2023届山东省潍坊市高三上学期期末数学试题(解析版)

2023届山东省潍坊市高三上学期期末数学试题一、单选题1．设全集U =R ，集合{}21A x x =-≤，{}240xB x =-≥，则集合()UAB =（ ）A ．()1,2B ．(]1,2C ．[)1,2D ．[]1,2【答案】C【分析】解不等式化简集合A ，B ，再利用补集、交集的定义计算作答. 【详解】解不等式21-≤x 得：13x ≤≤，则[1,3]A =， 解不等式240x -≥得：2x ≥，则[2,)B =+∞，(,2)UB =-∞，所以()[1,2)UAB =.故选：C2．若复数z 满足()20232i i z -=，则z =（ ）A ．12i 55-B ．12i 55--C ．12i 55-+D ．12i 55+【答案】D【分析】首先计算2023i i =-，再利用复数的除法运算求z ，再根据共轭复数的定义求解. 【详解】2023505433i i i i ⨯+===-， 所以()()()i 2i i 12i 12i 22i 2i 555z i -+--====---+， 则12i 55z =+.故选：D3．已知函数()sin ,sin ,,sin ,x x x f x x x x ≥⎧=⎨<⎩则π6f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．6π B ．12C D ．3π 【答案】B 【分析】根据ππsin 66≥再利用分段函数定义即可求得6f π⎛⎫⎪⎝⎭的值. 【详解】由题意可知，ππ1sin 662≥=，满足sin ,x x ≥所以ππ1sin 662f ⎛⎫== ⎪⎝⎭.故选：B4．若一组样本数据1x 、2x 、、n x 的平均数为10，另一组样本数据124x +、224x +、、24n x +的方差为8，则两组样本数据合并为一组样本数据后的平均数和方差分别为（ ） A ．17，54 B ．17，48 C ．15，54 D ．15，48【答案】A【分析】计算出1ni i x =∑、21ni i x =∑的值，再利用平均数和方差公式可求得合并后的新数据的平均数和方差.【详解】由题意可知，数据1x 、2x 、、n x 的平均数为10，则1110ni i x n ==∑，则110ni i x n ==∑所以，数据124x +、224x +、、24n x +的平均数为()1112244210424n ni i i i x x x n n =='=+=+=⨯+=∑∑，方差为()()()222222111114444242410104008n n n n i i i i i i i i s x x x x n x n n n n n ====⎡⎤'=+-+=-=-⨯⨯=-=⎣⎦∑∑∑∑，所以，21102ni i x n ==∑，将两组数据合并后，新数据1x 、2x 、、n x 、124x +、224x +、、24n x +的平均数为()()()1111111131243443104172222n nn n i i ii i i i i x x x x x n n n ====⎡⎤⎛⎫''=++=⨯+=+=⨯+= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭∑∑∑∑， 方差为()()222211111117241758645822n n n ni i i i i i i i s x x x x n n n ====⎡⎤⎛⎫''=-++-=-+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭∑∑∑∑ ()15102860458542n n n n=⨯-+=. 故选：A.5．宋代制酒业很发达，为了存储方便，酒缸是要一层一层堆起来的，形成堆垛，用简便的方法算出堆垛中酒缸的总数，古代称之为堆垛术.有这么一道关于“堆垛”求和的问题：将半径相等的圆球堆成一个三角垛，底层是每边为n 个圆球的三角形，向上逐层每边减少一个圆球，顶层为一个圆球，我们发现，当1n =，2，3，4时，圆球总个数分别为1，4，10，20，则5n =时，圆球总个数为（ ）A ．30B ．35C ．40D ．45【答案】B【分析】求出底层个数，加上前4层总数20即可.【详解】当1n =，2，3，4时，圆球总个数分别为1，4，10，20，所以当n =4时，每层圆球的个数分别为1，3=1+2，6=1+2+3，10=1+2+3+4， 可得，5n =时，底层有()155********+⨯++++==，故一共有201535+=个球. 故选：B6．已知正三棱锥-P ABC 的侧棱长为3，点E ，F 分别在线段PC ，BC （不包括端点）上，且EF PB ∥，90AEF ∠=︒，若点M 为三棱锥-P ABC 的外接球的球面上任意一点，则点M 到平面ABC 距离的最大值为（ ）A ．43B ．524C ．2D ．32【答案】C【分析】画出图形，结合图形辅助线，利用已知条件说明线面垂直，找出球心，建立直角三角形中相应的关系，建立等量关系，解出三棱锥外接球的半径，根据图形分析最大值即可. 