基本不等式―最值―对勾函数-耐克函数(学案 附答案)
基本不等式—最值—对勾函数耐克函数(学案 附答案)
基本不等式——形式一：a b +≥(a>0,b>0)____a b +（ ）——形式二：2a b+≥ (a__0,b__0)__(a >0,b >0)2a b + ——形式三：22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭（ ）(a>0,b>0)2a b+≤2a b+？ 用分析法证明：要证2a b+ （1） 只要证 a b +≥ （2）要证（2），只要证____0a b +-≥ （3） 要证（3），只 要证2(__________)0-≥ （4）显然（4）是成立的. 当且仅当a=b 时，（4）中的等号成立.探究3：使用基本不等式的三个条件：一正二定三相等思考：（1）已知y=x+x1 ( x>0 ) ，求y 的范围.（2）已知y=x+x1( x≠0 ) ，求y 的范围.例题拓展【例1 】已知0x >，则xx 432++的最小值是________。
【 例2 】下列不等式一定成立的是 （ ）A ．xy y x 2≥+B ．21≥+xx C ．xy y x 222≥+ D ．xyxy y x 12≥+【 例3 】下列结论中，错用基本不等式做依据的是（ ）基础回顾1、对于____ _ ,a b ,有22____2a b ab +,当且仅当____ _ 时，等号成立.2、基本不等式：对于____ _,a b ,则2a b+___ _时，不等式取等号.注意：使用基本不等式时，应具备三个条件：____ _ ____ _【例1 】（1）已知x >0，且y = x ＋81x，x =_________时，y 取最小值 （2）已知0x >，则xx 432++的最小值是________。
（3）y x x=++23122的最小值是（4）a+b=2，则3a +3b 的最小值是______________（5）a+2b=4，则3a +9b 的最小值是______________【 例2】设x ，y 为正数， 求14()()x y x y++的最小值【例4 】若0,0,x y >>且211x y+=，则2x y +的最小值为________练兵场：1、函数y =31-x + x (x>3) 的最小值是_________。
高考数学复习专题系列学案：基本不等式对勾函数
基本不等式与对勾函数b、对勾函数y = ax • b (a . 0,b .0)的图像与性质x性质： 1.定义 '*_f(x) =aj+ —>C.A A 0) 当孟a 0*. == 3 + —2石瓦f 当 且仅当站=—)」AX当孟= —(iix + —｝台 2-Jab,X所臥得到血点坐标A (£.2加)』,_2石咬一41 I I 1*iI I i i| I I5-—_—M —— —三 <_ — ■. ■■ ■■ ■ ■“ ■ ■■ tM' — —' "W— ■* ~ — 1(-=,0) (0,二)2. 值域：(-：：,-2 . ab) (2、ab,：：)3. 奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个“对勾”的形状，且函数图像关于原点呈中心对称，即 f(x) f(-x) =0 4. 图像在一、三象限当x =0时，由基本不等式知 yuax + PzzJab (当且仅当x = J 匕取等号)，xV a由奇函数性质知: 当x<0时，f (x)在x= — 时，取最大值 -^ab\ a一、对勾函数的变形形式 类型一：函数y =ax • b (a ：：： 0, b ：：： 0)的图像与性质 x此函数与对勾函数 y =(-a)x • J?关于原点对称，故函数图像为x即f (x)在x=—时，取最小值a2 . ab5.单调性：增区间为( 减区间是(0，性质: 类型二：斜勾函数y = ax • b (ab ：：： 0)xf(x)二2ax bx c(ac 0)此类函数可变形为cc f(x)二ax b ，贝y f(x)可由对勾函数 y 二ax上下平移得到xx性质： ②a 0,b . 