咸阳市年高考模拟考试试题(三,理数,)

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陕西省咸阳市高考数学临考模拟试卷（理）含答案解析

陕西省咸阳市高考数学临考模拟试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合M={x|﹣2＜x≤2，x∈Z}，N={y|y=x2，x∈M}则集合M∩N非空子集的个数是（）A．0 B．1 C．3 D．42．设i是虚数单位，则复数Z=的共轭复数的虚部是（）A．B．﹣i C．D．﹣3．已知数列{x n}满足：x1=1，x n+1=﹣x n+，则数列{x n}的前21项的和为（）A．5 B．6 C．11 D．134．设z=kx+y，其中实数x，y满足，若z的最大值为12，则实数k的值是（）A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣45．设等边△ABC边长为6，若，，则等于（）A．﹣6B．6C．﹣18 D．186．已知函数sinθ﹣cosθ=﹣2，则三角式sin2θ+cos2θ+3的值为（）A．B．C．﹣D．﹣7．在（x2+﹣4）3（x+3）的展开式中，常数项是（）A．﹣480 B．﹣240 C．480 D．2408．某几何体的正（主）视图和侧（左）视图如图所示，则该几何体的体积不可能是（）A．B．C．D．19．在0，1，2，3，4，5这六个数中随机地抽取一个数记为a，再在剩余的五个数中随机地抽取一个数记为b，则所得两位数是偶数的概率P为（）A．B．C．D．10．正四棱柱的体积为8，则该正四棱柱外接球体积的最小值为（）A．4πB．C．12πD．12π11．已知F1，F2分别是双曲线x2﹣=1（a＞0）的两个焦点，O为坐标原点，圆O是以F1，F2为直径的圆，直线l：y=x﹣4与圆O相交，则实数a的取值范围是（）A．（0，1）B．（0，1]C．[1，+∞）D．（1，+∞）12．已知定义在R上函数f（x）的值域是（﹣∞，0]，并且函数f（x）单调，则方程f3（x）﹣3f（x）﹣1=0的解的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.13．已知3a+a3=123，[a]表示不超过a的最大整数，则[a]等于．14．如图，它是一个算法的流程图，最后输出的k值为．15．已知点P为抛物线y2=2x上的动点，点P在y轴上的射影为M，点A的坐标为，则|PA|+|PM|的最小值是．16．已知数列{a n}的前n项和为S n，若a1=2，=a n+1﹣（n+1）（n∈N*），则满足不等式a n S n≤2200的最大正整数n的值为．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．在△ABC中，角C所对的边长为c，△ABC的面积为S，且tan tan+（tan+tan）=1．（I）求△ABC的内角C的值；（II）求证：c2≥4S．18．某厂生产不同规格的一种产品，根据检测标准，其合格产品的质量y（g）与尺寸x（mm）之间近似满足关系式y=ax b（a，b为大于0的常数）．现随机抽取6件合格产品，测得数据如下：尺寸（mm）38 48 58 68 78 88质量（g）16.8 18.8 20.7 22.4 24.0 25.5对数据作了初步处理，相关统计量的值如下表：75.3 24.6 18.3 101.4（Ⅰ）根据所给数据，求y关于x的回归方程；（Ⅱ）按照某项指标测定，当产品质量与尺寸的比在区间（，）内时为优等品．现从抽取的6件合格产品中再任选3件，记ξ为取到优等品的件数，试求随机变量ξ的分布列和期望．附：对于一组数据（v1，u1），（v2，u2），…，（v n，u n），其回归直线u=α+βv的斜率和截距的最小二乘估计分别为=，=﹣．19．在单位正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是B1C1，A1D1的中点．（1）证明：BD⊥A1C；（2）求AC与平面ABEF夹角的正弦值．20．已知椭圆+=1（a＞b＞0），直线x=（c是椭圆的焦距长的一半）交x轴于A点，椭圆的上顶点为B，过椭圆的右焦点F作垂直于x轴的直线交椭圆的第一象限于P点，交AB于D点，若点D满足2=+（O为坐标原点）．（I）求椭圆的离心率；（II）若半焦距为3，过点A的直线l交椭圆于两点M、N，问在x轴上是否存在定点C使•为常数？若存在，求出C点的坐标及该常数值；若不存在，请说明理由．21．已知函数f（x）=e x+m﹣lnx．（I）设x=1是函数f（x）的极值点，求证：e x﹣elnx≥e；（II）设x=x0是函数f（x）的极值点，且f（x）≥0恒成立，求m的取值范围．（其中常数a满足alna=1）．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，BD为⊙O的直径，AB=AC，AD交BC于E，AE=2，ED=4．（I）求证：△ABE∽△ADB，并求AB的长；（II）延长DB到F，使BF=BO，连接FA，那么直线FA与⊙O相切吗？为什么？[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知直线l经过点P（1，2），倾斜角α=．（I）写出直线l的参数方程；（II）设l与圆x2+y2=2相交与两点A，B，求点P到A，B两点的距离之积．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=x+，x∈（0，+∞）．（I）当a=1时，试用函数单调性的定义，判断函数f（x）的单调性；（II）若x∈[3，+∞），关于x不等式x+≥|m﹣|+|m+|恒成立，求实数m的取值范围．陕西省咸阳市高考数学临考模拟试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合M={x|﹣2＜x≤2，x∈Z}，N={y|y=x2，x∈M}则集合M∩N非空子集的个数是（）A．0 B．1 C．3 D．4【考点】交集及其运算．【分析】列举出M中不等式的整数解确定出M，将M中元素代入N中计算求出y的值，确定出N，进而求出M与N的交集，即可作出判断．【解答】解：∵M={x|﹣2＜x≤2，x∈Z}={﹣1，0，1，2}，N={y|y=x2，x∈M}={0，1，4}，∴M∩N={0，1}，则M∩N非空子集的个数是22﹣1=3，故选：C．2．设i是虚数单位，则复数Z=的共轭复数的虚部是（）A．B．﹣i C．D．﹣【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】根据复数的四则运算进行求解即可．【解答】解：Z====﹣+i，则复数Z=的共轭复数是﹣﹣i，则虚部是﹣，故选：C．3．已知数列{x n}满足：x1=1，x n+1=﹣x n+，则数列{x n}的前21项的和为（）A．5 B．6 C．11 D．13【考点】数列的求和．【分析】利用分组求和、递推关系即可得出．【解答】解：∵x n+1=﹣x n+，∴x n+1+x n=，则数列{x n}的前21项的和=x1+（x2+x3）+…+（x20+x21）=1+10×=6，故选：B．4．设z=kx+y，其中实数x，y满足，若z的最大值为12，则实数k的值是（）A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4【考点】简单线性规划．【分析】画出满足约束条件，的平面区域，然后分析平面区域里各个角点，进一步利用目标函数z=kx+y的最大值为12，判断目标函数经过的点，即可求出k的值．【解答】解：由变量x，y满足约束条件，作出可行域：∵z=kx+y的最大值为12，即y=﹣kx+z在y轴上的截距是12，∴目标函数z=kx+y经过的交点A（4，4），∴12=4k+4；解得k=2．故选：A．5．设等边△ABC边长为6，若，，则等于（）A．﹣6B．6C．﹣18 D．18【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据题意得出=（），=，运用数量积求解即可．【解答】解：∵等边△ABC边长为6，若，，∴=（），=，∴=（22）=（﹣36×6×）=﹣18，故答案为：C6．已知函数sinθ﹣cosθ=﹣2，则三角式sin2θ+cos2θ+3的值为（）A．B．C．﹣D．﹣【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】由已知结合辅助角公式求得θ，再由同角三角函数的基本关系式化简求得答案．【解答】解：∵sinθ﹣cosθ=﹣2，∴，则sin（）=﹣1，∴，则．∴，∴sin2θ+cos2θ+3==．故选：A．7．在（x2+﹣4）3（x+3）的展开式中，常数项是（）A．﹣480 B．﹣240 C．480 D．240【考点】二项式系数的性质．【分析】首先将第一个因数分解为二项式，然后发现常数项得到的可能情况即可．【解答】解：（x2+﹣4）3（x+3）=（x﹣）6（x+3），当取x+3中的3时，取常数项，为，此时的常数为﹣480；当取x+3的x时，取x﹣1，而其展开式不可能有这样的项，所以在（x2+﹣4）3（x+3）的展开式中，常数项是﹣480；故选A．8．某几何体的正（主）视图和侧（左）视图如图所示，则该几何体的体积不可能是（）A．B．C．D．1【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据已知中的正视图和侧视图，可得当底面面面最大值，底面为正方形，求出几何体体积的最大值，可得结论．【解答】解：当底面面面最大值，底面为正方形，此时V=×1×1×2=，1＞，故该几何体的体积不可能是1，故选：D9．在0，1，2，3，4，5这六个数中随机地抽取一个数记为a，再在剩余的五个数中随机地抽取一个数记为b，则所得两位数是偶数的概率P为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】确定基本事件的情况，利用古典概型的概率公式求解即可．【解答】解：由题意，a有5种取法，b有5种取法，故共有5×5=25种；两位数是偶数，b取0，a有5种取法，b取2或4，a有4种取法，故共有5+2×4=13种，∴所得两位数是偶数的概率P=．故选：D．10．正四棱柱的体积为8，则该正四棱柱外接球体积的最小值为（）A．4πB．C．12πD．12π【考点】球内接多面体．【分析】通过正四棱柱的对角线就是外接球的直径，求出直径的最小值即可求出球的体积．【解答】解：设正四棱柱的底面边长为a，高为h，则a2h=8．∵正四棱柱的体对角线即为球的直径，∴2r═≥=2∴r的最小值为，故该正四棱柱外接球体积的最小值为V=π（）3=4π．故选：A．11．已知F1，F2分别是双曲线x2﹣=1（a＞0）的两个焦点，O为坐标原点，圆O是以F1，F2为直径的圆，直线l：y=x﹣4与圆O相交，则实数a的取值范围是（）A．（0，1）B．（0，1]C．[1，+∞）D．（1，+∞）【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据直线l：y=x﹣4与圆O相交，圆心到直线的距离小于半径，建立不等式，即可求出实数a的取值范围．【解答】解：由题意，圆的半径为．∵直线l：y=x﹣4与圆O相交，∴＜，∴＞，∴a2+1＞2，∴a2＞1∵a＞0，∴a＞1．故选：D12．已知定义在R上函数f（x）的值域是（﹣∞，0]，并且函数f（x）单调，则方程f3（x）﹣3f（x）﹣1=0的解的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】函数单调性的性质．【分析】令t=f（x），得到关于t的函数g（t），通过求导得到函数g（t）的大致图象，从而判断出所求方程解的个数．【解答】解：令t=f（x），则有t3﹣3t﹣1=0，令g（t）=t3﹣3t﹣1，g′（t）=3t2﹣3=3（t+1）（t﹣1），于是可得：g（t）的图象如下：，∴方程t3﹣3t﹣1=0有3个不同的解，其中2个解是负的，而函数f（x）的值域是（﹣∞，0]，并且函数f（x）单调，∴方程f3（x）﹣3f（x）﹣1=0有2个不同的实数解，故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.13．已知3a+a3=123，[a]表示不超过a的最大整数，则[a]等于4．【考点】函数的值．【分析】由题意43=64，53=125，根据3a+a3=123，[a]表示不超过a的最大整数，即可得出结论．【解答】解：由题意43=64，53=125，∵3a+a3=123，[a]表示不超过a的最大整数，∴[a]=4．故答案为：4．14．如图，它是一个算法的流程图，最后输出的k值为5．【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，k的值，当S=21，k=5时，不满足条件S＜20，退出循环，输出k的值为5．【解答】解：模拟执行程序框图，可得k=1，S=0满足条件S＜20，S=21=2，k=2满足条件S＜20，S=21+22=5，k=3满足条件S＜20，S=5+23=13，k=4满足条件S＜20，S=13+24=21，k=5不满足条件S＜20，退出循环，输出k的值为5．故答案为：5．15．已知点P为抛物线y2=2x上的动点，点P在y轴上的射影为M，点A的坐标为，则|PA|+|PM|的最小值是．【考点】抛物线的简单性质．【分析】先根据抛物线的方程求得焦点坐标和准线方程，延长PM交准线于H点，由抛物线的定义可得|PF|=|PH|，故|PM|+|PA|=|PF|+|PA|﹣，由|PF|+|PA|≥|FA|可得所求的最小值为|FA|﹣．利用两点间的距离公式求得|FA|，即可得到|最小值|FA|﹣的值．【解答】解：依题意可知焦点F（，0），准线x=﹣，延长PM交准线于H点，则由抛物线的定义可得|PF|=|PH|，∴|PM|=|PH|﹣=|PF|﹣．∴|PM|+|PA|=|PF|+|PA|﹣，我们只有求出|PF|+|PA|最小值即可．由三角形两边长大于第三边可知，|PF|+|PA|≥|FA|，当点P是线段FA和抛物线的交点时，|PF|+|PA|可取得最小值为|FA|，利用两点间的距离公式求得|FA|=5．则所求为|PM|+|PA|=5﹣=．故答案为：．16．已知数列{a n}的前n项和为S n，若a1=2，=a n+1﹣（n+1）（n∈N*），则满足不等式a n S n≤2200的最大正整数n的值为10．【考点】数列的求和．【分析】由=a n+1﹣（n+1）（n∈N*），可得S n=na n+1﹣n（n+1），利用递推关系可得：a n+1﹣a n=2．利用等差数列的通项公式及其求和公式可得a n，S n．代入a n S n≤2200化简整理即可得出．【解答】解：∵=a n+1﹣（n+1）（n∈N*），∴S n=na n+1﹣n（n+1），=（n﹣1）a n﹣（n﹣1）n，相减可得：a n+1﹣a n=2．∴n≥2时，S n﹣1∴数列{a n}是等差数列，公差为2，首项为2．∴a n=2+2（n﹣1）=2n，S n==n（n+1）．∴a n S n≤2200化为：2n•n（n+1）≤2200，即n2（n+1）≤1100=102×11，∴n≤10．∴满足不等式a n S n≤2200的最大正整数n的值为10．故答案为：10．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．在△ABC中，角C所对的边长为c，△ABC的面积为S，且tan tan+（tan+tan）=1．（I）求△ABC的内角C的值；（II）求证：c2≥4S．【考点】余弦定理；两角和与差的正切函数．【分析】（I）利用正切的和差公式即可得出．（II）利用余弦定理、基本不等式的性质与三角形面积计算公式即可得出．【解答】解：（I）∵，∴，，即，∵A、B为△ABC内角，∴，即．于是．（II）证明：由用余弦定理，有，∵△ABC的面积，∴，于是．18．某厂生产不同规格的一种产品，根据检测标准，其合格产品的质量y（g）与尺寸x（mm）之间近似满足关系式y=ax b（a，b为大于0的常数）．现随机抽取6件合格产品，测得数据如下：尺寸（mm）38 48 58 68 78 88质量（g）16.8 18.8 20.7 22.4 24.0 25.5对数据作了初步处理，相关统计量的值如下表：75.3 24.6 18.3 101.4（Ⅰ）根据所给数据，求y关于x的回归方程；（Ⅱ）按照某项指标测定，当产品质量与尺寸的比在区间（，）内时为优等品．现从抽取的6件合格产品中再任选3件，记ξ为取到优等品的件数，试求随机变量ξ的分布列和期望．附：对于一组数据（v1，u1），（v2，u2），…，（v n，u n），其回归直线u=α+βv的斜率和截距的最小二乘估计分别为=，=﹣．【考点】性检验的应用；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）对y=ax b（a，b＞0）两边取科学对数得lny=blnx+lna，令v i=lnx i，u i=lny i得u=bv+lna，由最小二乘法求得系数及，即可求得y关于x的回归方程；（Ⅱ）由题意求得优等品的个数，求得随机变量ξ取值，分别求得P（ξ=0），P（ξ=1），P（ξ=2）及P（ξ=3），求得其分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）对y=ax b（a，b＞0）两边取科学对数得lny=blnx+lna，令v i=lnx i，u i=lny i得u=bv+lna，由=，ln=1，=e，故所求回归方程为．（Ⅱ）由，x=58，68，78，即优等品有3件，ξ的可能取值是0，1，2，3，且，，，．其分布列为：ξ0 1 2 3P∴．19．在单位正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是B1C1，A1D1的中点．（1）证明：BD⊥A1C；（2）求AC与平面ABEF夹角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角．【分析】（1）通过证明BD⊥平面A1AC得出BD⊥A1C．（2）过C作CM⊥BE与M，则可证CM⊥平面ABEF，故而∠CAM为所求的角．利用三角形相似求出CM，从而得出线面角的正弦值．【解答】证明：（1）∵AA1⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴AA1⊥BD．∵四边形ABCD是正方形，∴BD⊥AC，又AC⊂平面A1AC，AC⊂平面A1AC，AC∩AA1=A，∴BD⊥平面A1AC，∵A1C⊂平面A1AC，∴BD⊥A1C．（2）过C作CM⊥BE于M，连结AM，∵AB⊥平面BCC1B1，MC⊂平面BCC1B1，∴AB⊥MC，又MC⊥BE，AB⊂平面ABEF，BE⊂平面ABEF，AB∩BE=B，∴CM⊥平面ABEF，∴∠CAM为直线AC与平面ABEF所成的角．由△BB1E∽△CMB得，即，解得CM=．∴sin∠CAM===．20．已知椭圆+=1（a＞b＞0），直线x=（c是椭圆的焦距长的一半）交x轴于A点，椭圆的上顶点为B，过椭圆的右焦点F作垂直于x轴的直线交椭圆的第一象限于P点，交AB于D点，若点D满足2=+（O为坐标原点）．（I）求椭圆的离心率；（II）若半焦距为3，过点A的直线l交椭圆于两点M、N，问在x轴上是否存在定点C使•为常数？若存在，求出C点的坐标及该常数值；若不存在，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（I）由题意分别求得D、F和P点坐标，根据向量加法的坐标表示求得a和b的关系、由椭圆的性质a2=b2+c2及e=即可求得e；（II）由c=3，即可求得椭圆方程，并求得过点A的直线方程，代入椭圆方程，求得关于x 的一元二次方程，由△＞0求得k的取值范围，利用韦达定理，表示出•，令•=u，（整理68+4n2﹣32n﹣4u）k2+n2﹣u﹣12=0，对任意k∈（﹣，）都成立，求得关于n和u的二元一次方程组，即可求得n的值，求得C点坐标．【解答】解：（I）由题意可知：A（，0），B（0，b），直线AB的方程是：，将x=c代入，得y=，∴D（0，），将x=c代入，得y=±（舍负），∴P（0，），∵2=+，∴2（0，）=（c，0）+（0，），整理得：=，即a=2b，∵a2=b2+c2，∴e==，椭圆的离心率；（II）当c=3时，椭圆的方程为：，过A（4，0）的直线方程为y=k（x﹣4），将直线方程代入椭圆方程消去y，整理得：（1+4k2）x2﹣32k2x+64k2﹣12=0，∴△=（﹣32k2）﹣4（1+4k2）（64k2﹣12）=﹣4（16k2﹣12）＞0，解得：﹣＜k＜，假设存在点C（n，0），使得•为常数，设M（x1，y1），N（x2，y2），由韦达定理可知：x1+x2=，x1•x2=，•=（x1﹣n，y1）•（x2﹣n，y2），=（x1﹣n）•（x2﹣n）+y1•y2，=（x1﹣n）•（x2﹣n）+k2（x1﹣4）（x2﹣4），=（1+k2）x1•x2﹣（n+4k2）（x1+x2）+n2+16k2，=（1+k2）×﹣（n+4k2）×+n2+16k2=u，整理得：（68+4n2﹣32n﹣4u）k2+n2﹣u﹣12=0，对任意k∈（﹣，）都成立，∴，解得：，故在x轴上存在点（，0）使为常数．21．已知函数f（x）=e x+m﹣lnx．（I）设x=1是函数f（x）的极值点，求证：e x﹣elnx≥e；（II）设x=x0是函数f（x）的极值点，且f（x）≥0恒成立，求m的取值范围．（其中常数a满足alna=1）．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（I）求导数，利用x=1是函数f（x）的极值点，求出m，确定f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，f（x）≥f（1）=1，即可证明：e x﹣elnx≥e；（II）证明f（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，f（x）在x=x0处取得最小值，可得f（x）≥f（x0）=﹣lnx0=+x0+m，利用f（x）≥0恒成立，得出+x0+m≥0，进而得出x0≤a，即可求m的取值范围．【解答】（I）证明：∵f（x）=e x+m﹣lnx，∴f′（x）=e x+m﹣∵x=1是函数f（x）的极值点，∴f′（x）=e1+m﹣1=0，∴m=﹣1，∴f′（x）=e x﹣1﹣，0＜x＜1，f′（x）＜0，x＞1，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，∴f（x）≥f（1）=1，∴e x﹣1﹣lnx≥1，∴e x﹣elnx≥e；（II）解：f′（x）=e x+m﹣，设g（x）=e x+m﹣，则g′（x）=e x+m+＞0，∴g（x）在（0，+∞）上单调递增，∴f′（x）在（0，+∞）上单调递增，∵x=x0是函数f（x）的极值点，∴x=x0是f′（x）=0在（0，+∞）上的唯一零点，∴=，∴x0+m=﹣lnx0，∵0＜x＜x0，f′（x）＜f′（x0）=0，x＞x0，f′（x）＞f′（x0）=0，∴f（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，f（x）在x=x0处取得最小值，∴f（x）≥f（x0）=﹣lnx0=+x0+m，∵f（x）≥0恒成立，∴+x0+m≥0，∴+x0≥x0+lnx0，∴≥lnx0，∵alna=1，∴x0≤a，∴m=﹣x0﹣lnx0≥﹣a﹣lna．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，BD为⊙O的直径，AB=AC，AD交BC于E，AE=2，ED=4．（I）求证：△ABE∽△ADB，并求AB的长；（II）延长DB到F，使BF=BO，连接FA，那么直线FA与⊙O相切吗？为什么？【考点】圆的切线的判定定理的证明；相似三角形的判定．【分析】（I）由AB=AC，可得∠ABC=∠C，再利用圆的性质可得∠C=∠D，即∠ABC=∠D．进而得到△ABE∽△ADB．利用相似三角形的性质即可得出．（II）直线FA与⊙O相切．分析如下：连接OA．由于BD为⊙O的直径，可得∠BAD=90°．利用勾股定理可得BD，于是BF=BO=AB．可得∠OAF=90°．即可证明．【解答】解：（I）∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∵∠C=∠D，∴∠ABC=∠D．又∵∠BAE=∠DAB，∴△ABE∽△ADB．∴．AB2=AD•AE=（AE+ED）•AE=（2+4）×2=12．∴．（II）直线FA与⊙O相切．理由如下：连接OA．∵BD为⊙O的直径，∴∠BAD=90°．∴．∵，∴BF=BO=AB．∴∠OAF=90°．∴直线FA与⊙O相切．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知直线l经过点P（1，2），倾斜角α=．（I）写出直线l的参数方程；（II）设l与圆x2+y2=2相交与两点A，B，求点P到A，B两点的距离之积．【考点】直线的参数方程；直线与圆的位置关系．【分析】（I）直线的参数方程为，化简即可得出．（II）把直线代入x2+y2=2化为：．利用根与系数的关系即可得出点P到A，B两点的距离之积．【解答】解：（I）直线的参数方程为，即．（II）把直线代入x2+y2=2．得，化为：．∴t1t2=3，∴点P到A，B两点的距离之积为3．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=x+，x∈（0，+∞）．（I）当a=1时，试用函数单调性的定义，判断函数f（x）的单调性；（II）若x∈[3，+∞），关于x不等式x+≥|m﹣|+|m+|恒成立，求实数m的取值范围．【考点】函数恒成立问题；函数单调性的判断与证明．【分析】（Ⅰ）当a=1时，f（x）=x+，利用函数单调性的定义进行证明判断即可．（Ⅱ）根据（Ⅰ）的结论得到当x∈[3，+∞），f（x）=x+的最小值为f（3）=，然后将不等式恒成立进行转化，结合绝对值不等式的解法进行求解即可．【解答】（I）解：当a=1时，f（x）=x+，当x＞0时，任取x1、x2∈（0，+∞）且x1＜x2，则f（x2）﹣f（x1）=x2+﹣x1﹣=（x2﹣x1）+=（x2﹣x1）（1﹣），要确定此式的正负只要确定1﹣的正负即可．①当x1、x2∈（0，1）时，1﹣＜0，∴f（x2）﹣f（x1）＜0，为减函数，②当x1、x2∈（1，+∞）时，1﹣＞0，∴f（x2）﹣f（x1）＞0，为增函数．即函数f（x）的单调递增区间为为（1，+∞），单调递减区间为（0，1）；（II）若x∈[3，+∞），由（Ⅰ）知，函数f（x）=x+的最小值为f（3）=3+=，于是不等式x+≥|m﹣|+|m+|恒成立等价为≥|m﹣|+|m+|恒成立∵|m﹣|+|m+|≥|﹣m+m+|=，∴|m﹣|+|m+|=，此﹣≤m≤，即实数m的取值范围是[﹣，]．9月6日21 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陕西省咸阳市2020年高考模拟检测(三)数学(理科)试题含答案