【详解】取AC 的中点D ，连接,BD PD ，如图所示：在正三棱锥-P ABC 中，3PA PB PC === 所以PD AC ⊥， 下底面为等边ABC ， 所以BD AC ⊥， 由PD BD D ⋂=， 所以AC ⊥平面PBD ， 又PB ⊂平面PBD ， 所以PB AC ⊥，因为EF PB ∥，90AEF ∠=︒， 所以AE EF ⊥， 所以AE PB ⊥， 由AEAC A =，所以PB ⊥平面PAC ， 又AP ⊂平面PAC ，所以PB PA ⊥，所以90APB ∠=，所以AB BC AC ===设三棱锥的外接球球心为O ，ABC 外接圆的圆心为1O ， 连接11,,PO AO AO ，则在正三棱锥中，底面为正三角形， 所以1O 一定在BD 上，且O 一定在1PO 上， 同时1PO ⊥平面ABC ， 在ABC 中由正弦定理得：1162sin 603ABAO AO === 在1Rt PAO中，11PO==，在1Rt OAO 中，()22222111AO AO OO PO PO =+=+-，设球体的半径为R ，所以()22223212122R R R R R R =+-⇒=+-+⇒=， 所以1131122OO PO PO =-=-=， 所以三棱锥-P ABC 的外接球的球面上任意一点M 到平面ABC 距离的最大值为： 131222OO R +=+=， 故选：C.7．已知O 为坐标原点， ,A B 是抛物线24y x =上的动点，且OA OB ⊥，过点O 作OH AB ⊥，垂足为H ，下列各点中到点H 的距离为定值的是（ ） A ．()1,0 B ．()2,0C ．()1,2D ．()2,1【答案】B【分析】根据题意可设直线AB 的方程x my n =+，联立抛物线方程再利用OA OB ⊥，可得4n =，法一：可知H 在圆上运动进行判断，法二再由OH AB ⊥得出OH 的方程为y mx =-，解得2244,11m H m m -⎛⎫ ⎪++⎝⎭，代入选项逐一验证是否为定值即可得出答案. 【详解】法一：设直线AB 方程为x my n =+，221212(,),(,)44y y A y B y 联立直线和抛物线方程整理得2440y my n --=， 所以12124,4y y m y y n +==-又OA OB ⊥，即0OA OB =，所以221212044y y y y ⨯+=可得1216y y =-，即4n =； 则直线AB 4x my =+过定点D （4,0）因为OH AB ⊥，则点H 在为直径的圆上（其中圆心坐标为OD 中点（2,0）），故（2,0）到H 的距离为定值 故选：B法二：设直线AB 方程为x my n =+，221212(,),(,)44y y A y B y 联立直线和抛物线方程整理得2440y my n --=， 所以12124,4y y m y y n +==-又OA OB ⊥，即0OA OB =，所以221212044y y y y ⨯+=可得1216y y =-，即4n =； 又因为OH AB ⊥，所以OH 的方程为y mx =-，解得2244,11m H m m -⎛⎫ ⎪++⎝⎭对于A ，()1,0到点H对于B ，()2,0到点H 2=为定值；对于C ，()1,2到点H =不是定值；对于D ，()2,1到点H =不是定值. 故选：B【点睛】方法点睛：定值问题通常思路为设出直线方程，与圆锥曲线方程联立，得到两根之和，两根之积，应用设而不求的思想，进行求解；注意考虑直线方程的斜率存在和不存在的情况.8．已知定义在R 上的函数()f x 满足()01f =，对x ∀，y ∈R ，有()()()()12f xy f x f y f y x +=--+，则()()2023111i f i f i ==+∑（ ）A ．20234050B ．20242025C ．20234048D ．20232024【答案】A【分析】由已知可推得()12f =，令1y =，得出()()12f x f x x +=-.设()*,n a f n n =∈N ，则()()1221n n a n a n +-+=-+⎡⎤⎣⎦，由12a =，可得1n a n =+.又()()111112f i f i i i =-+++，代入求和即可得出结果.【详解】令0x y ==，由已知可得()()()210022f f f =-+=.令1y =，由已知可得()()()()()11122f x f x f f x f x x +=--+=-， 设()*,n a f n n =∈N ，则12n n a a n +=-，整理可得()()1221n n a n a n +-+=-+⎡⎤⎣⎦.又12a =，所以()()12210n n a n a n +-+=-+=⎡⎤⎣⎦，所以1n a n =+. 则()()()()11111111212i i f i f i a a i i i i +===-+++++，所以()()2023111111111120231233445202420254050i f i f i ==-+-+-++-=+∑. 故选：A.【点睛】方法点睛：对于抽象函数的问题，常用赋值法：赋确定值求解函数值，赋确定值及可变值可得函数关系式.二、多选题9．关于下列命题中，说法正确的是（ ） A ．已知()B ,Xn p ，若()30E X =，()20D X =，则23p =B ．数据91，72，75，85，64，92，76，78，86，79的45%分位数为78C ．已知()N 0,1ξ，若()1P p ξ>=，则()1102P p ξ-≤≤=- D ．某校三个年级，高一有400人，高二有360人.现用分层抽样的方法从全校抽取57人，已知从高一抽取了20人，则应从高三抽取19人. 【答案】BCD【分析】根据二项分布期望和方差公式可构造方程求得13p =，知A 错误；将数据按照从小到大顺序排序后，根据百分位数的估计方法直接求解知B 正确；由正态分布曲线的对称性可求得C 正确；根据分层抽样原则可计算得到高二应抽取学生数，由此可得高三数据，知D 正确. 