2.7 抛物线的简单几何性质-王后雄学案

2.7 抛物线的简单几何性质

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1．已知抛物线的标准方程为),0(22>=p px y 则抛物线上的点（x ，y ）的横坐标的取值范围是 ① ． 2．抛物线的对称轴叫做 ② ，抛物线和它的交点叫做抛物线的顶点，抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离的比叫抛物线的 ③ ，其值为 ④ .

3．在抛物线)0(22>=p px y 中，通过焦点而垂直于x 轴的直线与抛物线两交点的坐标分别为 ⑤ ，连接这两点的线段叫做抛物线的⑥ ，它的长为 ⑦ .

要点核心解读

一、抛物线的几何性质

以抛物线)0(22>=p px y 为例．

1．范围：抛物线在y 轴的右侧向右上方和右下方无限延伸． 2．对称性：抛物线关于x 轴对称． 3．顶点：坐标原点是抛物线的顶点． 4．离心率：抛物线的离心率e=1．

[注意] (1)上述抛物线的几何性质，我们是以>=p px y （22)0为例来研究 的，也就是通过这个方程来研究其几何性质，对于其他方程也具有同样的性质，事实上，抛物线的几何性质是不依赖于抛物线方程的，而坐标系、方程等不过是我们研究其几何性质的一个工具而已．同样的，对于前面的椭圆和双曲线的几何性质的研究也是如此．

(2)抛物线的几何性质和椭圆、双曲线比较起来，差别较大，它的离心率为1，只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴、一条准线．它没有对称中心，因此抛物线叫做无心圆锥曲线，而椭圆和双曲线则称为有心圆锥曲线．

(3)通过焦点垂直于对称轴的抛物线的弦叫抛物线的通径，通径长为2p.这便是标准方程中2p 的一种几何意义．而p 的几何意义则是焦点到准线的距离.

抛物线的几何性质与椭圆：双曲线几何性质的不同之处

二、抛物线的焦点弦

如图2 -7 -1，AB 是抛物线)0(22>=p px y 过焦点F 的一条弦．设AB y x B y x A ),,(),(2211、的中点),,(00y x M 过A 、M 、B 分别向抛物线的准线L 作垂线，垂足分别为⋅111B M A 、、则根据抛物线的定义，有|,||||,|||11BB BF AA AF ==故.||||||||||11BB AA BF AF AB +=+=

又||1MM 是梯形B B AA 11的中位线；

.||2||||||111MM BB AA AB =+=∴

故有下列结论：

(1)以AB 为直径的圆必与准线L 相切；

)2

(2||)2(0p

x AB +

=（焦点弦长与中点关系）； ;||)3(21p x x AB ++=

;2

||,2||)4(21p x BF p x AF +=+

= (5)若直线AB 过抛物线)0(22

>=p px y 的焦点F ，且其倾斜角为p ，则,sin 2||2

θ

p

AB =

θ

θcos 1||,cos 1||+=-=

p

BF p AF

[注意] 上述性质(5)推导如下：

如图2 -7 -1所示，设x M ⊥2轴于x BB A ⊥22,轴于,2B 则由抛物线的定义可知，

+=+===p p F A N A AA AF ||||||||221,cos .||θAF

即,cos 1||,)cos 1(||θ

θ-=∴

=-p

AF p AF

同理可得θ

cos 1||+=

p

BF

=-=++-=

+=∴θθθ2cos 12cos 1cos 1||||||p p p BF AF AB ⋅θ

2

sin 2p

三、抛物线的过定点弦问题

[例题]过抛物线px y 22=的焦点的一条直线和此抛物线相交，两个交点的纵坐标分别为,21y y 、求证

.221p y y -=

[解析] 因为当直线斜率为零时，直线与抛物线仅有一个交点，故可设其直线方程为,2

p

my x += 代入px y 22=得),(22--+=P my p y 即.,0222122p y y p pmy y -=∴=--

[探究] 对上述例题进行联想、引中和改造，可以得到综合性强、形式新颖的命题，多思考、多训练，可提高思维的广阔性与灵活性，培养探索创新能力，

变式1：设抛物线px y 22=上两个动点A ．B 的纵坐标分别为,21y y 、且满足,22p y y l -=求证：直线AB 经过焦点．

证明：设A 、B 的坐标分别为),,(),,(2211y x y x 直线AB 的方程为程y=k （x 一a ）． 显然.,0a k

y

x k +=

∴=/ 将其代入.022,22

2

=--

=pa y k

p

ky px y 21,y y 是此方程的两实根，.221pa y y -=∴

又,2,2

221p pa p y y -=-∴-=即⋅=

2

p a 故直线AB 经过焦点F ．

变式2：设M(a ，O)是抛物线px y 22=对称轴上的一个定点，过M 的直线交抛物线于A ，B 两点，其纵坐标分别为,21y y 求证：21y y 为定值．

证明：因为直线AB 与抛物线交于两点，因此可设直线AB 的方程为,a my x +=将其代入px y 22

=中，消去x ，得--pmy y 22

,02=pa 则21,y y 是此方程的两实根，由韦达定理，知=21y y ,2pa -其为定值，

变式3：设抛物线px y 22

=上两个动点A 、B 分别为),,(l l y x ),,(22y x 且满足n n y y (21=为常数），问直线AB 是否恒过某一定点？