ) ( ) 0.316 4 4 3 1 3 3 4 3 P ( B3 ) C 4 ( ) ( ) 0.048 4 4
概率论课件-第一章5节n重Bernoulli试验
B={ n次射击至少命中一次目标 }
进行n次射击，可看成是一n重Bernoulli试验．
令A ： 命中目则 标P ， A0.23
2021/3/18
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§5 n重Bernoulli试验
则有
P B 1P B 10.77n
由题意，得 P B 10 .7n7 0 .95
所以，有
0.77n 0.05
2021/3/18
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§5 n重Bernoulli试验
注意
由二项式定理，我们有
n
n
PBn，k Cnkpkqnk
k0
k0
pqn
1
2021/3/18
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§5 n重Bernoulli试验
例3
设在N件产品中有M件次品，每次从中任意取出一 件，有放回地取n次．试求取出的n件产品中恰有k 件次品的概率． 解：
现 A失， 败这种指定 Cnk种 的． 方法共
2021/3/18
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§5 n重Bernoulli试验
n重Bernoulli 试验中恰好成功k次的概率
而对于每一种指定好的方法，由前面的讨论可知 样本点
P B n ， k C n k p k q n k q 1 p
k 0 ， 1 ， 2 ， ， n
协的信念。
谢谢观看
2021/3/18
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• 在某一时间间隔内观察通过某路口的汽车数，若 只考虑“至少通过100辆车”与“至多通过99辆车” 这两种情况，这也是Bernoulli试验．
2021/3/18
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§5 n重Bernoulli试验
n重Bernoulli 试验
• 若独立重复地进行n次Bernoulli试验，这里“重复”
概率论与数理统计中的三种重要分布
概率论与数理统计中的三种重要分布摘要：在概率论与数理统计课程中，我们研究了随机变量的分布，具体地研究了离散型随机变量的分布和连续型随机变量的分布，并简单的介绍了常见的离散型分布和连续型分布，其中二项分布、Poisson 分布、正态分布是概率论中三大重要的分布。
因此，在这篇文章中重点介绍二项分布、Poisson 分布和正态分布以及它们的性质、数学期望与方差，以此来进行一次比较完整的概率论分布的学习。
关键词：二项分布；Poisson 分布；正态分布；定义；性质一、二项分布二项分布是重要的离散型分布之一，它在理论上和应用上都占有很重要的地位，产生这种分布的重要现实源泉是所谓的伯努利试验。
（一）泊努利分布[Bernoulli distribution ] (两点分布、0-1分布)1．泊努利试验在许多实际问题中，我们感兴趣的是某事件A 是否发生。
例如在产品抽样检验中，关心的是抽到正品还是废品；掷硬币时，关心的是出现正面还是反面，等。
在这一类随机试验中，只有两个基本事件A 与A ，这种只有两种可能结果的随机试验称为伯努利试验。
为方便起见，在一次试验中，把出现A 称为“成功”，出现A 称为“失败” 通常记(),p A P = ()q p A P =-=1。
2．泊努利分布定义：在一次试验中，设p A P =)(，p q A P -==1)(，若以ξ记事件A 发生的次数，则⎪⎪⎭⎫⎝⎛ξp q 10~，称ξ服从参数为)10(<<p p 的Bernoulli 分布或两点分布，记为：),1(~p B ξ。
（二）二项分布[Binomial distribution]把一重Bernoulli 试验E 独立地重复地进行n 次得到n 重Bernoulli 试验。
定义：在n 重Bernoulli 试验中，设(),()1P A p P A q p ===-若以ξ记事件A 发生的次数，则ξ为一随机变量，且其可能取值为n ,,2,1,0 ，其对应的概率由二项分布给出：{}k n kk n p p C k P --==)1(ξ，n k ,,3,2,1,0 =，则称ξ服从参数为)10(,<<p p n 的二项分布，记为),(~p n B ξ。
概率论与数理统计1~6章总结
A (BC) (A B)(A C)
摩根律 AB A B A B A B
2.随机事件的概率 ①概率和频率 概率的定义：若对随机试验 E 所对应的样本空间 中的每一事件 A，均赋予一实数 P(A)， 集合函数 P(A)满足条件：
(1) P(A) ≥0；
(2) P()＝1；
(3) 可列可加性：设 A1，A2，…, 是一列两两互不相容的事件，即 AiAj＝，(ij), i , j＝1, 2, …,
离散型随机变量 随机变量 非离散型奇异型连（续混型合型）
2.离散型随机变量
若随机变量 X 取值 x1, x2, …, xn, … 且取这些值的概率依次为 p1, p2, …, pn, …, 则称 X 为离散型 随机变量，而称
n!