【详解】对于A ，()B ,Xn p ，()()()30120E X np D X np p ⎧==⎪∴⎨=-=⎪⎩，213p ∴-=，解得：13p =，A 错误；对于B ，将数据从小到大排序为64，72，75，76，78，79，85，86，91，92，1045% 4.5⨯=，45%∴分位数为第5个数，即78，B 正确； 对于C ，()N 0,1ξ，()()()()11110111121222P P P P p ξξξξ∴-≤≤=->-<-=->=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，C 正确；对于D ，抽样比为20140020=，∴高二应抽取13601820⨯=人，则高三应抽取57201819--=人，D 正确. 故选：BCD.10．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 为线段1AD （包括端点）上一动点，则（ ） A ．异面直线1AD 与11A C 所成的角为60 B ．三棱锥11B PBC -的体积为定值 C ．不存在点P ，使得1AD ⊥平面PCDD ．PB PC +的最小值为3 【答案】AB【分析】证明得到11//AC AC ，求出160D AC ∠=，即可得出A 项；证明1//AD 平面11BCC B ，然后求出1111111111366P BC B BC B V AB SAB B B B C -=⨯⨯=⨯⨯⨯=，根据等积法即可求出B 项；取1AD 中点为P ，可证明1AD ⊥平面PCD ，即可说明C 项错误；将1BAD 和1CAD 展开到同一平面，当点P 为1,AD BC 交点时，PB PC +有最小值.在ABC 中，由余弦定理求出23BC =D 项错误.【详解】对于A 项，如图1，连接1,CD AC .因为11,,AD AC CD 都是正方体面对角线，所以11AD AC CD ==， 所以1ACD △是等腰三角形，所以160D AC ∠=.又11//AA CC 且11=AA CC ，所以四边形11A C CA 是平行四边形，所以11//AC AC .所以异面直线1AD 与11A C 所成的角即等于1AD 与AC 所成的角160D AC ∠=，故A 项正确；对于B 项，因为11//AB C D 且11=AB C D ，所以四边形11ABC D 是平行四边形，所以11//AD BC . 因为1BC ⊂平面11BCC B ，1AD ⊄平面11BCC B ，所以1//AD 平面11BCC B . 所以点P 到平面11BC B 的距离d 即等于点A 到平面11BCC B 的距离1AB =.111111122BC B S B B B C =⨯⨯=， 所以1111111111366P BC B BC B V AB SAB B B B C -=⨯⨯=⨯⨯⨯=，又111116P C B PBC B B V V --==是个定值，故B 项正确；对于C 项，如图2，取1AD 中点为P .因为1DA DD =，P 是1AD 中点，所以1DP AD ⊥. 又由已知可得，CD ⊥平面11ADD A ，1AD ⊂平面11ADD A ，所以1CD AD ⊥.又CD DP D =， 且CD ⊂平面PCD ，DP ⊂平面PCD ，所以1AD ⊥平面PCD ，即存在点P ，使得1AD ⊥平面PCD ，故C 项错误；对于D 项，如图3，将1BAD 和1CAD 展开到同一平面，当点P 为1,AD BC 交点时，PB PC +有最小值.因为112AD AC CD ==160D AC ∠=，又190BAD ∠=，所以150BAC ∠=.在ABC 中， 由余弦定理可得，2222cos150BC AB AC AB AC =+-⋅31221236⎛=+-⨯= ⎝⎭所以PB PC +36+D 项错误. 故选：AB.11．已知函数()()()2626a x x f x x x-+-=++-a 为实数，则（ ）A ．()f x 的图象关于2x =对称B ．若()f x 在区间[]22-,上单调递增，则0a < C ．若1a =，则()f x 的极大值为1 D ．若0a <，则()f x 的最小值为a 【答案】ACD【分析】根据题意可得函数定义域为[]2,6-，由()4()f x f x -=可得A 正确；将函数整理变形，构造函数()26226x x g x x x+-=++-求导可得其单调性，再利用函数单调性即可判断B 错误；当1a =，由()f x 的单调性可知()f x 在2x =处取得极大值为1，即C 正确；若0a <，同理可得()f x 的最小值为a ，所以D 正确；即可得出正确选项.【详解】由题意可知，函数()f x 的定义域为[]2,6-， 则[]42,6x -∈-，所以()()()()()622646226a x x a x x f x x x x x-----+--==-++++-可得对于[]()2,6,4()x f x f x ∀∈--=，所以()f x 的图象关于2x =对称，即A 正确；由()f x =()f x a ⎫==⎝ 令()g x，[]2,6x ∈-，()()212124g x '=⎛⎫ ⎪=+⎪⎪⎝⎭令()0g x '=，得2x =，当[]2,2x ∈-时，()0g x '>，函数()g x 为单调递增； 当[]2,6x ∈时，()0g x '<，函数()g x 为单调递减；根据函数单调性可知，若()f x 在区间[]22-,上单调递增，则0a >，故B 错误；当1a =，则()()f g x x ==所以()f x 在2x =处取得极大值()2211f =-=， 即()f x 的极大值为1，故C 正确；若0a <，根据函数单调性可知()f x 在区间[]22-,上单调递减，[]2,6上单调递增； 所以()f x在2x =处取得极小值，也是最小值，由()f x a ⎫=⎝得，()22(1)f a a =-=， 所以0a <，则()f x 的最小值为a ，即D 正确； 故选：ACD【点睛】关键点点睛：本题关键在于通过观察函数特征，将函数()f x 改写成()f x a ⎫=⎝，再通过构造函数()g x ，结合参数a 的正负利用导数研究函数()f x 的单调性和极值即可.12．