高等数学一自考题分类模拟4_真题(含答案与解析)-交互

高等数学一自考题分类模拟4(总分100, 做题时间90分钟)一、单项选择题1.已知y=x 2，当x=3和Δx=0.02时的微分为______．SSS_SINGLE_SELA 1B 0.12C 0.1D 0.2分值: 2答案:B[解析] dy=(x 2)"Δx=2xΔx，所以熟练掌握微分定义，并利用微分定义进行计算．2.下列函数在给定区间满足拉格朗日中值定理条件的是______．A．B．y=|x|，x∈[-1，1]C．D．SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 2答案:D[解析] 选项A，函数在x=0处不可导，而x=0∈(-1，1)，故A错误；选项B，函数y=|x|在x=0处不可导，而x=0∈(-1，1)，故B错误；选项C，函数在x=±1处不连续，而x=±1∈[-2，2]，故C错误；选项D，函数在[1，2]上连续，在(1，2)内可导，故D正确．若函数f(x)在区间[a，b]满足以下条件：(1)在[a，b]连续，(2)在(a，b)可导，则在(a，b)中至少存在一点c使得3.函数在[-2，2]上的______．A．最大值为，最小值为-1B．最大值为，最小值为2C．最大值为0，最小值为D．最大值为，最小值为0SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 2答案:D[解析] ，令f"(x)=0，得驻点x=-1，又当x=0时，函数不可导，则，f(-1)=1，f(0)=0，比较可知，为最大值，f(0)=0为最小值．函数最值的求法．4.曲线y=3x 4 -4x 3 +1的拐点是______．A．B．C．D．SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 2答案:C[解析] 由y=3x 4 -4x 3 +1，x∈R得y"=12x 3 -12x 2，令y"=0得，x=0，x (-∞，0) 0f"(x) + 0 —0 +f(x) 凹的拐点(0，1) 凸的拐点凹的利用求导法判别函数的凹凸性并求其拐点．5.给定曲线C：y=f(x)(x∈R)，已知y"=f"(x)的图象如下图所示，则曲线C在(-∞，+∞)上是______．SSS_SINGLE_SELA 凹的B 凸的C 单调上升D 单调下降分值: 2答案:A[解析] 由图在(-，+∞)上f"(x)单调递增，且曲线y"=f"(x)上各点都有不垂直于x轴的切线，故f"(x)＞0，则曲线y=f(x)为凹的．利用图形找判别函数的凹凸性是非常直观的方法．6.在区间[0，2]上的最大值与最小值分别为______．SSS_SINGLE_SELA 1，-1B 0，-1C 2，1D 1，0分值: 2答案:B[解析] ，x＞0，令f"(x)=0，得驻点x=1．由于f(0)=0，f(1)=-1，比较可知，f(x)在[0，2]上的最大值为f(0)=0，最小值为f(1)=-1．熟练掌握驻点与函数极值之间的关系．7.函数在[0，3]上满足罗尔定理的ξ=______．A．0B．2C．3D．SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 2答案:B[解析] 因为f(0)=f(3)=0，根据罗尔定理，ξ应满足f"(ξ)=0，解得ξ=2．罗尔定理可以直观的理解为：如果一个可导的函数，两个端点值是一样的，那肯定有个中间值使导数为0．直观理解就是函数图象要先上升(下降)再下降(上升)回到原来的值，那中间有个地方肯定是比较平坦(不是很严格，直观想象)的．8.曲线y=arctan x的水平渐近线为______．A．B．C．D．y=πSSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 2答案:C[解析] 由于，，故直线都是曲线y=arctan x的水平渐近线．水平渐近线是指当x趋近于无限大或负无限大时，y会不会有极限值，如果．y 有极限值a，则y=a就是水平渐近线．另外，一般的铅直线是x=k，如果当x趋近于某数b时，y会趋近于无限大或负无限大．那么x=b就是铅直渐近线．9.已知某商品的产量为q件时总成本为(百元)，则q=500件时的边际成本SSS_SINGLE_SELA 10000元B 10625元C 20000元D 16025元分值: 2答案:B[解析] 因为边际成本，则边际成本边际成本函数就是对总成本函数求导．二、填空题1.的间断点个数为______．SSS_FILL分值: 43 [解析] 令x 5 -x=0，即x(x-1)(x+1)(x 2 +1)=0，得x=0，x=-1，x=1，故f(x)有三个间断点．巧妙运用因式分解公式．2.设f(x)在x=a处可导，______．SSS_FILL分值: 4-2f"(a) [解析]熟练掌握导数概念．