0作图 如下： 类型三：函数例1作函数f (x) x2 x 1的草图解：f(x)二匚x1f(x)=x 1作图如下:x类型四：函数f(x)=x・a(a 0,k") x k此类函数可变形为a t af(x)=(x，k )-k ,则f (x)可由对勾函数y = x 左右平移,x上下平移得到例2作函数f (x)的草图x -2解：f (x) 例3作函数f(x)=x-2 12作图如下:x — 2=xx -2x 3x 2x 3x「f(x)二x的作图:x 2 1 1 1 f (x) x=1 x=x 2 1 x+2 x+2 x+21 练习：1.求函数f(x) =x 在(2/ ::)上的最低点坐标2x —4 解：f (x)X2.求函数f(X )= X的单调区间及对称中心X —1a.若a • 0 ,则f (x)的单调性和对勾函数 y = x •巴的单调性相反，图像如下: x1 .定义域：(一匚片•：：)由奇函数性质知: 当x<0时，f (x)在x= - b 时，取最小值-—a _2Jb5.单调性：减区间为( Jb, +30 ), (一00，-Jb )增区间是[- b, b]类型五： ax函数 f (X )二 2(a = 0,b . 0)f (x)二x 2 b3.奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个倒着的“对勾”的形状，且函数图像关于原点呈 中心对称，即f(x) f (-x) =04.图像在一、三象限 当x 0时，由基本不等式知f (x) V ——a 二a (当且仅当X 二• b 取等号2"： 2"即f (x)在x - b 时，取最大值a2“b此类函数定义域为R ，且可变形为性质:3当 x=1 时，f(x)二X-12(x —1)23(xT) 4 (X-1)3(xT) 4 x 〔4x — 1问：若区间改为［4,则f (x)的最大值为2x 7x 10类型七：函数f(x)2x max +bx+cx 1x例4作函数f(x)二—X x 解：f(x)二: x +1 11 x - xb.若acO ,作出函数图像： 2x r 的草图 x 2 4 例5作函数f (x)二类型六：函数 f (x)二 ax bx c(a = 0) x 十m 2 此类函数可变形为f(xH a(X m) S(X m)=a(x m) —t — s(at 0)x+ m则f (x)可由对勾函数 y 二ax •丄左右平移，上下平移得到 xx 2+x +1 1 例6说明函数f(x) 由对勾函数y=x 如何变换而来 ■ x 解：f(x)= (x 1)2 -(x 1) ^x . 1 1 X 十1 故 此函数f (x)可由对勾函数 (填“上”、“下”)平移*1宀 y = x 向 __________ x单位.草图如下:(填 “左”、“右”)平移 单位,2.已知x 1 ，求函数f (X )口x 2 9x -10x-1的最大值练习：1.已知x ^ -1，求函数f(x)=的最小值例7求函数f ( X )工 在区间(1, •二)上的最大值解：当x =1时，f (1)=0x + b 类型八：函数f (x)=Jx + a此类函数可变形为标准形式：f(x^x a ^^./xb-a (b_a.O) v x + ax + 3例8求函数f(x)的最小值 <x 解:f(x) =x "4Jx —1x + 5 •求函数f(x)的值域J x +1函数 f(x)=—— v'x 十此类函数可变形为标准形式：解: y =x…x 2 aa2xf (x )= ( X 2 * * a)2 b-ax 2 a二 x 2 a 「Tag °〉工的最小值4x 2 5 =解：f(x) = x 2 4x 2 4 1 f (x)' = lx 2 +4 十 1 Jx 2 +4 lx 2+4练习：1.求函数f (X )例10已知a 0,求函数y= X 2 1、—2 的值域X 2 17x 2a 1 .X 2—a 的最小值。
高中数学专题7-1 基本不等式和对钩函数(解析版)
4
4
无法直接使用基本不等式，需要凑配位和定：
f (x) 4x(3 2x) 22x(3 2x) 2( 2x 3 2x)2 9 ；
2
2
再如：f (x) 4x 2 1 直接使用基本不等式，则 f (x) 4x 2 1 2 (4x 2) 1 ，
4x 5
4x 5
4x 5
发现积不定，则需要凑配为积定：
【答案】1
【详解】因为 a 1，所以 a 2 a 1 2 1 2 a 1 2 1 2 2 1，
a 1
a 1
a 1
当且仅当 a 1 2 时取等号．故 m 2 2 1， n 2 1，所以， 2n m 1． 故答案为：1. 2．（2022·云南·屏边苗族自治县第一中学高一阶段练习）（ 若 x 2 ，求： x 2 的最小值.