陕西省咸阳市2020年高考模拟检测(三)数学(理科)试题注意事项:1.本试卷共4页满分150分时间120分钟;2.答卷前，考生须准确填写自己的姓名、准考证号并认真核准条形码上的姓名、准考证号;3.第Ⅰ卷选择题必须使用2B 铅笔填涂,第Ⅱ卷非选择题必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，涂写要工整、清晰;4.考试结束,监考员将试题卷答题卡一并收回第I 卷(选择题共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.若集合A={1,2,3,4,5},集合{|04},B x x <=<则图中阴影部分表示 A.{1.2,3,4}B.{1，2，3}C.{4，5}D.{1，4}2.已知等比数列{a n }的前n 项和为143,2,1,n S a a a ==则4S = A.31 B.15 C.8 D.73.某医院抽调甲、乙、丙三名医生,抽调A 、B 、C 三名护士支援武汉第一医院与第二医院，参加武汉疫情狙击战，其中选一名护士与一名医生去第一医院，其它都在第二医院工作,则医生甲和护士A 被选为第一医院工作的概率为 A.112 B.16 C.15 D.194.已知非零向量a,b 满足||,a b =且−⊥(a b)b 则与a b 的夹角为A.π6B.π4C.π3D.π25.设复数=满足|1i |1z −+=,z 在复平面内对应的点为(),,P x y 则点P 的轨迹方程为()2222.1 1 .(1)1A x y B x y ++=−+= ()()2222.(1) 1 .111C x y D x y +−=−++=6.“22ππα−<<”是“方程2212cos x y α−=表示双曲线”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D 既不充分也不必要条件7.“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积过程中构造在一个和谐优美的几何体。

