角平分线与平行线

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专题一 角平分线与平行线一、教学目标:1、知识与技能：使学生掌握角平分线与平行线结合应用时，等量间的迁移关系。

2、过程与方法:培养学生观察图形，研究问题的能力,掌握等量代换的技巧。

3、情感态度与价值观：渗透分类讨论的思想,指导相应的学习方法，使学生不仅学会数学,而且会学数学。

二、教学重点、难点：1、教学重点：综合掌握角平分线和平行线间的关系.2、教学难点:等量关系的确定。

三、教学方法：引导发现、练习提高 四、教学手段:多媒体电脑、黑板 五、具体内容： （一）复习引入例1 如图1, 已知△ABC 中,∠BAC 的外角∠EAC 的平分线交BC 延长线于D ．求证：。

设计思想:融合平行、相似、角平分线.分析:从问题来看，本题需要证明的是一个比例式,显然要与三角形“相似"挂钩,构造相似的方法可以过点C 作AD 的平行线,这样既可以有相似,又可以使“平行”、“角平分线”结合起来，构成等量关系.DC BDAC AB证明思路:过点C 作CF ∥AD 交AB 于F , 可证明AF =AC 。

由△BFC ∽△BAD得。

经等量代换得. 即。

点拨：这道题辅助线的添加是个关键，需要联系着相似和平分线两个角度来构造等腰三角形.例2 （09抚顺）已知：如图所示，直线与的平分线交于点，过点C 作一条直线与两条直线分别相交于点．（1）如图1所示，当直线与直线垂直时，猜想线段之间的数量关系,请直接写出结论，不用证明； (2）如图2所示，当直线与直线不垂直且交点都在的同侧时，(1）中的结论是否成立?如果成立,请证明：如果不成立，请说明理由； (3）当直线与直线不垂直且交点在的异侧时，（1）中的结论是否仍然成立?如果成立，请说明理由；如果不成立，那么线段AD 、BE 、AB 之间还存在某种数量关系吗？如果存在，请直接写出它们之间的数量关系．设计思想：这道题会用到“平行线间同旁内角角平分线形成夹角为90°”,这是关于角平分线非常普遍的应用环境之一。

BD BCBA BF =BD DCAB AC =DC BDAC AB =MA N BM AB ∠∥，N B A ∠C l MA NB 、D E 、l MA AD BE A B 、、lMA DE 、AB lMA DE 、AB NM M N M NNM D CClCE CD AE BBABAl BA 图2图1备用备用解：(1) （2)成立．分析一:直接找三条线段的关系并不好找,我们的间接手段有两个：一是截长，将三段转化为四段,确定一对等量，证明另一对等量；二是补短,将三段转化为两段,证明等量.在这道题目当中,采取截长的方法即可证明全等.解法思路一：如图2-1,在上截取，连接． 现证明△ADC ≌AGC 。

.再证。

. .. 。

分析二：这道题也可以受第(1）问的启发,构造角平分线上点向角两边的垂线段，以利用角平分线的性质得线段的等量关系。

解法思路二：如图2-2,过点C 作直线，垂足为点F ,交于点G ．作，垂足为点．由（1）得. 由, 得CF=CH=CG.. 。

.分析三:有“角平分线”“平行线”的时候，我们还可以构造等腰三角形.为了制造内错角,延长BC 交AM 于F 就可以了,在这个图形中,既可以得到△ABF 是等腰三角形，又可以在△ABFAD BE A B +=AD BE A B 、、AB AG A D =CG 56∴∠=∠6790∠+∠=°5890∴∠+∠=°78∴∠=∠B G C B E C ∴△≌△B GB E ∴=A D B E A G B G ∴+=+A D B E A B∴+=F G A M ⊥BN C H A B ⊥H A F B G A B +=1234∠=∠∠=∠，C F DC G E ∴△≌△D F E G ∴=A D B E A F B G A B ∴+=+=利用三线合一得到等量关系。

解法思路三:如图2-3，延长，交AM 于点．，.,。

可证△AFC ≌△ABC 。

.可证△FCD ≌△BCE.。

.(3）不成立．存在．当点D 在射线AM 上、点E 在射线BN 的反向延长线上时(如图3-1)，。

当点D 在射线AM 的反向延长线上，点E 在射线AM 上时（如图3—2)，。

点拨：这道题中涉及的基本方法和图形很多，第一，平行线间同旁内角两条角平分线夹角成90°；第二,平行线与角平分线结合可得相等线段关系,这也是常用的；第三，当问题涉及到三条线段时，可采取截长补短的方法.例 3 （09烟台中考）如图1，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，，且CD =2AD , tan ∠ABC =2,过点D 作DE ∥AB ,交∠BCD 的平分线于点E ,连接BE ．BC FA MB N∥54∴∠=∠34∠=∠53∴∠=∠A F A B∴=C F C B ∴=D F B E∴=A D B E A D D F A F A B∴+=+==A D B E A B-=BE A D A B -=90B C D ∠=°（1)求证:； (2）将△BCE 绕点C ,顺时针旋转得到△DCG ，连接EG.．求证：CD 垂直平分EG 。