3.函数的极大值点x______．SSS_FILL分值: 40 [解析] 可用函数图象求得极值．利用图象求函数极值是最简单和直观的方式．4.函数y=sin x-x在区间[0，π]上的最大值是______．SSS_FILL分值: 40 [解析] y"=cos x-1在(0，)内小于0，故y在[0，π]上单调递减，所以函数=0．在x=0处取得最大值ymax利用单调性求最值．5.______．SSS_FILL分值: 42 [解析]熟练应用洛必达法则．6.设y=6x+k是曲线y=3x 2 -6x+13的一条切线，则k=______．SSS_FILL分值: 4=3×2 2 -1 [解析] 因为y\=6，y"-6x-6，所以6x-6=6，x=2，即y|x-26×2+13=13，则(2，13)为直线与曲线相切的切点，所以6×2+k=13，故k=1．求曲线的切线方程．三、计算题(一)1.求的拐点．SSS_TEXT_QUSTI分值: 5因为当x≠0时，；当x=0时，y"不存在．x∈(-∞，0)时y"＞0；曲线为凹的；x∈(0，+∞)时y"＜0，曲线为凸的．所以(0，0)是拐点． [解析] 利用判别曲线凹凸性来寻找曲线的拐点是这类题最常用的方法．2.试确定函数的单调性．SSS_TEXT_QUSTI分值: 5当x=0时，函数无定义，故函数在x=0处不可导，当x≠0时，导函数为令y"=0，得x=±2．于是，点x=-2，0，2将函数定义域(x≠0)划分成四个区间(-∞，-2)、(-2，0)、(0，2)、(2，+∞)，函数在这四个区间上的单调性如下：在(-∞，-2)上，y"＞0，函数y单增；在(-2，0)上，y"＜0，函数y单减；在(0，2)上，y"＜0，函数y单减；在(2，+∞)上，y"＞0，函数y单增． [解析] 利用驻点及导数不存在的点将定义域分成若干区间，再利用导数的正、负来断定各个区间的函数单调性．3.讨论函数y=e x -x-1的单调性．SSS_TEXT_QUSTI分值: 5函数的定义域为(-∞，+∞)，且y"=e x -1，当x∈(-∞，0)时，y"＜0，故函数在(-∞，0)上单调减少；当x∈(0，+∞)时，y"＞0，故函数在(0，+∞)上单调增加．且x=0是函数单调减少区间(-∞，0)与单调增加区间(0，+∞)的分界点，且函数在分界点的导数为零，即y"(0)=e 0 -1=0． [解析] 利用函数的导数来判断函数的单调性．4.设求y"及y"SSS_TEXT_QUSTI分值: 5[解析] 熟练掌握函数的求导计算．5.求极限的值．SSS_TEXT_QUSTI分值: 5如果利用三角恒等式把所给极限变形，就可以简化运算． [解析] 利用三角恒等式变形是其中的简算步骤．四、计算题(二)求曲线SSS_TEXT_QUSTI1.；分值: 2.5因为所以是水平渐进线，x=0是铅直渐近线．SSS_TEXT_QUSTI2.的水平渐近线和铅直渐近线．分值: 2.5因为，x=0为无穷间断点，故有铅直渐近线x=0，因为，故y=-1为水平渐近线． [解析] 利用极限求曲线的渐近线．3.判断曲线y=x 3的凹凸性．SSS_TEXT_QUSTI分值: 5因为y"=3x 2，y"=6x，当x＜0时，y"＜0，所以曲线在(-∞，0)为凸的；当x＞0时，y"＞0，所以曲线在(0，+∞)为凹的．其中，点(0，0)是曲线由凸变凹的分界点． [解析] 曲线凹凸性用函数图象表示会更加直观．五、综合题1.从半径为R的圆面上剪下一中心角为α的扇形，并把改扇形卷成一个圆锥面，如下图所示．问当α取何值时，圆锥的体积V最大，最大为多少?SSS_TEXT_QUSTI分值: 12设圆锥底面半径为r，高为h，则扇形半径R与圆锥的关系，r 2 +h 2 =R 2，又由Rα=2πr得所以故即求V(α)在(0＜α＜2π)内的最大值．因为令V"(α)=0，得唯一驻点由问题的实际意义能够判定V(α)在0＜α＜2π内必取到最大值，又由驻点唯一性，可知当α ，圆锥体积最大．此时[解析] 求圆锥体积，首先掌握圆锥体积公式2.某种产品的总成本C(万元)与产量q(万件)之间的函数关系式(即总成本函数)为C=C(q)=100+4q-0.2q 2 +0.01q 3．求生产水平为q=10(万件)时的平均成本和边际成本，并从降低成本角度看，继续提高产量是否合适?SSS_TEXT_QUSTI分值: 11当q=10时的总成本为C(10)=100+4×10-0.2×10 2 +0.01×10 3 =130(万元)，所以平均成本(单位成本)为(元/件)．又边际成本MC=C"(q)=4-0.4q+0.03q 2，故MC=C"(10)=4-0.4×10+0.03×10 2 =3(元/件)．因此在生产水平为10万件时，每增加一万件产品总成本增加3元，远低于当前的单位成本，从降低成本角度看，应该继续提高产量． [解析] 导数在经济中的实际应用主要是对边际成本的计算．边际成本的概念和公式是必须要掌握的．1。