【答案】(1) 9
【详解】（1）由题得 y 4x 1 1 4(x 1) 1 5，
x 1
x 1
因为 x 1，所以 x 1 0 ，
所以 4(x 1) 1 5 2 4(x 1) 1 5 9 ，
x 1
x 1
当且仅当 4(x 1) 1 ，即 x 3 时取得等号，
x 1
2
所以 y 4x 1 1 的最小值为 9 . x 1
y
4x2
9 x2
2
4x2
9 x2
12 ，
当且仅当 4x2
9 x2
，即 x
6 时取等号，
2
所以 ymin 12 ， 故选：C.
2．（2022·黑龙江·哈尔滨工业大学附属中学校高二学业考试）若 x 0 ，则 x 1 1的最小 x
值是（ ）
A．0 【答案】B
B．1
C． 3 2
基本不等式(学案)-高中数学人教A版(2019)必修—(Word含解析)
第二章 一元二次函数、方程和不等式2.2 基本不等式学案一、学习目标1. 通过对基本不等式的学习，能够对其进行证明，并会用几种语言来进行解释.2. 能够运用基本不等式来求代数式的最值.3. 能够使用基本不等式解决实际生活中的最值问题，提高用数学手段解答现实生活中的问题的能力.二、基础梳理1. 若00a b >>，≤2a b +，当且仅当a b =时，等号成立. 其中，2a b +叫做正数a ，ba ，b 的几何平均数.2. 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.三、巩固练习1.已知正数a ,b 满足4a b +=,则1113a b +++的最小值为( ) A.1 B.2 C.4 D.122.如果实数,x y 满足4x y +=，则222x y ++的最小值是（ ）A ．4B ．6C ．8D ．10 3.已知实数0,0a b >>，若21a b +=，则12a b +的最小值是( ) A ．83 B ．113 C ． 4 D ．84.已知0x >,0y >,228x y xy ++=,则2x y +的最小值是( )A.3B.4C.92D.1125.若111111M a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--- ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,且1a b c ++=(其中a ,b ,c 均为正实数),则M 的取值范围是( ) A.10,8⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B.1,18⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.[1,8)D.[8,)+∞6.已知0a >，0b >，则11a b ++的最小值是( )A.2B.C.4D.57.若x,y均为正实数,且111223x y+=++,则xy的最小值为( )A.2B.12C.14D.168.已知01x<<,则1221x x+-的最小值为( )A.9B.92C.5D.52参考答案巩固练习1.答案：D解析：因为4a b +=，所以(1)(3)8a b +++=， 所以11111[(1)(3)]13813a b a b a b ⎛⎫+=++++ ⎪++++⎝⎭ 1312813b a a b ++⎛⎫=++ ⎪++⎝⎭128⎛≥+ ⎝ 11(22)82=⨯+=, 当且仅当13a b +=+且4a b +=，即3a =，1b =时，等号成立，所以1113a b +++的最小值为12. 2.答案：D 解析：因222()422x y x y ++=，故22x y +，所以应选D 3.答案：D解析：∵实数0,0a b >>，21a b +=，则()121242448b a a b a b a b a b ⎛⎫==++=++≥+ ⎪⎝⎭，,当且仅当122b a ==时取等号。
耐克函数
我的名字叫对勾函数，因为长得像“NIKE”，所以大家给我一个亲切的名字，“耐克”函数。
我的解析式是y=ax+b/x（a>0，b>0)，我的图像可不像一般的函数哦~它是这样的~（告诉你个秘密，它是无限接近与纵坐标的哦~）
大家看到我的图像应该有点想法的吧，没错，我是个奇函数哦~还有哦~我也是有单调性的！！！想知道怎么求吗？！你猜呀，猜对就告诉你。
好吧，不傲娇了，看到那两个钩子的最低点了不，一个是x=√b/a，另一个就是x=-√b/a。
令k=√(b/a），那么，增区间：{x|x≤-k}和{x|x≥k}；减区间：{x|-k≤x<0}和{x|0<x≤k} 变化趋势：在y轴左边，增减，在y轴右边，减增，是两个勾。