若数列{}n a 满足21321111222n n a a a a a a --<-<<-<，则称数列{}n a 为“差半递增”数列，则（ ）A ．正项递增数列均为“差半递增”数列B ．若数列{}n a 的通项公式为()1nn a q q =>，则数列{}n a 为“差半递增”数列C ．若数列{}n a 为公差大于0的等差数列，则数列{}n a 为“差半递增”数列D ．若数列{}n a 为“差半递增”数列，其前n 项和为n S ，且满足122n n n S a t +=--，则实数t 的取值范围为32,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【答案】BCD【分析】利用数列1,4,5作为反例可判断A 选项，利用作差法结合等比数列的通项公式比较得111122n n n n a a a a -+-<-可说明B 选项，利用作差法结合等差数列的通项公式比较得111122n n nn a a a a +-⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可说明C 选项，根据,n n a S 的关系求出数列{}n a 通项公式，再根据“差半递增”数列的定义列出不等式可求t 的取值范围,从而判断D 选项. 【详解】对于A ，假设一个正项递增数列为：1,4,5， 则174,52322-=-=，则732>，不满足“差半递增”数列，A 错误； 对于B ，因为()1nn a q q =>，所以11111111,,2222n n n n n n n n a a q q a a q q -+-+-=--=-11121111111(231)22222n n n n n n n n n a a a a q q q q q q q +--+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫---=---=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 因为1q >，所以函数2231y q q =-+单调递增，所以当2310y >-+=，即111122n n n n a a a a +-⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立，所以数列{}n a 为“差半递增”数列，B 正确；对于C ，设公差0d >，1(1)n a a n d =+-，11(2)n a n d a -=+-，11n a a nd +=+，所以111111111,2222222n n n n a d a a a nd a a nd -+-=+-=++，所以111122n n n n a a a a +-⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，数列{}n a 为“差半递增”数列，C 正确；对于D ，因为122n n n S a t +=--，所以11124S t a a ==--，所以14a t =+，当2n ≥时，11222n n n n n n a S S a a --=-=--，所以122nn n a a --=，所以11122n n n n a a ---=， 所以数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，公差为1，所以11(1)1222n na a n n t =+-=++， 所以12(1)2nn a n t =++，所以对任意,2n n *∈≥N ，111122n n n n a a a a +-⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即111111112(2)2(1)2(1)2()222222n n n n n t n t n t n t +-++-⋅++>++-⋅+，所以11118(2)2(1)4(1)()2222n t n t n t n t ++-++>++-+，所以6203n t -->，因为,2n n *∈≥N , 所以当2n =时6203n --有最大值为323-， 所以323t >-，D 正确； 故选:BCD.三、填空题13．如图所示，A ，B ，C ，D 是正弦函数sin y x =图象上四个点，且在A ，C 两点函数值最大，在B ，D 两点函数值最小，则()()OA OB OC OD +⋅+=______.【答案】212π【分析】由图象得出各点的坐标，进而表示出向量，根据向量以及数量积的坐标运算即可得出答案. 