陕西省咸阳市2024年高考模拟检测(三)数学(文科)试题(含答案与解析)_4498

咸阳市2024年高考模拟检测试题（三）数学（文科）注意事项：1.本试题共4页，满分150分，时间120分钟.2.答卷前，务必将答题卡上密封线内的各项目填写清楚.3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.4.考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题不回收.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若复数z 满足()1i 1z +=+z =（）A.11i - B.11i+ C. 1i -D. 1i +2. 已知全集为R ，集合{}256A x x x =-≤，集合{}2B x x =<，则()B A ⋂=R ð（） A. ()6,+∞B. [)6,+∞C. (),1-∞-D. (],1-∞-3. 在数列{}n a 中，11a =，121n n a a n +=+-，则7a =（） A. 43B. 46C. 37D. 364. 已知():ln 10p a +>，:0q x ∃≥，21x a +≤，则p 是q ⌝的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5. 在ABC 中，a b c 、、分别为ABC 的内角、、A B C 的对边，M 为边AC 上一点，满足3MC AM = ，若2220a c b ac +-+=，2c =，4a =，则BM = （）AB.C.37D.6. 随机取实数1,72p ⎛⎫∈⎪⎝⎭，则关于x 的方程22430x px p ++-=有两个负根的概率为（） .A.1825B.1625C.1726D.19267. 已知各棱长都为1的平行六面体1111ABCD A B C D -中，棱1AA 、AB 、AD 两两的夹角均为π3，则异面直线1BA 与1CB 所成角为（）A.π4B.π6C.π3D.π128. 为了进一步提升城市形象，满足群众就近健身和休闲的需求，2023年某市政府在市区多地规划建设了“口袋公园”.如图，在扇形“口袋公园”OPQ 中，准备修一条三角形健身步道OAB ，已知扇形的半径3OP =，圆心角π3POQ ∠=，A 是扇形弧上的动点，B 是半径OQ 上的动点，//AB OP ，则OAB 面积的最大值为（）A.B.34C.D.359. 某校组织知识竞赛，已知甲同学答对第一题的概率为911，从第二题开始，甲同学回答第n 题时答错的概率为n P ，112123n n P P -=+，当2n ≥时，n P M ≥恒成立，则M 的最大值为（） A.1522B. 1722C. 1521D. 172110. 已知一个圆锥的三视图如图，该圆锥的内切球也是棱长为a 的正四面体的外接球，则此正四面体的表面积为（）A.B.C.D.11. 已知函数()cos (0)f x x x ωωω=->，若()f x 在区间[0,π)内有且仅有4个零点和4条对称轴，则ω的取值范围是（） A. 1125[,53B. 1125[,)36C. 1125,36⎛⎤⎥⎝⎦D. 1125(,5312. 已知双曲线2222:1x y T a b-=（0a >，0b >）的左右焦点分别为1F 、2F ，左右顶点分别为A 、B ，M 为OA （O 为原点）中点，P 为双曲线T 左支上一点，且112PF F F ⊥，直线2PF 的斜率为34-，Q 为12PF F △的内心，则下列说法正确的是（）A. TB. T 的渐近线方程为：y x =C. PM 平分12F PF ∠D. 211213QPF QPF QF F S S S =+△△△ 第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知椭圆22:154x y C +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，M 为椭圆C 上任意一点，P 为曲线22:64120E x y x y +--+=上任意一点，则2MP MF +的最小值为______.14. x ，y 满足约束条件10230y x y x +≥⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩，则2z x y =+最大值为______.15. 已知函数()f x 为偶函数，满足()()12f x f x +=-，且20x -≤≤时，()2xf x =-，若关于x 的方程()()2log 310a f x x -+=有两解，则a 的值为______. 16. 关于x 的不等式e ln 1(0)ax x bx x a +-≥>恒成立，则ba的最小值为__________．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17. 数列{}n a 满足11a =，110+++-=n n n n a a a a . （1）求数列{}n a 通项公式；（2）设cos π22n nn b a =+，求数列{}n b 的前n 项和n S . 18. 阅读是人类获取知识、启智增慧、培养道德重要途径.1995年，联合国教科文组织宣布4月23日为“世界读书日”，致力于向全世界推广阅读、出版和对知识产权的保护.某学校为了打造“书香校园”，使学生养成好的阅读习惯，健康成长，从学校内随机抽取了200名学生一周的课外阅读时间进行调查，了解学生的课外阅读情况，收集了他们阅读时间（单位：小时）等数据，并将样本数据分成[]0,2，(]2,4，(]4,6，(]6,8，(]8,10，(]10,12，(]12,14，(]14,16，(]16,18九组，绘制成如图所示的频率分布直方图：（1）求a 值及200名学生一周课外阅读时间的平均数；（2）为进一步了解这200名学生一周课外阅读时间的情况，从课外阅读时间在(]12,14，(]16,18两组内的的的的学生中，采用分层抽样的方法抽取了6人，选取其中两人组成小组，现求其中两名组员全在(]12,14内的概率.19. 已知平行四边形ABCD 中，6AB =，AD =，且π4A ∠=.若E 为边CD 上一点，满足2DE EC =，若将三角形BCE 沿着BE 折起，使得二面角C BE A --为π3.（1）求证：DC ⊥平面BCE ；（2）求四棱锥C ABED -的体积. 20. 已知函数ln ()1a xf x x x=+-. （1）当1a =时，求函数()()g x f x x =-极值；（2）若对任意[)1,x ∞∈+，()1f x a ≥+恒成立，求实数a 的取值范围.21. 已知直线(2)y k x =-过定点H ，动圆C 过点H ，且在y 轴上截得的弦长为4，设动圆圆心轨迹为曲线C .（1）求曲线C 的方程；（2）点()2,1A ，P ，Q 为C 上的两个动点，若P ，Q ，B 恰好为平行四边形PAQB 的其中三个顶点，且该平行四边形对角线的交点在2y x =上，记平行四边形PAQB 的面积为S ，求证：3S ≤.（二）选考题：共10分，考生从22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.【选修4-4：坐标系与参数方程】22. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，点A 为曲线1C 上的动点，点B 在线段OA 的延长线上且满足10OA OB ⋅=，点B 的轨迹为2C .（1）求曲线1C ，2C 的极坐标方程；（2）设点M 的极坐标为2,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭，求ABM 面积的最小值. 【选修4-5：不等式选讲】23. 已知当[]2,1x ∈--时，32x m x x -≤+-+恒成立. （1）求m 的取值范围；（2）若(),0,a b ∈+∞，m 最大值为t ，证明：222(11()(4)a b b a ab t ++++≥+).参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若复数z 满足()1i 1z +=+z =（）A.11i - B.11i+ C. 1i -D. 1i +【答案】D 【解析】【分析】根据给定条件，利用复数模及除法运算求得z ，再求出共轭复数.【详解】由(1i)|1|z +=+，得(1i)z +=，则22(1i)1i 1i (1i)(1i)z -===-++-，所以1i z =+. 故选：D2. 已知全集为R ，集合{}256A x x x =-≤，集合{}2B x x =<，则()B A ⋂=R ð（） A. ()6,+∞ B. [)6,+∞ C. (),1-∞- D. (],1-∞-【答案】C 【解析】【分析】求出集合A 中元素范围，然后根据补集和交集的概念得答案.【详解】{}{}25616A x x x x x =-≤=-≤≤，则{R |1A x x =<-ð或}6x >，所以()(),1B A ⋂=-∞-R ð. 故选：C.的3. 数列{}n a 中，11a =，121n n a a n +=+-，则7a =（） A. 43 B. 46C. 37D. 36【答案】C 【解析】【分析】由递推公式121n n a a n +=+-用累加法公式()()()()112211...2n n n n n a a a a a a a a n ---=-+-++-+≥求出n a ，再求7a 即可.【详解】法一：由题得()()()112211...n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+()()()()()212312325 (31112222)n n n n n n n ⎡⎤--+⎣⎦=-+-++++=+=-+≥，所以27727237a =-⨯+=.法二：由题11a =，121n n a a n +-=-，所以()()()77665211...1197531137a a a a a a a a =-+-++-+=++++++=. 故选：C.4. 已知():ln 10p a +>，:0q x ∃≥，21x a +≤，则p 是q ⌝的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】【分析】分别求得p 为真时，0a >，q ⌝为真时，2a <,可得结论. 【详解】p 为真时，可得11a +>，所以0a >，q 为真时，min (21)x a ≥+，又0,x ≥所以021212x +≥+=，所以2a ≥，所以q ⌝为真时，2a <,所以p 是q ⌝的即不充分又不必要条件. 故选：D.5. 在ABC 中，a b c 、、分别为ABC 的内角、、A B C 的对边，M 为边AC 上一点，满足3MC AM = ，若2220a c b ac +-+=，2c =，4a =，则BM = （）在A.B.C.37D.【答案】A 【解析】【分析】由已知条件求出b ，由余弦定理求出B ，再由正弦定理求出sin A ，进而求出cos A ，在ABM中，由余弦定理即可求出BM详解】由已知，222a cb ac +-=-，则2221cos 222a cb ac B ac ac +--===-，因为()0,πB ∈，所以2π3B =，又2c =，4a =，代入222a c b ac +-=-，解得b =，因为M 为边AC 上一点，满足3MC AM =，所以14AM AC ==由正弦定理sin sin b a B A =4sin A =，解得sin A =，所以cos =A ，设BM x =，则在ABM 中，由余弦定理2222cos BM AB AM AB AM A =+-⋅，得22272224x =+-⨯=，解得x =，即BM = 故选：A.6. 随机取实数1,72p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则关于x 的方程22430x px p ++-=有两个负根的概率为（） A.1825 B.1625C.1726D.1926【答案】C 【解析】【分析】考查几何概率，求出关于x 的方程22430x px p ++-=有两个负根的p 的取值范围即可求所求概【率.【详解】方程22430x px p ++-=有两个负根，则()()221212Δ2414341612020430p p p p x x p x x p ⎧=-⨯⨯-=-+>⎪+=-<⎨⎪=->⎩，314p ⇒<<或3p >，所以所求概率为()317317412672⎛⎫+-- ⎪⎝⎭=-. 故选：C .7. 已知各棱长都为1的平行六面体1111ABCD A B C D -中，棱1AA 、AB 、AD 两两的夹角均为π3，则异面直线1BA 与1CB 所成角为（）A.π4B.π6C.π3D.π12【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，结合平行六面体的结构特征，利用几何法求出异面直线1BA 与1CB 所成角. 【详解】在平行六面体1111ABCD A B C D -中，连接1,A D BD ，1111////,A B AB CD A B AB CD ==，则四边形11A B CD 是平行四边形，11//B C A D ，于是1BA D ∠是异面直线1BA 与1CB 所成角或其补角，由11AA AB AD ===，棱1,,AA AB AD 两两的夹角均为π3，得11,,ABD ABA ADA 都是正三角形，即111A B BD A D ===，则1π3BA D ∠=，所以异面直线1BA 与1CB所成角为π3. 故选：C8. 为了进一步提升城市形象，满足群众就近健身和休闲的需求，2023年某市政府在市区多地规划建设了“口袋公园”.如图，在扇形“口袋公园”OPQ 中，准备修一条三角形健身步道OAB ，已知扇形的半径3OP =，圆心角π3POQ ∠=，A 是扇形弧上的动点，B 是半径OQ 上的动点，//AB OP ，则OAB 面积的最大值为（）A.B.34C.D.35【答案】A 【解析】【分析】设POA θ∠=，在OAB 中利用正弦定理及三角形面积公式列出函数关系，再求出函数最大值即得.【详解】设π,(0,3POA θθ∠=∈，由//AB OP ，得2π,3OAB OBA θ∠=∠=，在OAB中，由正弦定理得2πsin sin3OB OAθ==，即OB θ=，则OAB的面积1πsin sin()23S OB OA AOB θθ=⋅∠=-111cos 2sin )2)222θθθθθ-=-=-⋅π162θ=+-，显然ππ5π2(,666θ+∈，因此当ππ262θ+=，即π6θ=时，max S =所以OAB故选：A9. 某校组织知识竞赛，已知甲同学答对第一题的概率为911，从第二题开始，甲同学回答第n 题时答错的概率为n P ，112123n n P P -=+，当2n ≥时，n P M ≥恒成立，则M 的最大值为（） A.1522B. 1722C. 1521D. 1721【答案】A 【解析】【分析】根据给定条件，求出数列{}n P 的通项，再借助单调性求出n P 的最小值即可得解.【详解】依题意，19211111P =-=，当2n ≥时，由112123n n P P -=+，得1818()111211n n P P --=-，而1861111P -=-，因此数列8{}11n P -是首项为611-，公比为112的等比数列，则1861(111112n n P --=-⋅，即1861(111112n n P -=-⋅，显然数列{}n P 是递增数列，当2n ≥时，min 286115()11111222n P P ==-⨯=，而当2n ≥时，n P M ≥恒成立，于是1522M ≤，所以M 的最大值为1522. 故选：A10. 已知一个圆锥的三视图如图，该圆锥的内切球也是棱长为a 的正四面体的外接球，则此正四面体的表面积为（）A.B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】先由三视图获取圆锥的高、底面半径和母线的长，从而求出圆锥内切球，再结合正四面体和正方体的关系即可探究正四面体棱长和该内切球半径的关系，进而即可求出正四面体的表面积.【详解】由圆锥的三视图如图可知圆锥的高为2，则母线长4l =，由圆锥结构特征可知：圆锥的轴过其内切球（半径设为r ）球心O ，所以过圆锥的轴截圆锥及其内切球得到的截面图如下：由上可知130BSO ∠=，故有12OG SO =，即()12r r =-，r ⇒=，将棱长为a 的正四面体补形为正方体，如图，，且该正四面体的外接球即为正方体的外接球，所以2r ===，即a =所以正四面体的表面积为2244S ===故选：C.11. 已知函数()cos (0)f x x x ωωω=->，若()f x 在区间[0,π)内有且仅有4个零点和4条对称轴，则ω的取值范围是（） A. 1125[,53B. 1125[,)36C. 1125,36⎛⎤⎥⎝⎦ D. 1125(,53【答案】C 【解析】【分析】利用辅助角公式化简函数()f x ，再结合正弦函数的零点及对称性列式求解即得.【详解】函数π()2sin()6f x x ω=-，当[0,π)x ∈时，πππ[,π)666x ωω-∈--，由()f x 在区间[0,π)内有且仅有4个零点，得π3ππ4π6ω<-≤，解得192566ω<≤，由()f x 在区间[0,π)内有且仅有4条对称轴，得7ππ9ππ262ω<-≤，解得111433ω<≤，所以ω的取值范围是112536ω<≤. 故选：C12. 已知双曲线2222:1x y T a b-=（0a >，0b >）的左右焦点分别为1F 、2F ，左右顶点分别为A 、B ，M 为OA （O 为原点）中点，P 为双曲线T 左支上一点，且112PF F F ⊥，直线2PF 的斜率为34-，Q 为12PF F △的内心，则下列说法正确的是（）A. TB. T的渐近线方程为：y x = C. PM 平分12F PF ∠ D. 211213QPF QPF QF F S S S =+△△△ 【答案】C 【解析】【分析】由题设及双曲线性质可得21||b PF a =且2c a =，即可判断A 、B ；根据角平分线性质只需判断12||||PF PF 、12||||MF MF 是否相等判断C ；设12PF F △的内切圆的半径为r ，由三角形面积公式计算即可判断D.【详解】由题设12(,0),(,0)F c F c -且0c >，又112PF F F ⊥，所以21||b PF a =，而12121||3tan tan ||4PF PF F PF x F F ∠==-∠=，故2324b ac =，由222b c a =-，则(2)(2)0c a c a +-=，故2c a =，所双曲线T 的离心率为2，故A 正确；由上可得223b a =，故C的渐近线方程为by x a=±=，B 错误；由21||3b PF a a==，则22||2||5PF a PF a =+=，故12||3||5PF PF =，而M 为OA 的中点，则13||22a a MF c =-=，25||22a aMF c =+=，故12||3||5MF MF =，由角平分线性质易知：PM 平分12F PF ∠，C 正确；设12PF F △的内切圆的半径为r ，1211||3tan ||4PF PF F F F ∠==，可得112||3,||4PF m F F m ==，由勾股定理可得2||5PF m =，所以2215||22QPF S PF r mr == ，112121111113||||32326QPF QF F S S PF r F F r mr +=+⨯= ，故D 不正确. 故选：C.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知椭圆22:154x y C +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，M 为椭圆C 上任意一点，P 为曲线22:64120E x y x y +--+=上任意一点，则2MP MF +的最小值为______.【答案】1- 【解析】【分析】求出点2F 的坐标，求出圆E 的圆心和半径，再利用圆的性质求出最小值.