那大家现在应该知道怎么求最值问题了吧~ 对了哦~知道怎么求出来这两个点的横坐标的不？！用基本不等式啊！！！！！！
高一（二）江悦健7。
一类“对勾函数”型函数最值求法
教学信息新教师教学近年来高考对函数求最值问题一直都是热点，特别有一类“对勾函数”型的函数的最值越来越明显，对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数。
所谓的对勾函数，函数，是一种教材上没有但考试老喜欢考的函数意和学习。
而函数的最值求法必须注意其定义域，同时其最值求解及研究也离不开均值不等式，所以本文先简单介绍一下对勾函数图像与性质，再通过举例来说明对勾函数最值求解的方法。
对勾函数，的函数，此函数的图像与其参数a ，b ab >0时图像，其图像如下：在本文的例题当中只对参数a >0，b >0时进行研究，当a >0，为单调递增，在特别地当a =b =1时，：即x=1时取等号）；当即x上为单调递增，在递减。
一、例题讲解例1（1）数最大值；（2）的最值解（1）令，由对勾函数的性质可知：即t =1，也即x =0时取等号），于是有（2）（x >0，x ≠1）可令，当时，当时所以当时，即f （x ）取极大值-1；当时，即f （x ）取极小值7。
从上例可知求解函数最值时要注意函数定义域，函数的最值也即函数值域，因此注意函数定义域是必须的。
练习1 已知x >1求下列函数最值：（1（2；（3答案：（18，无最大值；（2）f (x )=3x+无最大值；（3）f （x ）最小值为3，无练习2。
（答案：f （x ）最小值为。
二、小结本文主要介绍了一下对勾函数型函数最值求解方法，对于对勾函数型函数是指可以通过转化化成对勾函数，所以在求解时首先是先把函数转化成对函数，再利用对勾函数的图像用及性质求解，当然在求解过程中，有些问题可以利用均值不等式来解，但利用均值不等式求解时要注意取等号时是否能成立，若不能成立，文中采用了函数的单调性来求解，如文中的例题3就说明了这一些问题的处理方法。
一类“对勾函数”型函数最值求法左锦辉（丰城市丰城二中 江西 丰城 331100）【中图分类号】G634.6【文献标识码】B【文章编号】2095-3089（2015）24-0258-01Copyright©博看网 . All Rights Reserved.。
对勾函数的性质及应用(史上上最完整版)
对勾函数的性质及应用一、概念：【题型1】函数()(0,0)af x x a k =+>≠【例1】函数1()f x x =+的值域为【例2】函数3()x f x x +=+的值域为【题型2】函数()(0)ax bx cf x ac ++=>。
【例3】函数1()x x f x ++=的值域为【题型3】函数2()(0,0)axf x a b =≠>。
【例4】函数2()1xf x x =+的在区间[)2,+∞上的值域为 【解析】2x ≥，∴，函数15222≥+=【例5】如2214xa x +=-+，(1,2)x ∈，则实数a 的取值范围是(1,2)x ∈4y x x =+1144x x <+，7352a <-<【题型4】函数2()(0)ax bx cf x a ++=≠.【例6】已知1x >-，求函数710()1x x f x x ++=+的最小值。
，1x >-，7101x ++的最小值【例7】已知1x <，求函数299()x x f x +-=的最大值。
，1x <，2991x x +--的最大【题型5】函数2()(0)x mf x a +=≠ 【例8】求函数21()2x f x x x -=++在区间(1,)+∞上的最大值。
【例9】求函数2223()x x f x ++=在区间[0,)+∞上的最大值。
【例10】求函数()f x =的最小值。
类型九：函数2()0)f x a>。
【例12】求函数2()f x=的最小值。
【解析】由题可知，函数22()f x===2t=，则1()()f xg t tt==+，显然在[)2,+∞上单调递增，故min15()(2)222g t g==+=，此时0x=，故函数2()f x=的最小值为52。
【例13】求函数()f x=的值域.。
耐克函数
定义对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，又被称为“双勾函数”、"勾函数"等。
也被形象称为“耐克函数”所谓的对勾函数（双曲线函数），是形如f(x)=ax+b/x 的函数。