【详解】由图象结合正弦函数可得，π,12A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，3π,12B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，5π,12C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，7π,12D ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以π,12OA ⎛⎫= ⎪⎝⎭，3π,12OB ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，5π,12OC ⎛⎫= ⎪⎝⎭，7π,12OD ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以()2π,0OA OB +=，()6π,0OC OD +=，所以()()22π6π12πOA OB OC OD +⋅+=⨯=.故答案为：212π.14．已知函数()3sin 4cos f x x x =+，且()()f x f θ≤对任意x ∈R 恒成立，若角θ的终边经过点()4,P m ，则m =______.【答案】3【分析】由辅助角公式得θ表达式，后可得答案. 【详解】()()3sin 4cos 5sin f x x x x ϕ=+=+，其中4tan 3ϕ=，π0,2ϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 则()()ππ52πZ 2πZ 22，，f x f k k k k ≤=⇒+=+∈⇒=-+∈θθϕθϕ， 则1324πtan tan tan θφφ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭，则3344m m =⇒=.故答案为：315．写出一个同时满足下列三个性质的函数()f x =______.①()f x 是奇函数；②()f x 在()2,+∞单调递增；③()f x 有且仅有3个零点. 【答案】()()11x x x +-（答案不唯一）【分析】根据奇函数图像关于原点对称，若函数有且仅有3个零点则原点两侧各有一个，再保证()2,+∞单调递增即可写出解析式.【详解】由()f x 是奇函数，不妨取()00f =，且函数图象关于原点对称； 又()f x 有且仅有3个零点，所以原点两侧各有一个零点，且关于原点对称， 若保证()f x 在()2,+∞单调递增，显然()()()11f x x x x =+-满足. 故答案为：()()11x x x +-（答案不唯一）16．设双曲线()2222:10x y C a b a b-=>>的右顶点为A ，过点A 且斜率为2的直线与C 的两条渐近线分别交于点P ，Q .若线段PQ 的中点为M ，AM =，则C 的离心率e =______.【分析】根据题意可得出直线方程，与渐近线方程联立解得交点P ，Q 的坐标，再根据中点坐标公式求出32222242,44a ab M a b a b ⎛⎫ ⎪--⎝⎭，由直线斜率为2以及AM =利用余弦定理解得2285a OM =，再利用两点间距离公式可得关于,a b 的方程，解得223b a ⎛⎫= ⎪⎝⎭即可求得离心率.【详解】由题意可知(,0)A a ，双曲线的两条渐近线方程为b y x a=±过点A 且斜率为2的直线方程为2()y x a =-， 不妨设直线2()y x a =-与渐近线by x a=交于点P ，与渐近线b y x a =-交于点Q ，如下图所示：联立2()y x a b y x a =-⎧⎪⎨=⎪⎩可得222,22a ab P a b a b ⎛⎫ ⎪--⎝⎭， 同理得222,22a ab Q a b a b ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，所以PQ 的中点M 为32222242,44a ab a b a b ⎛⎫ ⎪--⎝⎭设过点A 且斜率为2的直线的倾斜角为α，即tan 2α=，可得5cos α= 所以5cos cos OAM α∠=-= 由余弦定理可得222282cos 5a OM OA AM OA AM OAM =+-⨯⨯⨯∠= 即223222222428445a ab a a b a b ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，整理可得42316120b b a a ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即223260b b a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+= ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得223b a ⎛⎫= ⎪⎝⎭或26b a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（舍） 所以双曲线离心率为2225151133c b e a a ==++15【点睛】关键点点睛：求解本题离心率问题时，关键是联立直线与渐近线方程解得交点P ，Q 的坐标得出中点M 的坐标，再利用斜率以及AM 由余弦定理找出等量关系，建立关于,a b 的方程，即可求得离心率.四、解答题17．已知正项数列{}n a 满足11a =，()()212252*n n n n a a a a n ++=++∈N .(1)证明：数列{}1n a +是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式； (2)设()()41log 1nn n b a =-+，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T .