【详解】椭圆22:154x y C +=中，右焦点2(1,0)F ，圆22:(3)(2)1E x y -+-=的圆心(3,2)E ，半径1r =，显然椭圆C 与圆E 相离，由点P 在圆E 上，得min ||||1MP ME =-，于是222||||||1||||111MP MF ME MF EF +≥-+≥-=-=-，当且仅当,M P 分别是线段2EF 与椭圆C 、圆E 的交点时取等号，所以2MP MF +的最小值为1.故答案为：1-14. x ，y 满足约束条件10230y x y x +≥⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩，则2z x y =+的最大值为______.【答案】5 【解析】【分析】作出约束条件表示的平面区域，再利用目标函数的几何意义求出最大值.【详解】约束条件10230y x y x +≥⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩表示的平面区域，如图中阴影ABC ，其中(3,1),(3,1),(1,1)A B C --，目标函数2z x y =+，即122z y x =-+表示斜率为12-，纵截距为2z的平行直线系，画直线01:2l y x =-，平移直线0l 到直线1l ，当直线1l 经过点A 时，1l 的纵截距最大，z 最大，max 3215z =+⨯=，所以2z x y =+的最大值为5. 故答案为：515. 已知函数()f x 为偶函数，满足()()12f x f x +=-，且20x -≤≤时，()2xf x =-，若关于x 的方程()()2log 310a f x x -+=有两解，则a 的值为______. 【答案】49或1169【解析】【分析】由已知可得()f x 是以为4周期的周期函数，结合已知可作出函数()f x 的图象，关于x 的方程()2log (31)0a f x x -+=有两解，可得()y f x =与2log (31)a y x =+的图象有两个交点，数形结合可求a的值.【详解】由1(2)()f x f x +=-，可得1(4)()(2)f x f x f x +=-=+，所以()f x 是以为4周期的周期函数，又()f x 为偶函数，且()2(20)xf x x =--≤≤，故可作出函数()f x 的图象如图所示：若关于x 的方程()2log (31)0a f x x -+=有两解，则()y f x =与2log (31)a y x =+的图象有两个交点，当1a >，则2log (31)a y x =+过点(2,1)A ,所以12log (321)a =⨯+，解得49a =，当01a <<，则2log (31)a y x =+过点(4,1)B -,所以12log (341)a -=⨯+，解得1169a =，综上所述：a 的值为49或1169. 故答案为：49或1169. 16. 关于x 的不等式e ln 1(0)ax x bx x a +-≥>恒成立，则ba的最小值为__________．【答案】1- 【解析】【分析】由e ln 1(0)ax x bx x a +-≥>，得ln e ln 1(0)ax x bx x a +≥-++>，利用导数证明e 1x x ≥+，则问题转化为ln 1ln 1(0)ax x bx x a ++≥-++>恒成立，即可得解.【详解】令()e 1x f x x =--，则()e 1xf x '=-，当0x <时，()0f x '<，当0x >时，()0f x '>，所以函数()f x 在(),0∞-上单调递减，在()0,∞+上单调递增，所以()()00f x f ≥=，所以e 1x x ≥+，由e ln 1(0)ax x bx x a +-≥>，得ln e ln 1(0)ax x bx x a +≥-++>，而ln R ax x +∈，令ln 1ln 1(0)ax x bx x a ++≥-++>，则0a b +≥，所以1ba≥-，若0a b +<，如图作出函数()0,ln y ax a y x =->=的图象，由函数图象可知，方程ln 0ax x +=有唯一实数根()00,1x ∈，即00ln 0ax x +=，由e ln 1(0)ax x bx x a +-≥>，得ln e ln 1ax x bx x +≥-++，即()()ln eln 1ax xax x a b x +-+≥-+，当0x x =时，()00e 01a b x -≥-+，即()00a b x +≥，又0a b +<，()00,1x ∈，所以()00a b x +<，所以()00a b x +≥不成立，即当0a b +<时，e ln 1(0)ax x bx x a +-≥>不恒成立，综上所述，ba最小值为1-. 故答案为：1-.【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：（1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；（2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．的（3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17. 数列{}n a 满足11a =，110+++-=n n n n a a a a . （1）求数列{}n a 通项公式；（2）设cos π22n nn b a =+，求数列{}n b 的前n 项和n S . 【答案】（1）1n a n=；（2）9,24,N 71,214n nn k S k n n k *⎧=⎪⎪=∈⎨-⎪=-⎪⎩. 【解析】【分析】（1）变形给定等式，利用等差数列求出通项即得.（2）利用（1）的结论，求出n b ，按n 为奇数和偶数并结合并项求和法分别求和. 【小问1详解】数列{}n a 中，11a =，110+++-=n n n n a a a a ，显然0n a ≠，则1111n na a +-=，数列1{}na 是首项为1，公差为1的等差数列，11(1)1=+-⋅=n n n a ，所以数列{}n a 通项公式1n a n=. 【小问2详解】由（1）知，(1)22nn nb =-⋅+，当2,N n k k *=∈时，1119(1)2(1)2222n n n n n n b b ---=-⋅⋅+++-+=，99224n n nS =⋅=，是当21,N n k k *=-∈时，119(1)1712424n n n n n n S S b ++++-=-=--=，所以9,24,N 71,214n nn k S k n n k *⎧=⎪⎪=∈⎨-⎪=-⎪⎩. 18. 阅读是人类获取知识、启智增慧、培养道德的重要途径.1995年，联合国教科文组织宣布4月23日为“世界读书日”，致力于向全世界推广阅读、出版和对知识产权的保护.某学校为了打造“书香校园”，使学生养成好的阅读习惯，健康成长，从学校内随机抽取了200名学生一周的课外阅读时间进行调查，了解学生的课外阅读情况，收集了他们阅读时间（单位：小时）等数据，并将样本数据分成[]0,2，(]2,4，(]4,6，(]6,8，(]8,10，(]10,12，(]12,14，(]14,16，(]16,18九组，绘制成如图所示的频率分布直方图：（1）求a 的值及200名学生一周课外阅读时间的平均数；（2）为进一步了解这200名学生一周课外阅读时间的情况，从课外阅读时间在(]12,14，(]16,18两组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了6人，选取其中两人组成小组，现求其中两名组员全在(]12,14内的概率.【答案】（1）0.10a =，9.16小时；（2）23. 【解析】【分析】（1）利用给定的频率分布直方图，结合各小矩形面积和为1求出a ，再估计一周课外阅读时间的平均数.（2）求出指定的两组内各抽取的人数，利用列举法、结合古典概率求解即得. 【小问1详解】由频率分布直方图得：2(0.020.030.050.050.150.050.040.01)1a ++++++++=，解得0.10a =，平均数2(10.0230.0350.0570.0590.15110.10x =⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯130.05150.04170.01)9.16+⨯+⨯+⨯=（小时），所以0.10a =，200名学生一周课外阅读时间的平均数为9.16小时. 【小问2详解】在(12,14],(16,18]这两组采用分层抽样的方法抽取6人，则从课外阅读时间在(12,14]内的学生中抽取5人，记为1,2,3,4,5，课外阅读时间在(16,18]内的学生中抽取1人，记为m ，于是有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,),(2,3),(2,4),(2,5),(2,),(3,4),(3,5),(3,),(4,5),(4,),(5,)m m m m m ，共15种，且每种结果的发生是等可能的，而满足两名组员都在(12,14]内的情况有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)，共10种，所以两名组员全在(]12,14内的概率为102153=.19. 已知平行四边形ABCD 中，6AB =，AD =，且π4A ∠=.若E 为边CD 上一点，满足2DE EC =，若将三角形BCE 沿着BE 折起，使得二面角C BE A --为π3.（1）求证：DC ⊥平面BCE ；（2）求四棱锥C ABED -的体积. 【答案】（1）证明见解析；（2. 【解析】【分析】（1）在平行四边形中结合余弦定理证明,BE CE BE DE ⊥⊥，在几何体中，由二面角结合余弦定理证明DC CE ⊥，再利用线面垂直的判定推理即得.（2）在线段DE 上取一点O ，使得3DO OE =，证明OC ⊥平面ABED ，再利用锥体体积公式计算即得. 【小问1详解】在ABCD Y 中，连接BE ，6,AB AD ==，且π4A ∠=，在BCE 中，π,4C BC ∠==，又2DE EC =，则2EC =，由余弦定理得：2222cos 4BE BC CE BC CE C =+-⨯⨯=，解得2BE =，因为222BE CE BC +=，则π2BEC ∠=，即,BE CE BE DE ⊥⊥，在折叠后的几何体中，由,BE CE BE DE ⊥⊥，且,,CE DE E CE DE ⋂=⊂平面CDE ，则BE ⊥平面CDE ，又DC ⊂平面CDE ，则BE DC ⊥，由,BE CE BE DE ⊥⊥，及二面角C BE A --为π3，得DEC ∠为二面角C BE A --的平面角，即π3DEC ∠=，在DCE △中，4,2DE CE ==，由余弦定理得DC ==，于是222DC CE DE +=，则π2DCE ∠=，即DC CE ⊥，因为,,,BE DC BE CE E BE CE ⊥=⊂ 平面BCE ，所以DC ⊥平面BCE . 【小问2详解】如图，在线段DE 上取一点O ，使得3DO OE =，连接CO ，在COE 中，π1,2,3OE CE OEC ==∠=，由余弦定理得OC ==于是222OC OE CE +=，则π2COE ∠=，即OC OE ⊥，由（1）知BE ⊥平面,CDE OC ⊂平面DCE ，则OC BE ⊥，又OE BE E = ，且,OE BE ⊂平面ABED ，则OC ⊥平面ABED ，即四棱锥C ABED -的高为OC ，又1()102ABED S AB DE BE =+⋅=，则13C ABED ABED V S OC -=⋅=，所以四棱锥C ABED -. 20. 已知函数ln ()1a xf x x x=+-. （1）当1a =时，求函数()()g x f x x =-极值；（2）若对任意[)1,x ∞∈+，()1f x a ≥+恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）极大值1(e)1eg =-，无极小值；（2）(,1]-∞-. 【解析】【分析】（1）把1a =代入，并求出函数()g x ，再利用导数探讨极值即可得解.（2）变形给定不等式，证明ln x x <并分离参数，构造函数22()ln x xx x xϕ-=-，利用导数求出最小值即得.【小问1详解】函数ln ()1a xf x x x =+-的定义域为(0,)+∞，当1a =时，ln ()()1x g x f x x x =-=-，求导得21ln ()xg x x-'=，由()0g x '=，得e x =，由()0g x '>，得0e x <<，由()0g x '<，得e x >，因此()g x 在(0,e)上单调递增，在(e,)+∞上单调递减，所以()g x 在e x =处取得极大值1(e)1eg =-，无极小值. 【小问2详解】函数ln ()1a xf x x x=+-，2()1(ln )2f x a a x x x x ≥+⇔-≥-，[1,)x ∈+∞，设()ln m x x x =-，[1,)x ∈+∞，求导得1()0xm x x-'=≤，函数()m x 在[1,)+∞上单调递减，则()(1)10m x m ≤=-<，即ln x x <，因此22ln -≤-x xa x x，令22()ln x xx x xϕ-=-，[1,)x ∈+∞，求导得2(1)(22ln )()(ln )x x x x x x ϕ-+-'=-，令()22ln h x x x =+-，[1,)x ∈+∞，求导得2()1h x x'=-，当12x ≤<时，()0h x '<，当2x >时，()0h x '>，即()h x 在(1,2)上单调递减，在(2,)+∞上单调递增，则min ()(2)42ln 20h x h ==->，即()0x ϕ'≥，因此函数()ϕx 在[1,)+∞上是增函数，min ()(1)1x ϕϕ==-，所以1a ≤-，即实数a 的取值范围为(,1]-∞-.【点睛】关键点点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键.21. 已知直线(2)y k x =-过定点H ，动圆C 过点H ，且在y 轴上截得的弦长为4，设动圆圆心轨迹为曲线C .（1）求曲线C 的方程；（2）点()2,1A ，P ，Q 为C 上的两个动点，若P ，Q ，B 恰好为平行四边形PAQB 的其中三个顶点，且该平行四边形对角线的交点在2y x =上，记平行四边形PAQB 的面积为S ，求证：3S ≤. 【答案】（1）24y x =；（2）证明见解析. 【解析】【分析】（1）设出点C 的坐标，利用圆的弦长公式列式化简即得.（2）设出点,P Q 的坐标，结合给定条件，探讨直线PQ 的斜率，表示出该直线方程，再与抛物线方程联立，建立四边形PAQB 的面积S 的函数关系，利用导数求出最大值即得. 【小问1详解】设圆心C 坐标为(,),(2)x y y k x =-过定点(2,0)H =化简得24y x =，所以曲线C 的方程为24y x =.【小问2详解】显然点A 不在曲线C 上，设()()1122,,,P x y Q x y ，直线PQ 的斜率为()110k k ≠，线段PQ 的中点为T ，由平行四边形PAQB 对角线的交点在2y x =上，得线段PQ 的中点T 在直线2y x =上，设(,2)(0)T m m m ≠，显然21122244y x y x ⎧=⎨=⎩，两式相减得()()()1212124y y y y x x -+=-，又12121124,y y y y m k x x -+==-，即11k m =，设直线PQ 的方程为12()y m x m m-=-，即220x my m m -+-=，由22204,x my m m y x ⎧-+-=⎨=⎩消去x 并整理得，224840y my m m -+-=，则216160m m ∆=->，解得2121201,4,84m y y m y y m m <<+==-，则2PQ y =-==，又点A 到直线PQ的距离为d所以，2222APQ S S PQ d m m ===+ ，记t =01m <<，得1(0,2t ∈，则2)18(1,(0,2S t t t =-∈，令21()8(1,(0,)2f t t t t =-∈，求导得2()824f t t '=-，令()0f t '=，得t =，当1(0,2t ∈时，()0,()f t f t '>在区间1(0,2内单调递增，所以当12t =，即12m =时，()f t 取得最大值，即max 1(32S f ==，所以3S ≤.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：①几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；②代数法，若题目条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．（二）选考题：共10分，考生从22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.【选修4-4：坐标系与参数方程】22. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，点A 为曲线1C 上的动点，点B 在线段OA 的延长线上且满足10OA OB ⋅=，点B 的轨迹为2C .（1）求曲线1C ，2C 的极坐标方程；（2）设点M 的极坐标为2,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭，求ABM 面积的最小值. 【答案】（1）2cos ρθ=；cos 5ρθ= （2）3【解析】【分析】（1）先求得1C 的普通方程为2220x y x +-=，进而可得极坐标方程，设点A 的极坐标为1(,)ρθ，点B 的极坐标为2(,)ρθ，可得1210ρρ=，可求曲线2C 的极坐标方程为cos 5ρθ=;（2）利用1211||||2|()cos |22ABM OBM OAM B A S S S OM x x ρρθ=-=-=⨯- 可求最小值. 【小问1详解】由曲线1C 的参数方程为1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩(α为参数)，的消去参数α，可得普通方程为22(1)1x y -+=,即2220x y x +-=，将cos ,sin x y ρθρθ==代入可得曲线1C 的极坐标方程为2cos ρθ=，设点A 的极坐标为1(,)ρθ，点B 的极坐标为2(,)ρθ，因为||||10OA OB = ，又12||||OA OB ρρ= ，1210ρρ=,所以2102cos θρ=，所以2cos 5ρθ=，所以曲线2C 的极坐标方程为cos 5ρθ=; 【小问2详解】由题意，||2OM =，由图可得1211||||2|()cos |22ABM OBM OAM B A S S S OM x x ρρθ=-=-=⨯- 25|(2cos )cos ||52cos |cos θθθθ=-=-，当2cos 1θ=时，可得ABM S △的最小值为3.【选修4-5：不等式选讲】23. 已知当[]2,1x ∈--时，32x m x x -≤+-+恒成立. （1）求m 的取值范围；（2）若(),0,a b ∈+∞，m 的最大值为t ，证明：222(11()(4)a b b a ab t ++++≥+). 【答案】（1）[2,1]--；（2）证明见解析；【解析】【分析】（1）由已知化简得321x x +-+=，再解含绝对值符号的不等式即可得解. （2）由（1）的结论并变形不等式，再利用基本不等式推理论证即可. 【小问1详解】当[2,1]x ∈--时，20,30x x +≥+≥，则|||3||2|||3(2)1x m x x x m x x -≤+-+⇔-≤+-+=，依题意，11m x m -≤≤+在[2,1]--上恒成立，则1211m m -≤-⎧⎨-≤+⎩，解得21m -≤≤-，所以m 的取值范围为[2,1]--. 【小问2详解】由（1）得1t =-，,(0,)a b ∈+∞，22222)((911(11(4)11)b a a b b a ab t a a b b++++≥++++⇔+≥)显然221110,10b a a a b b ++≥>++≥>，因此22(9111)(1)b a a a b b ++++≥=，当且仅当221111b a a abb ⎧==⎪⎪⎨⎪==⎪⎩，即1a b ==时取等号，所以222(11()(4)a b b a ab t ++++≥+).。