n1!....nm !
eg: 30 名学生中有 3 名运动员，将这 30 名学生平均分成 3 组，求： （1）每组有一名运动员的概率； （2）3 名运动员集中在一个组的概率。 解:设 A:每组有一名运动员;B: 3 名运动员集中在一组
N (S)
C C C 10 10 10 30 20 10
Hale Waihona Puke 10!成互斥事件（互不相容事件）：事件 A 与事件 B 互斥——AB=Φ；事件 A 与事件 B 不能同时发
生，两个事件没有公共的样本点
对立事件：事件 A 不发生，由所有不属于 A 的样本点组成，记作 A or Ac
差事件：差事件 A-B 发生 ——事件 A 发生且事件 B 不发生；由属于事件 A 但不属于事件 B
P(A)具有如下性质 (1) 0 P(A) 1； (2) P()＝1； P( )=0 (3) AB＝，则 P( A B )＝ P(A) ＋P(B) 抽球问题 设盒中有 N 个球，其中有 M 个白球，现从中任抽 n 个球，则这 n 个球中恰有 k 个白球的概 率是
概率论与数理统计2.2
X P
x1
p1
x2 L xk L
p2 L pk L
1
概率论与数理统计
或
X~
x1 x2 L xk L p1 p2 L pk L
非负性 归一性
用这两条性质判断 一个函数是否是 概率分布
2
分布律的性质
① ②
pk ≥ 0, k =1,2,L
∑ pk =1
k=1
∞
概率论与数理统计
2.2.2 离散型随机变量及分布函数
0
5000
= 0.9934.
本例 启示
小概率事件虽不易发生， 小概率事件虽不易发生，但重复次数 多了，就成大概率事件. 多了，就成大概率事件.
17
概率论与数理统计
由此可见日常生活中“提高警惕 由此可见日常生活中“提高警惕, 防火 防盗”的重要性. 防盗”的重要性 由于时间无限, 自然界发生地震、 由于时间无限 自然界发生地震、海 空难、泥石流等都是必然的， 啸、空难、泥石流等都是必然的，早晚的 事，不用奇怪，不用惊慌. 不用奇怪，不用惊慌 同样, 人生中发生车祸、失恋、 同样 人生中发生车祸、失恋、患绝 症、考试不及格、炒股大亏损等都是正常 考试不及格、 现象, 大可不必怨天尤人, 现象 大可不必怨天尤人 更不要想不开而 对自己和家人造成伤害. 对自己和家人造成伤害
在上例中, 例2 在上例中 分别用分布律与分布函数计算
P(1 ≤ X ≤ 3) .
解 P(1≤ X ≤ 3) = P( X =1) + P( X = 2) + P( X = 3) 或
= 0.6(0.4 + 0.4 + 0.4 ) = 0.3744
2 3
P(1≤ X ≤ 3) = F(3) − F(1− 0) = 0.9744 − 0.6
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1 2 1 P{甲赢} P{ X 2} C ( ) 2 4
2 2
第一章
小
结
1 阐述了随机试验的特征以及随机事件之间的关 系及运算。 2 给出了随机事件的频率及概率的定义和基本性 质。 3 给出了古典概型，要会计算这类概率。
4 给出了条件概率的定义及乘法公式、全概率
2. n重贝努利试验(P27)
设E是随机试验，在相同的条件下将试验E重复进 行n次，若 1）由这n次试验构成的试验序列是独立试验序列 2）每次试验有且仅有两个结果：事件 A 和事件 A 3）每次试验事件A 发生的概率都是常数 p,即 P( A ) p
则称该试验序列为n重贝努利（Bernoulli）试验，
P( BC ) P( B) P(C )
C 0.04 (0.96) 0.04 0.0104
1 9 8
例4（赌本分配问题）甲乙约定先赢S局者胜，过一段 时间后比赛中止，此时甲赢a局，乙赢b局，设总赌金 为1，问赌金如何分配？ 解： 再过 2 s 1 a b 局后必能分胜负 X表示 2 s 1 a b 局中甲赢的局数 则甲赢 { X s a}
甲输 { X s a 1}
比如 s 3, a 1, b 1 则再赌3局必分胜负
P{甲赢} P{ X 2} P{ X 2} P{ X 3}
1 2 1 1 3 1 3 C ( ) C3 ( ) 2 2 2 2
2 3
又如 s 3, a 1, b 2
设事件A：10件中至少有两件次品，则
p( A) p10 (k ) 1 p10 (0) p10 (1)
k 2
10
1 0.96 C 0.04 0.96 0.0582
10 1 10 9
（2）设事件B：前 9 次中抽到 8 件正品一件次品；
事件C：第 10 次抽到次品，则所求概率为
目标独立射击 n 次，观察射击结果
此射手独立射击n次，每次射击命中目标的概率都 是p，所以这n次射击构成独立试验序列，每次射击 有且仅有两个结果：射中 A 、未射中 A 所以这是一个贝努利试验
二、n重贝努利试验中事件A恰好发生k次的概率 定理(P27) 在n重贝努里试验中事件A发生的概率为
P(A)=p (0<p<1),则事件A在 n 次试验中恰好发生k次
将每棵小树看作一次试验，是相互独立的，且 每次试验只有两种结果： “成活”、“不成 活”. 因此，20棵小树能否成活可看作贝努利试 验：n=20，p=0.9
例2(P28)某篮球运动员进行投篮练习，设每次
投篮的命中率为0.8，独立投篮5次，求 （1）恰好4次命中的概率； （2）至少4次命中的概率；
（3）至多4次命中的概率.