【答案】(1)证明见解析，*21,nn a n -∈=N(2)1,44n n n T n n --⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数，为偶数【分析】（1）根据递推公式将其分解整理可得121n n a a +=+，两边同时加1即可证明数列{}1n a +是等比数列，根据等比数列通项公式即可求出数列{}n a 的通项公式；（2）由（1）可写出()12nn nb =-⋅，分别对n 是奇数和偶数两种情况进行分类讨论即可求得结果. 【详解】（1）将等式右边分解得()()()12212n n n n a a a a ++=++， 因为已知0n a >，所以121n n a a +=+， 所以()1121n n a a ++=+，所以数列{}1n a +是首项为112a +=，公比为2的等比数列， 所以111(1)22n n n a a -+=+⋅=，即21nn a =-.所以数列{}n a 的通项公式为*21,nn a n -∈=N（2）结合（1）知()()41log 212n n nn n b =-=-⋅，所以当n 为偶数时，12341111222222224n n n T n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++-+++-+=⋅= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 当n 为奇数时，12342111122222222224n n n n n nn T ---+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++-+++-+-=⋅-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 所以数列{}n b 的前项和1,44n n n T n n --⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数，为偶数 18．在锐角三角形ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()()cos sin cos sin C A B B C A -=-.(1)求tan A 的最小值；(2)若tan 2A =，a =c .【答案】(2)c =或【分析】（1）利用两角差的正弦公式展开整理可得2cos cos cos C B A =，再利用三角形内角关系化简得tan tan 3B C =，由锐角三角形ABC 可知，利用两角和的正切公式和基本不等式即可求得tan A 的最小值；（2）根据tan 2A =可求得tan 1C =或tan 3C =，即可求出角C 的正弦值，再由a =弦定理即可求得c .【详解】（1）由已知得()()cos sin cos cos sin cos sin cos cos sin C A B A B B C A C A -=-， 整理得2cos sin cos cos sin C A B A A =， 因为sin 0A >，所以2cos cos cos C B A =，又因为()cos cos cos cos sin sin A B C B C B C =-+=-+， 所以sin sin 3cos cos B C C B =， 可得tan tan 3B C =，()tan tan tan tantan tan tan tan 12B C B CA B C B C ++=-+==-当且仅当tan tan B C == 故tan A（2）由（1）知tan 2A =，所以tan tan 4B C +=， 又因为tan tan 3B C =，所以tan 1C =或tan 3C =，8分当tan 1C =时，sin C =，由正弦定理得sin sin a c C A ==当tan 3C =时，sin C =sin sin a c C A ==综上，c =或19．一个不透明箱子中有除颜色外其它都相同的四个小球，其中两个红球两个白球的概率为23，三个红球一个白球的概率为13.(1)从箱子中随机抽取一个小球，求抽到红球的概率；(2)现从箱子中随机一次性抽取两个或三个小球，已知抽到两个小球的概率为34，抽到三个小球的概率为14，所抽到的小球中，每个红球记2分，每个白球记1-分，用X 表示抽到的小球分数之和，求X 的分布列及数学期望.【答案】(1)712(2)分布列见解析，()2716E X =【分析】（1）根据离散型随机变量的性质结合条件概率求解即可；（2）由题意先找出随机变量X 的值，分别求出各自的概率，列出分布列，求出数学期望.【详解】（1）记事件A 表示“抽取一个小球且为红球”，1B 表示“箱子中小球为两红两白”，2B 表示“箱子中小球为三红一白”，则112221137()()(|)()(|)323412P A P B P A B P B P A B =⋅+⋅=⨯+⨯=.（2）由题意得X 的取值可以为2-，0，1，3，4，6，()2311234612P X =-=⨯⨯=，()2111034212P X ==⨯⨯=，()23213111134334224P X ==⨯⨯+⨯⨯=，()2111137334234448P X ==⨯⨯+⨯⨯=，()2311315434634224P X ==⨯⨯+⨯⨯=，()1111634448P X ==⨯⨯=.随机变量X 的分布列为：所以X 的分布列及数学期望为：()()11117512720134612122448244816E X =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 20．