高考模拟练习——陕西省咸阳市2022届高三下学期三模理科数学试题(含答案解析)

陕西省咸阳市2022届高三下学期三模理科数学试题试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：100分钟；命题人：xxx 注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、单选题 1．设(1i)1i x y +=+，其中i 为虚数单位，,x y 是实数，则x yi +=（） A ．1BC D ．22．已知命题:p x ∀∈R ，e 0x >，命题()0:0,1q x ∃∈，()102log 10x +>，则下列命题中为真命题的是( ) A ．()p q ∧⌝ B ．()p q ⌝∨ C ．()()p q ⌝∧⌝D ．()p q ⌝∧3．已知正项等比数列{}n a 中，22a =，534a a =，则6a =（） A ．16B ．32C ．64D ．-324．飞沫传播是新冠肺炎传播的主要途径，已知患者通过飞沫传播被感染的概率为23，假设甲、乙两人是否被飞沫感染相互独立，则甲、乙两患者至少有一人是通过飞沫传播被感染的概率为（） A ．23B ．1112 C ．34D ．895．素数也叫质数，部分素数可写成“21n -”的形式（n 是素数），法国数学家马丁·梅森就是研究素数的数学家中成就很高的一位，因此后人将“21n -”形式（n 是素数）的素数称为梅森素数.已知第20个梅森素数为442321P =-，第19个梅森素数为425321Q =-，P○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※A ．4510B ．5110C ．5610D ．59106．已知点P 是抛物线24y x =上的一个动点，则点P 到点()0,3的距离与P 到y 轴的距离之和的最小值为（） A ．1B ．3C ．2D ．13+7．由伦敦著名建筑事务所Steyn Studio 设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品．若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>下支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为2，离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为（）A ．3y x =±B ．3y =C ．y x =±D ．2y x =±8．已知sin 3cos 36ππαα⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则tan2α=（）A ．43-B ．3C ．43D 39．执行如图所示的程序框图，如果输入的x ，y R ∈，那么输出的S 的最大值为（）○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………A ．0B ．1C ．2D ．410．设(5)n x x -的展开式的各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，若240M N -=，则展开式3x 的系数为 A ．150-B ．150C ．500-D ．50011．古代勤劳而聪明的中国人，发明了非常多的计时器，其中计时沙漏制作最为简洁方便、实用，该几何体是由简单几何体组合而成的封闭容器（内装一定量的细沙），其三视图如图所示（沙漏尖端忽略不计），则该几何体的表面积为（）A ．(51)πB ．(15)π+C ．(52)πD ．(225)π+12．已知定义在R 上的可导函数()f x ，对x R ∀∈，都有()()2xf x e f x -=，当0x >时()()0f x f x '+<，若()()211211a a e f a e f a -+-≤+，则实数a 的取值范围是（）A ．[]0,2B ．(][),12,-∞-⋃+∞C ．(][),02,-∞⋃+∞D ．[]1,2-第II 卷（非选择题）○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※评卷人得分二、填空题 13．已知向量(1,2)a =，(3,)b m =，且(2)a a b ⊥-，则|2|a b -=______________． 14．观察下列不等式213122+<，221151233++<，222111712344+++<，…照此规律，第n 个不等式为______．15．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n =，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2022项和为______．评卷人得分三、双空题 16．已知集合{}001A x x =<<.给定一个函数()y f x =，定义集合{}1(),n n A y y f x x A -==∈，若1nn A A φ-=对任意的*n N ∈成立，则称该函数()y f x =具有性质“ϕ”（1）具有性质“ϕ”的一个一次函数的解析式可以是_________；（2）给出下列函数：①1y x =；②21y x =+；③cos()22y x π=+，其中具有性质“ϕ”的函数的序号是_________. 评卷人得分四、解答题 17．已知的数()213sin cos cos 2222x x x f x =-+．(1)求()f x 的单调增区间；(2)设ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若()12f A =，3a =，求ABC 外接圆的面积．18．如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是平行四边形，PBC 是边长为2的等边三角形，BD PD =．(1)证明：AB ⊥平面PBD ；(2)设E 是BP 的中点，求AB 和平面DAE 所成角的余弦值．19．2022年北京冬奥组委发布的《北京2022年冬奥会和冬残奥会经济遗产报告（2022）》显示，北京冬奥会已签约45家赞助企业，冬奥会赞助成为一项跨度时间较长的营销方式．为了解该45家赞助企业每天销售额与每天线上销售时间之间的相关关系，某平台对45家赞助企业进行跟踪调查，其中每天线上销售时间不少于8小时的企业有20家，余下的企业中，每天的销售额不足30万元的企业占3，统计后得到如下22⨯列联表：(1)请完成上面的22⨯列联表，能否有99%的把握认为赞助企业每天的销售额与每天线上销售时间有关？(2)按销售额在上述赞助企业中采用分层抽样方法抽取5家企业．在销售额不足30万元的企业中抽取时，记“抽到线上销售时间不少于8小时的企业数”为X ，求X 的分布列和数学期望．附：参考公式：()()()()()22 n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．20．已知椭圆()2222:10x y a bC a b =>>+的上顶点为A ，左右焦点分别为1F ，2F ，线段1OF ，2OF 的中点分别为1B ，2B ，且12AB B(1)求椭圆C 方程；一个动点，过点P 作直线1l ，2l 与椭圆C 都只有一个交点．试判断1l ，2l 是否垂直？并说明理由．21．设函数()()()2ln 1f x x m x m =++∈R ．(1)若1m =-，求曲线()f x 在点()()0,0f 处的切线方程；(2)若函数()f x 在区间()0,1上存在唯一零点，求实数m 的取值范围．22．在直角坐标系xOy 中，C 的圆心()1,2C ，半径为2，以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程是()4R πθρ=∈．(1)求C 的极坐标方程和直线l 的直角坐标方程； (2)若直线l 与C 相交于A 、B 两点，求线段AB 的长． 23．设函数()13f x x x =--+． (1)求不等式()2f x ≤的解集；(2)若关于x 的不等式()21f x a ≤+恒成立，求实数a 的取值范围．参考答案：1．B 【解析】【分析】先利用复数相等求得x ，y ，再利用复数的模公式求解. 【详解】因为(1i)1i x y +=+，所以1x y x =⎧⎨=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩，所以i x y +==故选：B. 2．A 【解析】【分析】先根据指数函数值域性质判断p 命题真假，根据对数函数值域判断q 命题真假，再逐项判断即可．【详解】对于指数函数y ＝e x ，x ∀∈R ，y ＞0，故p 为真命题，p ⌝为假命题；当()0,1x ∈时，()11,2x +∈，()()112122log 2,log 11,0log 1x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭+∈，故q 命题为假命题，q ⌝为真命题；故()p q ∧⌝为真命题，()p q ⌝∨为假命题，()()p q ⌝∧⌝为假命题，()p q ⌝∧为假命题．故选：A ． 3．B 【解析】【分析】通过534a a =可得公比q ，再求6a 即可. 【详解】因为正项等比数列{}n a 中，22a =，534a a =，所以2534a q a ==，解得2q ，所以44622232a a q =⋅=⨯=，故选：B. 4．D 【解析】【分析】由对立事件概率公式和独立事件的概率公式计算．【详解】记甲是通过飞沫传播被感染为事件A ，乙是通过飞沫传播被感染为事件B ， 2()()3P A P B ==，甲、乙两患者至少有一人是通过飞沫传播被感染的概率为： 2281()1()()1(1)(1)339P P AB P A P B =-=-=--⨯-=．故选：D ． 5．B 【解析】【分析】由442342532121P Q -=≈-2170，令2170＝k ，化指数式为对数式求解．【详解】解：442342532121P Q -=≈-2170．令2170＝k ，则lg 2170＝lgk ， ∴170lg 2＝lgk ，又lg 2≈0.3，∴51＝lgk ，即k ＝1051， ∴与PQ最接近的数为1051．故选B ．【点睛】本题考查有理指数幂的运算性质与对数的运算性质，考查运算能力，是基础题．6．A 【解析】【分析】利用抛物线的定义进行转化，结合图像可知当三点共线时即可得出答案．【详解】解：如图所示，设此抛物线的焦点为(1,0)F ，准线:1l x =-．过点P 作PM l ⊥，垂足为M ．则||||PM PF =，P 到y 轴的距离||1||1PM PF -=-，则点P 到点()0,3的距离与P 到y 轴的距离之和为||||1PQ PF +- 设(0,3)Q ，因此当F 、P 、Q 三点共线时，||||PF PQ +取得最小值．22(||||)||312min PF PQ QF ∴+==+=．即||||PM PQ +的最小值为2，所以则点P 到点()0,3的距离与P 到y 轴的距离之和为||||11PQ PF +-=. 故选：A .7．B 【解析】【分析】由22221(0,0)y x a b a b-=>>，设下焦点为()0,c -，渐近线方程为a y x b =±，然后根据双曲线的下焦点到渐近线的距离为2，离心率为2求得ab即可.【详解】因为22221(0,0)y x a b a b-=>>，所以下焦点为()0,c -，渐近线方程为ay x b=±，即 0ax by ±=，则下焦点到0ax by ±=的距离为2d b ===，又因为2c e a ==，解得b a =a b =所以渐近线方程为：y x = 故选：B 8．A 【解析】【分析】用和差角公式展开sin ,cos 36ππαα⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,求得tan α后再算tan2α即可.【详解】由有sin coscos sin3(cos cossin sin )3366ππππαααα-=-+,故13sin sin 22αααα=-,合并同类型有2sin αα=, 显然cos 0α≠,所以tan α=故22tan tan 21tan 14ααα===---故选A 【点睛】本题主要考查三角函数的恒等变换,包括和差角公式与二倍角公式等,属于中等题型. 9．D 【解析】【分析】画出判断条件对应的不等式组所表示的平面区域，结合图形，确定目标函数的最优解，利用程序框图的输出结果，即可求解.【详解】由题意，不等式组002x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域，如图所示，目标函数2S x y =+，可化为直线2y x S =-+，当直线2y x S =-+经过点A 时，直线在y 轴上的截距最大，此时目标函数取得最大值，又由02y x y =⎧⎨+=⎩，解得(2,0)A ，所以目标函数的最大值为max4S ，又由不等式002x y x y <⎧⎪<⎨⎪+<⎩时，根据程序框图，可得1S =，所以输出的S 的最大值为4. 故选： D.10．B 【解析】【分析】分别求出展开式的各项系数之和M 和二项式系数之和为N ，根据240M N -=求出n 的值，进而写出通项，求出展开式3x 的系数. 【详解】(5)n x x 中，令1x =得展开式的各项系数之和=4n M ，根据二项式系数和公式得二项式系数之和2n N =，240M N -=，所以42240n n ，解得4n =，4(5)5)(n x x x x =--的展开式的通项为：4442144(5)()(1)5r r rr r rr r T C x x C x---+=-=-，令4=32r -得2r =，故展开式中3x 的系数为()222415150C -⨯⨯=，故选：B. 11．D 【解析】【分析】由题意求出圆锥的母线长，从而可求出圆锥的底面积和侧面积，即可求出沙漏的表面积. 【详解】解：由题意知，该沙漏由两个形状相同的圆锥组成，圆锥底面圆半径1R =，高为2h =，则母线长2222215l h R =+=+=，则圆锥的侧面积1252S l R ππ=⋅=，圆锥底面积21S R ππ==，则圆锥表面积为()51π+，则沙漏表面积为()252π+，故选: D.12．C 【解析】【分析】令()()x g x e f x =，由已知得()()xg x e f x =在区间()0,∞+单调递减， ()g x 为偶函数，且在区间(),0∞-单调递增，由此可将不等式等价转化为211a a -≥+，求解即可. 【详解】解：令()()x g x e f x =，则当0x >时，()()()0x g x e f x f x ''=+<⎡⎤⎣⎦，所以()()xg x e f x =在区间()0,∞+单调递减，又()()()()()()2x x x xg x e f x e e f x e f x g x ---=-===，所以()g x 为偶函数，且在区间(),0∞-单调递增，又()()211211a a ef a e f a -+-≤+，即()()211g a g a -≤+，所以211a a -≥+，即()()22211a a -≥+，得0a ≤或2a ≥，故选：C.13．【解析】【分析】先根据(2)a a b ⊥-求出m 的值，再根据模长的坐标运算求解即可. 【详解】根据题意，()2=1,4a b m ---，因为(2)a a b ⊥-，所以()()(2)=11240a a b m ⋅-⨯-+⨯-=，所以72m =，所以()2=5,5a b ---，所以()2|2|5a b -=-故答案为：14．()2221112112311n n n ++++⋅⋅⋅+<++ 【解析】【分析】根据题意化简各个不等式，结合归纳推理，即可求解. 【详解】由题意，不等式可化简为：21321112211⨯++<=+，22115221123321⨯+++<=+， 22211172311234431⨯++++<=+，… 照此规律，第n 个不等式为()2221112112311n n n ++++⋅⋅⋅+<++. 故答案为：()2221112112311n n n ++++⋅⋅⋅+<++.15．20224045【解析】【分析】由1n n n a S S -=-求得21n a n =-，再由裂项相消法即可求出. 【详解】因为2n S n =，当1n =时，111a S ==，当2n ≥时，()221121n n n n a S S n n ---==--=，满足11a =，所以21n a n =-，所以()()111111212122121n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭，所以数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2022项和为1111111120221233557404340454045⎛⎫-+-+-++-=⎪⎝⎭. 故答案为：20224045. 16． 1y x =+(答案不唯一) ①② 【解析】（1）可取1y x =+，由集合的运算和函数的值域，结合新定义判断；（2）分别运用反比例函数，二次函数，余弦函数的单调性和值域，结合新定义，即可判断. 【详解】（1）可取1y x =+，由{}001A x x =<<，由{}1(),n n A y y f x x A -==∈可得{}112A y y =<<，{}223A y y =<<，……{}11n A y n y n -=-<<，{}1n A y n y n =<<+，满足1nn A A φ-=对任意的*n N ∈成立，具有性质“ϕ”；（2）①1y x=，由{}001A x x =<<，由{}1(),n n A y y f x x A -==∈可得，{}11A y y =>，{}201A x y =<<，{}31A y y =>，{}401A x y =<<，……，循环下去，满足1nn A A φ-=对任意的*n N ∈成立，具有性质“ϕ”；②21y x =+，由{}001A x x =<<，由{}1(),n n A y y f x x A -==∈可得{}112A y y =<<， {}225A y y =<<，{}3526A y y =<<，……，根据单调性得相邻两个集合不会有交集，符合1nn A A φ-=对任意的*n N ∈成立，具有性质“ϕ”；③cos 22y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，由{}001A x x =<<，由{}1(),n n A y y f x x A -==∈可得{}123A y y =<<，{}212A y y =<<，{}312A y y =<<，……，不满足1nn A A φ-=对任意的*n N ∈成立，故③不具有性质“ϕ”.故答案为：1y x =+（答案不唯一）；①② 【点睛】本题考查以新定义为背景，考查函数性质，属于中档题型，本题的关键是读懂新定义. 17．(1)()π22π,π2π33k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z(2)π 【解析】【分析】（1）先由倍角公式化简解析式，由正弦函数的性质得出()f x 的单调增区间；（2）先得出π3A =，再由正弦定理得出ABC 的外接圆半径，进而得出ABC 外接圆的面积． (1)()211πcos cos cos sin 222226x x x f x x x x ⎛⎫-+=-=- ⎪⎝⎭，令()πππ2π2π262k x k k -+≤-≤+∈Z ，解得()π22ππ2π33k x k k -+≤≤+∈Z ，故函数()f x 的单调递增区间为()π22π,π2π33k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z ．(2)由（1）可知()πsin 6f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()π1sin 62f A A ⎛⎫ ⎪⎝⎭=-=，又0πA <<，故π3A =．设ABC 的外接圆半径为R，由正弦定理可得，22sin sin 3a R A ===， ∴1R =，故ABC 的外接圆的面积为πS =．18．(1)证明见解析【解析】【分析】（1）因为PD ⊥平面ABCD ，证得PD BD ⊥，PD CD ⊥，由222BD DC BC +=，证得BD DC ⊥，进而得到AB BD ⊥，PD AB ⊥，进而证得AB ⊥平面PBD ；（2）故以点D 为坐标原点，DB 、DC 、DP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立的空间直角坐标系D xyz -，求得平面DEA 的法向量和AB ，利用向量的夹角公式，即可求解. (1)证明：因为PD ⊥平面ABCD ，且,BD CD ⊂平面ABCD ，所以PD BD ⊥，PD CD ⊥，在直角PBD △中，PB =1BD PD ==，在直角PCD 中，可得1CD =，所以222BD DC BC +=，可得BD DC ⊥，又因为四边形ABCD 为平行四边形，所以//AB CD ，所以AB BD ⊥，由于PD ⊥平面ABCD ，AB平面ABCD ，所以PD AB ⊥，又因为PD BD D ⋂=，所以AB ⊥平面PBD . (2)解：由（1）知BD DC ⊥，又由PD ⊥平面ABCD ，故以点D 为坐标原点，DB 、DC 、DP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立的空间直角坐标系D xyz -，如图所示可得()0,0,0D ，()1,1,0A -，()1,0,0B ，()0,0,1P ，因为E 是BP 的中点，所以11,0,22E ⎛⎫⎪⎝⎭，则()0,1,0AB =，(1,1,0)DA =-，11,0,22DE ⎛⎫= ⎪⎝⎭，设平面DAE 的法向量(),,n x y z =，则011022n DA x y n DE x z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取2x =，则2,2y z ==-，所以()2,2,2n =-，设直线AB 与平面DAE 所成的角为θ，其中[0,]2πθ∈，可得23sin3112AB nAB nθ⋅===⨯，所以26cos1sin3θθ=-=故直线AB与平面DAE所成角的余弦值为63．19．(1)表格见解析，有99%的把握认为赞助企业每天的销售额与每天的线上销售时间有关．(2)分布列见解析，1 3【解析】【分析】（1）由题意，得出22⨯列联表，利用公式求得29.375 6.635K=>，结合附表，即可得出结论；（2）求得样本容量与总体容量之比，求得销售额不少于30万元、销售额不足30万元的企业中应分别抽取的企业个数，得出X的可能取值为0，1，2，求得相应的概率，列出分布列，利用期望的公式，即可求解.(1)解：由题意，可得下面的22⨯列联表：销售额不少于30万元销售额不足30万元合计线上销售时间不少于8小时17 3 20线上销售时间不足8小时10 15 25 合计27 18 45根据上面的列联表得()()()()()()2224517151039.375 6.63520252718n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯===>++++⨯⨯⨯，故有99%的把握认为赞助企业每天的销售额与每天的线上销售时间有关． (2)解：企业总数为45，样本容量与总体容量之比为51459=，所以从销售额不少于30万元、销售额不足30万元的企业中应分别抽取的企业个数为3、2，则随机变量X 的可能取值为0，1，2，可得()215218C 350C 51P X ===，()11315218C C 51C 17P X ===，()23218C 12C 51P X ===，所以随机变量X 的分布列为：所以数学期望()355110125117513E X =⨯+⨯+⨯=． 20．(1)22173x y +=(2)垂直，理由见解析【解析】【分析】（1）由12AB B ,,a b c 得椭圆方程；（2）设00(,)P x y 是“基圆”上任意一点，切线斜率存在时，设经过P 与椭圆相切的直线方程为y kx m =+，其中00m y kx =-，由直线与椭圆相切，判别式0∆=得出,k m 关系，把00m y kx =-代入，利用过韦达定理得121k k =-，证得垂直，再确定切线斜率不存在时，切线也相互垂直，从而完成证明． (1)122222sin 60AB B S b c a b c ⎧==⎪⎪⎪=︒⎨⎪=+⎪⎪⎩2.a b c ⎧=⎪⎪⇒=⎨⎪=⎪⎩∴椭圆C 方程为：22173x y +=．(2)设00(,)P x y 是“基圆”上任意一点，则22220010x y a b +=+=，①当经过P 与椭圆相切的直线斜率存在时，设经过P 与椭圆相切的直线方程为y kx m =+，其中00m y kx =-，()22222,731472101,73y kx m k x kmx m x y =+⎧⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩，由0=得22730k m -+=，将00m y kx =-代入上式可得()()22200007230x k x y k y -++-=，所以220012220037177y x k k x x --===---，∴12l l ⊥． ②当经过P 与椭圆相切的直线斜率不存在时，此时P的坐标为(，例如过的切线方程是x =y =12l l ⊥，其他类似．综上可得，“基圆”上任意动点P 都可使12l l ⊥． 21．(1)y x =- (2)1,0ln 2⎛⎫-⎪⎝⎭【解析】【分析】(1)利用导数求出切线斜率，然后直接写出切线方程的公式即可求解；(2)求导，得到()222211m x x mf x x x x ++'=+=++，分类讨论m ，进而分析m 的取值不同的情况下，()f x 的是否满足在区间()0,1上存在唯一零点 (1)1m =-，∴()()2ln 1f x x x =-+．()121f x x x '=-+，()01k f ='=-．又()00f =，∴()f x 在点()()0,0f 处的切线方程为y x =-． (2)()()2ln 1f x x m x =++，()f x 的定义域为()1,-+∞，()222211m x x mf x x x x ++'=+=++，令2220x x m ++=．当24480b ac m -=-≤，即12m ≥时，()0f x '≥，()f x 在()1,-+∞上单调递增，又()00f =，∴在()0,1上无零点，不合题意；当24480b ac m -=->，即12m <时，2220x x m ++=有两根1x ，()212x x x <；当()()221210m ⨯-+⨯-+>，即102m <<时，111,2x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，21,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，此时()f x 在()2,x +∞上单调递增，又()00f =，∴在()0,1上无零点，不合题意；当0m =时()2f x x =，此时()f x 在()0,1上无零点，不合题意；当0m <时()1,1x ∈-∞-，()20,x ∈+∞，此时()f x 在()20,x 上单调递减，在()2,x +∞上单调递增，()00f =，∴()20f x <，()f x 在区间()0,1上存在唯一零点，即()10f >即可．解得1ln 2m >-．综上，若()f x 在区间()0,1上存在唯一零点，则m 的取值范围为1,0ln 2⎛⎫-⎪⎝⎭．【点睛】关键点睛：解题的关键在于，求导后得到()222211m x x mf x x x x ++'=+=++，通过令2220x x m ++=，得到m 的分类情况，分别讨论当12m ≥，102m <<，0m =，0m <时，()f x 在区间()0,1上的零点情况，进而得出满足题意时m 的范围，主要考查学生分类讨论的思想，属于难题22．(1)()()22cos 1sin 24ρθρθ-+-=，y x =【解析】【分析】（1）根据极坐标与直角坐标的互化公式，即可求得圆C 极坐标方程和直线l 的直角坐标方程；（2）将π4θ=代入圆的极坐标方程，得到210ρ-+=，求得12ρρ+=121ρρ=，进而求得线段AB 的长.(1)解：因为C 的直角坐标方程为()()22124x y -+-=，根据极坐标与直角的互化公式，可得C 的极坐标方程为()()22cos 1sin 24ρθρθ-+-=，化简得22cos 4sin 10ρρθρθ--+=，即C 的极坐标方程为22cos 4sin 10ρρθρθ--+=，又由直线l 的极坐标方程是()4R πθρ=∈，可得直线l 的直角坐标方程为y x =．(2)解：设A 、B 极坐标分别为1π,4A ρ⎛⎫ ⎪⎝⎭、2π,4B ρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，将π4θ=代入22cos 4sin 10ρρθρθ--+=，整理得210ρ-+=，所以12ρρ+=121ρρ=，所以12AB ρρ=-=23．(1)[)2,-+∞；(2)53,,22⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭. 【解析】【分析】（1）将()f x 写成分段函数，分类讨论求解绝对值不等式即可；（2）根据()f x 的分段表达式可得()f x 的最大值，再求单绝对值不等式即可.(1)()4,3,22,31,4, 1.x f x x x x <-⎧⎪=---≤<⎨⎪-≥⎩当3x <-时，42≤，无解；当31x -≤<时，222x --≤，解得21x ；当1≥x 时，42-≤，解得1≥x ；综上所述，不等式()2f x ≤的解集为[)2,-+∞．(2)根据()f x 分段函数的表达形式可知，()max 4f x =，故要满足题意，只需214a +≥，解得52a ≤-或32a ≥，即a 的取值范围为53,,22⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭．。