（3）延长BE 交CD 于点P ,求证：P 是CD 的中点．设计思想:融合平行线、角平分线、全等.分析：题目中，是很好的证明CD 与BC 相等的间接条件.延长交于,那么正切关系就可以给CD 用,再用正切得到的2倍关系,和条件CD 与AD 的2倍关系结合用，就可得第(1）问结论。

第(2)问显然要证明两组线段的等量关系,根据全等和旋转即可得到。

第（3)问中的中点,即关系,显然与第(1）问有关，CD=2AD ,因此只要证明DP=AD就可以了，因此可以连结BD 构造全等三角形。

证明：（1）延长交于．，, ．在中, ，,即． ，．，即． （2）平分， BC CD =90°2t a n 2CD A DA B C =∠=，DE BC F21DE BC FA DB C∥AB D F ∥A D B F A BCD F C ∴=∠=∠，Rt D C F △t a n t a n 2D F CA B C ∠=∠=2CD CF∴=2CD C F =22C D A D B F==B F C F ∴=1122B C B F C F C DC D C D∴=+=+=BC CD =CEB C D ∠．由(1)知,BC=CD ,CE=CE ，。

．由图形旋转的性质知:CE=CG , BE=DG ． ∴DE=DG 。

都在的垂直平分线上， 垂直平分．（3）连接．由(2）知， ． ．． ．,． 由（1）知． ,． 又，，．， ．是的中点．点拨：这道题还是大量运用了平行和角平分线的关系,这种等量变换在做题中会经常遇到. (三）练习∴B C E D C E ∠=∠B C E D C E ∴△≌△B E D E∴=C D ∴，EG CD ∴EG BD BE D E =12∴∠=∠A B D E∥32∴∠=∠13∴∠=∠A D B C∥4D B C ∴∠=∠B C C D =D B CB D C ∴∠=∠4B D P∴∠=∠B DB D=B A DB P D ∴△≌△D P A D∴=12A D C D=12D P C D∴=P∴CD练习1．（09重庆中考）如图，直线分别与直线、相交于点、,已知,平分交直线于点．则=( ）B A ．60°B ．65°C ．70°D ．130°练习2．如图，梯形ABCD 中，∠ABC 和∠DCB 的平分线相交于梯形中位线EF 上的一点P ，若EF =3,则梯形ABCD 的周长为（ ）C(A)9（B)10。

5 （C ）12 （D ）15练习3.（09广州中考)如图，在ABCD 中，AB = 6,AD = 9，∠BAD 的平分线交BC 于点E ，交DC 的延长线于点F ，BG ⊥AE ,垂足为G ,BG =，则ΔCEF 的周长为( ）A（A ）8 （B ）9.5 (C ）10 （D ）11.5练习4．如图，在Rt△ABC 中，∠ACB =90°，∠BAC 的平分线AD 交BC 于点D ，DE ∥AC ，DE 交AB 于点E ，F 为BE 的中点,连结DF 。

若DF =3，DE =2，则AC 长为 。

练习5。

（09赤峰中考）如图，在四边形ABCD中,AB=BC ,BF 是∠ABC 的平分线，AF ∥DC ，连接AC 、CF ，求证：CA 是∠DCF 的平分线.证明:∵BF 是∠ABC 的平分线，∴∠1=∠2. 又∵AB=BC ，BF=BF ,∴△ABF ≌△CBF 。

∵FA=FC 。

∴∠3=∠4。

EF AB CD GH 1250∠=∠=°GM H G B ∠CD M3∠2438又∵AF∥DC，∴∠5=∠3。

∴∠4=∠5。

∴CA是∠DCF的平分线。

（四)总结在有关角平分线的题目中，平行线会经常涉猎到,因此关于它们相联系的专题练习还是很有必要的。

这节课应从基础的角平分线与平行线构成的基本等量关系入手，让学生先确定图形意识，再投入提升练习.（五)反思由于融合平行线和角平分线的题目图形关系比较基础，因此也会比较好找,因此可以引导学生通过在图形上标注条件，找到角之间的等量关系。