已知三棱台111A B C ABC -中，1AA ⊥底面ABC ，2AB AC ==，1111AA A B ==，111AB AC ⊥，E ，F 分别是BC ，1BB 的中点，D 是棱11A C 上的点.(1)求证：1AB DE ⊥；(2)若D 是线段11A C 的中点，平面DEF 与11A B 的交点记为M ，求二面角M AC B --的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)21313【分析】（1）利用1AA ⊥底面ABC ，111AB AC ⊥以及棱台的几何特征即可证明AC ⊥平面11AA B B ，再利用线面垂直的判定定理证明1AB ⊥平面1A DEG 即可得出结论；（2）首先由几何关系确定M 的位置，即123A M =，再建立空间直角坐标系利用空间向量即可求得面角M ACB --的余弦值. 【详解】（1）如图所示：取线段AB 的中点G ，连接1A G ，EG ，易得1DA EG ∥，所以E ，G ，1A ，D 四点共面. 因为111AB AC ⊥，11AC AC ∥，所以1AB AC ⊥，又因为1AA ⊥底面ABC ，AC ⊂平面ABC ， 所以1AA AC ⊥，因为1AB AA A ⋂=，AB ⊂平面11AA B B ，1AA ⊂平面11AA B B ， 所以AC ⊥平面11AA B B ，因为E ，G 分别是BC ，BA 的中点，所以EG AC ∥，所以EG ⊥平面11AA B B ，因为1AB ⊂平面11AA B B ，所以1AB EG ⊥ 因为1111AA A B AG ===，11A B AG ∥，又因为1AA AG ⊥，所以四边形11AA B G 是正方形，所以11AB AG ⊥， 又因为1EGAG G =，EG ⊂平面1A DEG ，1AG ⊂平面1A DEG ； 所以1AB ⊥平面1A DEG ，因为DE ⊂平面1A DEG ，所以1AB DE ⊥. （2）延长EF 与11C B 相交于点Q ，连接DQ ，则DQ 与11A B 的交点即为M . 由F ，E 分别为1BB 和BC 的中点知M 为线段11A B 的三等分点，且123A M =， 由（1）知AC AB ⊥，所以AC 、AB 、1AA 两两垂直，以点A 为原点，AC 所在的直线为x 轴，AB 所在的直线为y 轴，1AA 所在的直线为z 轴建立空间直角坐标系A xyz -.()2,0,0C ，20,,13M ⎛⎫⎪⎝⎭，()2,0,0AC =，20,,13AM ⎛⎫= ⎪⎝⎭，设平面MAC 的法向量()1,,n a b c =，则20203a b c =⎧⎪⎨+=⎪⎩取3b =-，则()10,3,2n =-易得平面ABC 的一个法向量()20,0,1n =， 设二面角M AC B --为θ，由图易知θ为锐角，所以12122cos 13n n n n θ⋅===⋅， 所以二面角M AC B --21．已知椭圆()2222:10xy C a b a b+=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，焦距为12Q ⎫-⎪⎭在C上.(1)P 是C 上一动点，求12PF PF ⋅的范围；(2)过C 的右焦点2F ，且斜率不为零的直线l 交C 于M ，N 两点，求1F MN △的内切圆面积的最大值. 【答案】(1)[]2,1-(2)π4【分析】(1)结合焦距及点Q 坐标，求得椭圆C 的方程：2214x y +=，设点(),P x y ，得212324PF PF x ⋅=-，结合椭圆有界性解得范围即可；(2)设直线l的方程为x my =+联立椭圆方程结合韦达定理得12y y +，12y y ，利用等面积法求解内切圆半径，进而求得内切圆面积.【详解】（1）由题意知c =223a b =+.将点12Q ⎫-⎪⎭代入222213x y b b +=+，解得1b =，所以椭圆C 的方程为：2214x y +=. 设点(),P x y，则())222123,,324PF PF x y x y x y x ⋅=--⋅-=-+=-.又因为[]2,2x ∈-，所以12PF PF ⋅的范围是[]2,1-.（2）依题意可设直线l的方程为x my =()11,M x y ，()22,N x y .联立221,4x my x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩得22111044m y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭. 所以12y y +=12214yy m =-+，所以11212F MNS y y =⨯-==△又因为()()()()222222222111191241619161m m m mm mm ++==≤+++++++++，当且仅当m =.所以12F MN S ≤△. 又因为三角形内切圆半径r 满足1112241482F MNF MNF MNSSr L a==≤=. 所以1F MN △的内切圆面积的最大值为π4.22．已知函数()()2e cos ln 1xf x ax x x =---+.(1)若1a =，求证；函数()f x 的图象与x 轴相切于原点；(2)若函数()f x 在区间()1,0-，()0,∞+各恰有一个极值点，求实数a 的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2)3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【分析】（1）当1a =时，()()2e cos ln 1xf x x x x =---+，得到()00f =，求导后得到()00f '=，故()f x 在点()()0,0f 处的切线方程为0y =，证毕；（2）先证明出e 1x x ≥-，当且仅当0x =时，等号成立，三次求导后，结合第三次求导后的函数单调性及()032h a =-，分32a ≤和32a >两种情况，结合零点存在性定理进行求解，得到实数a 的取值范围.