陕西省咸阳市高三数学模拟考试试题(三) 理

2012年咸阳市高考模拟考试试题（三）理科数学第Ⅰ卷（选择题 50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知复数z 满足(2)1z ii -=+，那么复数z 的虚部为（）A. 1B. 1-C. iD. i - 2. 已知02x M xx ⎧⎫=<⎨⎬-⎩⎭，{}2N x =，则M N （）A. ∅B. {}|04x x <≤C. {}|02x x <≤D. {}|02x x << 3. 下列四个命题中，假命题为（）A. 存在x R ∈，使lg 0x >B.存在x R ∈，使122x = C. 任意x R ∈，使20x> D. 任意x R ∈，使2310x x ++>4. 已知向量(cos ,sin )p A A = ，(cos ,sin )q B B =-，若A ，B ，C 是锐角ABC ∆的三个内角，则p 与q的夹角为（）A.锐角B. 直角C. 钝角D. 以上都不对5. 从一个棱长为1的正方体中切去一部分，得到一个几何体，其三视图如下图，则该几何体的体积为（） A.78 B. 58 C. 56 D. 346. 执行如下图所示的程序框图，则输出k 的结果是（） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12俯视图左视图第5题7. 定义运算a *()()b a b b a a b ≤⎧=⎨>⎩，则函数()x x f x e e -=*的图像是（）8. 已知数组11(,)x y ，22(,)x y ，…，1010(,)x y 满足线性回归方程 y bx a =+，则“00(,)x y 满足线性回归方程 y bx a =+”是“1210010x x x x ++⋅⋅⋅+=，1210010y y y y ++⋅⋅⋅+=”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件9. 若圆C ：222430x y x y ++-+=关于直线240ax by +-=对称，则22a b +的最小值是（）110. 如图，是中国西安世界园艺博览会某区域的绿化美化示意图，其中A 、B 、C 、D 是被划分的四个区域，现用红、黄、蓝、白4种不同颜色的花选栽，要求每个区域只能栽同一种花，允许同一颜色的花可以栽在不同的区域，但相邻的区域不能栽同一色花，则A 、D 两个区域都栽种红花的概率是（） A. 18 B. 14 C. 12 D. 34第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题：（本小题共5小题，每小题5分，共25分，将答案填写在题中的横线上） 11.在二项式3)nx的展开式中，各项系数之和为A ，各项二项式系数之和为B ，且72A B +=，则n = .12. 设()f x 是定义在R 上最小正周期为53π的函数，且在2[,)3ππ-上DABC2sin ,[,)()3cos ,[0,)x x f x x x πππ⎧∈-⎪=⎨⎪∈⎩，则16()3f π-的值为 . 13. 有一个奇数列1, 3, 5, 7, 9，…，现在进行如下分组：第一组含一个数{}1，第二组含两个数{}3,5，第三组含三个数{}7,9,11，第四组含四个数{}13,15,17,19，…，现观察猜想每组内各数之和为n a 与其组的编号数n 的关系为 .14. 设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的中心、右焦点、右顶点依次分别为O 、F 、G ，且直线2a x c =与x 轴相交于点H ，则||||FG OH 最大时椭圆的离心率为 .15. （考生注意：请在下列三道试题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评阅记分）A.（不等式选做题）若不等式1|21|||a x x-≤+对一切非零实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为 .B.（几何证明选做题）如右图，直角三角形ABC 中，90B ∠=，4AB =，以BC 为直径的圆交AC 边于点D ，2AD =，则C ∠的大小为 .C.（极坐标与参数方程选做题）若直线l的极坐标方程为cos()4πρθ-=C ：cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）上的点到直线l 的距离为d ，则d 的最大值为 . 三、解答题：（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 16. （本大题满分12分）已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0,0,02A πωϕ>><<）的图像如图所示.（1）求函数()y f x =的解析式；（2）求函数()8y f x π=+的零点.17.（本大题满分12分）已知等比数列{}n a 中，34a a -是2a 与3a -的等差中项，且112a =，1q ≠. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）已知数列{}n b 满足：112221n n a b a b a b n ++⋅⋅⋅+=-，（*n N ∈），求数列{}n b 前n 项和n S18. （本小题满分12分）如图直三棱柱111ABC A B C -中，12,AC CC AB BC ===，D 是1BA 上一点，且AD ⊥平面1A BC .（1）求证：BC ⊥平面11ABB A ；（2）在棱1BB 是否存在一点E ，使平面AEC 与平面11ABB A 的夹角等于60，若存在，试确定E 点的位置，若不存在，请说明理由.19.（本小题满分12分）某批发市场对某种商品的日销售量（单位：吨）进行统计，最近50天的统计结果如下：若以下表频率作为概率，且每天的销售量相互独立.（1）求（2）5天中该种商品恰好有2天的销售量为1.5吨的概率；（3）已知每吨该商品的销售利润为2千元，ξ表示该种商品两天销售利润的和（单位：千元），求ξ的分布列及数学期望20.（本小题满分13分）已知抛物线24x y =，过点(0,)A a （其中a 为正常数）任意作一条直线l 交抛物线C 于,M N 两点，O 为坐标原点.1C1B1ACBAD（1）求OM ON ⋅的值；（2）过,M N 分别作抛物线C 的切线12,l l ，试探求1l 与2l 的交点是否在定直线上，证明你的结论.21. （本小题满分14分）已知函数2()2f x x =，()ln (0)g x a x a =>.（1）若直线l 交()f x 的图像C 于,A B 两点，与l 平行的另一条直线1l 切图像于M ，求证：,,A M B 三点的横坐标成等差数列；（2）若不等式()()f x g x ≥恒成立，求a 的取值范围；（3）求证：444444ln 2ln 3ln 223n n e++⋅⋅⋅+<（其中e 为无理数，约为2.71828）.2012年咸阳市高考模拟考试试题（三）理科数学答案一、选择题11．3n =； 12.； 13.3n a n =； 14.12；15．A. 1322,⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；B.30 三、解答题16．解：（Ⅰ）由图知2A =, 5288T πππ⎛⎫=-=⎪⎝⎭, ∴2ω= ……………3分∴22()sin()f x x ϕ=+ 又∵2)4sin(2)8(=+=ϕππf∴sin(ϕπ+4)=1, ∴ϕπ+4=ππk 22+,ϕ=4π+2k π,(k ∈Z) ∵20πϕ<<,∴ϕ=4π∴函数的解析式为()224sin f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭……………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知：()224sin f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， ∴2222082()sin cos f x x x ππ⎛⎫+=+== ⎪⎝⎭ ……………9分 22,x k ππ=+即()24k x k Z ππ=+∈ ∴函数8()y f x π=+的零点为()24k x k Z ππ=+∈ ……………12分 17．解：(I)由已知得3423122(),a a a a q -=-=故()1q ≠ 11122n n a a ==因，所以 ……………6分(II)当1n =时111a b =，12b =因为112221n n a b a b a b n +++=-当n ≥2时112211211()n n a b a b a b n --+++=-- 两式相减得2n n a b =，得12n n b +=.()()12122n n n b n +⎧=⎪=⎨≥⎪⎩……………10分 226n n S +=-()n N *∈ ……………12分18．证明：（Ⅰ）∵⊥AD 平面BC A 1，∴BC AD ⊥.∵111C B A ABC -是直三棱柱，∴⊥1AA 平面ABC ，∴BC AA ⊥1. ∵A AA AD =⋂1，AD ⊆平面11A ABB ,1AA ⊆平面11A ABB, ∴⊥BC 平面11A ABB . ……………6分（Ⅱ） ⊥BC 平面11A ABB .∴AB BC ⊥.又BC BB AB BB ⊥⊥11,，于是可建立如图所示的空间直角坐标系xyz B -.∵ABC ∆是等腰直角三角形，且斜边2=AC ，∴2==BC AB .从而，)()()0000000,,,,,AB C设存在满足条件的点E 坐标为()()0002,,a a <<由（Ⅰ）知平面11A ABB 的法向量BC=()00, …6分令平面ACE 的法向量(),,n x y z =00n AC n AE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，00az ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩令z =(,n a a =.平面AEC 与平面11A ABB 的夹角等于60∴12cos ,n BC == ，的1a =所以当E 为棱BB 中点时平面AEC 与平面A ABB 的夹角等于60. ……………12分()40045026037703800962......E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= ……………12分20．解：(Ⅰ)设直线l 方程为y kx b =+，()()1122,,,M x y N x y24y kx a x y=+⎧⎨=⎩消去y 得2440x kx a --=，所以121244,x x k x x a +==- ()()()212121212y y kx a kx a k x x ak x x a =++=+++=2244ak ak a a -++=故212124OM ON x x y y a a =+=-+ . ……………6分（Ⅱ）12'y x =1l 方程为()2111142,x y x x x -=-整理得211124x y x x =-同理得1l 方程为212y x x =9分联立方程()()21122211241224x y x x x y x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩()()2112x x ⨯-⨯得()()1221214x x x x x x y --=，124x x y a ==- 故12l l 与的交点在定直线y a =-上. ……………13分 21．解：（Ⅰ）设切点M 的横坐标为0x ,,A B 点的横坐标分别为12,x x ；因为()4'f x x =，所以104l l k k x ==；令AB 方程为04y x x b =+2024y x y x x b⎧=⎨=+⎩消去y 得20240x x x b --=，当201680x b =+> 时 1202x x x +=，所以B M A ,,三点的横坐标成等差数列. ……………4分（Ⅱ）令x a x x g x f x F ln 2)()()(2-=-=，xa x x F -=4)('，令0'()F x =，得2ax =，所以()f x的减区间为0⎛ ⎝⎭，增区间为⎫+∞⎪⎪⎝⎭，()F x 极小值=2ln 2)(min a a a x F -=，只要02ln 2≥-aa a 即可，得e a 4≤且0a >，即](04,a e ∈. ……………10分（Ⅲ）由（Ⅱ）得x e x ln 422≥，即242ln 4ex x x ≤，所以 e n n e n e n n 2))1(1321211(2)13121(2ln 33ln 22ln 222444444<-++⨯+⨯<+++≤+++ ……………14分。

陕西咸阳市高考模拟(三)数学(理)试题(附答案)

陕西咸阳市高考模拟（三）数学（理）试题参考公式：样本数据1x ，2x ，L ，n x 的标准差球的表面积公式222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-++-L24S R π=其中x 为样本平均数其中R 表示球的半径如果事件A 、B 互斥，那么球的体积公式()()()P A B P A P B +=+ V=343R π如果事件A 、B 相互独立，那么其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B ⋅=⋅ 如果事件A 在一次实验中发生的概率是P ，那么 n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率()(1)k kn k n n p k C p p -=-（k =0，1，2，…，n ）第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知全集为实数R ，集合A ={}2|10x x -≤，B ={}|1x x <，则()R AB ∩ð= ( ) A. {}|11x x -≤≤ B. {}|11x x -≤< C. φ D. {}|1x x = 2．若复数()i m iiz -+-+=111（i 为虚数单位）为非纯虚数，则实数m 不可能．．．为 ( ) A ．0B ．1C ．-1D ．23．如果过曲线234+=-=x y P x x y 处的切线平行于直线上点，那么点P 的坐标为 ( ) A ．()1,0B ．()0,1-C ．()0,1D ．()1,0-4．将函数sin 2cos2y x x =+的图像向左平移4π个单位长度，所得图像的解析式是 ( )A ．cos 2sin 2y x x =+B ．cos 2sin 2y x x =-C ．sin 2cos 2y x x =-D ．cos sin y x x =5．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且91a ，32a ，3a 成等比数列. 若1a =3，则4S = ( ) A. 7 B. 8 C. 12 D. 166．如右图，在一个长为π，宽为2的矩形OABC 内，曲线()sin 0y x x π=≤≤与x 轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC 内随机投一点（该点落在矩形OABC 内任何一点是等可能的），则所投的点落在阴影部分的概率是 ( ) A ．1π B . 2π C. 3π D. 4π7．执行如右图所示的程序框图，若输出的n =5，则输入整数p 的最小值是（）A ．7B ．8C ．15D ．168．设α、β 为两个不同的平面，l 、m 为两条不同的直线，且l ⊂α，m ⊂β，有如下的两个命题：①若α∥β，则l∥m；②若l⊥m，则α⊥β．那么A ．①是真命题，②是假命题B ．①是假命题，②是真命题C ．①②都是真命题D ．①②都是假命题9．已知双曲线12222=-bx a x 的左焦点为F ，()()b B a A ,0,0,，当⊥时，则该双曲线的离心率e 等于 ( )A. 215+ B.1110.在平面直角坐标系中，横纵坐标均为整数的点称为格点，如果函数()f x 的图象恰好通过*()k k ∈N 个格点，则称函数()f x 为k 阶格点函数.对下列4个函数： ①()cos()2f x x π=--；②1()()3x f x =；③2()log f x x =-；④()2()235f x x π=-+. 其中是一阶格点函数的有( ) A ．①③ B. ②③ C. ③④ D. ①④第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．将答案填在题中的横线上.)11．在平面几何中，已知“正三角形内一点到三边距离之和是一个定值”，类比到空间写出你认为合适的结论： . .12．一个几何体的三视图如右图所示，其中主视图和左视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积．．．为 . 13．已知企业生产汽车甲种配件每万件要用A 原料3吨，B 原料2吨；乙种配件每万件要用A 原料1吨，B 原料3吨；甲配件每件可获利5元，乙配件每件可获利3元，现有A 原料不超过13吨，B 原料不超过18吨，利用现有原料该企业可获得的最大利润是 .14．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，若222b c a bc +=-，4AC AB ⋅=-u u u r u u u r且，则ABC ∆的面积等于．15．(考生注意：请在下列二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分.)A.（不等式选讲选做题）不等式112≤++x x 的实数解集为_________． B.（坐标系与参数方程选讲选做题）若ABC ∆的底边,2,10A B BC ∠=∠=以B 点为极点，BC 为极轴，则顶点A 的极坐标方程为________________.三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）16.（本小题满分12分）函数()()()sin 0,0,f x A x b A ωϕωϕπ=++>>≤在一个周期内，当6x π=时，y 取最小值1;当23x π=时，y 最大值3.(I)求()f x 的解析式；(II)求()f x 在区间3,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最值.17.（本小题满分12分）设S n 是正项数列}{n a 的前n 项和， 3242-+=n n n a a S ．（I ）求数列}{n a 的O主视图左视图俯视图通项公式；（II ）n n n nn b a b a b a T b +++==Λ2211,2求已知的值．18．（本小题满分12分）如图，在多面体ABCDE 中，DB ABC ⊥平面,//AEDB ,ABC ∆且是边长为2的等边三角形，1AE =，CD 与平面ABDE 所成角的正弦值为6.（I ）在线段DC 上存在一点F ，使得EF DBC ⊥面，试确定F 的位置；（II ）求二面角D EC B --的平面角的余弦值.19．(本小题满分12分)某企业准备招聘一批大学生到本单位就业，但在签约前要对他们的某项专业技能进行测试．在待测试的某一个小组中有男、女生共10人（其中女生人数多于男生人数），如果从中随机选2人参加测试，其中恰为一男一女的概率为815；（Ⅰ）求该小组中女生的人数；（Ⅱ）假设此项专业技能测试对该小组的学生而言，每个女生通过的概率均为34，每个男生通过的概率均为23；现对该小组中男生甲、男生乙和女生丙3个人进行测试，记这3人中通过测试的人数为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望.20．（本小题满分13分）已知椭圆C 的中心在坐标原点，离心率22e =，且其中一个焦点与抛物线214y x =的焦点重合．(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)过点1(,0)3S -的动直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T ，使得无论l 如何转动，以AB 为直径的圆恒过点T ，若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由．A A21. （本小题满分14分）已知函数2()ln f x x x ax =+-（Ⅰ）当3=a 时，求()x f 的单调增区间；（Ⅱ）若()x f 在(0,1)上是增函数，求a 得取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的结论下，设()()31,2≤≤-+=x a x x x g ，求函数()x g 的最小值.陕西咸阳市高考模拟（三）数学（理）试题参考答案11.正四面体(正方体)内一点到四(六)个面的距离之和是一个定值. 12.π3 13. 27万 14.3215. A.⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤23|x x B. 10cos 20+=θρ或2sin 40302θρ-=或102cos402-=θρ三、解答题：16. 解：(I)∵在一个周期内，当6x π=时，y 取最小值1;当23x π=时，y 最大值3. ∴21,2,2362T A b πππ===-=，,2T πω== ，()()sin 22f x x ϕ=++，……3分由当23x π=时，y 最大值3得()44sin 1,2332k k Z πππϕϕπ⎛⎫+=+=+∈⎪⎝⎭526k πϕπ=-，∵ϕπ≤，∴56ϕπ=- ()5sin 226f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ …………6分(II) ∵3,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， ∴75132666x πππ≤-≤ …………8分∴当32x π=时，()f x 取最大值32 ； …………10分当76x π=时，()f x 取最小值1. …………12分17. 解：（I ）当n = 1时，21111113,424a S a a ==+-又0>n a 解得a 1 = 3．当n≥2时，()()32)32(4444121211-+--+=-=-=----n n n n n n n n n a a a a S S S S a .1212224---+-=∴n n n n n a a a a a ， …………3分∴ 0)2)((11=--+--n n n n a a a a ．2011=-∴>+--n n n n a a a a Θ（2≥n ）， }{n a 数列∴是以3为首项，2为公差的等差数列．12)1(23+=-+=∴n n a n ． …………6分（II ）123252(21)2nn T n =⨯+⨯+++⋅L ．① 又因为21232(21)2(21)2n n n T n n +=⨯++-⋅++L②②－① 13212)12()222(223++++++-⨯-=n n n n T Λ …………9分112)12(2286++⋅++⨯-+-=n n n 22)12(1+-=+n n ．所以 22)12(1+⋅-=+n n n T ．…………12分18．解：（Ⅰ）取AB 的中点G ，连结CG ，则CG AB ⊥，又DB ABC ⊥平面，可得DB CG ⊥,所以ABDE CG 面⊥，所以6sin CG CDG CD ∠==，CG=3,故CD=22 222DB CD CB =-=………3分取CD 的中点为F ，BC 的中点为H,因为1//2FH BD =，1//2AE BD =，所以AEFH 为平行四边形，得//EF AH ，…………………5分AH BC AH AH BD ⊥⎫⇒⊥⎬⊥⎭平面BCD ∴EF DBC ⊥面存在F 为CD 中点，DF=2时，使得EF DBC ⊥面…6分（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系，则(1,3,0)C 、(0,0,0)B 、(2,0,1)E 、()0,0,2D ，从而BE =u u u r(2,0,1)，EC =u u u r(1,3,1)--，(2,0,1)DE =-u u u r 。