由图像得名。
图像对勾函数：图像，性质，单调性对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数，见图示。
奇偶性与单调性当x>0时，f(x)=ax+b/x有最小值（这里为了研究方便，规定a>0，b>0），也就是当x=sqrt(b/a)的时候（sqrt表示求二次方根）奇函数。
令k=sqrt(b/a)，那么：增区间：{x|x≤-k}和{x|x≥k}；减区间：{x|-k≤x<0}和{x|0<x≤k} 变化趋势：在y 轴左边，增减，在y轴右边，减增，是两个勾。
渐近线耐克函数的图像是分别以y轴和y=ax为渐近线的两支双曲线。
编辑本段均值不等式对勾函数性质的研究离不开均值不等式。
说到均值不等式，其实也是根据二次函数得来的。
我们都知道，(a-b)^2≥0，展开就是a^2-2ab+b^2≥0，有a^2+b^2≥2ab，两边同时加上2ab，整理得到(a+b)^2≥4ab，同时开根号，就得到了平均值定理的公式：a+b≥2sqrt(ab)。
现在把ax+b/x套用这个公式，得到ax+b/x≥2sqrt(axb/x)=2sqrt(ab)，这里有个规定：当且仅当ax=b/x时取到最小值，解出x=sqrt(b/a)，对应的f(x)=2sqrt(ab)。
我们再来看看均值不等式，它也可以写成这样：(a+b)/2≥sqrt(ab)，前式大家都知道，是求平均数的公式。
那么后面的式子呢？也是平均数的公式，但不同的是，前面的称为算术平均数，而后面的则称为几何平均数，总结一下就是算术平均数绝对不会小于几何平均数。
这些知识点也是非常重要的。
编辑本段导数求解其实用导数也可以研究对勾函数的性质。
不过首先要会负指数幂的换算，这也很简单，但要熟练掌握。
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基本不等式―最值―对勾函数-耐克函数（学案附答案）
同步：基本不等式 22 探究1：你能给出a?b?2ab的证明吗？
基本不等式――形式一：a?b?2ab(a>0,b>0)
2ab____a?（b ）
――形式二：
a?bab___2(a>0, b>0)2a?b?ab2 (a__0,b__0)
a?b? ――形式三：ab????（） 2??
通常我们把上式写作：ab?a?b(a>0,b>0) 2问：由不等式的性质证明基本不等ab?用
分析法证明：要证
a?b？ 2a?b?ab （1） 2只要证 a?b? （2）
要证（2），只要证a?b?____?0 （3）要证（3），只要证(_____?_____)2?0 （4）
显然（4）是成立的. 当且仅当a=b时，（4）中的等号成立.
探究3：使用基本不等式的三个条件：一正二定三相等
1思考：（1）已知y=x+ ( x>0 ) ，求y的范围.
x1（2）已知y=x+ ( x≠0 ) ，求y的范围.
x
例题拓展
【例1 】已知x>0，则2?3x?4的最小值是________。
x
【例2 】下列不等式一定成立的是（）
A．x?y?2xy B．x? C．x2?y2?2xy D．
1?2 xx?y1 ?2xyxy
【例3 】下列结论中，错用基本不等式做依据的是（）
2abx2?2??2 B. A. a,b均为负数，则?2 2b2ax?1C.
D．a?R,(3?a)(1?)?0
?x?3a2?22,x?R x C专题：利用基本不等式的求最值基础回顾
1、对于____ _ a,b,有a2?b2____2ab,当且仅当____ _ 时，等号成立.
2、基本不等式：对于____ _ a,b,则时，不等式取等号.
a?b_____ab，当且仅当___ _2注意：使用基本不等式时，应具备三个条件：____ _ ____ _
题型1 当积ab为定值时,求和a?b最小值【例1 】（1）已知x?0，且y = x＋
81，x=_________时，y取最小值 x（2）已知x>0，则2?3x?4的最小值是________。
x3x2?（3）y?2的最小值是 21?x
（4）a+b=2，则3a+3b的最小值是______________
（5）a+2b=4，则3a+9b的最小值是______________
【例2】设x，y为正数，求(x?y)(?
1x4)的最小值 y
【例4 】若x?0,y?0,且
21??1，则x?2y的最小值为________ xy
练兵场：
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