【详解】（1）证明：因为1a =，()()2e cos ln 1x f x x x x =---+，()00f =；又()1e 2sin 1xf x x x x '=-+-+， 所以()00f '=，所以在点()()0,0f 处的切线方程为0y =， 所以函数()f x 的图象与x 轴相切于坐标原点. （2）先证明不等式e 1x x ≥+恒成立，令()e 1xx x ϕ=--，则()e 1x x ϕ'=-，当0x >时，()0x ϕ'>，当0x <时，()0x ϕ'<， 故()e 1xx x ϕ=--在0x =处取得极小值，也是最小值，故()()00x ϕϕ≥=，所以e 1x x ≥-，当且仅当0x =时，等号成立，()1e 2sin 1x f x ax x x '=-+-+，令()()g x f x '=， ()()21e 2cos 1x g x a x x '=-+++，令()()h x g x '=，()()32e sin 1xh x x x '=--+，当()1,0x ∈-时，()()32e sin 1sin 2sin 101xh x x x x x '=--<--=--<+，故()h x 在()1,0-上为减函数，因为()032h a =-，所以当320a -≥， 即32a ≤时，()0h x ≥， 所以()g x 为增函数，故()()00g x g <=，所以()f x 为减函数，故函数()f x 在()1,0x ∈-无极值点； 当32a >时，当()1,0x ∈-，因为()g x '为减函数，()0320g a '=-<，111e 2cos 12e cos 10g a a --⎛⎛⎛'-=-+-+=+-+> ⎝⎝⎝，故必存在()01,0x ∈-，使得()00g x '=，当()01,x x ∈-时，()0g x '>，()g x 为增函数，当()0,0x x ∈时，()0g x '<，()g x 为减函数，而()00f '=，故()00f x '>，又因为2112e 2221211e 2sin 1e e e e a a a a a a f a -+⎛⎫⎛⎫'-+=+-+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()22111112e e 22222122eesin 11e sin 1e 0e e e aa aaa a a a a a -+-+⎛⎫⎛⎫=-+-+-+<-+-+-+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以必存在()01,m x ∈-，()0f m '=，且当()1,x m ∈-，()0f x '<，()f x 为减函数， 当(),0x m ∈，0fx，()f x 为增函数，故()f x 在区间()1,0-上有一个极小值点m ，令()()()32e sin 1xt x h x x x '==--+，因为()()46e cos 01xt x x x '=-+>+，所以()h x '在()0,∞+上单调递增，又因为()00h '<，()10h '>，所以总存在()10,1x ∈使()10h x '=，且当()10,x x ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减，()1,x x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增，当()0,x ∈+∞，()0320h a =-<，且()()()()()222112e 2cos 21cos 202121ah a a a a a a =-++>++>++，故必存在()20,x ∈+∞，使得()20g x '=，()20,x x ∈，()0g x '<，()f x '为减函数，()2,x x ∈+∞，()0g x '>，()f x '为增函数，因为()00f '=，所以当()20,x x ∈，()0f x '<，即()20f x '<，又因为()()()()4422114e 8sin 418sin 44141a f a a a a a a a a '=-+->+-+-++ ()42312441sin 4041a a a a a a =-++++->+， 故存在()2,n x ∈+∞，使得()0f n '=， 且当()2,x x n ∈，()0f x '<，()f x 为减函数， 当(),x n ∈+∞，0fx，()f x 为增函数，故()f x 在区间()0,∞+有一个极小值点n ，所以若函数()f x 在区间()1,0-，()0,∞+各恰有一个极值点，综上：实数a的取值范围是3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.【点睛】隐零点的处理思路：第一步：用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，其中难点是通过合理赋值，敏锐捕捉零点存在的区间，有时还需结合函数单调性明确零点的个数；第二步：虚设零点并确定取范围，抓住零点方程实施代换，如指数与对数互换，超越函数与简单函数的替换，利用同构思想等解决，需要注意的是，代换可能不止一次.。