陕西省咸阳市2020年高考模拟检测理科数学试题(附参考答案)

咸阳市2020年高考模拟检测（三）数学（理科）试题一、选择题1．若集合{}1,2,3,4,5A =，集合{}04B x x =<<，则图中阴影部分表示（）A ．{}1,2,3,4B ．{}1,2,3C ．{}4,5D ．{}1,42．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，432a a =，11a =，则4S =（） A ．31B ．15C ．8D ．73．2020年春节突如其来的XGFY 在湖北爆发，一方有难八方支援，全国各地的白衣天使走上战场的第一线，某医院抽调甲、乙、丙三名医生，抽调A 、B 、C 三名护士支援武汉第一医院与第二医院，参加武汉疫情狙击战.其中选一名护士与一名医生去第一医院，其它都在第二医院工作，则医生甲和护士A 被选为第一医院工作的概率为（） A ．112B ．16C ．15D ．194．已知非零向量,a b 满足a =，且()a b b -⊥，则a 与b 的夹角为（）A ．6π B ．4πC ．3π D ．2π 5．设复数z 满足11z i -+=，z 在复平面内对应的点为(),P x y ，则点P 的轨迹方程为（） A ．()2211x y ++=B ．()2211x y -+=C ．()2211x y +-=D ．()()22111x y -++=6．“22ππα-<<”是“方程2212cos x y α-=表示双曲线”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积过程中构造在一个和谐优美的几何体.它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）.其直观图如图所示，图中四边形是体现其直观性所做的辅助线，当其正视图与侧视图完全相同时，它的正视图和俯视图分别是（）A ．,a bB ．,a cC ．,a dD ．,b d8．若数列{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，且满足：1202027a a +=，120202b b ⋅=，函数()f x 满足()()2f x f x +=-，且()x f x e =，[]0,2x ∈，则10101011101010111a a f b b ⎛⎫+= ⎪+⎝⎭（）A ．eB ．2eC ．1e -D ．9e9．函数21sin 21x xy x -=⋅+的图像大致为（） A ． B ．C ．D ．10．已知实数,x y 满足不等式组00y y x x y m ≥⎧⎪≤⎨⎪+-≤⎩，且目标函数3z x y =-的最大值为180，则实数m的值为（） A ．60B ．70C ．80D ．9011．已知抛物线2:8C y x =，点,P Q 是抛物线上任意两点，M 是PQ 的中点，且10PQ =，则M 到y轴距离的最小值为（） A ．9B ．8C ．4D ．312．已知函数()xx f x e e ax -=-+（a 为常数）有两个不同极值点，则实数a 的取值范围是（）A ．[)1,+∞B ．[)2,+∞C ．()2,+∞D ．()1,+∞二、填空题 13．若1tan 3α=，()1tan 2αβ+=，则tan β=______. 14．已知在三棱锥A BCD -中，,,AB AC AD 两两垂直，且1AB =，3AC =，22AD =，则三棱锥A BCD -外接球的表面积为______.15．现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长是a 的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为24a .类比到空间，有两个村长均为a 的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为______.16．给出以下四个命题：①数列{}n a 为等差数列的充要条件是其通项公式为n 的一次函数； ②在面积为S 的ABC △的边AB 上任取一点P ，则PBC △的面积大于4S的概率为34.③将多项式56510...n a x a x a x a ++++分解因式得()()522x x -+，则58a =.④若()0b af x dx <⎰，那么由()y f x =，x a =，x b =以及x 轴所围成的图形一定在x 轴下方.其中正确命题的序号为______.（把所有正确命题的序号都填上）三、解答题17．设,,a b c 分别为锐角ABC △内角,,A B C ()cot cot 2sin A A B C +=，4b =. （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）求ABC △面积的最大值.18．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，1F 、2F 分别是其左、右焦点，过1F 的直线l 与椭圆C 交于,A B两点，且椭圆C 的离心率为12，2AF B △的内切圆面积为π，24AF B S =△. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若247AB =时，求直线l 的方程. 19．2020年寒假，因为“新冠”疫情全体学生只能在家进行网上学习，为了研究学生网上学习的情况，某学校随机抽取120名学生对线上教学进行调查，其中男生与女生的人数之比为11:13，抽取的学生中男生有30人对线上教学满意，女生中有15名表示对线上教学不满意.（Ⅰ）完成22⨯列联表，并回答能否有99%的把握认为“对线上教学是否满意与性别有关”；（Ⅱ）从被调查的对线上教学满意的学生中，利用分层抽样抽取8名学生，再在这8名学生中抽取3名学生，作线上学习的经验介绍，求其中抽取男生的人数为ξ，求出ξ的分布列及数学期望.附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++.20．如图，在三棱锥A BCD -中，ABC △是边长为2的正三角形，ADC △是等腰直角三角形，90ADC ∠=︒，AB BD =.（Ⅰ）证明：平面ADC ⊥平面ABC ；（Ⅱ）点E 在BD 上，若平面ACE 把三棱锥A BCD -分成体积相等的两部分，求二面角A CE D --的余弦值.21．已知函数()()21212ln 2f x ax a x x =-++. （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）当0a =时，证明：()24xf x e x <--（其中e 为自然对数的底数）.22．在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为2cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 过,A B 两点，且这两点的极坐标分别为()A，2B π⎛⎫⎪⎝⎭. （Ⅰ）求C 的普通方程和l 的直角坐标方程；（Ⅱ）若M 为曲线C 上一动点，求点M 到直线l 的最小距离. 23．已知0a >，0b >，且2a b +=. （Ⅰ）若1421x a b+≥-恒成立，求x 的取值范围；（Ⅱ）证明：()22114a b a b ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭.咸阳市2020年高考模拟检测（三）数学（理科）试题参考答案一、选择题1．C 2．B 3．D 4．B 5．D 6．A 7．A 8．A 9．D 10．A 11．D 12．C 二、填空题 13．1714．15．38a16．②③ 三、解答题17．解：()cot cot 2sin A A B C +cos cos 2sin sin sin A B A C A B ⎛⎫+=⎪⎝⎭，sin cos cos sin 2sin sin sin B A B A A C A B +⎛⎫=⎪⎝⎭()sin 2sin sin sin A B A C A B +⨯=，所以有sin 2B =，又因B 为锐角，则3B π=. （Ⅱ）由（Ⅰ）可知3B π=，且有4b =，由余弦定理可得：222cos b c ac B +-，则22162a c ac ac ac ac =+-≥-=，11sin 16222ABC S ac B =≤⨯⨯=△18．解：（Ⅰ）由题可得，12c e a ==， 2AF B △的内切圆面积为π，24AF B S =△，易得2AF B △的周长为8，即48a =而222a b c =+，解得2a =，b =1c =，则椭圆C 的方程为：22143x y +=. （Ⅱ）设()11,A x y ，()22,B x y ，由（Ⅰ）可得()11,0F -，当直线l 的斜率不存在时3AB =，不符合题意，当直线l 的斜率存在时，可设():1l y k x =+，联立直线l 与椭圆C 可得：()22224384120k x k x k +++-=，2122843k x x k -+=+，212241243k x x k -=+，()2212124437k AB k +===+，解得1k =±，所以直线l 的方程为10x y -+=或10x y ++=. 19．解：（Ⅰ）()2212030152550 6.713 6.63555658040K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯这说明有99%的把握认为“对线上教学是否满意与性别有关”.（Ⅱ）依题意，从被调查中对线上教学满意的学生中，利用分层抽样抽取8名学生，其中男生3人，女生5人，抽取男生的人数ξ的取值为0,1,2,3.则()3305385028C C P C ξ===，()12353815128C C P C ξ===， ()21353815256C C P C ξ===，()3035381356C C P C ξ===. 则ξ的分布列为：所以()0123282856568E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=，即ξ的期望值为98.20．解：（Ⅰ）取AC 的中点O ，连接,OD OB ，由题设可知，ACD △是等腰直角三角形，且90ADC ∠=︒，从而AD DC =. 所以OD AC ⊥，又由于ABC △是正三角形，故BO AC ⊥. 所以DOB ∠为二面角D AC B --的平面角. 在Rt AOB △中，222BO AO AB +=，又AB BD =，而OD AO =，所以222222BO DO BO AO AB BD +=+==，故90DOB ∠=︒，所以平面ADC ⊥平面ABC . （Ⅱ）由题设及（Ⅰ）知，,,OA OB OD 两两垂直，以O 为坐标原点，OA u u u r的方向为x 轴正方向，OA 、OB 、OD 分别为x 、y 、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -.则()1,0,0A ，()B ，()1,0,0C -，()0,0,1D . 由题设知，三棱锥A BCE -的体积为三棱锥A BCD -的体积的12，从而E 到平面ABC 的距离为D 到平面AC 的距离的12，即E 为DB的中点，得10,22E ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭. 故()1,0,1CD =u u u r ，()2,0,0CA =u u u r，11,22CE ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭u u u r .设(),,n x y z =是平面ACE 的法向量，则00n CA n CE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r即20,102x x y z =⎧⎪⎨++=⎪⎩可取(0,1,n =.设m 是平面DCE的法向量，同理可取1,1m ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭.则cos ,7m n n m n m ⋅==.所以二面角A CE D --.21．解：（Ⅰ）由题意，函数()f x 的定义域为()0,+∞，()()()()()()2212122210ax a x ax x f x ax a x x x x-++--'=-++==>，当0a =时，()()20xf x x x-'=>，()020x f x '<<⇒>；()20x f x '>⇒<；当0a <时，()()()120a x x a f x x x⎛⎫-- ⎪⎝⎭'=>，()020x f x '<<⇒>；()20x f x '>⇒<；当102a <<时，()002f x x '>⇒<<或1x a >；()102f x x a'<⇒<<；当12a =时，()()00f x f x ''≥⇒≥；当12a >时，()100f x x a '>⇒><或2x >；()102f x x a'<⇒<<.综上讨论知：当0a ≤时，()f x 在()0,2上单调递增，在()2,+∞上单调递减；当102a <<时，()f x 在()0,2，1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在12,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减；当12a =时，()f x 在()0,+∞上单调递增；当12a >时，()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()2,+∞上单调递增，在1,2a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减. （Ⅱ）当0a =时，由()24xf x e x <--，只需证明ln 2xe x >+.令()()ln 20xg x e x x =-->，()1xg x e x'=-，设()00g x '=，则()000101xe x x =<<.当()00,x x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减；当()0,x x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增， ∴当0x x =时，()g x 取得唯一的极小值，也是最小值，()g x 的最小值是()0000000111ln 2ln 220x x g x e x x x e x =--=--=+->成立.故()24x f x e x <--成立.22．解：（Ⅰ）直线l的直角坐标方程为0x y +-=.曲线C 的普通方程为22143x y +=.（Ⅱ）设点()2cos M θθ，则点M 到直线l 的距离为2d==≥=. 所以点M 到直线l . 23．解：（Ⅰ）由2a b +=，得()112a b +=.故()14114141914142222b a a b a b a b a b ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥++= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝. 所以9212x ≥-. 解得，71144x -≤≤.（Ⅱ）()3311a b a b ⎛⎫++ ⎪⎝⎭ 3322b a a b a b =+++ ()3322b a a b ab a b =+++-()()2224a b ab a b ≥++=+=.。