的概率为：
k k n k Pn (k ) Cn pq ,
其中： k 0,1,
, n, q 1 p
例1 某种小树移栽后的成活率为90%,一居民小区 移栽了20棵,求能成活18棵的概率.
解 设A：能成活18棵，则
p( A) P20 (18)
18 C20 (0.9)18 (0.1)2 0.2852
4.设A,B为两个随机事件， P( A) 0.7, P( A B) 0.3
公式和贝叶斯公式。
5 给出了随机事件独立性的概念，要会利用事件 独立性进行概率计算。 6 引进贝努里概型及n重贝努里试验的概念，要试验，试验成功的概率分别为
1 1 1 21 , , , 则三人试验都失败的概率为 2 4 8 64
2.若两事件A、B满足 A B，则不能推出结论（ B ）
第六节 n重贝努利试验
一、n重贝努利试验的概念
二、n重贝努利试验中事件A恰 好发生k次的概率
一、n重贝努利试验的概念
1. 独立试验序列 P26 设E是随机试验，如果在相同的条件下将试验 E重复进行若干次，且各次试验的结果互不 影响， 即每次试验结果发生的概率都不依赖于其它各次 试验的结果，则由这若干次试验构成的试验序列 称为独立试验序列
解：将每次投篮看作一次试验，则每次试验只有两
种结果： “命中”、“不中”.因此，运动员独 立投篮5次可看作贝努利试验：n=5，p=0.8
设A:恰好4次命中，B:至少4次命中，C:至多4次命中
4 （1） P( A) P5 ( 4 ) C5 0.840.2 0.4096
（2） P( B ) P5 ( 4) P5 ( 5)
（A）P( AB) P( A)
（C） P( AB) 0
（B）P( A B) P( A) （D）P( AB) P(B) P( A)
3.若两事件A、B 满足 P( AB) 0, 则 （ C ）
，B 互不相容 （B）AB 是不可能事件 （A）A
（C）AB 未必是不可能事件
（B） 0 （D）P （A） 0或 P
4 5 C5 0.840.2 C5 0.85 0.7373
（3） P( C ) 1 P( C ) 1 P5 ( 5)
1 C 0.8 0.6723
5 5 5
例3 一条自动生产线上的产品, 次品率为4%, 求: (1) 从中任取10件, 求至少有两件次品的概率; (2) 一次取1件, 无放回地抽取,求当取到第二件次品 时, 之前已取到8件正品的概率. 解 由于一条生产线上的产品很多，当抽取的件数 相对较少时，即使无放回抽取也可以看成是独 立试验，而且每次试验只有两种结果： “次 品”、“正品”. 因此，任取10次产品可看作贝 努利试验：n=10，p=0.04
简称为贝努利试验或贝努利概型
n重贝努利（Bernoulli ）试验的例子 1.已知在指定时间内某十字路口的事故率为p，现在此 时间段内对经过的n 辆机动车进行观察 每辆车是否经过这个十字路口是相互独立的，而且观 察结果有且只有两种可能：出事故 A 、平安经过 A 所以这是一个贝努利试验
2.某射手每次射击命中目标的概率都是 p，现对同一