陕西省咸阳市届高三模拟考试三模数学理试题含答案

2021年咸阳市高考模拟考试试题〔三〕理科数学第一卷〔共60分〕一、选择题：本大题共12个小题,每题5分,共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合Ax|1x3，Bx|y1AB〔〕，那么x1A．1,3B．1,3C．(1,3]D．(1,3]2.复数z2，那么〔〕1iA．z的虚部为1B．z的实部为1C．|z|2D．z的共轭复数为1i3.在区间,上随机选取一个实数x，那么事件“sinx3〕〞发生的概率为〔222A．1B．1C．1D．14364.双曲线C的方程为y2x21，那么以下说法正确的选项是〔〕49A．焦点在x轴上B．虚轴长为4C．渐近线方程为2x3y0D．离心率为13 35.函数f(x)是定义在R上的奇函数，且x0时f(x)xlog3(a6)a3，那么f(a)〔〕A．9B．6C．3D．1如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是一个几何体的三视图，那么这个几何体的体积是〔〕A．120B．60C．24D．207.的半径1，A，B，C，D上四个点，且AB AC AD，ABC面的最大〔〕A．1B．2C．3D．28.三棱PABC中，PA平面ABC，ABBC，假设AB2，BC3，PA4，三棱的外接球的外表〔〕A．13B．20C．25D．29秦九昭算法是南宋期数学家，秦九昭提出的一种多式化算法，即使在代，它依然是利用算机解决多式的最算法，其算法框如所示，假设入的a0，a1，a2，⋯，a n分0，1,2，⋯，n，假设n4，根据算法算当x 1多式的，出的果是〔〕A ．3B ．6C ．10D ．15x y 1,10.实数x ，y 满足4xy 9,给x ，y 中间插入5个数，这7个数构成以x 为首项，y3,y 为末项的等差数列，那么这7个数和的最大值为〔〕A ．49B ．63C ．21D ．4942211.函数f(x)Acos(x )〔A0，0，| |〕的局部图象如下图，那么f(x) 的图象向右平移2个单位后，得到g(x)的图象，那么g(x)的解析式为〔〕A ．g(x)2 3sinx B ．8C ．g(x)2 3cosxD ．8xg(x) 2 3sin8xg(x) 2 3cos8lnx ,x 2,f(x)m 恰有一个零点，那么实数m 的取值范12.函数f(x)x函数g(x)x 2,x2,围为〔〕A ．(0,ln2) (1,4] B ．2eC ．(,0]1D ． (,4] e1(,0) (,4)1( ,4]e第二卷〔共90分〕二、填空题〔每题5分，总分值20分，将答案填在答题纸上〕13.在ABC中，sinA:sinB:sinC 2:3:4，那么cosC．名党员干局部配到3个贫困户家去精准扶贫，每户至少去一名，共有种不同的分配方式〔用数字作答〕．15.设抛物线y22px(p0)的焦点为F，过点F且倾斜角为的直线l与抛物线相交于4A，B两点，假设以AB为直径的圆过点(p,2)，那么该抛物线的方程为．216.甲、乙、丙三人玩摸卡片游戏，现有标号为1到12的卡片共12张，每人摸4张．甲说：我摸到卡片的标号是10和12；乙说：我摸到卡片的标号是6和11；丙说：我们三人各自摸到卡片的标号之和相等．据此可判断丙摸到的编号中必有的两个是．三、解答题〔本大题共6小题，共70分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.〕17.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，B60，三边a，b，c成等比数列，且面积为43，在等比数列a b．n中，a14，公差为〔1〕求数列a n的通项公式；〔2〕数列c n满足c n16，设T n为数列c n的前n项和，求T n．anan118.如图，四边形ABCD是直角梯形，AB//DC，AB AD，且PA AB，PAD是等边三角形，AB AD2DC2，M为PB的中点．〔1〕求证：CM平面PAB；〔2〕求二面角 D PB A的余弦值．19.某校为调查高一、高二学生周日在家学习用时情况，随机抽取了高一、高二各20人，对他们的学习时间进行了统计，分别得到了高一学生学习时间〔单位：小时〕的频数分布表和高二学生学习时间的频率分布直方图．高一学生学习时间的频数分布表〔学习时间均在区间0,6内〕：学习时[0,1)[1,2)[2,3)[3,4)[4,5)5,6间频数318422高二学生学习时间的频率分布直方图：〔1〕根据高二学生学习时间的频率分布直方图估计该校高二学生学习时间的中位数；〔2〕利用分层抽样的方法，从高一学生学习时间在[2,3)，[3,4)的两组里随机抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求学习时间在[3,4)这一组中至少有1人被抽中的概率；〔3〕假设周日学习时间不少于4小时为学习投入时间较多，否那么为学习投入时间较少，依据上述样本研究学习投入时间与学生所在年级是否有关，完成22列联表，并判断是否有99%的把握认为学习投入时间多少与学生所在年级有关．年级学习投入时间较多学习投入时间较少合计高一高二合计K2n(ad bc)2，其中na bcd．(ab)(cd)(a c)(b d)P(K2k0)k020.圆(x2)2y216的圆心为M，点P是圆M上的动点，点N(2,0)，线段PN的垂直平分线交PM于G点．1〕求点G的轨迹C的方程；2〕过点T(4,0)作斜率不为0的直线l与〔1〕中的轨迹C交于A，B两点，点A关于x轴的对称点为D，连接BD交x轴于点Q，求|QT|．21.函数f(x)xlnx，g(x)a(x2x)．21f(x)g(x)对x(1,)恒成立，求a的取值范围；〔〕假设12⋯1ne对于正整数n恒成立〔其〔2〕证明：不等式11(n1)2(n1)2(n1)2中e⋯为自然对数的底数〕．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，那么按所做的第一题记分.选修4-4：坐标系与参数方程以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为1，x2cos,曲线C2的参数方程为〔为参数〕．y sin〔1〕求曲线C1的直角坐标方程和曲线C2的普通方程；〔2〕直线l：y x与曲线C1交于A，B两点，P是曲线C2上的动点，求PAB的面积的最大值．选修4-5：不等式选讲〔1〕a，b R，且|a|1，|b|1，求证：a2b21a2b2．2x的不等式|x1|2|x2|m有解，求实数m的取值范围．〔〕假设关于2021年咸阳市高考模拟考试试题〔三〕理科数学答案一、选择题1-5:CADCB6-10:BADCD11、12：BC二、填空题13.114.3615.y24x和94三、解答题17.解：〔1〕由a，b，c成等比数列得b2ac，因为S ABC431acsinB，所以b4，2所以 a n是以4为首项，以4为公差的等差数列，解得a n4n．〔2〕由〔1〕可得c n111n(n1)n ，n1T n(11)(11)⋯(11)11．223n n1n1〔1〕证明：取PA的中点为E，连接EM，ED，由题意知EM//1AB//DC，可得四边形CDEM为平行四边形，所以CM//DE．2由题可知，BA DA，BA PA，且PA ADA，AD平面PAD，PA面PAD，所以BA平面PAD，又∵DE平面PAD，∴BADE，∵PAD为正三角形，∴DE PA，又∵PA AB A，AB平面PAB，AP平面PAB，DE 平面PAB ，又DE//CM ，CM 平面PAB ．〔2〕解：由〔1〕可知BA 平面PAD ，又BA 平面ABCD ，那么平面PAD 平面ABCD ，PAD 为正三角形，因此取AD 的中点O 为坐标原点，以OD 为x 轴，在底面内过O 作AD的垂线为y 轴，OP 为z 轴，建立空间坐标系，∵ABAD 2CD 2，∴A( 1,0,0)，B(1,2,0)，C(1,1,0)，D(1,0,0)，P(0,0,3)，M(1,1,3)，22那么MC(3,0, 3)，PB ( 1,2,3)，PD (1,0,3)，22设平面PBD 的法向量为n (x,y,z)，n PB0,x2y3z0,3,3,1)，那么即可取n( n PD 0, x 3z 0,cos n,MCn MC73 7，|n| |MC|37设二面角D PB A 的大小为7．，那么cos719.解：〔1〕由图可知，学生学习时间在区间0,3内的频率为，设中位数为 x ，那么(，解得x，即该校高二学生学习时间的中位数为．〔2〕根据分层抽样，从高一学生学习时间在[2,3)中抽取4人，从高一学生学习时间在[3,4)中抽取2人，设在[3,4)1人被抽中的事件为A，那么P(A)1C23这一组中至少有P(A)14．C625〔3〕年级学习投入时间较多学习投入时间较少合计高一41620高二91120合计132740K240(411169)2，20201327所以没有99%的把握认为学习投入时间多少与学生所在年级有关．20.解：〔1〕由题意知，线段PN的垂直平分线交PM于G点，所以|GN||GP|，∴|GM||GN||GM||GP||MP|422|MN|，∴点G在以M、N为焦点，长轴长为4的椭圆上，2a4，2c22，b2a2c22，∴点G的轨迹C的方程为x2y21．42〔2〕依题意可设直线l方程为x myx2y2，4，将直线方程代入142化简得(m22)y28my120，设直线l与椭圆C的两交点为A(x1,y1)，B(x2,y2)，由64m2412(m22)0，得m26，①且y1y28m，y1y212，②m2m222因为点A关于x轴的对称点为D，那么D(x1,y1)，可设Q(x0,0)，y2y1y1y2，所以k BDx1m(y2y1)x2所以BD所在直方程y y2y1y2(xmy24)，m(y2y1)令y0，得x02my1y24(y1y2)，③y1y2把②代入③，得x01，Q点的坐(1,0)，|QT|3．21.解：〔1〕f(x)a(x2x)0，即xa(x1)，g(x)等价于xlnx lnx022h(x)lnx a(x1)xh(x)0，h'(x)1a2ax，，即x22x 2当a0，h'(x)0，h(x)在x(1,)增，又h(1)0，所以h(x)h(1)0，所以xh(x)0，即f(x)g(x)不成立；当0a2，21，x(1,2)，h'(x)0，h(x)增，a a所以h(x)h(1)0，所以xh(x)0，f(x)g(x)不成立；当a2，x(1,)，2ax0，h'(x)0，h(x)在x(1,)减，所以h(x)h(1)0，所以xh(x)0，f(x)g(x)恒成立．上所述，当f(x)g(x)x(1,)恒成立a[2,)．〔2〕由〔1〕知当a2x(1,)有lnxx1恒成立．令x1k，k1,2,3,⋯,n,有ln(1k2)k成立，(n2n)(n21)(11)ln(11)22)ln(1n2) (n2ln(1⋯1)1)(n1)(nln (11 2⋯(1n2)(1(n 2)(n 2)(n 1)1)1)(n 1 2 ⋯(n n n(n1) n 1，1)2 (n1)21)2 2(n 1)2 2(n1)2所以(1122)⋯(1n 2)e ．(n2)(1(n 1)1)(n1)22.解：〔1〕因为曲线C 1的极坐标方程为1 ，那么直角坐标方程为 x 2 y 21；x 2cos ,x 2y 2曲线C 21的参数方程为y sin〔为参数〕，那么普通方程为．4〔2〕由题意知|AB| 2，设P(2cos ,sin )，点P 到直线yx 的距离为|2cossin |，2所以S PAB1|AB|d 1 2 |2cos sin |10|sin()|10 ．22 2 2223.〔1〕证明：∵a 2b 2 1a 2b 2 a 2(b 21)(1b 2)(b 21)(a 2 1)，又a ，bR ，且|a|1，|b|1，∴a 2 1 0，b 210，∴(b 21)(a 2 1)0，即a 2b 2 1a 2b 2．〔2〕解：|x1| 2|x2| m 有解等价于m(|x 1| 2|x2|)min ，5 3x,x 1,|x1|2|x2| 3 x,1 x 2,由单调性知:|x1| 2|x2| 1，3x 5,x 2,所以m 1．陕西省咸阳市届高三模拟考试三模数学理试题含答案。

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2012年咸阳市高考模拟考试试题（三）理科数学第Ⅰ卷（选择题 50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知复数z 满足(2)1z i i -=+，那么复数z 的虚部为（） A. 1 B. 1- C. i D. i -2. 已知02x M xx ⎧⎫=<⎨⎬-⎩⎭，{}2N x =，则MN （）A. ∅B. {}|04x x <≤C. {}|02x x <≤D. {}|02x x << 3. 下列四个命题中，假命题为（）A. 存在x R ∈，使lg 0x >B.存在x R ∈，使122x = C. 任意x R ∈，使20x> D. 任意x R ∈，使2310x x ++>4. 已知向量(cos ,sin )p A A =，(cos ,sin )q B B =-，若A ，B ，C 是锐角ABC ∆的三个内角，则p 与q 的夹角为（）A.锐角B. 直角C. 钝角D. 以上都不对5. 从一个棱长为1的正方体中切去一部分，得到一个几何体，其三视图如下图，则该几何体的体积为（） A.78 B. 58 C. 56 D. 346. 执行如下图所示的程序框图，则输出k 的结果是（） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12俯视图左视图第5题7. 定义运算a *()()b a b b a a b ≤⎧=⎨>⎩，则函数()x xf x e e -=*的图像是（）8. 已知数组11(,)x y ，22(,)x y ，…，1010(,)x y 满足线性回归方程y bx a =+，则“00(,)x y 满足线性回归方程y bx a =+”是“1210010x x x x ++⋅⋅⋅+=，1210010y y y y ++⋅⋅⋅+=”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件9. 若圆C ：222430x y x y ++-+=关于直线240ax by +-=对称，则22a b +的最小值是（） A. 2B.C. D. 110. 如图，是中国西安世界园艺博览会某区域的绿化美化示意图，其中A 、B 、C 、D 是被划分的四个区域，现用红、黄、蓝、白4种不同颜色的花选栽，要求每个区域只能栽同一种花，允许同一颜色的花可以栽在不同的区域，但相邻的区域不能栽同一色花，则A 、D 两个区域都栽种红花的概率是（） A. 18 B. 14 C. 12 D. 34第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题：（本小题共5小题，每小题5分，共25分，将答案填写在题中的横线上） 11.在二项式3)nx的展开式中，各项系数之和为A ，各项二项式系数之和为B ，且72A B +=，则n = .12. 设()f x 是定义在R 上最小正周期为53π的函数，且在2[,)3ππ-上DABC2sin ,[,)()3cos ,[0,)x x f x x x πππ⎧∈-⎪=⎨⎪∈⎩，则16()3f π-的值为 . 13. 有一个奇数列1, 3, 5, 7, 9，…，现在进行如下分组：第一组含一个数{}1，第二组含两个数{}3,5，第三组含三个数{}7,9,11，第四组含四个数{}13,15,17,19，…，现观察猜想每组内各数之和为n a 与其组的编号数n 的关系为 .14. 设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的中心、右焦点、右顶点依次分别为O 、F 、G ，且直线2a x c=与x 轴相交于点H ，则||||FG OH 最大时椭圆的离心率为 .15. （考生注意：请在下列三道试题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评阅记分）A.（不等式选做题）若不等式1|21|||a x x-≤+对一切非零实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为 .B.（几何证明选做题）如右图，直角三角形ABC 中，90B ∠=，4AB =，以BC 为直径的圆交AC 边于点D ，2AD =，则C ∠的大小为 .C.（极坐标与参数方程选做题）若直线l的极坐标方程为cos()4πρθ-=，圆C ：cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）上的点到直线l 的距离为d ，则d 的最大值为 . 三、解答题：（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 16. （本大题满分12分）已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0,0,02A πωϕ>><<）的图像如图所示.（1）求函数()y f x =的解析式；（2）求函数()8y f x π=+的零点.17.（本大题满分12分）已知等比数列{}n a 中，34a a -是2a 与3a -的等差中项，且112a =，1q ≠. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）已知数列{}n b 满足：112221n n a b a b a b n ++⋅⋅⋅+=-，（*n N ∈），求数列{}n b 前n 项和n S18. （本小题满分12分）如图直三棱柱111ABC A B C -中，12,AC CC AB BC ===，D 是1BA 上一点，且AD ⊥平面1A BC .（1）求证：BC ⊥平面11ABB A ；（2）在棱1BB 是否存在一点E ，使平面AEC 与平面11ABB A 的夹角等于60，若存在，试确定E 点的位置，若不存在，请说明理由.19.（本小题满分12分）某批发市场对某种商品的日销售量（单位：吨）进行统计，最近50天的统计结果如下：若以下表频率作为概率，且每天的销售量相互独立.（1）求（2）5天中该种商品恰好有2天的销售量为1.5吨的概率；（3）已知每吨该商品的销售利润为2千元，ξ表示该种商品两天销售利润的和（单位：千元），求ξ的分布列及数学期望20.（本小题满分13分）已知抛物线24x y =，过点(0,)A a （其中a 为正常数）任意作一条直线l 交抛物线C 于,M N 两点，O 为坐标原点.1C1B1ACBAD（1）求OM ON ⋅的值；（2）过,M N 分别作抛物线C 的切线12,l l ，试探求1l 与2l 的交点是否在定直线上，证明你的结论.21. （本小题满分14分）已知函数2()2f x x =，()ln (0)g x a x a =>.（1）若直线l 交()f x 的图像C 于,A B 两点，与l 平行的另一条直线1l 切图像于M ，求证：,,A M B 三点的横坐标成等差数列；（2）若不等式()()f x g x ≥恒成立，求a 的取值范围；（3）求证：444444ln 2ln 3ln 223n n e++⋅⋅⋅+<（其中e 为无理数，约为2.71828）.2012年咸阳市高考模拟考试试题（三）理科数学答案一、选择题11．3n =； 12.2-； 13.3n a n =； 14.12；15．A. 1322,⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；B.30 ; C.1. 三、解答题16．解：（Ⅰ）由图知2A =, 5288T πππ⎛⎫=-=⎪⎝⎭, ∴2ω= ……………3分∴22()sin()f x x ϕ=+ 又∵2)4sin(2)8(=+=ϕππf∴sin(ϕπ+4)=1, ∴ϕπ+4=ππk 22+,ϕ=4π+2k π,(k ∈Z)∵20πϕ<<,∴ϕ=4π∴函数的解析式为()224sin f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭……………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知：()224sin f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， ∴2222082()sin cos f x x x ππ⎛⎫+=+== ⎪⎝⎭ ……………9分 22,x k ππ=+即()24k x k Z ππ=+∈ ∴函数8()y f x π=+的零点为()24k x k Z ππ=+∈ ……………12分 17．解：(I)由已知得3423122(),a a a a q -=-=故()1q ≠ 11122n n a a ==因，所以 ……………6分(II)当1n =时111a b =，12b =因为112221n n a b a b a b n +++=-当n ≥2时112211211()n n a b a b a b n --+++=--两式相减得2n n a b =，得12n n b +=.()()12122n n n b n +⎧=⎪=⎨≥⎪⎩ ……………10分 226n n S +=-()n N *∈ ……………12分18．证明：（Ⅰ）∵⊥AD 平面BC A 1，∴BC AD ⊥.∵111C B A ABC -是直三棱柱，∴⊥1AA 平面ABC ，∴BC AA ⊥1. ∵A AA AD =⋂1，AD ⊆平面11A ABB ,1AA ⊆平面11A ABB ,∴⊥BC 平面11A ABB . ……………6分（Ⅱ）⊥BC 平面11A A B B .∴AB BC ⊥.又BC BB AB BB ⊥⊥11,，于是可建立如图所示的空间直角坐标系xyz B -.∵ABC ∆是等腰直角三角形，且斜边2=AC ，∴2==BC AB .从而，)()()0000000,,,,,AB C设存在满足条件的点E 坐标为()()0002,,a a << 由（Ⅰ）知平面11A ABB 的法向量BC=()00, …6分令平面ACE 的法向量(),,n x y z =00n AC n AE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，020x az ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩ 令2z =得(,,n a a =.平面AEC 与平面11A ABB 的夹角等于60 ∴12cos ,n BC ==，的1a = 所以当E 为棱1BB 中点时平面AEC 与平面A ABB 的夹角等于60. ……………12分 ()505,.B ()40045026037703800962......E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= ……………12分20．解：(Ⅰ)设直线l 方程为y kx b =+，()()1122,,,M x y N x y24y kx a x y=+⎧⎨=⎩消去y 得2440x kx a --=，所以121244,x x k x x a +==- ()()()212121212y y kx a kx a k x x ak x x a =++=+++=2244ak ak a a -++=故212124OM ON x x y y a a =+=-+. ……………6分（Ⅱ）12'y x =1l 方程为()2111142,x y x x x -=-整理得211124x y x x =-同理得1l 方程为222124x y x x =-……………9分联立方程()()21122211241224x y x x x y x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩()()2112x x ⨯-⨯得()()1221214x x x x x x y --=，124x x y a ==- 故12l l 与的交点在定直线y a =-上. ……………13分 21．解：（Ⅰ）设切点M 的横坐标为0x ,,A B 点的横坐标分别为12,x x ；因为()4'f x x =，所以104l l k k x ==；令AB 方程为04y x x b =+2024y x y x x b⎧=⎨=+⎩消去y 得20240x x x b --=，当201680x b =+>时 1202x x x +=，所以B M A ,,三点的横坐标成等差数列. ……………4分（Ⅱ）令x a x x g x f x F ln 2)()()(2-=-=，x a x x F -=4)('，令0'()F x =，得2a x =，所以()f x的减区间为02,⎛ ⎝⎭，增区间为2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭，()F x 极小值=2ln2)(min a a a x F -=，只要02ln 2≥-aa a 即可，得e a 4≤且0a >，即](04,a e ∈. ……………10分（Ⅲ）由（Ⅱ）得x e x ln 422≥，即242ln 4exx x ≤，所以 e n n e n e n n 2))1(1321211(2)13121(2ln 33ln 22ln 222444444<-++⨯+⨯<+++≤+++ ……………14分。